三角函数与解三角形(全国卷第17题)
押新课标全国卷第17题-备战2020年高考数学(理)临考题号押题(解析版)
押新课标全国卷第 17 题
高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆
题号
考情分析
考查知识点 分值
预测知识点
解三角形问题是高考的高
频考点，命题大多放在解答题的
第一题，主要考查利用三角形的
预计 2020 年高考新课标全国
内角和定理，正、余弦定理，三 正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
2.（2019 新课标全国卷Ⅲ理）） ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 a sin A C b sin A ． 2
（1）求 B ；
（2）若 ABC 为锐角三角形，且 c 1，求 ABC 面积的取值范围．
3 cosC 2
3
sin
C
6
6
sin
C
6
2 2
由 C (0, 2 ),C ( , ) ，所以 C ,C
3
6 62
6 4 46
公众号：逆流资源库 免费分享
sin C
sin(
)
6
2.
46
4
【点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，
【答案】(1)
B
3
;(2)
(
3, 8
3). 2
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B的三角方程，最后根据 A,B,C 均为三角形内角解得 B .(2) 3
根据三角形面积公式 S ABC
1 2
ac sin
B ，又根据正弦定理和 c
1得到 S ABC
关于 C 的函数，由于 △ABC
三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。
根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。
根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。
根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。
根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。
2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。
2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。
4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。
5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。
6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。
《三角函数与解三角形》专题训练
一、单选题1.在△ABC中，B=π4，sin A=，AC=4，则BC=（）.A．5B．6C．7D．82.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1+2cos C)=2sin A⋅cos C+cos A sin C，则下列等式成立的是（）.A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A3.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（）.A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.由增加的长度决定4.在ΔABC中，a2+b2+c2=23ab sin C，则ΔABC 的形状是（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为（）.A.50mB.100mC.120mD.150m6.在ΔABC中，“z=12x-y”是“ΔABC为钝角三角形”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知锐角A是ΔABC的一个内角，a,b,c是三角形中各角的对应边，若sin2A-cos2A=12，则下列各式正确的是（）.A.b+c=2aB.b+c<2aC.b+c≤2aD.b+c≥2a8.1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为()0,a，()0,b()0<b<a.设点C的坐标为()c,0，当∠ACB最大时，c=（）.图1图2A.2abB.abC.2abD.ab二、多选题9.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）.A.b=10，A=45°，C=70°B.b=45，c=48，B=60°C.a=14，b=16，A=45°D.a=7，b=5，A=80°10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）.A.a2=b2+c2-2bc cos AB.a sin B=b sin AC.a=b cos C+c cos BD.a cos B+b cos A=sin C11.下列命题中，正确的是（）.A.在△ABC中，若A>B，则sin A>sin BB.在锐角△ABC中，不等式sin A>sin B恒成立C.在△ABC中，若a cos A=b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，59b，c，若1tan A，1tan B，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）.A.a，b，c依次成等差数列B.a，b，c依次成等差数列C.a2，b2，c2依次成等差数列D.a3，b3，c3依次成等差数列三、填空题13.如图3，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值.图314.在ΔABC中，若C=π4，且1sin2A=1+tan A tan B，则BCAC的值为______.15．如图4，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m.图416.已知ΔABC满足A=π3，( AB+ AC)∙ BC=0，点M在ΔABC外，且|MB|=2|MC|=2，则MA的取值范围是________．四、解答题17.已知在ΔABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且满足b=a cos C+c sin A．（1）求A的大小；（2）若cos B=25,BC=5, BD=17 BA，求CD的长．18.在①cos A=35，cos C=，②c sin C=sin A+b sin B，B=60°，③c=2，cos A=18三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，______，求△ABC的面积S.19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A=a cosæèöøB-π6.（1）求角B的大小；（2）若a=2，c=3，求cos()A-B的值.20.在ΔABC中，若||||||AC→=23，且 AB∙cos C+ BC∙cos A= AC∙sin B.（1）求角B的大小；（2）求ΔABC的面积S.21.在ΔABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足2a-b c=cos B cos C．（1）求角C的大小；（2）设函数f(x)=2sin x cos x cos C+2sin2x sin C求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域.22.如图5，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：tan A2=1-cos Asin A;（2）若A+C=180∘,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan A2+tan B2+tan C2+tan D2的值.A B图560参考答案与解析一、单选题1-8AACDA DCD 二、多选题9.BC ；10.ABC ；11.ABD ；12.ABD.三、填空题13.；14.；15.1006;16.[1,3]．四、解答题17.【解析】（1）在三角形ABC 中，由正弦定理得sin B =sin A cos C +sin C sin A ，因为sin B =sin []π-()A +C =sin ()A +C ，所以sin ()A +C =sin A cos C +sin C sin A ，即sin A cos C +sin C cos A =sin A cos C +sin C sin A ，整理得sin C cos A =sin C sin A ，由sin C ≠0，可得cos A =sinA ，所以A =π4.（2）在三角形ABC 中，sin B =1-cos 2B =45，（3）由AC sin B=BCsin A 可得AC 45=，解得AC =42，又因为cos C =-cos(A +B)=-cos A cos B +sin A sin B =，所以AB 2=AC 2+BC 2-2AC ∙BC ∙=32+25-2×42×5×=49，所以AB =7，由BD =17BA 可得BD =1，于是CD 2=BD 2+BC 2-2BD ∙cos B=1+25-2×1×520，所以CD =25.18.【解析】若选①.∵cos A =35，cos C，∴sin A=45，sin C，∴sin B =sin A +C =sin A cos C +cos A sin C ，=4535×，由正弦定理得b =a sinB sin A=3×2545=，∴S =12ab sin C =12×3×=9940.若选②.∵c sin C =sin A +b sin B ，∴由正弦定理得c 2=a +b 2.∵a =3，∴b 2=c 2-3.又∵B =60∘，∴b 2=c 2+9-2×3×c ×12=c 2-3，∴c =4，∴S =12ac sin B =33.若选③.∵c =2，cos A =18，由余弦定理得18=b 2+22-322b ×2，即b 2-b 2-5=0，解得b =52或b =-2（舍去）.∴sin A =1-cos 2A =，∴△ABC 的面积S =12bc sin A =12×52×2×=.19.【解析】（1）因为b sin A =a cos æèöøB -π6，根据正弦定理a sin A =bsin B，得sin B sin A =sin A cos æèöøB -π6，因为A ∈()0,π，所以sin A >0，所以sin B =cos æèöøB -π6，即sin B =cos B cosπ6+sin B sin π6，整理得sin B =3cos B ，所以tan B =3，又B ∈()0,π，故B =π3.（2）在△ABC 中，a =2，c =3，B =π3，61由余弦定理得b2=a2+c2-2ac∙cos B，得b2=22+32-2×3×2×cosπ3，故b=7.由正弦定理asin A=b sin B得2sin A=sinπ3，解得sin A=.因为a<b，故A<B，A∈æèöø0,π3，所以cos A=1-sin2A=.所以()A-B B×cosπ3sinπ3.20.【解析】（1）由题意可知：在ΔABC中，|| AC=23，AB∙cos C+BC∙cos A=AC∙sin B，因为AC=AB+BC，所以AB∙cos C+BC∙cos A=( AB+ BC)∙sin B，即(cos C-sin B)AB+(cos A-sin B)BC=0 ，而向量AB，BC是两个不共线向量，所以{cos C=sin B，cos A=sin B，所以cos C=cos A，因为A,C∈(0,π)，所以A=C，在等腰ΔABC中，A+B+C=π，所以2A+B=π，A=π2-B2；所以cos A=cos(π2-B2)=sin B2=sin B，所以sinB2=2sin B2cos B2，所以cos B2=12，结合0<B2<π2可得B2=π3，B=2π3.（2）由（1）知A=C=π6，由正弦定理得：|| ACsin2π3=|| BCsinπ6，所以|| BC=2，SΔABC=12|| AC| BC sinπ6=12×23×2×12=3.21.【解析】（1）在ΔABC中，∵2a-b c=cos B cos C，∴(2a-b)cos C=c cos B，∴2sin A cos C=sin B cos C+cos B sin C，∴2sin A cos C=sin(B+C)=sin A．∵∠A是ΔABC的内角，∴sin A≠0，∴2cos C=1，∴∠C=π3．(2)由（1）可知∠C=π3，∴f(x)=12sin2x-2sin2x)=12sin2x2x=sin(2x-π3)．22.【解析】（1）tan A2=sin A2cos A2=2sin2A22sin A2cos A2=1-cos Asin A.（2）由A+C=180°，得C=180°-A,D=180°-B.由（1），有tanA2+tan B2+tan C2+tan D2=1-cos Asin A+1-cos Bsin B+1-cos(180°-A)sin(180°-A)+1-cos(180°-B)sin(180°-B)=2sin A+2sin B连接BD，在ΔABD中，有BD2=AB2+AD2-2AB∙AD cos A，在ΔBCD中，有BD2=BC2+CD2-2BC∙CD cos C，所以AB2+AD2-2AB∙AD cos A=BC2+CD2+2BC∙CD cos A，则cos A=AB2+AD2-BC2-CD22(AB∙AD+BC∙CD)=62+52-32-422(6×5+3×4)=37，于是sin A=1-cos2A=连接AC，同理可得cos B=AB2+BC2-AD2-CD22(AB∙BC+AD∙CD)=62+32-52-422(6×3+5×4)=119，于是sin B=1-cos2B==所以tanA2+tan B2+tan C2+tan D2=2sin A+2sin B=14210+2×19210=.62。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
高考数学-三角函数及解三角形(含22年真题讲解)
高考数学-三角函数及解三角形（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin (ωx +π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16 B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为y =sin [ω(x +π2)+π3]=sin(ωx +ωπ2+π3)，又C 关于y 轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=13+2k,k ∈Z ，又ω>0，故当k =0时，ω的最小值为13. 故选：C.2．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB ⌢是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在AB ⌢上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB ⌢的弧长的近似值s 的计算公式：s =AB +CD 2OA．当OA =2,∠AOB=60°时，s =（ ）A ．11−3√32B ．11−4√32C ．9−3√32D ．9−4√32【解析】【分析】连接OC，分别求出AB,OC,CD，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，即OD=OA=OB=2，又∠AOB=60°，所以AB=OA=OB=2，则OC=√3，故CD=2−√3，所以s=AB+CD2OA =2+(2−√3)22=11−4√32.故选：B.3．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[53,136)B．[53,196)C．(136,83]D．(136,196]【答案】C 【解析】由x 的取值范围得到ωx +π3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得ω>0，因为x ∈(0,π)，所以ωx +π3∈(π3,ωπ+π3)，要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y =sinx ，x ∈(π3,3π)的图象如下所示：则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈(136,83]． 故选：C ．4．【2022年全国乙卷】函数f (x )=cosx +(x +1)sinx +1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（ ） A ．−π2，π2 B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2 D ．−3π2，π2+2【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得f (x )的单调区间，从而判断出f (x )在区间[0,2π]上的最小值和最大值. 【详解】f ′(x )=−sinx +sinx +(x +1)cosx =(x +1)cosx ，所以f (x )在区间(0,π2)和(3π2,2π)上f ′(x )>0，即f (x )单调递增； 在区间(π2,3π2)上f ′(x )<0，即f (x )单调递减， 又f (0)=f (2π)=2，f (π2)=π2+2，f (3π2)=−(3π2+1)+1=−3π2， 所以f (x )在区间[0,2π]上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.5．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（）A．1B．32C．52D．3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足2π3<T<π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k∈Z，且b=2，所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.故选：A6．【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则（）A．tan(α−β)=1B．tan(α+β)=1C．tan(α−β)=−1D．tan(α+β)=−1【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ,即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，即：sin(α−β)+cos(α−β)=0,所以tan(α−β)=−1,故选：C7．【2022年北京】已知函数f(x)=cos2x−sin2x，则（）A．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C．f(x)在(0,π3)上单调递减D．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出f(x)=cos2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为f(x)=cos2x−sin2x=cos2x.对于A选项，当−π2<x<−π6时，−π<2x<−π3，则f(x)在(−π2,−π6)上单调递增，A错；对于B选项，当−π4<x<π12时，−π2<2x<π6，则f(x)在(−π4,π12)上不单调，B错；对于C选项，当0<x<π3时，0<2x<2π3，则f(x)在(0,π3)上单调递减，C对；对于D选项，当π4<x<7π12时，π2<2x<7π6，则f(x)在(π4,7π12)上不单调，D错.故选：C.8．【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为sin2x+cos2x=1可得：当sinx=1时，cosx=0，充分性成立；当cosx=0时，sinx=±1，必要性不成立；所以当x∈R，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件.故选：A.9．【2022年浙江】为了得到函数y =2sin3x 的图象，只要把函数y =2sin (3x +π5)图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为y =2sin3x =2sin [3(x −π15)+π5]，所以把函数y =2sin (3x +π5)图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y =2sin3x 的图象．故选：D.10．【2022年新高考2卷】（多选）已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3,0)中心对称，则（ ） A ．f(x)在区间(0,5π12)单调递减B ．f(x)在区间(−π12,11π12)有两个极值点 C ．直线x =7π6是曲线y =f(x)的对称轴D ．直线y =√32−x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：f (2π3)=sin (4π3+φ)=0，所以4π3+φ=k π，k ∈Z ， 即φ=−4π3+k π,k ∈Z ，又0<φ<π，所以k =2时，φ=2π3，故f(x)=sin (2x +2π3)． 对A ，当x ∈(0,5π12)时，2x +2π3∈(2π3,3π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)在(0,5π12)上是单调递减；对B ，当x ∈(−π12,11π12)时，2x +2π3∈(π2,5π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)只有1个极值点，由2x +2π3=3π2，解得x =5π12，即x =5π12为函数的唯一极值点； 对C ，当x =7π6时，2x +2π3=3π，f(7π6)=0，直线x =7π6不是对称轴； 对D ，由y′=2cos (2x +2π3)=−1得：cos (2x +2π3)=−12，解得2x +2π3=2π3+2k π或2x +2π3=4π3+2k π,k ∈Z ,从而得：x =k π或x =π3+k π,k ∈Z , 所以函数y =f(x)在点(0,√32)处的切线斜率为k =y′|x=0=2cos2π3=−1，切线方程为：y −√32=−(x −0)即y =√32−x ．故选：AD ．11．【2022年全国甲卷】已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB =120°,AD =2,CD =2BD ．当AC AB取得最小值时，BD =________．【答案】√3−1##−1+√3 【解析】 【分析】设CD =2BD =2m >0，利用余弦定理表示出AC 2AB 2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设CD =2BD =2m >0，则在△ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2−2BD ⋅ADcos∠ADB =m 2+4+2m ， 在△ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2−2CD ⋅ADcos∠ADC =4m 2+4−4m ， 所以AC 2AB 2=4m 2+4−4m m 2+4+2m =4(m 2+4+2m)−12(1+m)m 2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1≥42√(m+1)⋅3m+1=4−2√3，当且仅当m +1=3m+1即m =√3−1时，等号成立，所以当ACAB 取最小值时，m =√3−1. 故答案为：√3−1.12．【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f(T)=√32，x =π9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3 【解析】 【分析】首先表示出T ，根据f (T )=√32求出φ，再根据x =π9为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解； 【详解】解： 因为f (x )=cos (ωx +φ)，（ω>0，0<φ<π） 所以最小正周期T =2πω，因为f (T )=cos (ω⋅2πω+φ)=cos (2π+φ)=cosφ=√32， 又0<φ<π，所以φ=π6，即f (x )=cos (ωx +π6)，又x =π9为f (x )的零点，所以π9ω+π6=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=3+9k,k ∈Z ， 因为ω>0，所以当k =0时ωmin =3； 故答案为：313．【2022年北京】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________．【答案】 1 −√2 【解析】 【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为f(x)=2sin(x −π3)，代入自变量x =π12，计算即可.【详解】∵f(π3)=√32A−√32=0，∴A=1∴f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sinπ4=−√2故答案为：1，−√214．【2022年浙江】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a=√2,b=√3,c=2，则该三角形的面积S=___________．【答案】√234.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，所以S=√14[4×2−(4+2−32)2]=√234．故答案为：√234.15．【2022年浙江】若3sinα−sinβ=√10,α+β=π2，则sinα=__________，cos2β=____ _____．【答案】3√10104 5【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】α+β=π2，∴sinβ=cosα，即3sinα−cosα=√10，即√10(3√1010sinα−√1010cosα)=√10，令sinθ=√1010，cosθ=3√1010，则√10sin(α−θ)=√10，∴α−θ=π2+2kπ，k∈Z，即α=θ+π2+2kπ，∴sinα=sin(θ+π2+2kπ)=cosθ=3√1010，则cos2β=2cos2β−1=2sin2α−1=45．故答案为：3√1010；45．16．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)= sinBsin(C−A)．(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π2，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=5π8．(2)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．17．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求△ABC的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.(1)证明：因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，所以sinCsinAcosB−sinCsinBcosA=sinBsinCcosA−sinBsinAcosC，所以ac⋅a2+c2−b22ac −2bc⋅b2+c2−a22bc=−ab⋅a2+b2−c22ab，即a2+c2−b22−(b2+c2−a2)=−a2+b2−c22，所以2a2=b2+c2；(2)解：因为a=5,cosA=2531，由（1）得b2+c2=50，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，则50−5031bc=25，所以bc=312，故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81，所以b+c=9，所以△ABC的周长为a+b+c=14.18．【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA =sin2B1+cos2B．(1)若C=2π3，求B；(2)求a2+b2c2的最小值．【答案】(1)π6； (2)4√2−5． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA 1+sinA =sin2B1+cos2B 化成cos (A +B )=sinB ，再结合0<B <π2，即可求出； （2）由（1）知，C =π2+B ，A =π2−2B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将a 2+b 2c 2化成4cos 2B +2cos 2B−5，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为cosA1+sinA =sin2B1+cos2B =2sinBcosB 2cos 2B=sinBcosB ，即sinB =cosAcosB −sinAsinB =cos (A +B )=−cosC =12，而0<B <π2，所以B =π6； (2)由（1）知，sinB =−cosC >0，所以π2<C <π,0<B <π2， 而sinB =−cosC =sin (C −π2)， 所以C =π2+B ，即有A =π2−2B ． 所以a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22B+1−cos 2Bcos 2B=(2cos 2B−1)2+1−cos 2Bcos 2B=4cos 2B +2cos 2B −5≥2√8−5=4√2−5．当且仅当cos 2B =√22时取等号，所以a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．19．【2022年新高考2卷】记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1,S 2,S 3，已知S 1−S 2+S 3=√32,sinB =13．(1)求△ABC 的面积； (2)若sinAsinC =√23，求b ．