鲁棒预测控制
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1/2 QQ1 Y T R1/2 ⎤ ⎥ 0 0 ⎥ ≥0 γI 0 ⎥ ⎥ γI ⎦ 0
j = 1,L , L
控制作用为 u (k + i | k ) = Fx(k + i | k ) = YQ −1 x(k + i | k )
21
鲁棒约束预测控制
考虑如下线性时变系统
x(k +1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) y(k) = Cx(k)
6
一、线性矩阵不等式
一个线性矩阵不等式(LMI)具有如下形式：
7
一、线性矩阵不等式
8
一、线性矩阵不等式
矩阵的Schur补性质
9
一、线性矩阵不等式
10
二、模型不确定性
采用脉冲响应模型或阶跃响应模型等非参数模型，模型的不确 定性体现在相应脉冲响应系数或阶跃响应系数的不确定性。 使用状态空间模型的预测控制，其模型不确定性的描述方法主 要有以下两种类型： 多面体(多胞) 不确定性 结构化反馈 不确定性
i =0
∞
{
2 Q1
+ u (k + i | k )
2 R
}
s.t.
u (k + i | k ) 2 ≤ umax y (k + i | k ) 2 ≤ ymax
在优化问题中增加额外的LMI。
22
椭圆不变集
模型：[A, B] 椭圆：Q 椭圆内反馈律：F
⎡ Q −1 不变集表示形式： ⎢ ⎣ A + BF AT + F T BT ⎤ ⎥≥0 Q ⎦
对于上式，从i=0到∞进行累加，则有
−V ( x(k | k )) ≤ − J ∞ (k )
[ A ( k + i ), B ( k + i )]∈Ω ,i ≥ 0
max
J ∞ (k ) ≤ V ( x(k | k ))
上式给出了鲁棒性能指标的上界值。 因此在采样时刻k，鲁棒预测控制算法求解控制律，以最小化 鲁棒性能指标的上界V(x(k|k))，即
x ( k + i | k )T
{[ A(k + i) + B(k + i) F ] P [ A(k + i) + B(k + i) F ] − P + F T RF + Q1} x(k + i | k ) ≤ 0
T
若下式成立，则上式满足
[ A(k + i) + B(k + i) F ] P [ A(k + i) + B(k + i) F ] − P + F T RF + Q1 ≤ 0
等价于如下优化问题
min γ
γ ,P
s.t. x(k | k )T Px(k | k ) ≤ γ
令 Q = γ P−1 > 0 ，同时运用Schur补性质，进一步转化为
min γ
γ ,Q
⎡ 1 x(k | k)T ⎤ s.t. ⎢ ⎥ ≥0 Q ⎦ ⎣x(k | k)
19
鲁棒无约束预测控制
假设未来控制作用由反馈控制律 u(k + i | k) = Fx(k + i | k), i ≥ 0 加以 确定，那么鲁棒不等式约束为
1/2 QQ1 Y T R1/2 ⎤ ⎥ 0 0 ⎥ ≥0 ⎥ 0 γI ⎥ 0 γI ⎦
j = 1,L , L
在反馈控制律 u(k + i | k) = Fx(k + i | k) 的前提下，若 x(k | k )T Q −1 x(k | k ) ≤ 1 成立（或 x(k | k )T Px(k | k ) ≤ γ , P = γ Q −1 ），则可推出
因此，在k采样时刻，鲁棒预测控制求解如下LMI优化命题
min γ
γ ,Q ,Y
⎡ 1 x ( k | k )T ⎤ s.t. ⎢ ⎥≥0 Q ⎦ ⎣ x(k | k ) ⎡ Q ⎢ A j QT + B jY ⎢ 1/2 ⎢ Q1 Q ⎢ 1/2 ⎣ R Y QAj T + Y T B j T Q 0 0
12
结构化反馈不确定性
对于在反馈回路中存在不确定性的线性时不变系统，鲁棒控制 理论中常用的不确定性描述方法：
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) + B p p (k ) y (k ) = Cx(k ) q (k ) = C p x(k ) + Dqu u (k ) p ( k ) = ( Δq ) ( k )
式中，算子△可以为一个时变分块对角矩阵，即：
⎡ Δ1 ⎤ ⎢ ⎥ Δ2 ⎥ Δ=⎢ ⎢ ⎥ O ⎢ ⎥ Δr ⎦ ⎣ Δ i : R ni → R ni , 且 Δ i (k ) 2 ≡ σ ( Δ i (k ) ) ≤ 1, i = 1, 2,L , r , k ≥ 0 或 ∑ pi ( j ) pi ( j ) ≤ ∑ qi ( j )T qi ( j ) i = 1,L , ri , ∀k ≥ 0
