第三章函数的应用(导学案)
高中数学第三章导数的四则运算法则同步导学案新人教B版选修70
3.2.1导数的四则运算法则学习目标：1掌握函数的和、差、积、商的求导法则2 能利用导数的四种运算法则求较简单初等函数的导数德育目标：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神重点：掌握函数的和、差、积、商的求导法则难点：会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题活动一：自主预习，知识梳理设()()x g x f ,是可导的，则1.函数和（或差）的求导法则：()()()=±/x g x f 即两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数这个法则可推广到任意有限个可导函数的和（或差），即n n ff f f f f /2/1/21)(±±±=±±±ΛΛ 2.函数积的求导法则：()()[]=/xg x f即两个函数的积的导数，等于 个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上 个函数的导数。
()[]()x Cf x Cf //=，此式可表述为：常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数3.函数商的求导法则：()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡/x g x f （其中())0≠x g 特别时有()()()x g x g x g 2//1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡活动二：问题探究导数的运算法则成立的条件是什么？活动三：要点导学，合作探究要点一：利用导数运算法则求函数的导数例1： 求下列函数的导数（1）765432)(2345+-+-+=x x x x x x f（2）x x y sin = （3）x y 2sin =（4）x y tan =练习：求下列函数的导数（1）x x y ln -= （2）)1)(1(2-+=x x y （3）()22ln x x x f x+= （4）332++=x x y要点二：导数运算法则的综合应用例2：已知函数()),(23123R a R x ax x x x f ∈∈+-=，在曲线()x f y =的所有切线中，有y 垂直。
第三章基本初等函数(1)导学案(人教B版)
3．1．1实数指数幂及其运算【学习要点】1根式、分数指数幂的概念.2分数指数的运算性质．【学习要求】1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。
2 会进行简单的运算。
【复习引入】1 、相同因数相乘个n a aaa ⋅⋅⋅记作na ，读作 ，a 叫做幂的 ， n 叫做幂的 。
其中n 是正整数。
2、 正整数指数幂的性质：（1） （2） （3） （3）【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。
1、 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。
整数指数幂的性质为：（1） （2） （3） 。
2 、0a = ，n a -=3、零指数幂和负整数指数幂都要求 。
4、 如果存在实数x ，使得(,1,)nx a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。
求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。
5、规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。
规定负分数指数幂的定义是： 。
规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。
规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。
6 、有理指数幂的运算性质有：（1） （2） （3） 。
完成教材89页1题【例题解析】例题1计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的,0a b ≠）（1）322123(3)9a b a b a b------=（2）34320()()[]()()a b a b a b a b --+--+(0,0)a b a b +≠-≠例题2化简下列各式 （12（23）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⨯-小结：化简，注意体会指数的运算性质。
例3： 化简：332ba abb a练习：（1【补充练习】1、 化简，注意体会指数的运算性质：（1）22252432()()()a b a b a b --÷ （2）340.10.01--3、 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换：（1） 2 1.53(0.027)-； （2； （3完成教材89页2题3.1.2 指数函数【学习要点】1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； 2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）. 【学习过程】一、新课导学探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：细胞分裂时，第 1 次由1个分裂成 2 个，第 2 次由2个分裂成 4 个，第 3 次由4个分裂成 8 个，如此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 y 与次数x 的关系式是什么？_________________________________.【讨论】：（1）这个关系式是否构成函数？ （2）是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 新知：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做________函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .反思1：为什么规定10≠>a a 且呢？否则会出现什么情况呢？ 【讨论】：则若,0=a _______________________________________. 则若,0<a _______________________________________.则若,1=a _______________________________________.反思2：函数x y 32⨯=是指数函数吗？ 《学生活动》下列函数哪些是指数函数？（1）xy 3= （2）x y 12= （3）xy )2(-= (4)13+=xy （5）xy 23= （6）xy π= （7）24x y = (8))121()12(≠>-=a a a y x且____________________________探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：（1）研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．（2）研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值等等．《作图》：在同一坐标系中画出下列函数图象：x y 2= x y )1(=《练习》在上面的坐标系中继续作出xxy y )31(3==与的图像【讨论】新知：根据图象归纳指数函数的性质《巩固训练》1. 函数xa y =中，无论10,0<<>a a 还是,都经过______________. 2. 指数函数x a y =中，x a 和的取值范围分别是_________________________. 3. 若函数xa y )12(+=是减函数，则a 的取值范围是__________________.二、典型例题例1：求下列函数的定义域： （1）23-=x y （2）x y 1)21(=例2：已知指数函数xa x f =)(（1,0≠>a a 且）的图象经过点),3(π,求)3(),1(),0(-f f f 的值.例3：比较下列各题中两个值的大小: (1) 35.27.1 ,7.1 (2) 2.01.08.0 ,8.0-- (3) 1.33.09.0 ,7.1(4) 比较2131a a 与的大小，)1,0(≠>a a 且《练习》1. 求下列函数的定义域： （1）xy -=32 （2）123+=x y （3）xy 5)21(= （4）x y 17.0=2. 比较下列各题中两个数的大小： (1) 7.08.03,3(2) 1.01.075.0 ,75.0-(3) 5.37.201.1 ,01.1(4)已知的大小关系是则c b a c b a ,,,2.1,8.0,8.08.09.07.0===_____________________.3.2.1对数及其运算（1）【学习要点】1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.【学习要点】理解对数概念，能够进行对数式与指数式的互化。
最新新人教版 七年级数学第三章导学案
最新新人教版七年级数学第三章导学案3、1、1一元一次方程（1）班级姓名＿＿小组＿＿评价＿＿学习目标1、了解什么是方程，什么事一元一次方程。
2、体会字母表示数的优越性。
重点：知道什么是方程，一元一次方程难点：找等关系列方程使用说明及学法指导：先自学课本78 合并同类项与移项班级姓名＿＿小组＿＿评价＿＿教学目标1、通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用题的优越性、2、掌握合并同类项解“ax+bx=c”类型的一元一次方程的方法，能熟练求解一元一次方程，并判别解得合理性、3、通过学生间的相互交流、沟通，培养他们的协作意识。
重点：1建立列方程解决实际问题的思想方法。
2、学会合并同类项，会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程。
难点：1、分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程。
2、使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法使用说明：1、阅读课本P88892、限时20分钟完成本导学案。
然后小组讨论。
一、导学书中88页问题1：（1）如何列方程？分哪些步骤？设未知数：设前年购买计算机x台、则去年购买计算机_____台，今年购买计算机______台、找相等关系:__________________________________________________列方程：___________________________________________________(2)怎样解这个方程？x+2x+4x=140合并同类项，得 _____x=140系数化为1，得x=_____（3）本题还有不同的未知数的设法吗？试试看二、合作探究1、解方程7x-2、5x+3x-1、5x=-154-632、练习：解下列方程：（1）23x-5x=9 (2)-3x+0、5x=10 (3)0、28y-0、13y=3 (4)3、小雨、小思的年龄和是25，小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是多少岁？三、总结反思小组讨论：本节课你学了什么？有哪些收获？四、作业：课本P93习题3、2第 1、4题、第六课时3、2 解一元一次方程（一）合并同类项与移项班级姓名＿＿小组＿＿评价＿＿教学目标1、会通过移项、合并同类项解一元一次方程、2、学会探索数列中的规律，建立等量关系；通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值、3、通过学生间的相互交流、沟通，培养他们的协作意识、重点：利用方程解决数学中的数列问题、难点：使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法、使用说明：独立完成学案，然后小组展示、讨论、一、导学1、解下列方程：（1）2x-8=3x (2)6x-7=4x-5(2)(4)2、有一数列，按一定的规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，…，其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少？解析：观察这些数，考虑它们前后之间的关系，从中发现规律、这些数的规律：（1）符号正负_____;(2)后者的绝对值是前者的_____倍、如果设这三个相邻数中的第1个数为 x,那么第2个数就是______,第3个数就是_______、根据这三个数的和是_______,得方程：解这个方程；因此这三个数分别为；【点评】解数列题的关键是找到数列间的关系、二、合作探究列方程解下列应用题：1、再一次足球比赛中，某队共赛了五场，保持着不败纪录、规则规定，胜一场积3分，平一场记1分，负一场记0分。
高中数学必修一新教材第3章 函数的概念与性质导学案
