第三章 平面机构的运动分析
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机械原理第三章 运动分析
例3-4 含三副构件的六杆机构运动分析
例3-5 已知图示机构各构件的尺寸及原动件1的角速度1，求 C点的速度vc及构件2和构件3的角速度2及 3；求E点的速度 vE 加速度aE 。 解： 1) 列矢量方程，分析 各矢量大小和方向。 2) 定比例尺，作矢量 图。 3) 量取图示尺寸，求 解未知量。 2 C
vB 3 vB 2 vB 3B 2
⊥BC ⊥AB ？ lAB1
v ？
m/s mm
1
A
1
B
2
方向： 大小： 定比例尺 作矢量图.
∥BC
？
3 C 4
vB3B 2 v b2b3
p b3 b2
vB 3 v pb3 3 lBC lBC
顺时针方向
2) 求构件3的角加速度3 列方程：
机械原理 第三章 平面机构的运动分析
§3-1 概述
§3-2 速度瞬心及其在平面机构速度分析中的应用 §3-3 平面机构运动分析的矢量方程图解法 §3-4 平面机构运动分析的复数矢量法 §3-5 平面机构运动分析的杆组法
§3-1 概述
1.机构运动分析的内容 机构尺寸和原动件运动规律已知时，求转动构件上某点 或移动构件的位移、速度、加速度及转动构件的角位移、 角速度、角加速度。 2.机构运动分析的目的
绝对速度相等的重合点。用Pij表示。
若该点绝对速度为零——绝对瞬心。 若该点绝对速度不为零——相对瞬心。 二、瞬心的数目 设N 为组成机构的构件数（含机架），K为瞬心数，则
2 K CN =N ( N 1) / 2
三、瞬心的位置 1.两构件组成转动副 P12
1 2
以转动副相联，瞬心在其中心处。
P12、P13 的位置（绝对瞬心），P23
第3章平面机构的运动分析
一、基本原理和方法
1.矢量方程图解法
设有矢量方程： D＝ A + B + C
因每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据已 知条件的不同，上述方程有以下四种情况：
D＝ A + B + C 大小：？ √ √ √ 方向：？ √ √ √
D＝ A + B + C 大小：√ ？ ？ √
方向：√ √ √ √
B
A
D
C
②联接任意两点的向量代表该两点 在机构图中同名点的相对速度， 指向与速度的下标相反。如bc代 表VCB而不是VBC ，常用相对速 度来求构件的角速度。
P
C
A 作者：潘存云教授
B
D
a
③∵△abc∽△ABC，称abc为ABC的速 度影象，两者相似且字母顺序一致。
作者：潘存云教授
c
p
前者沿ω 方向转过90°。称△abc为
3.求传动比 定义：两构件角速度之比传动比。
ω 3 /ω 2 ＝ P12P23 / P13P23 推广到一般：
2
P ω2 12
1
ω i /ω j ＝P1jPij / P1iPij
P ω 233
3
P13
结论:
①两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对
瞬心的距离之反比。
②角速度的方向为：
相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧时，两构件转向相同。 相对瞬心位于两绝对瞬心之间时，两构件转向相反。
B A
DC
D＝ A + B + C 大小：√ √ √ √ 方向：√ √ ？ ？
D＝ A + B + C 大小：√ ？ √ √ 方向：√ √ ？ √
B
A
机械原理第三章平面机构的运动分析
2 判定方法
通过违法副法、副移法或 推动法等方法进行判定。
3 应用举例
四连杆机构中的连杆2-连 杆3副是约束运动副。
运动副的数目
1
最大副数
运动副的最大数目取决于机构的自由度。
2
自由度
机构能够独立运动的最少块数。
3
计算方法
自由度 = 3 * （连杆总数 - 框架连杆数 - 3）
极迹法
极迹法是一种利用链接件的相对位置和运动方向进行运动分析的方法，通过 绘制链接件的轨迹，可以分析机构的运动特性。
机械原理第三章平面机构 的运动分析
平面机构是指运动发生在一个平面内的机械装置。本章将详细介绍平面机构 的分类、链接件运动、运动副的命名和判定以及优化设计等内容。
什么是平面机构
平面机构是运动发生在一个平面内的机械装置。它由链接件和运动副组成，可实现各种不同的运动效果。
平面机构的分类
四连杆机构
由四个连杆组成，可实现平面运动和转动。
由滑块和滑道组成的运动副。
键副
通过键配对组成的运动副。
独立运动副的判定
1 定义
独立运动副是能够单独实 现运动的副。
2 判定方法
通过遮挡法、违法副法或 推动法等方法进行判定。
3 应用举例
曲柄滑块机构中的曲柄-连 杆副是独立运动副。
约束运动副的判定
1 定义
约束运动副是通过其他副 的约束实现运动的副。
自由度的计算
自由度是机构能够独立运动的最少块数。通过计算机构的链接件数目和约束数目，可以确定机构的自由度。
平面机构的静力学分析
静力学分析是研究机构在静力平衡条件下的受力分布和力矩平衡的方法。通过分析机构的关节受力和连杆力矩， 可以确定机构的静力学特性。
第三章平面机构的运动分析
A。以转动副直接相联的---------在转动副中心 B。以移动副直接相联的---------在垂直于移动方向的无穷远处 C。以高副直接相联的：纯滚动----- --在接触点 非纯滚动-----在接触点的公法线上
•不以运动副直接相联的构件
三心定理：三个彼此作平面平行运动的构件共有
三个瞬心，且必在同一直线上。 例1：求图3-3所示机构的瞬心 N=n（n-1）/2 =4（4-1）/2 =6
上例中：构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 速度关系如下： VD5 = VD4+ VD5D4 大小 ？ √ ？ 方向 ⊥DF √ ∥移动方向
ω5= VD5/LDF
构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 加速度关系如下：
