§定积分的应用习题与答案

第六章 定积分的应用

（A ）

1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2

2

1x y =与822=+y x （两部分都要计算）

2）x

y 1

=与直线x y =及2=x

3）x

e y =，x

e y -=与直线1=x

4）θρcos 2a =

5）t a x 3

cos =，t a y 3

sin =

１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的

面积

２、求对数螺线θ

ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积

３、求由曲线x y sin =和它在2

π=

x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕

x 轴旋转而成的旋转体的体积

４、由3

x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体

的体积

５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形

的立体体积

６、计算曲线()x y -=33

3

上对应于31≤≤x 的一段弧的长度

７、计算星形线t a x 3

cos =，t a y 3

sin =的全长

８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→

F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）

成正比，即：kS =→

F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功

９、一物体按规律3

ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0

=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功

１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？

１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边

与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力

１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处

有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力

(B)

1、设由抛物线()022

>=p px y 与直线p y x 2

3

=

+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积

2、求由抛物线2

x y =及x y =2

所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的

体积

3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2

π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴

旋转所成旋转体的体积

4、求抛物线px y 22

=及其在点⎪⎭

⎫

⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积

5、求曲线422

+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122

-=x y 所围成图形的面

积

6、求由抛物线ax y 42

=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值

7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积

1）θρcos 3=，θρcos 1+=

2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a

8、由曲线()1652

2

=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积

9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积

10、计算半立方抛物线()32

132

-=x y 被抛物线3

2x y =截得的一段弧的长度

(C)

1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=32H R H V π

2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭

⎫

⎝

⎛

≤

≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值

3、求曲线x y =

()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线

x y =所围成的平面图形的面积最小

4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？

第六章 定积分应用 习 题 答 案

（A ）

1、1）342+

π，346-π 2）2ln 23- 3）21

-+e

e 4）2

a π 5）28

3a π

2、2

3a π 3、()

π

π2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，5

64π 6、

3334R 7、3

4

32- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3

7

32

7

27a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=221

1t a a

Gmu F y 2

2t a a Gmu F x +-=λ

(B)