第15讲立体图形的综合运用

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高中立体几何

高中立体几何一、课程目标知识目标：1. 理解立体几何的基本概念，掌握点、线、面的位置关系和性质；2. 掌握立体图形的体积、表面积计算方法，并能运用到实际问题的解决中；3. 学会运用立体几何知识解决空间直线、平面与立体的交线问题。

技能目标：1. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；2. 提高学生运用立体几何知识解决实际问题的能力；3. 学会使用几何画板等工具进行立体图形的绘制和计算。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对立体几何学科的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队合作意识，学会在小组讨论中分享观点，倾听他人意见；3. 培养学生严谨、求实的科学态度，树立正确的空间观念。

课程性质分析：本课程为高中数学学科中的立体几何部分，旨在帮助学生建立空间观念，提高解决空间问题的能力。

学生特点分析：高中阶段的学生已经具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但空间想象能力尚需培养。

教学要求：1. 注重理论与实践相结合，让学生在实际操作中掌握立体几何知识；2. 采用启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；3. 关注学生个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。

二、教学内容1. 立体几何基本概念：点、线、面的位置关系与性质，立体图形的分类与性质；2. 立体图形的体积与表面积计算：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体的体积与表面积公式及应用；3. 空间直线与平面的交线问题：直线与平面、平面与平面的交线性质及判定；4. 空间角与距离：空间直线、平面之间的夹角，点到直线、平面的距离计算；5. 立体几何综合应用：运用立体几何知识解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

教学大纲安排：第一课时：立体几何基本概念及立体图形的分类与性质；第二课时：立体图形的体积与表面积计算；第三课时：空间直线与平面的交线问题；第四课时：空间角与距离的计算；第五课时：立体几何综合应用，布置相关练习题进行巩固。

15.【精品】小学数学几何精讲精析专题六立体图形-类型一正方体

专题六立体图形类型一正方体【知识讲解】一、正方体的认识：1. 特征：正方体有6个面，每个面都是正方形，所有的面都完全相同，有12条棱，所有的棱都相等，有8个顶点。

2. 正方体的棱长总和=棱长×12用字母表示：12a二、正方体表面积的计算1. 表面积：正方体6个面的总面积叫做它的表面积。

2. 正方体的表面积=棱长×棱长×6用字母表示：S=6a2三、正方体体积的计算1. 物体所占空间的大小叫做物体的体积。

2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长或底面积×高用字母表示： V= a3 或Sh【典例精讲】计算下面图形的表面积和体积。

【答案】表面积是54平方分米，体积是27立方分米．【解析】根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长，表面积=棱长×棱长×6，列式计算即可。

解：3×3×6=54（平方分米）；3×3×3=27（立方分米）；答：正方体的表面积是54平方分米，体积是27立方分米。

【点评】此题主要考查正方体的表面积和体积公式及其计算。

【巩固练习】一、选择题。

1．下列图形中，（）是正方体的展开图。

2．正方体的棱长扩大3倍，则体积扩大（）倍。

A.2B.4C.27D.83．一个正方体每个面的面积都是9cm2，它的棱长是（）cm。

A．9 B．54 C．34．一个正方体的棱长总和是96dm，它的表面积是（）dm2。

A．384 B．1536 C．9516 D．5125．一个正方体的棱长是6dm，它的表面积和体积相比较，（）A．体积大 B．表面积大 C．同样大 D．无法比较6．用棱长2厘米的正方体木块拼成一个较大的正方体，至少需要（）块。

A.4B.8C.9D.647．把一个棱长为6分米的正方体切成棱长为2分米的小正方体，可以得到（）小正方体。

A．27个 B．81个 C．9个8．如图是几个相同小正方体拼成的大正方体，由AB向C点斜切，没被切掉的小正方体有（）个。

《生活中的立体图形》教案设计范文

《生活中的立体图形》教案设计范文一、教学目标：知识与技能：1. 学生能够识别和命名常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体和球体。

2. 学生能够理解立体图形的特征和属性，如面、边、角等。

3. 学生能够运用立体图形的知识解决实际生活中的问题。

过程与方法：1. 学生通过观察、比较和操作立体模型，培养空间想象能力和动手能力。

2. 学生通过小组合作和讨论，培养团队协作能力和解决问题的能力。

情感态度价值观：1. 学生能够体验到数学与生活的紧密联系，增强对数学的兴趣和信心。

2. 学生能够培养空间思维能力，提高创新意识和创造力。

二、教学内容：本节课主要内容是立体图形的认识。

教师会引导学生观察生活中常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体和球体。

教师会向学生介绍这些立体图形的特征和属性，如面、边、角等。

教师会组织学生进行小组合作，让学生通过观察、比较和操作立体模型，培养空间想象能力和动手能力。

教师会通过实例讲解如何运用立体图形的知识解决实际生活中的问题。

三、教学重点与难点：重点：1. 学生能够识别和命名常见的立体图形。

2. 学生能够理解立体图形的特征和属性。

难点：1. 学生能够运用立体图形的知识解决实际生活中的问题。

2. 学生能够培养空间想象能力和动手能力。

四、教学方法与手段：教学方法：1. 观察法：学生通过观察生活中常见的立体图形，培养空间想象能力。

2. 操作法：学生通过动手操作立体模型，培养动手能力。

3. 小组合作法：学生通过小组合作和讨论，培养团队协作能力和解决问题的能力。

教学手段：1. 实物模型：教师准备各种立体模型，帮助学生直观地认识立体图形。

2. 多媒体课件：教师使用多媒体课件，展示立体图形的图片和动画，增强学生的学习兴趣。

五、教学过程：1. 导入新课：教师通过展示生活中常见的立体图形，如魔方、可乐瓶、篮球等，引起学生对立体图形的兴趣，并提问学生是否知道这些图形的名称和特征。

2. 自主探究：学生通过观察和操作立体模型，自主探究立体图形的特征和属性。

《仁华学校奥林匹克数学课本(小学一年级)》

《仁华学校奥林匹克数学课本(小学一年级)》
上册
第1讲认识图形（一）
第2讲认识图形（二）
第3讲认识图形（三）
第4讲数一数（一）
第5讲数一数（二）
第6讲动手画画
第7讲摆摆看看
第8讲做做想想
第9讲区分图形
第10讲立体平面展开
第11讲做立体模型
第12讲图形的整体与部分
第13讲折叠描痕法
第14讲多个图形的组拼
第15讲一个图形的等积变换
第16讲一个图形的等份分划
第17讲发现图形的变化规律
下册
第1讲速算与巧算（一）
第2讲速算与巧算（二）
第3讲数数与计数（一）
第4讲数数与计数（二）
第5讲数数与计数（三）
第6讲数数与计数（四）
第7讲填图与拆数（一）
第8讲填图与拆数（二）
第9讲分组与组式
第10讲自然数串趣题
第11讲不等与排序
第12讲奇与偶
第13讲是与非
第14讲火柴棍游戏（一）
第15讲火柴棍游戏（二）
第16讲火柴棍游戏（三）
附录
第1讲点、线、角
第2讲长方形、正方形、三解形、角
第3讲多边形、扇形
第4讲立体图形的认识。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解15 图形的初步认识(解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题15 图形的基本认识【知识要点】考点知识一立体图形⏹立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

⏹平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等【立体图形和平面的区别】1、所含平面数量不同。

平面图形是存在于一个平面上的图形。

立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。

2、性质不同。

根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的，而立体图形是由不同的平面图形构成的。

由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。

3、观察角度不同。

平面图形只能从一个角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。

4、具有属性不同。

平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性。

立方体图形平面展开图三视图及展开图三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。

考察点：（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。

（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

展开图：正方体展开图（难点）。

正方体展开图口诀（共计11种）：“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,“三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。