aD5 = aD5n + a D5t =aD4 + aD5D4k （哥氏加速度） + aD5D4r 大小 ω52* LDF ？ √ 2ω4* VD5D4 ？ 方向 D→F ⊥DF √ VD5D4方向沿ω4转过900 ∥移动方向 构件4、5形成移动副，两构件间无相对转动， 则： ω5= ω4
3-4 综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构 进行速度分析
例3-2,求图示齿轮--连杆组合机构中构件6的角速度。 解：
K点为构件2、4的瞬心，VK= ω2*LOK E点为构件1、4的瞬心，VE=0 构件4上已知两点K、E的速度，第三点B的速度可用影象法求 用矢量方程VC = VB + VCB可求出VC，则ω6=VC/LCD
例2:求图3-4中从动件3的移动速度。
解:
1 .先求出构件2、3的瞬心 2.V3=VP23= ω2*P12P23 P13∞
例3：求图示机构中构件6的移动速度。 解：V6=VP26= ω2*P12P26
•不以运动副直接相联的构件
三心定理：三个彼此作平面平行运动的构件共有
三个瞬心，且必在同一直线上。 例1：求图3-3所示机构的瞬心 N=n（n-1）/2 =4（4-1）/2 =6
上例中：构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 速度关系如下： VD5 = VD4+ VD5D4 大小 ？ √ ？ 方向 ⊥DF √ ∥移动方向
ω5= VD5/LDF
构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 加速度关系如下：
aD5 = aD5n + a D5t =aD4 + aD5D4k （哥氏加速度） + aD5D4r 大小 ω52* LDF ？ √ 2ω4* VD5D4 ？ 方向 D→F ⊥DF √ VD5D4方向沿ω4转过900 ∥移动方向 构件4、5形成移动副，两构件间无相对转动， 则： ω5= ω4
3-4 综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构 进行速度分析
例3-2,求图示齿轮--连杆组合机构中构件6的角速度。 解：
K点为构件2、4的瞬心，VK= ω2*LOK E点为构件1、4的瞬心，VE=0 构件4上已知两点K、E的速度，第三点B的速度可用影象法求 用矢量方程VC = VB + VCB可求出VC，则ω6=VC/LCD
例2:求图3-4中从动件3的移动速度。
解:
1 .先求出构件2、3的瞬心 2.V3=VP23= ω2*P12P23 P13∞
例3：求图示机构中构件6的移动速度。 解：V6=VP26= ω2*P12P26
[机械原理]图解-平面机构的运动分析
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at 4 E2B
aC22
an EC
大方5小向）v角速得E速度，度， 方v可其向B 用指的构向判⊥v？EE件与定BB上速采任度用v意的矢C 两角量⊥点平标v？EE之相移CC 间反法的（（将相v代对CBb表速该度A1b相除c对于）1速该。度两的点4矢之量间E 平的G移距3到离D对来应求
vE点上）v。 pe
vB
对Δ当67Δb））b应已cc构e当速e边称知图∽同度互为构中Δ一影相Δ件B对B构像C垂上CE应件原直E两且点已理的点字构知：速的母成两同度速顺的点一影度序多速构像时一边度件，致形求上可相第各以似三点用且点在速角速速度e标f度度影字cv时矢像C母B才量原绕能图理行使上求顺v用构出E序速成该相度的v构C同多影件g。边像上形原任与理意其一在点机的 P
1 P12
A
1
P14
VE 2 P24E
P24
2
P23 C
VE E
3
D
4
P34
§3-2 用速度瞬心法作机构速度分析
四、 用瞬心法作机构的速度分析
1. 铰链四杆机构
已知：各杆长及1 ,1。求：2 ，3 。 V E
N(N I) 43
P24
K
6
2
2
P14、P12、P23、P34位于铰链中心
取基点p，按比例尺v （m/s）/mm作速度图
A 1
4
D
b
VB
vC v pc vCB v bc
VCB
p
2
vCB lBC
3
vC l CD
c
VC
方向判定:采用矢量平移法
§3-2 用矢量方程图解法作机构的运动分析
第三章第三章平面机构的运动分析平面机构的运动分析
若既有滚动又有滑 动, 则瞬心在高副接 触点处的公法线上。
三、机构中瞬心位置的确定 （续） ◆ 不直接相联两构件的瞬心位置确定
三心定理:三个彼此作平面平行运动的构 件的三个瞬心必位于同一直线上。 例题:试确定平面四杆机构在图示位置 时的全部瞬心的位置。 解: 机构瞬心数目为: K=6 瞬心P13、P24用 于三心定理来求 P24 P12 P23 2 3 4 P34 P13
e
n n' ①由极点p1向外放射的矢量代表构件相应点的绝对加速 度；
b' 注意：速度影像和加速度影像 只适用于构件。
②连接两绝对加速度矢量矢端的矢量代表构件上相应两 点间的相对加速度，其指向与加速度的下角标相反； ③也存在加速度影像原理。
三、两构件重合点间的速度和加速度的关系
已知图示机构尺寸和原动件1的运动。求重合点C的运动。 1. 依据原理 构件2的运动可以认为是随同构件1的牵连运动和构件2 相对于构件1的相对运动的合成。 2、依据原理列矢量方程式 vc2c1 B 2 C1、C2、C3 C 大小： ？ √ ? 方向：⊥ CD ⊥AC ∥AB
vC 2 = vC 1 + vC 2C 1
ω1
1
ac1 4
3 大小： √ ？ √ D vc1 √ ？ C→D ⊥CD √ 方向：
n k r aC2 = aC3D +atC3D = aC1 +aC2C1 +aC2C1
√ ∥AB
A
a
k C 2 C1
= 2ω1vC 2C1
科氏加速度方向是将vC2C1沿 牵连角速度ω1转过90o的方向。
（1） 速度解题步骤：
★求VC ①由运动合成原理列矢量方程式
v C = v B + v CB
第三章 平面机构的运动分析
