第7章 技术进步模型分析

技术进步模型分析一、 生产函数经济学理论中，讨论生产函数时，往往没有提及到技术进步的问题。

如生产函数(,)Q f K L =中，是一定技术水平下，生产投入要素的特定组合。

技术条件改变，将导致(,)Q f K L =也改变。

因此，生产函数中→生产技术方程。

假设：生产要素投入分别为劳动L ，资本K ，q 表示生产部门的产出量； 则：(,,)q f K L t =上式表示动态生产函数。

假定t 是可导的→表示时间是可以变化的。

由(,)q f K L =→(,,)q f K L t =引进了时间变量t ，实际上反映了技术进步。

二、进一步说明假设是静态的生产函数，也就是 说没有考虑时间t ，1q ，2q 表示两条等 产量曲线；AB 表示企业的成本约束， 当AB 与2q 相交于C 点，就可得到AB 成本约束下的最佳投入要素组合**(,L K 如果考虑不同的时点：12,t t ，其中2(t >并假定产出不变，即：12q q =显然，2t 时刻企业将通过较少的要素投入量得到等量的产值2q ，相对于等产量线1q 来说，对应等产量2q 的生产函数较高及生产效率较高。

选取一个生产要素组合**(,)L K ，假定2q 与AB 相切于C 点，对于2q 上的所有点，C 点为最大技术效率。

在C 点处投入要素组合**(,)L K 都对应最大经济效率。

2t ：资本价格K P 下降，而L P但总成本指出不变，则：L K C P L P K =+L K KP C K L P P =-+∂↑，则成本曲线由AB 变为''A B ，在新的约束下''A B 下选择最佳投入组合'**(,)C L K '' 当用资本代替劳动，劳动投入下降；q 等量线向上陡峭，K 轴 意味着→L ↓→K ↑↑。

实际上，企业很难接受资本投入的加入。

解决的办法：技术创新、现有技术改进或应用技术发明的新技术，按比例减少最昂贵的生产要素投入。

一般来说，经济环境的变化，引起了企业技术创新，改变原有的生产技术（生产函数），诱导出一组更适合它的最优生产要素组合。

新古典生产理论中，技术进步通过生产函数向原点移动的形式产生。

任何技术进步将改变生产函数，都使较少的要素投入获得同等的产量或使用同等的要素投入获得较大的产量，导致要素投入边际技术代替率的变化。

技术进步资本节约型（劳动增用型）劳动节约型（资本增用型） 中性B ’B三、分类及定义1、资本与劳动比不变下的技术进步分类的方法 a ）资本节约型的技术进步资本劳动比/K L 不变，技术进步的作用使劳动对资本的边际技术代替率递增。

()()()0L LK K MP d d d dK MRTS dt dt MP dt dL==-> 则称资本节约型技术进步， 资本边际产出的变化率小于劳 动边际产出变化率。

如图右图所示：1221,()t t t t >两条等产量曲线12,q q ， 且12q q = 最优组合12,A A ，因为两点在同一射线OE 上，111LK OK MRST OL =-222LK OK MRST OL =-Q 劳动对资本的边际代替变化率递增，'0LK MRST >120LK LK MRST MRST ->所以：1212OK OK OL OL ->- →1212OK OK OL OL < 意味着等产量线沿射线OE 向原点移动时斜率的绝对值递增。

显然：1122OK OL OK OL < 两边同减1，112211OK OL OK OL -<-， → 212122K K L L OK OL < 121212,K K q q MP MP OK OK == 121212,L L q qMP MP OL OL == 221121112///K K MP q OK q OK K K MP q OK OK ∆-== 221121112///L L MP q OL q OL L L MP q OL OL ∆-== ∴K LK LMP MP MP MP ∆∆< 资本节约型的技术进步实际上提高了劳动的边际生产力（相对于资本边际生产能力）。

b)劳动节约型的技术进步若/K L 为常数，即资本与劳动的比例为一定值，技术作用使劳动对资本的边际技术代替率递减。

'0LK MRST <资本边际产出的变化率大于劳动边际产出 的变化率。

同理可证：在劳动对资本的边际 技术代替率递减下，等产量线缘 着射线OE 向原点移动的斜率绝对值 递减。

K LK LMP MP MP MP ∆∆> 提高了资本边际生产能力（相对于劳动边际生产能力），可以用更少的劳动投入得到同样多（或更多）的产出量，劳动节约型。

c)中性技术进步/K L 为常数，技术进步的作用使'0LKMRST =。

资本边际产出的效率＝劳动边际产出的效率。

由于'LK MRST 不变，等产量线沿射线OE 向原点移动斜率为常量，11K L 平行于22K LK LK LMP MP MP MP ∆∆= 技术进步的结果以相同的比例提高资本和劳动的边际生产力，在获得同样多的产出量时，资本要素投入和劳动要素投入的下降幅度相等。

根据以上分析：2、生产函数为线性齐次的情况下的技术进步分类方法1(,,)q f L K t =q 是L 和K 的线性齐次函数，当L 和K 都扩大λ倍时，q 也扩大λ倍。

