人教版八年级下册数学 18.2特殊的平行四边形同步练习(解析版)

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八年级数学人教版下册18.2《特殊的平行四边形》测试卷、练习卷(带答案解析)

18.2《特殊的平行四边形》测试卷、练习卷(带答案解析）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接这个四边形各边中点所得四边形是()A. 平行四边形B. 正方形C. 矩形D. 菱形2.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分3.平行四边形两邻边之比为3:4，两条对角线长都是10，则这个平行四边形的周长是()．A. 14B. 20C. 28D. 无法确定4.如图，P为矩形ABCD外一点，S△PCD=5，S△PBC=8，则△PAC的面积是()．A. 3B. 4C. 1.5D. 2.55.顺次连结矩形各边的中点，所得四边形是()．A. 筝形B. 矩形C. 菱形D. 正方形6.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为()A. (√3,1)B. (2,1)C. (1,√3)D. (2,√3)7.如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为(−1,1)，AB平行于x轴，则点C的坐标为()A. (3,1)B. (−1,1)C. (3,5)D. (−1,5)8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是()A. BE=AFB. ∠DAF=∠BECC. ∠AFB+∠BEC=90∘D. AG⊥BE9.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45∘，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD交于点F，则B′F的长度为()A. 1B. √2C. 2−√2D. 2√2−210.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，EF=2，设AE=x.当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是()①当x=0(即E、A两点重合)时，P点有6个②当0<x<4√2−2时，P点最多有9个③当P点有8个时，x=2√2−2④当△PEF是等边三角形时，P点有4个A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.如图，在菱形ABCD中，∠B=50∘，点E在CD上，若AE=AC，则∠BAE=°.12.如下图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD=50∘，则∠BEF的度数为．13.如下图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，⋯⋯，依次类推，则平行四边形AO2019C2020B的面积为．14.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC的度数为°.三、解答题（本大题共7小题，共58.0分）15.已知：四边形ABCD中，AB=CD，∠A+∠D=180°，AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形。

人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷含答案解析

人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷一．选择题（共10小题）1．下列性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．4个内角相等D．一条对角线平分一组对角2．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论不一定正确的是（）A．B．BD＝CD C．D．4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD6．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．157．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE＝BD，则∠BDE的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．49．已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90˚，③AC＝BD，④AC⊥BDA．选①②B．选①③C．选②③D．选②④10．如图，在正方形ABCD内，以BC为边作等边三角形BCM，连接AM并延长交CD于N，则下列结论不正确的是（）A．∠DAN＝15°B．∠CMN＝45°C．AM＝MN D．MN＝NC二．填空题（共8小题）11．工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是．12．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是．13．矩形ABCD中，要使矩形ABCD成为正方形还需满足的条件是（横线只需填一个你认为合适的条件即可）14．如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，则AC的长为cm．15．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若BD＝8，则MN的长为．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，D是AB的中点，则∠DCB＝度．17．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是（1，5），（4，1），点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为．18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN，若AB＝9，BE＝6，则MN 的长为．三．解答题（共8小题）19．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．20．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE ∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是正方形．21．如图．在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、DB、BF．（1）求证：DE＝BF；（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．22．已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC、DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，求证四边形ACED是正方形．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．24．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF ∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．26．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，故选项A、B不合题意；∵矩形的四个角都是直角，故选项C不合题意；∵矩形的一条对角线不一定平分一组对角；故D符合题意；故选：D．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，∵∠D＝130°，∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，∴∠1＝∠DAB＝25°．故选：B．3．【解答】解：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则BD＝CD＝BC，故选项A、B、D不符合题意．若∠BAC＝90°时，AD＝BC才成立，否则不成立．故选项C符合题意．故选：C．4．【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，A、∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠AOB＝60°，不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．6．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．7．【解答】解：∵BE＝DB，∴∠BDE＝∠E，∵∠DBA＝∠BDE+∠BED＝45°∴∠BDE＝×45°＝22.5°．故选：A．8．【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．9．【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：C．10．【解答】解：作MG⊥BC于G．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝∠DAB＝°∠DCB＝90°∵△MBC是等边三角形，∴MB＝MC＝BC，∠MBC＝∠BMC＝60°，∵MG⊥BC，∴BG＝GC，∵AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∴∠ABM＝30°，∵BA＝BM，∴∠MAB＝∠BMA＝75°，∴∠DAN＝90°﹣75°＝15°，∠CMN＝180°﹣75°﹣60°＝45°，故A，B，C正确，故选：D．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．故答案为：三个角是直角的四边形为矩形12．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图，∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；故答案为：菱形．13．【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形．故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．14．【解答】解：∵菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，∴×4×AC＝6，解得：AC＝3，故答案为：3．15．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，BD＝8∴BD＝2BO，即2BO＝8．∴BO＝4．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝2．故答案是：2．16．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝28°，∴∠DCB＝90°﹣28°＝62°，故答案为：62．17．【解答】解：如图，当AB为对角线时，观察图象可知D（5，3）．当AB为矩形的边时，观察图象可知D2（﹣3，2），∴直线AD2的解析式为y＝x+，∴C1（0，），∵AC1＝BD1，∴D1（3，），综上所述，满足条件的点D的坐标为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．故答案为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．18．【解答】解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝9，BE＝6，∴GF＝GB＝6，BC＝9，∴GC＝GB+BC＝6+9＝15，∴CF＝＝＝3．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．三．解答题（共8小题）19．【解答】证明；∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．20．【解答】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴四边形CODE是正方形．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，DC＝AB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝BE，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF；（2）证明：由（1）得，四边形DEBF是平行四边形，∴DC＝AB，CD∥AB，∴DF∥EB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠ADB＝90°，∴DE＝AB，∴DE＝EB，∴四边形DEBF是菱形．22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．∵O是CD的中点，∴OC＝OD，在△AOD和△EOC中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE．又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠COE＝∠BAE＝90°．∴▱ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD．∴菱形ACED是正方形．23．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCD＝∠GCD，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∵AE＝7，∴DE＝3＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：7；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝10，AE＝4，∴DE＝6，∵CD＝6，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．25．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．。

2021-2022学年人教版八年级数学下册《18-2特殊平行四边形》同步达标测试题(附答案)

2021-2022学年人教版八年级数学下册《18-2特殊平行四边形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．下列说法中，正确的是（）A．两邻边相等的四边形是菱形B．一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线垂直的四边形是菱形2．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件不能证明△ABE≌△CDF的是（）A．∠BAE＝∠FCD B．∠BEA＝∠DFC C．AE＝CF D．BE＝DF3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（）A．70°B．75°C．80°D．85°4．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥BG交CD于点E，CB＝CE，连接CG 交BE于点F，则∠ECF的度数为（）A．30°B．22.5°C．25°D．15°5．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4B．4.8C．5.2D．66．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB ＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（）A．①②④B．①④C．②③D．①③④7．如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE ＝CF．其中正确的结论有（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B （2，b），则b的值为（）A．3B．2C．﹣3D．﹣2二．填空题（共8小题，满分32分）9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，下列条件①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC，能判定四边形ABCD是菱形的有．（填写序号）10．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为10和6，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为．11．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是．12．如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF，连接DF并延长交BC于点G，且点C与AB 的中点E恰好关于直线DG对称，若AD＝6，则AB的长为．13．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝3，∠ABC＝60°，点M为BC边上一点且BM＝2CM，过M作MN∥AB交AC，AD于点O，N，连接BN．若点P，Q分别为OC，BN的中点，则PQ的长度为．14．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE 的长为．15．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是度．16．如图，正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝8，DM＝2，则PQ的长为．三．解答题（共6小题，满分56分）17．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．18．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM，DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．19．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．20．如图，在矩形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．（1）如图1，以CD为底向内作等腰△CDE，延长DE恰好交CB延长线于点P，交AB 于点F，若AF＝5BF，EC＝6，求EF的长；（2）如图2，若∠APB＝60°，AB＝AD，以CD为边向外作等边△CDF，连接AF，DE 平分∠ADC交AF于点E，连接PE．求证：P A+PC＝PE．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．22．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）写出AF与BE的数量关系为，位置关系为．（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段BH的长．（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求CP：PQ的值．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：A、∵两邻边相等的平行四边形是菱形，∴选项A不符合题意；B、∵一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线垂直的平行四边形是菱形，∴选项D不符合题意；故选：B．2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，A、添加∠BAE＝∠FCD，利用ASA能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；B、添加∠BEA＝∠DFC，利用AAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；C、添加AE＝CF，不能得出△ABE≌△CDF，符合题意；D、添加BE＝DF，利用SAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；故选：C．3．解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∵∠BAE＝15°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD＝AD＝AB，∴△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，∴AC＝DC＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝×（180°﹣30°）＝75°．故选：B．4．解：取BE的中点O，连接OG，OC，∵O，G为中点，∴OG为四边形ADEB的中位线，∴AB∥OG∥DE，∴∠OGC＝∠ECF，∵CE＝BC，∠BCE＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠CBE＝∠BEC＝45°，∵∠BCE＝90°，O为BE的中点，∴OC＝OE＝BE，∴∠OCE＝∠OEC＝45°，∵GE⊥BG，O为BE的中点，∴OG＝BE，∴OG＝OC，∴∠OGC＝∠OCG，∴∠OCG＝∠ECF＝∠OCE＝22.5°，故选：B．5．解：如图，连接P A．∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°．又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形．∴AP＝EF．∴当P A最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，P A最小，∵AB•AC＝BC•AP，即AP＝＝＝4.8，∴线段EF长的最小值为4.8；故选：B．6．解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故②正确；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF＝＝＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝＝＝2，故③错误；④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故④正确；∴其中正确的结论为①②④，故选：A．7．解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；故①正确；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝CE+CG＝AD，故③错误；当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，故选：A．8．解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，∵∠AOD＝∠AMB＝90°，在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM（AAS），∴BM＝OA，∵A（﹣3，0），B（2，b），∴BM＝OA＝3，∴b＝﹣3．故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：①∵AB＝AD，AC⊥BD，∴OB＝OD，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，又∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故①能判定四边形ABCD是菱形；②∵AB＝AD，AC⊥BD，∴OB＝OD，∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故②能判定四边形ABCD是菱形；③∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵AC平分∠BCD，∴∠DCA＝∠BCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形；④∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故④能判定四边形ABCD是菱形；故答案为：①②④．10．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝10，∴四边形BGDH是平行四边形，∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，∴BG＝BH，∴四边形BGDH是菱形，∴BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝10﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（10﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴BH＝，∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，故答案为：．11．解：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵ED＝BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．12．解：方法一：连接EF、FC、EC，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴AB⊥AD，∵AF＝BF，点E是AB的中点，∴EF⊥AB，AB＝2BE，AE＝BE，∴∠AEF＝∠ABC＝90°，∴EF∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴DF＝FG，在Rt△DCG中，CF为斜边DG上的中线，∴CF＝DG＝FG，∵EF∥GC，∴∠OEF＝∠OCG，∠OFE＝∠OGC，∵点C与AB的中点E关于直线DG对称，∴DG垂直平分线段EC，∴FG⊥CE，EO＝CO，EF＝CF，在△OEF和△OCG中，，∴△OEF≌△OCG（AAS），∴EF＝CG，∴CF＝FG＝CG，∴△CGF是等边三角形，∴∠GCF＝60°，∵CO⊥GF，∴CO平分∠GCF，∴∠GCO＝GCF＝30°，在Rt△BCE中，∠EBC＝90°，∠BCE＝30°，BC＝6，∴CE＝2BE，∴在Rt△BCE中，AB＝4；方法二：如图，连接CE，根据题意可知：GD为CE的垂直平分线，连接DE，则有DE＝CD，设AE为x，则DE＝2x，在Rt△AED，根据勾股定理，得DE2﹣AE2＝AD2，∴3x2＝36，∴x＝2，∴AB＝2x＝4．故答案为：4．13．解：连接BD交AC于E，连接QE，过Q作QF⊥AC于F，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∴BC＝CD＝AD＝AB＝3，BE＝DE，AE＝CE，AD∥BC，AB∥CD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝3，∴AE＝CE＝AC＝，∵BM＝2CM，BM+CM＝BC＝3，∴CM＝1，∵MN∥AB∥CD，AD∥BC，∴四边形MNDC是平行四边形，∴DN＝CM＝1，∵Q是BN的中点，BE＝DE，∴QE是△BDN的中位线，∴QE＝DN＝，QE∥DN∥BC，∴∠AEQ＝∠ACB＝60°，∵QF⊥AC，∴∠EQF＝90°﹣60°＝30°，∴EF＝QE＝，在Rt△QEF中，由勾股定理得：QF＝＝＝，∵MN∥AB，∴∠CMN＝∠ABC＝60°，∵∠ACB＝60°，∴△CMO是等边三角形，∴OC＝CM＝1，∵P是OC的中点，∴PC＝OC＝，∴PE＝AC﹣AE﹣CP＝3﹣﹣＝1，∴PF＝PE+EF＝1+＝，在Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ＝＝＝，故答案为：．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADE，∵DE平分∠AEC，∵∠DEC＝∠AED，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝13，在直角△ABE中，BE＝＝＝12，∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝13﹣12＝1．故答案为1．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，∵GD＝GD，∴△ADG≌△CDG，∴∠AGD＝∠CGD，∵∠CGD＝∠EGB，∴∠AGD＝∠EGB，∵△ABE是等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°，∴BE＝BC，∠EBC＝150°，∴∠BEC＝∠ECB＝15°，∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，∴∠AGD＝60°故答案为60．16．解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，在△ADM与△DCN中，，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∠DMA＝∠CND，∵∠DAM+∠AMD＝90°，∴∠PDM+∠DMP＝90°，∴∠DPM＝90°，∵∠DPM＝∠APN，∴△ANP为直角三角形，∴AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，∵DM＝CN＝2，BC＝CD＝AB＝8，∴BN＝BC﹣CN＝6，在△ANB中，AN＝＝＝10，∴PQ＝5．故答案为：5．．三．解答题（共6小题，满分56分）17．证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．18．（1）证明：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，AD＝AB，∵EM⊥AC，∴ME∥BD，∵点E是AB的中点，∴点M是AD的中点，AE＝AB，∴AM＝AD，∴AM＝AE．（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，∴AM＝MD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，∴△MDF≌△MAE（AAS），∴AE＝DF，∵AB＝2AE，DF＝2，∴AB＝4，∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，∴DF＝DM，MF＝ME，∴∠DMF＝∠DFM，∴∠ADC＝2∠DFM，∵∠ADC＝2∠MCD，∴∠MCD＝∠DFM，∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，∵ME⊥AC，AM＝AE，∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，∴MC＝2MG，∴∠GMC＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠MCD＝30°，∴∠DMC＝90°，∴△DMC为直角三角形，∵DF＝2，∴DM＝2，CD＝4，∴CM＝＝2，∴ME＝2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CF∥ED，∴四边形CDEF是平行四边形，∵DC＝DE．∴四边形CDEF是菱形；（2）解：如图，连接GF，∵四边形CDEF是菱形，∴CF＝CD＝5，∵BC＝3，∴BF＝＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，在△CDG和△CFG中，，∴△CDG≌△CFG（SAS），∴FG＝GD，∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，在Rt△FGA中，根据勾股定理，得FG2＝AF2+AG2，∴（3﹣AG）2＝12+AG2，解得AG＝．20．（1）解：∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠EDC，∵∠DPC+∠PDC＝90°，∠ECP+∠ECD＝90°，∴∠EPC＝∠ECP，∴PE＝CE＝6，∴PD＝12，∵PB∥AD，∴PF＝2，DF＝10，∴EF＝4；（2）证明：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∵△CDF是等边三角形，∴∠CDF＝60°，AD＝DF，∴∠DAF＝15°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝120°，又∵DE＝DE，在△ADE和△CDE中，，△ADE≌△CDE（SAS），∴∠AED＝∠CED＝∠AEC＝120°，AE＝CE，∵∠APB＝60°，∴∠APB+∠AEC＝120°，∴点A、P、C、E四点共圆，∴∠APE＝∠EPC＝30°，∴∠PEC＝∠PCE＝75°，∴PE＝PC，设PB＝a，则P A＝2a，AB＝BC＝，∴P A+PC＝2a+a+＝（）＝（BC+PB）＝PC，∴P A+PC＝PE．21．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，得t＝3故当t＝3时，四边形ABQP为矩形．（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，则周长为：4AQ＝4×＝15cm面积为：（cm2）．22．解：（1）AF＝BE，AF⊥BE，理由：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，AF＝BE，又∵∠DAF+∠F AB＝∠EAB＝90°，∴∠ABE+∠F AB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE，故答案为：AF＝BE，AF⊥BE；（2）在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，∴BE＝＝＝4，∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，∴AP＝＝，在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣；（3）在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QEP，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QP A，∴QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴CP：PQ＝4．。