3-2试求图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置（用符号Pij直接标在图上）。
解：解：
a) b)
解：解：
c)d)
想一想：在图c及图d所示的机构中，两高副元素间是否为纯滚动？它们的瞬心应位于何处？
3-3在图示的齿轮连杆组合机构中，试用瞬心法求齿轮1与齿轮3的传动比1/3。
解：1）计算此机构所有瞬心的数目
3-5在图示的摇杆机构中，已知lAB=30mm，lAC=100mm，lBD=50mm，lDE=40mm，，曲柄以等角速度=10rad/s回转，试用图解法求机构在º位置时，点D和点E的速度和加速度，以及构件2的角速度和角加速度。
解：（1）选取比例尺（l=0.002m/mm）做机构运动简图
（2）速度分析（v=0.005(m/s)/mm）
第三章
3-1填空题
（1）当构件组成转动副时，其瞬心在处；当组成移动副时，其瞬心在处；当组成兼有滑动和滚动的高副时，其瞬心在处。
（2）哥氏加速度的大小为________；方向为。
（3）在由N个构件组成的机构中，共有个瞬心，其中个绝对瞬心。
（4）速度影像的相似原理只能应用于的各点，而不能应用于机构中不同构件上的各点。
K=
2）为了求传动比1/3需求出如下瞬心（填出下角标）
PPPPP
3)传动比1/3的计算公式是
想一想：齿轮1与齿轮3的转向是相同还是相反？
3-4判断图中哥氏加速度的方向是否正确（正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”，）。
解：
图a ( )图b ( )图c ( )
想一想：在什么条件下存在哥氏加速度？在判断哥氏加速度时需要注意哪些事项？
（2）构件2上速度为零的点I的位置，并求出该点的加速度aI；
（3）构件2上加速度为零的点Q的位置，并求出该点的速度vQ。
解：解：
a) b)
解：解：
c)d)
想一想：在图c及图d所示的机构中，两高副元素间是否为纯滚动？它们的瞬心应位于何处？
3-3在图示的齿轮连杆组合机构中，试用瞬心法求齿轮1与齿轮3的传动比1/3。
解：1）计算此机构所有瞬心的数目
3-5在图示的摇杆机构中，已知lAB=30mm，lAC=100mm，lBD=50mm，lDE=40mm，，曲柄以等角速度=10rad/s回转，试用图解法求机构在º位置时，点D和点E的速度和加速度，以及构件2的角速度和角加速度。
解：（1）选取比例尺（l=0.002m/mm）做机构运动简图
（2）速度分析（v=0.005(m/s)/mm）
第三章
3-1填空题
（1）当构件组成转动副时，其瞬心在处；当组成移动副时，其瞬心在处；当组成兼有滑动和滚动的高副时，其瞬心在处。
（2）哥氏加速度的大小为________；方向为。
（3）在由N个构件组成的机构中，共有个瞬心，其中个绝对瞬心。
（4）速度影像的相似原理只能应用于的各点，而不能应用于机构中不同构件上的各点。
K=
2）为了求传动比1/3需求出如下瞬心（填出下角标）
PPPPP
3)传动比1/3的计算公式是
想一想：齿轮1与齿轮3的转向是相同还是相反？
3-4判断图中哥氏加速度的方向是否正确（正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”，）。
解：
图a ( )图b ( )图c ( )
想一想：在什么条件下存在哥氏加速度？在判断哥氏加速度时需要注意哪些事项？
（2）构件2上速度为零的点I的位置，并求出该点的加速度aI；
（3）构件2上加速度为零的点Q的位置，并求出该点的速度vQ。
机械原理第3章平面机构的运动分析
（不包括机架）， 所以有 N=n+1 。
机构中构件 3 4 5 ……
总数
瞬心数 3 6 10 ……
p12 p13 p23
p12 p13 p14 p23 p24 p34
p12 p13 p14 p15 p23 p24 p25 p34 p35 p45
4
机械原理
§3-2 用速度瞬心法作机构的速度分析 3. 瞬心位置的确定
∴ω4
= ω2
P12 P24 P14 P24
两方构向件？的若角相速对度瞬与心其P绝24对在瞬两心绝对瞬心P12 、P14 至相对瞬的心延的长距线离上成，反比ω2、ω4 同向；若P24
在P12 、15P14之间，则ω2、ω4 反向。
机械原理
（2）求角速度 高副机构
已知构件2的转速ω2，求构件3的角速度ω3
θ3 = arctan a ± a2 +b2 −c2
(3)
2
b+c
* 正负号对应于机构的两个安装 模式，应根据所采用的模式确定 一个解。
此处取“+”
21
机械原理
22
机械原理
⎧⎨⎩ll22
cosθ2 sin θ 2
= =
l3 l3
cosθ3 − l1 cosθ1 + xD − xA sinθ3 − l1 sinθ1 + yD − yA
2 建立速度、加速度关系式 为线性, 不难求解。
3 上机计算, 绘制位移、速度、加速度线图. * 位移、速度、加速度线图是根据机构位移、速度、加速度
对时间或原动件位移的关系式绘出的关系曲线. ** 建立位移关系式是关键，速度、加速度关系式的建立只是求
导过程。
19
机械原理
机构中构件 3 4 5 ……
总数
瞬心数 3 6 10 ……
p12 p13 p23
p12 p13 p14 p23 p24 p34
p12 p13 p14 p15 p23 p24 p25 p34 p35 p45
4
机械原理
§3-2 用速度瞬心法作机构的速度分析 3. 瞬心位置的确定
∴ω4
= ω2
P12 P24 P14 P24
两方构向件？的若角相速对度瞬与心其P绝24对在瞬两心绝对瞬心P12 、P14 至相对瞬的心延的长距线离上成，反比ω2、ω4 同向；若P24
在P12 、15P14之间，则ω2、ω4 反向。
机械原理
（2）求角速度 高副机构
已知构件2的转速ω2，求构件3的角速度ω3
θ3 = arctan a ± a2 +b2 −c2
(3)
2
b+c
* 正负号对应于机构的两个安装 模式，应根据所采用的模式确定 一个解。
此处取“+”
21
机械原理
22
机械原理
⎧⎨⎩ll22
cosθ2 sin θ 2
= =
l3 l3