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念1．函数的概念对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y ＝1x ＋1的定义域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0) C ．(－1，＋∞) D ．(－1,0) 2．若f (x )＝11－x 2，则f (3)＝________. 3．用区间表示下列集合：(1){x |10≤x ≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C D2．下列各组函数中是相等函数的是()A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1 B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2 求函数值【例2】 设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2， (1)求f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)，g (f (2))． (2)求g (f (x ))．[思路点拨] (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x ))．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值. (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.3．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f (f (－1))的值． 求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？ 提示：不可以．如f (x )＝x ＋1x 2－1.倘若先化简，则f (x )＝1x －1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x 的取值范围． 函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2,3]． 【例3】 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．(变结论)在本例求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) 2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3 3．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．4．已知函数f (x )＝x ＋1x ， (1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？ 提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎨⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )2．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( )A ．y ＝－14x 2＋1B ．y ＝14x 2－1 C ．y ＝4x 2－16 D ．y ＝－4x 2＋16 3．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其定义域是______．函数的三种表示方法【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )A B C D(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()图象的画法及应用【例2】作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈.提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.2．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．函数解析式的求法[探究问题]已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．提示：若已知f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)．【例3】(1)已知f(x＋1)＝x－2x，则f(x)＝________；(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.[思路点拨](1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．1．(变条件求函数解析式的四种常用方法(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.(2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x 代替两边所有的“g(x)”即可.(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数．2．作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．3．求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域.1．思考辨析(1)任何一个函数都可以用解析法表示．()(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x＋2 D．f(x)＝3x＋43．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．4．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域．第2课时分段函数分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．1．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④ 2．函数y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0的值域是________．3．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (4))＝________.分段函数的求值问题【例1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．1．函数f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥10，f (f (x ＋5))，x <10，则f (7)＝________.分段函数的解析式【例2】 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．[思路点拨] 可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分段函数的图象及应用[探究问题]1．函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？ 提示：能．f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.函数f (x )的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？ 提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．[思路点拨] (1)分－2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．把本例条件改为“分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．3．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．1．思考辨析(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其解析式为________．4．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性1．增函数与减函数的定义12提示：定义中的x1，x2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( ) A ．[－4,4] B ．[－4，－3]∪[1,4] C ．[－3,1] D ．[－3,4]2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1x B ．y ＝x C ．y ＝x 2 D ．y ＝1－x 3．函数f (x )＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________． 求函数的单调区间【例1】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．1．(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；(2)写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间． 函数单调性的判定与证明【例2】 证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数． [思路点拨] 设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2) ――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.2．试用函数单调性的定义证明：f (x )＝2x x －1在(1，＋∞)上是减函数．函数单调性的应用[探究问题]1．若函数f (x )是其定义域上的增函数，且f (a )>f (b )，则a ，b 满足什么关系．如果函数f (x )是减函数呢？提示：若函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当f (a )>f (b )时，a >b ；若函数f (x )是其定义域上的减函数，那么当f (a )>f (b )时，a <b .2．决定二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？ 提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a 的符号及－b2a 的大小．【例3】 (1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→ 求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围1．(变条件函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1．定义单调性时应强调x 1，x 2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3. 已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f (x )在D 上递增，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.1．思考辨析(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)若函数y ＝f (x )在区间[1,3]上是减函数，则函数y ＝f (x )的单调递减区间是[1,3]．( )(3)函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( )(4)若函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，则函数y ＝f (x )是增函数．( ) (5)若函数f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( )2．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性 3．如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b 的取值范围为( )A ．b ＝3B ．b ≥3C ．b ≤3D ．b ≠3 4．证明：函数y ＝x x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．