人教版八年级下册 18.2 特殊的平行四边形同步练习

18.2 特殊的平行四边形总分：100分班级:__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________一、选择题（共10小题；共30分）1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是( )A. ∠ABC=90∘B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD2. 能够判定一个四边形是矩形的条件是( )A. 对角线相等B. 对角线垂直C. 对角线互相平分且相等D. 对角线垂直且相等3. 如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是( )A. 四边形ABCD是平行四边形B. AC⊥BDC. △ABD是等边三角形D. ∠CAB=∠CAD4. 直角三角形中，两直角边长分别是12和5，则斜边上的中线长是( )A. 34B. 26C. 6.5D. 8.55. 已知平行四边形ABCD中，下列结论中不正确的是( )A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC=90∘时，它是矩形D. 当AC=BD时，它是正方形6. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 每条对角线平分一组对角7. 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则点A到对角线BD的距离为( )A. 125B. 2 C. 52D. 1358. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A. ∠A=∠BB. ∠A=∠CC. AC=BDD. AB⊥BC9. 如图①，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形，如图②．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形，如图③．根据两人的作法可判断( )A. 甲正确，乙错误B. 乙正确，甲错误C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误10. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28∘，则∠OBC的度数为( )A. 28∘B. 52∘C. 62∘D. 72∘二、填空题（共6小题；共18分）11. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是．12. 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3,0)，(−2,0)，点D在y轴上，则点C的坐标是．13. 如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=．14. 如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为．15. 已知四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90∘，再从①AB＝BC，②AC=BD，③AC⊥BD三个条件中，选一个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，则不能选择．（填序号）16. 如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PDA，△PAB，△PBC，△PCD，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．三、解答题（共6小题；共52分）17. 如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．18. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别是CD，DA的中点．BE与CF相交于点P．（1）求证：BE⊥CF；（2）判断PA与AB的数量关系，并说明理由．19. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE=OF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE，BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．20. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．21. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求平行四边形ABCD的面积．22. 如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D，F两点间的距离．答案第一部分1. D2. C3. C4. C5. D6. B7. A8. B 【解析】A．∠A=∠B，∠A+∠B=180∘，∴∠A=∠B=90∘，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B．∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C．AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D．AB⊥BC，∴∠B=90∘，可以判定这个平行四边形为矩形，正确．9. C10. C第二部分11. 2【解析】连接O1B，O1C，如图，∵∠BO1F+∠FO1C=90∘，∠FO1C+∠CO1G=90∘，∴∠BO1F=∠CO1G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF=∠O1CG=45∘，BO1=CO1，在△O1BF和△O1CG中，{∠FO1B=∠CO1G, BO1=CO1,∠FBO1=∠GCO1,∴△O1BF≌△O1CG(ASA)，∴O1，O2两个正方形组成的阴影部分的面积是14S正方形，同理另外两个正方形组成的阴影部分的面积也是14S正方形，∴S阴影部分=12S正方形=2．12. (−5,4)13. 514. 1215. ②16. ②④【解析】过点P分别向AD，BC作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半，同理，过点P分别向AB，CD作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半．∴S1+S3=S2+S4．又∵S1=S2，∴S2+S3=S1+S4=12S矩形．所以成立的答案是②④．第三部分17. （1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，故AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，{AD=CE, AE=CD, DE=DE,∴△ADE≌△CED(SSS)．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF为等腰三角形．18. （1）因为点E，F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，所以EC=DF．在△BCE和△CDF中，{BC=CD,∠BCE=∠CDF, CE=DF,所以△BCE≌△CDF(SAS)，所以∠CBE=∠DCF．因为∠DCF+∠BCP=90∘，所以∠CBE+∠BCP=90∘，所以BE⊥FC．（2）延长CF，BA交于点M．因为FC⊥EB，所以∠BPM=90∘．因为在△CDF和△MAF中，{∠CFD=∠MFA, FD=FA,∠CDF=∠MAF,所以△CDF≌△MAF(ASA)，所以CD=AM．因为CD=AB，所以AB=AM．所以PA是直角△BPM斜边BM上的中线，所以AP=12MB．所以AP=AB．19. （1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，在△BOE和△DOF中，{OB=OD,∠BOE=∠DOF, OE=OF,∴△BOE≌△DOF(SAS)．（2）四边形EBFD是矩形；理由如下：如图所示：∵OB=OD，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．20. （1）∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90∘，∴平行四边形AEBD是矩形．（2）当∠BAC=90∘时．理由：∵∠BAC=90∘，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．21. （1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠AFD=90∘，在△AEB和△AFD中，{∠AEB=∠AFD, BE=DF,∠B=∠D,∴△AEB≌△AFD(ASA)，∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形．（2）如图，连接BD交AC于点O．∵由（1）知四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，AO=OC=12AC=12×6=3，∵AB=5，AO=3，在Rt△AOB中，BO=√AB2−AO2=√52−32=4，∴BD=2BO=8，∴S平行四边形ABCD =12AC⋅BD=12×6×8=24．22. （1）∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴ED=CD，∴∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60∘，∴AB∥CD，DE∥CF．又∵EF∥AB，∴EF∥CD，∴四边形EFCD是菱形．（2）连接DF，与CE相交于点G．∵四边形EFCD是菱形，∴DF⊥EC．由CD=4，可知CG=2，∴DG=√42−22=2√3，∴DF=4√3．。

人教版八年级数学下册同步练习_18.2《特殊的平行四边形》

人教版八年级数学下册同步练习18.2《特殊的平行四边形》1. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC的平分线BE交AD于点E．点F，G 分别是BC，BE的中点，则FG的长为( )A.2B.52C.√102D.3√222. 正方形具有而矩形不一定有的性质是( )A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角互补D.四个角相等3. 如图，正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别是AB，CD中点，点P是一动点，当点P沿A→D→F→E→A运动时，记BP中点为点Q，则CQ的最大值与最小值之和是( )A.3√5B.52√5 C.4√5 D.72√54. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，D是AB的中点，则CD的长为( )A.5B.6C.8D.105. 下列结论正确的是( )A.如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形B.如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形一定是正方形C.如果一个菱形绕对角线的交点旋转90∘后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形D.一个直角三角形绕斜边的中点旋转180∘后，原图形与所得的图形构成的四边形一定是正方形6. 已知▱ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是( )A.当OA=OB时，▱ABCD为矩形B.当AB=AD时，▱ABCD为正方形C.当∠ABC=90∘时，▱ABCD为菱形D.当AC⊥BD时，▱ABCD为正方形7. 四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是（）A.AO=CO，BO=DOB.AO=BO=CO=DOC.AC=BD，AO=COD.A∪=CO，BO=DO，AC⊥BD8. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不正确的是（）A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C.当∠ABC=90∘时，四边形ABCD是矩形D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形9. 四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A.AB=CDB.AB=BCC.AC⊥BDD.AC=BD10. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A.AC⊥BDB.AB=BCC.AC=BDD.∠1=∠211. 如图，O既是AB的中点，又是CD的中点，并且AB⊥CD．连接AC、BC、AD、BD，则这四条线段的大小关系是（）A.全相等B.互不相等C.只有两条相等D.不能确定12. 如图，菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的面积为()A.16B.24C.28D.4813. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A.45∘B.55∘C.60∘D.75∘14. 已知正方形ABCD的对角线AC=√2，则正方形ABCD的周长是________．15. 四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90∘，请你再添加一个条件，使该四边形是正方形，你所添加的条件是________．16. 如图，AE=BE=DE=BC=DC，若∠C=100∘，∠BAD=________．17. 若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为____________．18. 如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，若EC=AC，AE交CD于点F，求∠AFC的度数．19. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC,ED⊥BC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，试判定四边形AFDE是否是菱形，并说明理由．20. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE=√2，求菱形BEDF的面积.21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F．延长BF至G，使FG=BF，连结DG．(1)求证：GF=DE；(2)当OF:BF=1：2时，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并说明理由．参考答案人教版八年级数学下册同步练习 18.2《特殊的平行四边形》一、选择题（本题共计 13 小题，每题 3 分，共计39分）1.【答案】C【解析】根据矩形的性质、角平分线的定义、勾股定理及三角形的中位线定理来解答即可.2.【答案】A【解析】利用正方形、矩形的性质即可判断．3.【答案】A【解析】P一直沿A→D→F→E→A运动，分情况讨论：P从A→D点；P从D→F点，CQ=1BP；P从F→E点；P从E→A点，然后计算出结果，最后比较即可求解.24.【答案】A【解析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．5.【答案】C【解析】根据轴对称图形及中心对称图形的性质，进一步进行菱形，矩形，正方形的判定．6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】D【解析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．10.【答案】C11.【答案】A【解析】由题意可得，四边形ACBD中，对角线互相平分，且互相垂直，故四边形ACBD是菱形，故有AC、BC、AD、BD全相等．12.【答案】B【解析】画出几何图形，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到此菱形的面积．13.【答案】C二、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）14.【答案】415.【答案】AB=BC16.【答案】50∘【解析】由AE=BE=DE=BC=DC，即可得点A，B，D在以E为圆心，AE长为半径的圆上，四边形BCDE是菱形，然后由菱形的性质，求得∠BED的度数，又由圆周角定理，求得答案．17.【答案】60∘，120∘三、解答题（本题共计 4 小题，每题 10 分，共计40分）18.【答案】解：∵EC=AC，∠ACD=45∘∴∠E=22.5∘∴∠AFC=90∘+22.5=112.5∘．19.【答案】答：是菱形理由：∵ED⊥BC∴∠EDB=90∘=∠C∴ED//AC∵DF//AB∴四边形AFDE是平行四边形∵AD平分∠ABC∴∠1=∠2∵DE//AC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3∴AE=DE∴四边形AFDE是菱形．20.【答案】(1)证明：如图，连结BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF，∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF是菱形.(2)解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BD=AC=4√2，∵AE=CF=√2，∴EF=AC−2√2=2√2，∴S菱形BEDF =12BD⋅EF=12×4√2×2√2=8.【解析】（1）连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；（2）由正方形的边长可求得BD、AC的长，则可求得EF的长，利用菱形的面积公式可求得其面积．21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，∵DE⊥AC,BF⊥AC，∴∠DEO=∠BFO=90∘，∠DOE=∠BOF,∴△DEO≅△BFO(AAS)．∴DE=BF，∵GF=BF，∴DE=GF．(2)解：四边形MGCN为正方形，∵∠DEO=∠BFO=90∘，∴DE//GF，∵DE=GF，∴四边形DEFG是平行四边形，∵∠DEF=90∘，∴四边形DEFG是矩形，∵△DEO≅△BFO，∴OF：EF=1：2，∵OF:BF=1：2，GF=BF，∴OF:GF=1:2，∴GF=EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．。