21(,,)(,,)q f L K t f L K t q λλλλ=== 12,q q 对应时12,t t 的产出量。

(,,)q f L K t =K α ：可用资本所得占产出比例来区别技术进步种类。

(1,,)(,)(,)(1,,)K f KL f t K f K f k t k f L K K f K K k f k t Lf t K L α∂•∂∂∂==•=•=•∂∂∂∂ 其中：Kk L=f f q f K L K L∂∂==+∂∂(欧拉定理) 1K f L f q K q L∂∂=•+•∂∂技术进步中性技术进步资本型劳动型11K L f K f q L q Kα∂∂•=-•=-∂∂ K α 随t ↑，而↑，劳动节约型 K α 随t ↑，而↓，资本节约型 K α 随t ↑，而不变，中性 也可以从下式来看：//1///1/K K f K K f K K f L f K f K L f L L f Kα∂∂∂∂===∂∂∂∂+∂∂+•∂∂ f fq f KLK L∂∂==+∂∂ KL为k ，对于1t 和2t 12()t t < 0Ktα∂>∂，这说明了资本投入递增。

技术进步为劳动节约型。

在分母中：/()()0/LKMP f L t f K t MP ∂∂∂∂=<∂∂∂∂，→递减。

1212L L K K MP MP MP MP >，变形为：121211L L K K MP MP MP MP ->-∴11K LK K MP MP MP MP ∆>可知，资本边际产出变化率大于劳动边际产出变化率。

3、一般情况下技术进步分类设12,q q ，34,q q 对应时12,t t 34,t t 的 产出量。

其中：1234q q q q ===13q q →，生产产量3q 比1q按比例投入更多的劳动，资本节约；12q q →，生产产量2q 比1q投入更多的资本，劳动节约；14q q →，中性技术进步。

四、中性技术进步分析中性技术进步比较简单规模报酬不变的生产技术下，主要有三个：希克斯中性技术进步，哈罗德中性技术进步，索洛中性技术进步 1、希克斯中性技术进步K L 为一定值，劳动对资本的边际技术代替率保持不变，或f L L fK K∂∂•∂∂保持不变，则为希克斯中性技术进步。

K α不随t 变化，符合中性技术进步的定义。

(,,)()(,)q f L K t A t F L K ==证明：记f LL fK K∂∂Φ=•∂∂，ln ln K f K f K f Kα∂∂=•=∂∂(资本产出弹性) ln ln L f L f L f Lα∂∂=•=∂∂(劳动产出弹性) 因为生产技术规模报酬不变，1K L αα+=ln ln 111ln ln L K K K Kf L f K ααααα∂∂-Φ====-∂∂又Q (,,)f ff f L K t L KL K∂∂==⋅+∂∂ /(,)11()/(,)/L f L f K f K ff k t k fK f K K f K k f k t kK K∂∂-∂∂Φ===-=-=Φ∂∂∂∂∂∂∂∂其中：K k L =, Kk L ∂∂=. ∴ 1()1Kk αΦ=-11()K k α=+Φ又∴(1,,)(,)ln (,)(,)(1,,)K K L f t f KK f k t k f k t L k K K fKk f k t k Lf t Lα⋅∂∂•∂∂==•=•=•∂•∂∂∂ ∴1ln (,)1()f k t k k k∂=⋅+Φ∂分离变量积分，得11ln (,)1()f k t k k k ∂=•∂+Φ∴ln (,)()(1()dkf k t t k k =+ψ+Φ⎰因此：()(1()(,)dkt k k f k t e e ψ+Φ⎰=引入 ()()t A t e ψ=∴()(,)q A t F L K =希克斯中性技术进步的作用，相当于在资本和劳动投入不变的情况下，使产出量q 增至()A t 倍。

反过来：若生产函数(,,)q f L K t =是L 和K 的线性齐次函数，且()(,)q A t F L K =，则它在Kk L=处为希克斯中性技术进步。

/1/()(,)/(/,1)11()(,)/(/,1)/()(,1)(,1)/fL f L f K f K L K K f K K f Kf KL A t F K L L F K L kA t F K L K k F K L K L F k k F k k⋅∂∂-⋅∂∂==-⋅∂∂∂∂∂∂⋅=-=-⋅∂∂∂∂=∂∂因为Kk L=为常数，与t 无关，上式与t 无关，故()(,)q A t F L K =为希克斯中性技术进步的生产函数。

如果生产函数(,,)q f K L t =是K 和L 的线性齐次函数，则它在K k L=处为希克斯中性技术进步的充分必要条件为：()(,)q A t F L K=2、哈罗德中性技术进步如果资本边际产出固定，资本产出率(/)q K保持不变，那么技术进步为哈罗德中性技术进步。

KfK f K f KKα∂∂∂==∂设：q fbK K∂∂==∂∂（与t无关）q faK K==（与t无关）因为，K b aα=（与t无关），Kα不随t变化而变化，符合中性技术进步的定义。