拉普拉斯变换

F (s)
t 0 0, Re(s) s 0
sin t 例：求信号 (t ) f 0
1 e - s F ( s) 2 s 1
0 t 的Laplace 变换。 其它
f (t ) sin(t )u(t ) sin(t - )u(t - ) Re(s) -
- skT
F1 ( s ) F1 ( s) 1 - e - sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1 0 t
1
2
3 4 Ü Ú ½ ¨Å Å Ö Æ ·² Ð º
5
1 - e-s L[u (t ) - u (t - 1)] s 1 - e- s 1 1 F ( s) -2 s -s s 1- e s(1 e )
试用Laplace变换求h(t) 。 解：对方程两边做L变换
s2H(s)+H(s)=1 H(s)=1/(s2+1) h(t)=sin(t)u(t)
8)积分特性（Integration property） f (t ) L F ( s ) Re( s ) s 0 若 则有
0-

t
F ( s) f ( )d s
Re(s)>0
L[
L[
t
-
f ( )d ]
f ( )d - f ( )d ]
0
t
0-
t
-
( -1)
L[ f
f
(0 )] L[ - f ( )d ]
0
-
( -1)
(0 ) F ( s ) s s
9)初值定理和终值定理 f (t ) L F ( s ) Re( s ) s 0 若 f (t ) f (0 ) lim sF ( s ) 则有 lim
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换， 从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质 是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
例：利用拉氏变换计算f(t)=e-a tu(t)e-b tu(t) a b
1 A B L[ f (t )] F ( s) ( s a )(s b ) s a s b
A F (s)(s a )
B F ( s )( s b )
s -a
1 -a b 1 - b a
则有
Re( s ) s 1 Re( s ) s 2
a 1 f 1 ( t ) a 2 f 2 ( t ) L a 1 F1 ( s ) a 2 F 2 ( s ) Re( s ) max( s 1 , s 2 )
例：求信号f(t) = u(t)-u(t-1)的Laplace变换。
0


- t 1 1 s a f (t )e dt F ( ) a a a
s
收敛域：
Re(s/a) s0
Re(s) as0
3)时移特性（Time Shifting）
f (t ) L F (s) 若 Re(s) s 0
L - st 0
则有 f (t - t0 )u(t - t0 ) e
(1 - e - s )(e -2 s - e -4 s ) e -2 s - e -4 s - e -3s e -5 s Y ( s) 2 s s2
y(t ) (t - 2)u (t - 2) - (t - 3)u (t - 3) - (t - 4)u (t - 4) (t - 5)u (t - 5)
- st 0-
Re( s) s 0
f (t )e
-

- f (0- ) sF (s) f (t )(- se )dt
- st
0-
重复应用微分性质:
L[ f ' (t ) ' ] s ( sF ( s ) - f (0 - )) - f ' (0 - )
s F (s) - sf (0 ) - f ' (0 )
t 0 s
lim f (t ) f () lim sF ( s )
t s 0
证：由微分性质有
0
sF (s) - f (0 ) - f ' (t )e dt
- st 0

- f ' (t )e dt f ' (t )e dt
- st - st 0 0
k1 (s)F (s) s0 2 / 3
k2 (s 1)F (s) s-1 -1/ 2
k3 (s 3)F (s) s-3 -1/ 6 2 1 -t 1 - 3t f (t ) u (t ) - e u (t ) - e u (t ) 3 2 6
s-2 [例] 用部分分式展开法求F(s)的反变换 F ( s ) s ( s 1) 3 k13 k11 k12 k2 F ( s) 2 3 ( s 1) ( s 1) ( s 1) s k2 sF (s) s0 -2
lt

elt u(t)
Байду номын сангаас
基本信号的拉普拉斯变换 （l为复常数）
lt - st
w0 L[sin(w0t )u(t )] 2 2 s w0
Re(s) 0
单边拉普拉斯的基本性质 (properties of Laplace Transform)
1) 线性特性(linearity) f 1 ( t ) L F1 ( s ) 若 L F2 ( s ) f 2 ( t )
2
-
-
例： L[u (t )] 1 / s
L[ (t ) u ' (t )] sL[u(t )] - u(0 ) 1 L[ ' (t )] sL[ (t )] - (0 ) s
-
-
例：已知一LTI系统单位冲激响应h(t)满足的微分方程为
h''(t)+h(t) = (t)
L
Re( s ) max( s 0 ,0)
证：L[ f ( )d ] L[ f (t ) u(t )]
L[ f (t )] L[u(t )] F (s) / s
0-
t
1 例： L[u(t )] Re(s)>0 s t 1 L[u (t )] 2 L[r (t ) u ( )d ] 0 s s
拉普拉斯变换
1. 单边拉普拉斯变换的定义
L[ f (t )] F (s) - f (t )e -st dt
0