cosθ3 − l1 cosθ1 + xD − xA sinθ3 − l1 sinθ1 + yD − yA
2 建立速度、加速度关系式 为线性, 不难求解。
3 上机计算, 绘制位移、速度、加速度线图. * 位移、速度、加速度线图是根据机构位移、速度、加速度
对时间或原动件位移的关系式绘出的关系曲线. ** 建立位移关系式是关键，速度、加速度关系式的建立只是求
导过程。
19
机械原理
平面机构的运动分析
2.第二种情况——不同构件重合点
A
1 ω1
C
2
B1 （B2 B3 ）
VB2 = VB1 VB3 = VB2 + VB3B2 大小： ? ω1LAB ？ 方向：⊥BD ⊥AB ∥导路
3
p
D
4
b2 b1 b3
§3-3 用相对运动图解法对机构进行运动分析
anB3 + aτB3 = aB2 + akB3B2 + aτB3B2 大小： ω32 LBD ? ω12 LAB 2 ω2vB3B2 ？
1.同一构件上两点间的速度和加速度关系
构件上C点或B点的运动，可以看
作随其上任一点（基点）A 的牵连运 A
动和绕基点A 的相对转动。
C B
§3-3 用相对运动图解法对机构进行运动分析
2.两构件上重合点间的速度和加速度关系
构件2的运动可以看作是构件2跟 着构件1的牵连运动和构件2相对构件 1的相对运动的合成运动。构件3的运 动可以看作是构件3跟着构件2的牵连 运动和构件3相对构件2的相对运动的 合成运动。
确定瞬心位置分为如下两种情况
1）通过运动副直接相联的两构件的瞬心
两构件组成移动副:
两构件组成转动副：
P12在垂直于导路的无穷远处
P12在转动副的中心
§3-2 用瞬心法对机构进行速度分析
两构件组成纯滚动高副： 纯滚动接触点的相对速度为零，接触点为速度瞬心。
两构件组成滑动兼滚动高副： 瞬心应在过接触点的公法线nn上， 具体位置由其它条件共同来确定。
图环的解速法度的分学析习，要工作求量非常大。
根据运动合成原理能 正确地列出机构的速度和加速度矢量方程 准确地绘出速度和加速度矢量图 根据矢量图解出待求量
第三章 平面机构的运动分析
第三节 用矢量方程图解法作机构的速度 及加速度分析
1. 矢量方程图解法的基本原理和作法
在用矢量方程图解法对机构进行速度和加速度分析
时，首先是根据相对运动原理，建立点与点之间的 速度和加速度矢量方程，然后用作图法求解矢量方 程，按比例绘出机构的速度多边形和加速度多边形， 求得未知的运动参数。
第三章 平面机构的运动分析
第三章 平面机构的运动分析
两构件以平面高副相联接时，当两构件作 纯滚动，接触点相对速度为零，
该接触点M即为瞬心P12；
第三章 平面机构的运动分析
若高副元素间既作相对滚动，又作相对滑 动，由于相对速度v12存在，并且其方向沿 切线方向，
瞬心P12必位于过接触点的公法线（切线的垂线） n---n上，具体在法线的哪一点，须根据其它 条件再作具体分析确定。
B
A
第三章 平面机构的运动分析
速度分析
①
②
通过分析，了解从动件的速度变化
为加速度分析作准备。
规律是否满足工作要求。如牛头刨床； 加速度分析 ① 确定各构件及其上某些点的加速度； ② ③ 了解机构加速度的变化规律； 为机构的力分析打基础。 ●图解法 ●解析法
速度瞬心法
矢量方程图解法
机构运动分析的方法
第三章 平面机构的运动分析
第一节 机构运动分析的任务、目的及方法
机构的运动分析：就是对机构的位移、速度和 加速度进行分析
位移、轨位形），绘制 机构位置图。 ② 确定构件的运动空间，判断是否发生 干涉。 ③ 确定构件行程， 找出极限位置。 ④ 确定点的轨迹（连杆曲线）。
设有矢量方程： D＝ A + B + C 因每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据 已知条件的不同，上述方程有以下四种情况： D＝ A + B + C 大小：？ √ √ √ 方向：？ √ √ √
1. 矢量方程图解法的基本原理和作法
在用矢量方程图解法对机构进行速度和加速度分析
时，首先是根据相对运动原理，建立点与点之间的 速度和加速度矢量方程，然后用作图法求解矢量方 程，按比例绘出机构的速度多边形和加速度多边形， 求得未知的运动参数。
第三章 平面机构的运动分析
第三章 平面机构的运动分析
两构件以平面高副相联接时，当两构件作 纯滚动，接触点相对速度为零，
该接触点M即为瞬心P12；
第三章 平面机构的运动分析
若高副元素间既作相对滚动，又作相对滑 动，由于相对速度v12存在，并且其方向沿 切线方向，
瞬心P12必位于过接触点的公法线（切线的垂线） n---n上，具体在法线的哪一点，须根据其它 条件再作具体分析确定。
B
A
第三章 平面机构的运动分析
速度分析
①
②
通过分析，了解从动件的速度变化
为加速度分析作准备。
规律是否满足工作要求。如牛头刨床； 加速度分析 ① 确定各构件及其上某些点的加速度； ② ③ 了解机构加速度的变化规律； 为机构的力分析打基础。 ●图解法 ●解析法
速度瞬心法
矢量方程图解法
机构运动分析的方法
第三章 平面机构的运动分析
第一节 机构运动分析的任务、目的及方法
机构的运动分析：就是对机构的位移、速度和 加速度进行分析
位移、轨位形），绘制 机构位置图。 ② 确定构件的运动空间，判断是否发生 干涉。 ③ 确定构件行程， 找出极限位置。 ④ 确定点的轨迹（连杆曲线）。
设有矢量方程： D＝ A + B + C 因每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据 已知条件的不同，上述方程有以下四种情况： D＝ A + B + C 大小：？ √ √ √ 方向：？ √ √ √
第三章 平面机构的运动分析
∥BD
D
μv
b1
(3) 求VE
大小
VE = VC + VEC ？ √ √ ？ ⊥EC
e
c
b2 P
方向 水平
E
2. 加速度分析 (1) 求aB2 aB2= aB1 + akB2B1 + arB2B1= anB2 + aτB2 大小 ？ √
2ω3vB3B2
5
4 C ω1 1 3 6 c D e b2 P 2 B(B1,B2) b1