人教版八年级下册数学 18.2特殊的平行四边形同步练习(解析版)

18.2特殊的平行四边形同步练习一．选择题（共10小题）1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直选D2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．12解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选B3．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF ⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选B．6．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．7．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴选项A错误；∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，∴选项B错误；∵矩形的对角线相等，∴选项C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，∴选项D错误；故选：C．8．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH 的周长为（）A．B．2C．+1 D．2+1解：∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．10．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6解：如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（62+92+x2）﹣6×3，解得x=3，或x=6，故选D．二．填空题（共5小题）11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为30．解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=30．故答案为：30．12．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2．解：①如图，当AB=AD时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，∵P2是AD的中点，∴BP2==，易证得BP1=BP2，又∵BP1=BC，∴=4∴AB=2．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．故答案为：4或2．13．有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20．解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．14．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为6．解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，∴EF=CF+CE=3=6，故答案为：6．15．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是（21008，0）．解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2016÷8=252∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2016的坐标为（21008，0）．故答案为：（21008，0）．三．解答题（共5小题）16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE 交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．17．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．18．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∠A=∠D，∴∠A=∠D=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，若CE=4，CF=5，设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，即DF=．20．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC 延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：成立．（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA=60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，∵CF=AE，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，∴∠CBE=∠F=30°，∴BE=EF；（2）解：结论成立；理由如下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴∠ECF=120°，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．。

人教版八年级数学下册同步提升训练18

18.2特殊的平行四边形》同步提升训练（附答案）1．如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD 的面积为（）A．24B．24C．12D．124．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分5．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°6．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（）A．B．3C．D．7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（）①当AB＝BC时，它是矩形②AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC＝90°时，它是菱形④当AC＝BD时，它是正方形A．①②B．②C．②④D．③④8．如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则BH的长为（）A．3B．C．2D．9．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.410．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE ＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（）①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC＝2AB；④∠AOE＝150°；⑤S△AOE＝S△COE．A．2 个B．3个C．4 个D．5个11．在正方形ABCD中，AB＝8，点P是正方形边上一点，若PD＝3AP，则AP的长为．12．在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为．13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB ＝AE，则PE的长为．15．在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的度数是．16．如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，若CG＝7，则GH的长为．17．已知菱形ABCD的面积是96，对角线AC是12，那么菱形ABCD的周长是．18．如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一点，且CE＝CB，点P为线段BE 上一动点，且PF⊥CE于F，PG⊥BC于G，则PG+PF的值为．19．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为．20．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE 与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．21．如图，在菱形ABCD中，BC＝3，BD＝2，点O是BD的中点，延长BD到点E，使得DE＝BD，连接CE，点M是CE的中点，则OM＝．22．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形．（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：∠DAC＝∠DCA；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）若AB＝，BD＝2，求OE的长．24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．25．如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE 的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．（1）如果AB＝AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明你的结论；（2）△ABC满足什么条件时四边形ADCF为正方形，并证明你的结论．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．27．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．28．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．参考答案1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，∴DE∥BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四边形BCED是平行四边形，∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴▱BCED是矩形，故选：B．2．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCA，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠FCA＝∠ECA，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF垂直平分AC，∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；∴AE＝CF，∴BF＝DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝CF，∵F为BC的中点，∴BF＝CF，∴AF＝CF＝BC，∴∠BAC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；正确的个数有3个，故选：D．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∵AE平分∠BAC，AE＝CE，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，∴BC＝BE+CE＝6，∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；故选：C．4．解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．故选：D．5．解：如图：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠HDO＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠GDO+∠ODC＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ODC+∠DCO＝90°，∴∠HDO＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝25°，∴∠DHO＝25°，故选：B．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠PEB＝90°．∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．∴四边形PQBE为矩形．∴PE＝BQ．∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，∴△P AQ为等腰三角形．∴PQ＝AQ．∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．故选：B．7．解：①若AB＝BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；③若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；故选：B．8．解：在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD＝，∴AB＝＝＝3，∵DH×AB＝AC×BD，∴DH＝＝2，∴BH＝＝＝2，故选：C．9．解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．10．解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正确；∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；∵AO＝CO，∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；故选：B．二．填空题（共11小题）11．解：当点P在AD上时，∵PD＝3AP，PD+AP＝8，∴AP＝2，当点P在AB上时，∵PD2＝AP2+AD2，∴9AP2＝AP2+64，∴AP＝2，综上所述：AP＝2或2，故答案为2或2．12．解：如图1，当点E在AD上时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∵DE＝2，∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．故答案为：5或1．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°．14．解：当点P在AD边上时，∵PB＝AE，点E为边BC中点，∴点P为边AD中点，∴PE＝AB＝2；当点P在CD边上时，∵PB＝AE，点E为边BC中点，∴点P为边CD中点，∴PE＝＝＝．所以PE的长为：2或．故答案为：2或．15．解：如图，连接BN，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，∴AD＝AB，∠ABC＝72°，∠CAB＝54°，∵AB的垂直平分线交AC于点N，∴AN＝NB，∴∠CAB＝∠ABN＝54°，∴∠CBN＝72°﹣54°＝18°，在△DCN和△BCN中，，∴△DCN≌△BCN（SAS），∴∠CDN＝∠CBN＝18°，故答案为：18°．16．解：如图，连接AG，GE，∵AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，∴AG＝GE，AH＝HE，AH⊥HE，设AD＝CD＝BC＝AB＝2a，∵点E是CD的中点，∴CE＝DE＝a，∵AG2＝AB2+BG2，GE2＝EC2+GC2，∴4a2+（2a﹣7）2＝a2+49，∴a1＝4，a2＝0（舍去），∴EC＝DC＝4，AD＝8，∴GE＝＝＝，AE＝＝＝4，∴HE＝2，∴GH＝＝＝3，故答案为：3．17．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD＝BD，AO＝OC＝AC＝6，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∴AC•BD＝96，∴BD＝16，∴BO＝8，∴AB＝＝＝10，∴菱形的周长＝4×10＝40．故答案为：40．18．解：连接CP，BD，交AC于M，∵四边形ABCD为正方形，BC＝2，∴BD⊥AC，垂足为M，BM＝MC＝BC＝，∵S△BCE＝CE•BM，S△PCE＝CE•PF，S△BCP＝BC•PG，S△BCE＝S△PCE+S△BCP，∴CE•BM＝CE•PF+BC•PG，∵BC＝CE，∴BM＝PF+PG，∴PG+PF＝．故答案为．19．解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，同理可得HE＝1，在Rt△GHE中，GH＝＝＝，故答案为：．20．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，∴CF＝4，∴BF＝＝＝，∴GH＝，故答案为：．21．解：连接OC，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝3，BO＝OD＝1，∴CO⊥BD，∴OC＝，∵DE＝BD＝2，在Rt△EOC中，CE＝，∵点M是CE的中点，∴OM＝，故答案为：．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形．（2）解：由（1）得：▱ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，AO＝CO，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CBE，∵AE＝AF＝3，∴∠AFE＝∠AEF，又∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝5，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，∴AO＝AC＝4．23．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DAC＝∠DCA；（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，∴OE＝OA＝2．24．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．25．解：（1）四边形ADCF为矩形，理由如下：∵AF＝DC，AF∥BC，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AF＝CD，又∵E为AD的中点，AF∥BD，∴AE＝DE，∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴BD＝AF，∴BD＝CD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形AFCD为矩形；（2）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形；理由：∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，∴AD⊥BC，AD＝BC＝BD＝CD，∴平行四边形ADCF为矩形，∴矩形ADCF为正方形．26．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E作EH⊥AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝4，∴CH＝2，∴CE＝；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形27．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵EC＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．28．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∵BO⊥CE，∴∠CFO＝∠CFB＝90°，在△OCF与△BCF中，，∴△OCF≌△BCF（ASA），∴OC＝BC；②∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE与△BCE中，，∴△OCE≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠EOC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OC＝BC，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB＝OCB＝30°，∵∠EBC＝90°，∴EB＝EC，∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB＝，EC＝2，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴EC＝EA＝2，在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，∴DE＝＝＝．。

人教版第二学期八年级数学18.2：特殊的平行四边形同步训练(含答案)

人教版2019-2020学年第二学期八年级数学第18章平行四边形18.2特殊的平行四边形同步训练☆选择题（请在下面的四个选项中将正确的答案选在括号里）1．如图，菱形ABCD 中，130D ∠=︒，则1∠=（）A ．30B ．25︒C ．20︒D ．15︒2．如图，在矩形ABCD 中，点E 在CD 上，连接,45,1,AE BE DAE CBE AD ∠=∠=︒=、则ABE △的周长等于( )A ．6．B ．C ．2D ．23．下列性质中，矩形不一定具有的是( )A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．4个内角相等D ．一条对角线平分一组对角4．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A ．15B ．14C ．13D ．3105．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为ABCD 的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则ABCD 的最小内角的度数为（）A ．20B ．30C ．45D ．606．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，AB =5，AC =6，过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的面积为（）A ．12B ．18C ．24D ．327．如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ⊥于点H ．则DH =（）A ．6B ．245C ．485D ．58．如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2B．4C．8D．109．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）A．8 B．C．D．10、、、分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法：①若10．如图，点E F G H=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是AC BD平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4☆填空题11．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____时，平行四边形CDEB为菱形．12．己知菱形的两条对角线长分别是4和8，则菱形的面积为________．AC BD相交于点O．使得四边形ABCD成为菱形，需添加一个条件是13．在ABCD中，对角线,__________________．14．正方形ABCD的周长为20 cm，E为对角线BD上的一个动点，则矩形EFCG的周长为___________cm．15．如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处.若32AGE∠=，则GHC∠的等于_____．16．如图，在菱形ABCD中，tan∠A＝43，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，DFNC的值为_____．17．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=23+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．18．如图，已知在Rt△ABC中，AB＝AC＝3√2，在△ABC内作第1个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第2个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第3个内接正方形…，依次进行下去，则第2019个内接正方形的边长为_____．☆解答题19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形．（2）若AB=5，BD=8，求矩形AODE的周长．20．过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）若CE=4，求AC的长．21．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，AE=AB，连结AC、DE、CE．（1）求证：四边形ACDE为平行四边形．（2）若AB=AC，AD=4，CE=6，求四边形ACDE的面积．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．24．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AB =2BD =，求OE 的长．25．已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM ．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF 的长．26．如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边D E 上，连接AE 、GC ．（1）试猜想AE 与GC 有怎样的关系，并证明你的结论．（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和CG ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．27．矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，P 为DE 上的一点（PE ＜PD ），PM ⊥PD ，PM 交AD 边于点M ．（1）若点F 是边CD 上一点，满足PF ⊥PN ，且点N 位于AD 边上，如图1所示．求证：①PN=PF ；②DF +DP ；（2）如图2所示，当点F 在CD 边的延长线上时，仍然满足PF ⊥PN ，此时点N 位于DA 边的延长线上，如图2所示；试问DF ，DN ，DP 有怎样的数量关系，并加以证明．28．某校初二数学兴趣小组活动时，碰到这样一道题：“已知正方形ABCD ，点,,,E F G H 分别在边,,,AB BC CD DA 上，若EG FH ⊥，则EG FH =”．经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，过点B 作//BN EG 交CD 于点N ；（乙）过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，作//AN EG 交CD 的延长线于点N ；同学们顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；（2）如果把条件中的“EG FH ”改为“EG 与FH 的夹角为45”，并假设正方形ABCD 的边长为l ，FH （如图2），试求EG 的长度．参考答案1．B2．C3．D4．B5．B6．C7．B8．B9．D10．A11．612．1613．AC BD ⊥（答案不唯一）14．1015．10616．67． 17．①②④ 18．3×(12)201819．（1）略；（2）1420．（1）四边形ACED 是平行四边形；（2）21．(1)证明略；(2)12.22．（1）∠ABD=60°；（2）BE=1．23．解：（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ， ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ．∴∠ADB=90°．∴平行四边形AEBD 是矩形．（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD 是正方形．理由如下：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ．∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．24．（1）证明略；（2）2.25．（1）DM ⊥EM ，DM=EM ；（2）DM ⊥EM ，DM=EM ；（3）满足条件的MF． 26．（1） AE ⊥GC ，AE =GC ；（2）成立27．（1）略；（2）DN DF -=，证明略．28．（1）略；（2）EG ．。

人教版八年级下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形菱形同步练习(包含答案)