⏹点、线、面、体几何图形的组成：点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。

考点知识二直线、射线、线段⏹直线、射线、线段的区别与联系：【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量。

经过若干点画直线数量：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。

一年级数学认识立体图形优秀课件

一年级数学认识立体图形优秀课件一、教学内容本节课选自一年级数学下册第五章《认识立体图形》。

具体内容包括：了解立体图形的基本概念，掌握正方体、长方体、圆柱体和球体等常见立体图形的特征，并学会对这些图形进行分类。

二、教学目标1. 让学生了解立体图形的概念，认识到生活中的立体图形无处不在。

2. 使学生掌握正方体、长方体、圆柱体和球体等立体图形的特征，并能进行分类。

3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和空间想象力。

三、教学难点与重点教学难点：立体图形的分类和特征的理解。

教学重点：正方体、长方体、圆柱体和球体等立体图形的认识。

四、教具与学具准备教具：正方体、长方体、圆柱体和球体的模型，多媒体课件。

学具：学生分组准备正方体、长方体、圆柱体和球体的模型，彩色笔，剪刀，胶水等。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的立体图形，如箱子、篮球、饮料罐等，引导学生观察并说出这些图形的名称。

2. 例题讲解（15分钟）通过讲解正方体、长方体、圆柱体和球体等立体图形的特征，让学生了解这些图形的名称和特点。

3. 随堂练习（10分钟）让学生分组讨论，根据所学知识对立体图形进行分类，并在黑板上展示分类结果。

4. 动手操作（15分钟）学生分组利用学具进行实践活动，如制作立体图形模型，加深对立体图形的理解。

六、板书设计1. 板书认识立体图形2. 内容：立体图形的概念正方体、长方体、圆柱体和球体的特征立体图形的分类方法七、作业设计（1）一个长方体，长10厘米，宽5厘米，高3厘米。

（2）一个正方体，边长为4厘米。

（3）一个圆柱体，底面直径为6厘米，高8厘米。

（4）一个球体，半径为3厘米。

2. 答案：（1）画出的长方体图形需符合题目描述的长、宽、高尺寸。

（2）画出的正方体图形边长为4厘米。

（3）画出的圆柱体图形底面直径为6厘米，高8厘米。

（4）画出的球体半径为3厘米。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：通过本节课的教学，教师应反思教学过程中学生的参与度、教学难点的讲解是否到位以及学生对立体图形的认识程度。

初二第15讲八年级上数学期末测试卷

（第3题）（第6题）A B C D八年级上数学期末测试试题卷(考试时间100分钟，满分120分)一、选择题（每题3分，共30分）1．要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取30台电视机进行试验，在这个问题中，30是（ ▲ ） A ．个体 B ．总体 C ．样本容量 D ．总体中的一个样本 2．如图，AB 、CD 相交于点O ，∠1=80º，如果DE ∥AB ，那么∠D 为（ ▲ ） A ．80º B ．90º C ．100º D ．110º3．若图示的两架天平都保持平衡，则对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确．．的是（ ▲ ） A ．a c > B ． C ．a b < D ．b c <4. 一个等腰三角形的一个外角等于110，则这个三角形的底角为（ ▲ ） A ．55 B ．70 C ．55或40 D ．70或55 5．在平面直角坐标系中，若点P （m -3，m +1）在第二象限，则m 的取值范围为（ ▲ ） A ．31<<-m B ．3>m C ．1-<m D ．1->m6．如图所示的图形是由7个完全相同的小立方体组成的立体图形，则下面四个视图中不是这个立体图形的三视图的是（ ▲ ）7．如右上图所示，AB ∥CD ，AC 与BD 交于点O ，则图中面积相等．．．．的三角形有（ ▲ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对8．已知一次函数(2)(1)y m x m =++-中，y 随x 的增大而减小，且该函数图象与y 轴的交点在x 轴上方，则m 的取值范围是（ ▲ ）A ．2m >-B ．C ．21m -<<D ．2m <-9. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 的长为（ ▲ ） A ．B ．C ．125D ．16510．如图是由3个大小相同的正方形拼成的图形，一动点P 从点A 出发沿着A →B →C →D →E 方向匀速运动，（第2题）O A BDEC1OABDC （第7题）AMNCB第9题图xy O A B（第13题）最后到达点E .则运动过程中△PEF 的面积 s 随时间t 变化的图象大致是（ ▲ ）二、填空题（每题4分，共24分）11．已知一组样本数据的方差2222121[(25)(25)(25)]ns x x x n=-+-+⋅⋅⋅-，则这个样本的平均数为____. 12. 定义某种运算：(),b a a b a >=⊗若,12321=-⊗x 则x的取值范围是 ▲ . 13．如图，Rt △BAO 的直角边OA 在y 轴上，点B 在第一象限内，OA=3，AB=1，若将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转90º，则点B 的对应点的坐标是 ▲ ．14．如图，把边长为2的等边△ABC 绕着C 点顺时针旋转至△DCE 的位置，且点B 、C 、E 在同一直线上，则△ABC 旋转的角度是 ▲ ；B 、D 间的距离为 ▲ ．15．直线b x k y l +=11:与直线xk y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21<+的解集为__ _▲ __． 16．如图，把矩形纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ，若6=CD ，则AF = ▲ ．三、耐心解一解（本题有8小题，共66分）17.（第1小题3分，第2小题3分，共6分）解下列不等式（组），并把第（2）题的解集表示在数轴上．（1）91212+-≥-⎪⎭⎫⎝⎛+x x （2）205121123x x x ->⎧⎪+-⎨+⎪⎩≥18.（本题6分）线段AB 的两个端点的坐标为A （m ，2），B （3，5），将线段AB 平移后得线段A B ''，其FED ABC（第16题）EC ABD（第14题）l2l1xy O3-1（第15题）（第10题）CA DBEFP A 。

2020-2021人教版五年级数学下第十五讲期末复习—图形与几何基础版

人教版五年级数学下第15讲期末练习—图形与几何基础篇知识点一..求长方形和正方形的周长和面积知识点二：观察物体（1）从不同方向观察同一立体图形的形状要想画出观察到的图形，必须学会想象，建立空间观念，或者把图形分成几部分来逐一画出。

（2）根据给定的平面图形的形状还原立体图形，确定搭成这个立体图形所需要的小正方体的数量范围根据给定的平面图形确定搭成这个立体图形的形状时,可以通过动手操作的方法进行验证。

知识点三：作物体的三视图三视图怎么看： 1．从正面看，为主视图2．从侧面看，为左视图3．从上面看，为俯视图展开图为空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形．综合练习一．选择题（共12小题）1．（2020春•阳信县期末）能围成长方形的是（）A．B．C．2．（2020春•仪征市期末）用如图的4根小棒可以围成一个长方形，还可以围成一个（）A．平行四边形B．正方形C．梯形D．等腰梯形3．（2020秋•龙口市期中）一个大正方体的底面积是另一个小正方体底面积的3倍，那大正方体的表面积是小正方体的表面积的（）倍。

A．3B．6C．9D．18 4．（2020•浑南区）把两个棱长都是10cm的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了（）cm2．A．100B．200C．4005．（2020•古冶区）如图中，甲的表面积（）乙的表面积．A．大于B．小于C．等于D．不能确定6．（2020春•高邑县期中）一根长方体木料长2米，宽和高都是2分米，把它锯成3段，表面积至少增加（）平方分米．A．12B．16C．24D．367．（2019春•武安市期末）把一个长方体分成几个小长方体后，表面积（）A．不变B．比原来大了C．比原来小了8．（2020秋•桓台县期中）一个汽车油箱正好能装60L汽油，那么这个油箱的（）是60L。