其中 [ A(k ), B(k ) ] ∈ Ω, Ω ∈ Co {[ A1 , B1 ] , [ A2 , B2 ] ,L , [ AL , BL ]} 考虑输入输出约束
u ( k + i|k ) [ A ( k + i ), B ( k + i )]∈Ω ,i ≥ 0
min
max
J ∞ (k ) = ∑ x(k + i | k ) +
u ( k + i|k ) [ A ( k + i ), B ( k + i )]∈Ω ,i ≥ 0
min
max
J ∞(k ) = ∑ x(k + i | k ) +
i =0
∞
{
2 Q1
+ u (k + i | k )
2 R
}
Q1 = Q1T > 0, R = RT > 0 其中
但 J ∞(k) 难于求解，在一定条件下可以将上述极大极小问题转化 17 为极小化鲁棒性能指标上界。
研究思路
以不变集、LMI等作为基本工具
将线性矩阵不等式（LMI）理论引入min-max预测 控制的研究中，它比FIR模型更适用描述更为广泛的 不确定性。 研究凸多面体(多胞）不确定模型、结构化反馈不确定 模型，采用基于LMI理论的MPC综合方法，将min-max 问题转化为包含LMI的min问题，同时考虑输入输出约 束。
T
令 P = γ Q−1, Q > 0 和 Y = FQ，有
⎡ Q ⎢ A(k + i )QT + B(k + i )Y ⎢ 1/2 ⎢ Q1 Q ⎢ R1/2Y ⎣ QA(k + i )T + Y T B (k + i )T Q 0 0
1/2 QQ1 Y T R1/2 ⎤ ⎥ 0 0 ⎥ ≥0 γI 0 ⎥ ⎥ γI ⎦ 0
T j =0 j =0 k k
13
凸多面体不确定性
基于多胞模型的鲁棒预测控制要在模型存在不确定 性的情况下，求解控制输入序列{u(k),u(k+1),……}使 得系统状态最终演化到原点。 预测控制器的设计目标：
稳定性(滚动优化的递归可行性) 初始可行域尽可能大 局部最优性尽量得到保持 在线计算量小 鲁棒性好
24
输入约束
i吵 0
u (k + i | k ) 2 ≤ umax
max u (k + i | k ) 2 = max || YQ- 1 x(k ) ||2
i 0
£ max || YQ- 1 z ||2
z蝁
= l max (Q- 1/2Y T YQ- 1/2 ) 蓿 蓿 Q- 1/2Y T YQ- 1/2 Y TY umax (左乘、右乘Q1/2） Q1/ 2umax Q1/2
14
15
16
鲁棒无约束预测控制
考虑如下线性时变系统
x(k +1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) y(k) = Cx(k)
其中 [ A(k ), B(k ) ] ∈ Ω, Ω ∈ Co {[ A1 , B1 ] , [ A2 , B2 ] ,L , [ AL , BL ]} 鲁棒预测控制算法描述如下： 在采样时刻k，将MPC的min优化问题变为min-max优化问题， 求解控制律在不确定集中最坏情况下的目标函数值极小，即
受扰系统
x(k + 1) = f ( x(k ), u (k )) + w(k ) w(k ) 2 ≤ w
参数不确定系统
x(k +1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)
不可测有界扰动
其中[A(k),B(k)]∈Co{[A1,B1],[A2,B2],……,[Ar,Br]}
4
5
鲁棒预测控制
针对模型[A, B]，若状态位于Q表示的椭圆内，应用反馈律F， 则下一时刻也位于Q内
QHale Waihona Puke Baidu⎯⎯→ Q ⎯⎯→ Q L
A, B F A, B F
23
椭圆不变集
在采样时刻k，假设存在 Q > 0, γ ,Y = FQ 使得下式成立
⎡ Q ⎢ A j QT + B jY ⎢ 1/2 ⎢ Q1 Q ⎢ R1/2Y ⎣ QAj T + Y T B j T Q 0 0
鲁棒预测控制
1
鲁棒预测控制
背景
实际工业过程存在于不确定环境中，总会受到预先 未知的各种不确定性的影响，模型和被控对象之间 也不可避免地存在失配。 基于确定性模型设计的最优控制律应用于实际对象 时可能导致系统性能变差，因此有必要进行模型预 测控制的鲁棒性研究。
2
鲁棒性分析
研究进展
基于内模结构(IMC)研究MPC性能
z蝁