第2课时 函数的最大(小)值函数最大值与最小值提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．1．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－1,0B．0,2 C．－1,2 D.12，22．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值3．函数f(x)＝1x，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．利用函数的图象求函数的最值(值域)【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1，求f (x )的最大值、最小值．利用函数的单调性求最值(值域)【例2】 已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．2．求函数f(x)＝x＋4x在[1,4]上的最值．函数最值的实际应用【例3】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？二次函数的最值问题[探究问题]1．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴与区间[m ，n ]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？ 提示：若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．【例4】 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0,1]上的最大值． [思路点拨] f (x )＝x 2－ax ＋1――→分类讨论分析x ＝a 2与[0，1]的关系――→数形结合求f (x )的最大值1．在题设条件不变的情况下，求f (x )在[0,1]上的最小值．2．在本例条件不变的情况下，若a ＝1，求f (x )在[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．二次函数在闭区间上的最值设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，则二次函数f (x )在闭区间[m ，n ]上的最大值、最小值有如下的分布情况：1．函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．2．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．3．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．1．思考辨析(1)任何函数都有最大(小)值．()(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．()(3)函数的最大值一定比最小值大．()2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为()A．[0,3]B．[－1,0] C．[－1，＋∞)D．[－1,3]3．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝______.4．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．3.2.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念函数的奇偶性提示：定义域关于原点对称．1．下列函数是偶函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )A B C D3．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．无法确定4．若f (x )为R 上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝________. 函数奇偶性的判断【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x <0，0，x ＝0，x ＋1，x >0.判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f (x )＝x 3；②f (x )＝|x |＋1；③f (x )＝1x 2； ④f (x )＝x ＋1x ；⑤f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]． 奇偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.2．如图是函数f(x)＝1x2＋1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．利用函数的奇偶性求值[探究问题]1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？提示：若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值．【例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.[思路点拨](1)f(x)是偶函数――→定义域关于原点对称求a的值――→图象关于y轴对称求b的值(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx―→判断g(x)的奇偶性―→计算g(－3)―→代入求得f(3)利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解.3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一个值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．2．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．1．思考辨析(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．()(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．()(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．()2．函数f(x)＝|x|＋1是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数3．已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝______.4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y ＝f (x )的图象； (2)根据图象写出函数y ＝f (x )的增区间； (3)根据图象写出使f (x )<0的x 的取值集合．第2课时 奇偶性的应用用奇偶性求解析式【例1】 (1)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求f (x )的解析式；(2)设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．[思路点拨] (1)设x <0，则－x >0――→当x >0f (x )＝－x ＋1求f (－x )――→奇函数得x <0时f (x )的解析式――→奇函数的性质f (0)＝0――→分段函数f (x )的解析式(2)f (x )＋g (x )＝1x －1――→用－x 代式中x得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1――→奇偶性得f (x )－g (x )＝－1x ＋1――→解方程组得f (x )，g (x )的解析式把本例(2)利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x ).提醒：若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0.函数单调性和奇偶性的综合问题[探究问题]1．如果奇函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么f (x )在(－b ，－a )上的单调性如何？如果偶函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减，那么f (x )在(－b ，－a )上的单调性如何？提示：如果奇函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么f (x )在(－b ，－a )上单调递增；如果偶函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减，那么f (x )在(－b ，－a )上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，那么f (3)和f (－2)的大小关系如何？。
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用． 方 法：合作探究 一新知导学 思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式． 三．作业 基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。
高中数学必修1 第三章复习导学案
高中数学必修1第三章复习导学案
第三章 函数的应用
一、 教学目标：
1、巩固本章知识。
2、培养学生应用知识能力。
教学重点：培养学生应用知识能力
教学难点：熟练应用知识解题。
二、问题导学：
一）、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念： 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义： ，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的 。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．
3、函数零点的求法：
○
1 （代数法）求方程0)(=x f 的 ； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用 找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．
（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有 交点，二次函数有 零点．
（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两 根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个 二阶零点．
（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴 点，二次函数 零点．
5.函数的模型
三、问题探究
一）、求零点
二）、二分法应用
四、课堂练习（见全程设计）
五、自主小结。
河北省高中数学第三章导数及其应用3.2.1几个常用函数的导数导学案新人教A版选修
二、填空题
7．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________.
8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝ ，则质点在t＝32时的速度等于____________.
9．在曲线y＝ 上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________.
3．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为( )
A． B．－ C． D．－
4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于 的点为( )
A．( ， )B．(－ ，－ )或( ， )
C．(2kπ＋ ， )D．(2kπ＋ ， )或(2kπ－ ，－ )
二、填空题
5．(2015·陕西理)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝ (x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
基础题
cbbadd
7.3
8.
9.(2,1)
10设双曲线上任意一点P(x0，y0)，
∵y′＝－ ，
∴点P处的切线方程y－y0＝－ (x－x0)．
令x＝0，得y＝y0＋ ＝ ；
令y＝0，得x＝x0＋x y0＝2x0.
∴S△＝ |x|·|y|＝2.
∴三角形面积为定值2.