C→B ⊥CB
b′
m/s2/mm
c″
P′
b″
a′ ′ c″ c′
加速度多边形
加速度多边形特征如下： 1) 连接P′点和任一点的向 量代表该点在机构图中同名点的 绝对速度，其方向由P点指向该 点；
C A vA aA
aB方向
vB方向
B
2) 连接其它任意两点的向量
代表在机构中同名点间的相对速 度，其指向与相对下标相反； 3) 点P′—极点，代表该机 构上加速度为零的点(绝对速度瞬
位移分析可以：
◆ 进行干涉校验 ◆ 确定从动件行程
◆ 考查构件或构件上某点能否实现预定位置变化
的要求。 速度、加速度分析可以： ◆ 确定速度变化是否满足要求 ◆ 确定机构的惯性力、振动等
机构的运动分析：根据原动件的已知运动规律，分 析改机构上某点的位移、速度和加速度以及构件的角速 度、角加速度。 目的在于： 确定某些构件在运动时所需的空间；判断各构件间 是否存在干涉；考察某点运动轨迹是否符合要求；用于 确定惯性力等。 二、方法 图解法：形象直观，精度不高。 速度瞬心法 矢量方程图解法
24
vk= KP24 ×μ
l
第3章平面机构的运动分析
vc pcv
P
矢量方程图解法
pa 代表 V A pb 代表 V B pc 代表 V C ab 代表 V BA
b
a c
第三章 平面机构的运动分析 矢量方程图解法
概念：速度多边形 点p与各绝对速度矢端构成的图形pabc。 点p为速度极点，代表构件上速度为零的点。
注意： 1）由极点引出的矢量代表构件上同名点的绝对速度
第三章 平面机构的运动分析
任务、目的及方法
§3-1 机构运动分析的任务、目的及方法 ◆ 机构运动分析的任务
是在已知机构尺寸和原动件运动规律的情况下，确定机 构中其它构件上某些点的轨迹、位移、速度及加速度和某 些构件的角位移、角速度及角加速度。
目的: 分析、标定机构的性能指标。
位移轨迹分析
1、能否实现预定位置、轨迹要求； 2、确定行程、运动空间；
1、同一构件上两点间的关系（速度 、加速度）
刚体的平面运动原理: 刚体的平面运动是随 基点的移动与绕基点 转动的合成
铰链四杆机构，已知原动件O1A（2、2），以连杆3为 研究对象，分析同一构件上两点间的速度、加速度关系。
第三章 平面机构的运动分析 矢量方程图解法
1）速度关系
a. 取A为基点，列B点的速度矢量方程式
p aV A;p bV B;p cV C
2）连接任意两绝对速度矢端代表构件上同名点的相对速度， 指向与速度下标相反。
a cV C;A b cV C;B a bV B A
第三章 平面机构的运动分析 矢量方程图解法
3
vBA(m/s) lAB
abv
lAB
方向逆时针（将ab平移）
图形abc为构件图形ABC的速度影像，字母顺 序相同，逆时针方向。为构件图形沿3方向旋转 90°，利用影像法可方便地求出点C的速度。
第三章平面机构的运动分析
4 1
P24
K = N（N－1）/ 2
3
2 ∞
= 4（4－1）/ 2
=6
2、求出全部瞬心 P34
∞ P34
P13
1
P12
2
1
P23
3
P14
4
3、求出3的速度
∵P13为构件1、3等速重合点
v 3 v P13 1 p14 p13 l
P34∞
VP13
2
P24
P34∞
P13
1
P12
a
实际加速度 图示尺寸
m / s2 mm
, 作矢量多边形。
c´
p b
n
由加速度多边形得：
aC a pc m / s 2
t 2 aCB l BC
a nc l BC
同样，如果还需求出该构件上E 点的加速度 aE，则
c´ p
acbt
n t aE aB aEB aEB
速度分析 ① 位移、轨迹分析
加速度分析
通过分析，了解从动件
①
②
确定各构件及其上某些点的加
速度； 了解机构加速度的变化规律；
的速度变化规律是否满足工
作要求。如牛头刨床； ② 为加速度分析作准备。
③
为机构的力分析打基础。
3. 机构运动分析的方法
速度瞬心法 ● 图解法 矢量方程图解法 ● 解析法
第三章 平面机构的运动分析
基本要求： 本章重点： 的应用；
明确机构运动分析的目的
和方法；
速度瞬心的概念和“三心定理” 应用相对运动图解法原理求二
级机构构件上任意点和构件的运 动参数。
理解速度瞬心（绝对瞬心
P24
K = N（N－1）/ 2
3
2 ∞
= 4（4－1）/ 2
=6
2、求出全部瞬心 P34
∞ P34
P13
1
P12
2
1
P23
3
P14
4
3、求出3的速度
∵P13为构件1、3等速重合点
v 3 v P13 1 p14 p13 l
P34∞
VP13
2
P24
P34∞
P13
1
P12
a
实际加速度 图示尺寸
m / s2 mm
, 作矢量多边形。
c´
p b
n
由加速度多边形得：
aC a pc m / s 2
t 2 aCB l BC
a nc l BC
同样，如果还需求出该构件上E 点的加速度 aE，则
c´ p
acbt
n t aE aB aEB aEB
速度分析 ① 位移、轨迹分析
加速度分析
通过分析，了解从动件
①
②
确定各构件及其上某些点的加
速度； 了解机构加速度的变化规律；
的速度变化规律是否满足工
作要求。如牛头刨床； ② 为加速度分析作准备。
③
为机构的力分析打基础。
3. 机构运动分析的方法
速度瞬心法 ● 图解法 矢量方程图解法 ● 解析法
第三章 平面机构的运动分析
基本要求： 本章重点： 的应用；
明确机构运动分析的目的
和方法；
速度瞬心的概念和“三心定理” 应用相对运动图解法原理求二
级机构构件上任意点和构件的运 动参数。
理解速度瞬心（绝对瞬心
第三章机构的运动分析
1、构件（或原动件）—— 同一构件上点的运动分析 已知该构件上一点的运动（位置、速度、加速 度），构件的运动（角位置、角速度、角加速度）， 及已知点到所求点的距离。求同一构件上其它点的 运动（位置、速度、加速度）。 如图 b-1 所示的构件 AB ，已知：
运动副A的（xA、yA、x 、yA、x 、y A）和
∵ P23为2、3两构件的同速点，
V3 =V3 P23 = V2 P23 = ω2 P12 P23μL （方向垂直向上）
