《大学物理》第二版课后习题答案第九章

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习题精解

9-1.在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端,如图9-1所示,试证明物体m 的左右运动为简谐振动,并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k 1和k 2. 解:取物体在平衡位置为坐标原点,则物体在任意位置时受的力为 12()F k k x =-+ 根据牛顿第二定律有

2122()d x

F k k x ma m dt

=-+==

化简得

212

20k k d x x dt m

++

= 令2

12k k m

ω+=则22

20d x x dt ω+=所以物体做简谐振动,其周期

22T π

ω

=

=;

9-2 如图所示在电场强度为E 的匀强电场中,放置一电偶极矩P=ql 的电偶极子,+q 和-q 相距l ,且l 不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度,扰动消息后,这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动,并求其振动周期。设电荷的质量皆为m ,重力忽略不计。

解 取逆时针的力矩方向为正方向,当电偶极子在如图所示位置时,电偶极子所受力矩为 sin sin sin 22

l l

M qE qE qEl θθθ=--=- 电偶极子对中心O 点的转动惯量为

2

2

21

222

l l J m m ml ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

由转动定律知

2221sin 2d M qEl J ml dt

θθβ=-==•

化简得

222sin 0d qE

dt ml

θθ+= 当角度很小时有sin 0θ≈,若令2

2qE

ml

ω=

,则上式变为 ~

222sin 0d dt

θ

ωθ+= 所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为

22T π

ω

=

= 9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上,成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时,上下为自由振动的频率应保持在 1.3v Hz = 附近,与人的步行频率接近,才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时,每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度

解 汽车正常载重时的质量为m ,振子总劲度系数为k ,则振动的周期为2T π

=

率为1v T =

= 正常载重时弹簧的压缩量为

22220.15()44mg T g x g m k v

ππ====

9-4 一根质量为m ,长为l 的均匀细棒,一端悬挂在水平轴O 点,如图所示。开始棒在平衡

位置OO ,

处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手,棒将在重力矩作用下,绕O 点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。

若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力,棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下,细棒的摆动为简谐振动,并求其振动周期。

解 设在某一时刻,细棒偏离铅直线的角位移为θ,并规定细棒在平衡位置向右时θ为正,在向左时为负,则力矩为 .

1

sin 2

M mg l θ

=-

负号表示力矩方向与角位移方向相反,细棒对O 点转动惯量为2

13

J ml =

,根据转动定律有

222

11sin 23d M mgl J ml dt

θθβ=-== 化简得

223sin 02d g

dt l

θθ+= 当θ很小时有sin θθ≈,若令2

32g

l

ω=

则上式变为

222sin 0d dt

θ

ωθ+=

所以细棒的摆动为简谐振动,其周期为

22T π

ω

=

= >

9-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子,振幅2

210A m -=⨯,周期0.50T s =,当t=0时, (1)物体在正方向的端点; (2)物体在负方向的端点;

(3) 物体在平衡位置,向负方向运动; (4)物体在平衡位置,向负方向运动; (5)物体在2

1.010x m -=⨯处向负方向运动

(6)物体在21.010x m -=-⨯处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。 解 由题意知2122.010,0.5,4A m T s s T

π

ωπ--=⨯==

= (1)由初始条件得初想为是10ϕ=,所以振动方程为

2210cos 4()x m π-=⨯

"

(2)由初始条件得初想为是2ϕπ=,所以振动方程为

2210cos(4)()x t m ππ-=⨯+

(3)由初始条件得初想为是32

πϕ=,所以振动方程为

2210cos(4)()2

x t m π

π-=⨯+

(4)由初始条件得初想为是432

π

ϕ=,所以振动方程为

23210cos(4)()2

x t m π

π-=⨯+

(5)因为2052110cos 0.5210x A ϕ--⨯===⨯,所以55,33ππϕ=,取53

πϕ=(因为速度小于零),所以振动方程为

2210cos(4)()3

x t m π

π-=⨯+

(6)2062110cos 0.5210x A ϕ---⨯===-⨯,所以624,33ππϕ=,取643

πϕ=(因为速度大于零),

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