提高题
Cdcd
5.(1,1)
6.4x－y－5＝0
练习：曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率为()
A．1B．2C ．eD．
例4若曲线y＝x－ 在点(a，a－ )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
练习：已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．
例5求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．
数学必修一第三章导学案
四川省大英中学高一数学导学案 编制人： 陈波 曹森林 邓红英 审核人：徐厚义 领导审核：薛飞 班级 组别 姓名 评价§3.1.1 方程的根与函数的零点使用说明1.请同学们认真阅读课本，划出重要知识，规范完成学案自主学习并记熟基础知识。
2.结合课本知识独立思考，规范完成学案合作探究和当堂巩固练习，用红色笔做好疑难标记，准备讨论。
3.小组讨论探究课题，组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。
课后及时整理完善导学案。
学习目标1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方 程根的联系；2.自主学习，合作探究，掌握零点存在的判定定理；3.激情投入、全力以赴，享受学习数学的快乐。
学习过程预习案（预习教材P 86~ P 88，找出疑惑之处）复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法. 判别式∆= .当∆ 0，方程有两不等实根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有两相等实根，为0x = ； 当∆ 0，方程无实根.复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关系？判别式一元二次方程二次函数图象0∆> 0∆= 0∆<探究案※ 学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系 问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：（1）函数244y x x =-+的零点为 ；（2）函数243y x x =-+的零点为 .小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究任务二：零点存在性定理 问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；()()f a f b 0；b fc 0)()f d 0.)()f b<0，a b上的图象是连续不断的一条曲线，)(),]内有零点，即存在也就是方程逆定理成立吗？试结合图形来分析)()0f b>．则函数至少有一个零点零点情况不确定的奇函数，且()f x训练案的零点所在区间为（()f b <0的函数所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法的零点近似值的步骤如何呢？()0f b <，给定精度ε；，则1x 就是函数的零点；1)()0f x <()0f b <，则令1(,)x b ）； ④判断是否达到精度ε；即若||a b -<a （或b ）；否则重复步骤②借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.把每个孩子的一生变成一个成功而精彩的故事※ 动手试试练1. 求方程3log 3x x +=的解的个数及其大致所在区间.★练2.求函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点（精确到0.1）零点所在区间中点函数值符号区间长度★★练3. 用二分法求33的近似值.总结提升 ※ 学习小结① 二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.※ 知识拓展高次多项式方程公式解的探索史料在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel ）和伽罗瓦（Galois ）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测——有效训练、反馈矫正1. 若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上（ ）.A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2. 下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.★3. 函数()lg 27f x x x =+-的零点个数为 ，大致所在区间为 .训练案1. 函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（ ）. A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6)2. 用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5) 5.625f =，那么下一个有根区间为 .★3. 求方程0.90.10xx -=的实数解个数及其大致所在区间.★4. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数3()2f x x =-的零点（精确到0.01）.)()0f b <，给定精度ε；，则1x 就是函数的零点；1)()0f x <)()0f b <，则令1(,)x b ）； ④判断是否达到精度ε；即若||a b -<a （或b ）；否则重复步骤②3(1x x ≤≤2()f x 有无零点()0f b <()0f c <，此时c ε<，而)在精确度近似值为（ A. 1x B. ）已知12,x x 的两个不同实根，2()()0x g x <1，2x 介于3，4x 介于1与2x 相邻，1，2x 与x 总结提升 ()f b 0<你完成本节导学案的情况为（较好 C. 当堂检测——有效训练、反馈矫正的最小值为2 B. 1 C. 0()0f b <，()2a bf +四川省大英中学高一数学导学案编制人：陈波曹森林邓红英审核人：徐厚义领导审核：薛飞班级组别姓名评价§3.2.1几类不同增长的函数模型(1)使用说明1.请同学们认真阅读课本，划出重要知识，规范完成学案自主学习并记熟基础知识。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1
5．直线y＝4x＋b是曲线y＝ x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
A． B．0 C．钝角D．锐角
3．曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线 方程为()
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
4．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()
A．e－1 B．－1 C．－e－1D．－e
(2)y＝x－sin ·cos .
例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1 )的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0<a<1)，
即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝ .
提高题acac
5.－
6.y＝－3x
7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
《函数的应用(一)》教学设计、导学案、同步练习
第三章函数的概念与性质《3.4函数的应用（一）》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修一（A版）》的第三章的3.4函数的应用（一）。
函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。
通过经历由实际问题建立函数模型，再利用模型分析、解决问题的过程，学生体验了数学在解决实际问题中的价值和作用，体验了数学与日常生活的联系，有助于增强学生的应用意识，激发他们学习数学的兴趣，发展他们的实践能力。
【教学目标与核心素养】【教学重难点】1.教学重点：建立函数模型解决实际问题；2.教学难点：选择适当的方案和函数模型解决实际问题。
【教学过程】（1）求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象.解:（1）阴影部分的面积为360165175190180150=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯所以阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的为360km.（2）根据图1,有函数图象如图，通过例题让学生进一步理解应用题的解法及读图能力，进一步熟悉分段函数，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
三、达标检测1．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．【解析】设彩电的原价为a，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2250.通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问∴每台彩电的原价为2250元． 【答案】 22502．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．【解析】 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2000＝－120Q 2＋30Q －2000＝－120(Q －300)2＋2500， 当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2500万元． 【答案】 25003．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示：(1)月通话为100分钟时，应交话费多少元；(2)当x ⩾100时,求y 与x 之间的函数关系式；(3)月通话为280分钟时，应交话费多少元? 解析：(1)40元；(2)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b （k ≠0） 由图上知：x =100时，y =40；x =200时，y =60则有⎩⎨⎧+=+=b k b k 2006010040解之得⎪⎩⎪⎨⎧==2051b k∴所求函数关系式为2051+=x y ；题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4.1对数及其运算问题导学案必修