【答案】(1)√28(2)12 【解析】 【分析】（1）先表示出S 1,S 2,S 3，再由S 1−S 2+S 3=√32求得a 2+c 2−b 2=2，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得b 2sin 2B=acsinAsinC ，即可求解. (1)由题意得S 1=12⋅a 2⋅√32=√34a 2,S 2=√34b 2,S 3=√34c 2，则S 1−S 2+S 3=√34a 2−√34b 2+√34c 2=√32， 即a 2+c 2−b 2=2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得accosB =1，则cosB >0，又sinB=13，则cosB =√1−(13)2=2√23，ac =1cosB=3√24，则S △ABC =12acsinB =√28； (2)由正弦定理得：bsinB =asinA =csinC ，则b 2sin 2B =asinA ⋅csinC =acsinAsinC =3√24√23=94，则b sinB =32，b =32sinB =12.20．【2022年北京】在△ABC 中，sin2C =√3sinC ． (1)求∠C ；(2)若b =6，且△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长． 【答案】(1)π6 (2)6+6√3 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得△ABC 的周长. (1)解：因为C ∈(0,π)，则sinC >0，由已知可得√3sinC =2sinCcosC ，可得cosC =√32，因此，C =π6.(2)解：由三角形的面积公式可得S △ABC =12absinC =32a =6√3，解得a =4√3.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =48+36−2×4√3×6×√32=12，∴c =2√3，所以，△ABC 的周长为a +b +c =6√3+6.21．【2022年浙江】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4a =√5c,cosC =35． (1)求sinA 的值；(2)若b =11，求△ABC 的面积．【答案】(1)√55；(2)22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sinC ，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论cosC =a 2+b 2−c 22ab以及4a =√5c 可解出a ，即可由三角形面积公式S=12absinC 求出面积．(1)由于cosC =35， 0<C <π，则sinC =45．因为4a =√5c ， 由正弦定理知4sinA =√5sinC ，则sinA =√54sinC =√55．(2)因为4a =√5c ，由余弦定理，得cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+121−165a 222a=11−a 252a=35，即a 2+6a −55=0，解得a =5，而sinC =45，b =11， 所以△ABC 的面积S =12absinC =12×5×11×45=22．1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知点12P ⎛- ⎝⎭在角θ的终边上，且[)0,2πθ∈，则角θ的大小为（ ）． A ．π3B ．2π3C ．5π3D ．4π3【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，确定角θ的范围，再利用三角函数定义求解作答. 【详解】依题意，点12P ⎛- ⎝⎭在第二象限，又[)0,2πθ∈，则ππ2θ<<，而tan θ=所以2π3θ=. 故选：B2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在π[0,]4上为增函数，则ω最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52【答案】A 【解析】 【分析】根据平移法则求出函数()g x 的解析式，进而求出()g x 的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系即可解出. 【详解】依题意，()2sin[()]2sin 33g x x x ππωωω=+-=，由ππ22x ω-≤≤，0>ω得：ππ22x ωω-≤≤，于是得()y g x =的一个单调递增区间是ππ,22[]ωω-，因()y g x =在π[0,]4上为增函数，因此，ππ[π[0,]2]24,ωω-⊆，即有ππ24ω≥，解得02ω<≤，即ω最大值为2． 故选：A.3．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【答案】D 【解析】 【分析】由已知得()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，由2πϕ<可求得ϕ，可判断A 选项，由此有()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对于B ，由,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦得12363x πππ-≤-≤-，由正弦函数的单调性可判断；对于C ，由[],x ππ∈-得12366x πππ-≤-≤，由此得()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=；对于D ，()11+2sin +336f x x πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈.【详解】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确；所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin 16π=，故C 不正确；对于D ，若()f x θ+为偶函数，则()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D.4．（2022·全国·模拟预测）已知α，()0,πβ∈，πtan 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2αβ-=（ ）A． B．CD【答案】D 【解析】 【分析】根据待求式的结构，πππ22362αβαβ⎛⎫⎛⎫-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】解：因为πππππcos(2)cos 2sin 236236αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=ππsin 2()cos()36αβ++-ππcos 2()sin()36αβ++.222πππ2tan 2sin()cos()πππ333sin 22sin()cos()πππ333sin ()cos ()tan 1333ααααααααα⎛⎫+++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=++=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭，22222222π1tan cos ()sin ()π1333cos 2cos ()sin ()π3333cos ()sin ()tan 1333ππαααππαααππααα⎛⎫-++-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=+-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭；πcos 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ0,62β⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πsin 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭故cos(2)αβ-=． 故选：D.5．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则ω的最小正整数值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据题意可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πϕωπ=+，1k Z ∈，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调可得()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解，所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，最终可得23k x ππωπ+=+，k Z ∈，取值即可得解.【详解】由函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πωϕπ-+=，1k Z ∈，13k πϕωπ=+，1k Z ∈，()()cos f x x ωωϕ'=+，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调， 所以()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以122()32x k k k Z ππωωππ++=+∈，所以23k x ππωπ+=+，21k k k Z =-∈，又5,6x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以74(,)363x πππ+∈， 所以36362(,)873k k k x ππωπ+++=∈+， 当2k =时，1515(,)87ω∈，此时ω的最小正整数为2.6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知π02θ<<，若πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的角的范围以及三角函数值，可以确定πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭和角正弦求得3sin 25θ=，从而求得()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，根据角的范围确定符号，开方即可得结果. 【详解】 因为π02θ<<，所以ππ3π2444θ-<-<，又πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ2044θ-<-<，所以πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以ππππππ3sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 4444445θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，又sin cos 0θθ+>，sin cos θθ+= 故选：B ．7．（2022·全国·模拟预测（理））函数()f x 的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的12；②向左平移23π个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，则()f x 的解析式为（ ）A ．()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B ．()11sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()12sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的性质逆推求解即可 【详解】由题意，④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，故④变换前为1sin 2y x =；③向上平移一个单位长度，故③变换前为1sin 12y x =-；②向左平移23π个单位长度，故②变换前为1si 123n 2y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；①横坐标变为原来的12，故①变换前为211si 3n 122y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()f x 的解析式为()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：A8．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x ，[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象求得()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据图象变换可得()g x 的解析式，结合()()129g x g x =，1x ，[]20,4x π∈，求得21,x x 的值，可得答案.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则由图可知372433T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得4T π=，则212T πω==，所以()1sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由题图可知()f x 图象的一个对称中心为点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭， 故1223k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，故3k πϕπ=+，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()1sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1323f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故131135sin sin sin 2323322f A A A A πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象；因为()()129g x g x =，所以12,x x 同时令()g x 取得最大值3，由()2sin 2133g x x π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得()11212k x π+=，Z k ∈，又[]12,0,4x x π∈，要求21x x -的最大值，故令0k =，得112x π=；令3k =，得23712x π=，所以21x x -的最大值为3731212πππ-=， 故选：C.9．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移712π个单位长度 B ．向左平移76π个单位长度 C ．向右平移712π个单位长度 D ．向右平移76π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可. 【详解】由题意，由于函数477sin(2)sin(2)sin 2()366126y x x x πππππ⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦， 观察发现可由函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移712π个单位长度，得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 故选：A.10．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图是函数()()sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数()2cos2g x x x -的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度【答案】A 【解析】 【分析】先由图像求得()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由辅助角公式化简()g x ，最后由三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由题图知：712,1234T T ππππω-=∴==，又()()0,2,sin 2f x A x ωωϕ>∴=∴=+，20,sin 0,0332f A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=∴+=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得(),sin 233f x A x ππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，又()()()0sin2,2sin 2,cos233f A A f x x g x x x ππ⎛⎫=∴==∴=+=-= ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()g x 向左平移4π得()2sin 22sin 22sin 246263x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.11．（2022·青海西宁·二模（文））在①6a =；②8a =；③12a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求cos A 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且2224a b c S +-=，c =________？【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C 的值，若选①6a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 只有一解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选②8a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 有两解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选③12a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，因为sin 1A >，则三角形无解. 【详解】由题意可知在ABC 中， 因为2224a b c S +-=，且in 12s S ab C =， 所以222sin 2a b c C ab+-=， 由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=， 所以cos sin C C = 因为(0,)C π∈， 所以4Cπ；若选①6a =，由正弦定理可得sin sin a cA C=，解得3sin sin5a A C c ==，在ABC 中，因为c a >，所以C A >， 又因为4Cπ，则角A 只有一解，且0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5A ==．若选②8a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得4sin sin5a A C c ==， 在ABC 中，因为c a <，所以C A <， 又因为4Cπ，则角A 有两解，所以3cos 5A ==±．若选③12a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得6sin sin5a A C c ==， 因为sin 1A >，所以ABC 无解，即三角形不存在．12．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B Cb a B +=. (1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边中点，且2AD =，求a 的最小值. 【答案】(1)π3【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变形及正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. (1)△sinsin 2B C b a B +=，△πsin sin 2A b aB -=，即cos sin 2Ab a B =.由正弦定理得cos sin sin 2sin AB A B ⋅=⋅. △sin 0B ≠，△cos sin 2sin cos 222A A A A ==. △cos02A ≠，△1sin 22A =，又△π022A <<, △π26A =，△π3A =；(2)△D 为BC 边中点，△2AD AB AC =+，即224()AD AB AC =+, △2AD =，△22162cos c b bc A =++，△2216b c bc +=-,△22216bc b c bc ≤+=-，即163≤bc , 当且仅当b c ==, △222222cos 162a b c bc A b c bc bc =+-=+-=-，△2161616233a ≥-⨯=，即a .故a . 13．（2022·山东聊城·三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos()6b Cc B π=-.(1)求角B ；(2)若b =4，求ABC 周长的最大值. 【答案】(1)3B π=；(2)12. 【解析】 【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答. （2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a +c 的最大值 (1)因为sin cos()6b C c B π=-，则1sin sin )2b Cc B B =+，在ABC 中，由正弦定理得，1sin sin sin sin )2B C C B B =+，而(0,π)C ∈，即sin 0C >，整理得sin B B =，即tan B =()0,πB ∈，解得π3B =， 所以π3B =. (2)在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：2216a c ac =+-，即()2163a c ac +-=， 而2()2a c ac +≤，于是得()264a c +≤，当且仅当a =c =4时取“=”， 因此，当a =c =4时，a +c 取最大值8，从而a +b +c 取最大值12， 所以ABC 周长的最大值为12.14．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(cos )2b a b c a B -=-．(1)求角A 的大小；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上的高． 【答案】(1)3A π=【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b 值，由余弦定理可得a 值，结合面积公式可得高. (1)22cos 2b a b c a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222()2cos a b ca B bc -=-．222222()a b c a b bc ∴-=+--，222b c a bc ∴+-=，2221cos =22b c a A bc +-∴=．又(0,)A π∈，3A π∴=．(2)11sin 8sin 223S bc A b π==⨯⨯==2b ∴=．故由余弦定理可知a ==而1122S ah h ==⨯=解得h =，所以BC ． 15．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos A A +=b =①：2a =，222sin sin sin B A C >+；条件②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+．这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)tan 2A 的值； (2)c 和面积S 的值．【答案】(1)条件选择见解析，tan 2A =(2)条件选择见解析，2c =，S =【解析】 【分析】（1）若选①，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，若选②，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，（2）若选①，由正弦定理得sin B =222sin sin sin B A C >+得222b a c >+，再由余弦定理得cos 0B <，则2π3B =，求得π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选②，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得1cos 2B =-，从而可得2π3B =，则π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果， (1)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3， 则π6A =或π2，△2a b =<=π6A =，△πtan 2tan3A == 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3，则π6A =或π2，由a b <，得：π6A =，△πtan 2tan 3A ==(2)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，由正弦定理得：sin sin a b A B =，2πsin 6=sin B =， 由222222sin sin sin B A C b a c >+⇒>+知：222cos 02a c b B ac+-=<，故2π3B =， 则π6C =，△2c a ==，11πsin 2sin 226S ab C ==⨯⨯= 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+由正弦定理得：21sin cos cos sin sin sin 2A A C C A A =+，△sin 0A ≠△1cos cos sin sin 2A C A C -=，即()1cos 2A C +=，1cos 2B =-， △0πB <<，故2π3B =，则π6C =， △a c =△由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，22211222c c c ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，得2c =，△11πsin 2sin 226S bc A ==⨯⨯=。
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8.三角函数、解三角形2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编7.三角函数、解三角形一、选择题2018年新课标Ⅰ文8题：已知函数$f(x)=2\cos x-\sin x+2$，则$f(x)$的最小正周期为$\pi$，最大值为3.2018年新课标Ⅰ文11题：已知角$\alpha$的顶点为坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上有两点$A(1,0)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{5}$，则$a-b=\frac{1}{5}$。
2018年新课标Ⅱ文7题：在$\triangle ABC$中，$\cos C=\frac{5}{\sqrt{26}}$，$BC=1$，$AC=5$，则$AB=5\sqrt{2}$。
2018年新课标Ⅱ文10题：若$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值是$\frac{3\pi}{4}$。
2018年新课标Ⅲ文4题：若$\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{8}}$，则$\cos 2\alpha=-\frac{7}{8}$。
2018年新课标Ⅲ文6题：函数$f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan^2 x}$的最小正周期为$\pi$。
2018年新课标Ⅲ文11题：triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。
若$\triangle ABC$的面积为$4$，则$\cosC=\frac{3}{4}$。
2017年新课标Ⅰ文11题：triangle ABC$的内角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$。
已知$\sin B+\sin A(\sin C-\cos C)=\frac{3}{2}$，$a=2$，$c=2$，则$C=\frac{\pi}{3}$。
2023届高考数学大题专项(三角函数与解三角形)练习(附答案)
(1)若 D 为 BC 的中点,且△CDF 的面积等于△ABC 的面积,求∠ABC;
(2)若∠ABC=45°,且 BD=3CD,求 cos∠CFB.
参考答案
1.解 (1)f(0)=2cos20+sin 0=2.
(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为 π.
f(x)=2cos2x+sin 2x=(cos 2x+1)+sin 2x=√2
6.(山东潍坊一模,17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin
A+sin C),且 m∥n.
(1)求 C;
(2)若√6c+3b=3a,求 sin A.
7.(山东模考卷,18)在△ABC 中,∠A=90°,点 D 在 BC 边上.在平面 ABC 内,过点 D 作 DF⊥BC,且
-B =4√3sin B
cos
2
sin
2
3
B+ sin B =6sin Bcos B+2√3sin2B=2√3sin 2B当 2B-
π
6
π
2π
π
π
+√3.因为 0<B< ,所以- <2B6
3
6
6
7π
.
6
π
π
,即 B= 时,△ABC 面积取得最大值 3√3.