特别的平行四边形---菱形同步练习一．选择题（共12小题）1．以下说法不正确的选项是（）A．四边都相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线相互垂直均分的四边形是菱形D．对角线相互均分且相等的四边形是菱形2．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC的极点O、A在x轴上，且O、C的坐标分别是（0，0），（3，4），则极点B的坐标是（）A．（5，3）B．（8，3）C．（8，4）D．（9，4）3．菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2cm，则另一条对角线的长约是（）A．4cm B．1cm C．D．24．如图，菱形 ABCD沿对角线 AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的地点，点A′恰巧是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD=60°，则暗影部分的面积为（）A．B．C．1D．5．如图，四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．C．4D．56．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F点是AC的中点，连结EF．假如EF=4，那么菱形ABCD的周长为（）A．9B．12C．24D．327．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直均分线交接DF，则∠CDF=（）AC于点F，点E为垂足，连A．50°B．40°C．30°D．15°8．如图，由两个长为 9，宽为3的全等矩形叠合而获得四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A ．15B ．16C ．19D ．209．如图，菱形ABCD 中，∠BAD=60，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延伸线上的一点，且CD=DE ，连结BE 分别交 AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则以下结论：① 2OG=AB ；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S 四边形ODGF ＞S△ABF；④由点A 、B 、D 、E 组成的四边形是菱形，此中正确的是（）A ．①④B．①③④C．①②③D．②③④10．如图，AD 是△ABC 的角均分线，DE∥AC 交AB 于点E ，DF∥AB 交AC 于点F ，且AD 交EF 于点O ，则∠AOF 为（）A ．60°B．90° C ．100° D ．110° 11．以下图，在 R t△ABC 中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，分别以直角边 AB 、斜边AC 为边，向外作等边△ ABD 和等边△ACE，F 为AC 的中点，DE 与AC 交于点O ，DF 与AB 交于点G ，给出以下结论：①四边形ADFE 为菱形；②DF⊥AB；③AO=1/4AE；④CE=4FG；此中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C．①③④D．②③④12．以下图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB 方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当此中一个点抵达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE，EF．若四边形AEFD为菱形，则 t的值为（）A．20B．15C．10D．5二．填空题（共5小题）13．以下说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线相互垂直；④对角线相互垂直的四边形是菱形，此中正确的说法是（填正确的序号）14．如图，已知∠ A，以点A为圆心，适合长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，持续分别以点 B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点 C，连结BC，CD，则所四得边形ABCD为菱形，判断依照是：．15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD相互垂直且均分，BD=6，AC=8，则四边形周长为，面积为．16．如图，两张宽为1cm的矩形纸条交错叠放，此中重叠部分是四边形ABCD，已知∠BAD=60度，则重叠部分的面积是cm2．17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延伸线于点F，在AF的延伸线上截取FG=BD，连结BG、DF．若AG=13，BG=5，则CF的长为．三．解答题（共6小题）18．AE∥BF，AC均分∠BAE，且交BF于点C，BD均分∠ABF，且交AE于点D，连结CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形．19．如图，△ABC中，AB=BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的均分线交于点D，连结OE，CD．（1）求证四边形ABCD是菱形；（2）连结AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC与BC的延伸线交于E点，连结EO，若CE=3，DE=4，求OE的长．20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延伸线交于点F，连结BF．（1）求证：四边形BDCF为菱形；（2）若CE=4，AC=6，求四边形BDCF的面积．21．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结BE，有BE=2DE，延伸DE到点F，使得EF=BE，连结CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若△ABC中BC=5，AC=12，求菱形BCFE的面积．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．1）求证：四边形AEDF是菱形；2）求菱形AEDF的面积；（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P 从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为什么值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？23．如图，在?ABCD中，∠BAD的均分线交 BC于点E，交DC的延伸线于F，以EC、CF为邻边作?ECFG．1）证明?ECFG是菱形；2）若∠ABC=120°，连结BD、CG，求∠BDG 的度数；参照答案1-5：DCDBB 6-10:DCAAB 11-12:DC13、①③14、四条边相等的四边形是菱形15、20；2416、∴17、618、：（1）∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又∵BD均分∠ABF，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，AB=AD，同理：AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；19、：（1）∵BD均分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠ADBAB=AD，且AB=BC，AD=BC，且AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，2）∵DE⊥BC，CE=3，DE=4，∴CD=5，∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD=5，BO=DOBE=BC+CE=8，20、：（1）∵DE⊥BC，∠ACB=90°，∴∠BED=∠ACB，DF∥AC，∵CF∥AB，∴四边形ADFC是平行四边形，AD=CF，∵D为AB的中点，∴AD=BD，BD=CF，∵BD∥CF，∴四边形BDCF是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴DC=BD，∴四边形BDCF是菱形；2）∵四边形BDCF是菱形∴BC=2CE=8，BC⊥DF∵四边形ADFC是平行四边形，DF=AC=621、：（1）点D、E分别是AB、AC的中点，∴BC∥DE，BC=2DE，BE=2DE，BE=EFEF=2DEBC=EF，且DE∥BC∴四边形BEFC是平行四边形又∵BE=EF∴四边形BCFE是菱形；2）连结BF交AC于点G∵点E是AC中点，AC=12，EC=6∵四边形BCFE是菱形∴EG=GC=3，BG=GF，EC⊥BF22、（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．∵E、F分别为AB、AC的中点，∴DE和DF是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，AE=AF，∴四边形AEDF是菱形，2）解：∵EF为△ABC的中位线，∴EF=BC=5．∵AD=8，AD⊥EF，∴S菱形AEDF=AD?EF=×8×5=20．∴3）解：∵EF∥BC，∴EH∥BP．若四边形 BPHE为平行四边形，则须EH=BP，5-2t=3t，解得：t=1，∴当t=1秒时，四边形BPHE为平行四边形．EF∥BC，∴FH∥PC．若四边形PCFH为平行四边形，则须FH=PC，∴2t=10-3t，解得：t=2，∴当t=2秒时，四边形PCFH为平行四边形23、：（1）证明：，AF均分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE，CE=CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，∵∠ABC=120°，∴∠BCD=60°，∠BCF=120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE=GE，∠∠BCF=60°，∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，∴∠BEG=120°=∠DCG，∵AE是∠BAD的均分线，∴∠DAE=∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，AB=BE，BE=CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），BG=DG，∠BGE=∠DGC，∴∠BGD=∠CGE，∵CG=GE=CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE=60°，∴∠BGD=60°，∵BG=DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG=60°；。

2020-2021年度人教版八年级数学下册 18.2特殊的平行四边形同步培优训练题(附答案)

2020-2021年度人教版八年级数学下册18.2特殊的平行四边形同步培优训练题（附答案）1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC＝90°B．AB＝BD C．AC⊥BD D．AC＝BD2．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（）A．2或8B．或18C．或2D．2或183．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.54．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（）A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.55．菱形的周长为8，一个内角为120°，则较短的对角线长为（）A．4B．2C．2D．16．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对边相等且平行7．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°8．如图，矩形ABCD中，作CE⊥BD于点E，若∠DCE＝3∠ECB，则∠ACE度数为（）A．30°B．60°C．45°D．22.5°9．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，有以下四个结论：①BE+DF＝EF；②BM2+DN2＝MN2③若AB＝3，BE＝1，则BN＝3；④若CE＝2，则DN＝，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．两本长方形的书按如图所示方式叠放在一起，则∠3+∠2+2∠1＝（）A．360°B．540°C．720°D．以上案均不对11．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为．12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．13．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为．14．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为．15．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝12，DF＝2FC，则BC的长是16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝．17．如图，摆放矩形ABCD与矩形ECGF，使B，C，G在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若H为AF的中点，连接DH，HE，那么DH与HE之间的数量关系是．18．如图，正方形BEFG的顶点E在正方形ABCD的边AD上，CD、EF交于点H，AD＝16，连接EC，FC，则△CEF的面积的最小值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝8，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为．20．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝．21．菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．22．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．23．如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；（2）若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积．25．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE 的长．26．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．27．如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF，OC，OD．（1）求证：四边形ABFE是菱形；（2）若∠ABC＝90°，如图2所示：①求证：∠ADO＝∠BCO；②若∠EOD＝15°，AE＝1，求OC的长．参考答案1．解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形．故选：C．2．解：分两种情况讨论：①当E点在线段DC上时，∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E＝∠D＝90°，∵∠AD'B＝90°，∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，∴B、D'、E三点共线，∵，AD'＝AD，∴BE＝AB＝10，∵，∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∵，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE＝AB＝10，∵，∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．综上所知，DE＝2或18．故选：D．3．解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．4．解：如图，当点M在BC上时，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM＝CE，由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，所以t＝3.5（秒）；当点M在AD上时，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″＝CE，由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，解得t＝6.5（秒）．所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．故选：D．5．解：如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则∠B+∠BAD＝180°，∴∠B＝60°，∵菱形ABCD的周长为8，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2，故选：C．6．解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意；B．因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意；C．因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意；D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．故选：C．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠DCE＝3∠ECB，∠DCB＝90°，∴∠ECB＝×90°＝22.5°，∵CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∴∠OBC＝90°﹣∠ECB＝67.5°＝∠OCB，∴∠ACE＝∠OCB﹣∠ECB＝67.5°﹣22.5°＝45°，故选：C．9．解：①延长CB，截取BI＝DF，连接AI，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABE＝∠ADC＝90°，∴∠ABI＝90°，在△ADF和△ABI中，，∴△ADF≌△ABI（SAS），∴∠BAI＝∠DAF，AI＝AF，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠BAI+∠BAE＝45°，即∠EAI＝45°，∴∠EAI＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AIE≌△AFE（SAS），∴IE＝FE，即DE+BF＝EF，故①正确；②过B作BD的垂线，截取BH＝ND，连接AH，HM，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠ABH＝45°＝∠ADN，在△ADN和△ABH中，，∴△ADN≌△ABH（SAS），∴∠DAN＝∠BAH，AN＝AH，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAN+∠BAM＝∠BAH+∠BAM＝45°，∴∠MAN＝∠HAM＝45°，在△AHM和△ANM中，，∴△AHM≌△ANM（SAS），∴MH＝MN，在Rt△BHM中，HM2＝BH2+BM2，∴MN2＝BM2+DN2，故②正确；③连接AC，过E作EH⊥AC于点H，∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，∴∠ACB＝∠BAC＝∠ADB＝∠CAD＝45°，AB＝BC＝3，∴∠HEC＝∠HCE＝45°，∵BE＝1，∴CE＝2，∴EH＝，∴BE≠HE，∵∠BAE≠∠CAE，∵∠EAF＝∠CAD＝45°，∴∠BAE≠∠DAF，∴∠EAF+∠BAE≠∠ADN+∠DAF，∵∠BAN＝∠EAF+∠BAE，∠BNA＝≠∠ADN+∠DAF，∴∠BAN≠∠BNA，∴AB≠BN，∵AB＝3，∴BN≠3，故③错误；④过点D作DG⊥BD过N作NG∥BC，与DG交于点G，连接CG，与AF的延长线交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°∴∠CDG＝∠ADC＝45°，NG⊥CD，∴∠DNG＝∠DGN＝45°，∴DN＝DG，∵∠ADN＝∠CDG＝45°，∴△ADN≌△CDG（SAS），∴∠DAN＝∠DCG，∵∠DAN+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CFH，∴∠HCF+∠CFH＝90°，∴∠CHF＝90°，∵∠CBD＝∠EAF＝45°，∴A、B、E、N四点共圆，∴∠ABE+∠ANE＝180°，∴∠ANE＝90°＝∠CHF，∴EN∥CG，∴四边形CENG为平行四边形，∴NG＝EC＝2，∴DN＝CG•sin45°＝2×＝，故④正确，故选：C．10．解：过B作BN∥EH，∵四边形EFGH是长方形，矩形ABCD是长方形，∴∠ABC＝90°，∠A＝∠H＝90°，EH∥FG，∴EH∥BN∥FG，∴∠HIB+∠IBN＝180°，∠BQG+∠CBN＝180°，∴∠HIB+∠IBN+∠BQG+∠CBN＝360°，∴∠HIB+∠ABC+∠BQG＝360°，∴∠HIB+∠BQG＝360°﹣90°＝270°，∵∠3＝∠HIB，∠1＝∠BQG，∴∠1+∠3＝270°，∵∠3＝∠A+∠AMI，∠2＝∠H+∠HMD，∠AMI＝∠DMH，∠A＝∠H＝90°，∴∠3＝∠2，∴∠3+∠2+2∠1＝∠3+∠3+2∠1＝2（∠3+∠1）＝2×270°＝540°，故选：B．11．解：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵菱形ABCD的边长为10，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，∵点E、F分别是边AD，CD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF∥AC，∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，又∵AD∥BC，EF∥AC，∴四边形CAEG是平行四边形，∴AC＝EG，在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，∴OA＝OC＝＝6，∴AC＝2OA＝12，∴EG＝AC＝12；故答案为：12．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，∵E为CD的中点，∴DE＝CD＝AB，∴△ABP∽△EDP，∴，∴，∴，∵PQ⊥BC，∴PQ∥CD，∴△BPQ∽△DBC，∴，∵CD＝2，∴PQ＝，故答案为：．13．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，∴四边形BGDH是平行四边形，∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，∴BG＝BH，∴四边形BGDH是菱形，∴BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴BH＝，∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，故答案为：．14．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．15．解：延长EF和BC，交于点G∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝12，∴直角三角形ABE中，BE＝＝12，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEF，∴∠BEG＝∠G，∴BG＝BE＝12，∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，∴△EFD∽△GFC，∴＝＝，设CG＝x，DE＝2x，则AD＝12+2x＝BC，∵BG＝BC+CG，∴12＝12+2x+x解得x＝4﹣4，∴BC＝12+2（4﹣4）＝8+4，故答案为：8+4．16．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，故答案为：8．17．理由：如图，延长EH交AD于点M，∵四边形ABCD和ECGF是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFH＝∠MAH，又∵∠FHE＝∠AHM，FH＝AH，在△FHE和△AHM中，，∴△FHE≌△AHM（ASA），∴MH＝EH，在直角△MDE中，MH＝EH，∴DH＝MH＝EH，∴DH＝HE．故答案是：DH＝HE．18．解：过F作FG⊥DC于点G，FM⊥AD，交AD的延长线于M，连接CF，∵S△CEF＝S△CHF+S△CHE＝CH•EM，∵△EMF≌△BAE，∴EM＝AB＝16，∴S△CEF＝8CH，∵△EDH∽△BAE，∴，设AE为x，则DH＝（﹣x2+16x）＝﹣（x﹣8）2+4≤4，∴DH≤4，∴CH≥12，CH最小值是12，∴△CEF面积的最小值是96．故答案为：96．19．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝8，∴BC＝＝＝，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴MN的最小值为，故答案为：．20．解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故答案为：10．21．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∵点E为AD的中点，∴AE＝AD＝3，∴△AOE∽△COB，∴＝＝＝；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠EAC＝60°＝∠B，∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，∴AE＝BF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，即∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形．22．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∵BO⊥CE，∴∠CFO＝∠CFB＝90°，在△OCF与△BCF中，，∴△OCF≌△BCF（ASA），∴OC＝BC；②∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE与△BCE中，，∴△OCE≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠EOC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OC＝BC，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB＝OCB＝30°，∵∠EBC＝90°，∴EB＝EC，∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB＝，EC＝2，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴EC＝EA＝2，在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，∴DE＝＝＝．23．解：AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：如图，延长AE交CF于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDE＝90°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DCF+∠F＝90°，∴∠DAE+∠F＝90°，∴AG⊥CF，即AE⊥CF．∴AE＝CF，AE⊥CF．24．解：（1）四边形AEBO是矩形，理由如下：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，∵四边形AEBO是矩形，∴AB＝OE＝5，∴OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24．25．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝＝4，∴OE＝OA＝4．26．（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△F AE和△GAF中，，∴△F AE≌△GAF（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝．27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥BF，∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AE∥BF，∴∠AEB＝∠ABE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形；（2）①证明：过O作ON∥BC交DC于N，如图2所示：∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，∴AD∥ON∥BC，∵O为BE的中点，∴N为DC的中点，ON⊥DC，∴OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADO＝∠BCO；②解：过O作OM作BC于M，如图3所示：∵四边形ABFE是平行四边形，AB＝AE，∠ABC＝90°，∴四边形ABFE是正方形，∴EF＝BF＝AE＝1，∠BFE＝90°，∠AEB＝∠AEF＝45°，∵O为BE的中点，∴OF＝BE＝OB，∵OM⊥BC，∴BM＝FM，∴OM是△BEF的中位线，∴OM＝EF＝，∵∠EOD＝15°，∴∠ADO＝∠AEB﹣∠EOD＝45°﹣15°＝30°，由（2）得：∠BCO＝∠ADO＝30°，∴OC＝2OM＝1．。

