相位恢复问题研究

Pure Mathematics 理论数学, 2019, 9(3), 330-335

Published Online May 2019 in Hans. /journal/pm

https:///10.12677/pm.2019.93044

Research on Phase Retrieval Problem

Gan Gong, Huimin Wang*, Qian Wu, Yunyang Lu

Department of Applied Statistics, Shaoxing University, Shaoxing Zhejiang

Received: Apr. 23rd, 2019; accepted: May 3rd, 2019; published: May 15th, 2019

Abstract

Phase retrieval is an important issue in the field of engineering physics, studying how to estimate

a signal from its Fourier transform magnitude. Generally speaking, this problem is ill-posed.

Therefore, to recover the signal accurately, some a priori information of the signal is needed. Very rich research results have emerged in the phase recovery problem. This paper will review the lat-est theories and algorithms of sparse phase recovery.

Keywords

Sparsity, Phase Retrieval, Iterative Algorithm, Nonconvex Optimization

相位恢复问题研究

龚敢，王会敏*，邬谦，卢云洋

绍兴文理学院，应用统计系，浙江绍兴

收稿日期：2019年4月23日；录用日期：2019年5月3日；发布日期：2019年5月15日

摘要

相位恢复问题是工程物理领域的一个重要的问题，研究如何从一个傅立叶测量的模中估计一个信号。一般来说，这个问题是病态的，因此，要准确恢复信号，需要信号的一些先验信息。关于相位恢复问题已经涌现了非常丰富的研究成果，本文将对稀疏相位恢复问题最新的理论和算法进展进行综述。

关键词

稀疏性，相位恢复，迭代算法，非凸优化

*通讯作者。

龚敢等Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

/licenses/by/4.0/

1. 相位恢复问题的背景

在光学中，由于光波的频率较高，光场的强度信息通过现有的光学设备，很容易记录下来，但是光波的相位信息在采集过程中却很难获取甚至会丢失。但是光波的相位信息包含了丰富的成像物体的信息，因此需要通过数值算法来恢复信号的相位。从光波的强度信息来恢复光波的相位信息的方法称为相位恢复。历史上，X射线晶体结构分析[1]是相位恢复问题的第一个重要应用。目前，X射线晶体结构分析已经成为生物医学图像领域对分子或者纳米粒子生成3维定量密度图，分析单个分子或者纳米粒子结构的重要工具。除此之外，相位恢复问题在自适应光学[2]、光学波前重构[3]、信号复原[4]、全息成像[5]等光学领域，以及显微镜[6]、天文学[7]、逆源问题[8]，甚至是微分几何[9]等领域都有非常广泛的应用。因此，一个世纪以来，相位恢复问题吸引了很多物理学家、工程师、数学家的广泛关注，是一个非常活跃的研究领域。

经过几十年的发展，相位恢复问题已经取得了很大的进展，在很多领域有了广泛的应用，国内外很多科研人员都对相位恢复问题做了大量研究。在X射线衍射晶体结构分析中，需要由已知结构因子的绝对值大小，去恢复相位，重构晶体结构。直接法是在衍射分析中用于相位恢复的一种计算方法。1985年，J. Karle和H. Hauptman因对直接法的贡献获得诺贝尔化学奖。中科院物理所在1980年成立了晶体结构分析方法研究组，从事晶体学中的直接法研究。1997年，范海福院士等科学家在国际上首次用直接法，从一套单波长异常散射数据解出一个未知的蛋白质晶体结构。相位恢复在电子显微、波前传感、天文望远镜等领域也发挥了重要的作用。1990年，NASA发现新安装的哈勃望远镜的主镜出现了较大的球面像差，J. R. Fienup等多位科学家应用参数技术，梯度算法等相位恢复技术修正了像差。这次的成功应用使科学家对于相位重构的方法有了更多的了解，同时认识到相对简单的数值计算软件有时可以替代复杂、敏感的光学系统。在国内，清华大学和中国科学院物理所应用相位恢复算法进行了激光畸变波前高精度重构的研究。四川大学物理学院开展了相位恢复算法的改进工作。90年代，中科院物理所的杨国桢和顾本源教授提出了杨–顾算法，在严格的数学推导基础上创造性地将相位恢复算法应用到多波长混合光照明光学系统，可以实现光波信号分开，且能够同时聚焦到同一平面预定位置上的多性能的衍射相位元件设计和制作，在各种衍射光学元件的设计过程中起到了非常重要的作用。

在X射线晶体结构分析中，晶体结构同晶体的X射线衍射效应之间存在傅里叶变换的关系，为了恢复相位，已经发展出了一系列的方法，如尝试法、傅里叶综合法、帕特孙法和直接法等。其中直接法是从一组结构因数的绝对值直接推出他们的相位的方法，利用相位关系式，从少数几个相位出发可以推引出一批新的相位，将这批相位进行迭代处理，可以迅速扩展出其余相位并使全部相位的数值逐步精确化。直接法已经成为分析晶体结构的主要方法。这些方法都需要充分利用晶体结构的信息，给出较为准确的初始的相位估计，并且计算复杂，计算量较大。

在光学领域，许多学者提出了各种相位恢复的算法，其中最流行的是1972年R. W. Gerchberg和W. O. Saxton提出的GS算法[10]。这个算法通过傅里叶变换和逆傅里叶变换之间的转换，迭代得到相位的估计。GS算法计算简单，易于实现，可以用来求解二维相位恢复问题，并且容易处理额外的信号的约束条件，因此，提出之后就得到了广泛的关注。1973年，J. L. Misell仿照GS算法，提出如何用已知两张具有不同离焦量的离焦像的强度，来计算波函数的相位。随后，很多学者围绕GS算法的收敛