3.4.1 对数及其运算问题导学一、指数式与对数式的互化 活动与探究1将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4；(2)13log 27=3-；(3)6=；(4)43＝64；(5)3－2＝19；(6)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16.迁移与应用把下列各等式转化为相应的对数式或指数式： (1)53＝125；(2)12log 8=3-；(3)12142-=； (4)ln x ＝12；(5)lg a ＝5.对数式和指数式互化的主要依据是关系式a b＝N 等价于b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，互化时，注意以下问题：(1)指数式与对数式在满足底数大于0且不等于1时，可以相互转化．(2)把指数式改写成对数式时，指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置，指数式的指数变为对数式中的对数，指数式中的幂值变为对数式中的真数．(3)在进行指数式与对数式的互化时，一定要保证对数式中的真数大于0. (4)注意常用对数与自然对数的表示方法． 二、对数基本性质及对数恒等式的应用 活动与探究2 求下列各式的值：(1)lg 1；(2)ln e ；(3)log 327；(4)71log 57-；(5)22log 9log 52-. 迁移与应用计算：(1)log 2(log 5x )＝0，则x ＝______；(2)31log 63+=______；(3)151log 21=5-⎛⎫ ⎪⎝⎭______.1．利用对数的定义可以求对数值，这时通常是先将对数式化为指数式，再利用指数的有关运算转化为同底数的幂的形式，从而列出方程，求出结果．2．利用对数的基本性质求值(1)1的对数等于0，即log a 1＝0；(2)底的对数等于1，即log a a ＝1(a ＞0，a ≠1)．3．利用对数恒等式log a Na N =求值在计算含有形如“log a N ma ±”的题目时，首先借助指数幂的运算性质，使其变形为log log a a N m N m a a a ±±=⋅，然后借助对数恒等式log a N a N =及指数幂的运算求值．三、利用对数的运算性质化简、求值 活动与探究3计算下列各式的值： (1)log 85－log 840；(2)log 2748＋log 212－12log 242；(3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.迁移与应用 求下列各式的值： (1)log 64＋log 69； (2)4lg 2＋3lg 5－lg 15；(3)lg 25＋lg 2·lg 5＋lg 2.对数式化简求值常用的方法与技巧： (1)对于同底对数的化简方法：①将同底的两个对数的和(差)化为积(商)的对数； ②将积、商的对数拆成对数的和(差)； ③把真数化成最简；④把数与对数的乘积写成幂的形式，逆用运算性质．(2)对真数中含有多重根号的对数式的化简，应从内到外逐层化简．(3)对于常用对数的化简要充分利用“lg 2＋lg 5＝1”、“lg 2＝1－lg 5”、“lg 5＝1－lg 2”来解题．当堂检测1．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是( )．A ．100＝1与lg 1＝0B ．131273-=与log 2713＝－13C ．log 39＝2与129=3D ．log 55＝1与51＝52．下列等式成立的有( )．①lg 1100＝－2 ②log 333＝32 ③2log 52=5 ④e ln e ＝1 ⑤3lg 3＝3 ⑥5ln 5＝5A ．①②③B ．①②③④C ．①②③④⑤ D．①②③④⑤⑥3．log 812＋log 814等于( )．A ．1B ．－1C ．8D ．184．若log 3(x 2＋1)＝1，则x ＝__________. 5．12ln 36＋13ln 82ln 2＋ln 3＝__________.答案：课前预习导学 【预习导引】1．log a N ＝b 底数 真数预习交流1 提示：指数式a b＝N 与对数式b ＝log a N (a ＞0，a ≠1，N ＞0)是等价的，它们表达的是a ，b ，N 三者之间的同一种关系．但字母a ，b ，N 在两个式子中的名称是不相同的(如下表)：2．(1)零和负数 N (2)0 log a 1＝0 (3)1 log a a ＝1 (4)=a a N预习交流3 提示：在log a N ＝b 中，必须N ＞0，这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而a b＝N 中，N 总是正数．3．10 lg N e ln N4．(1)log a M ＋log a N (2)n log a M (3)log a M －log a N预习交流4 提示：不一定成立． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 迁移与应用 1.思路分析：由题目可知：(1)(2)(3)是对数式，(4)(5)(6)是指数式，可以利用指数式与对数式的关系进行转化．解：(1)∵log 216＝4，∴24＝16.(2)∵13log 27＝－3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27.(3)∵=6，∴(3)6＝x .(4)∵43＝64，∴log 464＝3.(5)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(6)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16，∴14log 162=-.迁移与应用 解：(1)∵53＝125， ∴log 5125＝3.(2)∵12log 83=-，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8.(3)∵12142-=，∴log 412＝－12.(4)∵ln x ＝12，∴x ＝12e .(5)∵lg a ＝5，∴a ＝105.活动与探究2 思路分析：对数的求值问题，可考虑利用对数的基本性质、指数式与对数式的互化以及对数恒等式求解．解：(1)∵100＝1，∴lg 1＝0.(2)设ln e ＝x ，则有e x ＝e ，即e x＝12e .因此x ＝12，即ln e ＝12.(3)设log 327＝x ，则由指数式和对数式的关系可得3x＝27，即3x＝33，所以x ＝3.(4)原式＝7log 577＝75.(5)原式＝22log 9log 522＝95.迁移与应用 (1)5 (2)18 (3)110解析：(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝1，∴x ＝5.(2)原式＝3·3log 63＝3×6＝18. (3)原式＝15÷15log 215⎛⎫⎪⎝⎭＝15÷2＝110. 活动与探究3 思路分析：利用对数的运算性质进行计算，特别注意这些性质公式的逆用．解：(1)log 85－log 840＝log 8540＝log 818＝log 88－1＝－1. (2)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12.(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.迁移与应用 解：(1)log 64＋log 69＝log 6(4×9)＝log 636＝2.(2)原式＝lg 24×5315＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.(3)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5·lg(5×2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 【当堂检测】 1．C2．A 解析：④中e ln e＝e ，⑤⑥中指数式的底数和对数式中的底数不相等．3．B 解析：log 812＋log 814＝log 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12×14＝log 818＝－log 88＝－1. 4．± 2 解析：由已知可得x 2＋1＝3，因此x 2＝2，即x ＝± 2. 5．1 解析：原式＝ln 6＋ln 2ln 4＋ln 3＝ln 12ln 12＝1.。
《函数的应用(一)》教案、导学案与同步练习
《第三章函数的概念与性质》《3.4函数的应用（一）》教案【教材分析】客观世界中的各种各样的运动变化现象均可表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把我相应的运动变化规律.【教学目标与核心素养】课程目标1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题；2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．数学学科素养1.数学抽象：总结函数模型；2.逻辑推理：找出简单实际问题中的函数关系式，根据题干信息写出分段函数；3.数学运算：结合函数图象或其单调性来求最值.；4.数据分析：二次函数通过对称轴和定义域区间求最优问题；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，将自然语言用数学表达式表示出来。
【教学重难点】重点：运用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的处理实际问题；难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、情景导入我们学习过了一次函数、二次函数、分段函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，请学生们举例说明与此有关的生活实例.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本93-94页，思考并完成以下问题1.一、二次函数、反比例函数的表达形式分别是什么？2.幂函数、分段函数模型的表达形式是什么？3.解决实际问题的基本过程是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．常见的数学模型有哪些?(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);+b(k,b为常数,k≠0);(2)反比例函数模型:f(x)=kx(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(4)幂函数模型:f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);(5)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?提示:第一步:分析、联想、转化、抽象;第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;第三步:解答数学问题,求得结果;第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.四、典例分析、举一反三题型一一次函数与二次函数模型的应用例1(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()A.2000套B.3000套C.4000套D.5000套(2)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】（1）D（2）见解析【解析】(1)因利润z=12x-(6x+30000),所以z=6x-30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.(2)①根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).③因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.解题技巧：（一、二次函数模型应用）1.一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a 的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.2.二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.跟踪训练一1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶赠一个茶杯;②按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?2、某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120√6t吨(0≤t≤24).①从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?②若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.【答案】见解析【解析】 1.解:由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法①更省钱;当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.2.解:①设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t−120√6t,令√6t=x,则x2=6t,即t=x26,所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,∴当x=6,即t=6时,y min=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池存水量最少,只有40吨.②令400+10x2-120x<80,即x2-12x+32<0,解得4<x<8,即4<√6t<8,83<t<323.因为323−83=8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象.题型二分段函数模型的应用例2一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．(1)求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象．【答案】见解析【解析】解：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360km.（2）获得路程关于时间变化的函数解析式：图像如图解题技巧：(分段函数注意事项）)1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.跟踪训练二1.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-1t2(万元).2(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?【答案】见解析【解析】解:(1)当0<x≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以,所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值,f(x)max=10.78125(万元).当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).故当年产量为475件时,当年所得利润最大.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本95页习题3.4【教学反思】本节课主要就一次函数、二次函数、分段函数模型举例说明就函数的实际应用.在实际应用中，建立合适的函数模型,把实际应用问题转化为数学问题为关键点.《3.4 函数的应用（一）》导学案【学习目标】1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题；2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．【重点与难点】重点：运用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的处理实际问题；难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．【学习过程】一、预习导入阅读课本93-94页，填写。