A．体积B．表面积C．容积9．（2020春•二七区校级月考）一个长方体的体积是100立方厘米，已知它的长是10厘米，宽是2厘米，则高是（）厘米．A．3B．4C．5D．6 10．（2020•合肥模拟）一团橡皮泥，妙想第一次把它捏成长方体，第二次把它捏成正方体．捏成的两个物体体积（）A．长方体大B．正方体大C．一样大D．无法确定11．（2020春•英山县期末）一个长方体的长、宽、高都扩大5倍，它的体积扩大（）倍．A．5B．25C．12512．（2019•成都）如图是一个装满1立方厘米大小立方体的盒子．这个盒子的体积是（）立方厘米．A．30B．24C．120D．150二．填空题（共8小题）13．（2020秋•苏州期末）长方形邻边互相，对边互相．14．（2020秋•前郭县期末）长方形有个角，每个角都是角．15．（2020春•灯塔市期末）如图中正方形被挡住的角是角．16．（2020秋•苏州期末）如图是一个长方体．（单位：cm）①面的个数+顶点的个数﹣＝棱的条数②它的表面积是cm2．17．（2020•蓬溪县）一个正方体的棱长为2厘米，棱长扩大到原来的3倍后，它的表面积增加了平方厘米．18．（2020春•陕州区期末）如图，用3个体积是1cm3的正方体拼成一个长方体．这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积和减少了cm2．19．（2019秋•高淳区期末）小军在一个无盖的长方体玻璃容器内摆了一些棱长1分米的小正方体（如图）．做这个玻璃容器至少要用玻璃平方分米，它的容积是立方分米．（玻璃的厚度忽略不计）20．（2019春•天河区期末）小强家的书房长5米、宽4米、高3米．要在书房四面的墙壁和房顶都贴上墙纸，除去门窗面积6.5平方米，这个房间至少需要贴墙纸平方米．三．判断题（共4小题）21．（2020秋•延津县期末）在中，长方形有3个。

人教新课标一年级上册数学《1认识立体图形》教案

人教新课标一年级上册数学《1认识立体图形》教案一. 教材分析《1认识立体图形》是人教新课标一年级上册数学的一节课。

本节课主要让学生初步认识立体图形，包括正方体、长方体、圆柱和球。

通过观察、触摸和操作，使学生感知立体图形的特点，培养学生的空间观念。

教材内容丰富，通过生活中的实物和图片，让学生在实践中学习，提高学生的学习兴趣。

二. 学情分析一年级的学生刚刚开始学习数学，对于立体图形可能比较陌生。

但是，他们已经具备了一定的观察能力和动手操作能力。

在学习本节课的内容时，学生需要通过观察、触摸和操作来理解立体图形的特点。

同时，学生在生活中已经接触过一些立体图形，如玩具、家具等，这为学习本节课的内容奠定了基础。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够识别正方体、长方体、圆柱和球等立体图形，了解它们的特点。

2.过程与方法：通过观察、触摸和操作，培养学生的空间观念，提高学生的观察能力和动手操作能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：学生能够识别正方体、长方体、圆柱和球等立体图形。

2.难点：学生能够理解立体图形的特点，培养空间观念。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实物和图片，让学生在实践中学习，提高学生的学习兴趣。

2.游戏教学法：采用游戏的形式，让学生在轻松愉快的氛围中学习，提高学生的学习积极性。

3.直观教学法：利用教具和学具，让学生观察、触摸和操作，培养学生的空间观念。

六. 教学准备1.教具：正方体、长方体、圆柱和球等立体图形模型。

2.学具：每个学生准备一个正方体、一个长方体、一个圆柱和一个球。

3.课件：与本节课内容相关的图片和动画。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生展示各种立体图形的生活实物和图片，引导学生观察和思考：这些物体是什么形状的？它们有什么特点？2.呈现（10分钟）教师向学生介绍正方体、长方体、圆柱和球等立体图形的定义和特点，让学生通过观察、触摸和操作，加深对立体图形的特点的理解。

六年级下册数学教案-第六单元图形的运用第15课时｜人教新课标

六年级下册数学教案第六单元图形的运用第15课时｜人教新课标教学目标1. 理解并掌握图形的运用在实际生活中的重要性。

2. 学会使用图形进行问题的分析和解决。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

教学内容1. 图形的分类和性质2. 图形的变换3. 图形在实际生活中的应用教学方法1. 讲授法2. 演示法3. 实践法教学步骤1. 引入新课- 向学生介绍图形的运用在实际生活中的重要性。

- 引导学生思考图形在生活中的应用。

2. 图形的分类和性质- 讲解图形的分类，如三角形、四边形、圆形等。

- 讲解图形的性质，如面积、周长等。

3. 图形的变换- 讲解图形的变换，如平移、旋转等。

- 通过示例，展示图形变换的效果。

4. 图形在实际生活中的应用- 讲解图形在实际生活中的应用，如建筑设计、地图制作等。

- 通过实例，让学生理解图形的应用。

5. 练习和讨论- 让学生进行图形的分类和性质的练习。

- 让学生进行图形变换的练习。

- 让学生讨论图形在实际生活中的应用。

6. 总结和作业- 对本节课的内容进行总结。

- 布置相关的作业，巩固所学知识。

教学评估1. 学生对图形的分类和性质的理解程度。

2. 学生对图形变换的掌握程度。

3. 学生对图形在实际生活中应用的了解程度。

教学反思1. 教师需要关注学生对图形的理解程度，及时进行解答和指导。

2. 教师需要通过实例，让学生更好地理解图形的运用。

3. 教师需要鼓励学生进行思考和讨论，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

教学资源1. 教材2. 多媒体设备3. 实物模型教学注意事项1. 教师需要关注学生的学习情况，及时进行解答和指导。

2. 教师需要鼓励学生进行思考和讨论，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3. 教师需要确保教学内容的准确性和科学性。

教学效果1. 学生能够理解并掌握图形的分类和性质。

2. 学生能够掌握图形的变换。

3. 学生能够了解图形在实际生活中的应用。

教学拓展1. 可以让学生进行图形的制作，如制作三角形、四边形等。

立体几何综合应用

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课前热身
1.一个立方体的六个面上分别标有字母 A、B、C、D、 F，下图是此立方体的两种不同放置，则与 D 面相对的面上的字母是 ( B )
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2. 棱长为1的正方体容器ABCD－A1B1C1D1 ,
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4.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM∥ED；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角； ④DM⊥BN 以上四个命题中正确的序号是 ( D ) (A)①②③ (B)②④ (C)②③④ 育网 -
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（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．
2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、 F 分别是棱 AB 与 BC 的中点， (1) 求二面角 B-FB1-E 的大小； (2) 求点 D 到平面 B1EF 的距离； (3) 在棱 DD1 上能否找一点 M，使 BM⊥平面EFB1.若能，试确定点M的位置，若不能，请说明理由.
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3.四面体的一条棱长是x，其他各条棱长为1.(1)把四面体的体积V表示为x的函数f(x); (2)求f(x)的值域； (3)求f(x)的单调区间.
【解题回顾】本题(1)也可以用V=VB-SAD+VC-SAD求体积，
(2)也可以对根号里的x2·(3-x2)求导得最大值， (3)

数学思维训练三年级第14-15讲学生版

第14讲几何图形的认知内容概述认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形剪拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力。

典型问题兴趣篇1. 根据图14-1中的几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形：2. 如图14-2，数一数，图中共有多少个角？3. 如图14-3，将一个边长为4厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形。

