人教版高中数学必修五第5讲：等差数列前n项和公式(学生版)

人教版高中数学 等差数列的前n 项和

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教学重点： 掌握等差数列前n 项和通项公式及性质，数列最值的求解，与函数的关系 教学难点： 数列最值的求解及与函数的关系

1. 数列的前n 项和

一般地，我们称312...n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示；记法：123...n n S a a a a =++++ 显然，当2n ≥时，有1n n n a S S -=- 所以n a 与n S 的关系为 n a = 1S ()1n =

②______________

2. 等差数列的前n 项和公式

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3. 等差数列前n 项和公式性质

（1） 等差数列中，依次()2,k k k N +≥∈项之和仍然是等差数列，即23243,,,,...k k k k k k k S S S S S S S --- 成等差数列，且公差为_______

（2） n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是等差数列 （3） 等差数列{}n a 中，若(),n m a m a n m n ==≠，则0m n a +=；若(),,n m S m S n m n ==≠

则()m n S m n +=-+

（4） 若{}n a 和{}n b 均为等差数列，前n 项和分别是n S 和n T ，则有2121

n n n n a S b T --= （5） 项数为2n 的等差数列{}n a ，有()1,n n n S n a a +=+有S 偶 -S 奇 =nd ，

S S 奇 /偶 =1n n a a + 4. 等差数列前n 项和公式与函数的关系

等差数列前n 项和公式()112n n n S na d -=+可以写成____________________若令1,,22

d d A a B =-=

类型一： 数列及等差数列的求和公式

例1.已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+ 求{}n a

练习1. 已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+求2a

练习2：已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+求10a

例2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，131,,15,22

m a d S ==-=-求m 及m a 练习3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,512,1022n n a a S ==-=-，求d

练习4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，524,S =求24a a +

例3.在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S

(1) 若81248,168,S S ==求1a 和公差d

(2) 若499,6,a a ==-求满足54n S =的所有n 的值

练习5.设n S 是等差数列{}n a 的前项和，1532,3,a a a ==则9S =___________

练习6.在等差数列{}n a 中，241,5,a a ==则{}n a 的前5项和 5S = ______________

类型二： 等差数列前n 项和公式的性质

例4.在等差数列{}n a 中，

（1） 若41720a a +=，求20S

（2） 若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和286n S = ，求n

（3） 若10100100,10S S ==求110S

练习7.（2014山东淄博一中期中）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4813S S =，则816

S S 等于（） A.19 B.13 C.310 D.18

练习8.（2014山东青岛期中）已知等差数列{}n a 的公差0d >，()122013...2013t a a a a t N ++++=∈ 则t = （）

A.2014

B.2013

C.1007

D.1006

例5.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21n n S n T n =+则33

a b =（） A.32 B.43 C.53 D. 127

练习9.已知是{}n a 等差数列，n S 为其前n 项和，n N +∈若32016,20a S ==则10S 的值为______ 练习10.已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为______________

类型三：等差数列前n 项和公式的最值及与函数的关系

例6.已知数列{}n a 的前项和为2230n S n n =-

（1） 这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式

（2） 求使得n S 最小的n 值

练习11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为715,7,75n S S S ==，n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

的前n 项和，求数列{}n T 的通项公式

练习12.等差数列{}n a 中，若61024,120S S ==，求15S =_____________

例7.已知等差数列{}n a 中，19120,,a S S <=求使该数列前n 项和n S 取得最小值的n 的值

练习13.已知等差数列{}n a 中，128,4a d =-=则使前n 项和n S 取得最小值的n 值为（）

A.7

B.8

C.7或8

D.6或7