直接开平方法(第一课时)
人教版数学九年级上册第1课时直接开平方法课件
第1课时 直接开平方法
随堂演练
解下列方程： (1)2x2+3=5 (2)(x ＋ 6)²－9=0 (3) 4(x－1)²－16=0 (4) x²－4x ＋ 4=9
第1课时 直接开平方法
解：(1)2x2+3=5，整理，得x2=1，所以方程的两个根为x1=1，x2=-1 (2)(x＋6)2－9＝0，整理，得(x＋6)2＝9，x＋6＝3或x＋6＝－3， 所以方程的两个根为x1＝－3，x2＝－9. (3)4(x－1)2－16＝0，整理，得(x－1)2＝4，即x－1＝2 或x－1＝-2， 所以方程的两个根为x1＝3，x2＝-1. (4)x2－4x＋4＝9，整理，得(x－2)2＝9，即x－2＝3或x－2＝－3 ， 所以方程的两个根为x1＝5，x2＝-1.
第1课时 直接开平方法 思维拓展
(x 2)2 (2x 5)2
x 22 2x 52 ,
x 2 (2x 5), x 2 2x 5, x 2 2x 5
方程的两根为
x1 7 x2 1
第1课时 直接开平方法
课堂小结
概 念 利用平方根的定义求方程的根的方法
直
接
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或
（2）移项，得（x-1）2=4. ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2.
∴x1=30, x2=－30.
即x1=3，x2=-1.
第1课时 直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程的“三步法”
变形 开方
求解
将方程化为含未知数的完全 平方式＝非负常 数的情势；
利用平方根的定义，将方程 转化为两个一元一次方程；
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元 二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方 程②转化为我们会解的方程了.
21.2.1 第1课时 直接开平方法 课件(共16张PPT)
∴ + = + .
例3：用直接开平方法解方程：
² − = ;
² − + = ;
− ² − = ;
+ ² = − ².
解: (1)移项,得 ² = ,整理，得 ² = ,即 = , = − .
能，请说明理由
(不能，理由：因为一个数的平方不能是负的)
(2)观察上面可以求解的一元二次方程的二次项系数与常数项的符号有何
共同规律?
(当常数项不为0时，二次项系数与常数项的符号互为异号；当常数项为0
时，方程的解为x₁=x₂=0)
小组讨论
方程9x2=16都可以怎样求解？哪种方法最简便？
（解法1: = , =
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1.通过阅读课本会用直接开平方法解二次项系数为1的一元二次方程，发
展学生的运算能力；
2.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中
数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；
3.通过直接开平方法的探究活动,培养学生积极思考、勇于探索的学习习惯.
m≥-1
______.
a≤0
变式 方程y2=-a有实数根的条件是______.
【题型二】用直接开平方法解方程
例2 已知一元二次方程( − ) = 的两根分别为, ,
+ .
且 > ，则2 + = ________
点拨：解方程 − ² = ,得 = + , = − +
一元二次方程的解法之直接开平方法
典型例题
例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
说说你从这两个例子中得到的启发：直 接开平方法能解哪种类型的二次方程？ 并写出这种类型方程的一般形式。
典型例题
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2
说说你从这两个例子中得到的启发：直 接开平方法能解哪种类型的二次方程？ 并写出这种类型方程的一般形式。
21.1 一元二次方程的解法 直接开平方法 （第1课时）
1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。 用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
知识回顾
a
或x= a 2 4 ±3 如：9的平方根是______ 的平方根是 ______ 5 25 2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
即x= a
尝试
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
概括总结
什么叫直接开平方法？ 像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次 方程的方法叫做直接开平方法。
典型例题
例1 解下列方程 （1）x2-中得到的启发：直 接开平方法能解哪种类型的二次方程？ 并写出这种类型方程的一般形式。
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平 方法求解吗？请举例说明
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或 （x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根的 意义求解
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 2 来求解? ( x h) k 方程可化为一边是 含未知数的完全平方式 ____________________, 一个常数 另一边是____________, 那么就可以用直接开 平方法来求解. 2、直接开平方法的理论依据是什么?
第1课时 直接开平方法(教案)
21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第1课时直接开平方法【知识与技能】1.会利用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.【过程与方法】通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.【情感态度】在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】解形如x2=p(p≥0)的方程.【教学难点】把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.一、情境导入，初步认识问题我们知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少吗？说说你的想法.如果3x2=18呢？【教学说明】让学生通过回顾平方根的意义初步感受利用开平方法求简单一元二次方程的思路，引入新课.教学时，教师提出问题后，让学生相互交流，在类比的基础上感受新知.解：如果x2=16，则x=±4;若3x2=18,则x=6.二、思考探究，获取新知探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？思考1 设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根据平方根的意义，得x=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm.【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.【归纳结论】一般地，对于方程x2=p,（Ⅰ）（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根x1p,x2p(2)当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.思考2对上面题解方程（Ⅰ）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.在解方程（Ⅰ）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：由方程（x+3）2=5,②得x+3=5,即55③于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1525【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答，既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.【归纳结论】上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.三、典例精析，掌握新知例解下列方程：（教材第6页练习）(1)2x2-8=0; (2)9x2-5=3;(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.解：(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根据平方根的意义，得x=±2,即x1=2,x2=-2.（2）原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方，得x=±23,即x1=23,x2=-23.(3)原方程整理，得（x+6）2=9，根据平方根的意义,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.（4）原方程可化为（x-1）2=2,两边开平方，得x-1=2，∴x12,x22（5）原方程可化为（x-2）2=5,两边开平方，得x-2=5,∴x1525（6）原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当p<0时，对任意实数x,都有x2≥0，所以这个方程无实根.【教学说明】本例可选派六位同学上黑板演算，其余同学自主探究，独立完成.教师巡视全场，发现问题及时予以纠正，帮助学生深化理解，最后师生共同给出评析，完善认知.特别要强调用直接开平方法开方时什么情况下是无实根的.四、运用新知，深化理解1.若8x2-16=0，则x的值是.2.若方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是.3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0,则ab的值为.4.解关于x的方程：(1)(x+m)2=n(n≥0);(2)2x2+4x+2=5.5.已知方程（x-2）2=m2-1的一个根是x=4,求m的值和另一个根.【教学说明】让学生独立完成，加深对本节知识的理解和掌握.五、师生互动，课堂小结教师可以向学生这样提问：(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.【教学说明】教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2. 完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分..1.本课时通过创设问题情景，激发学生探索新知的欲望.2.本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.3.教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解析问题的能力.。
21.2.1直接开平方法教学课件(第1课时)(25张PPT)初中数学人教版九年级上册
解：（3） 9 y2 4 0
9y2 4
y2 4 9
∴
y1
2 3
,
y)2 8 0 ， 2(x 5)2 8 ， (x 5)2 4 ，
x 5 2 ， x 2 5，
x1 3 ， x2 7 .