请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米/4. 用12个边长为1的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？5. 用7根长度都是1寸的火柴棍拼成了一个三角形。

请问：这个三角形的三条边长分别是多少？6. 有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为3厘米、4厘米和5厘米。

不许折叠，用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形？7. 图14-4中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？8. 图14-5的金字塔和图14-6的正八面体各有几条棱，几个面？9. 一个正方体的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母，请你根据图14-7的三种摆放情况，判断每个字母的对面是什么？10. 如图14-8，在一个正方体的表面上写着1至6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6。

现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图14-9所示。

如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？拓展篇1. 如图14-10，数一数，图中共有多少个直角？多少个锐角？多少个钝角？2. 如图14-11，数一数，图中共有多少个正方形？3. 用两个完全相同的、各边长分别为5、12、13的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的（1）等腰三角形？（2）平行四边形？4. 如图14-12，有一张长方形纸片，长为2，宽为1，A点是长边上的中点。

沿着图中虚线将这张纸片剪成两块，再将这两块重新组合（不能重叠），可以拼成哪些你熟悉的图形？请将它们画出来。

六年级奥数训练第15讲几何综合二

六年级奥数训练第15讲几何综合二内容概述综合运用各种方法处理具有相当难度的几何问题．掌握几何变换的初步技巧，例如平移、翻转、旋转等，必要时可利用辅助线进行分析．典型问题兴趣篇1．图15-1中有半径分别为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆，A部分（即两小圆重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？大多少？2．如图15-2，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为10厘米．求阴影部分的面积．（л取3.14）3．如图15-3，大正方形中有三个小正方形，右上角正方形的面积为27，左下角正方形的面积为12，中间阴影正方形的2个顶点分别位于右上角和左下角正方形的中心．请问：中间阴影正方形的面积是多少？4．如图15-4，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积2．请问：阴影部分的分别为10与12.已知梯形的上底长度是下底的3总面积是多少？5．图15-5是由一个边长为2厘米的正方形和一个长为5厘米的长方形拼成的，线段MN把它们各分成两部分，已知A、B两块的面积和是C、D两块面积和的1.5倍．请问：长方形的宽是多少厘米？6．图15-6中四边形ABCD为平行四边形，三角形MAB的面积为11平方厘米，三角形MCD的面积为5平方厘米．请问：平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？7．如图15-7，一张边长为18厘米的正方形纸片，从距离四角5厘米处，用剪刀剪出450的角度，纸片中间会形成一个小正方形，这个小正方形的面积是多少平方厘米？8．如图15-8所示，平行四边形ABED与平行四边形AFCD的面积都是30平方厘米．其中AF垂直于ED，AO、OD、AD分别长3、4、5厘米．求三角形OEF的面积和周长．9．如图15-9．ABCD是直角梯形，AB =4，AD =5，DE =3.求： (1)三角形OBC的面积；(2)梯形ABCD的面积．10．有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摆成如图15-10所示的形状．已知相邻的积木颜色不同（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），标有A的积木为黑色．图中共有黑色积木多少块？拓展篇1．如图15-11，正方形ABCD的面积是64平方厘米，E、F分别为所在半圆弧的中点．求阴影部分的面积．（л取3.14）2．图15-12中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（л取3.14）3．如图15-13，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米、5厘米．求这个六边形的周长．4．如图15 -14，在长方形ABCD中，AB= 30厘米，BC= 40厘米，P 为BC上一点，PQ垂直于AC，PR垂直于BD.求PQ与PR的长度之和．5．如图15-15，八边形的8个内角都是135°，已知AB=EF，BC=20，DE=10，FG= 30，求AH的长度．6．如图15-16，已知CD=5，DE =7，EF= 15，FG =6.直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65.请问：三角形ADG的面积是多少？7．如图15-17所示，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为13．请问：三角形PBD的面积是多少？8．如图15-18，四边形ABCD是一个长方形，AC是对角线，试比较两块阴影区域S1，与S2的面积大小.9．如图15-19所示，一块半径为2厘米的圆板，从位置①起始，依次沿线段AB、BC、CD滚到位置②．如果AB、BC、CD的长都是20厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？(л取3.14，答案保留两位小数．)10．如图15-20，有一块长5厘米，宽3厘米的长方形木盘，先从某个顶点处沿45。

人教版小学数学一年级上册4.1《认识立体图形》教学设计

人教版小学数学一年级上册4.1《认识立体图形》教学设计一. 教材分析《认识立体图形》是小学数学一年级上册的一节重要内容，主要让学生初步认识常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱和球。

通过本节课的学习，学生可以直观地了解立体图形的特点，为今后的几何学习打下基础。

二. 学情分析一年级的学生空间想象力较强，但对立体图形的认识尚浅。

他们在生活中接触到各种立体物体，但未必能准确地表达出它们的特点。

因此，在教学过程中，教师需要充分利用学生的生活经验，引导他们观察、操作、比较和分类，从而提高他们对立体图形的认识。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能识别和说出常见立体图形的名称，了解它们的特点。

2.过程与方法：学生通过观察、操作、比较和分类，培养空间想象力，提高解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生体验数学与生活的联系，激发学习兴趣，培养合作意识。

四. 教学重难点1.重点：学生能识别和说出常见立体图形的名称，了解它们的特点。

2.难点：学生能运用立体图形的特点，解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：教师创设生活情境，引导学生观察和操作立体图形。

2.游戏教学法：教师设计趣味游戏，让学生在游戏中认识和巩固立体图形。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，培养团队协作能力。

六. 教学准备1.教具：正方体、长方体、圆柱和球等立体模型。

2.学具：每个学生准备一个正方体模型，其他立体图形模型若干。

3.课件：立体图形的图片和动画。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过课件展示各种立体图形，引导学生观察并猜测它们的名称。