2
3
4.解 (1)在△ABC 中,因为 a=3,c=√2,B=45°,由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=9+2
由正弦定理得,c2=a+b2.
因为 a=4,所以 b2=c2-4.
理第17题 三角函数与解三角形(解析版)-2022年高三毕业班数学第17题满分练(全国通用)
第17题三角函数与解三角形高考考点命题分析三年高考探源考查频率利用正、余弦定理解三角形解三角形问题是近几年高考的重点，每年必考，若作为解答题出现，常位于17题（有时也会出现在18题），该题主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量或周长与面积.或判断三角形的形状，解三角形常与三角函数性质、三角恒等变换及基本不等式或实际问题交汇命题．2020课标全国Ⅱ17 2019课标全国Ⅰ17★★★解三角形与其他知识的交汇问题2020课标全国Ⅱ17 2019课标全国Ⅲ17★★★例题（2020高考全国II）ABC△中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①（2分）由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，②（3分） 由①，②得1cos 2A =-.（5分） 因为0πA <<，所以2π3A =.（6分）（2）解法一：由正弦定理及（1）得23sin sin sin AC AB BCB C A===（7分） 从而23AC B =，3π)3cos 3AB A B B B =--=.（8分） 故π333cos 323)3BC AC AB B B B ++=+=++.（10分） 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值33+（12分） 解法二: 由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=．（8分）22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），（9分） ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭， 解得：23AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），（11分）ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为323+（12分）1．(2022届四川省绵阳市高三第三次诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知cos 2cos b A a B ⋅=⋅，且tan 3C =-． (1)求角B 的大小；(2)若3c =，求△ABC 的面积S ． 【答案】(1)4π(2)32 【解析】 (1)∵cos 2cos b A a B ⋅=⋅，∴sin cos 2sin cos B A A B =, ∴sin sin cos 2cos A B A B =，即1tan tan 2A B =, 又∵tan C ()()()23tan tan tan 2tan tan 31tan tan 1tan 12B A BA B A B A B B π+=-+=-+===---∴2tan tan 20B B +-=,解得tan 1B =或2-，又∵tan 30C =-<，∴角C 为钝角，∴角B 为锐角，∴tan 1B =，∴4B π=；(2)由（1）知，1tan 2A =，tan 1B =，及已知条件tan 3C =-, ∴sin 5A =sin 2B =，sin 10C =又∵3c =，∴sin 2sin c A a C ==sin 5sin c Bb C==， ∴13sin 22S ab C ==. 2．(2022届福建省福州市高三3月质量检测)记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 3b C C C =+，3A π=．(1)求c ；(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存在，说明理由． ①BC 2，②AB 7③三角形的周长为6．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)2c =(2)选①，三角形不存在；选②，三角形存在，33选③，三角形存在，3【解析】 (1)由sin sin 3b C C C =得sin 2sin 3c B C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又3A π=，A B C π++=所以sin 2sin()2sin c B B B π=-=， 而0B π<<， 故sin 0B ≠， 故2c =； (2)选①，方法一：设BC 边上的中线为AD ，则2AD =， 由cos cos ADB ADC ∠=-∠得，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-=-⋅⋅，即2221142424a a b ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，即2226a b =+，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2224a b b =-+， 即2220b b ++=， 该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在.方法二：设BC 边上的中线为AD ，则1()2AD AB AC =+，两边平方得()222124AD AB AB AC AC =+⋅+， 即2111422242b b ⎛⎫=⨯+⨯⨯+ ⎪⎝⎭，即2220b b ++=， 易知该方程无实数解， 故符合条件的三角形不存在．方法三：如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．故C 点坐标为cos ,sin 33b b ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即132b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 点坐标为()2,0， 所以BC 边的中点坐标为1314b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由BC 2得22213214b ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得2220b b ++=， 该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在． 选②，设AB 边上的中线为CF ，则7CF =在ACF 中，由余弦定理得2222cos CF AF AC AC AF A =+-⋅，即27121cos3AC AC π=+-⨯⨯，整理得260AC AC --=， 解得3AC =或2AC =-（舍去），故ABC 的面积11333sin 3222S AC AB A =⋅=⨯⨯=． 选③，依题意得6AB BC CA ++=，由（1）知2AB =， 所以4BC CA +=，在ABC 中，由余弦定理得，2222cos BC AB CA AB CA A =+-⋅，所以22212222CB CA CA =+-⨯⨯，即2242CB CA CA =+-， 所以22(4)42CA CA CA -=+-， 解得，2BC CA ==， 所以ABC 的面积113sin 22322S AC AB A =⋅=⨯⨯= 3．(2022届黑龙江省哈尔滨市高三三模)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3cos sin c A a C c +=．(1)求角A 的大小；(2)设b ＝c ，N 是△ABC 所在平面上一点，且与A 点分别位于直线BC 的两侧，如图，若BN ＝6，CN ＝3，求四边形ABNC 面积的最大值． 【答案】(1)2A π=(2)4524+【解析】 3cos sin c A a C c +=．3cos sin sin sin C A A C C +=，∵sin C ≠0， ∴31sin A A =-，即sin 31A A =．∴131sin 22A A =，即1sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∵0<A <π，∴4333A πππ<+<．∴536A ππ+=，即2A π=．(2)在△BCN 中，由余弦定理得2222cos BC NB NC NB NC N =+-⋅，∵BN ＝6，CN ＝3， ∴2369263cos 4536cos BC N N =+-⨯⨯=-由（1）和b ＝c ，得△ABC 是等腰直角三角形，于是2AB AC =，∴四边形ABCD 的面积211sin 22ABC BCN S S S AB NC NB N =+=+⋅△△()211163sin 4536cos 9sin 424BC N N N =+⨯⨯=-+45222()4N N =+ ()459244N π=+- ∴当34N π=时，S 取最大值4524+即四边形ABCD 的面积的最大值是45924+4．(2022届安徽省安庆市高三4月联考)已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2cos a b c A +=． (1)求证：2C A =；(2)若a ，b ，c 是公差为4的等差数列，求ABC 的周长． 【答案】(1)证明见解析(2)60【解析】 (1)解：因为2cos a b c A +=， 所以sin sin 2sin cos A B C A +=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+ 代入上式得sin sin cos cos sin A C A C A =-， 即()sin sin A C A =-， 又0,0A C A ππ<<<-<， 显然0C π<<， 所以A C A =-， 故2C A =(2)由（1）知a c <，且a ，b ，c 是公差为4的等差数列 设4a b =-，4c b =+．由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 整理得：()1624cos b b A +=+①． 由己知得，2cos 24a b b A c b +-==+② 由①②联立，整理得：20b =， 所以16,24a c ==． 所以ABC 的周长为60．5．(2022届湖南省湘潭市高三三模)ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin sin sin B A C =.(1)求B 的最大值； (2)若4sin sin 1A C =，求111tan tan tan A B C++的值. 【答案】(1)3π(2)23+【解析】 (1)解：因为2sin sin sin B A C =，所以2b ac =，由余弦定理，可得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， 当且仅当a c =时，等号成立， 所以1cos 2B ≥，因为B 为三角形的内角，可得03B π<≤， 故B 的最大值为3π. (2)解：因为4sin sin 1A C =，可得21sin sin sin 4B AC ==由（1）可知B 为锐角，所以1sin 2B =，可得6B π=，则111cos cos cos sin sin cos 33tan tan tan sin sin sin sin A C A C A CA B C A C A C +++=+=()sin sin 3323sin sin sin sin A C BA CA C+==+6．(2022届河南省汝州市高三4月质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin sin a A b B c C B -=-． (1)求角A 的大小；(2)若3a =△ABC 周长的最大值． 【答案】(1)3π;(2)33【解析】 (1)因为()sin sin sin sin a A b B c C B -=- 所以由正弦定理可得222a b c bc -=-， 即222b c a bc +-=，由余弦定理知，2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<， 所以3A π=.(2)由3a =1）可知223b c bc +-=，则22223()()3()3()44b c b c b c bc b c ++=+-≥+-=， 得212()b c ≥+，即23b c +≤，所以23333a b c ++≤3b c ==， 所以ABC 周长的最大值为337．(2022届甘肃省高三第二次诊断)如图，在圆内接四边形ABCD 中，2,4AB BC ==，且,,ACB CBA BAC ∠∠∠依次成等差数列.(1)求边AC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值. 【答案】(1)3【解析】 (1)因为,,ACB CBA BAC ∠∠∠依次成等差数列， 所以2ACB BAC CBA ∠+∠=∠，又ACB BAC CBA π∠+∠+∠=， 所以3CBA π∠=,又2,4AB BC ==，则由余弦定理得:22212cos 416224122AC AB BC AB BC CBA =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以3AC =(2)由圆内接四边形性质及3CBA π∠=，知23ADC ∠=π， 在ADC 中，由余弦定理得()22222cos DC CDA D AC AD DC AD AD DC A C D =+-=+-⋅∠⋅，又因为()24A C C D AD D D +⋅≤（当且仅当AD DC =时“=”成立），所以()223124AD DC AC ≤+=，即4AD DC +≤， 则四边形ABCD 周长最大值24+4=10+.8．(2022届山东省部分学校高三2月份联考)在ABC 中，D 为边AC 上一点，且4AC AD =，ABD ACB ∠=∠，π2CBD ∠=．(1)求证：1tan 2ACB ∠=； (2)若ABC 的面积为15，求AB 的长． 【答案】(1)证明见解析(2)5【解析】 (1)证明：设ABD ACB α∠=∠=， 则在直角BCD 中，cos BCCD α=， 在ABC 中，由正弦定理得：ππsin sin 222AC BCαα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 2BC AC αα⋅=，又4AC AD =，即43AC CD =，所以2223cos 4cos 24cos 4sin αααα==-，所以21tan 4α=， 又α为锐角，所以1tan 2α=， 即1tan 2ACB ∠=，得证； (2)由（1）知5sin α，25cos α=，且2BC BD =， 因为34544BCD ABC S S ==△△， 所以14524BC BD ⋅=，则35BC =在ABC 中，由正弦定理得：πsin cos 2sin 22AB BC BCααα==⎛⎫- ⎪⎝⎭，又223cos 2cos sin 5ααα=-=，所以sin 5cos 2BC AB αα⋅==．9．（2022届安徽省合肥市高三第二次教学质量检测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，满足______．从①sin 6a C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是b ，2c 的等差中项，②cossin 2B C b a B +=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． (1)求A 的大小；(2)若AE 是ABC 的角平分线，且3b =，2AE =，求ABC 的面积．【答案】(1)条件选择见解析，23A π=93 【解析】 (1)若选①：sin 6a C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是b ，2c 的等差中项，2sin 26a C b c π⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，即cos 3sin 20a C a C b c --=．由正弦定理得sin cos 3sin sin 2sin 0A C A C B C --=， 即sin cos 3sin sin()2sin A C A C A C C -+-sin cos 3sin sin cos cos sin 2sin 0A C A C A C A C C =---=， 3sin cos sin 2sin 0A C A C C --=，注意到sin 0C ≠3cos 20A A --=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(0,)A π∈，5666A πππ∴-<-<，62A ππ∴-=，即23A π=． 若选②；由题设及正弦定理得sin cossin sin 2B CB A B +=． 0A π<<，sin 0B ≠，cossin 2B CA +∴=①． ABC π++=，cossin 22B C A +∴=，∴①可化为sin 2sin cos 222A A A=． 022A π<<，sin 02A ≠，1cos 22A ∴=，23A π=，23A π∴=． (2)AE 是ABC 的角平分线，∴3BAE CAE π∠=∠=．ABC BAE CAE S S S =+△△△，即111sin sin sin 222bc BAC c AE BAE b AE CAE ∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，即1211sinsin sin 232323bc c AE b AE πππ=⋅⋅+⋅⋅，326c c ∴=+，6c =，121393sin 36232ABC S bc π∴==⨯⨯=△． 10．（2022届陕西省渭南市高三二模）如图，在ABC 中，角60A =，D 为边AC 上一点，且31BC =，21BD =，20CD =求：(1)sin CDB ∠的值；(2)边AD 的长.【答案】4315 【解析】 (1)在BCD △中, 由余弦定理的推论得222cos 2BD CD BC CDB BD CD+-∠=⋅, 31,21,20BC BD CD ===,2222120311cos 221207CDB ∠+-∴==-⨯⨯, 0180CDB <∠<,22143sin 1cos 17CDB CDB ⎛⎫∴∠=--- ⎪⎝⎭∠(2)CDB ABD A ∠=∠+∠,ABD CDB A ∴∠=∠-∠,60A ∠=,()sin sin ABD CDB A ∴∠=∠-∠()sin 60CDB =∠-sin cos60cos sin60CDB CDB =∠-∠ 431135327⎛⎫=--= ⎪⎝⎭在ABD △中, 由正弦定理得sin sin AD BD ABD A=∠∠,5321sin 1415sin 3BD ABD AD A ⋅∠∴==∠ 11．（2022届贵州省高三统一模拟）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 6b C a c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. (1)求B ；(2)若2b =，求ABC 的面积的最大值.【答案】(1)3π3【解析】 (1)因为2sin 6b C a c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以由正弦定理可得2sin sin sin sin 6B C A C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即()312sin cos sin sin 2B C C B C C ⎫+=++⎪⎝⎭， 3sin sin cos sin B C C B C =+，又(0,)C π∈，所以sin 0C ≠3cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，5(,)666B πππ-∈- 所以66B ππ-=，即3B π=. (2)在ABC 中，由余弦定理可得2222222cos 2a c ac B a c ac ac ac ac =+-=+-≥-=，所以4ac ≤，当且仅当2a c ==时取等号， 所以13sin 32ABC S ac B ==≤ABC 312．（2022届福建省厦门市高三3月第二次质量检测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin cos 2sin cos B B c A A a +=. (1)求A ；(2)若2a =，D 为BC 的中点，2AD AB AC =⋅，求ABC 的面积.【答案】(1)3A π=3【解析】 (1)解：在ABC 中，因为sin cos 2sin cos B B c A A a +=， 由正弦定理得sin cos 2sin sin cos sin B B C A A A+=，整理得sin()2sin sin cos sin A B C A A A+=， 又sin()sin 0A B C +=≠，所以1cos 2A =， 又因为0A π<<，所以3A π=.(2)解法一：因为D 为线段BC 中点，所以1()2AD AB AC =+， 所以221()4AD AB AC =+，化简得()22214AD b c bc =++，① 在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 即224b c bc +-=，②又2AD AB AC bc =⋅=，③联立①②③，解得2bc =， 所以1133sin 222ABC S bc A ==⨯=解法二：因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，由余弦定理得222222022DA DB AB DA DC AC DA DB DA DC+-+-+=⋅⋅， 即22222b c AD +-=，① 在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 即224b c bc +-=，②又2AD AB AC bc =⋅=，③联立①②③，解得2bc =， 所以1133sin 222ABC S bc A ==⨯=.。
专题15 三角函数解答题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)由题意得 ，则 ，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
(2)由正弦定理得： ，则 ，则 ， ．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2022新高考全国II卷·第18题
3．(2022新高考全国I卷·第18题)记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵ ,
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第17题
8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题) 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\三角形中的面积问题
【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第17题
13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)(12分) 的内角 的对边分别为 ．已知 ， ， ．
(1)求 ；
(2)设 为 边上一点，且 ，求 的面积．
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)由 可得 ,因为 ,故 ．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即 ．
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 热点探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题教师用
