平面解析几何经典题含答案

平面解析几何

一、直线的倾斜角与斜率

1、直线的倾斜角与斜率

（1）倾斜角的范围0°1800

（2）经过两点F〔 h、R ）、F〔尸、y ）［还 H、J、的直线的斜率公式是

h——-------- （工| 丰 rr j.

卫—花I

（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率

2.两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线l it，其斜率分别为k i,k2，则有l i /很k i k2。特别地，当直线l i」2的斜率都不存在时，l i与12的关系为平行。

（2）两条直线垂直

如果两条直线l i,l2斜率存在，设为k i,k2，则l i l2 k i g<2 i

注：两条直线l i,l2垂直的充要条件是斜率之积为-i,这句话不正确；由两直线的斜率之积为-i，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-i。如果l i,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条

直线的斜率为0时，^与l2互相垂直。

二、直线的方程

i、直线方程的几种形式

三、直线的交点坐标与距离公式

三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点

设两条直线的方程是厶；4 丁亠B y+C| m ； A .T +|B y 4 C -，两条直线的交点坐

f Ai Bi，+ Ci =0

标就是方程组山计鸟:y+ G=o的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐

标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离

(1)两点间的距离平面上的两点 Pi (彩儿(需z,鬼)间的距离公式

11 Pi P' | = 工；—工|〉+ ( y —加5~~・

(2 )点到直线的距离

” _ I A J4>+B^D + C|

点PM站，沖)到直线i；Ax+ By+ C=0的距离；

(3)两条平行线间的距离

匸IG—

两条平行线血十加・G = 0耳皿・By-C 间的距离

注：(1)求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

(2) ___________

(二)直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：

已知A(X i, yj, B(X2,y2),C(X3, y3),若X i x? X3或k AB k Ac，则有A、B、C 三点共线。

注：斜率变化分成两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

直线的参数方程

〖例1〗已知直线的斜率 k=-cos ( €求直线的倾斜角的取值范围。

思路解析：cos 的范围斜率k的范围 tan 的范围倾斜角的取值范围。

〖例2〗设a,b,c是互不相等的三个实数，如果A(a,a3)、B(b,b3)、C(c,c3)在同一直线上，求证:

思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。

〖例3〗已知点M （ 2，2），N（ 5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。

（1 ）Z MOP= / OPN （O 是坐标原点）；

（2）Z MPN是直角。

思路解析：/ MOP= / OPN OM//PN，/ MPN是直角 MP NP，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得。

注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线

和I?，h M 丄I. O 陆 * h 二rl。

的斜率是多少一定要特别注意

K例4〗求过点P （2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。

h丄l2时，求

a的值

思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按率是否存在为分类标准进行分类讨论。

〖例6〗已知点P （2，-1 ）。

（1）求过P点且与原点距离为 2的直线I的方程；

（2）求过P点且与原点距离最大的直线丨的方程，最大距离是多少？

（3）是否存在过 P点且与原点距离为 6的直线？若存在，求岀方程；若不存在，请说明理由l i

若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线

思路解析：对截距是否为 0分类讨论设岀直线方程代入已知条件求解得直线方程。

（二）用一般式方程判定直线的位置关系

两条直线位置关系的判定

已知直线h : Ax B1 y C1 0 I2: A?x B2y C2 0，则

(1)

(2)

l1 / /l2 A1A2 B1B2 0.

(3) l l与12重合 A B? A2 B i 0 且A1C2 A?C i 0 (或B1C2 B2C10）或记为（△£

A B1 C1

B i

(4) 2丄相交OZ-ABH

。或记为殳工#

K例 5〗已知直线l1 :ax 2y 6

2

0和直线l2:x (a 1)y a 10，（1）试判断l1与l2是否平行; (2)

l2的斜

（三）轴对称

①点关于直线的对称

若两点Pl ,贵）与Pg （虺F梵）关于直线I : Ax+By+C=O对称，则线段Fl P 的中点在对称轴I上，而且连接Pl 的直线垂直于对称轴1上，由方程组

可得到点P l关于1

对称的点B的坐标X2,y2（其中 A 0- X l x2）

②直线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。K例7〗求直线I l : y 2x 3关于直线I : y X 1对称的直线I2的方程。

思路解

析：

转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解。

练习题

1 .过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）

（A） x-2y-1=0 （B）x-2y+1=0 （C）2x+y-2=0 （ D） x+2y-仁0

2 2

2.圆C: x y 2x 4y 4 0的圆心到直线3x 4y 4 0的距离d ____ 。

3•已知圆C过点（1，0），且圆心在 x轴上，直线丨：y x 1过圆C所截得的弦长为2 2，则过圆心有与

直线I垂直的直线的方程为_________________

4•倾斜角为45，在y轴上的截距为1的直线方程是（）

A x y 1 0

B x y 1 0

C x y 1 0

D x y 1 0

5.过点M 2,1

的直线I与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，且

MQ 2 MP

，则直线I的方程为

（）

A.x+2y-4=0

B.x-2y=0

C.x-y-1=0

D.x+y-3=0

6.已知过点A（ 2,m）和B（m,4）的直线与直线2x y 1 0平行，则m的值为（）

A. 0

B. 8

C. 2

D. 10

7.已知ab 0,bc 0，则直线ax by c通过（）

A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限

D. 第二、三、四象限

思路解析：设出直线方程由点到直线距离求参数判断何时取得最大值并求之。