然后，教师揭晓答案，并简要介绍立体图形的特点。

2.呈现（10分钟）教师拿出准备好的立体模型，让学生近距离观察和触摸。

学生分组讨论，总结出每种立体图形的特点。

教师进行点评，总结规律。

3.操练（10分钟）教师设计趣味游戏，让学生在游戏中认识和巩固立体图形。

例如，教师说出一个立体图形的名称，学生要迅速找到相应的模型。

立体图形的初步认识,一年级上册,第15课时

第四单元认识图形（一）第15课时立体图形的初步认识学习内容课本第34～35页，第37页练习八第1～5题。

学习目标直观认识长方体、正方体、圆柱和球等4种立体图形，能够辨认和区别这些图形，直观感受各种图形的特征。

课文讲解儿童在很小的时候就开始接触各种形状的物体。

因此，他们已经有了较多的关于形状的感知方面的经验。

上小学后，随着儿童思维能力的提高，需要将这种感性经验进一步抽象化，形成简单的几何概念，发展初步的空间观念。

任何一个物体都具有一些基本特征，如形状、大小、颜色、材料等。

有研究表明，形状是物体的一个主要特征。

儿童在感知熟悉的物体时，首先注意的就是物体的形状。

儿童的形状知觉在出生不久即已出现，随着年龄的增长和知识经验的增加而逐步发展。

形状知觉是物体知觉的组成部分，是儿童认识物质世界的重要途径，对丰富儿童的知识经验有重要意义。

发展儿童的形状知觉，有利于增进儿童对所处环境的认识，并为将来学习几何知识打下良好的基础。

形状知觉是对物体的轮廓及各部分组合关系的知觉，它在儿童对物体的感知中常常发挥着主导作用。

儿童对形状的知觉是通过视觉、触觉和运动觉的协同活动来完成的。

课文第34页，图上画有纸币盒、墨水盒、魔方、易拉罐、笔筒、足球、橄榄球等孩子熟悉的实物图，共16种物体，其中一些是直柱体，一些不是直柱体，如橄榄球、漏斗。

图中的小男孩提出一个要求：把形状相同的放在一起。

接着，把15种直柱体分成5类，其中4类为学习内容即长方体、正方体、圆柱和球，剩下的物体不予命名。

每一类立体图形中，画有一个标准图形和几个分类出来的图形。

最后，课文还提了一个问题：你身边哪些物体是上面这些形状的？引导孩子把学到的数学知识与生活实际联系起来，哪些是正方体，哪些是圆柱，哪些是球形？“做一做”。

第1题，通过滚圆柱、推方体、摸球、转球等活动。

第2题，游戏活动。

让孩子在看不见实物的情况下，按指定的图形名称摸实物。

让孩子利用视觉、触觉、运动觉等的协同作用，初步了解4种立体图形的特征，感受平面和曲面的区别。

第15讲展开与折叠、命题与定理、尺规作图

)
D
识别命题真假的方法:(1)要说明一个命题是真命题,需要推理与证明,推理的依据可以是定义、公
式、基本事实与定理等;(2)要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
[变式3](2022梧州)下列命题中,是假命题的是(
A)
A.-2的绝对值是-2
B.对顶角相等
C.平行四边形是中心对称图形
D.如果直线a∥c,b∥c,那么直线a∥b
A)
形.下列作法不正确的是(
A
B
C
D
7.以下四个命题:
①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分;
②A,B,C,D,E,F六个足球队进行单循环赛,若A,B,C,D,E分别赛了5,4,3,2,1场,
则由此可知,还没有与B队比赛的球队一定是D队;
③两个正六边形一定位似;
④有13人参加捐款,其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元,则小王的捐款数不可能最少,但可
函数的图象经过点(3,0);命题③:该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧;命题④:该函数的图象的
对称轴为直线x=1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题,则这个假命题是(
A.命题①
)A
B.命题②
C.命题③D.命题④
10.(2022无锡)请写出命题“如果a>b,那么b-a<0”的逆命题: 如果b-a<0,那么a>b
第15讲
知识点一
展开与折叠、命题与定
理、尺规作图
立体图形的展开与折叠
1. 常见的几何体
常见的几何体有正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、
球等 .
2.圆柱、圆锥与三棱柱的展开图
几何体
展开图
两个相等的圆和一个

第15讲解答题立体几何折叠问题(解析版)