根据平方根的意义，得 x =__±_5__，即 x1 =是_否_5_符__合，实x际2 =意_义_–_5__，
经验证，___5__和__–__5__是方程的根，
因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为____5____dm.
直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程
的解的方法叫做直接开平方法.
a
a
即方程的两个根互为相反数.
一元二次方程 ax2 b(ab 0) 的两个根分别为 m 1与 2m 4 ，
m1 2m 4 0 ，解得 m 1.
（2）当 m 1时， m 1 2 ， 2m 4 2 ，
x2 b ，一元二次方程 ax2 b(ab 0) 的两个根分别为 m 1 与
a
2m 4 ， b 4 .
A. x 3 C. x1 3 ， x2 3
B. x1 x2 3 D. x1 3 ， x2 3
解析： x2 9 0 ， x2 9 ，x 3 ，
x1 3 ， x2 3 ，故选 D.
练习 3 方程 2x2 98 0 的根是( C )
A. x1 7 2 ， x2 7 2 C. x1 7 ， x2 7
B. x 7 2 D. x 7
解析：移项得 2x2 98 ，系数化为 1 得 x2 49 ，
直接开平方得 x1 7 ， x2 7 .故选 C.
练习 4 下列方程中，有两个相等实数根的是( B )
《直接开平方法(第1课时)课件 (公开课获奖)2022年湘教版
0；
│-3│ 1；
3. 判断〔对的打“√〞，错的打“×〞
〕：
〔1〕一个有理数的绝对值一定是正数。 (
)
〔2〕－1.4<0，那么│－1.4│<0。
()
〔3〕 │－32︱的相反数是32
()
〔4〕 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数
相等
()
〔5〕 互为相反数的两个数的绝对值相等 ( )
4. 有三个数a、b、c在数轴上的位置 如以下图所示
答：记为-8的足球质量好一些。
因为│－20│=20，│+10│=10，│+12│=12， │－8│=8，│－11│=11
所以│－8│ < │+10│ < │－11│ < │+12│ < │－20│
也就是说记为-8的足球与规定的质量相差比较小， 因此其质量比较好
本章小结
• 一个正数的绝对值等于它本身 • 一个负数的绝对值等于它的相反数 • 0的绝对值等于0 • 互为相反数的两个数的绝对值相等
想一想下面的方程能否解？如果不能，请说明理由. 〔8〕〔x+3〕2=-9.
教师引导、点拨、分析，将知识由特殊向一般开展. 学生先自主、再合作，完成解题过程. 养成良好的分析问题、解决问题的能力和习惯. 养成与同伴学习交流的好习惯.
三、课堂小结，梳理新知
归纳： 如果方程能化成x2=p或〔nx+m〕2=p(p≥0)的形式，那 么可得x=± p，或mx+n=± p. 点评方法：对于两种根本形式：左边是一个数或整式的完 全平方，右边是一个非负数. 学生归纳、总结发言. 体会、反思为什么右边必须是一个非负数.
多媒体出示自2 由落体的图片，介绍自由落体运动是由静止 状态开始下落的，并用多媒体演示自由落体运动的.
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22.2解一元二次方程
第一课时
直接开平方法
教学目的
1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．
2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．教学重点、难点
重点：准确地求出方程的根．
难点：正确地表示方程的两个根．
教学过程
复习过程
回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．
求下列各式中的x：
1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．
引入新课
我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？
新课
例1 解方程 x2-4=0．
解：先移项，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
例2 解方程 (x+3)2=2．
练习：P28 1、2
归纳总结
1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．
2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程． 布置作业：习题22.1 4、6题
达标测试
1.方程x 2-0.36=0的解是
A.0.6
B.-0.6
C.±6
D.±0.6
2.解方程:4x 2+8=0的解为
A.x 1=2 x 2=-2
B.2,221-==x x
C.x 1=4 x 2=-4
D.此方程无实根
3.方程(x+1)2-2=0的根是 A.21,2121-=+=x x B. 21,2121+-=+=x x C. 21,2121+=--=x x D. 21,2121--=+-=x x
4.对于方程(ax+b)2=c 下列叙述正确的是
A.不论c 为何值,方程均有实数根
B.方程的根是a
b c x -= C.当c ≥0时,方程可化为:c b ax c b ax -=+=
+或 D.当c=0时,a
b x =
5.解下列方程: ①.5x 2-40=0 ②.(x+1)2
-9=0
③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0。