人教版初中数学八年级下册《第18章平行四边形：18.2 特殊的平行四边形》同步练习卷2020.2

人教新版八年级下学期《18.2 特殊的平行四边形》2020年同步练习卷一．选择题（共33小题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°2．在Rt△ABC中，若斜边AC＝，则AC边上的中线BD的长为（）A．1B．2C．D．3．如图，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P（，0），则PM的最小值为（）A．3B．C．D．4．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D 点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（）A．2B．8C．8D．125．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 6．菱形的对角线不一定具有的性质是（）A．互相平分B．互相垂直C．每一条对角线平分一组对角D．相等7．如图，周长为28的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，H为AD边中点，OH的长等于（）A．3.5B．4C．7D．148．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤10．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A．8B．10C．10.4D．1211．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC 的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF ＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（）A．EF＝DO B．EF⊥AOC．四边形EOF A是菱形D．四边形EBOF是菱形13．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．1514．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别为AD、CD上的动点，连接BE、BF、EF．若∠EBF＝60°，则（1）BE＝BF；（2）△BEF是等边三角形；（3）四边形EBFD面积是菱形面积的一半；（4）△DEF面积的最大值是．以上结论成立的是（）A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（2）（3）（4）15．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．416．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为（）A．6B．6C．3D．317．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形D．矩形的对角线相等18．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1B．1.3C．1.2D．1.519．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG 的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是（）A．四边形CEDF是平行四边形B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（）A．4B．3C．5D．521．在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC 交于点F，若AB＝7，3DF＝4FC，则BC的长为（）A．7﹣1B．4+2C．2+5D．4+322．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（）A．B．C．12D．3223．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量其中三个角是否都为直角B．测量对角线是否相等C．测量两组对边是否分别相等D．测量对角线是否相互平分24．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件中能判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2 25．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为（）A．B．C．D．26．如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2等于（）A．120°B．170°C．220°D．270°27．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）A．45°B．15°C．10°D．125°28．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形29．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．则四边形AODE一定是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．不能确定30．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD31．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当∠ABC＝90°时，它是矩形B．当AB＝BC时，它是菱形C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当AC＝BD时，它是正方形32．下列说法中，正确的有（）个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A．1B．2C．3D．433．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD 面积为16，则DE的长为（）A．3B．2C．4D．8二．填空题（共9小题）34．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，则AB＝．35．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，BD．若∠EBD＝32°，则∠BCD的度数为度．36．如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为．37．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为．38．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD边上且不与点A和点D重合，点O是对角线BD的中点，当△OED是等腰三角形时，AE的长为．39．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为．40．已知正方形ABCD的对角线长为8cm，则正方形ABCD的面积为cm2．41．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为．42．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为．三．解答题（共8小题）43．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．44．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．45．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．46．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．47．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形DECO是矩形；（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长度．48．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）DF⊥AC，若∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF的度数是多少？49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF ⊥AC于点F．求证：四边形CFDE是正方形．50．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD＝AF；（2）填空：①当∠ACB＝°时，四边形ADCF为正方形；②连接DF，当∠ACB＝°时，四边形ABDF为菱形．人教新版八年级下学期《18.2 特殊的平行四边形》2020年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共33小题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF＝EF，再根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故选：C．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．2．在Rt△ABC中，若斜边AC＝，则AC边上的中线BD的长为（）A．1B．2C．D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵斜边AC＝，∴AC边上的中线BD的长＝AC＝，故选：D．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．如图，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P（，0），则PM的最小值为（）A．3B．C．D．【分析】作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝6，由△AHB∽△CEA，得出比例式，推出AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，推出B（0，6﹣x），C（3+2x，0），由BM＝CM，推出M（，），得出PN＝ON﹣OP＝x，在Rt△PMN中，由勾股定理得出PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，根据二次函数的性质得出PM2最小值为，即可得出结果．【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝6，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x，∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0）∵BM＝CM，∴M（，），∵P（，0），∴PN＝ON﹣OP＝﹣＝x，∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，∴x＝时，PM2有最小值，最小值为，∴PM的最小值为＝．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．4．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D 点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（）A．2B．8C．8D．12【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD＝2，求出DE＝4，AD＝2，即可得出答案．【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∴OD＝2，BD＝8，∴AE＝OD＝2，DE＝4，∴AD＝＝2，∴菱形的周长＝4AD＝8；故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 【分析】证出四边形ABCD是菱形，由菱形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；故选：A．【点评】本题考查了菱形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．6．菱形的对角线不一定具有的性质是（）A．互相平分B．互相垂直C．每一条对角线平分一组对角D．相等【分析】根据菱形的对角线性质，即可得出答案．【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的对角线性质，熟记菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．7．如图，周长为28的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，H为AD边中点，OH的长等于（）A．3.5B．4C．7D．14【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB＝OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH＝AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH＝AB＝3.5．故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD【分析】由条件OA＝OC，OB＝OD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，A、∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠AOB＝60°，不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定；关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤【分析】根据平行四边形的性质可得OB＝BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由∠BAC≠30°可判断⑤错误．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，又∵BD＝2AD，∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确；∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF＝CD，∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE＝AB＝AG＝BG∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，故②错误；∵BG＝EF，AB∥CD∥EF，∴四边形BGFE是平行四边形，∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正确；∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠AEG，∴∠AEG＝∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，若四边形BEFG是菱形∴BE＝BG＝AB，∴∠BAC＝30°与题意不符合故⑤错误，故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．10．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A．8B．10C．10.4D．12【分析】由矩形和菱形的性质可得AE＝EC，∠B＝90°，由勾股定理可求AE的长，即可求四边形AECF的周长．【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大，∵四边形AECF是菱形∴AE＝CF＝EC＝AF，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴AE2＝1+（5﹣AE）2，∴AE＝2.6∴菱形AECF的周长＝2.6×4＝10.4故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的关键．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC 的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF ＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，由线段中点的定义得到AF＝AD，BG＝BC，于是得到四边形ABGF是平行四边形，根据平行线的性质得到CE⊥FG；故①正确；根据AD＝2AB，AD＝2AF，得到AB＝AF，于是得到四边形ABGF是菱形，故②正确；延长EF，交CD延长线于M，根据全等三角形的性质得到FE＝MF，∠AEF＝∠M，推出∠AEC＝∠ECD＝90°，根据直角三角形的性质得到FC＝EF＝FM，故③正确；得到∠FCD＝∠M，推出∠DCF＝∠DFC，于是得到∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点F、G分别是AD、BC的中点，∴AF＝AD，BG＝BC，∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正确；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四边形ABGF是菱形，故②正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，故③正确；∴∠FCD＝∠M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．12．如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（）A．EF＝DO B．EF⊥AOC．四边形EOF A是菱形D．四边形EBOF是菱形【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的性质进行解答即可．【解答】解：∵菱形ABCD，∴BO＝OD，BD⊥AC，∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴2EF＝BD＝BO+OD，EF∥BD，∴EF＝DO，EF⊥AO，∵E是AB的中点，O是BD的中点，∴2EO＝AD，同理可得：2FO＝AB，∵AB＝AD，∴AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形EOF A是菱形，∵AB≠BD，∴四边形EBOF是平行四边形，不是菱形，故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，理解中位线定理和菱形的性质是关键．13．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．15【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，得到AD＝CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO＝3，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．14．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别为AD、CD上的动点，连接BE、BF、EF．若∠EBF＝60°，则（1）BE＝BF；（2）△BEF是等边三角形；（3）四边形EBFD面积是菱形面积的一半；（4）△DEF面积的最大值是．以上结论成立的是（）A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（2）（3）（4）【分析】证明△ABE≌△DBF，可得出BE＝BF，又∠EBF＝60°，可证出△BEF是等边三角形；由全等得出四边形EBFD面积＝S△BED+S△DBF＝S△ABE+S△BED＝S△ABD＝，则知（1）（2）（3）成立，设AE＝DF＝x，DE＝1﹣x，过点F作FH⊥AD 于点H，可求出FH，由面积公式表示出△DEF面积，利用二次函数的性质可求出面积的最大值为．【解答】解：（1）如图1，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°，∴∠A＝∠CDB，∵∠EBF＝60°，∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，，∴△ABE≌△DBF（AAS），∴BE＝BF，故（1）成立；（2）∵BE＝BF，∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形；故（2）成立；（3）∵△ABE≌△DBF，∴S△ABE＝S△DBF，∴四边形EBFD面积＝S△BED+S△DBF＝S△ABE+S△BED＝S△ABD，∵，∴四边形EBFD面积是菱形面积的一半，故（3）成立；（4）设AE＝DF＝x，∴DE＝1﹣x，如图2，过点F作FH⊥AD于点H，∵∠ADF＝120°，∴∠FDH＝60°，∴∴＝，＝﹣，∴当x＝时，S有最大值为．故（4）成立；故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定，二次函数的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．15．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．4【分析】根据勾股定理求得OD＝，然后根据矩形的性质得出CE＝OD＝．【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．16．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为（）A．6B．6C．3D．3【分析】根据已知得出四边形AEMF是矩形，得出EF＝AM，要使EF最小，只要AM最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：∵∠BAC＝90°，ME⊥AB，MF⊥AC，∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEMF是矩形，∴EF＝AM，要使EF最小，只要AM最小即可，过A作AM⊥BC于M，此时AM最小，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，∴AM＝AB＝3，即EF＝3故选：C．【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．17．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形D．矩形的对角线相等【分析】根据矩形的性质和判定对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、矩形的对角线互相平分；正确；B、有一个角是直角的四边形是矩形；错误；C、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确；D、矩形的对角线相等；正确；故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1B．1.3C．1.2D．1.5【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM 的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠EAF＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP•BC＝AB•AC，∴AP•BC＝AB•AC．∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴5AP＝3×4，∴AP＝2.4，∴AM＝1.2；故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．19．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG 的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是（）A．四边形CEDF是平行四边形B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形【分析】根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形，正确；B、∵四边形CEDF是平行四边形，∵CE⊥AD，∴四边形CEDF是矩形，正确；C、∵四边形CEDF是平行四边形，∵∠AEC＝120°，∴∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，正确；D、当AE＝ED时，不能得出四边形CEDF是菱形，错误；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（）A．4B．3C．5D．5【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故选：B．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．21．在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC 交于点F，若AB＝7，3DF＝4FC，则BC的长为（）A．7﹣1B．4+2C．2+5D．4+3【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可．【解答】解：延长EF和BC，交于点G，∵3DF＝4FC，∴＝，∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝7，∴直角三角形ABE中，BE＝＝7，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEF，∴∠BEG＝∠G，∴BG＝BE＝7，∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，∴△EFD∽△GFC，∴＝，设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7+4x＝BC，∵BG＝BC+CG，∴7+4x+3x＝7，解得x＝﹣1，∴BC＝7+4x＝7+4﹣4＝3+4，故选：D．【点评】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．22．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（）A．B．C．12D．32【分析】由矩形的性质得出OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE＝3，求出BE＝1，由勾股定理求出AB，即可得出答案．【解答】解：连接AE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，∵OE⊥AC，∴AE＝CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝1，∴AB＝＝＝2，∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2×4＝8；故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB是解题的关键．23．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量其中三个角是否都为直角B．测量对角线是否相等C．测量两组对边是否分别相等D．测量对角线是否相互平分【分析】由矩形的判定定理和平行四边形的判定定理即可得出答案．【解答】解：A、测量其中三个角是否都为直角，能判定矩形；B、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形；C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；D、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；故选：A．【点评】本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．24．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件中能判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2【分析】根据矩形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、∵AB＝BC，∴▱ABCD为菱形，错误；B、∵AC⊥BD，∴▱ABCD为菱形，错误；C、∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，正确；D、∵∠1＝∠2，∴▱ABCD为菱形，错误；故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．25．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为（）A．B．C．D．【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出CN．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG＝GC，AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∵MH⊥CD，∠D＝90°，∴MH∥AD，∴NH＝HD，∵△MBC是等边三角形，∴MC＝BC＝2，由题意得，∠MCD＝30°，∴MH＝MC＝1，CH＝，DH＝CD﹣CH＝2﹣，HN＝DH＝2﹣CN＝CH﹣HN＝﹣（2﹣）＝2﹣2故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、熟记正方形的各种性质以及平行线的性质是解题的关键．26．如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2等于（）A．120°B．170°C．220°D．270°【分析】根据三角形外角的性质可得∠1+∠2的度数＝三角形三个内角的和+∠A的度数，再根据三角形内角和定理和正方形的性质即可求解．【解答】解：∵∠1＝∠A+∠3，∠2＝∠A+∠4，∴∠1+∠2＝∠A+∠3+∠4+∠A＝180°+90°＝270°．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质和三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是得到∠1+∠2＝（∠A+∠3+∠4）+∠A．27．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）A．45°B．15°C．10°D．125°【分析】由等边三角形的性质可得∠DAE＝60°，进而可得∠BAE＝150°，又因为AB ＝AE，结合等腰三角形的性质，易得∠AEB的大小，进而可求出∠BED的度数．【解答】解：∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE＝DE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，AD＝AB∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AE＝AB∴∠AEB＝30°÷2＝15°，∴∠BED＝60°﹣15°＝45°，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∠AEB的度数，难度适中．28．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意．B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，比如筝形，故本选项不符合题意．C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项符合题意．D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项符合题意．。