2、单边拉普拉斯变换的收敛域 拉普拉斯变换存在的充分条件为：
jw
Ê Õ Á ² Ó ò


-
0
f (t )e-s t dt
s R
s0
0
s
F (s)的ROC为：s s 0
s - b
1 -at - bt f (t ) (e - e )u (t ) -a b
5)频域位移----指数加权特性 （s-domain shift） L f (t ) F ( s ) Re( s ) s 0 若 则有
e - l t f (t ) L F ( s l )
例：单边周期信号的Laplace变换。 单边周期信号的定义： f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
f(t)
0
T
f (t ) 0 t T 定义：f1 (t ) 其它 0

2T 3T ¥ ±Ü Ú Å Å µ ß Ö Æ Ð º
t
f (t ) k 0 f1 (t - kT )u (t - kT ) L[ f (t )] k 0 e
-lt
Re( s ) s 0 - l
证：L[e
f (t )]

0
f (t )e-(l s )t dt F ( s l )
Re(s) -l
L[e
-lt
sl cosw0t u(t )] 2 (s l )2 w0
6) 线性加权性质---s域微分 （differentiation in the s-domain） 若 f (t ) L F (s) Re(s) s 0 dF ( s) L Re( s) s 0 则有 tf (t ) - ds
1 Re(s) Re(l ) L[e u(t )] - e e dt 0 s-l 1 L[u (t )] Re(s) 0 s 1 jw 0 t e u (t ) s - jw 0 s jw 0 1 L[cosw 0t j sin w 0t ] 2 2 s - jw 0 s w0 s L[cos( 0t )u(t )] 2 w Re(s) 0 2 s w0
证： F ( s) - - f (t )e - st dt 0
dF ( s ) - tf (t )e - st dt L[tf (t )] 0 ds

1 例： L[u(t )] Re(s)>0 s d 1 1 L[tu (t )] - ( ) 2 ds s s
d 1 2 L[t u (t )] - ( 2 ) 3 ds s s n! n L[t u(t )] n 1 s

f (0 ) - f (0 ) f ' (t )e dt
- st 0

sF (s) f (0 ) f ' (t )e dt
- st 0

拉普拉斯反变换 (Inversion of Laplase transform)
方法： (1)利用复变函数中的留数定理 (2)采用部分分式展开法
y (t )
t-2
1
5-t
0
2
3
4 5
t
7)时域微分特性（differentiation in the time-domain） L f (t ) F ( s ) Re( s ) s 0 若 则有
df (t ) L sF ( s) - f (0 ) dt df (t ) - st df (t ) L - dt e dt dt 0
2
n! L[t e u(t )] n 1 (s l )
n - lt
Re(s)>-l
例：已知f1(t)=u(t)-u(t-1), f2(t)=u(t-2)-u(t-4) 计算：y(t)=f1(t)f2(t)
1 - e-s F1 ( s ) s
e -2 s - e -4 s F2 ( s) s
- st
L[ f1 (t ) f 2 (t )]
0

0
(

0
f1 ( ) f 2 (t - )d )e dt
f1 ( )(
0
f 2 (t - )e -st dt) d
- s
0
f1 ( ) F2 ( s)e
d F1 ( s) F2 ( s)
基本思路： n - lt n 1 利用 L[t e u (t )] n! /( s l ) ，把 F(s)展开为 K /( s l ) n 1 项的和，即可得出原函数。
[例] 用部分分式展开法求 (s) 的反变换 F s2 F ( s) 3 s 4s 2 3s s2 k3 k1 k2 s2 F (s) 3 2 s 4 s 3s s ( s 1)(s 3) s s 1 s 3
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution） f 1 (t ) L F1 ( s ) Re( s ) s 1 若 L f 2 (t ) F2 ( s ) Re( s ) s 2 则有
f 1 (t ) f 2 (t ) L F1 ( s ) F2 ( s ) Re( s ) max( s 1 , s 2 )
1 - e-s F (s) s
Re(s) -
2)展缩特性（time scaling） f (t ) L F ( s ) Re( s ) s 0 若 1 s L F ( ) a 0, Re( s ) as 0 则有 f (at ) a a
L[ f (t )] - f (at)e-st dt 0