02年考研数学真题二答案

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）
（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,
e ,0,2arcsin e 1)(2tan x a x x x
f x x
在x ＝0处连续，则a ＝______． （2）位于曲线y ＝x e －x （0≤x ＜＋∞）下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．
（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件y ｜x ＝0＝1，21|0=
'=x y 的特解是______． （4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim =++]πcos 1n
n Λ______． （5）矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
（1）设函数f （u ）可导，y ＝f （x 2）当自变量x 在x ＝－1处取得增量∆x ＝－0.1时，相应的函数增量∆y 的线性主部为0.1，则 f ′（1）＝（ ）
（A ）－1． （B ）0．1． （C ）1． （D ）0.5．
（2）设函数f （x ）连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ）
（A ）
.d )(20t t f x ⎰ （B ）.d )(20t t f x ⎰
（C ）.d )]()([0t t f t f t x --⎰ （D ）.d )]()([0
t t f t f t x -+⎰ （3）设y ＝y （x ）是二阶常系数微分方程x
qy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y 0)0(='y 的特解，则当x →0时，函数)
()1ln(2x y x +的极限 （ ） （A ）不存在． （B ）等于1． （C ）等于2． （D ）等于3．
（4）设函数y ＝f （x ）在（0，＋∞）内有界且可导，则（ ）
（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞
→x f x （B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞
→x f x （C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0
='+→x f x （D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0
='+→x f x
（5）设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ）
（A ）α1，α2，α3，k β1＋β2线性无关． （B ）α1，α2，α3，k β1＋β2线性相关．
（C ）α1，α2，α3，β1＋k β2线性无关． （D ）α1，α2，α3，β1＋k β2线性相关．
三、（本题满分6分）
已知曲线的极坐标方程是r ＝1－cos θ，求该曲线上对应于6
π=θ处的切线与法线的直角坐标方程．
四、（本题满分7分） 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)
1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x 求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式． 五、（本题满分7分）
已知函数f （x ）在（0，＋∞）内可导，1)(lim ,0)(=>+∞
→x f x f x ，且满足 ,e ))
()((lim 1
10x h h x f hx x f =+→ 求f （x ）．
六、（本题满分7分）
求微分方程x d y ＋（x －2y ）d x ＝0的一个解y ＝y （x ），使得由曲线y ＝y （x ）与直线x ＝1，x ＝2以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．
七、（本题满分7分）
某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5∶4，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？
八、（本题满分8分） 设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列{x n }的极限存在，并求此极限．
九、（本题满分8分） 设0＜α＜b ，证明不等式
⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222 十、（本题满分8分）
设函数f （x ）在x ＝0的某邻域内具有二阶连续导数，且f （0）≠0，f ′（0）≠0， f ″（0）≠0．证明：存在惟一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h →0时，λ1f （h ）＋λ2f （2h ）＋λ3f （3h ）－f （0）是比h 2高阶的无穷小． 十一、（本题满分6分）
已知A ，B 为3阶矩阵，且满足2A －1B ＝B －4E ，其中E 是3阶单位矩阵．
（1）证明：矩阵A －2E 可逆；
（2）若⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ． 十二、（本题满分6分）
已知4阶方阵A ＝（α1，α2，α3，α4），α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1＝2α2－α3，如果β＝α1＋α2＋α3＋α4，求线性方程组Ax ＝β的通解．。