必刷提高题18.2 特殊的平行四边形(解析版)八年级数学下册同步必刷题闯关练(人教版)

2019-2020学年八年级数学下册同步必刷题闯关练（人教版）第十八章《平行四边形》18.2 特殊的平行四边形知识点1：直角三角形斜边上的中线【例1】（2020•浙江自主招生）已知直角三角形两条直角边上的中线长分别为9和12，则其斜边上的中线长为( )A ．15B ．15C ．35D ．3【解析】设两直角边长分别是2a 和2b ，则有：22(2)144a b +=，22(2)81a b +=，两式相加：2255225a b +=，2245a b ∴+=，2244180a b ∴+=，22(2)(2)180a b ∴+=，∴斜边18065==，∴其斜边上的中线长为35，故选：C ．【变式1-1】（2019春•成都期末）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，2BC cm =，则CD = 2 cm ．【解析】Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC cm =，24AB BC cm ∴==，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，122CD AB cm ∴==，故答案为：2．【变式1-2】（2019秋•无锡期末）如图，Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 是AB 上一点（不与A 、B 重合），DE BC ⊥于E ，若P 是CD 的中点，请判断PAE ∆的形状，并说明理由．【解析】PAE ∆的形状为等边三角形；理由如下：在Rt CAD ∆中，90CAD ∠=︒，P 是斜边CD 的中点，12PA PC CD ∴==， ACD PAC ∴∠=∠，2APD ACD PAC ACD ∴∠=∠+∠=∠，同理：在Rt CED ∆中，12PE PC CD ==，2DPE DCB ∠=∠， PA PE ∴=，即PAE ∆是等腰三角形，223060APE ACB ∴∠=∠=⨯︒=︒，PAE ∴∆是等边三角形．【变式1-3】（2019秋•江都区期中）如图，在ABC ∆中，CF AB ⊥于F ，BE AC ⊥于E ，M 为BC 的中点，10BC =，4EF =．（1）求MEF ∆的周长：（2）若50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，求EMF ∠的度数．【解析】（1）CF AB ⊥，BE AC ⊥，M 为BC 的中点，152EM BC ∴==， 152FM BC ==， MEF ∴∆周长45514EF EM FM =++=++=；（2）BM FM =，50ABC ∠=︒，50MBF MFB ∴∠=∠=︒，18025080BMF ∴∠=︒-⨯︒=︒，CM EM =，60ACB ∠=︒，60MCE MEC ∴∠=∠=︒，18026060CME ∴∠==︒-⨯︒=︒，18040EMF BMF CME ∴∠=︒-∠-∠=︒．知识点2：菱形的性质【例2】（2020•锦江区模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE CF =，连接EF 交BD 于点O ，连接AO ．若25DBC ∠=︒，则OAD ∠的度数为( )A ．50︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒【解析】如图，连接EC ，OC ，AF ．在菱形ABCD 中，EBC ADF ∠=∠，25ADB DBC ∠=∠=︒，AB CD =，BC DA =． AE CF =，AB AE CD CF ∴-=-，即BE DF =．在EBC ∆与FDA ∆中，BE DF EBC FDA BC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．()EBC FDA SAS ∴∆≅∆EC AF ∴=．又AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形，EF ∴与AC 平分，∴在菱形ABCD 中，AO BD ⊥，90902565OAD ADB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：C ．【变式2-1】（2019秋•龙泉驿区期末）如图，在菱形ABCD 中，45BAD ∠=︒，DE 是AB 边上的高，2BE =，则AB 的长是 422+ ．【解析】解，设AB x =，四边形ABCD 是菱形，AD AB x ∴==，DE 是AB 边上的高，90AED ∴∠=︒，45BAD ∠=︒，45BADADE ∴∠=∠=︒，2AE ED x ∴==-，由勾股定理得：22AD AE DE =+，222(2)(2)x x x ∴=-+-，解得：1422x =+2422x =-2BE =，2AB ∴>，422AB x ∴==+，故答案为：422+．【变式2-2】（2019秋•平房区期末）如图1，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，E 是AB 的中点，ED 平分BEC ∠交BC 于点D ，F 在DE 延长线上且AF AE =．（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）如图2，若四边形ACEF 是菱形，连接FC ，BF ，FC 与AB 交于点H ，连接DH ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等边三角形．【解析】（1）证明：90ACB ∠=︒，E 是BA 的中点，CE AE ∴=，AF AE =，AF CE ∴=， ED 平分BEC ∠，12∴∠=∠，AF AE =，3F ∴∠=∠，13∠=∠，2F ∴∠=∠，//CE AF ∴，又CE AF =，∴四边形ACEF 是平行四边形；（2）解：AFE ∆，AEC ∆，HDC ∆，CFB ∆．【变式2-3】（2019春•赣榆区期中）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作//DE AC 且12DE AC =，连接CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ．（1）求证：OE CD =；（2）若菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒．求AE 的长．【解析】（1）证明：在菱形ABCD 中，12OC AC =． DE OC ∴=． //DE AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．AC BD ⊥，∴平行四边形OCED 是矩形．OE CD ∴=．（2）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，2AC AB ∴==．∴在矩形OCED 中，223CE OD AD AO ==-．在Rt ACE ∆中，227AE AC CE =+=知识点3：菱形的判定【例3】（2020•枣阳市校级模拟）如图，在ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是菱形，这个条件是( )A ．12OM AC =B ．MB MO =C ．BD AC ⊥ D ．AMB CND ∠=∠ 【解析】证明：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =对角线BD 上的两点M 、N 满足BM DN =，OB BM OD DN ∴-=-，即OM ON =，∴四边形AMCN 是平行四边形，BD AC ⊥，MN AC ∴⊥，∴四边形AMCN 是菱形．故选：C ．【变式3-1】（2018春•张店区期末）已知，如图，ABC ∆中，E 为AB 的中点，//DC AB ，且12DC AB =，请对ABC ∆添加一个条件： 2AB BC = ，使得四边形BCDE 成为菱形．【解析】添加一个条件：2AB BC =，可使得四边形BCDE 成为菱形．理由如下：12DC AB =，E 为AB 的中点， CD BE AE ∴==．又//DC AB ，∴四边形BCDE 是平行四边形，2AB BC =，BE BC ∴=，∴四边形BCDE 是菱形．故答案为：2AB BC =．【变式3-2】（2019•揭西县模拟）如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作//AG DB 交CB 的延长线于点．（1）求证：ADE CBF ∆≅∆；（2）若90G ∠=︒，求证：四边形DEBF 是菱形．【解析】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，AD BC =，A C ∠=∠，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，12AE AB ∴=，12CF CD =， AE CF ∴=，在ADE ∆和CBF ∆中，AD BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CBF SAS ∴∆≅∆；（2）90G ∠=︒，//AG BD ，//AD BG ，∴四边形AGBD 是矩形，90ADB ∴∠=︒，在Rt ADB ∆中 E 为AB 的中点，AE BE DE ∴==，//DF BE ，DF BE =，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形．【变式3-3】（2019春•襄汾县期末）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF CE AE ==，（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当B ∠满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？并说明理由．【解析】（1）四边形ACEF 是平行四边形； DE 垂直平分BC ，D ∴为BC 的中点，ED BC ⊥，又AC BC ⊥，//ED AC ∴，E ∴为AB 中点，ED ∴是ABC ∆的中位线．BE AE ∴=，//FD AC ．BD CD ∴=，Rt ABC ∴∆中，CE 是斜边AB 的中线，CE AE AF ∴==．512F ∴∠=∠=∠=∠．FAE AEC ∴∠=∠．//AF EC ∴．又AF EC =，∴四边形ACEF 是平行四边形；（2）当30B ∠=︒时，四边形ACEF 为菱形；理由：90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，12AC AB ∴=，由（1）知12CE AB =， AC CE ∴= 又四边形ACEF 为平行四边形∴四边形ACEF 为菱形；知识点4：菱形的判定与性质【例4】（2019春•西湖区校级期中）如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则下列结论：①2OG AB =； ②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF ODGF S S ∆>四边形；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形，其中正确的是( )A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④ 【解析】四边形ABCD 是菱形，AB BC CD DA ∴===，//AB CD ，OA OC =，OB OD =，AC BD ⊥， BAG EDG ∴∠=∠，ABO BCO CDO AOD ∆≅∆≅∆≅∆，CD DE =，AB DE ∴=，在ABG ∆和DEG ∆中，BAG EDGAGB DGE AB DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG DEG AAS ∴∆≅∆，AG DG ∴=，OG ∴是ACD ∆的中位线，1122OG CD AB ∴==，2OG AB ∴=，①正确；//AB CE ，AB DE =，∴四边形ABDE 是平行四边形，60BCD BAD ∠=∠=︒，ABD ∴∆、BCD ∆是等边三角形，AB BD AD ∴==，60ODC ∠=︒，OD AG ∴=，四边形ABDE 是菱形，④正确；AD BE ∴⊥，由菱形的性质得：()ABG DEG SAS ∆≅∆，()BDG DEG SAS ∆≅∆，在ABG ∆和DCO ∆中，60OD AGODC BAG AB DC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABG DCO SAS ∴∆≅∆，()ABO DEG SAS ∴∆≅∆，()BCO DEG SAS ∆≅∆，()CDO DEG SAS ∆≅∆，()AOD DEG AAS ∆≅∆，()ABG DEG SAS ∆≅∆，()BDG DEG SAS ∆≅∆，∴②不正确；OB OD =，AG DG =，OG ∴是ABD ∆的中位线，//OG AB ∴，12OG AB =， ()GOD ABD ASA ∴∆∆∽，()ABF OGF ASA ∆∆∽，GOD ∴∆的面积14ABD =∆的面积，ABF ∆的面积OGF =∆的面积的4倍，:2:1AF OF =， AFG ∴∆的面积OGF =∆的面积的2倍，又GOD ∆的面积AOG =∆的面积BOG =∆的面积，ABF ODGF S S ∆∴=四边形；③不正确；正确的是①④．故选：A ．【变式4-1】（2018春•沈河区校级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ．过点A 作AE BC ⊥于E ，交BD 于G ，过点D 作DF BC ⊥于F ，过点G 作//GH BC ，交AC 于点H ，则下列结论：①BAE C ∠=∠；②::ABG EBG S S AB BE ∆∆=；③2ADF CDF ∠=∠；④四边形AGFD 是菱形；⑤CH DF =．其中正确的结论是 ①②④⑤ ．【解析】①90BAC ∠=︒，90BAE CAE ∴∠+∠=︒，AE BC ⊥，90C CAE ∴∠+∠=︒，BAE C ∴∠=∠，①正确；②作//AM BD 交CB 的延长线于M ，如图所示：则M CBD ∠=∠，BAM ABD ∠=∠， BD 平分ABC ∠，CBD ABD ∴∠=∠，M BAM ∴∠=∠，AB BM ∴=，//AM BD ，::AG GE BM BE ∴=，::AG GE AB BE ∴=，::ABG EBG S S AG GE ∆∆=，::ABG EBG S S AB BE ∆∆∴=；②正确；④AGD ABD BAE ∠=∠+∠，ADG CBD C ∠=∠+∠，BAE C ∠=∠，CBD ABD ∠=∠，AGD ADG ∴∠=∠，AG AD ∴=，90BAC ∠=︒，BD 平分ABC ∠．DF BC ⊥，AD DF ∴=，AG DF ∴=，AE BC ⊥，//AG DF ∴，∴四边形AGFD 是平行四边形，又AG AD =，∴四边形AGFD 是菱形；④正确； ⑤四边形AGFD 是菱形；AGD FGD ∴∠=∠，GF DF =，ADB FDB ∠=∠，AGB FGB ∴∠=∠，在ABG ∆和FBG ∆中，ABG FBGAGB FGB BG BG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG FBG AAS ∴∆≅∆，BAE BFG ∴∠=∠，BAE C ∠=∠，BFG C ∴∠=∠，//GF CH ∴，//GH BC ，∴四边形GFCH 是平行四边形，GF CH ∴=，CH DF ∴=，⑤正确；③2ADF ADB ∠=∠，当30C ∠=︒，60CDF ∠=︒，则120ADF ∠=︒，2ADF CDF ∴∠=∠；③不正确；故答案为：①②④⑤．