热点探究课(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．热点1 三角函数的图像与性质(答题模板)要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 【导学号：66482187】[思路点拨] 1.先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f (x )化为正弦型函数，然后求其周期．2．先利用平移变换求出g (x )的解析式，再求其在给定区间上的最值．[规X 解答] (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)3分 ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，5分 于是T ＝2π1＝2π. 6分 (2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. 8分 ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，10分 ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2]. 11分故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. 12分[答题模板] 解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤为：第一步(化简)：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式．第二步(用辅助角公式)：构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2. 第三步(求性质)：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规X ．[温馨提示] 1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2 sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.2．求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图像进行求解．[对点训练1] (2016·某某模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2. (1)求f (x )的解析式； (2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π. 2分又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，4分所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )． 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 5分 (2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z ). 7分 由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，9分 又k ∈Z ，知k ＝5，10分由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163. 12分热点2 解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD . 2分因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12. 5分 (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 7分在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 9分故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6.由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 12分[规律方法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．[对点训练2] (2016·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值． [解] (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B， 可得a sin B ＝b sin A ．2分又由a sin2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. 5分 (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6 ＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. 12分 热点3 三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．(2017·东北三省四市一联)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A 2a －b ＝cos C c . (1)求ab 的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值X 围．[解] (1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ，2分 ∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A cos C )．∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin B ，∴ab＝2. 5分 (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b ＝9－3b 26b<0， ∴b > 3. ①7分∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3， ②由①②得b 的X 围是(3，3). 12分[规律方法] 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．[对点训练3] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A 的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．【导学号：66482188】 [解] (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A2tan A ＋1＝25. 5分(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 7分由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝3 5. 9分 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 12分。
数学高考17题题型
数学高考17题题型
高考数学17题通常是关于三角函数、解三角形、数列、不等式等知识点的
综合应用题。
这类题目通常会涉及到多个知识点的融合，需要考生具备扎实的基础知识和较强的思维能力。
具体来说，高考数学17题可能会涉及到以下知识点：
1. 三角函数：包括三角函数的定义、性质、图象、周期性、奇偶性、单调性等方面的知识点。
2. 解三角形：包括正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识点，以及三角形边长和角度的求解方法。
3. 数列：包括等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、求和公式等方面的知识点。
4. 不等式：包括不等式的性质、解法、证明等方面的知识点。
综上所述，高考数学17题需要考生具备扎实的基础知识和较强的思维能力，能够灵活运用多个知识点解决问题。
考生在备考时应该注重练习，多做真题和模拟题，提高解题能力和思维水平。
作业正文-第三单元-三角函数、解三角形
时作业(十六) 第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数基础热身1.下列说法中正确的是 ( ) A .第一象限角一定不是负角 B .不相等的角,它们的终边必不相同 C .钝角一定是第二象限角D .终边与始边均相同的两个角一定相等2.[2017·南充模拟] 若角α的终边经过点P 0(-3,-4),则tan α= ( ) A .43B .34C .-45 D .-353.已知点P √32,-12在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 ( )A .5π6B .3π4C .11π6D .5π34.扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形面积是 ( ) A .16π B .32π C .16D .325.已知角α的终边在图K16-1中阴影表示的范围内(不包括边界),那么角α用集合可表示为 .图K16-1能力提升6.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是 ( )A .sin α+cos α<0B .tan α-sin α<0C .cos α-tan α<0D .tan αsin α<07.已知集合M={x|x=k ·90°+45°,k ∈Z},N={x|x=k ·45°+90°,k ∈Z},则有 ( )A .M=NB .N ⊆MC .M ⊆ND .M ∩N=⌀8.若sin θ·cos θ>0,sin θ+cos θ<0,则θ在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限9.已知角α的终边过点P (-8m ,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为 ( )A .-12 B .-√32C .12 D .√3210.角α的终边与直线y=3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n )是角α终边上一点,且|OP|=√10(O 为坐标原点),则m-n 等于 ( ) A .2 B .-2 C .4 D .-411.角α的顶点在坐标原点O ,始边在y 轴的正半轴上,终边与单位圆交于第三象限内的点P ,且tan α=-34;角β的顶点在坐标原点O ,始边在x 轴的正半轴上,终边与单位圆交于第二象限内的点Q ,且tan β=-2.对于下列结论:①P -35,-45;②|PQ|2=10+2√55;③cos ∠POQ=-35;④△POQ 的面积为√55.其中正确结论的编号是 ( ) A .①②③ B .①②④ C .②③④D .①③④12.若△ABC 的两内角A ,B 满足sin A cos B<0,则△ABC 的形状是 . 13.cos 1·cos 2·cos 3·cos 4的符号为 (填“正”或“负”).14.[2017·泉州二模] 在平面直角坐标系xOy 中,角θ的终边经过点P (x ,1)(x ≥1),则cos θ+sinθ的取值范围是 . 难点突破15.(5分)[2017·吉林、黑龙江两省八校联考] 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=12×(弦×矢+矢2).弧田(如图K16-2)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为2π3,半径为6米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是 平方米.(结果保留整数,√3≈1.73)图K16-216.(5分)若角α的终边落在直线y=√3x 上,角β的终边与单位圆交于点12,m ,且sin α·cosβ<0,则cos α·sin β= .课时作业(十七) 第17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式基础热身1.[2017·天水二中期中] tan 390°=( )A .-√3B .√3C .√33 D .-√332.[2017·成都一诊] 已知α为锐角,且sin α=45,则cos(π+α)= ( ) A .-35B .35C .-45D .453.[2017·宁德质检] 已知sin α+π6=45,则cos α-π3的值为 ( )A .35 B .45 C .-45 D .-35 4.已知tan θ=2,则sin 2θ-sinθcosθ2cos 2θ的值为 ( )A .12 B .1 C .-12 D .-15.[2017·东莞四校联考] 已知sin α=√55,π2≤α≤π,则tan α= . 能力提升6.[2017·潮州二模] 已知sin α-π8=45,则cos α+3π8= ( ) A .-45 B .45 C .-35 D .357.[2017·衡阳四中月考] 若sin x=2sin x+π2,则cos x cos x+π2= ( )55C .23D .-238.[2017·重庆一中月考] 已知α∈32π,2π,且满足cos α+20172π=35,则sin α+cos α= ( )A .-75B .-15C .15D .759.[2018·岳阳一中一模] 已知sin x+cos x=√3-12,x ∈(0,π),则tan x= ( )A .-√33B .√33C .√3D .-√310.若三角形ABC 中,sin(A+B )sin(A-B )=sin 2C ,则此三角形一定是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等边三角形D .等腰直角三角形11.[2017·沈阳三模] 若1+cosαsinα=2,则cos α-3sin α= ( )A .-3B .3C .-95 D .95 12.设tan α=3,则sin(α-π)+cos(π-α)sin(π2-α)+cos(π2+α)= ( )A .3B .2C .1D .-113.已知sin θ,cos θ是方程4x 2-4mx+2m-1=0的两个根,3π2<θ<2π,则θ= ( )A .7π4 B .8π53614.已知A ,B 为△ABC 的两个内角,若sin(2π+A )=-√2·sin(2π-B ),√3cos A=-√2cos(π-B ),则角B= .难点突破 15.(5分)已知1+tanx 1-tanx=3+2√2,则sin x (sin x-3cos x )的值为 .16.(5分)已知sin α+cos α=-15,且π2<α<π,则1sin(π-α)+1cos(π-α)的值为 .课时作业(十八) 第18讲 三角函数的图像与性质基础热身1.已知函数y=12cos ωx -π6的周期为π,则ω的值为 ( )A .1B .2C .±1D .±22.已知函数f (x )=2sin π4-2x ,则函数f (x )的单调递减区间为 ( )A .[3π8+2kπ,7π8+2kπ](k ∈Z)B .[-π8+2kπ,3π8+2kπ](k ∈Z)C .[3π8+kπ,7π8+kπ](k ∈Z)D .[-π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)3.已知函数f (x )=-sin x+π2(x ∈R),则下面结论中错误的是 ( )A .函数f (x )的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数C.函数f(x)的图像关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数4.[2017·天水二中期中]下列函数中,最小正周期为π,且图像关于直线x=π3对称的是 ()A.y=sin(2x-π3)B.y=sin(2x-π6)C.y=sin(2x+π6)D.y=sin(x2+π6)5.函数y=√tanx-1的定义域是.能力提升6.[2017·太原五中段考]给出下列函数:①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=sin2x+π2,④y=tan|x|.其中周期为π的所有偶函数为()A.①②B.①②③C.②④D.①③7.[2017·枣庄八中月考]已知函数f(x)=2sin x2的定义域为[a,b],值域为[-1,2],则b-a的值不可能是()A.4π3B.2πC.8π3D.14π38.[2017·许昌二模]若函数y=sin(2x+φ)0<φ<π2的图像的对称中心在区间π6,π3内有且只有一个,则φ的值可以是()A .π12B .π6 C .π3D .5π129.[2017·龙岩六校联考] 已知函数f (x )=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f (x )≤f (π4)对任意x ∈R恒成立,且f (π6)>0,则f (x )的单调递减区间是 ( )A .[kπ,kπ+π4](k ∈Z)B .[kπ-π4,kπ+π4](k ∈Z) C .[kπ+π4,kπ+3π4](k ∈Z)D .[kπ-π2,kπ](k ∈Z)10.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)+√3cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),其图像相邻的两条对称轴方程为x=0与x=π2,则 ( )A .f (x )的最小正周期为2π,且在(0,π)上为增函数B .f (x )的最小正周期为2π,且在(0,π)上为减函数C .f (x )的最小正周期为π,且在(0,π2)上为增函数D .f (x )的最小正周期为π,且在(0,π2)上为减函数11.[2017·昆明三模] 已知函数f (x )=sin ωx+π3(ω>0),A ,B 是函数图像上相邻的最高点和最低点,若|AB|=2√2,则f (1)= .12.[2017·荆州中学二模] 已知函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点2π3,0中心对称,则|φ|的最小值为 .13.(15分)[2017·衡水冀州中学月考] 已知函数f (x )=sin 2x-π6.(1)求函数f (x )的最小正周期; (2)求函数f (x )的单调递增区间;(3)当x ∈0,2π3时,求函数f (x )的最小值,并求出使y=f (x )取得最小值时相应的x 值.14.(15分)[2017·安阳林州一中期中] 已知函数f (x )=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的最小正周期为π,且f (π3)=-√32. (1)求ω和φ的值;(2)若f (x )>12,求x 的取值范围.难点突破15.(5分)[2017·湖北部分重点中学模拟] 设函数f (x )=4cos(ωx+φ)对任意的x ∈R,都有f (-x )=fπ3+x ,若函数g (x )=sin(ωx+φ)-2,则g (π6)的值是 ( ) A .1 B .-5或3 C .12 D .-216.(5分)[2017·安阳林州一中期中] 已知函数f (x )=2cos(ωx+φ)+1ω>0,|φ|<π2,其图像与直线y=3相邻两个交点的距离为2π3,若f (x )>1对任意x ∈-π12,π6恒成立,则φ的取值范围是( ) A .[-π6,π6] B .[-π4,0]C .(-π3,-π12] D .[0,π4]加练一课(三)三角函数的性质一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2017·资阳一诊]函数y=sin2x-π3的图像的一条对称轴方程为()A.x=π12B.x=-π12C.x=π6D.x=-π62.函数y=√32的定义域为()A.[-π6,π6 ]B.[kπ-π6,kπ+π6](k∈Z)C.[2kπ-π6,2kπ+π6](k∈Z)D.R3.下列函数中,最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是()A.y=cos(2x+π2)B.y=sin(2x+π2)C.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x4.[2017·襄阳四校联考]将函数f(x)=2sin2x-π3+1的图像上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,所得图像的一个对称中心可能是()A.(π3,0)B.(2π3,0)C.(π3,1)D.(2π3,1)5.[2018·衡水中学二调]已知函数f(x)=a sin x+cos x(a为常数,x∈R)的图像关于直线x=π6对称,则函数g(x)=sin x+a cos x的图像()A .关于直线x=π3对称B .关于点(2π3,0)对称 C .关于点(π3,0) 对称 D .关于直线x=π6对称6.设函数f (x )=sin 2x+π4+cos 2x+π4,则 ( ) A .f (x )在(0,π2)上单调递增,其图像关于直线x=π4对称 B .f (x )在(0,π2)上单调递增,其图像关于直线x=π2对称C .f (x )在(0,π2)上单调递减,其图像关于直线x=π4对称 D .f (x )在(0,π2)上单调递减,其图像关于直线x=π2对称7.若f (x )=2cos(2x+φ)(φ>0)的图像关于直线x=π3对称,且当φ取最小值时,存在x 0∈0,π2,使得f (x 0)=a ,则a 的取值范围是 ( )A .(-1,2]B .[-2,-1)C .(-1,1)D .[-2,1)8.[2018·广雅中学、河南名校联考] 已知函数f (x )=cos(2x+θ)|θ|≤π2在-3π8,-π6上单调递增,若f (π8)≤m 恒成立,则实数m 的取值范围为 ( )A .[√32,+∞) B .[12,+∞) C .[1,+∞) D .[√22,+∞)9.设函数f (x )=sin(ωx+φ),A>0,ω>0,若f (x )在区间π6,π2上单调,且f (π2)=f (2π3)=-f (π6),则f (x )的最小正周期为 ( )A .π2 B .2πC .4πD .π10.[2017·河北武邑中学调研] 已知函数f (x )=sin x-a cos x 图像的一条对称轴为x=34π,记函数f (x )的两个极值点分别为x 1,x 2,则|x 1+x 2|的最小值为 ( )A .3π4 B .π2 C .π4 D .0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 11.[2017·沧州一中月考] 函数y=log 3(2cos x+1),x ∈-2π3,3π3的值域为 . 12.[2018·鞍山一中一模] 函数f (x )=2sin x cos x+√3cos 2x 的周期为 .13.[2018·海南八校联考] 函数y=sin x+cos x+2sin x cos x x ∈-π4,π4的最小值是 .14.函数f (x )=3sin 2x-π3的图像为C ,如下结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号).①图像C 关于直线x=1112π对称;②图像C 关于点2π3,0对称;③函数f (x )在区间-π12,5π12内是增函数;④由y=3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C.课时作业(十九) 第19讲 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用基础热身1.[2017·东莞四校联考] 为了得到函数y=sin 2x-π6的图像,可以将函数y=sin 2x 的图像( )A .向右平移π6个单位长度 B .向右平移π12个单位长度C .向左平移π6个单位长度 D .向左平移π12个单位长度2.[2017·郴州三模] 函数f (x )=2sin 2x-π3的图像关于直线x=x 0对称,则|x 0|的最小值为( ) A .π12B .π6C .π4D .5π123.[2017·榆林三模] 函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-1所示,则ω,φ的值分别为 ( )A .2,0B .2,π4C .2,-π3D .2,π6图K19-14.[2017·昆明一中月考] 函数f (x )=12cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-2所示,则φ的值为 ( )A .π3 B .π6 C .-π6D .-π3图K19-25.已知函数f (x )=A tan(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-3所示,则f (π24)= .图K19-3能力提升6.[2017·江西百所重点高中联考] 函数f (x )=sin(πx+θ)|θ|<π2的部分图像如图K19-4所示,且f (0)=-12,则图中m 的值为 ( )图K19-4A .1B .43C .2D .43或27.[2017·绵阳三诊] 已知函数f (x )=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,A (a ,0),B (b ,0)是其图像上两点,若|a-b|的最小值是1,则f (16)= ( ) A .2 B .-2 C .√32D .-√328.[2017·辽南协作体三模] 已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,|φ|<π2的图像在 y 轴左侧的第一个最高点为-π6,3,第一个最低点为-2π3,m ,则函数f (x )的解析式为 ( ) A .f (x )=3sin (π6-2x)B .f (x )=3sin (2x -π6) C .f (x )=3sin (π3-2x) D .f (x )=3sin (2x -π3)9.[2017·泉州二模] 已知曲线C :y=sin(2x+φ)|φ|<π2的一条对称轴方程为x=π6,曲线C 向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到的曲线E 的一个对称中心为π6,0,则|φ-θ|的最小值是 ( )A .π12 B .π4 C .π3D .5π1210.[2017·成都九校联考] 已知函数f (x )=A sin(2x+φ)-12A>0,0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1,且关于直线x=π12对称,若对于任意的x ∈0,π2,都有m 2-3m ≤f (x ),则实数m 的取值范围为( )A .[1,32] B .[1,2] C .[32,2] D .[3-√32,3+√32] 11.某实验室一天的温度(单位:摄氏度)随时刻t (单位:时)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-√3·cos π12t-sin π12t ,t ∈[0,24),则该实验室这一天的最大温差是 .12.[2017·柳州、钦州一模] 将函数f (x )=3sin 4x+π6图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π6个单位长度,得到函数y=g (x )的图像,则y=g (x )的解析式为 .13.(15分)[2017·衡阳十校联考] 已知函数f (x )=√22sin 2x+π4+sin 2x. (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若函数g (x )对任意x ∈R,有g (x )=f x+π6,求函数g (x )在-π6,π2上的值域.14.(15分)[2017·台州质量评估] 已知函数f (x )=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2的最小正周期为π,且x=π12为f (x )图像的一条对称轴. (1)求ω和φ的值; (2)设函数g (x )=f (x )+f x-π6,求g (x )的单调递减区间.难点突破15.(5分)将函数f (x )=3sin 2x+π3的图像向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到g (x )的图像,若g (x 1)g (x 2)=16,且x 1,x 2∈-3π2,3π2,则2x 1-x 2的最大值为 ( )A .21π12B .35π12C .19π6D .59π1216.(5分)[2017·芜湖质检] 将函数f (x )=sin ωx (ω>0)的图像向左平移π4ω个单位长度得到函数g (x )的图像,若函数g (x )的图像关于直线x=ω对称且在区间(-ω,ω)内单调递增,则ω的值为( )A .3√π2B .π4C .√π2 D .3π2课时作业(二十) 第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础热身1.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为 ( ) A .-√32B .-12C .12D .√322.函数y=sin x+√3cos x 的最小值为 ( )A .1B .2C .√3D .-23.[2017·哈尔滨九中二模] 若2sin θ+π3=3sinπ3-θ,则tan θ= ( )A .-√32B .√35C .2√33 D .2√34.在△ABC 中,sin A=513,cos B=35,则cos C=( )A .-1665 B .-5665 C .±1665D .±56655.[2017·济宁二模] 已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 .能力提升6.[2017·长沙长郡中学月考] 已知锐角α,β满足sin α=√1010,cos β=2√55,则α+β的值为 ( )A .3π4B .π4 C .π6D .3π4或π47.[2017·东莞四校联考期中] 已知sin α=35,α∈π2,π,tan(π-β)=12,则tan(α-β)的值为 ( ) A .-211B .211C .112D .-1128.[2017·襄阳五中一模] 已知α,β均为锐角,且sin 2α=2sin 2β,则 ( ) A .tan(α+β)=3tan(α-β) B .tan(α+β)=2tan(α-β) C .3tan(α+β)=tan(α-β) D .3tan(α+β)=2tan(α-β)9.[2017·衡水一模] 已知sin α+π3+sin α=-4√35,-π2<α<0,则cos α+2π3等于 ( )A .-45 B .-35 C .45 D .3510.[2017·淮北一中期中]2sin46°-√3cos74°cos16°= .11.