《大学物理》第二版课后习题答案第九章
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习题精解
9-1.在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端,如图9-1所示,试证明物体m 的左右运动为简谐振动,并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k 1和k 2. 解:取物体在平衡位置为坐标原点,则物体在任意位置时受的力为 12()F k k x =-+ 根据牛顿第二定律有
2122()d x
F k k x ma m dt
=-+==
化简得
212
20k k d x x dt m
++
= 令2
12k k m
ω+=则22
20d x x dt ω+=所以物体做简谐振动,其周期
22T π
ω
=
=;
9-2 如图所示在电场强度为E 的匀强电场中,放置一电偶极矩P=ql 的电偶极子,+q 和-q 相距l ,且l 不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度,扰动消息后,这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动,并求其振动周期。设电荷的质量皆为m ,重力忽略不计。
解 取逆时针的力矩方向为正方向,当电偶极子在如图所示位置时,电偶极子所受力矩为 sin sin sin 22
l l
M qE qE qEl θθθ=--=- 电偶极子对中心O 点的转动惯量为
2
2
21
222
l l J m m ml ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由转动定律知
2221sin 2d M qEl J ml dt
θθβ=-==•
化简得
222sin 0d qE
dt ml
θθ+= 当角度很小时有sin 0θ≈,若令2
2qE
ml
ω=
,则上式变为 ~
222sin 0d dt
θ
ωθ+= 所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为
22T π
ω
=
= 9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上,成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时,上下为自由振动的频率应保持在 1.3v Hz = 附近,与人的步行频率接近,才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时,每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度
解 汽车正常载重时的质量为m ,振子总劲度系数为k ,则振动的周期为2T π
=
率为1v T =
= 正常载重时弹簧的压缩量为
22220.15()44mg T g x g m k v
ππ====
9-4 一根质量为m ,长为l 的均匀细棒,一端悬挂在水平轴O 点,如图所示。开始棒在平衡
位置OO ,
处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手,棒将在重力矩作用下,绕O 点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。
若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力,棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下,细棒的摆动为简谐振动,并求其振动周期。
解 设在某一时刻,细棒偏离铅直线的角位移为θ,并规定细棒在平衡位置向右时θ为正,在向左时为负,则力矩为 .
1
sin 2
M mg l θ
=-
负号表示力矩方向与角位移方向相反,细棒对O 点转动惯量为2
13
J ml =
,根据转动定律有
222
11sin 23d M mgl J ml dt
θθβ=-== 化简得
223sin 02d g
dt l
θθ+= 当θ很小时有sin θθ≈,若令2
32g
l
ω=
则上式变为
222sin 0d dt
θ
ωθ+=
所以细棒的摆动为简谐振动,其周期为
22T π
ω
=
= >
9-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子,振幅2
210A m -=⨯,周期0.50T s =,当t=0时, (1)物体在正方向的端点; (2)物体在负方向的端点;
(3) 物体在平衡位置,向负方向运动; (4)物体在平衡位置,向负方向运动; (5)物体在2
1.010x m -=⨯处向负方向运动
(6)物体在21.010x m -=-⨯处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。 解 由题意知2122.010,0.5,4A m T s s T
π
ωπ--=⨯==
= (1)由初始条件得初想为是10ϕ=,所以振动方程为
2210cos 4()x m π-=⨯
"
(2)由初始条件得初想为是2ϕπ=,所以振动方程为
2210cos(4)()x t m ππ-=⨯+
(3)由初始条件得初想为是32
πϕ=,所以振动方程为
2210cos(4)()2
x t m π
π-=⨯+
(4)由初始条件得初想为是432
π
ϕ=,所以振动方程为
23210cos(4)()2
x t m π
π-=⨯+
(5)因为2052110cos 0.5210x A ϕ--⨯===⨯,所以55,33ππϕ=,取53
πϕ=(因为速度小于零),所以振动方程为
2210cos(4)()3
x t m π
π-=⨯+
(6)2062110cos 0.5210x A ϕ---⨯===-⨯,所以624,33ππϕ=,取643
πϕ=(因为速度大于零),