群论初步习题

第十二章 群论简介习题

§12.1 群的定义和例子

１．设Ｇ为一切不等于零的有理数所成的集合，证明Ｇ对于数的乘法作成一个群． 【证明】１）任意两个非零的有理数的乘积为非零有理数，故Ｇ对数的乘法封闭；

２）数的乘法结合律对一切数都成立，自然对Ｇ也成立； ３）01≠是非零有理数，且对任何一个非零有理数a ，

011≠=⨯=⨯a a a ， 说明１是Ｇ的单位元素； ４）对任意的非零有理数a ，则

a

1

是非零有理数，且 11

1=⨯=⨯

a a

a a ， 说明a 的逆元是a 1

，

根据群的定义，即知集合Ｇ对数的乘法作成一个群． ２．Ｇ是由a ，b ，c 三个元素所作成的集合，它的乘法表是

判别Ｇ是否成群？

【解】由乘法表容易看到，Ｇ对规定的乘法是封闭的，a 是Ｇ的单位元素，

a 、

b 、

c 的逆元分别是a 、c 、b ． 以下只要证明结合律成立即可．

因为(ab)c ＝bc ＝a ，a(bc)＝aa ＝a ，故(ab)c ＝a(bc)；

同法可知a(cb)＝(ac)b ＝a ，(ba)c ＝b(ac)＝a ，(bc)a ＝b(ca)＝a ，

(ca)b ＝c(ab)＝a ，(cb)a ＝c(ba)＝a ，

以上６个式子说明结合律对规定的乘法是成立的， 因此Ｇ对规定的乘法作成一个群．

３．证明下列四个方阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ对于矩阵乘法作成一个群Ｖ，写出的Ｖ乘法表．Ｖ是

否循环群？Ｖ是否交换群？

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001C ，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=1001D ．

【证明】先写出乘法表．

由乘法表看出，集合Ｖ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝对矩阵乘法封闭，结合律对任何矩阵

的乘法满足，自然对Ｖ中的矩阵也满足，而矩阵Ａ是单位元，元素Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的逆

元素分别是它们自身，故Ｖ对矩阵的乘法作成群． 但（Ａ）＝｛Ａ｝，（Ｂ）＝｛Ａ，Ｂ｝，（Ｃ）＝｛Ａ，Ｃ｝，（Ｄ）＝｛Ａ，Ｄ｝， 它们都不等于Ｖ，从而Ｖ不是循环群．

由乘法表的对称性，可知群Ｖ是一个交换群．

§12.2 置换群

１．求置换的乘积：⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛2451354321⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1543254321 【解】⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛2451354321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3245115432⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1543254321 ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=3245

154321． ２．把置换表为轮换的乘积： （１）⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛12765437654321， 【解】⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛12765437654321)642)(7531(=； （２）⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛1234568787654321． 【解】⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1234568787654321)54)(63)(8271(=．

３．证明：（１）1

21)

(-k i i i )(11i i i k k -=；

（２）设Ｐ，Ｑ为两个不相交的轮换，则ＰＱ＝ＱＰ．

【证明】（１）)(21k i i i ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=++n k n k k i i i i i

i i i i i 11

32

121

,

)(11i i i k k -⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=+--+-n k k

k k n k k k i i i i i

i i i i i 12111

1, )(11i i i k k -)(21k i i i

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--+-n k k k k n k k k i i i i i

i i i i i 121111⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++n k n k k

i i i i i i i i i i 11

32

121

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++n k k n k i i i i i i i i i i 1211132⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++n k n k k

i i i i i i i i i i 11

32

121

)(1121

121i i i i i i i i i i i n k k

n k k =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=++ ,（恒等变换）

同理可证 )(21k i i i )(11i i i k k -)(1i =，

所以 1

21)(-k i i i )(11i i i k k -=．

（２）设)(21k i i i P =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=++++n r r

k n r r k k i i i i i i i

i i i i i i i 11132

1121

，

)(21r k k i i i Q ++=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=+++++n r k k k n r r k k i i i i i i i

i i i i i i i 11221

1121

， 其中没有相同的数字．

则 )(21k i i i PQ =)(21r k k i i i ++

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=+++++n r k k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 1121321121

)(21r k k i i i ++=QP i i i k =)(21 .

４．写出四次对称群的所有置换．

【解】四次对称群的全体置换（共２４个）用轮换的形式表示就是： （１）； （１２），（１３），（１４），（２３），（２４），（３４）； （１２３），（１３２），（１３４），（１４３），（１２４），（１４２），（２３４），（２４３）； （１２３４），（１２４３），（１３２４），（１３４２），（１４２３）（１４３２）； （１２）（３４），（１３）（２４），（１４）（２３）．

§12.3 子群及其陪集

１．求出三次对称群的所有子群．

【解】)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ，

它的平凡子群为单位元群)}1{(及3S 本身；

其２阶子群有３个，即)}12(),1{(1=H ，)}13(),1{(2=H ，)}23(),1{(3=H ； 三阶子群只有１个，即)}132(),123(),1{(4=H ，

由拉格朗日定理，不可能有其它阶数的真子群，因此以上所列就是3S 的所有子群．