北师大版九年级上册数学矩形的性质教案

九年级数学上册教案

吧

斗 Assistant teacher 为 梦 想 奋

1．2矩形的性质与判定

第1课时矩形的性质

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；(重点)

2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题．(难点)

一、情景导入

1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图)

3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义．

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形．

有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．

二、合作探究

探究点一：矩形的性质

【类型一】矩形的四个角都是直角

如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为()

A．15

B．30

C．45

D．60

解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F.

∵AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC ，BE ⊥AB ， ∴EF ＝BE ＝4，

∴S △AEC ＝12AC ·EF ＝1

2

×15×4＝30.故选B.

方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件．

【类型二】 矩形的对角线相等

如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝60°，AD ＝2，则AC

的长是( )

A ．2

B ．4

C ．23

D ．43

解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC ＝OD ＝OA ＝1

2AC ，由∠AOD ＝60°得

△AOD 为等边三角形，即可求出AC 的长．

∵四边形ABCD 为矩形，

∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OD ＝OB ＝1

2

BD ，

∴OA ＝OD .∵∠AOD ＝60°，

∴△AOD 为等边三角形，

∴OA ＝OD ＝2，∴AC ＝2OA ＝4. 故选B.

方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，从而可以利用等边三角形的性质解题．

探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

如图，已知BD ，CE 是△ABC 不同边上的高，点G ，F 分别是BC ，DE 的中点，

试说明GF ⊥DE .

解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理．

解：连接EG ，DG .

∵BD ，CE 是△ABC 的高， ∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°. ∵点G 是BC 的中点，

∴EG ＝12BC ，DG ＝1

2

BC .

∴EG ＝DG .

又∵点F 是DE 的中点， ∴GF ⊥DE .

方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．

探究点三：矩形的性质的应用

【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度

如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且

EF ＝EC ，DE ＝4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．

解析：先判定△AEF ≌△DCE ，得CD ＝AE ，再根据矩形的周长为32列方程求出AE 的长．

解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝90°， ∴∠CED ＋∠ECD ＝90°. 又∵EF ⊥EC ，

∴∠AEF ＋∠CED ＝90°， ∴∠AEF ＝∠ECD . 而EF ＝EC ，

∴△AEF ≌△DCE ， ∴AE ＝CD . 设AE ＝x cm ，

∴CD ＝x cm ，AD ＝(x ＋4)cm ， 则有x ＋4＋x ＝16，解得x ＝6. 即AE 的长为6cm.

方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题．

【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小

如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE ：∠BAE ＝3：1，求∠BAE 和∠EAO

的度数．

解析：由∠BAE 与∠DAE 之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得∠ABO 的度数，再根据矩形的性质易得∠EAO 的度数．

解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，

AO ＝12AC ，BO ＝1

2BD ，AC ＝BD ，

∴∠BAE ＋∠DAE ＝90°，AO ＝BO .

又∵∠DAE ：∠BAE ＝3：1， ∴∠BAE ＝22.5°，∠DAE ＝67.5°. ∵AE ⊥BD ，

∴∠ABE ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠OAB ＝∠ABE ＝67.5° ∴∠EAO ＝67.5°－22.5°＝45°. 方法总结：矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依据．

【类型三】 利用矩形的性质求图形的面积

如图所示，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么

阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的( )

A.15

B.14

C.13

D.310

解析：由四边形ABCD 为矩形，易证得△BEO ≌△DFO ，则阴影部分的面积等于△AOB 的面积，而△AOB 的面积为矩形ABCD 面积的14，故阴影部分的面积为矩形面积的1

4.故选B.

方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将

阴影部分转化为较规则的图形，再求其面积．

【类型四】 矩形中的折叠问题

如图，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点E ，AD

＝8，AB ＝4，求△BED 的面积．

解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得知△BCD ≌△BC ′D ，则易得BE ＝DE .在Rt △ABE 中，利用勾股定理列方程求出BE 的长，即可求得△BED 的面积．

解：∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD ∥BC ，∠A ＝90°， ∴∠2＝∠3.

又由折叠知△BC ′D ≌△BCD ， ∴∠1＝∠2.

∴∠1＝∠3.∴BE ＝DE .

设BE ＝DE ＝x ，则AE ＝8－x .

∵在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2， ∴42＋(8－x )2＝x 2.解得x ＝5， 即DE ＝5.