= l max Q1/2 [A(k + i ) + B (k + i ) F ] C T C [A(k + i ) + B (k + i ) F ] 1/2 Q ? ? Q1/2 [A(k i ) + B (k + i ) F ] C T C [A(k + i ) + B (k + i ) F ] 1/2 Q
[ A ( k + j ) B ( k + j )]
max
x(k + i | k )T Q −1 x(k + i | k ) ≤ 1 x(k + i | k )T Px(k + i | k ) ≤ γ
或
[ A ( k + j ) B ( k + j )]
max
Ψ = { z | zT Q−1z ≤ 1} = { z | zT Pz ≤ γ }是不确定系统未来预测状态的不变椭圆集
Kothare (1996) Robust constrained model predictive control using linear matrix inequalities 11
凸多面体（多胞）不确定性
当被控对象工作在多个操作点，且在每个操作点都可 以作为一个线性模型来近似时，可采用以下的描述形式： 多胞模型：x(k +1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) y(k) = Cx(k) 其中[A(k),B(k)]∈Co{[A1,B1],[A2,B2],……,[Ar,Br]} 多胞模型的状态演化
运用Schur补性质，有
2 ⎡umax I ⎢ T ⎣ Y
Y⎤ ⎥≥0 Q⎦
25
输出约束
i吵 0 i 0
y (k + i | k ) 2 ≤ ymax
max y (k + i | k ) 2 = max || C ( A(k + i ) + B (k + i ) F ) x( k + i | k ) ||2 £ max || C ( A(k + i ) + B (k + i ) F ) z ||2
通过调整反馈滤波器的参数可以实现闭环系统的鲁棒性 建立设计参数与鲁棒性的定量关系
MPC系统在模型增益失配和时滞失配的鲁棒性 基于min-max的鲁棒设计思想
将预测控制的在线min问题变为min-max描述，求解控制 律使在不确定性集中最坏情况下的目标函数值最小。
不确定脉冲响应模型
3
鲁棒预测控制
不确定系统
20
对所有的 [ A(k) B(k)] ∈Ω 满足
⎡ Q ⎢ A j QT + B jY ⎢ 1/2 ⎢ Q1 Q ⎢ R1/2Y ⎣ QAj T + Y T B j T Q 0 0
鲁棒无约束预测控制
1/2 QQ1 Y T R1/2 ⎤ ⎥ 0 0 ⎥ ≥0 ⎥ 0 γI ⎥ 0 γI ⎦
j = 1,L , L
u ( k + i| k )
min V ( x(k | k )) = x( k | k )T Px(k | k ), P > 0
18
鲁棒无约束预测控制
最小化鲁棒性能指标的上界V(x(k|k))
u ( k + i| k )
min V ( x(k | k )) = x( k | k )T Px(k | k ), P > 0
鲁棒无约束预测控制
T 假设存在函数 V (x) = x Px, P > 0 使得对于任何 [ A(k) B(k)] ∈Ω ， 函数V(x)满足以下鲁棒不等式约束
V ( x(k + i + 1| k )) − V ( x(k + i | k )) ≤ − ⎡ x(k + i | k )T Q1 x(k + i | k ) + u (k + i | k )T Ru (k + i | k ) ⎤ ⎣ ⎦
j = 1,L , L
控制作用为 u (k + i | k ) = Fx(k + i | k ) = YQ −1 x(k + i | k )
21
鲁棒约束预测控制
考虑如下线性时变系统
x(k +1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) y(k) = Cx(k)
6
一、线性矩阵不等式
一个线性矩阵不等式(LMI)具有如下形式：
7
一、线性矩阵不等式
8
一、线性矩阵不等式
矩阵的Schur补性质
9
一、线性矩阵不等式
10
二、模型不确定性
采用脉冲响应模型或阶跃响应模型等非参数模型，模型的不确 定性体现在相应脉冲响应系数或阶跃响应系数的不确定性。 使用状态空间模型的预测控制，其模型不确定性的描述方法主 要有以下两种类型： 多面体(多胞) 不确定性 结构化反馈 不确定性
i =0
∞
{
2 Q1
+ u (k + i | k )
2 R
}
s.t.