P13
∞
P12
图3-3
§3—3 用解析法作机构的运动分析
常用的解析法有： 矢量方程解析法、矩阵法、 复数矢量法、杆组法。
一、复数矢量法 复数矢量法是先写出机构位置的封闭矢量方 程式，然后将它对时间求一次和二次导数即得 速度和加速度矢量方程式，最后用复数矢量运 算法求出所需的运动参数。 机构位置的封闭矢量方程式
第三章 平面机构的运动分析
§3—1 机构运动分析的目的及方法 §3—2 用速度瞬心法作机构的速度分析 §3—3 用解析法作机构的运动分析
§3—1 机构运动分析的目的及方法
机构的运动分析，就是根据原动件给定的运动规律， 来分析这个机构其它构件上某些点的位移、轨迹、速度、 加速度，以及构件的角位移、角速度、角加速度。 一、运动分析的目的 1、进行机构的位移或轨迹分析 1）确定某些构件在运动时所需的 空间、执行构件的行程； 2）判断机构运动时各构件之间是 否会发生互相干涉； 3）考察某构件或构件上某些点能 否实现预定的位置或轨迹要求。
L3 θ3+isinθ3) + (cos
L4
(cos θ2+isinθ2) = L1 (cosθ1+isinθ1)+ L 2
第3章 平面机构的运动分析习题解答
第3章 平面机构的运动分析本章关键词:速度瞬心法、矢量方程图解法、解析法。
3-1 何谓速度瞬心？相对瞬心与绝对瞬心有何异同点？[解答] （1）互作平面相对运动的两构件上瞬时速度相等的重合点称为两构件的速度瞬心，简称瞬心。
（2）区分相对瞬心与绝对瞬心关键看瞬心处的绝对速度是否为零，为零则称为绝对瞬心；否则则称为相对瞬心。
3-2 何谓三心定理？何种情况下的瞬心需用三心定理来确定？[解答] （1） 所谓三心定理，三个彼此作平面运动的构件的三个瞬心位于同一直线上。
（2）确定不通过运动副直接相连的两构件间的瞬心位置需借助三心定理。
3-3 [解答]3-4 [解答]由三心定理,求得齿轮1与齿轮3的同速重合点,也即相对瞬心13P 。
由瞬心的性质可得： l l P P P P P v μωμω361331613113==传动比 1613361331P P P P =ωω （如需尺寸直接从图上量取） 3-6题[解答] mm mm l /2=μ（1）由三心定理确定出构件2、4的等速重合点，也即相对瞬心24P 。
由瞬心性质得 l l P P P P P v μωμω241442412224== ) ( 4.5rad/s (49/109)10 2414241224顺时针=⨯==P P P P ωωs mm l v CD C /4055.4904=⨯==ω 方向如图示（2）由三心定理确定出构件1、3的等速重合点，也即绝对瞬心13P 。
在此瞬时，可将构件3视为绕点13P 转动，从而求得构件3的BC 线上速度最小的点E 。
s rad P P P P /5.25.11930102313231223=⨯==ωω 方向如图示 s mm E P v l E /3552715.2133=⨯⨯==μω 方向如图示 （3）结合（2）的分析可知，要使0=C v ，须满足C 、E 两点重合，而要满足C 、E 两点重合，只需令A 、B 、C 三点共线即可。
机械原理 第3章 平面机构的运动分析
VD5 = VD4+ VD5D4 大小 ？ √ ？
方向 ⊥DF √ ∥移动方向
ω5= VD5/LDF
aD5
= aD5n +
a
t D5
=aD4
+
aD5D4k （哥氏加速度） +
aD5D4r
大小 ω52* LDF ？ √ 2ω4* VD5D4
？
方向
√ D→F ⊥DF
VD5D4方向沿ω4转过900
∥移动方向
二.实例分析
1、矢量方程图解法的基本原理和作法 原理：相对运动原理 方法：对矢量方程进行图解 1）同一构件上两点间速度和加速度的关系 同一构件上一点的运动可看成是随该构件上另 一点的平动和绕该点的转动的合成。
VB=VA+VBA aB=aA+aBAn+aBAt
1 同一构件两点间的和关系
构件2：已知B和B
1)去除局部自由度； 2)剔除虚约束；（D？）
3)正确确定运动副的数目； 4)构件编号； 5) 列式计算 • F=3×5－2×6－1×2
•用速度瞬心作机构的速度分析
•用矢量方程图解法作机构的速度分 析及加速度分析
第三章 平面机构的运动分析
3-1 平面机构运动分析的任务目的和方法 平面机构的运动分析是指 ：
已知原动件的运动规律、机构尺寸，求其 它构件上某点的运动（s、v、a）
方法：
1 、图解法 特点： 形象直观，精度低，用于求个别
位置的运动特性
VC = VB + VCB
大小 ？ √
？
方向∥X-X ⊥AB ⊥BC
设速度比例尺，作速度图，
设p（小写）为速度极点，
速度极点的速度为零。
机械原理 第3版 第3章 平面连杆机构的运动分析
9
3、瞬心位置的确定
2）两个构件之间没有用运动副连接时，可
用三心定理求出的瞬心位置
Kennedy Theorem
Aronhold-Kenndy Theorem
1）两个构件之间用运动副连接时，可直接
判断出的瞬心位置
primary center
10
1. 选择一个适当的比例尺画出机构运动简图;
2. 找出机构的全部瞬心并标注在机构简图上;
17
已知机构尺寸和主动件角速度1，求2和3
1、利用Vp12求2
18
2、利用Vp13求3
求3的思路
19
P12
P23
1、利用瞬心P12,求V2
已知凸轮角速度1,求推杆速度V2
P13
P23
20101011-04-2-08
速度瞬心法 相对运动图解法
复数法 矩阵法 矢量法
二、运动分析的方法
6
1、瞬心概念：作平面相对运动的两构件，以 看成是围绕一个瞬时重合点作相 对转动，该重合点称为瞬时速度 中心，简称瞬心。
24
第三节 用相对运动图解法对机构进行运动分析
一、相对运动图解法的基本原理
理论力学知识1、同一构件上两点之间的速度、加速度的关系2、两构件重合点处的速度与加速度关系
25
速度关系
加速度关系
1、同一构件上两点之间的速度、加速度的关系
牵连运动是移动，相对运动是转动。
26
2.两构件重合点处的速度和加速度矢量关系
第三章 平面机构的运动分析
2010.10.13 第5次课