导学案013函数的应用教案
函数的应用考纲要求1．考查二次函数模型的建立及最值问题．2．考查分段函数模型的建立及最值问题．3．考查指数（型）、对数（型）、幂函数（型）函数模型的建立及最值问题．考情分析1.现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问题中的增长、减少问题，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数模型等问题是重点，也是难点，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力；2.题型方面选择题、填空题及解答题都有所体现，但以解答题为主.教学过程基础梳理1．常见的函数模型及性质(1)几类函数模型①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．④对数函数型模型：y＝m log a x＋n(a＞0，a≠1)．⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b.(2)三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1) y＝logax(a>1) y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增长速度图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x双基自测1．若22x x ，则x 的取值范围是____________。
2．(2012·新乡月考)某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )．A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )．A ．1 000米2B ．2 000米2C ．2 500米2D ．3 000米24．(2011·湖北)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．5．(2012·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案 4典例分析考点一一次函数、二次函数函数模型的应用【例1】(2012·温州模拟)西部大开发是中华人民共和国中央政府的一项政策，提高了西部的经济和社会发展水平．西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P＝－1160(x－40)2＋100万元．当地政府借助大开发拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q＝－159160(60－x)2＋1192(60－x)万元．问从10年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值？变式1．(2012·嘉兴月考)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．则通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式分别为________，________.：1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．2. 有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．3.在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．考点二、分段函数模型例2 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天价格为g(t)＝12t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；(2)求日销售额S的最大值．1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.考点三、指数函数模型的应用【例3】►某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？：可根据图象利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解．变式：某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)解(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.012120100＝log1.0121.20≈16(年)．(4)由100×(1＋x%)20≤120，得(1＋x%)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x%)≤lg1.2＝0.079，所以lg(1＋x%)≤0.07920＝0.003 95，所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9，即年自然增长率应该控制在0.9%.[考题范例](12分)(2012·天津质检)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支 2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？[规范解答]设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50 (14≤P ≤20)，－32P ＋40 (20＜P ≤26)，(2分)代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600 (20<P ≤26)，(4分)(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元． (8分)(2)设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫． (12分)一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．本节检测1．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为( ) A．10% B．12%C．25% D．40%2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A．36万件 B．18万件C．22万件 D．9万件3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )A．100元 B．110元C．150元 D．190元4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．5．(2011·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．自我反思。
高二数学人教A版选修1-1第三章3.3.2函数的极值与导数导学案(含答案)
内 容 标 准学 科素 养 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用． 2.掌握函数极值的判定及求法． 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.利用直观想象 提升逻辑推理 及数学运算[基础认识]知识点一 极值点与极值的概念 预习教材P 93－95，思考并完成以下问题 (1)观察函数f (x )＝13x 3－2x 的图象．f ′(－2)的值是多少？在x ＝－2左、右两侧的f ′(x )有什么变化？ f ′(2)的值是多少，在x ＝2左、右两侧的f ′(x )又有什么变化？提示：f ′(－2)＝0，在x ＝－2的左侧f ′(x )>0，在x ＝－2的右侧f ′(x )<0；f ′(2)＝0，在x ＝2的左侧f ′(x )<0，在x ＝2的右侧f ′(x )>0.(2)如图，函数f (x )在a ，b 点的函数值与它附近的函数值有什么关系？y ＝f (x )在a ，b 点的导数值是多少？在a ，b 附近，y ＝f (x )的导数的符号是什么？提示：可以发现，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0.类似地，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.知识梳理 极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 知识梳理 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是________． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是________． 提示：(1)极大值 (2)极小值[自我检测]1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 答案：C2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，则f (x )( )A ．有极大值2，极小值－2B ．有极大值－2，极小值2C ．无极大值，但有极小值－2D ．有极大值2，无极小值 答案：B探究一极值与极值点的判断与求解[教材P98习题3.3A组4题]如图是导函数y＝f′(x)的图象，在标记的点中，在哪一点处：(1)导函数y＝f′(x)有极大值？(2)导函数y＝f′(x)有极小值？(3)函数y＝f(x)有极大值？(4)函数y＝f(x)有极小值？解析：(1)点x2处f′(x)有极大值．(2)点x1、x4处f′(x)有极小值．(3)点x3处f(x)有极大值．(4)点x5处f(x)有极小值．[例1](1)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值[解析]由导函数的图象可知：当x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选C.[答案] C(2)求下列函数的极值：①f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；②f(x)＝x2－2ln x.[解析]①函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )极大值21极小值－6所以当x 当x ＝1时，f (x )取极小值－6.②函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，解方程2(x ＋1)(x －1)x ＝0，得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值1因此当x ＝1时，f (方法技巧 1.通过导函数值的正负确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x 轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．2．求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )． (2)求f (x )的拐点，即求方程f ′(x )＝0的根．