[2017·商丘九校联考] 函数f (x )=cosx+sinx cosx -sinx的最小正周期为 .12.[2017·德州二模] 已知cos α=35,cos(α-β)=7√210,且0<β<α<π2,那么β= . 13.(15分)[2017·山东实验中学一模] 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足(2c-a )·cos B-b cos A=0.(1)求角B 的大小; (2)求√3sin A+sin C-π6的取值范围.14.(15分)已知函数f (x )=(1+√3tan x )cos 2x.(1)若α是第二象限角,且sin α=√63,求f (α)的值; (2)求函数f (x )的定义域和值域.难点突破15.(5分)已知锐角α,β满足sin α-cos α=16,tan α+tan β+√3tan αtan β=√3,则α,β的大小关系是 ( )A .α<π4<β B .β<π4<αC .π4<α<β D .π4<β<α16.(5分)如图K20-1所示,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使AE=1,连接EC ,ED ,则sin ∠CED= ( )A .3√1010B .√1010C .√510 D .√515图K20-1课时作业(二十一) 第21讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换基础热身1.[2017·株洲一模] 已知α∈(0,π),cos α=-12,则sin 2α= ( ) A .±√32B .±12C .-√32D .-122.[2017·葫芦岛二模] 已知cos π4-θ2=23,则sin θ= ( ) A .79B .19C .-19 D .-793.[2017·揭阳二模] 已知sin α-cos α=13,则cos π2-2α= ( )A .-89 B .23 C .89 D .√179 4.√3cos10°-1sin170°= ( )A .4B .2C .-2D .-45.已知sin α-2cos α=√102,则tan 2α= .能力提升6.[2017·抚州临川实验学校一模] 若sinπ6-α=13,则2cos 2π6+α2-1等于 ( )A .13B .-13 C .-79D .-17817.[2017·郴州四模] 已知3cos 2θ=tan θ+3,且θ≠k π(k ∈Z),则sin[2(π-θ)]等于 ( ) A .-13 B .13 C .23 D .-238.已知tan B=2tan A ,且cos A sin B=45,则cos A-B-3π2= ( )A .-45 B .45 C .-25D .259.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=√22(sin 56°-cos 56°),c=1-tan 239°1+tan 239°,则a ,b ,c 的大小关系是 ( ) A .a>b>c B .b>a>c C .c>a>b D .a>c>b10.[2017·四川师大附中二模] 已知α∈0,π2,sinπ4-αsin π4+α=-310,则tan α= ( ) A .12 B .2 C .√5D .√5511.化简sin 2(α-π6)+sin 2(α+π6)-sin 2α的结果是 .12.cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°= .13.已知tan(A-B )=12,tan B=-17,且A ,B ∈(0,π),则2A-B= .14.(12分)[2017·天津南开区三模] 设函数f (x )=√22cos 2x+π4+sin 2x. (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)设函数g (x )对任意x ∈R,有g x+π2=g (x ),且当x ∈0,π2时,g (x )=12-f (x ).求函数g (x )在[-π,0]上的解析式.15.(13分)[2017·陕西师大附中模拟] 已知函数f (x )=2√3sin x cos x+2cos 2x-1(x ∈R).(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间0,π2上的最大值和最小值; (2)若f (x 0)=65,x 0∈π4,π2,求cos 2x 0的值.难点突破16.(5分)[2017·天水二中期中] 已知α,β都是锐角,sin α=12,cos(α+β)=12,则cos β等于( )A .1-√32B .√3-12C .12 D .√3217.(5分)[2017·上饶六校联考] 设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则cos(2α-β)的取值范围为 ( )A.[0,1]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[-√22,√2 2]课时作业(二十二)第22讲正弦定理和余弦定理基础热身1.在△ABC中,b=8,c=8√3,S△ABC=16√3,则A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°2.在△ABC中,若A=60°,a=√3,则a+b-csinA+sinB-sinC等于()A.2B.12C.√3D.√323.[2017·渭南二模]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知a=2且b cos C+c cos B=2b,则b=()A.1B.2C.3D.√24.[2017·山西五校联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cs A+a cosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.55.[2017·泰安二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√2c-a =sinAsinB+sinC,则角B= . 能力提升6.[2017·赣州、吉安、抚州七校联考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=2√3,C=30°,则角B等于()A.30°B.60°C.30°或60°D.60°或120°7.在△ABC中,a2+b2+c2=2√3ab sin C,则△ABC的形状是()A.不等腰的直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.[2017·鹰潭二模]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=2√23,b cos A+a cos B=2,则△ABC的外接圆的面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π9.[2017·柳州一模]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2=2c2,则角C的取值范围是()A.(0,π3]B.(0,π3)C.(0,π6]D.(0,π6)10.已知△ABC的面积为5√3,A=π6,AB=5,则BC=()A.2√3B.2√6C.3√2D.√1311.[2017·福建四地六校联考]已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为()A.2√3B.6C.√3D.912.[2017·宜春四校联考] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a=1,B=π4,△ABC 的面积S=2,则bsinB的值为 .13.[2017·河南新乡二模] 如图K22-1所示,在△ABC 中,C=π3,BC=4,点D 在边AC 上,AD=DB ,DE ⊥AB ,E 为垂足,若DE=2√2,则cos A= .图K22-114.(10分)[2018·巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校摸底] 如图K22-2所示,在△ABC 中, C=π4,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =48,点D 在BC 边上,且AD=5√2,cos ∠ADB=35. (1)求AC ,CD 的长; (2)求cos ∠BAD 的值.图K22-215.(13分)[2017·潮州二模] 在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且acosB+bcosA c=2√33sin C. (1)求C 的值;(2)若asinA =2,求△ABC 的面积S 的最大值.难点突破16.(12分)[2017·大庆三模]已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB b +cosCc=2√3sinA3sinC.(1)求b的值;(2)若cos B+√3sin B=2,求a+c的取值范围.课时作业(二十三)第23讲正弦定理和余弦定理的应用基础热身1.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把平面分成四部分,以正北方向为始边,按顺时针方向旋转280°到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者 ()A.北偏东80°的方向B.东偏北80°的方向C.北偏西80°的方向D.西偏北80°的方向2.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走,某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角,前进200 m后,测得该参照物与前进方向成75°角,则河的宽度为 ()A.50(√3+1) mB.100(√3+1) mC.50√2mD.100√2m3.如图K23-1所示,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°图K23-14.如图K23-2所示,为了测量一棵树的高度,在地面上取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为m.图K23-25.[2017·海南中学月考]如图K23-3所示,设A,B两点在河的两岸,一名测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出A,C两点间的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为m.图K23-3能力提升6.在直径为30 m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,光源射向地面的光呈圆锥体,且其轴截面的顶角为120°,若要求光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为()A.15√3mB.15 mC.5√3mD.5 m7.甲船在岛A正南方向的B处以每小时4千米的速度向正北方向航行,AB=10千米,同时乙船自岛A出发,以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为()A.1507分钟B.157分钟C.21.5 分钟D.2.15小时8.如图K23-4所示,一座建筑物AB的高为(30-10√3)m,在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为()A .30 mB .60 mC .30√3 mD .40√3 m图K23-49.如图K23-5所示,为了了解某海域海底构造,在海平面上取一条直线上的A ,B ,C 三点进行测量,已知AB=50 m,BC=120 m,于A 处测得水深AD=80 m,于B 处测得水深BE=200 m,于C 处测得水深CF=110 m,则∠DEF 的余弦值为 ( ) A .1665 B .1965 C .1657 D .1757图K23-510.[2017·北大附中期中] 如图K23-6所示,某住宅小区的平面图形是圆心角为120°的扇形AOB ,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于OA 的小路DC.已知住户张先生从O 沿OD 走到D 用了3 min,再从D 沿DC 走到出入口C 用了4 min .若张先生步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径为 ( ) A .40√13 m B .50√13 mC .30√15 mD .40√15 m图K23-611.某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为AB的烟囱,测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=40米,并在点C处正上方的点E处观测烟囱顶部A的仰角为30°,且CE=1米,则烟囱的高AB= 米.12.某小区的绿化地有一个三角形的花圃区,若该三角形的三个顶点分别用A,B,C表示,其对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cos A-a cos C=0,则在A处望B处和C处所成的视角为.13.[2017·湖北百所重点中学模拟]我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为平方千米.14.(10分)[2017·佛山二模]某沿海四个城市A,B,C,D的位置如图K23-7所示,其中∠ABC=60°,∠BCD=135°,AB=80 n mile,BC=40+30√3n mile,CD=250√6n mile.现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行,60 min后,轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行,则收到指令时该轮船到城市C的距离是多少.图K23-715.(13分)如图K23-8所示,已知在水平面东西方向上的M,N处各有一座发射塔,塔顶A,B的海拔高度分别为AM=100米,BN=200米,一辆测量车在M正南方向的点P处测得发射塔顶A 的仰角为30°,该测量车沿北偏西60°的方向行驶了100√3米后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B的仰角为θ,且∠BQA=θ,经测量得tan θ=2,求两发射塔顶A,B之间的距离.图K23-8难点突破方向的A 16.(12分)如图K23-9所示,某流动海洋观测船开始位于灯塔B北偏东θ0<θ<π2+θ-√3cos 2θ=1,AB=AD.在接到上级命令后,该观测船从A点沿AD方向点,且满足2sin2π4在D点补充物资后沿BD方向投放浮标C.已知该观测船行驶的航程为8 km,浮标C与A点的距离为4√3km.(1)求θ的值;(2)求浮标C到补给站D的距离.图K23-9。
押新高考第17题 解三角形(新高考)(解析版)
解三角形解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要考查利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形面积公式等知识解题，难度中等．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边化角”或“角化边”，另外，要注意a ＋c ，ac ，a 2＋c 2三者的关系．1．利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 2．常见结论：（1）三角形的内角和定理：π A B C ++=，常见变式：πA B C +=-，π222A B C+=-． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+；()s os co c A B C =-+；sin cos 22A B C+=； cos sin 22A B C +=．3．在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解． 4．求三角形面积的方法：（1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解；（2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键；（3）三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 5．几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中．1．（2021·湖南·高考真题）如图，在ABC 中，45B ∠=︒，点D 在BC 边上，且2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=（1）求AC 的长； （2）求sin BAD ∠的值. 【详解】 （1）2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=， ∴在ADC 中，由余弦定理得222222321cos 22323AD CD AC AC ADC AD CD +-+-∠===⋅⨯⨯，29,3AC AC =∴=∴（2）1cos 3ADC ∠=，所以22sin ADC ∠=，又由题意可得=BAD ADC B ∠∠-∠，sin =sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∴∠∠-∠=∠∠-∠∠22212423-=2．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 22A B C =2b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【详解】（I ）因为sin :sin :sin 22A B C =::22a b c =2b =，2,2a c ∴==；（II ）由余弦定理可得2223cos 242222a b c C ab +-===⨯⨯； （III ）3cos 4C =，27sin 1cos C C ∴=-=， 7337sin 22sin cos 24C C C ∴===，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=， 所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭37311321182-=⨯=. 3．（2021·江苏·高考真题）已知向量()223sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，设函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最大值;（2）在锐角ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()0,7f B b ==3sin 2sin 0A C -=，求ABC 的面积. 【详解】（1）因为()223sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，所以函数()f x a b =⋅223cos 6cos 323cos 23x x x x x =-+=-++23233x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴当2sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max ()233f x =（2）∵ABC 为锐角三角形，02B π∴<<.25233B πππ∴<+< 又()0f B =23si n 23B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭24233B ππ∴+= 3B π∴= 3sin 2sin 032A C a c -=∴=2221cos 22a c b B ac +-==即222971432a a a +-= 2,3a c ∴==1333232ABCS∴=⨯⨯=4．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为43+ 条件③：ABC 33【详解】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，23sin 2sin 3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 231sin 2c Cb B=== 与2c b =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin6a b R R π===，22sin33c R R π==， 则周长23423a b c R R ++==+ 解得2R =，则2,3a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：()222312231cos76π+-⨯⨯⨯=；若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 22ABCSab C a ===3a = 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：22233212cos 33223422a a b b π⎛⎫+-⨯⨯⨯=++⨯= ⎪⎝⎭. 5．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²） 【解析】(1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD == 则AE EH =，所以直角ADE 与直角HED △全等 所以20ADE HDE ∠=∠=︒在直角HED △中，tan2015tan20EH DH =︒=︒90250HDF ADE ∠=︒-∠=︒在直角FHD △中，tan5015tan50HF AD =︒=︒()sin 20sin5015tan 20tan5015cos20cos50EF EH HF ︒︒⎛⎫=+=︒+︒=+ ⎪︒︒⎝⎭()sin 2050sin 20cos50cos20sin501515cos20cos50cos20cos50︒+︒︒︒︒+︒︒=⨯=⨯︒︒︒︒sin 70151523.3cos 20cos50cos50︒=⨯=≈︒︒︒(2)设ADE θ∠=,902HDF θ∠=︒-，则15tan AE θ=，()15tan 902FH θ=︒- ()115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFDSEF DH θθθθ⎛⎫=⨯⨯=⎡+︒-⎤=+ ⎪⎣⎦⎝⎭11515tan 22ADESAD AE θ=⨯⨯=⨯ 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADEDEFS S Sθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2251225122533tan 23tan 4tan 4tan 2θθθθ⎛⎫=+≥⨯⨯= ⎪⎝⎭ 当且当13tan tan θθ=，即3tan 3θ=时取得等号，此时315tan 15538.73AE θ==⨯=≈ 即当3tan 3θ=时，梯形AEFD 的面积取得最小值22532则此时梯形FEBC 的面积有最大值22531530255.142⨯-≈ 所以当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.141．（2022·山东枣庄·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B Cb a B +=．求： (1)A ； (2)a cb-的取值范围． 【解析】(1) 因为sinsin 2B Cb a B +=， 所以sin cossin sin 2AB A B =, 因为()0,,sin 0B B π∈∴≠，()1cos2sin cos 0,cos 0,sin =222222A A A A A A π∴=∈∴≠∴，，，因为0,,22263A A A πππ<<∴=∴=. (2)由正弦定理，2sinsin()sin sin 33sin sin B a c A Cb BB ππ----== 331sin 222sin B B B-=31cos 1sin 2B B -=- 21(12sin )313122222sin cos 22B B B B ---=-，因为203B π<<，所以023B π<<，所以0tan 32B<< 所以1311222B -<-<，所以a cb -的取值范围是1(,1)2-. 2．（2022·山东青岛·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-．(1)求角A ；(2)若5b =，BC 107c ． 【解析】(1)因为()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-， 所以222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 所以由正弦定理得222b c a bc +-=，所以由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为()0,πA ∈，所以π3A =. (2)由三角形面积公式得111075722ABC S ah ===△， 11π53sin 5sin 223ABC S bc A c ==⨯⨯=△，5753=，即21a =， 由余弦定理得22255a c c =+-，将214a c =代入上式得216800c c +-=， 解得4c =或20-（舍），所以边4c =.3．（2022·山东济南·一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 3cos b A a B =. (1)求B ：(2)若D 为边AC 的中点，且7BD =，4c =，求a . 【解析】(1)解：由sin 3cos b A a B =及正弦定理， 得sin sin 3sin cos B A A B =， 因为sin 0A >，所以sin 3cos B B =， 又cos 0B ≠，所以tan 3B =， 因为()0,πB ∈，所以π3B =. (2)解：延长BD 到点M 使BD DM =，连接AM ， 在ABM 中，4AB =，AM a =，27BM =，2π3BAM ∠=， 由余弦定理，得2222π2cos3BM AB AM AB AM =+-⋅⋅， 即24120a a +-=，解得2a =或6a =-（舍）， 所以2a =.4．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，点E 在边CD 上，120C ∠=︒，3BC =45CEB ∠=︒．(1)求BE ，CE ；(2)若7AB =，求sin AEB ∠． 【解析】(1)因为23BC =，45CEB ∠=，120C ∠=，所以15CBE ∠=． 在EBC 中，由正弦定理可得23sin 45sin120sin15BE CE==， 可得23sin12032sin 45BE ⨯==，23sin1533sin 45CE ⨯==-．(2)因为AB CD ∥，所以45CEB ABE ∠=∠=．在AEB △中，由余弦定理可得2222cos 45EA EB AB EB AB =+-⋅⋅ ()2223272327252=+-⨯⨯⨯=，所以5EA =． 因为222cos 2EA EB AB AEB EA EB +-∠=⋅2518492102532+-==-⨯⨯，所以72sin 10AEB ∠=． 