第15讲立体几何折叠问题1．如图，矩形ABCD 中，24AD AB ==，E 为BC 的中点，现将BAE ∆与DCE ∆折起，使得平面BAE 及平面DEC 都与平面ADE 垂直．（1）求证：//BC 平面ADE ；（2）求二面角A BE C --的余弦值．【解答】解：（1）证明：分别取AE ，DE 的中点M ，N ，连结BM ，CN ，MN ，则BM AE ⊥，CN DE ⊥，平面BAE 与平面DEC 都与平面ADE 垂直， BM ∴⊥平面ADE ，CN ⊥平面ADE ，由线面垂直的性质定理得//BM CN ，BM CN =，∴四边形BCNM 是平行四边形，//BC MN ∴， BC ⊂/平面ADE ，//BC ∴平面ADE ．（2）解：如图，以E 为原点，ED ，EA 为x ，y 正半轴，过E 作平面ADE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B ，C ，平面ABE 的法向量(1n =，0，0)，设平面CBE 的法向量(m x =，y ，)z ，则2020EB m y EC m x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1m =，1，1)-，设二面角A BE C --的平面角为θ，由图知θ为钝角，||1cos ||||3m n m n θ∴=-=-=∴二面角A BE C --的余弦值为．2．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，且24BC AD ==，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD EC ⊥，求二面角F BD C --的余弦值．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， //EF AD ∴，AE EF ∴⊥，又AE CF ⊥，且EF CF F =，AE ∴⊥平面EBCF ， AE ⊂平面AEFD ，∴平面AEFD ⊥平面EBCF ．（2）解：由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直，故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE m =，则(0E ，0，0)，(0A ，0，)m ，(B m ，0，0)， (0F ，3，0)，(C m ，4，0)，(0D ，2，)m ，∴(BD m =-，2，)m ，(,4,0)EC m =，DB EC ⊥，280m ∴-+=，22m ∴=∴(22BD =-，2，2)，(22,3,0)FB =-，(0,4,0)CB =-，设面DBF 的法向量为(,,)m x y z =，则00m BD m FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222202230x y z x y ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩，令4y =可得：(32m =，42)，同理可得平面CDB 的法向量为(1,0,1)n =， 422cos ,||||362m n m n m n ⋅∴<>===⨯．由图形可知二面角F BD C --为锐角，∴二面角F BD C --的余弦值为23．3．如图1，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，现把平行四边形111ABB A 沿1CC 折起如图2所示，连接1B C 、1B A 、11B A ．（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若16AB =11C AB A --的正弦值．【解答】证明：（1）取1CC 的中点O ，连接OA ，1OB ，1AC ，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点， 1ACC ∴∆，1BCC ∆为正三角形，则1AO CC ⊥，11OB CC ⊥，又1AOOB O =，1CC ∴⊥平面1OAB ，1AB ⊂平面1OAB 11AB CC ∴⊥；4⋯分（2）160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，2AC ∴=，13OA OB ==16AB =22211OA OB AB +=，则三角形1AOB 为直角三角形，则1AO OB ⊥，6⋯分以O 为原点，以OC ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(1C ，0，0)，1(0B ，30)，1(1C -，0，0)，(0A ，0，3)，则1(2,0,0)CC =- 则11(2,0,0)AA CC ==-，1(0AB =33)-，(1AC =，0，3)-，设平面1AB C 的法向量为(,,)n x y z =，则133030n AB y z n AC x z ⎧==⎪⎨==⎪⎩，令1z =，则1y =，3x =(3,1,1)n =，设平面11A B A 的法向量为(,,)m x y z =，则1120330m AA x m AB y z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，令1z =，则0x =，1y =，即(0,1,1)m =，8⋯分则10cos ,105m n <>=分 ∴二面角11C AB A --15．12⋯分．4．如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，,3,15,33BE AD BC AD BE ⊥===把ABE ∆沿BE 折起，使得62AC =得到四棱锥A BCDE -．如图2所示．（1）求证：面ACE ⊥面ABD ；（2）求平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）在等腰梯形ABCD 中3BC =，15AD =，BE AD ⊥，可知6AE =，9DE =．因为3,33,BC BE BE AD ==⊥，可得6CE =．又因为6,62AE AC ==，即222AC CE AE =+，则AE EC ⊥．又BE AE ⊥，BEEC E =，可得AE ⊥面BCDE ，故AE BD ⊥．又因为tan 333DE DBE BE ∠===，则60DBE ∠=︒，3tan 33BC BEC BE ∠===，则30BEC ∠=︒，所以CE BD ⊥，又AE EC E =，所以BD ⊥面ACE ，又BD ⊂面ABD ，所以面ABD ⊥面ACE ；解：（2）设ECBD O =，过点O 作//OF AE 交AC 于点F ，以点O 为原点，以OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O BCF -．在BCE ∆中，30BEO ∠=︒，BO EO ⊥，∴9333,,22EO CO BO ===2339((0,,0),(0,,0)22B C E -，1//,,62FO AE FO AE AE ==，3FO ∴=，则9(0,0,3),(0,,6)2F A -，//DE BC ，9DE =，∴3ED BC =，∴93(D ，∴339933(,,0),(0,0,6),(0,6,6),(,0)2222BE AE CA CD ===-=--，设平面ABE 的法向量为1111(,,)n x y z =，由1111160339022n AE z n BE y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，取13x =ABE 的法向量为1(3,1,0)n =-，设平面ACD 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，由222222660933022n CA y z n CD y ⎧=-+=⎪⎨=--=⎪⎩，取21x =，可得平面ABE 的一个法向量为2(1n =，33-，33)-．设平面ABE 与平面ACD所成锐二面角为θ，则1212||432165cos ||||255n n n n θ===，所以平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值为21655．如图1，菱形ABCD 的边长为12，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于O 点．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，62DM = （Ⅰ）求证：平面ODM ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角M AD C --的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）ABCD 是菱形， AD DC ∴=，OD AC ⊥，ADC ∆中，12AD DC ==，120ADC ∠=︒， 6OD ∴=，又M 是BC 中点，∴16,622OM AB MD === 222OD OM MD +=，DO OM ∴⊥，OM ，AC ⊂面ABC ，OM AC O =，OD ∴⊥面ABC ，又OD ⊂平面ODM ，∴平面ODM ⊥平面ABC ．⋯（6分）解：（Ⅱ）由题意，OD OC ⊥，OB OC ⊥，又由（Ⅰ）知OB OD ⊥，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：(6,0,0),(0,63,0),(0,33,3)D A M - 故(0,93,3),(6,63,0)AM AD ==，设平面MAD 的法向量(,,)m x y z =，则00m AM m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即93306630y z x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令3y =-3x =，9z = ∴(3,3,9)m =-由条件知OB ⊥平面ACD ，故取平面ACD 的法向量为(0,0,1)n = 所以，393cos ,||||31m n m n m n 〈〉==由图知二面角M AD C --为锐二面角，故二面角M AD C --393（12分）6．如图1，已知在菱形ABCD 中，120B ∠=︒，E 为AB 的中点，现将四边形EBCD 沿DE 折起至EBHD ，如图2．（1）求证：DE ⊥面ABE ；（2）若二面角A DE H --的大小为23π，求平面ABH 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：四边形ABCD 为菱形，且120B ∠=︒， ABD ∴∆为正三角形， E 为AB 的中点，DE AE ∴⊥，DE BE ⊥， DE ∴⊥面ABE ；（2）解：以点E 为坐标原点，分别以线段ED ，EA 所在直线为x ，y 轴，再以过点E 且垂直于平面ADE 且向上的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示．DE ⊥面ABE ，AEB ∴∠为二面角A DE H --的一个平面角，则23AEB π∠=，设1AE =，则(0E ，0，0)，(0A ，1，0)，(0B ，12-3)，(3D 0，0)，由2DH EB =，得(3,3)H -，∴33(0,2AB =-，(3,3)AH =-，设平面ABH 的法向量为(,,)n x y z =，则33023230n AB y n AH x y z ⎧=-+=⎪⎨⎪=-=⎩，令3y =，得(1,3,3)n =-．而平面ADE 的一个法向量为(0,0,1)m =，设平面ABH 与平面ADE 所成锐二面角的大小为θ，则313313cos |||||||13n m n m θ===． ∴平面ABH 与平面ADE 313．7．如图1，四边形ABCD 中AC BD ⊥，2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（Ⅱ）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）AE BD ⊥，且BE DE =，ABD ∴∆是等腰直角三角形，AB AD ∴⊥，又AB CD ⊥，且AD ，CD ⊂平面ACD ，ADCD D =，AB ∴⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，∴平面ACD ⊥平面BAD ．