【变式4-2】（2020•新都区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）证明平行四边形ECFG 是菱形；（2）若120ABC ∠=︒，连结BG 、CG 、DG ，①求证：DGC BGE ∆≅∆；②求BDG ∠的度数；（3）若90ABC ∠=︒，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．【解析】（1）证明： AF 平分BAD ∠，BAF DAF ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，//AB CD ，DAF CEF ∴∠=∠，BAF CFE ∠=∠，CEF CFE ∴∠=∠，CE CF ∴=，又四边形ECFG 是平行四边形，∴四边形ECFG 为菱形；（2）①四边形ABCD 是平行四边形，//AB DC ∴，AB DC =，//AD BC ，120ABC ∠=︒，60BCD ∴∠=︒，120BCF ∠=︒由（1）知，四边形CEGF 是菱形，CE GE ∴=，1602BCG BCF ∠=∠=︒，CG GE CE ∴==，120DCG ∠=︒，//EG DF ，120BEG DCG ∴∠=︒=∠， AE 是BAD ∠的平分线，DAE BAE ∴∠=∠，//AD BC ，DAE AEB ∴∠=∠，BAE AEB ∴∠=∠，AB BE ∴=，BE CD ∴=，()DGC BGE SAS ∴∆≅∆；②DGC BGE ∆≅∆，BG DG ∴=，BGE DGC ∠=∠，BGD CGE ∴∠=∠，CG GE CE ==，CEG ∴∆是等边三角形，60CGE ∴∠=︒，60BGD ∴∠=︒，BG DG =，BDG ∴∆是等边三角形，60BDG ∴∠=︒；（3）如图2中，连接BM ，MC ，90ABC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形，又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，90ECF ∠=︒，∴四边形ECFG 为正方形．BAF DAF ∠=∠，BE AB DC ∴==， M 为EF 中点，45CEM ECM ∴∠=∠=︒，135BEM DCM ∴∠=∠=︒，在BME ∆和DMC ∆中，BE CDBEM DCM EM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BME DMC SAS ∴∆≅∆，MB MD ∴=，DMC BME ∠=∠．90BMD BME EMD DMC EMD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，BMD ∴∆是等腰直角三角形．8AB =，14AD =，265BD ∴=2130DM ∴== 【变式4-3】（2019春•秦淮区期末）已知：如图，在ABCD 中，G 、H 分别是AD 、BC 的中点，E 、O 、F 分别是对角线BD 上的四等分点，顺次连接G 、E 、H 、F ．（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；（2）当ABCD 满足 AB BD ⊥ 条件时，四边形GEHF 是菱形；（3）若2BD AB =，①探究四边形GEHF 的形状，并说明理由；②当2AB =，120ABD ∠=︒时，直接写出四边形GEHF 的面积．【解析】（1）证明：连接AC ，如图1所示：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，BD ∴的中点在AC 上， E 、O 、F 分别是对角线BD 上的四等分点，E ∴、F 分别为OB 、OD 的中点，G 是AD 的中点，GF ∴为AOD ∆的中位线，//GF OA ∴，12GF OA =，同理：//EH OC ，12EH OC =，EH GF ∴=，//EH GF ，∴四边形GEHF 是平行四边形；（2）解：当ABCD 满足AB BD ⊥条件时，四边形GEHF 是菱形；理由如下：连接GH ，如图2所示：则AG BH =，//AG BH ，∴四边形ABHG 是平行四边形，//AB GH ∴，AB BD ⊥，GH BD ∴⊥，GH EF ∴⊥，∴四边形GEHF 是菱形；故答案为：AB BD ⊥；（3）解：①四边形GEHF 是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF 是平行四边形，GH AB ∴=，2BD AB =，12AB BD EF ∴==，GH EF ∴=，∴四边形GEHF 是矩形；②作AM BD ⊥于M ，GN BD ⊥于N ，如图3所示：则//AM GN ， G 是AD 的中点，GN ∴是ADM ∆的中位线，12GN AM ∴=，120ABD ∠=︒，60ABM ∴∠=︒，30BAM ∴∠=︒，112BM AB ∴==，33AM BM =3GN ∴=24BD AB ==，122EF BD ∴==，EFG ∴∆的面积1133222EF GN =⨯=⨯∴四边形GEHF 的面积2EFG =∆的面积3=．知识点5：矩形的性质【例5】（2020春•宜兴市校级月考）下列性质中，矩形不一定具有的是( ) A ．对角线相等 B ．对角线互相平分C ．4个内角相等D ．一条对角线平分一组对角【解析】矩形的对角线互相平分且相等，故选项A 、B 不合题意；矩形的四个角都是直角，故选项C 不合题意；矩形的一条对角线不一定平分一组对角；故D 符合题意；故选：D ．【变式5-1】（2020春•九龙坡区校级月考）如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点．若8BD =，则MN 的长为 2 ．【解析】如图，四边形ABCD 是矩形，AC ，BD 交于点O ，8BD = 2BD BO ∴=，即28BO =．4BO ∴=．又M 、N 分别为BC 、OC 的中点，MN ∴是CBO ∆的中位线，122MN BO ∴==．故答案是：2．【变式5-2】（2019•莘县一模）如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 上的点，AE CF =，对角线AC 平分ECF ∠．（1）求证：四边形AECF 为菱形．（2）已知4AB =，8BC =，求菱形AECF 的面积．【解析】证明：（1）四边形ABCD 是矩形//AE CF ∴AE CF =∴四边形AECF 是平行四边形 AC 平分ECF ∠ACF ACE ∴∠=∠//AE CFACF EAC ∴∠=∠EAC ACE ∴∠=∠AE CE ∴=∴四边形AECF 是菱形（2）设BF x =，则8FC x =-8AF FC x ∴==-在Rt ABF ∆中222AB BF AF +=222(8)4x x ∴-=+解得：3x =835FC ∴=-=S ∴菱形5420AECF FC AB ==⨯=【变式5-3】（2019秋•榕城区期中）如图长方形OABC 的位置如图所示，点B 的坐标为(8,4)，点P 从点C 出发向点O 移动，速度为每秒1个单位；点Q 同时从点O 出发向点A 移动，速度为每秒2个单位，设运动时间为(04)t t（1）填空：点A 的坐标为 (8,0) ，点C 的坐标为，点P 的坐标为．（用含t 的代数式表示）（2）当t 为何值时，P 、Q 两点与原点距离相等？（3）在点P 、Q 移动过程中，四边形OPBQ 的面积是否变化？说明理由．【解析】（1）由题意可知点A 的坐标为(8,0)，点C 的坐标为 (0,4)，点P 的坐标为(0,4)t -．（用含t 的代数式表示），故答案分别为(8,0)，(0,4)，(0,4)t -．（2）依题意可知：4OP t =-，2OQ t =，若OP OQ =，则有：42t t -= 解之得，43t =． ∴当43t =时，点P 和点Q 到原点的距离相等．（3）四边形OPBQ 的面积不变．理由如下：PCB ABQ OABC OPBQ S S S S ∆∆=--矩形四边形 113284(82)22t t =--- 324164t t =--+16=．∴四边形OPBQ 的面积不变．知识点6：矩形的判定【例6】（2020•闵行区一模）要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是( )A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量对角线是否互相垂直D ．测量其中三个角是否是直角【解析】三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D ，故选：D ．【变式6-1】（2017春•苍溪县期末）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，4AB cm =，AD AB >，5CD cm =，点P 从点C 出发沿边CB 以每秒1cm 的速度向点B 运动， 3 秒后四边形ABPD 是矩形．【解析】当DP BC ⊥时，四边形ABPD 是矩形，此时：4AB DP ==，5CD =，在Rt DPC ∆中，2222543CP CD DP =--=，所以3秒后四边形ABPD 是矩形，故答案为：3【变式6-2】（2019春•宽城区校级期末）如图，在ABC ∆中，点O 是边AC 上一个点，过点O 作直线//MN BC 分别交ACB ∠、外角ACD ∠的平分线于点E 、F ．（1）若8CE =，6CF =，求OC 的长；（2）连接AE 、AF ．问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．【解析】（1）证明：EF 交ACB ∠的平分线于点E ，交ACB ∠的外角平分线于点F ， OCE BCE ∴∠=∠，OCF DCF ∠=∠，//EF BC ，OEC BCE ∴∠=∠，OFC DCF ∠=∠，OEC OCE ∴∠=∠，OFC OCF ∠=∠，OE OC ∴=，OF OC =，OE OF ∴=；180OCE BCE OCF DCF ∠+∠+∠+∠=︒，90ECF ∴∠=︒，在Rt CEF ∆中，由勾股定理得：2210EF CE CF =+=，152OC OE EF ∴===；（2）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：当O 为AC 的中点时，AO CO =，EO FO =，∴四边形AECF 是平行四边形，90ECF ∠=︒，∴平行四边形AECF 是矩形．【变式6-3】（2019秋•重庆月考）如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边上的一动点，过O 作直线//MN BC ，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．（1）求证：EO FO =；（2）当O 点运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．【解析】（1）证明：//MN BC ，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，BCE ACE OEC ∴∠=∠=∠，OCF FCD OFC ∠=∠=∠，OE OC ∴=，OC OF =，OE OF ∴=．（2）解：当O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形，AO CO =，OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形，12ECA ACF BCD ∠+∠=∠， 90ECF ∴∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．知识点7：矩形的判定与性质【例7】（2019•红花岗区校级二模）如图，直角三角形ABC 中，2AC =，4BC =，P 为斜边AB 上一动点，PE BC ⊥，PF CA ⊥，则线段EF 长的最小值为( )A 5B ．2C 455D ．32【解析】连接PC ，如图所示：PE BC ⊥，PF CA ⊥，90PEC PFC C ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ECFP 是矩形，EF PC ∴=，∴当PC 最小时，EF 也最小，垂线段最短，∴当CP AB ⊥时，PC 最小，2AC =，4BC =，25AB ∴=，又当CP AB ⊥时，1122AC BC AB CP ⨯⨯=⨯⨯， 4525AC BC PC AB ⨯∴=== ∴线段EF 45．故选：C ．【变式7-1】（2019春•东湖区校级月考）如图，在矩形ABCD 中，4AB cm =，12AD cm =，点P 从点A 向点D 以每秒1cm 的速度运动，Q 以每秒4cm 的速度从点C 出发，在B 、C 两点之间做往返运动，两点同时出发，点P 到达点D 为止（同时点Q 也停止），这段时间内，当运动时间为 2.4s 或4s 或7.2s 时，P 、Q 、C 、D 四点组成矩形．【解析】根据已知可知：点Q 将4次到达B 点；在点Q 第一次到达点B 过程中，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，若//PQ AB ，则四边形APQB 是平行四边形，AP BQ ∴=，设过了t 秒，//PQ AB ，则PA t =，124BQ t =-，124t t ∴=-，2.4()t s ∴=，在点Q 第二次到达点B 过程中，设过了t 秒，则PA t =，4(3)BQ t =-，解得：4()t s =，在点Q 第三次到达点B 过程中，设过了t 秒，则PA t =，124(6)BQ t =--，解得：7.2()t s =，在点Q 第四次到达点B 的过程中，无法构成矩形，故此舍去．故答案为：2.4s 或4s 或7.2s ；【变式7-2】（2019春•邵东县期末）如图，已知菱形ABCD 中，对角线ACBD 相交于点O ，过点C 作//CE BD ，过点D 作//DE AC ，CE 与DE 相交于点E ．（1）求证：四边形CODE 是矩形．（2）若5AB =，6AC =，求四边形CODE 的周长．【解析】（1）证明：//CE BD ，//DE AC ，∴四边形CODE 为平行四边形，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，∴平行四边形CODE 是矩形；（2）解：四边形ABCD 为菱形，116322AO OC AC ∴===⨯=，OD OB =，90AOB ∠=︒，在Rt AOB ∆中，由勾股定理得222BO AB AO =-，224BO AB AO ∴=-，4DO BO ∴==，∴四边形CODE 的周长2(34)14=⨯+=．【变式7-3】（2019•满洲里市一模）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AO CO =，BO DO =，且180ABC ADC ∠+∠=︒．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若:3:2ADF FDC ∠∠=，DF AC ⊥，求BDF ∠的度数．【解析】（1）证明：AO CO =，BO DO =，∴四边形ABCD 是平行四边形，ABC ADC ∴∠=∠，180ABC ADC ∠+∠=︒，90ABC ADC ∴∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：90ADC ∠=︒，:3:2ADF FDC ∠∠=，36FDC ∴∠=︒，DF AC ⊥，903654DCO ∴∠=︒-︒=︒，四边形ABCD 是矩形，54ODC DCO ∴∠=∠=︒，18BDF ODC FDC ∴∠=∠-∠=︒．