21
复 习
1.平面机构的结构分析把一个机构分解为原动件和杆组的过程。机构结构分析的一般步骤 a计算自由度确定原动件 b高副低代，去掉局部自由度和虚约束 c开始拆杆组注意：拆去杆组后，剩余部分仍然是机构 同一个机构选用不同构件作原动件时，其机构的级别可能不同
3、瞬心位置的确定
2）两个构件之间没有用运动副连接时，可
用三心定理求出的瞬心位置
Kennedy Theorem
Aronhold-Kenndy Theorem
1）两个构件之间用运动副连接时，可直接
判断出的瞬心位置
primary center
10
1. 选择一个适当的比例尺画出机构运动简图;
2. 找出机构的全部瞬心并标注在机构简图上;
17
已知机构尺寸和主动件角速度1，求2和3
1、利用Vp12求2
18
2、利用Vp13求3
求3的思路
19
P12
P23
1、利用瞬心P12,求V2
已知凸轮角速度1,求推杆速度V2
P13
P23
20101011-04-2-08
速度瞬心法 相对运动图解法
复数法 矩阵法 矢量法
二、运动分析的方法
6
1、瞬心概念：作平面相对运动的两构件，以 看成是围绕一个瞬时重合点作相 对转动，该重合点称为瞬时速度 中心，简称瞬心。
24
第三节 用相对运动图解法对机构进行运动分析
一、相对运动图解法的基本原理
理论力学知识1、同一构件上两点之间的速度、加速度的关系2、两构件重合点处的速度与加速度关系
25
速度关系
加速度关系
1、同一构件上两点之间的速度、加速度的关系
牵连运动是移动，相对运动是转动。
26
2.两构件重合点处的速度和加速度矢量关系
第三章 平面机构的运动分析
2010.10.13 第5次课
21
复 习
1.平面机构的结构分析把一个机构分解为原动件和杆组的过程。机构结构分析的一般步骤 a计算自由度确定原动件 b高副低代，去掉局部自由度和虚约束 c开始拆杆组注意：拆去杆组后，剩余部分仍然是机构 同一个机构选用不同构件作原动件时，其机构的级别可能不同
机械原理03-平面机构的运动分析
？
// PB3 ⊥CD
3）求VC，速度影像
3-19图示齿轮 连杆组合机构中，MM为固定齿条，齿轮 的直径为齿 图示齿轮-连杆组合机构中 为固定齿条， 图示齿轮 连杆组合机构中， 为固定齿条 齿轮3的直径为齿 以等角速度ω 轮4的2倍，设已知原动件 以等角速度ω1顺时针方向回转，试以图解 的 倍 设已知原动件1以等角速度 顺时针方向回转， 法求机构在图示位置时E点的速度 以及齿轮3、 的速度影像 点的速度v 的速度影像。 法求机构在图示位置时 点的速度 E以及齿轮 、4的速度影像。
解题思路： 1）C点与B点的关系。一类问题 2）C为重合点，C3 → C2。二类问题 3）D，E由速度影像求得
VC 2 = VB + VC 2 B = VC 3 + VC 2C 3 由速度方程得
？
？
0 ⊥AB ⊥BC 0
ω1LAB
？
？
//BC
ω3= ω2=VC2B/LBC顺时针 VC2C3=VC2
3-8a图示的各机构中，设已知各构件的尺寸及B点的速度 图示的各机构中，设已知各构件的尺寸及 点的速度 图示的各机构中 vB，试作出其在图示位置时的速度多边形。 试作出其在图示位置时的速度多边形。 （一类问题）
步骤
VB = L 作速度多边形 1.以速度比例尺 µV = pb
2.求得Vc V C 3.同理求得VD
3-6图示四杆机构中，lAB=60mm，lCD=90mm，lAD=lBC=120mm，ω2=10rad/s， 图示四杆机构中， 图示四杆机构中 ， ， ， ， 试用瞬心法求： ） 点的速度v 试用瞬心法求：1）当ϕ=165°时，C点的速度 C 点的速度 2）当ϕ=165°时,构件 的BC线上（或其延长线上）速度最小的 点的位置及 构件3 线上（ ） 构件 线上 或其延长线上）速度最小的E点的位置及 其速度的大小 3）当vC=0时，ϕ角之值（有两个解） 角之值（有两个解） ） 时
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方程不可解
C点速度：vC
vB
vCB
大小 ? √ ?
方程不可解
C
方向 ? √ CB
方程可解
A
联立方程 vC vA vCA vB vCB
B
大小 ? √ ? √ ?
a
方向 ? √ CA √ CB
由图解法得到
C点的绝对速度 vCv pc，方向p→c C点相对于A点的速度 vCAvac，方向 b
因此 abLAB bcLCB acLCA
于是 abc’∽ABC
b c
abc称为ABC的加速度影像图
b
c
加速度多边形
a
c 加速度极点 (加速度零点)
加速度多边形的性质
➢ 联接p点和任一点的向量代表该点
C
在机构图中同名点的绝对加速度，
指向为p→该点。
相对运动 2
A 1
B 1
3 3
C
由图解法得到
B3点的绝对速度 vB3v pb3，方 p
向p→b3
B3 点 相 对 于 B2 点 的 速 度
vB3B2v pb3，方向b2→ b3
3v pb3LBC，顺时针方向
b3 b2
加速度关系
2
构件3上B点加速度：
aB3
aBn 3
aBt 3
4.两构件组成纯滚动的高副 其接触点的相对速度为零，所
以接触点就是瞬心。
瞬心位置
5.两构件组成滑动兼滚动的高副 ： 因接触点的公切线方向为相对速度方向，故瞬心应在过接触
点的公法线nn上（如图所示），具体位置由其它条件来确定。
机构瞬心位置的确定
1.瞬心定义 适用于求通过运动副直接相联的两构件瞬心位置
D ABC
大小 √ √ √ √ 方向 √ √ ? ?
B
A
C
D
D ABC
大小 √ ? √ √ 方向 √ √ ? √
B
A D
C
一个矢量方程最多能解两个未知量(大小、方向)
1,同一构件上两点之间的运动关系
速度关系
牵连运动
B点速度：vB vA vBA
2,两构件重合点的运动关系
转动副
vB1 vB2
aB1 aB2
重合点
C
2
B
1
A
D
移动副
vB2 vB3
aB2 aB3
2 重合点
A 1
B
3 C
速度关系
构件3上B点速度： 牵连运动
vB3 vB2 vB3B2
大小 ? 1LAB ?