u (k + i | k ) 2 ≤ umax y (k + i | k ) 2 ≤ ymax
在优化问题中增加额外的LMI。
22
椭圆不变集
模型：[A, B] 椭圆：Q 椭圆内反馈律：F
⎡ Q −1 不变集表示形式： ⎢ ⎣ A + BF AT + F T BT ⎤ ⎥≥0 Q ⎦
对于上式，从i=0到∞进行累加，则有
−V ( x(k | k )) ≤ − J ∞ (k )
[ A ( k + i ), B ( k + i )]∈Ω ,i ≥ 0
max
J ∞ (k ) ≤ V ( x(k | k ))
上式给出了鲁棒性能指标的上界值。 因此在采样时刻k，鲁棒预测控制算法求解控制律，以最小化 鲁棒性能指标的上界V(x(k|k))，即
x ( k + i | k )T
{[ A(k + i) + B(k + i) F ] P [ A(k + i) + B(k + i) F ] − P + F T RF + Q1} x(k + i | k ) ≤ 0
T
若下式成立，则上式满足
[ A(k + i) + B(k + i) F ] P [ A(k + i) + B(k + i) F ] − P + F T RF + Q1 ≤ 0
等价于如下优化问题
min γ
γ ,P
s.t. x(k | k )T Px(k | k ) ≤ γ
令 Q = γ P−1 > 0 ，同时运用Schur补性质，进一步转化为
min γ
γ ,Q
⎡ 1 x(k | k)T ⎤ s.t. ⎢ ⎥ ≥0 Q ⎦ ⎣x(k | k)
19
鲁棒无约束预测控制
假设未来控制作用由反馈控制律 u(k + i | k) = Fx(k + i | k), i ≥ 0 加以 确定，那么鲁棒不等式约束为
1/2 QQ1 Y T R1/2 ⎤ ⎥ 0 0 ⎥ ≥0 ⎥ 0 γI ⎥ 0 γI ⎦
j = 1,L , L
在反馈控制律 u(k + i | k) = Fx(k + i | k) 的前提下，若 x(k | k )T Q −1 x(k | k ) ≤ 1 成立（或 x(k | k )T Px(k | k ) ≤ γ , P = γ Q −1 ），则可推出
因此，在k采样时刻，鲁棒预测控制求解如下LMI优化命题
min γ
γ ,Q ,Y
⎡ 1 x ( k | k )T ⎤ s.t. ⎢ ⎥≥0 Q ⎦ ⎣ x(k | k ) ⎡ Q ⎢ A j QT + B jY ⎢ 1/2 ⎢ Q1 Q ⎢ 1/2 ⎣ R Y QAj T + Y T B j T Q 0 0
12
结构化反馈不确定性
对于在反馈回路中存在不确定性的线性时不变系统，鲁棒控制 理论中常用的不确定性描述方法：
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) + B p p (k ) y (k ) = Cx(k ) q (k ) = C p x(k ) + Dqu u (k ) p ( k ) = ( Δq ) ( k )
式中，算子△可以为一个时变分块对角矩阵，即：
⎡ Δ1 ⎤ ⎢ ⎥ Δ2 ⎥ Δ=⎢ ⎢ ⎥ O ⎢ ⎥ Δr ⎦ ⎣ Δ i : R ni → R ni , 且 Δ i (k ) 2 ≡ σ ( Δ i (k ) ) ≤ 1, i = 1, 2,L , r , k ≥ 0 或 ∑ pi ( j ) pi ( j ) ≤ ∑ qi ( j )T qi ( j ) i = 1,L , ri , ∀k ≥ 0
其中 [ A(k ), B(k ) ] ∈ Ω, Ω ∈ Co {[ A1 , B1 ] , [ A2 , B2 ] ,L , [ AL , BL ]} 考虑输入输出约束
u ( k + i|k ) [ A ( k + i ), B ( k + i )]∈Ω ,i ≥ 0
min
max
