3-1 矩阵的秩习题评讲

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3-1 矩阵的秩习题评讲

2、设秩(A)=r,问A中有没有等于零的r-1阶子式?有没有等于零的r阶子式?

有没有不等于零的r+1阶子式?

解:秩(A)=r时,A中可能有等于零的r-1阶子式;也可能有等于零的r阶子

式;没有不等于零的r+1阶子式。例如:

A=⎥

⎥⎥⎦

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡000040004320

4321,A中存在一个3阶子式4004204

21=8≠0,所有4阶子式有一行全为零,值为零,所以秩(A)=3。A中存在等于零的2阶子式,如

4

343;还存

在等于零的3阶子式,如0

00000

3

20。

3、如果从矩阵A中划去一行(或一列)得到矩阵B,问A的秩与B的秩有什么关系? 解:设m⨯n矩阵A的行向量为:α1,α2,……,αm-1,αm。从矩阵A中划去一

行,不妨设划去第m行,得矩阵B,则B的行向量为:α1,α2,……,αm-1。分两种情况讨论。

(1)如果αm可由α1,α2,……,αm-1线性表出,则A的行向量组与B的行向量

组等价,故A的行秩=B的行秩,即秩(A)=秩(B)。

(2)如果αm不能由α1,α2,……,αm-1线性表出,取B的行向量组的一个最大

无关组,不妨设为:α1,α2,……,αr,则αm不能由α1,α2,……,αr线性表出。据P111 11题,α1,α2,……,αr,αm线性无关,显然作成A的行向量组α1,α2,……,αm-1,αm的一个最大无关组,于是A的行秩=B的行秩+1,即秩(A)=秩(B)+1。 综上所述,知: R(B)=⎩

⎧-1)()(A R A R 线性表出时列不可由其它行列当删去的行线性表出时列可由其它行列当删去的行)()()()(。

4、t取何值时,向量组:α1=(6,t+1,7),α2=(t,2,2),α3=(t,

1,0)线性相关?

解:用α1,α2,α3为行向量作矩阵A,有

A =0

1

227

16t t

t +=

10

227

162

t t t t -+--=-

2

762

t

t t ---=2t2

-5t-12

α1,α2,α3线性相关⇔A =0⇔2t2

-5t-12=0⇔t=-2

3

或t=4。 5、t取何值时,向量组:α1=(t-2,1,3),α2=(-5,t-1,8),α3

=(5,-3,t)线性无关?

解:用α1,α2,α3为行向量得矩阵A,有

A =t

t t 3

5

815

312

----=(t+2)t

t 3

1

811311--=(t+2)3

4

52

0311---t t =(t+2)

3

4

52---t t =(t+2)(t2

-5t+26)。所以

α1,α2,α3线性无关⇔A ≠0⇔(t+2)(t2

-5t+26)≠0

⇔t≠-2且t≠2

79

5i ±。 P218 总自测题

1、(1)若向量组α1=(1,0,0),α2=(2,2,4),α3=(1,3,t)线

性相关,则t= 。

解:A =t

31422

01=t

34

2=2(t-6),

α1,α2,α3线性相关⇔A =0⇔t-6=0⇔t=6。

2、(3)若4阶方阵A的行列式等于零,则( )。

(A)A中至少有一行是其余行的线性组合; (B)A中每一行都是其余行的线性组合; (C)A中必有一行是零行; (D)A的列向量组线性无关; 解: 4阶方阵A的行列式等于零 ⇔A的行(列)向量组线性相关

⇔A中至少有一行(列)是其余行(列)的线性组合; 选(A)。 P262 题型举例:单项选择题

1、设α1=(a11,a12,a13),α2=(a21,a22,a23),α3=(a31,a32,

a33)都是3维向量,矩阵A=()

3

3⨯ij

a 。则A =0是向量组α1,α2,α3线性相关

的( )。

(A)充分条件,但不是必要条件; (B)必要条件,但不是充分条件; (C)充分必要条件; (D)既非充分也非必要条件。

解:A =0⇔A的行向量组α1,α2,α3线性相关。选C。

P143:

1、求下列矩阵的秩: (1)解:

A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡------11011111100222021110→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11110022202111011011→⎥

⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎢⎣⎡----30000

404002111011

01

1

秩(A)=4。 (2)解:

A= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡----10030116030242201

21

1→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡---10030140300400001

21

1→⎥

⎥⎥⎦

⎢⎢

⎢⎣⎡---10030040001403001

21

1→ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡---0400

0040001403001

2

11→⎥

⎥⎥⎦

⎢⎢

⎢⎣⎡---00000040001403001

2

1

1;秩(A)=3。 (3)解:

A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡520153035143671792110462861214→⎥⎥⎥⎥

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000143671792110460000

0=B B中第2、3行对应分量不成比例,故这两个向量线性无关,作成行向量组的一

个最大无关组,秩(B)=2,从而秩(A)=2。 4、解:

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