5．（2022·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD 中，222AB BC AB BC AC ++⋅=．(1)若33AB BC ==，求△ABC 的面积；(2)若3CD BC =，30CAD ∠=，120BCD ∠=，求∠ACB 的值． 【解析】(1)在△ABC 中，2221cos 222AB BC AC AB BC B AB BC AB BC +--⋅===-⋅⋅，因为0180B <<，所以120B =． 11333sin120312224ABC S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=△． (2)设ACB θ∠=，则120ACD θ∠=-，30ADC θ∠=+，60BAC θ∠=-． 在△ACD 中，由()sin 30sin 30AC CD θ=+，得()sin 30sin30AC CD θ+=． 在△ABC 中，由()sin120sin 60AC BC θ=-，得()sin120sin 60AC BC θ=-．联立上式，并由3CD BC =得()()sin 30sin1203sin 30sin 60θθ+=-，整理得()()1sin 30sin 604θθ+-=，所以()1sin 6022θ+=， 因为060θ<<，所以10062068θ<+<，所以602150θ+=，解得45θ=，即∠ACB 的值为45．（限时：30分钟）1．在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若2A π≠，且__________．（1）求a 的值； （2）若23A π=，求ABC 周长的最大值． 从①3cos 3cos a B b A ac +=；②3cos cos 3a B ab A c +=；③cos cos 3b C c B +=这三个条件中选一个补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【详解】解：（1）若选①，则由正弦定理得：3sin cos 3sin cos sin 3sin()sin 3sin sin A B B A a C A B a C C a C +=⇒+=⇒=,因为(0,)C π∈所以sin 0C ≠，因此3a =； 若选②，则由正弦定理得：3sin cos sin cos 3sin sin cos 3sin()3sin cos A B a B A C a B A A B A B +=⇒=+-sin cos 3cos sin a B A A B ⇒=，因为,(0,)A B π∈且2A π≠，所以sin 0,cos 0B A ≠≠，因此3a =；若选③，则由正弦定理得： 33sin sin cos sin cos sin sin()A B C C B A B C a a+=⋅⇒+=， 因为(0,)A π∈且2A π≠，所以sin 0A ≠，因此3a =； （2）若23A π=，则由余弦定理得：222222cos 9b a b c c bc A b c =+-⋅⇒=++， 2229()9b c bc b c bc ⇒+-=-⇒+-=， 又22b c bc +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故22()()94b c b c ++-，即23b c +，当且仅当3b c == ∴a b c ++的最大值为33+2．已知函数()sin cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调增区间；（2）ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 锐角，若3()f A =，5a =3b c +=，求ABC 的面积.【详解】 （1）2cos 3sin sin cos 3sin ()sin 2222x x x x x f x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ sin 2sin 2333344424x x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+-=-， 令222232k x k πππππ-≤+≤+，51212k Z k x k ππππ∈⇒-≤≤+，k Z ∈， ()f x 的单调增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； （2）sin 2333sin(2)0224433A A A k ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=-⇒+=⇒+=，k Z ∈，∵A 为锐角，∴3A π=， 由余弦定理得：2222222cos 5()35a b c bc A b c bc b c bc =+-⇒+-=⇒+-=又433b c bc +=⇒= 面积11433sin 22323S bc A ==⨯⨯=. 3．如图，在平面四边形ABCD 中，5π6DAB ∠=，π4ADC ∠=，222AB AC ==，1CD =. （1）求cos ACD ∠的值；（2）求BC 的值.【详解】（1）由正弦定理，得sin sin AC CD ADC CAD =∠∠， 21sin 2CAD =∠.所以1sin 2CAD ∠=，故π6CAD ∠=. 所以ππππcos cos πcos 6464ACD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∠=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππππ26cos cos sin sin 6464-=-+=. （2）由（1）可知π6CAD ∠=，所以2π3BAC ∠=. 由余弦定理，得2222π2cos143BC AB AC AB AC =+-⋅⋅=， 所以14BC =4．已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()20b c cosA cosC α--=.（1）求角A 的大小；（2）求cosB cosC +的取值范围.【详解】（1）在ABC 中，由()20b c cosA acosC --=，利用正弦定理得()20sinB sinC cosA sinAcosC --=，所以()20sinBcosA sin A C -+=，即20sinBcosA sinB -=，因为0B π<<，可得0sinB ≠，所以12cosA =， 又因为0A π<<，所以3A π=. （2）由（1）知3A π=，可得23B C π+=，可得23C B π=-， 所以23cosB cosC cosB cos B π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2233cosB cosBcos sinBsin ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 3126cosB sin B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为ABC 为锐角三角形，所以02B π<<，02C <<π，且3A π=， 所以62B ππ<<，2363B πππ<+<316sin B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ 故cosB cosC +的取值范围为3⎤⎥⎝⎦.5．在①2π3θ=，②C 到OA 3③321sin COD ∠=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知圆心角为θππ2θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的扇形AOB ，C 为弧AB 上一点，D 为线段OB 上一点，且3CD =，2OD =，//CD AO ，______，求AOC △的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【详解】选择条件①：设该扇形的半径为r ．因为//CD AO ，所以ππ3CDO θ∠=-=． 在CDO 中，由余弦定理，得222π2cos 3CD OD CD OD OC +-⋅=， 即2221322322r +-⨯⨯⨯=，解得7r = 在CDO 中，由正弦定理，得sin sin OC OD CDO OCD =∠∠72sin 32AOC =∠，得21sin 7AOC ∠=， 所以AOC △的面积为22112121sin 72272r AOC ∠=⨯⨯=． 选择条件②：因为//CD AO ，所以C 到OA 的距离等于O 到CD 的距离，所以3sin CDO ∠= 因为ππ2θ<<，所以CDO ∠为锐角，所以π3CDO ∠=． 设该扇形的半径为r ，在CDO 中，由余弦定理，得222π2cos 3CD OD CD OD OC +-⋅=，即2221322322r +-⨯⨯⨯=，解得7r =在CDO 中，由正弦定理，得sin sin OC OD CDO OCD =∠∠72sin 3AOC =∠，得21sin 7AOC ∠=， 所以AOC △的面积为22112121sin 722r AOC ∠=⨯=． 选择条件③： 设该扇形的半径为r ．在CDO 中，由正弦定理，得sin sin CD OD CDO OCD =∠∠2sin 321OCD =∠，所以21sin 7OCD ∠=． 因为OD CD <，所以OCD ∠为锐角，则227cos 1sin 7OCD OCD -=∠∠=． 在CDO 中，由余弦定理，得2222cos OD CD OC CD OC OCD =+-⋅⋅∠，即22227236r r =+-，解得7r =57572<，所以7r = 所以AOC △的面积为221112121sin 7sin 722272r AOC OCD ∠=⨯⨯∠=⨯⨯=．。
2024年高考数学真题分类汇编05：三角函数与解三角形
解法二：令 h x f (x) g x , x 1,1 ，可知 h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可
知 h x 的零点只能为 0，即可得 a 2 ，并代入检验即可. 【解析】解法一：令 f (x) g x ，即 a(x 1)2 1 cos x 2ax ，可得 ax2 a 1 cos x ， 令 F x ax2 a 1,G x cos x ，
三角函数与解三角形
一、单选题
1．（2024·全国）已知 cos( ) m, tan tan 2 ，则 cos( ) （ ）
A． 3m
B． m 3
C．
m 3
D． 3m
2．（2024·全国）当
xÎ
[0, 2 ] 时，曲线
y
sin
x
与
y
2
sin
3x
6
的交点个数为（
）
A．3
B．4
C．6
的最小正周期为
π
．则函数在
π 12
,
π 6
的最小值是（ ）
A． 3
2
B． 3 2
C．0
D． 3 2
9．（2024·上海）下列函数 f x 的最小正周期是 2π 的是（ ）
A． sinx cosx C． sin2x cos2x
B． sinxcosx D． sin2x cos2x
二、多选题
y
f
x 在 0,1 处的切线与两坐标轴围
成的三角形的面积为（ ）
A． 1 6
B．
1 3
C．
1 2
D．
2 3
7．（2024·北京）已知fxFra biblioteksinx
全国版2024高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形试题1理含解析
第四章 三角函数、解三角形第四讲 正、余弦定理及解三角形练好题·考点自测1.[2024全国卷Ⅲ,7,5分][理]在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A.19 B.13 C.12 D.232.[2024 山东,9, 5分][理]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满意sin B (1+2cosC )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )A.a =2bB.b =2aC.A =2BD.B =2A3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =18,b =24,A =45°,则此三角形( ) A.无解 B.有一解 C.有两解D.解的个数不确定4.下列说法正确的是(△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c )( ) ①在△ABC 中,若A >B ,则必有sin A >sin B ; ②在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则△ABC 为锐角三角形;③在△ABC 中,若A =60°,a =4√3,b =4√2,则B =45°或B =135°;④若满意条件C =60°,AB =√3,BC =a 的△ABC 有两个,则实数a 的取值范围是(√3,2); ⑤在△ABC 中,若a cos B =b cos A ,则△ABC 是等腰三角形. A.①③④⑤ B.①②③④ C.①④⑤D.①③⑤5.[2024全国卷Ⅱ,15,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为 .6.[2024浙江,14,6分]在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上.若∠BDC =45°,则BD = ,cos∠ABD = .7.[2024全国卷Ⅱ,13,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = .8.[2024深圳市高三统一测试]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a +b )(sin A -sin B )= (a -c )sin C ,b =2,则△ABC 的外接圆面积为 .9.[湖北高考,5分][理]如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶,到A 处时测得马路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD = m .图4-4-1 拓展变式1.(1)[2024江淮十校联考]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2a sin A -b sin B =2c sin C ,cos A =14,则sinB sinC=( ) A.4 B.3 C.2 D.1(2)在锐角三角形ABC 中,b =2,a +c =√7(a >c ),且满意2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,则a -c = . 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , (1)若cb <cos A ,则△ABC 的形态为 .(2)若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则△ABC 的形态为 .3.[2024河南洛阳4月模拟]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若△ABC 的面积S 满意4√3S +c 2=a 2+b 2,c =√7,a =4,且b >c ,求b 的值; (2)若a =√3,A =π3,且△ABC 为锐角三角形,求△ABC 周长的取值范围.4.[2024全国卷Ⅰ,17,12分][理]在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A =45°,AB =2,BD =5. (1)求cos∠ADB ; (2)若DC =2√2,求BC.5.(1)[解三角形与数列、基本不等式综合]设△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,且满意sin(A -C )-sin B =-√32,BC 延长线上有一点D ,满意BD =2,则△ACD 面积的最大值为( ) A .1 B .√34C .√32D .√63(2)[新课标全国Ⅰ,5分][理]在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是 . 6.[2024山东,15,5分]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-6所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC 的切点,四边形DEFG 为矩形,BC ⊥DG ,垂足为C ,tan ∠ODC =35,BH ∥DG ,EF =12 cm ,DE =2 cm ,A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ,圆孔半径为1 cm ,则图中阴影部分的面积为 cm 2.图4-4-6答 案第四讲 正、余弦定理及解三角形1.A 由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ×BC ×cos C =16+9-2×4×3×23=9,AB =3,所以cos B =9+9-162×9=19,故选A .2.A 由题意可知sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin(A +C ),即2sin B cos C =sin A cos C ,又cos C ≠0,故2sin B =sin A ,由正弦定理可知a =2b.故选A.3.C ∵b sin A =12√2<a <b ,∴三角形有两解.4.C 对于①,在△ABC 中,若A >B ,则a >b ,a 2R >b2R (R 为△ABC 的外接圆的半径),即sin A >sin B ,①正确;对于②,在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则A 是锐角,但△ABC 不肯定是锐角三角形,②错误;对于③,由a sinA =b sinB 得sin B =ba sinA √24√3×√32=√22,因为a >b ,所以B <A ,所以B =45°,③错误;对于④,由条件可得BC sin C <AB <BC ,即√32a <√3<a ,解得√3<a <2,④正确;对于⑤,由a cos B =b cos A 得sinA cosB =sin B cos A ,即sin(A -B )=0,又A ,B 为三角形的内角,所以A =B ,故△ABC 是等腰三角形,⑤正确.故选C .5.6√3 因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =2 √3,所以a =4√3,所以△ABC 的面积S =12ac sin B =12×4 √3×2√3×sin π3=6√3.6.12√257√210 在Rt△ABC 中,易得AC =5,sin C =AB AC =45.在△BCD 中,由正弦定理得BD =BC sin∠BDC ×sin∠BCD =√2245=12√25,sin∠DBC =sin[180°-(∠BCD +∠BDC )]=sin(∠BCD +∠BDC )=sin∠BCD cos∠BDC +cos∠BCD sin∠BDC =45×√22+35×√22=7√210.又∠ABD +∠DBC =90°,所以cos∠ABD =sin∠DBC =7√210.7.2113解法一 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365.由正弦定理a sinA =b sinB ,得b =asinB sinA =2113. 解法二 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而cos B =-cos(A +C )=-cos A cos C +sin A sin C =-45×513+35×1213=1665.由正弦定理a sinA =c sinC ,得c =asinC sinA =2013. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b =2113.解法三 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213, 由正弦定理a sinA=c sinC,得c =asinC sinA=2013.从而b =a cos C +c cos A =2113.8.43π 利用正弦定理将已知等式转化为(a +b )(a -b )=(a -c )c ,即a 2+c 2-b 2=ac ,所以由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=12,因为0°<B <180°,所以B =60°.设△ABC 的外接圆半径为R ,则由正弦定理知,2R =b sinB=√3,R =√3,所以△ABC 的外接圆面积S =πR 2=43π.9.100√6 由题意,得∠BAC =30°,∠ABC =105°.在△ABC 中,因为∠ABC +∠BAC +∠ACB =180°,所以∠ACB =45°. 因为AB =600 m,由正弦定理可得600sin45°=BCsin30°,即BC =300√2 m .在Rt△BCD 中,因为∠CBD =30°,BC =300√2 m,所以tan 30°=CDBC =300√2,所以CD =100√6 m .1.(1)D 因为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2a sin A -b sin B =2c sin C ,利用正弦定理将角化为边可得2a 2-b 2=2c 2①,由①及余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 4c =14,化简得b c =1,即sinBsinC =1,故选D .(2)√3 因为2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,所以2sin A sin B cos C +2sin C sin B cos A =√3sin B.在锐角三角形ABC 中,sin B >0,所以2sin A cos C +2sin C cos A =√3,即sin(A +C )=√32,所以sin B =√32,cos B =12.因为b 2=a 2+c 2-2ac cosB =(a +c )2-2ac -2ac cos B ,所以ac =1.因为(a -c )2=(a +c )2-4ac =7-4=3,且a >c ,所以a -c =√3.2.(1)钝角三角形 已知c b<cos A ,由正弦定理,得sinCsinB<cos A ,即sin C <sin B cos A ,所以sin(A +B )<sin B cos A ,即sinB cos A +cos B sin A -sin B cos A <0,所以cos B sin A <0.又sin A >0,于是有cos B <0,即B 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形 因为c -a cos B =(2a -b )cos A ,所以由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sinB cos A ,又C =π-(A +B ),所以sin C =sin(A +B ),所以sin A cos B +cos A sin B -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A ,所以cos A (sin B -sin A )=0,所以cos A =0或sin B =sin A ,所以A =π2或B =A (B =π-A 舍去),所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.3.(1)因为4√3S =a 2+b 2-c 2,所以4√3×12ab sin C =2ab cos C , 所以tan C =√33,又0<C <π,所以C =π6.由余弦定理及c =√7,a =4,得cos π6=16+b 2-78b,解得b =3√3或b =√3.因为b >c =√7,所以b =3√3. (2)由正弦定理及a =√3,A =π3得√3sinπ3=b sinB =csinC ,故b =2sin B ,c =2sin C =2sin(2π3-B ).则△ABC 的周长为√3+2sin B +2sin(2π3-B )=√3+√3cos B +3sin B =√3+2√3sin(B +π6).由题意可知{0<B <π2,0<2π3-B <π2,解得π6<B <π2.所以π3<B +π6<2π3,故√32<sin(B +π6)≤1,因此三角形ABC 周长的取值范围为(3+√3,3√3]. 4.(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sinA=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin∠ADB =√25. 由题设知,∠ADB <90°,所以cos∠ADB =√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC =sin∠ADB =√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8-2×5×2√2×√25=25,所以BC =5.5.(1)B 因为△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,所以B =π3,又sin(A -C )-sin B =-√32,所以A =B =C =π3,设△ABC 的边长为x ,由已知有0<x <2,则S △ACD =12x (2-x )sin 2π3=√34x (2-x )≤√34(x+2-x 2)2=√34(当且仅当x =2-x ,即x =1时取等号),故选B .(2)(√6−√2,√6+√2) 如图D 4-4-1,作△PBC ,使∠B =∠C =75°,BC =2,作直线AD 分别交线段PB ,PC 于A ,D 两点(不与端点重合),且使∠BAD =75°,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形.过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在△PBC 中,可求得BP =√6+√2,在△QBC 中,可求得BQ =√6−√2,所以AB 的取值范围是(√6−√2,√6+√2).图D 4-4-16.5π2+4 如图D 4-4-2,连接OA ,作AQ ⊥DE ,交ED 的延长线于Q ,AM ⊥EF 于M ,交DG 于E',交BH 于F',记过O 且垂直于DG 的直线与DG 的交点为P ,设OP =3m ,则DP =5m ,不难得出AQ =7,AM =7,于是AE'=5,E'G =5,∴∠AGE'=∠AHF'=π4,△AOH 为等腰直角三角形,又AF'=5-3m ,OF'=7-5m ,AF'=OF',∴5-3m =7-5m ,得m =1,∴AF'=5-3m =2,OF'=7-5m =2,∴OA =2√2,则阴影部分的面积S =135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−π2=(5π2+4)(cm 2).。
通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题06三角函数及解三角形含解析理
1 1
tan tan
2 2
1 1
22 22
3， 5
tan( ) tan 1 2 1 1 ， 4 1 tan 1 2 3
11.（2024·江苏卷）已知 sin2 ( ) = 2 ，则 sin 2 的值是____.