解：（Ⅱ）以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，过E 作平面BDC 的垂直为z 轴，建立空间直角坐标系，过A 作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，G 点在x 轴上，设AG h =，由题设知： (0E ，0，0)，(2C ，0，0)，(0B ，1-，0)，(0D ，1，0)， 2(1A h -0，)h ，(1F ，12，0)，2(1BA h =-1，)h ，(2DC =，1-，0)，AB CD ⊥，∴22110BA DC h =-=，解得3h =，13(2A ∴． 13(2BA =，(1BF =，32，0)，设平面ABF 的法向量(a μ=，b ，)c ，则1302302BA a b BF a b μμ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，令9a =，得(9μ=，6-，3)，AD AB ⊥，AD AC ⊥，2(1DA ∴=，2-3)是平面ABC 的一个法向量，cos μ∴<，(2)91231525|||2|1208DA DA DA μμ++>===，二面角C AB F --是锐角，∴二面角C AB F --的余弦15．8．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ；（Ⅱ）若1AD =，二面角C AB D --6，求二面角B AD E --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ．⋯（1分）因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥．⋯（2分）又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DCAD D =，⋯（3分）所以AB ⊥平面ADC ．⋯（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D --的平面角为CAD ∠．⋯（5分）又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC AD ⊥．依题意tan 6CDCAD AD∠==．⋯（6分）因为1AD =，所以6CD =(0)AB x x =>，则21BD x =+ 依题意~ABD BDC ∆∆，所以AB CDAD BD=，即2611x x =+⋯（7分）解得2x ，故222,3,3AB BD BC BD CD ===+．⋯（8分）如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，(3,0,0)B ，6,0)C ，36(E ，36(A ，所以36(2DE =，36(3DA =．由（Ⅰ）知平面BAD 的法向量(0,1,0)n =．⋯（9分）设平面ADE 的法向量(,,)m x y z =由0,0m DE m DA ⋅=⋅=得360360.y == 令6x =，得3,3y z =-=，所以(6,3,3)m =-．⋯（10分）所以1cos ,||||2n m n m n m ⋅<>==-⋅．⋯（11分）由图可知二面角B AD E --的平面角为锐角，所以二面角B AD E --的余弦值为12．⋯（12分） 9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，4AB =，BC =45ABC ∠=︒，点E 是CD 边的中点，将DAE ∆沿AEE 折起，使点D 到达点P 的位置，且PB =（1）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；（2）若平面PAE 和平面PBC 的交线为l ，求二面角B lE --的余弦值．【解答】（1）证明：连接BE ，在平行四边形ABCD 中，2DE =，AD =45ADC ∠=︒，2AE∴=AE DE ∴⊥，即AE PE ⊥，且AE BA ⊥．在Rt BEA ∆中，得BE ==．又2PE =，PB =222PE BE PB ∴+=，即PE BE ⊥．又AE ⊂平面ABCE ，BE ⊂平面ABCE ，且AE BE E =，PE ∴⊥平面ABCE ．又PE ⊂平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面ABCE ；（2）解：由（1）得PE ，AE ，CE 两两垂直，故以E 为原点，EC ，EA ，EP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，2-，0)，(2C ，0，0)，(0P ，0，2)，(4B ，2-，0)．∴(2,0,2)PC =-，(2,2,0)BC =-可知1(1,0,0)n =是平面PAE 的一个法向量，设平面PBC 的一个法向量为2(,,)n x y z =．由22220220n PC x z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，得2(1,1,1)n =．1212123cos,3||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅．10．已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD ，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值．【解答】解：（1）若AB CD ⊥，由AB AD ⊥，ADCD D =，得AB ⊥面ACD ，AB AC ∴⊥，222AB a BC ∴+=，即212a +=，解得1a =，若AD BC ⊥，由AB AD ⊥，ABBC B =，得AD ⊥平面ABC ，AD AC ∴⊥，222AD a CD ∴+=，即221a +=，解得21a =-，不成立，AD BC ∴⊥不成立．（2）四面体A BCD -体积最大，BCD ∆2，∴只需三棱锥A BCD -的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD ，以A 为原点，在平面ACD 中过O 作BD 的垂线为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A ，06)，63(,C ，0)，(0D 23，0)，面BCD 的法向量为(0OA =，06，面ACD 的法向量(n x =，y ，)z ，63(3CD =-，236(0,)DA =，则630323603n CD x y n DA y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，取2y =，得(1,2,2)n =，设二面角A CD B --的平面角为θ，则26||273cos |cos ,|||||673n OA n OA n OA θ=<>===， ∴二面角A CD B --2711．如图，在长方形ABCD 中，AB π=，2AD =，E 、F 为线段AB 的三等分点，G 、H 为线段DC 的三等分点．将长方形ABCD 卷成以AD 为母线的圆柱W 的半个侧面，AB 、CD 分别为圆柱W 上、下底面的直径．（1）证明：平面ADHF ⊥平面BCHF ；（2）求二面角A BH D --的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）因为H 在下底面圆周上，且CD 为下底面半圆的直径，所以DH HC ⊥，又因为DH FH ⊥，且CH FH H =，所以DH ⊥平面BCHF ，又因为DH ⊂平面ADHF ，所以平面ADHF ⊥平面BCHF ．解：（2）以H 为坐标原点，分别以HD 、HC 、HF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设下底面半径为r ，由题r ππ=，所以1r =，2CD =因为G 、H 为DC 的三等分点所以30HDC ∠=︒，所以在Rt DHC ∆中，3,1HD HC ==所以(3,0,2)A ，(0B ，1，2)，(3,0,0)D ，设平面ABH 的法向量(,,)n x y z=，因为(,,)(3,0,2)0n HA x y z ==， (,,)(0,1,2)0n HB x y z ==，所以2020z y z +=+=⎪⎩，所以平面ABH 的法向量(2,n =--，设平面BHD 的法向量(,,)m x y z =，因为(,,)(3,0,0)0m HD x y z ==，(,,)(0,1,2)0m HB x y z ==所以020x y z =⎧⎨+=⎩，所以平面BHD 的法向量(0,2,1)m =-．所以二面角A BH D --的余弦值为285cos ||||||19m n m n θ==． 12．在菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒，点M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点，将四边形ANMC 沿着AC 转动，使得EF 与MN 重合，形成如图所示多面体，分别取BF ，DE 的中点P ，Q ．（1）求证：//PQ 平面ABCD ；（2）若平面AFEC ⊥平面ABCD ，求多面体ABCDFE 的体积．【解答】解：（1）证明：取BE 中点R ，连接PR ，QR ，BD ，由P ，Q 分别是BF ，DE 的中点， //PR EF ∴，//QR BD ，又//EF AC ，//PR ∴平面ABCD ，//QR 平面ABCD ，又PRQR R =， ∴平面//PQR 平面ABCD ，又PQ ⊂平面PQR ， //PQ ∴平面ABCD ．（2）解：连接AC ，设AC ，BD 交于点O ，BD AC ∴⊥，又平面AFEC ⊥平面ABCD ，平面AFEC ⋂平面ABCD AC =， BD ∴⊥平面AFEC ．∴多面体ABCDFE 可以分解为四棱锥B ACEF -和四棱锥D ACEF -，菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒知：2AC =，BD =12AC EF ==，设梯形EFAC 的面积为133()244EFAC BD S EF AC =+=， ∴多面体ABCDFE 的体积为1332ABCDFE EFAC V S BD ==．13．已知等腰直角△S AB '，4S A AB '==，S A AB '⊥，C ，D 分别为S B '，S A '的中点，将△S CD '沿CD 折到SCD ∆的位置，22SA =，取线段SB 的中点为E ．()I 求证：//CE 平面SAD ；（Ⅱ）求二面角A EC B --的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取SA 中点F ，连接DF ，EF ，SE EB =，SF FA =，//EF AB ∴，12EF AB =，又//CD AB ，12CD AB =， CD EF ∴=，//CD EF ，∴四边形CDEF 为平行四边形，则//CE FD ．CE ⊂/平面SAD ，FD ⊂平面SAD ，//CE ∴平面SAD ；（Ⅱ）解：面SCD ⊥面ABCD ，面SCD ⋂面ABCD CD =，SD CD ⊥，SD ⊂面SCD ，SD ∴⊥面ABCD ， AD ，CD ⊂面ABCD ，SD AD ∴⊥，SD CD ⊥．又AD DC ⊥，DA ∴，DC ，DS 两两互相垂直，如图所示，分别以DA ，DC ，DS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -．则(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(0S ，0，2)，(2B ，4，0)，(1E ，2，1)， (1,0,1)CE =，(2,2,0)CA =-，(2,2,0)CB =，设平面ECA ，平面ECB 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =，则11110220m CE x z m CA x y ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取11y =，可得(1,1,1)m =-； 22220220n CE x y n CB x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取21y =-，得(1,1,1)n =--． 111cos ,||||33m n m n m n -+∴<>===⨯． ∴二面角A EC B --的平面角的余弦值为13-．。

