openGL投影矩阵原理及数学推导

openGL投影矩阵

概述

显示器是2d的。3d场景需要转换为2d图像才能显示在屏幕上。投影矩阵（GL_PROJECTION）用于完成这个工作。投影矩阵将观察坐标（eye coordinates）转换成裁剪坐标（clip coordinates）。然后，裁剪坐标被除以w，转换为规范化的设备坐标（NDC）。

需要记住的一点是，裁剪操作和规范化都由投影矩阵（GL_PROJECTION）完成。下面介绍如何用6个参数（left，right，bottom，top，near，far）构建投影矩阵。

裁剪（clipping）操作是在裁剪坐标上进行的，安排在透视除法执行之前。裁剪坐标xc，yc，zc同wc比较，若每个分量都落在（-wc，wc）外，那么此坐标将被裁剪掉。

在透视投影中，3d场景中的点（观察坐标）从平截头体中映射到正方体（NDC）中；x坐标从[l，r]映射到[-1，1]，y坐标从[b，t]映射到[-1，1]，z坐标从[n，f]映射到[-1，1]。

注意到，观察坐标系是右手系，规范设备坐标系是左手系。这就有，在观察坐标系中，摄像机朝向沿着-z，而在NDC中，方向沿着z。由于glFrustum（）只接受正参数，所以构造投影矩阵的时候要变号。

openGL中，3d场景中，观察坐标系下的点被投影到近投影面。下图展示了观察坐标系点（xe，ye，ze）投影到近投影面上的点（xp，yp，zp）。

从Top View of Projection看，xe投影到xp，根据等比性质：

从Side View of Projection看，yp计算类似：

注意到，xp和yp依赖于-ze，这一点要引起重视。在观察坐标被投影矩阵转换为裁剪坐标后，裁剪坐标仍然是同质坐标。在规范化阶段执行透视除法变为规范设备坐标（NDC）。

因此，可以将wc的值定为-ze。投影矩阵最后一行为（0，0，-1，0）

下一步，将xp，yp映射到xn，yn，此为线性映射[l，r]=>[-1，1]，[b，t]=>[-1，1]：

将xp，yp带入上面结果：

对比（xc/wc，yc/wc）wc=-ze得出上式括号中分别为xc，yc。由上式的结果可以观察出投影矩阵的第一行、第二行值：

现在只差第三行。Ze总是映射到-n，但是又需要有区分的z值用于裁剪和深度测试，也需要能够实现逆变换。我们看到，z是不依赖x或y，可以借助wc来分析zn和ze的关系。我们设投影矩阵如下：

在观察坐标系中，we等于1，则有：

Ze=-n时，zn=-1；ze=-f时，zn=1，将其带入上式有：

有（1）有：

带入（2）有：

将A带入（1）有：

将A、B带入zn，ze关系式：

最后得到投影矩阵：

当视见体是对称的，有r=-l，t=-b，则：

由（3）式看到，ze和zn成反比，ze去[-f，-n]，有图像看出，在近投影面zn有较高精度，在远投影面精度低，当区间[-f，-n]增大时，靠近远投影面的点的zn由于过分靠近而超出计算机最大精度（z-fighting），即ze在较远处的细小差别不能在zn上得到表达，而具有相同的zn值。所以，区间[-f，-n]应尽可能短，以避免精度问题。

正投影

不存在透视计算，要做的只是将一个长方体映射成正方体。

齐次项w不再需要，第四行写为（0，0，0，1）：

当是对称情况时，r=-l，t=-b：