(3)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f ′(x )的符号时，借助图象也可判断f ′(x )各因式的符号，还可用特殊值法判断． 跟踪探究 1．如图为y ＝f (x )的导函数的图象，则下列判断正确的是( )①f (x )在(－3，－1)上为增函数；②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x ＝2是f (x )的极小值点．A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①③④解析：由f ′(x )的图象知，－3<x <－1时，f ′(x )<0；f ′(－1)＝0； －1<x <2时，f ′(x )>0；f ′(2)＝0；2<x <4时，f ′(x )<0故f (x )在(－3，－1)和(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数，f (－1)是极小值，f (2)是极大值，所以②③正确，故选B.答案：B2．判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由． (1)y ＝13x 3＋4；(2)y ＝e xx (x >0)．解析：(1)f ′(x )＝x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 ＋ f (x )单调递增无极值单调递增(2)y ′＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，令y ′＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减极小值单调递增探究二 利用函数极值确定参数的值[教材P 110复习参考题A 组7题]已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，求c 的值．解析：∵f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ， ∴f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2.∴f ′(2)＝0，即3×4－8c ＋c 2＝0，得c ＝2，或c ＝6. 但c ＝2时，f (2)是极小值，不合题意，舍去，所以c ＝6.[例2] (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________. (2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则a 的取值范围为________．[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0， 此时f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0， 此时f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0， 此时f (x )为增函数．故f (x )在x ＝－1处取得极小值， ∴a ＝2，b ＝9.(2)∵f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a >0，解得a <1. [答案] (1)2 9 (2)(－∞，1)方法技巧 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪探究 3.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 解析：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. 探究三 函数极值的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．[解析] 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， 所以a ＝1，所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)， f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示．因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)． 方法技巧 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．延伸探究 若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”，结果如何？改为“一个交点”呢？ 解析：由本例解析可知当m ＝－3或m ＝1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点；当m <－3或m >1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象只有一个交点．跟踪探究 4.已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解析：由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8 ＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m . ∵由y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0， 解得－16<m <6827.即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－16，6827.[课后小结](1)在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值． (2)函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．(3)利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．[素养培优]1．误把导函数的零点当作函数的极值点求函数f (x )＝x 4－x 3的极值，并说明是极小值还是极大值．易错分析 本题易错将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值．事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值．考查逻辑推理及数学运算．自我纠正 f ′(x )＝4x 3－3x 2，令f ′(x )＝0, 即4x 3－3x 2＝0时，得x 1＝0，x 2＝34.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：由上表可知函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间⎝⎛⎭⎫0，34上还是减函数，所以x ＝0不是函数的极值点，而函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，34上是减函数，在区间⎝⎛⎭⎫34，＋∞上是增函数，所以函数f (x )在x ＝34处取得极小值，极小值为－27256.2．误把切点当作函数的极值点已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2，求f (x )的解析式． 易错分析 本题错在将切点当做极值点，得到f ′(1)＝0的错误结论．其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈．考查逻辑推理及数学运算的学科素养．自我纠正 f ′(1)表示函数f (x )的图象在点(1，－1)处的切线斜率，应有f ′(1)＝1，再联立f (0)＝1，f (1)＝－1便可得到正确答案：a ＝52，b ＝－92，c ＝1，因此f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数问题导学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1
§3.5 对数函数问题导学一、对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系活动与探究1(1)下列函数是对数函数的是( )． A ．y ＝log 2(3x ) B ．y ＝log 2x 3C ．14log y x =D ．121log y x= (2)写出下列函数的反函数：①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；②y ＝ln x.迁移与应用1．若对数函数f (x )的图像经过点(16，－2)，那么f (x )的解析式为__________．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )等于( )．A ．log 2xB ．12log x C ．12x D ．x 2(1)判断一个函数是否是对数函数，主要根据解析式的特征来判定，求对数函数解析式时，主要利用待定系数法求出底数a 的值．(2)函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)；函数y ＝a x的反函数是y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)．二、求与对数函数有关的函数的定义域活动与探究2求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(4－x )x －3；(2)y ＝log 0.1(4x －3).迁移与应用求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg(x ＋1)－3；(2)y ＝log 3x －1.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要注意对数函数自身的要求：真数大于零．三、对数函数的图像活动与探究3作出函数f (x )＝|log 3x |的图像，并求出其值域和单调区间．迁移与应用函数f (x )＝log 41x的大致图像为( )．1．作函数的图像通常采用描点法和图像变换法，可灵活选用； 2．一般地，函数y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，函数y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图像关于y 轴对称，函数y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称．四、对数函数单调性的应用活动与探究4(1)比较下列各组数的大小：①124log 5与log 1267；②12log 3与15log 3；③log a 2与log a 3.(2)若log a (1－2x )＞log a (1＋2x )，求实数x 的取值范围．迁移与应用1．设a ＝log 2π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a2．若log a 3＜1，求a 的取值范围．(1)比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同，真数不同时，用对数函数的单调性来比较；②底数不同，而真数相同时，常借助图像比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．④分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数与1比较，分类讨论．(2)解与对数有关的取值范围问题通常转化为不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．(3)解决与对数函数相关的问题时，要遵循“定义域优先”的原则，切勿忘记真数大于0这一条件．当堂检测1．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的反函数是y ＝g (x )，则g (3)＝( )．A ．127B ．27C ．－1D ．12．若log 5x ＜－1，则x 的取值范围是( )．A ．x ＜15B ．0＜x ＜15C ．x ＞15 D ．x ＞53．下列不等式成立的是( )． A ．log 32＜log 23＜log 25 B ．log 32＜log 25＜log 23 C ．log 23＜log 32＜log 25 D ．log 23＜log 25＜log 324．函数y =__________．5．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域、值域以及单调区间： (1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|12log x |.答案：课前预习导学 【预习导引】1．