方向 CB AB BC
a→c
p c
C点相对于B点的速度 vCBvbc，方向
b→c
角速度关系
=vBALBA=v abl AB，顺时针方向
同理
=v cal CA =v cblCB
因此 abAB=bcBC=caCA
于是 abc∽ABC
速度多边形
abc称为ABC的速度影像图
C
A
B
a
aB2
aBr 3B2
aBk 3B2
大小 ? 23LBC ?
21LAB ? 2vB3B23
方向 ? B→C CB B→A BC √
akB3B2的方向为vB3B2 沿3转过90°
p
由图解法得到
aB3 a pb3， arB3B2akb3， B→C
3atB3LBC ab3b3LBC，顺时针方向 b2
第三章 平面机构的运动分析 1 瞬心及其求法 2 瞬心在机构速度分析中的应用 3 平面机构运动分析的相对运动图解法 4 解析法运动分析简介
第三章 平面机构的运动分析
本章教学目标
◆明确机构运动分析的目的和方法。 ◆ 理解速度瞬心(绝对瞬心和相对瞬心)的概念， 并能运用三心定理确定一般平面机构各瞬心的位置。 ◆ 能用瞬心法对简单平面高、低副机构进行速度分析 ◆ 掌握图解法的基本原理并能够对平面机构进行运动 分析。
C E
A B
a
p ec b
加速度关系
B点加速度：aB
aA
aBnA
aBt A
大小 ? √ 2LAB ?
方向 √ √ //BA BA
选加速度比例尺a
(ms2mm)，在任意点p作图，
使aAa pa，anBA=aab
由图解法得到
aBa pb， 方向p→b atBAa bb，方向b→b aBAa ab， 方向a→b
铰链四杆机构：
已知构件2的转速ω2，求构件4的角速度ω4 。
解：①瞬心数为 6个
P13
②直接观察能求出 4个
余下的2个用三心定律求出。 VP24
P23 3
2 ω2
③求瞬心P24的速度
1 P24 P12
VP24＝ (P24P12)·ω2
P34
4
ω4
P14
VP24＝ (P24P14)·ω4
ω4 ＝ω2·(P24P12)/ P24P14
如图所示,作VA2A1 和VB2B1 两相对速度方向的垂线，它 们的交点（图中的P21）即为 瞬心。
2.两构件组成移动副:
因相对移动速度方向都平行 于移动副的导路方向(如图所 示)，故瞬心P12在垂直于导路 的无穷远处。
瞬心位置
3.两构件组成转动副： 两构件 绕转动中心相对转
动，故该转动副的中心便是 它们的瞬心
机构运动分析的任务、目的及方法
◆ 机构运动分析的任务
是在已知机构尺寸和原动件运动规律的情况下，确定机构 中其它构件上某些点的轨迹、位移、速度及加速度和某些构件 的角位移、角速度及角加速度。
◆ 机构运动分析的方法
●图解法 ●解析法
速度瞬心法 矢量方程图解法
第三章 平面机构的运动分析 1 瞬心及其求法 2 瞬心在机构速度分析中的应用 3 平面机构运动分析的相对运动图解法 4 解析法运动分析简介
解：瞬心数为： N=4 K＝N(N-1)/2＝6 1.作瞬心多边形圆 2.直接观察求瞬心 3.三心定律求瞬心
1
4
2
3
P24 P23
3
P12
2
1
P13
∞ P14
作者：潘存云教授
P 4 34
第三章 平面机构的运动分析 1 瞬心及其求法 2 瞬心在机构速度分析中的应用 3 平面机构运动分析的相对运动图解法 4 解析法运动分析简介
④求构件绝对速度V或角速度ω。
瞬心法的优缺点： ①适合于求简单机构的速度，机构复杂时因瞬心数 急剧增加而求解过程复杂。 ②有时瞬心点落在纸面外。 ③仅适于求速度V,使应用有一定局限性。
第三章 平面机构的运动分析 1 瞬心及其求法 2 瞬心在机构速度分析中的应用 3 平面机构运动分析的相对运动图解法 4 解析法运动分析简介
A
B
➢ 联接任意两点的向量代表该两点在
机构图中同名点的相对加速度，指
p
向 与 加 速 度 的 下 标 相 反 。 如 ab 代
表 aBA 而 不 是 aAB 。 常 用 相 对 切 向 加
速度来求构件的角加速度。
b
➢ abc∽ABC，称abc为ABC
c
的加速度影像，两者相似且字母 b
p c
b 速度极点 (速度零点)
速度多边形的性质
➢ 联接p点和任一点的向量代表该点在
C
机构图中同名点的绝对速度，指向为
p→该点。
A
➢ 联接任意两点的向量代表该两点在机
B
构图中同名点的相对速度，指向与速 度 的 下 标 相 反 。 如 bc 代 表 vCB 而 不 是 vBC 。 常 用 相 对 速 度 来 求 构 件 的 角 速 度。
➢ abc∽ABC，称abc为ABC的速度影 像，两者相似且字母顺序一致(字母顺序
a
p c b
逆/顺时针)。
➢ 速度极点p代表机构中所有速度为零的点的影像。
速度影像的用途
对于同一构件，由两点的速 度可求任意点的速度。
举例 求BC中间点E的速度 bc上中间点e为E点的影像
联接pe，就代表E点的绝对速度vE。
C
A
aA
a
n B
A
aB
B
p
b
b
a
C点加速度：aC
aA
aCnA aCt A
大小 ? √ ω2LCA ?
方程不可解
方向 ? √ //CA CA
aC
aB
aCnB
aCt B
大小 ? √ 2LCB ?
方程不可解
方向 ? √ // CB CB 方程可解
P12
1
2
P12 ∞
1
n
1
2
2
P12
t
1t 2 V12
n
2.三心定律
定义：三个彼此作平面运动的构件共有三个瞬心，
且它们位于同一条直线上。此法特别适用于两构件不直接相联的场合。
结论： P21 、 P 31 、 P 32 位于同一条直线上。
例3.1：求铰链四杆机构的瞬心。
解：瞬心数为： N=4 K＝N(N-1)/2＝6 1.作瞬心多边形圆
a
顺序一致。
c c
➢ 加速度极点p代表机构中所有加速度为零的点的影像。
加速度影像的用途
对于同一构件，由两点的加 速度可求任意点的加速度。
举例 求BC中间点E的加速度 bc上中间点e为E点的影像 联接pe，就代表E点的绝对
加速度aE。
C E
A B
p
b c
e
b