初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第20章同余试题新人教版

第20章 同 余

20.1.1★(1)证明：任意平方数除以4，余数为0或1；

(2)证明：任意平方数除以8，余数为0、1或4．

解析 (1)因为

奇数()2

22214411(mod 4)k k k =+=++≡，

偶数()222240(mod4)k k ==≡，

所以，正整数21(mod 4),;0(mod 4),.n n n ⎧≡⎨⎩奇偶为数为数 (2)奇数可以表示为21k +，从而

奇数()22441411k k k k =++=++．

因为两个连续整数k 、1k +中必有一个是偶数，所以()41k k +是8的倍数，从而

奇数()2811mod8i =+≡．

又，偶数()2

2224k k ==(k 为整数)．

若k =偶数2t =，则()224160mod 8k t ==．

若k =奇数21t =+，则 ()()2

2244211644(mod8)k t t t =+=++≡． 所以，平方数()()()0mod8,1mod8,4mod8.

⎧⎪≡⎨⎪⎩

评注 事实上，我们也可以这样来证：因为对任意整数a ，有0a ≡，±1，2(mod4)，所以，0a ≡，1(mod4)；又a ≡0，±1，±2，±3，4(mod8)，所以，2a ≡0，1，()4mod8．

20.1.2★求证：一个十进制数被9除所得的余数，等于它的各位数字被9除所得的余数．

解析 设这个十进制数1210n n A a a a a a -=．

因10≡1(mod9)，故对任何整数k ≥1，有

()1011mod9k k ≡=．

因此

1210n n A a a a a a -=

1110101010n n n n a a a a --=⨯+⨯++⨯+

()110mod9n n a a a a -≡++

++．

即A 被9除所得的余数等于它的各位数字之和被9除所得的余数．

评注 (1)特别地，一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除．(2)算术中的“弃九

验算法”就是依据本题的结论．

20.1.3★★求证：(1)()199985517+；

(2)()2837n +；

(3)()100017191-．

解析 (1)因()551mod8≡-，所以

()1999551mod8≡-，

()19995517117160mod8+≡-+=≡， 于是19998(5517)+．

(2)因为2391(mod8)=≡，231(mod8)n ≡，所以()237170mod8n +≡+≡，即

()2837n +．

(3)因为()192mod17≡，()44192161mod17≡=≡-，所以

()()()25025010004191911mod17=≡-≡，

于是

()100017191-．

20.1.4★★对任意的正整数n ，证明：2903803464261n n n n A =--+能被1897整除．

解析 18977271=⨯，7与271互质．因为

()29035mod7≡，()8035mod7≡，

()4642mod7≡，()2612mod7≡，

所以()290380346426155220mod7n n n n n n n n A =--+≡--+=，故7|A

又因为

()2903193mod271≡，

()803261mod271≡，

()464193mod271≡，

所以

2903803464261n n n n

A =--+

()1932611932610mod271n n n n ≡--+=，故271|A 因(7，271)=1，所以1897整除A ．

20.1.5★证明：2222555555552222+能被7整除．

解析 因为()55554mod7≡，()34641mod7≡≡，

所以 ()22222222222205555444162mod 7≡≡⋅≡≡．

因为 ()22223mod7≡，()232mod7≡，()231mod7≡，所以

55555555555502222333≡≡⋅

()9252263333223≡⋅⋅⋅≡⋅⋅

()5mod7≡．

于是

()()()222255555555222225mod 70mod 7+≡+≡，

即 222255557|55552222+．

20.1.6★★求最大的正整数n ，使得102431-能被2n 整除．

解析 因为

()()()

()()1024512256112831313313131+-=+++-，①

而对于整数k ≥1，有 ()()2231112mod4k

k +≡-+=，

所以，①式右边的11个括号中，(3+1)是4的倍数，其他的10个都是2的倍数，但不是4的倍数．故n 的最大值为12．

20.1.7★求使21n -为7的倍数的所有正整数n ．

解析 因为()3281mod 7≡≡，所以对n 按模3进行分类讨论．

(1)若3n k =，则

()()3212181110mod7k n k k -=-=-≡-=； (2)若31n k =+，则

()321221281k

n k -=⋅-=⋅- ()2111mod 7k ≡⋅-=;

(3)若32n k =+，则

()2321221481k

n k -=⋅-=⋅- ()4113mod 7k ≡⋅-=．