y ＝log a x 底数 10 e预习交流1 提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．例如y ＝log 3x (x ＞0)，12log y x =(x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，212log y x =等都不是对数函数．2．反函数 互换 y ＝x3．(1)描点法 先画函数x ＝log 2y 的图像，再变换为y ＝log 2x 的图像． (2)(1,0) y 轴右边 x 轴上方 x 轴下方 (0，＋∞)4．(0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞)预习交流2 提示：不论a (a ＞0，且a ≠1)取何值，总有log a 1＝0，因此对数函数图像过定点(1,0)，对于函数y ＝log a f (x )，若令f (x )＝1解得x ＝x 0，那么其图像经过定点(x 0,0)．预习交流3 提示：当a ＞1时，a 值越大，图像越靠近x 轴； 当0＜a ＜1时，a 值越大，图像越远离x 轴．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)根据对数函数的定义进行判断；(2)根据指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 的关系直接写出函数的反函数．(1)C 解析：由对数函数的定义知，只有函数14log y x =是对数函数，其余选项中的函数均不是对数函数，故选C.(2)解：①指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，它的底数是12，它的反函数是对数函数12log y x =.②对数函数y ＝ln x ，它的底数是e ，它的反函数是指数函数y ＝e x.迁移与应用 1．()14log f x x = 解析：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，由已知得log a 16＝－2，因此a －2＝16，解得a ＝14，故()14log f x x =.2．B 解析：由题意，知f (x )＝log a x . ∵其图像过(a ，a )，∴a ＝log a a .∴a ＝12.∴()12log f x x =.活动与探究2 思路分析：(1)x 取值需使分母不等于零且真数为正实数； (2)x 取值需使被开方数为非负数且真数为正实数．解：(1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，解得x ＜4，且x ≠3，所以函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.1(4x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34＜x ≤1.所以函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 迁移与应用 解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧lg(x ＋1)－3≠0，x ＋1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x >－1，∴x ＞－1，且x ≠999，∴函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)要使函数有意义，应有log 3x －1≥0， 即log 3x ≥1，所以x ≥3， 即函数的定义域为{x |x ≥3}． 活动与探究3 思路分析：将函数f (x )化为分段函数，结合对数函数及图像变换可作出函数图像，然后通过图像求出值域和单调区间．解：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0<x <1，所以f (x )的图像在[1，＋∞)上与y ＝log 3x 的图像相同，在(0,1)上的图像与y ＝log 3x的图像关于x 轴对称，据此可画出其图像如下：从图像可知：函数f (x )的值域为[0，＋∞)，递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(0,1)．迁移与应用 D 解析：由于f (x )＝log 41x＝－log 4x ，其图像与y ＝log 4x 的图像关于x轴对称，故选D.活动与探究 4 思路分析：(1)①中两数同底不同真，可利用对数函数的单调性；②中同真不同底，可结合图像判断；③中底数中含有字母，需分类讨论．(2)对底数a 进行讨论，结合对数函数的单调性求解． 解：(1)①12log y x =在(0，＋∞)上递减，又因为45＜67，所以112246log >log 57.②因为在x ∈(1，＋∞)上，15log y x =的图像在12log y x =图像的上方，所以1125log 3<log 3.③当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，所以log a 2＜log a 3.当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数， 所以log a 2＞log a 3.(2)当a ＞1时，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x >0，1＋2x >0，1－2x >1＋2x ，解得－12＜x ＜0；当0＜a ＜1时，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，1＋2x >0，1－2x <1＋2x ，解得0＜x ＜12.因此当a ＞1时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 迁移与应用 1．A 解析：∵函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 2π＞log 23，即a ＞b .又∵b ＝12log 23＞12，c ＝12log 32＜12，∴b ＞c .∴a ＞b ＞c .2．解：当a ＞1时，原不等式可化为log a 3＜log a a ， ∴a ＞3.当0＜a ＜1时，原不等式可化为log a 3＜log a a ， ∴a ＜3.又∵0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.综上知，所求a 的取值范围是(0,1)∪(3，＋∞)． 【当堂检测】1．C 解析：依题意g (x )＝13log x ，所以g (3)＝13log 3＝－1.2．B 解析：由log 5x ＜－1可得log 5x ＜log 515，所以0＜x ＜15.3．A 解析：∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 25＞log 23＞log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 32＜log 33＝1. ∴log 32＜log 23＜log 25.4．[0,1) 解析：∵由12log (1)x -≥0，得0＜1－x ≤1，∴0≤x ＜1.5．解：(1)函数y ＝log 3(x －2)的图像可看作把函数y ＝log 3x 的图像向右平移2个单位长度得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y ＝|12log x |＝122log ,01,log ,1,x x x x <≤⎧⎪⎨⎪>⎩其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．。
3.2.1 几类不同增长的函数模型
编制：郑桥保 审核：黄焕毅【学习目标】1、 了解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，理解指数函数、对数函数、幂函数的增长差异。
2、 会分析具体实际问题，能够初步建立数学模型解决实际问题。
【预习导引】 ：1、 线性函数模型：y=kx+b(k>0),直线上升，增长速度不变。
2、 指数函数模型：y ＝a x (a >1)，增长速度急剧，称为“指数爆炸”。
3、 对数函数模型：y ＝log a x (a ＞1)，增长速度越来越慢。
4、 幂函数模型：y ＝x α(α>0)，增长速度介于指数增长与对数增长之间。
注：(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x α(α>0)都是 ，但增长速度 ，且不在同一个“档次”上。
(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度 ，会超过并远远大于y ＝x α(α＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会 。
(3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x α＜a x 。
【预习自测】1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则可以用来描述该厂前t 年这种产品的总产量c 与时间t 的函数关系的是( )2．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年增长率为x ，则( )A ．(1＋x)19＝4B ．(1＋x)20＝3C ．(1＋x)20＝2D ．(1＋x)20＝43．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天4．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( )A ．y ＝50B ．y ＝1 000xC ．y ＝0.4×2x －1D ．y ＝11 000ex 5．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2<x <4时，有( )A ．y1>y2>y3B ．y2>y1>y3C ．y1>y3>y2D ．y2>y3>y1编制：郑桥保 审核：黄焕毅【课堂检测】1 将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，一天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量应减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？【当堂训练】2 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知lg2＝【课后拓展】例5我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2O10，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 函数的应用（导学案）
3.2 函数模型及其应用
3.2.1几类不同增长的函数模型
一、阅读材料：函数是描绘客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，本节的教学目标是认识，应用函数模型解决简单问题。
课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，数学来源于生活必将应用于生活。
二、学习目标
知识：了解指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长特征，了解函数模型的广泛应用。
能力： 体验函数是描绘客观世界变化规律的基本数学模型，分析其在刻画现实问题中的作用。
三、材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
1． 温馨提示：可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的
2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
（1） 在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
（2） 根据所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
3．．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
x y 25.0= 1log 7+=x y x y 002.1=．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
探究：
1）本题涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？
2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？
3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出解答．
四．知识图书馆：把学案中有疑惑的知识点作上记号，并在空白处写出疑惑原因。