浅谈高中数学不等式的证明方法

浅谈高中数学不等式的证明方法

姜堰市罗塘高级中学 李鑫

摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。

关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法

不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。本文从不等式的各个方面进行讲解和研究。

一．比较法

所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。

例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法

证明 02

)(2222

≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得 ab b a ≥+2

. 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >.

分析：对于含有幂指数类的用作商法

证明 因为 0>>b a ，

所以 1>b

a ，0>-

b a . 而 1>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a a b b a b a b a b a ，

故 a b b a b a b a >

二．分析法

从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。

例3：求证3<

证明：0>>Q

运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途。

三．综合法

从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

例4：已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2

a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+

∴ 2212a b +≥

又 ∵ 2222221111()()8a b a b a b +=++≥⨯= ∴ 2222221111()()()4()a b a b a b a b +++=++++1254822

≥++=． 四．反证法

从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。

反证法证明一个命题的思路及步骤：

1） 假定命题的结论不成立；

2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;

3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;

4） 肯定原来命题的结论是正确的。

例5：已知01,01,01a b c <<<<<<，求证：(1),(1),(1)a b b c c a ---至少有一个小于等14

分析：本题从正面考虑情况较多，可考虑选用反证法，“小于等于”的反面是“大于”“至少有一个”的反面是“一个也没有”。

证明：假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于14

，则 ∵ 01,01,01a b c <<<<<<∴ 10,10,10a b c ->->->根据平均值不等式，有

(1)1

22a b -+≥>=，同理(1)1(1)1,2222

b c c a -+-+>> (1)(1)(1)111322222

22

a b b c c a -+-+-+++>++=∴ 3322>∴，显然矛盾.所以结论成立。

五．放缩法 放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。

例6：设a 、b 、c 是三角形的边长，求证3a b c b c a c a b a b c ++≥+-+-+- 证明：由不等式的对称性，不妨设a b c ≥≥，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+ 且20c a b --≤， 20a b c --≥

∴

3111a b c a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c

++-=-+-+-+-+-+-+-+-+- 222a b c b a c c a b b c a c a b a b c

------=++≥+-+-+-0222=-+--+-+--+-+--b a c b a c b a c a c b b a c c b a ∴3a b c b c a c a b a b c ++≥+-+-+- 六．数学归纳法

对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式

在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立.

例7 已知：+∈R b a ,，N n ∈，1≠n ，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a . 证明 （1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立；

（2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则

111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a

=k k k k k k k k k k ab b a b a b ab b a b ab b a ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(， 即k k k k ab b a b a +≥+++11成立.

根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的自然数n 都成立.

七．换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.

例8： 已知：1=++c b a ，求证：31≤

++ca bc ab . 证明 设t a -=31，)(31R t at b ∈-=，则t a c )1(3

1++=， ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++t a t t a at at t ca bc ab )1(3131)1(31313131 ,31)1(3122≤++-=

t a a 所以 1≤++ca bc ab