中考数学全面突破：第十五讲尺规作图、视图与投影

第十五讲尺规作图、视图与投影命题点分类集训命题点1 尺规作图【命题规律】1．考查内容：五种基本尺规作图的方法.2.考查形式： ①直接考查尺规作图； ②通过作图痕迹判断某种作图或结论的正误； ③作图与证明综合题．【命题预测】尺规作图是新课标提出的新内容之一，因此也是全国命题趋势的风向标． 1. 下列尺规作图，能判断AD 是△ABC 边上的高的是( )1. B2. 如图，C 、E 是直线l 两侧的点，以C 为圆心，CE 长为半径画弧交l 于A 、B 两点，又分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接CA 、CB 、CD.下列结论不一定正确的是( )A . CD ⊥lB . 点A 、B 关于直线CD 对称C . 点C 、D 关于直线l 对称 D . CD 平分∠ACB2. C3.如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，按以下步骤作图：以点A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB ，AD 于点E ，F ；再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点G ；作射线AG 交CD 于点H ，则下列结论中不能由条件推理得出的是( )A . AG 平分∠DAB B . AD ＝DHC . DH ＝BCD . CH ＝DH3. D4.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a 及∠ACB.求作：⊙O，使⊙O 在∠ACB 的内部，CO ＝a ，且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切．4. 解：作图如解图所示．【作法提示】根据题意知圆心O 到CA 、CB 的距离相等，即在∠ACB 的平分线上，作∠ACB 的平分线，如解图中CP ，在CP 上截取CO ＝a ，过O 作CB 的垂线交CB 于点D ，以O 为圆心，以OD 为半径作⊙O 即可．5.如图，已知△ABC，请用尺规过点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形．(保留作图痕迹，不写作法)5. 解：作图如解图①所示，直线AD 即为所求：图①【作法提示】①以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧，交BC 于另一点E ； ②分别以点B 、E 为圆心，以大于12BE 长为半径作弧，两弧交于点F ；③作直线AF 交BC 于点D, 则直线AD 即为所求．【一题多解】作图如解图②所示，直线AD 即为所求：图②图③【作法提示】①以点B 为圆心、任意长为半径作弧，交∠B 的两边于点P 、Q ； ②以点A 为圆心、BP 长为半径作弧，交AC 于点M ； ③以点M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点N ；④连接AN 并延长作直线，交BC 边于点D ，则直线AD 即为所求．作图如解图③所示，直线AD 即为所求：【作法提示】①以点C 为圆心、任意长为半径作弧，交∠C 的两边于点P 、Q ； ②以点A 为圆心、CP 长为半径作弧，交AB 于点M ； ③以点M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点N ；④连接AN 并延长，交BC 边于点D ，则直线AD 即为所求．6.如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点． (1)作图：①过B作AC的平行线BH；②过D作BH的垂线，分别交AC、BH、AB的延长线于E、F、G.(2)在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．6. 解：(1)作图如解图所示：(2)△CDE≌△BDF，证明：∵BH∥AC，∴∠C＝∠DBF, ∠CED＝∠BFD，又∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴△CDE≌△BDF(AAS)．命题点2 几何体的三视图【命题规律】1.考查内容：常见几何体、组合体实物图、工件的三视图；2.考查形式：①给出图形，确定其三视图；②给出三视图，确定几何体；③确定常见几何体的三视图中，两个相同的几何体的性质；④计算小正方体组合体视图的面积．【命题预测】三视图的考查常常以组合体、常见几何体为基础进行命题，是中考的常考内容，经常出现在选择题中．7.如图所示的几何体的主视图为( )7. B8.如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是( )8. A9.如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是( )9. B10.如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是( )10. D11.下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是( )11. B【解析】圆锥的主视图是三角形，俯视图是含有圆心的圆，故A不符合题意；长方体的主视图和俯视图都是矩形，故B符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故C不符合题意；D选项的主视图是梯形，俯视图是矩形，故D不符合题意．12.若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是( )A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 正方体12. C【解析】由三视图都是半径相等的圆得这个几何体是球体．13.如图是某个几何体的三视图，该几何体是( )A. 圆锥B. 三棱锥C. 圆柱D. 三棱柱13. D【解析】由主视图和左视图都是矩形可知这个几何体是柱体，由俯视图是三角形可知这个几何体是三棱柱．14.如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第14题图第15题图14. B【解析】结合三视图，该几何体各列小正方体的个数体现在俯视图中如解图，故共有4个小正方体．15.如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为________15. 5【解析】由题图得，几何体的主视图如解图，∴主视图的面积为5×1＝5.命题点3 立体图形的展开与折叠【命题规律】考查的内容和形式：①求立体图形的表面展开图；②根据图形的表面展开图合成一个几何体；③根据正方体的展开图判断对面字或数．【命题预测】立体图形的展开与折叠是了解立体图形的基础，也是建立立体图形和平面图形的桥梁，尤其是近两年考查相对增多，应给予关注．16.如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是( )A. 的B. 中C. 国D. 梦16. D【解析】由正方体的展开图情况可得，“我”字一面的相对面上的字是“梦”；“们”字一面的相对面上的字是“中”；“的”字一面的相对面上的字是“国”．第16题图第18题图17. (2016遂宁)下列各选项中，不是正方体表面展开图的是( )17. C【解析】∵C中含有“田”字形，∴无法拼成正方体．18.在广场的电子屏幕上有一个旋转的正方体，正方体的六个面上分别标有“恩施六城同创”六个字，如图是小明在三个不同时刻所观察到的图形，请你帮小明确定与“创”相对的面上的字是( )A. 恩B. 施C. 城D. 同18. D【解析】由第一个图可知，“六”与“城”、“同”相邻，由第二个图可知，“六”与“创”相邻，且“创”与“城”相邻，根据同一个面两侧相邻的面是对面，可知“创”与“同”相对．中考冲刺集训一、选择题1. 下列选项中，不是．．如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是( )2.如图所示，该几何体的俯视图是( )3. 下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是( )4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是( )5.从一个边长为3 cm的大立方体挖去一个边长为1 cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是( )6.如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面上的字是( )A. 丽B. 连C. 云D. 港第6题图第7题图7.由5个大小相同的正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是( )A. 主视图的面积最小B. 左视图的面积最小C. 俯视图的面积最小D. 三个视图的面积相等8.如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是( )9.将如图所示的图形绕AB边旋转一周，所得几何体的俯视图为( )10.将一个棱长为1的正方体水平放于桌面(始终保持正方体的一个面落在桌面上)，则该正方体正视图面积的最大值为( )A. 2B. 2＋1C. 2D. 111.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是( )A. △EGH为等腰三角形B. △EGF为等边三角形C. 四边形EGFH为菱形D. △EHF为等腰三角形二、填空题12.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为________．第12题图第13题图第14题图13.在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为________．14.如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：cm)，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为________ cm2.三、解答题15.如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)16.如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹，不写作法)17.如图，在▱ABCD中，已知AD>AB.(1)实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E.在AD上截取AF＝AB，连接EF；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．答案与解析：1. A2. C【解析】由题图可以看出，俯视图可见，中间有两条竖线，侧边有两条不可视线段，故选C.3. C【解析】A.圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆；B.圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆；C.正方体的主视图与俯视图都是正方形；D.三棱柱的主视图是带线的矩形，俯视图是三角形．4. C5. C【解析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．从左面看可得：右上角有一个边长为1 cm 的小正方形，由于是挖掉的，所以用虚线画小正方形，A选项中是实线，错误；D选项中的边长大于 1 cm，错误，故选C.6. D【解析】本题考查了正方体的展开图，如果以“连”为底，则“的”和“云”分别为左侧面和右侧面，“丽”为上面，则“美”和“港”分别为后面和前面，故本题选D.第7题解图7. B【解析】画出这个几何体的三视图如解图所示，由图可知，主视图与俯视图面积相等，左视图面积最小．8. C9. B【解析】将这个图形绕AB所在的直线旋转一周，得到的几何体由两部分组成，上部分是圆锥，下部分是圆柱，且圆柱的直径小于圆锥底面圆的直径，其俯视图是两个同心圆环，且带圆心，圆环内圆是虚线．10. C【解析】当正视图的长边为正方形的对角线时，其面积最大，最大值为：12＋12×1＝2，故选C.11. B【解析】由题中的作图可知EG＝EH＝FG＝FH，易得四边形EGFH为菱形，△EGH为等腰三角形，△EHF为等腰三角形，△EGF为等腰三角形，但不能确定△EGF为等边三角形，故选B.12. 2103【解析】第12题解图将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如解图所示，此时AB 最短，∵△BCM ∽△ACN ，∴BM AN ＝MC NC ，即42＝MC NC ＝2，即MC ＝2NC ，∴CN ＝13MN ＝23，在Rt △ACN 中，根据勾股定理得：AC ＝AN 2＋CN 2＝2103.13. 5 【解析】底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少由5个小正方体组成．方法指导还原几何体求小正方体个数的方法：一般先由俯视图确定几何体底面小正方体的个数，再由左视图看几何体有几层，最后由主视图判断几何体有几列，最终综合左视图和主视图确定几何体中小正方体的个数．14. 4π 【解析】由这个几何体的三视图可知，这个几何体是圆锥，表面积＝πrl ＋πr 2＝π×1×3＋π×12＝4π cm 2.15. 解：如解图，四边形ABCD 即为所作图形．第15题解图【作法提示】过圆心O 作直线交⊙O 于B 、D 两点，作线段BD 的垂直平分线，交⊙O 于A 、C 两点，连接AD 、DC 、CB 、AB ，四边形ABCD 即为所求的正四边形．16. 解：如解图，直线AD 即为所求作直线．第16题解图【作法提示】1.分别以点B 和点C 为圆心，以大于12BC 长为半径画弧，交BC 两侧于两点；2．连接这两点，交BC 于点D ；3．连接AD ，并延长，直线AD 即为所求作直线．17. 【思路分析】(1)根据作角平分线的方法作AE ，根据作一条线段等于已知线段作AF ，再连接EF 便可完成作图；解：(1)作图如解图：第17题解图【思路分析】 (2)先证明∠BAE ＝∠BEA ，得AB ＝BE ，进而可得BE ＝AF ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．(2)四边形ABEF是菱形．证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵AB＝AF，∴AF＝BE＝AB，又∵AF∥BE，∴四边形ABFE是平行四边形，又∵AF＝AB，∴四边形ABEF是菱形．。