J ∞ (k ) = ∑ x(k + i | k ) +
u ( k + i|k ) [ A ( k + i ), B ( k + i )]∈Ω ,i ≥ 0
min
max
J ∞(k ) = ∑ x(k + i | k ) +
i =0
∞
{
2 Q1
+ u (k + i | k )
2 R
}
Q1 = Q1T > 0, R = RT > 0 其中
但 J ∞(k) 难于求解，在一定条件下可以将上述极大极小问题转化 17 为极小化鲁棒性能指标上界。
研究思路
以不变集、LMI等作为基本工具
将线性矩阵不等式（LMI）理论引入min-max预测 控制的研究中，它比FIR模型更适用描述更为广泛的 不确定性。 研究凸多面体(多胞）不确定模型、结构化反馈不确定 模型，采用基于LMI理论的MPC综合方法，将min-max 问题转化为包含LMI的min问题，同时考虑输入输出约 束。
T
令 P = γ Q−1, Q > 0 和 Y = FQ，有
⎡ Q ⎢ A(k + i )QT + B(k + i )Y ⎢ 1/2 ⎢ Q1 Q ⎢ R1/2Y ⎣ QA(k + i )T + Y T B (k + i )T Q 0 0
1/2 QQ1 Y T R1/2 ⎤ ⎥ 0 0 ⎥ ≥0 γI 0 ⎥ ⎥ γI ⎦ 0
T j =0 j =0 k k
13
凸多面体不确定性
基于多胞模型的鲁棒预测控制要在模型存在不确定 性的情况下，求解控制输入序列{u(k),u(k+1),……}使 得系统状态最终演化到原点。 预测控制器的设计目标：
稳定性(滚动优化的递归可行性) 初始可行域尽可能大 局部最优性尽量得到保持 在线计算量小 鲁棒性好
24
输入约束
i吵 0
u (k + i | k ) 2 ≤ umax
max u (k + i | k ) 2 = max || YQ- 1 x(k ) ||2
i 0
£ max || YQ- 1 z ||2
z蝁
= l max (Q- 1/2Y T YQ- 1/2 ) 蓿 蓿 Q- 1/2Y T YQ- 1/2 Y TY umax (左乘、右乘Q1/2） Q1/ 2umax Q1/2
14
15
16
鲁棒无约束预测控制
考虑如下线性时变系统
x(k +1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) y(k) = Cx(k)
其中 [ A(k ), B(k ) ] ∈ Ω, Ω ∈ Co {[ A1 , B1 ] , [ A2 , B2 ] ,L , [ AL , BL ]} 鲁棒预测控制算法描述如下： 在采样时刻k，将MPC的min优化问题变为min-max优化问题， 求解控制律在不确定集中最坏情况下的目标函数值极小，即
受扰系统
x(k + 1) = f ( x(k ), u (k )) + w(k ) w(k ) 2 ≤ w
参数不确定系统
x(k +1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)
不可测有界扰动
其中[A(k),B(k)]∈Co{[A1,B1],[A2,B2],……,[Ar,Br]}
4
5
鲁棒预测控制
针对模型[A, B]，若状态位于Q表示的椭圆内，应用反馈律F， 则下一时刻也位于Q内
QHale Waihona Puke Baidu⎯⎯→ Q ⎯⎯→ Q L
A, B F A, B F
23
椭圆不变集
在采样时刻k，假设存在 Q > 0, γ ,Y = FQ 使得下式成立
⎡ Q ⎢ A j QT + B jY ⎢ 1/2 ⎢ Q1 Q ⎢ R1/2Y ⎣ QAj T + Y T B j T Q 0 0
鲁棒预测控制
1
鲁棒预测控制
背景