4
3
【答案】 1 3
【解析】 sin2 ( ) ( 2 cos 2 sin )2 1 (1 sin 2 )
图1
9
图2
图3
4．【2024·全国Ⅱ卷】已知 α∈(0， )，2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2
A． 1 5
B． 5 5
C． 3 3
【答案】B
D． 2 5 5
【解析】
2sin 2α cos 2α 1，4sin α cos α 2 cos2 α .
α
0,
2
,
cos
α
0
，
sin α 0, 2sin α cos α ，又 sin2 cos2 1，5sin2 α 1,sin2 α 1 ，又 5
f
x
可得：
cos
4 9
6
0
.又
4 9
,
0
是函数
f
x 图象与
x
轴负半轴的第一个交点，
所以 4 ，解得： 3
9
62
2
所以函数
f
x 的最小正周期为T
2
2 3
4 3
2
2.（2024·新课标Ⅰ）已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （
A5 3
B. 2 3
7.（2024·山东卷）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）
高考数学二轮复习 第二板块 保分题 全争取练酷专题教学案 文
第二板块保分题全争取高考第17题之(一)⎪⎪三角函数与解三角形[说明] 高考第17题主要集中在“三角函数与解三角形”与“数列”两个知识点命题，每年选其一进行考查．1．(2016²全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C .因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0. 故cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，即a ＋b ＝5， 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.2．(2015²全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sinC . (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2， 故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12³2³2＝1.题型一 正、余弦定理解三角形[学规范](1)因为AD 平分∠BAC ， 所以AC AB ＝DC DB❶.1分 因为BD ＝2DC ，所以AC AB ＝12.2分 由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，3分 即sin B sin C ＝AC AB，4分 所以sin B sin C ＝12.5分 (2)因为∠BAC ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，6分 所以C ＝120°－B ❷，7分所以sin C ＝sin(120°－B )＝32cos B ＋12sin B ． 8分由(1)知2sin B ＝sin C ❷， 所以2sin B ＝32cos B ＋12sin B ，即32sin B ＝32cos B ，所以tan B ＝33.10分又0°＜B ＜180°❸， 所以B ＝30°.12分[防失误]①处易忽略角平分线性质而失分，注意平面图形的角平分线性质应用．②处若不能建立B ，C 两角之间的联系，则会导致解题受阻，注意求值过程中寻求量与量间的关系与代换．③处易因不注明角的范围会失步骤分，注意解题的严密性．[通技法]利用正弦、余弦定理求解三角形中基本量的方法[对点练]1．(2017²云南模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．解：(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k . 又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2³3k ³2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，由正弦定理，得AD sin ∠ABD ＝BDsin ∠DAB，∴sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2³327＝217. (2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277.由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD ＝BD sin ∠DBCsin ∠BCD＝7³27732＝433.题型二 与三角形面积有关的问题[学规范](1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，2分即sin B ＝4(1－cos B )❶，3分 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0，4分 解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)❷.6分 (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，7分 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac ❸.8分 又S △ABC ＝2，则ac ＝172.9分由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac ❹(1＋cos B )10分＝36－2³172³⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 11分 所以b ＝2.12分[防失误]①处利用倍角公式时，易把sin 2B 2＝1－cos B 2记为sin 2B 2＝1＋cos B 2，导致化简结果错误． ②处根据三角形中内角的范围舍去cos B ＝1易忽视．③处关键是利用(1)的结论，结合平方关系求出sin B ，由此明确面积公式的选择． ④处若出现a ＋c 及ac ，则注意余弦定理中配方法的使用，以及整体思想的运用．[通技法]与三角形面积有关的问题的解题模型[对点练]2．(2017²石家庄模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac . (1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，求△ABC 的面积． 解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)∵b ＝13，cos B ＝58，∴b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac .又sin A ，sin B ，sin C 成等差数列， 由正弦定理，得a ＋c ＝2b ＝213， ∴13＝52－134ac ，∴ac ＝12.由cos B ＝58，得sin B ＝398，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12³12³398＝3394.1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A ＋sin B ＝3sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222³2³52＝－15.即cos C ＝－15.(2)因为sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6. ① 由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9， ② 由①②解得a ＝3，b ＝3.2．(2017²西安八校联考)已知△ABC 内接于单位圆，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若b 2＋c 2＝4，求△ABC 的面积． 解：(1)∵2a cos A ＝c cos B ＋b cos C ， ∴2sin A cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ， 即2sin A cos A ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又0＜A ＜π，∴sin A ≠0. ∴2cos A ＝1，cos A ＝12.(2)由(1)知cos A ＝12，∴sin A ＝32.∵asin A＝2，∴a ＝2sin A ＝ 3.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得bc ＝b 2＋c 2－a 2＝4－3＝1， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12³1³32＝34.3．(2017²天津模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin A ＋cos A ＝1－sin A2. (1)求sin A 的值；(2)若c 2－a 2＝2b ，且sin B ＝3cos C ，求b . 解：(1)由已知，2sin A 2cos A2＋1－2sin 2A 2＝1－sin A2，在△ABC 中，sin A 2≠0，因而sin A 2－cos A 2＝12，则sin 2A 2－2sin A 2cos A 2＋cos 2A 2＝14，因而sin A ＝34.(2)由已知sin B ＝3cos C ， 结合(1)，得sin B ＝4cos C sin A . 法一：利用正弦定理和余弦定理得b ＝4 a 2＋b 2－c 22ab ³a ，整理得b 2＝2(c 2－a 2)．又c 2－a 2＝2b ，∴b 2＝4b ， 在△ABC 中，b ≠0，∴b ＝4. 法二：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴2b ＝b 2－2ab cos C ， 在△ABC 中，b ≠0， ∴b ＝2＋2a cos C ， ① 又sin B ＝4cos C sin A ， 由正弦定理，得b ＝4a cos C ， ② 由①②解得b ＝4.4．(2017²天津五区县模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8 sin 2A ＋B2－2cos 2C ＝7.(1)求tan C 的值；(2)若c ＝3，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值． 解：(1)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B 2＝π2－C 2，则sin A ＋B 2＝cos C 2. 由8sin2A ＋B2－2cos 2C ＝7，得8cos 2C2－2cos 2C ＝7， 所以4(1＋cos C )－2(2cos 2C －1)＝7， 即(2cos C －1)2＝0，所以cos C ＝12.因为0＜C ＜π，所以C ＝π3，于是tan C ＝tan π3＝ 3.(2)由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a . ① 又c ＝3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3. ② 联立①②，解得a ＝1，b ＝2.5．(2018届高三²湘中名校联考)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． 解：(1)∵a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ， ∵sin A ≠0， ∴sin B ＝12.又△ABC 为锐角三角形， ∴B ＝π6.(2)∵B ＝π6，∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3. 由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B ＞π2，∴π3＜A ＜π2，∴2π3＜A ＋π3＜5π6， ∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜32，∴32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜32，∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫32，32. 6.(2017²洛阳模拟)如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°. (1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围． 解：(1)由已知，易得∠ACB ＝45°，在△ABC 中，10sin 45°＝CBsin 60°，解得CB ＝5 6.因为AC ∥BD ，所以∠ADB ＝∠CAD ＝30°，∠CBD ＝∠ACB ＝45°， 在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ， 所以DB ＝AB ＝10.在△BCD 中，CD ＝CB 2＋DB 2－2CB ²DB cos 45°＝510－4 3. (2)AC ＋AB ＞BC ＝10，由余弦定理得cos 60°＝AB 2＋AC 2－1002AB ²AC，即(AB ＋AC )2－100＝3AB ²AC . 又AB ²AC ≤⎝⎛⎭⎪⎫AB ＋AC 22，所以 AB ＋AC 2－1003≤⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ＋AC 22，解得AB ＋AC ≤20，故AB ＋AC 的取值范围为(10,20]． 高考第17题之(二)⎪⎪ 数 列1．(2017²全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和． 解：(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝2 2n ＋1 2n －1 ＝12n －1－12n ＋1.则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 2．(2016²全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因此{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.3．(2014²全国卷Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3， 由题意得a 2＝2，a 4＝3. 设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2 ＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2＝1－n ＋42n ＋2.所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.题型一 等差、等比数列的判定及应用[学规范](1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1 1＋q ＝2，a 1 1＋q ＋q 2＝－6.❶3分解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2. 5分 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.6分(2)由(1)可得S n ＝ －2 ³[1－ －2 n]1－ －2＝－23＋(－1)n 2n ＋13❷.8分由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋ －1n 2n ＋13＝2S n ❸， 10分 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.12分[防失误]①处注意此类方程组的整体运算方法的运用，可快速求解． ②处化简S n 时易出现计算错误．③处对于S n ＋2＋S n ＋1的运算代入后，要针对目标，即化为2S n ，观察结构，整体运算变形，可得结论．[通技法]1．等比数列的4种判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ²a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ²q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ²q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．2．证明一个数列{a n }为等差数列的2种基本方法(1)利用等差数列的定义证明，即证明a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)； (2)利用等差中项证明，即证明a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ∈N *)．[对点练]1．(2017²成都模拟)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n－4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋...＋(2n －4)＝2＋22＋ (2)－4(n －1)＝2 1－2n1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足．∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.题型二 等差、等比数列的综合应用[学规范](1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，2分解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.❶4分所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋25(n －1)＝2n ＋35.6分 (2)由(1)得b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35，7分 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1❷； 8分 当n ＝4,5时，2＜2n ＋35＜3，b n ＝2❸；9分 当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3❹； 10分 当n ＝9,10时，4＜2n ＋35＜5，b n ＝4❺；11分所以数列{b n }的前10项和为 1³3＋2³2＋3³3＋4³2＝24.12分[防失误]①处易a 1和d 求错而失分，注意运算求解能力的训练．②③④⑤处若不明白b n ＝[a n ]的含义会导致无法继续答题．准确理解题意是关键．[通技法]等差、等比数列基本量的计算模型(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序．(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．[对点练]2．(2017²沈阳模拟)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，首项a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列 {b n }满足b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得，a 22＝a 1a 4， 即(1＋d )2＝1＋3d ，解得d ＝0或d ＝1. 又d ≠0，∴d ＝1，可得a n ＝n . (2)由(1)得b n ＝n ＋2n，∴T n ＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(2＋22＋23＋ (2)) ＝n n ＋12＋2n ＋1－2.1．(2017² 长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)．(1)若数列{b n }满足b n ＝a n －12，求证：{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知得a n ＋1－12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12(n ∈N *)，从而有b n ＋1＝3b n .又b 1＝a 1－12＝1，所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得b n ＝3n －1，从而a n ＝3n －1＋12， 所以S n ＝1＋12＋3＋12＋…＋3n －1＋12＝1＋3＋…＋3n －1＋n 2＝1－3n1－3＋n 2＝3n＋n －12.2．(2017²全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝qn －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3. ① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6. ② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.3．(2017²南京模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5，可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5， 所以3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)³2＝2n －1. (2)由(1)，可得b n ＝(－1)n －1²(2n －1)．∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1) ＝(1－3)＋(5－7)＋…＋(4n －3－4n ＋1) ＝(－2)³n ＝－2n .4．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n .数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，等比数列{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋d ＝6，q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－43，q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，即1S n＝2n n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 5．(2018届高三²惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n1－3＝3n－12.T n ≤S n 即3n－12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.6．(2017²石家庄模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．(1)求m 的值；(2)若数列{b n }满足a n2＝log 2b n (n ∈N *)，求数列{(a n ＋6)²b n }的前n 项和．解：(1)由已知得，a m ＝S m －S m －1＝4， 且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14，设数列{a n }的公差为d ，则有2a m ＋3d ＝14， ∴d ＝2.由S m ＝0，得ma 1＋m m －12³2＝0，即a 1＝1－m ，∴a m ＝a 1＋(m －1)³2＝m －1＝4， ∴m ＝5.(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6， ∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3，∴(a n ＋6)²b n ＝2n ³2n －3＝n ³2n －2.设数列{(a n ＋6)²b n }的前n 项和为T n ， 则T n ＝1³2－1＋2³20＋…＋(n －1)³2n －3＋n ³2n －2，①2T n ＝1³20＋2³21＋…＋(n －1)³2n －2＋n ³2n －1，②①－②，得－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ³2n －1＝2－11－2n1－2－n ³2n －1＝2n －1－12－n ³2n －1， ∴T n ＝(n －1)³2n －1＋12(n ∈N *)． 高考第18题(或19题)⎪⎪ 立体几何1．(2017²全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD . (1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．解：(1)证明：取AC 的中点O ，连接DO ，BO . 因为AD ＝CD ， 所以AC ⊥DO .又因为△ABC 是正三角形， 所以AC ⊥BO . 因为DO ∩BO ＝O ， 所以AC ⊥平面DOB .又BD ⊂平面DOB ，故AC ⊥BD .(2)连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°， 所以DO ＝AO .在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2， 故∠DOB ＝90°.由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.2．(2016²全国卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥P ABC 的侧面是直角三角形，PA ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积． 解：(1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD .因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE . 因为PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG . 又由已知可得，PA ＝PB ，所以G 是AB 的中点．(2)在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，点F 即为E 在平面PAC 内的正投影． 理由如下：由已知可得PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥PA ，EF ⊥PC .又PA ∩PC ＝P ，因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以D 是正三角形ABC 的中心．由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上， 故CD ＝23CG .由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ， 所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC .由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA ＝6， 可得DE ＝2，PE ＝2 2.在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2， 所以四面体PDEF 的体积V ＝13³12³2³2³2＝43.3．(2015²全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD . (1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． 解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE . 因为BD ∩BE ＝B ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形， 可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ACD 的体积V E ACD ＝13³12³AC ³GD ³BE ＝624x 3＝63， 故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋2 5.题型一 平行、垂直的证明与空间几何体体积的综合应用[学规范](1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .2分 又BC ⊄平面PAD ❶，AD ⊂平面PAD ，3分所以BC ∥平面PAD .4分(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD . 6分因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ❷，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .8分因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .9分设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ❸， 所以PN ＝142x .10分因为△PCD 的面积为27， 所以12³2x ³142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2. 于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3.11分所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13³2 2＋42³23＝4 3.12分[防失误]①处在证明线面平行问题时，易忽视线不在面内这一条件从而失分，注意线面平行条件使用的规范化．②处易忽视通过侧面PAD ⊥底面ABCD 可转化为线面垂直及线线垂直，从而不能创设垂直关系和利用数量等量关系来确定底面边长及高．③处易忽视如何表示△PCD 的面积，即以CD 为底，高如何确定，导致思路不通．[通技法]位置关系的证明与求几何体的体积综合问题的模型[对点练]1．(2018届高三²湖北七校联考)如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ＝PD ，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．(1)求证：AD ⊥平面PBE ；(2)若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ； (3)若V P BCDE ＝2V Q ABCD ，试求CPCQ的值． 解：(1)证明：由E 是AD 的中点，PA ＝PD ， 可得AD ⊥PE .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，所以AB ＝BD . 又因为E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE . 又PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PBE . (2)证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OQ .因为O 是AC 的中点，Q 是PC 的中点， 所以OQ ∥PA ，又PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ， 所以PA ∥平面BDQ .(3)设四棱锥P BCDE ，Q ABCD 的高分别为h 1，h 2， 所以V P BCDE ＝13S 四边形BCDE h 1，V Q ABCD ＝13S 四边形ABCD h 2.又因为V P BCDE ＝2V Q ABCD ， 且S 四边形BCDE ＝34S 四边形ABCD ，所以CP CQ ＝h 1h 2＝83.题型二 平面图形的翻折问题[学规范](1)证明：由已知得AC ⊥BD ❶，AD ＝CD .1分 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，所以AC ∥EF . 2分 由此得EF ⊥HD ，故EF ⊥HD ′， 3分 所以AC ⊥HD ′.4分 (2)由AC ∥EF ，得OH DO ＝AE AD ＝14.5分由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.6分所以OH ＝1，HD ′＝DH ＝3.7分于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝HD ′2，故OD ′⊥OH ❷.8分由(1)知，AC ⊥HD ′，又因为AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ， 所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′. 因为OH ∩AC ＝O ， 所以OD ′⊥平面ABC . 9分 又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92.10分所以五边形ABCFE 的面积S ＝12³6³8－12³92³3＝694❸.11分所以五棱锥D ′ABCFE 的体积V ＝13³694³22＝2322.12分[防失误]①处易忽视菱形的性质导致失分，注意牢记菱形的平面性质．②处易忽视数据中隐含着的垂直关系而导致不能判断两直线垂直，注意遇到三角形三边长度都已知时，要充分利用勾股定理．③处若不能合理拆分多边形使计算繁琐可能会导致失分，注意求多边形面积一般要进行拆分．[通技法] 翻折问题的3个注意点(1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图．(2)把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础．(3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础．[对点练]2．(2017²合肥模拟)如图①，平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到四棱锥P ABCE ，如图②.(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面PAB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明：(1)在△CDE 中， ∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝2.连接AC ， ∵AE ＝2，∠AEC ＝60°， ∴AC ＝2.又AP ＝3， ∴在△PAE 中，PA 2＋AE 2＝PE 2， 即AP ⊥AE .同理，AP ⊥AC .而AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ，故AP ⊥平面ABCE . (2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面PAB ∩平面PCE ＝l ， ∴AB ∥l .1.(2017²沈阳模拟)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 的中点．(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥C 1ABC 的体积．解：(1)证明：因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点， 所以A 1O ⊥AC .又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABC .(2)∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离． 由(1)知A 1O ⊥平面ABC 且A 1O ＝AA 21－AO 2＝3，∴VC 1ABC ＝VA 1ABC ＝13S △ABC ²A 1O ＝13³12³2³3³3＝1.2．(2018届高三²西安八校联考)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF 和一个正四棱锥P ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P ABCD 的高h ，使得该四棱锥的体积是三棱锥P ABF 体积的4倍． 解：(1)证明：在直三棱柱ADE BCF 中，AB ⊥平面ADE ， ∴AB ⊥AD .又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ， ∴AD ⊥平面ABFE . 又AD ⊂平面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面ABFE . (2)P 到平面ABF 的距离d ＝1. ∴V P ABF ＝13S △ABF d ＝13³12³2³2³1＝23.而V P ABCD ＝13S 正方形ABCD h ＝13³2³2³h ＝4V P ABF ＝83，∴h ＝2.3．(2017²全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．解：(1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)如图所示，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E . 由(1)知，AB ⊥平面PAD ， 故AB ⊥PE ， 可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝13AB ²AD ²PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12PA ²PD ＋12PA ²AB ＋12PD ²DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 4．(2017²泰安模拟)如图，在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为AD 的中点，F 为B 1C 1的中点． (1)求证：A 1F ∥平面ECC 1；(2)在CD 上是否存在一点G ，使BG ⊥平面ECC 1？若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，取BC 的中点M ，连接AM ，FM ， 所以B 1F ∥BM 且B 1F ＝BM ， 所以四边形B 1FMB 是平行四边形， 所以FM ∥B 1B 且FM ＝B 1B . 因为B 1B ∥A 1A 且B 1B ＝A 1A ， 所以FM ∥A 1A 且FM ＝A 1A ，所以四边形AA 1FM 是平行四边形，所以A 1F ∥AM . 因为E 为AD 的中点， 所以AE ∥MC 且AE ＝MC .所以四边形AMCE 是平行四边形， 所以CE ∥AM ，所以CE ∥A 1F . 因为A 1F ⊄平面ECC 1，EC ⊂平面ECC 1， 所以A 1F ∥平面ECC 1.(2)在CD 上存在一点G ，使BG ⊥平面ECC 1. 证明如下：取CD 的中点G ，连接BG .在正方形ABCD 中，DE ＝GC ，CD ＝BC ，∠ADC ＝∠BCD ， 所以△CDE ≌△BCG ， 所以∠ECD ＝∠GBC . 因为∠CGB ＋∠GBC ＝90°，所以∠CGB ＋∠DCE ＝90°，所以BG ⊥EC . 因为CC 1⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ， 所以CC 1⊥BG .又EC ∩CC 1＝C ， 所以BG ⊥平面ECC 1.故当G 为CD 的中点时，满足BG ⊥平面ECC 1.5．(2017²福州模拟)如图①，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB＝3，DC＝1，∠DPB＝45°，DA⊥PB于点A，将△PAD沿AD折起，得到如图②所示的四棱锥PABCD，点M在棱PB上，且PM＝12MB.(1)求证：PD∥平面MAC；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求点A到平面PBC的距离．解：(1)证明：在四棱锥PABCD中，连接BD交AC于点N，连接MN，依题意知AB∥CD，∴△ABN∽△CDN，∴BNND＝BACD＝2，∵PM＝12MB，∴BNND＝BMMP＝2，∴在△BPD中，MN∥PD，又PD⊄平面MAC，MN⊂平面MAC，∴PD∥平面MAC.(2)法一：∵平面PAD⊥平面ABCD，且两平面相交于AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，∴PA⊥平面ABCD，∴V PABC＝13S△ABC²PA＝13³⎝⎛⎭⎪⎫12³2³1³1＝13.∵AB＝2，AC＝AD2＋CD2＝2，∴PB＝PA2＋AB2＝5，PC＝PA2＋AC2＝3，BC＝AD2＋ AB－CD 2＝2，∴PB2＝PC2＋BC2，故∠PCB＝90°，记点A到平面PBC的距离为h，∴V APBC＝13S△PBC²h＝13³⎝⎛⎭⎪⎫12³3³2h＝66h.∵V PABC＝V APBC，∴13＝66h，解得h＝63.故点A 到平面PBC 的距离为63.法二：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面相交于AD ，PA ⊥AD ，PA ⊂平面PAD ，∴PA ⊥平面ABCD ， ∵BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，∵AB ＝2，AC ＝AD 2＋CD 2＝2，BC ＝AD 2＋ AB －CD 2＝2，∴AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴BC ⊥平面PAC ，过点A 作AE ⊥PC 于点E ，则BC ⊥AE ， ∵PC ∩BC ＝C ，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴AE ⊥平面PBC ，∴点A 到平面PBC 的距离为AE ＝PA ²AC PC ＝1³23＝63. 6．(2018届高三²衡水中学摸底)如图①所示，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，进行如图②所示的折叠，折痕EF ∥DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M CDE 的体积．解：(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，又平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，MD ⊂平面ABCD ，MD ⊥CD ， ∴MD ⊥平面PCD ，∵CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥MD .又CF ⊥MF ，MD ∩MF ＝M ，MD ⊂平面MDF ，MF ⊂平面MDF ， ∴CF ⊥平面MDF .(2)∵CF ⊥平面MDF ，DF ⊂平面MDF ， ∴CF ⊥DF .又易知∠PCD ＝60°，∴∠CDF ＝30°，∴CF ＝12CD ＝12，∵EF ∥DC ，∴DE DP ＝CF CP ，即DE 3＝122，∴DE ＝34，∴PE ＝334， ∴S △CDE ＝12CD ²DE ＝38，∵MD ＝ME 2－DE 2＝PE 2－DE 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝62，∴V M CDE ＝13S △CDE ²MD ＝13³38³62＝216. 高考第18题(或19题)⎪⎪ 概率与统计年 份 卷 别 考题位置考查内容命题规律分体 2017全国卷Ⅰ解答题第19题 相关系数、均值与标准差概率、统计的解答题多在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与概率相交汇来考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．2017 全国卷Ⅱ 解答题第19题 频率分布直方图、独立性检验2017 全国卷Ⅲ 解答题第18题 古典概型、频数、频率的概念及应用 2016全国卷Ⅰ解答题第19题分段函数与样本估计总体的应用2016全国卷Ⅱ解答题第18题频率分布表与平均值的应用2016全国卷Ⅲ解答题第18题两个变量的线性相关关系、回归方程的求解与应用2015全国卷Ⅰ解答题第19题 散点图、回归方程、函数最值问题1．(2017²全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)³5＝0.62.因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表根据表中数据及K 2＝200³ 62³66－34³38 2100³100³96³104≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．2．(2016²全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：(1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700， 所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x ＞19，(x ∈N)．(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800(元)，20台的费用为4 300(元)，10台的费用为4 800(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800³70＋4 300³20＋4 800³10)＝4 000(元)．若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000(元)，10台的费用为4 500(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000³90＋4 500³10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．3.(2016²全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,∑i ＝17y i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2∑i ＝1ny i －y2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t 2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17y i －y2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i＝40.17－4³9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55³2³2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17t i －ty i －y∑i ＝17t i －t 2＝2.8928≈0.103. a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103³4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10³9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．题型一 概率与统计的综合应用[典例] (2017²全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：[学规范](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25❶，2分 由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，4分所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.5分(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6³450－4³450＝900❷；6分若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6³300＋2(450－300)－4³450＝300❸；7分 若最高气温低于20，则Y ＝6³200＋2(450－200)－4³450＝－100❹.8分 所以Y 的所有可能值为900,300，－100.10分Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，11分因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.12分[防失误]①处注意结合题意将需求量不超过300瓶转化为最高气温的关系问题，再利用频率估计概率，易不理解题意失误．②③④处注意结合气温区间及需求量的关系，计算出Y 值，易忽视卖不完的要降价处理．[通技法]解决概率与统计综合问题的一般步骤。
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A 1 1 (2)由 f( )＝sin A－ ＝0，得 sin A＝ ， 2 2 2 3 由题意知 A 为锐角，所以 cos A＝ . 2 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc， 2＋ 3 1 即 bc≤2＋ 3， 且当 b＝c 时等号成立． 因此 bcsin A≤ . 2 4 2＋ 3 所以△ABC 面积的最大值为 . 4
【解】
(1)由题意知 f(x)＝
π 1＋cos2x＋ 2 sin 2x 2 － 2
sin 2x 1－sin 2x 1 ＝ － ＝sin 2x－ . 2 2 2
π π π π 由－ ＋2kπ≤2x≤ ＋2kπ，k∈Z，可得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z； 2 2 4 4 π 3π π 3π 由 ＋2kπ≤2x≤ ＋2kπ，k∈Z，可得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z. 2 2 4 4 π π 所以 f(x)的单调递增区间是－4＋kπ，4＋kπ (k∈Z)； π 3π 单调递减区间是4＋kπ， 4 ＋kπ (k∈Z)．
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[满分心得] (1)写全得分步骤 对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所 以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，利用正弦定理转 化为角的关系就得分，第(2)问，利用面积公式和余弦定理列 出关系式就各得 1 分．
(2)写明得分关键 对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答 题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，如果没有 1 π cos C＝ ，直接给出 C＝ ，则不给分；第(2)问直接给出 2 3 ab 的值不给分，只有通过面积公式求出 ab 才得分，直接 给出 a＋b 不得分，只有通过余弦定理算出才给分．
第一步：标准化 已知解析式― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B. 辅助角关系 第二步：根据△ABC 内角解三角函数关系，求出相应的角． 第三步：根据解三角形的原理和方法求解三角形．
三角函数基本关系与公式
三角恒等变换与解三角形
满分展示
(满分 12 分)(2016· 高考全国卷乙)△ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； 3 3 (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长． 2
[联想破译] 联想因果：△ABC 的内角角 C，面积、周长． 联想路线：(1)由正弦定理进行边角互化求角 C. (2)由三角形的面积公式得 ab，再由余弦定理联立方程求出 △ABC 的周长．
[标准答案] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C（sin Acos B＋sin Bcos A） ＝sin C， (1 分)
故 a ＋b ＝13，从而（a＋b） ＝25. (11 分) 所以△ABC的周长为5＋ 7.
求出三角形的周长
(12 分)
得1分
[解题程序] 第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求 C 的余弦值； 第四步：求 C 的值； 3 3 第五步：利用三角形的面积为 ，求出 ab 的值； 2 第六步：根据 c＝ 7，利用余弦定理列出 a，b 的关系式； 第七步：求(a＋b)2 的值； 第八步：求周长．
第(1)问得分点说明： 利用正弦定理转化 边为角得 1 分； 利用三角恒等变换
即2cos Csin（A＋B）＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. 1 可得cos C＝ ， 2 π 所以C＝ . 3 (5 分) (3 分)
化简得 2 分； 求出 C 的余弦值得 2 分； 求出角 C 的弧度数 得1分
【解】
1 (1)S△ABD＝ AB·ADsin∠BAD， 2
1 S△ADC＝ AC·ADsin∠CAD. 2 因为 S△ABD＝2S△ADC ，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC. sin B AC 1 由正弦定理可得 ＝ ＝ . sin C AB 2
(2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD· BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD· DCcos∠ADC. 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)知 AB＝2AC，所以 AC＝1.
第一步：作出示意图、并适当标注已知元素． 第二步：将条件和结论相结合进行对照，视其关系选择相关 定理列式．(要特别关注两三角形公共边 (角)或邻角(邻补角) 的关系，列方程(组)求解) 第三步：求解过程中应注意三角形所固有的性质(例如：内角 和定理，边角大小对应关系，两边之和(差)与第三边的关系 等)．
专题二
三角函数与平面向量
透视全国高考
揭秘命题规律(二)
——三角函数与解三角形(全国卷第17题)
平面几何与解三角形(方程思想的应用)
(2015· 高考全国卷Ⅱ)△ABC 中△ABD 的面积是△ADC 面积的 2 倍． sin B (1)求 ； sin C 2 (2)若 AD＝1，DC＝ ，求 BD 和 AC 的长． 2
附：三角形中四个可引用定理公式 1． 射影定理：acos B＋bcos A＝c，acos C＋ccosA＝b， bcos C＋ccos B＝a. 2．内角平分线定理：△ABC 内角 A 的平分线交 BC 于 D， AB BD 则 ＝ . AC DC 3．中线长公式：△ABC 三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， 1 c，则 BC 边上的中线长 Ma＝ 2 2（b2＋c2）－a2.
4．海伦面积公式：△ABC 三内角 A、B、C 的对边分别为 a， b，c，则 a＋b＋c S△＝ p（p－a）（p－b）（p－c） 其中p＝ . 2
三角函数的性质与解三角形
π 设 f(x)＝sin xcos x－cos x＋4 .
2
(1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. A 若 f 2 ＝0，a＝1，求△ABC 面积的最大值．
(6 分)
1 3 3 (2)由已知， absin C＝ . 2 2 π 又 C＝ ，所以ab＝6. 3 由已知及余弦定理得， a2＋b2－2abcos C＝7，
2 2
(7 分)
第(2)问得分点说明： 列出面积关系式得 1 分； 求出 ab 得 1 分；
(8 分)
(9 分)
2
利用余弦定理列出 关系式，得 1 分； 求出(a＋b)2 得 2 分；