知识8：正方形的性质【例8】（2020•深圳模拟）在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 上的一动点，E 为AD 中点，PE 交CD 延长线于Q ，过E 作EF PQ ⊥交BC 的延长线于F ，则下列结论： ①APE DQE ∆≅∆；②PQ EF =；③当P 为AB 中点时，2CF =；④若H 为QC 的中点，当P 从A 移动到B 时，线段EH 扫过的面积为1，其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】①四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，90A B ADC ∠=∠=∠=︒，90A EDQ ∴∠=∠=︒， E 为AD 中点，AE ED ∴=，在APE ∆和DQE ∆中，A EDQAE ED AEP DEQ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()APE DQE ASA ∴∆≅∆，故①正确；②作PG CD ⊥于G ，EM BC ⊥于M ，如图1所示：90PGQ EMF ∴∠=∠=︒，EF PQ ⊥，90PEF ∴∠=︒，90PEM MEF ∴∠+∠=︒，90GPE MEP ∠+∠=︒，GPE MEF ∴∠=∠，在EFM ∆和PQG ∆中，EMF PGQEM PG MEF GPQ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EFM PQG ASA ∴∆≅∆，EF PQ ∴=，故②正确；③连接QF ，如图2所示：则QF PF =，2222PB BF QC CF +=+，设CF x =，则2222(2)13x x ++=+，1x ∴=，故③错误；④如图3所示：当P 在A 点时，Q 与D 重合，QC 的中点H 在DC 的中点S 处，当P 运动到B 时，QC 的中点H 与D 重合，故EH 扫过的面积为ESD ∆的面积为12，故④错误；故选：B ．【变式8-1】（2019秋•蚌埠期末）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且4CE AE =，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG EF ⊥，交CB 的延长线于点G ，若5AB =，2CF =，则线段BG 的长是 5 ．【解析】如图，作EH EC ⊥交CG 于H ．则90CEH ∠=︒，EG EF ⊥，90GEF ∴∠=︒，GEH FEC ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，5AB =，90GCF BCD ∴∠=∠=︒，5BC AB ==，252AC AB =45ACB ∠=︒， 9045135ECF ∴∠=︒+︒=︒，CEH ∆是等腰直角三角形，EH EC ∴=，45EHC ∠=︒，135EHG ECF ∴∠=︒=∠，在HEG ∆和CEF ∆中，HEG CEF EH EC EHG ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()HEG CEF ASA ∴∆≅∆，2HG CF ∴==，4CE AE =，252AC ==42CE ∴=28CH CE ∴=，10CG HG CH ∴=+=，5BG CG BC ∴=-=；故答案为：5．【变式8-2】（2019秋•吉安县期末）如图，在正方形ABCD 中，等边AEF ∆的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上．（1）求证：ABE ADF ∆≅∆；（2）若等边AEF ∆的周长为6，求正方形ABCD 的边长．【解析】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90B D ∠=∠=︒，AEF ∆是等边三角形，AE AF ∴=，在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，AB AD AE AF =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt ADF(HL)∴∆≅∆；（2）解：等边AEF ∆的周长是6，2AE EF AF ∴===，又Rt ABE Rt ADF ∆≅∆，BE DF ∴=，CE CF ∴=，90C ∠=︒，即ECF ∆是等腰直角三角形，由勾股定理得222CE CF EF +=，2EC ∴=设BE x =，则2AB x =，在Rt ABE ∆中，222AB BE AE +=，即22(2)4x x +=，解得126x -+=或226x --=， 26262AB -++∴== ∴正方形ABCD 26+．【变式8-3】（2019•红塔区三模）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且BE CF =，求证：（1）AE BF =；（2）AE BF ⊥．【解析】证明：（1）在正方形ABCD 中，AB BC =，ABE BCF ∠=∠，在ABE ∆和BCF ∆中，AB BC ABE BCFBE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE BCF SAS ∴∆≅∆，AE BF ∴=；（2）ABE BCF ∆≅∆，BAE CBF ∴∠=∠，90BAE ABF CBF ABF ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，AE BF ∴⊥．知识点9：正方形的判定【例9】（2019春•南京月考）下列说法错误的是( ) A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．对角线相等且垂直的四边形是正方形【解析】①由平行四边形的判定可知A 正确；②由矩形的判定可知B 正确；③因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C 正确； ④D 选项中再加上一个条件：对角线互相平分，可证其是正方形，故D 错误；故选：D ．【变式9-1】（2018春•宿豫区期末）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB AD =，且AC BD =；②AB AD ⊥，且AC BD ⊥；③AB AD ⊥，且AB AD =；④AB BD =，且AB BD ⊥；⑤OB OC =，且OB OC ⊥．其中正确的是 ①②③⑤ （填写序号）．【解析】四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，又AC BD =，∴四边形ABCD 是正方形，①正确；四边形ABCD 是平行四边形，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 是矩形，又AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是正方形，②正确；四边形ABCD 是平行四边形，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 是矩形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是正方形，③正确；④AB BD =，且AB BD ⊥，无法得出四边形ABCD 是正方形，故④错误；四边形ABCD 是平行四边形，OB OC =，∴四边形ABCD 是矩形，又OB OC ⊥，∴四边形ABCD 是正方形，⑤正确；故答案为：①②③⑤．【变式9-2】（2019春•番禺区期中）如图，以ABC ∆的三边为边分别作等边ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆（1）求证：EBF DFC ∆≅∆；（2）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（3）①ABC ∆满足 AB AC = 时，四边形AEFD 是菱形．（无需证明）②ABC ∆满足时，四边形AEFD 是矩形．（无需证明）③ABC ∆满足时，四边形AEFD 是正方形．（无需证明）【解析】（1）ABE ∆、BCF ∆为等边三角形，AB BE AE ∴==，BC CF FB ==，60ABE CBF ∠=∠=︒，ABE ABF FBC ABF ∴∠-∠=∠-∠，即CBA FBE ∠=∠，在ABC ∆和EBF ∆中，AB EBCBA FBE BC BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC EBF SAS ∴∆≅∆，EF AC ∴=，又ADC ∆为等边三角形，CD AD AC ∴==，EF AD DC ∴==，同理可得ABC DFC ∆≅∆，DF AB AE DF ∴===，∴四边形AEFD 是平行四边形；FEA ADF ∴∠=∠，FEA AEB ADF ADC ∴∠+∠=∠+∠，即FEB CDF ∠=∠，在FEB ∆和CDF ∆中，EF DCFEB CDF EB FD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．()EBF DFC SAS ∴∆≅∆，（2）EBF DFC ∆≅∆，EB DF ∴=，EF DC =．ACD ∆和ABE ∆为等边三角形，AD DC ∴=，AE BE =，AD EF ∴=，AE DF =∴四边形AEFD 是平行四边形；（3）①若AB AC =，则平行四边形AEFD 是菱形；此时AE AB AC AD ===，即ABC ∆是等腰三角形；故ABC ∆满足AB AC =时，四边形AEFD 是菱形；②若150BAC ∠=︒，则平行四边形AEFD 是矩形；由（1）知四边形AEFD 是平行四边形，则90EAD ∠=︒时，可得平行四边形AEFD 是矩形， 360606090150BAC ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，即ABC ∆满足150BAC ∠=︒时，四边形AEFD 是矩形；③综合①②的结论知：当ABC ∆是顶角BAC ∠是150︒的等腰三角形时，四边形AEFD 是正方形．故答案是：①AB AC =；②150BAC ∠=︒；③AB AC =，150BAC ∠=︒．【变式9-3】（2017春•江津区期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//DE AC ，//CE BD ，连接OE ．（1）求证：OE CD =；（2）探究：当ABC ∠等于多少度时，四边形OCED 是正方形？并证明你的结论．【解析】（1）证明：//DE AC ，//CE BD ，∴四边形OCED 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，90COD ∴∠=︒，AB BC CD AD ===，∴四边形OCED 是矩形，OE DC ∴=；（2）当90ABC ∠=︒时，四边形OCED 是正方形，理由如下：四边形ABCD 是菱形，90ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形，DO CO ∴=，又四边形OCED 是矩形，∴四边形OCED 是正方形．知识点10：正方形的判定与性质【例10】（2018春•梁子湖区期中）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF 交AD 于G ．有以下四个结论：①GA GD =；②AD EF ⊥；③当90BAC ∠=︒时，四边形AEDF 是正方形；④2222AE DF AF DE +=+．其中正确的是( )A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④【解析】①根据已知条件不能推出GA GD =，∴①错误；②AD 是ABC ∆的角平分线，DE ，DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高，DE DF ∴=，90AED AFD ∠=∠=︒，在Rt AED ∆和Rt AFD ∆中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩，Rt AED Rt AFD(HL)∴∆≅∆，AE AF ∴=， AD 平分BAC ∠，AD EF ∴⊥，∴②正确；③90BAC ∠=︒，90AED AFD ∠=∠=︒，∴四边形AEDF 是矩形，AE AF =，∴四边形AEDF 是正方形，∴③正确；④AE AF =，DE DF =，2222AE DF AF DE ∴+=+，∴④正确；∴②③④正确，故选：D ．【变式10-1】（2019•湖北模拟）如图，在四边形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90D ∠=︒，45ABE ∠=︒，BC CD =，若5AE =，2CE =，则BC 的长度为 6 ．【解析】过点B 作BF AD ⊥于点F ，延长DF 使FG EC =，连接BG ，//AD BC ，90D ∠=︒，90C D ∴∠=∠=︒，BF AD ⊥∴四边形CDFB 是矩形BC CD =∴四边形CDFB 是正方形CD BC DF BF ∴===，90CBF C BFG ∠=︒=∠=∠，BC BF =，90BFG C ∠=∠=︒，CE FG =()BCE BFG SAS ∴∆≅∆BE BG ∴=，CBE FBG ∠=∠45ABE ∠=︒，45CBE ABF ∴∠+∠=︒，45ABF FBG ABG ∴∠+∠=︒=∠ABG ABE ∴∠=∠，且AB AB =，BE BG =()ABE ABG SAS ∴∆≅∆5AE AG ∴==，523AF AG FG ∴=-=-=在Rt ADE ∆中，222AE AD DE =+，2225(3)(2)DF DF ∴=-+-，6DF ∴=6BC ∴=故答案为：6【变式10-2】（2018春•平定县期末）如图，已知正方形ABCD ，P 是对角线AC 上任意一点，PM AD ⊥，PN AB ⊥，垂足分别为点M 和N ，PE PB ⊥交AD 于点E ．（1）求证：四边形MANP 是正方形；（2）求证：EM BN =．【解析】证明：（1）四边形ABCD 是正方形，90DAB ∴∠=︒，AC 平分DAB ∠，（1分）PM AD ⊥，PN AB ⊥，90PMA PNA ∴∠=∠=︒，∴四边形MANP 是矩形，（2分） AC 平分DAB ∠，PM AD ⊥，PN AB ⊥，PM PN ∴=，∴四边形MANP 是正方形；（4分）（2）四边形ABCD 是正方形，PM PN ∴=，90MPN ∠=︒，90EPB ∠=︒，90MPE EPN NPB EPN ∴∠+∠=∠+∠=︒，MPE NPB ∴∠=∠，（5分）在EPM ∆和BPN ∆中，90PMA PNB PM PNMPE NPB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()EPM BPN ASA ∴∆≅∆，（6分）EM BN ∴=．（7分）【变式10-3】如图所示，有四个动点P ，Q ，E ，F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB ，BC ，CD ，DA 以同样速度向B ，C ，D ，A 各点移动．（1）试判断四边形PQEF 是否是正方形，并证明；（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由．【解析】（1）在正方形ABCD 中，AP BQ CE DF ===，AB BC CD DA ===， BP QC ED FA ∴===．又90BAD B BCD D ∠=∠=∠=∠=︒，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 AFP BPQ CQE DEF ∴∆≅∆≅∆≅∆． FP PQ QE EF ∴===，APF PQB ∠=∠． ∴四边形PQEF 是菱形， 90FPQ ∠=︒，∴四边形PQEF 为正方形．（2）连接AC 交PE 于O ，AP 平行且等于EC ， ∴四边形APCE 为平行四边形． O 为对角线AC 的中点， ∴对角线PE 总过AC 的中点．。

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