实际工业过程存在于不确定环境中，总会受到预先 未知的各种不确定性的影响，模型和被控对象之间 也不可避免地存在失配。 基于确定性模型设计的最优控制律应用于实际对象 时可能导致系统性能变差，因此有必要进行模型预 测控制的鲁棒性研究。
2
鲁棒性分析
研究进展
基于内模结构(IMC)研究MPC性能
z蝁
= l max Q1/2 [A(k + i ) + B (k + i ) F ] C T C [A(k + i ) + B (k + i ) F ] 1/2 Q ? ? Q1/2 [A(k i ) + B (k + i ) F ] C T C [A(k + i ) + B (k + i ) F ] 1/2 Q
[ A ( k + j ) B ( k + j )]
max
x(k + i | k )T Q −1 x(k + i | k ) ≤ 1 x(k + i | k )T Px(k + i | k ) ≤ γ
或
[ A ( k + j ) B ( k + j )]
max
Ψ = { z | zT Q−1z ≤ 1} = { z | zT Pz ≤ γ }是不确定系统未来预测状态的不变椭圆集
Kothare (1996) Robust constrained model predictive control using linear matrix inequalities 11
凸多面体（多胞）不确定性
当被控对象工作在多个操作点，且在每个操作点都可 以作为一个线性模型来近似时，可采用以下的描述形式： 多胞模型：x(k +1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) y(k) = Cx(k) 其中[A(k),B(k)]∈Co{[A1,B1],[A2,B2],……,[Ar,Br]} 多胞模型的状态演化
运用Schur补性质，有
2 ⎡umax I ⎢ T ⎣ Y
Y⎤ ⎥≥0 Q⎦
25
输出约束
i吵 0 i 0
y (k + i | k ) 2 ≤ ymax
max y (k + i | k ) 2 = max || C ( A(k + i ) + B (k + i ) F ) x( k + i | k ) ||2 £ max || C ( A(k + i ) + B (k + i ) F ) z ||2
通过调整反馈滤波器的参数可以实现闭环系统的鲁棒性 建立设计参数与鲁棒性的定量关系
MPC系统在模型增益失配和时滞失配的鲁棒性 基于min-max的鲁棒设计思想
将预测控制的在线min问题变为min-max描述，求解控制 律使在不确定性集中最坏情况下的目标函数值最小。
不确定脉冲响应模型
3
鲁棒预测控制
不确定系统
20
对所有的 [ A(k) B(k)] ∈Ω 满足
⎡ Q ⎢ A j QT + B jY ⎢ 1/2 ⎢ Q1 Q ⎢ R1/2Y ⎣ QAj T + Y T B j T Q 0 0
鲁棒无约束预测控制
1/2 QQ1 Y T R1/2 ⎤ ⎥ 0 0 ⎥ ≥0 ⎥ 0 γI ⎥ 0 γI ⎦
j = 1,L , L
u ( k + i| k )
min V ( x(k | k )) = x( k | k )T Px(k | k ), P > 0
18
鲁棒无约束预测控制
最小化鲁棒性能指标的上界V(x(k|k))
u ( k + i| k )
min V ( x(k | k )) = x( k | k )T Px(k | k ), P > 0
鲁棒无约束预测控制
T 假设存在函数 V (x) = x Px, P > 0 使得对于任何 [ A(k) B(k)] ∈Ω ， 函数V(x)满足以下鲁棒不等式约束
V ( x(k + i + 1| k )) − V ( x(k + i | k )) ≤ − ⎡ x(k + i | k )T Q1 x(k + i | k ) + u (k + i | k )T Ru (k + i | k ) ⎤ ⎣ ⎦