n阶行列式
n 阶行列式的定义与性质
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
2_1 n阶行列式
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
Page 30
1 1
例4 解
1 x 0. x2
求解方程 2 3 4 9
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
Page 31
2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
Page 28
(2)对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
Page 29
1
例3 解
2 -4
计算三阶行列式 D - 2 2 1 -3 4 -2
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
n阶行列式的定义全
02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。
n阶行列式计算方法
n阶行列式计算方法
在线计算n阶行列式的方法是一种重要的数学运算方法，可以用于解决线性方
程组、矩阵求逆和矩阵计算等问题。
本文将介绍几种常见的计算n阶行列式的方法。
1. 代数余子式法：该方法通过利用代数余子式的性质来计算行列式。
首先选择
第一行或第一列的元素，利用它们构成代数余子式，并对代数余子式进行计算，最后将代数余子式乘以对应元素的符号，并相加得到最终的行列式值。
2. 二阶、三阶行列式法：对于二阶行列式，可以直接利用相应元素的乘积进行
计算。
而对于三阶行列式，可以利用Sarrus定理进行计算。
Sarrus定理是通过构造
辅助矩阵，以及利用矩阵元素之间的关系进行计算的方法。
3. 初等变换法：该方法通过对行列式进行初等行变换来将行列式化为上三角行
列式或下三角行列式，并通过对角线元素的乘积来计算行列式的值。
4. Laplace展开法：Laplace展开法是一种递归的方法，通过逐步将n阶行列式
分解为n-1阶行列式，再进一步分解为n-2阶行列式，直到最后分解为1阶行列式。
每一步的分解都利用代数余子式的计算方法，最后将每一步的行列式值相加，即可得到n阶行列式的值。
需要注意的是，由于行列式的计算规模较大，当n超过一定的阶数时，上述方
法可能会出现计算速度较慢的情况。
因此，在实际应用中，可以使用计算机编程来实现行列式的计算，以提高计算效率。
综上所述，以上是几种计算n阶行列式的常见方法。
在实际应用中，可以根据
具体情况选择适合的方法进行计算。
行列式的计算对于数学和工程领域都具有重要的意义，它在解决线性方程组和矩阵运算等问题中发挥着重要作用。
§12n阶行列式
n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列 证： 有q个。 将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部 变为偶排列，于是有 排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有 。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换 （ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原 排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排 列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二 、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
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举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排 列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.
n阶行列式定义的举例
n阶行列式定义的举例n阶行列式是一种线性代数中重要的概念，它可以用于求解线性方程组、计算向量叉积等。
下面我们将通过几个简单的例子来说明n 阶行列式的定义。
首先，n阶行列式是由n行n列的矩阵所定义的，例如下面的3阶矩阵：$$begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2 ,3}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{pmatrix}$$该矩阵的行列式可以表示为：$$begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2 ,3}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{vmatrix}$$其中，$a_{i,j}$表示该矩阵中第i行、第j列的元素。
接下来，我们可以通过以下方法来计算该行列式的值：1. 对角线法则对角线法则是计算行列式的一种简单方法，它通过对角线上的元素进行乘积和求和来计算行列式的值。
例如，对于上述矩阵，我们可以按照对角线法则计算行列式的值：$$begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2 ,3}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{vmatrix} =a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} +a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} -a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}$$2. 行列式展开法则行列式展开法则是计算行列式的另一种方法，它通过将行列式展开成一系列小的行列式来计算行列式的值。
n阶行列式的定义
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
1-3 n阶行列式的定义
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
线性代数 n阶行列式
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
t n 1 n 2 2 1
a11 a12 a22 a1 n
0 0
a2 n 1 12n a a a 11 22 nn a11a22 ann . 0 ann
1 2 3 4
例5
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 4 0 0 3 2 5 0 4 1 1 4 5 8 160. 6 8
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
5、 a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1 j1 j2 jn
其中 j1 j2 jn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列.
D
a11 a21 an1
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 设排列为 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm a1 al ab b1 bm 除 a,b 外，其它元素的反序数不改变. 当a b 时
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
n阶行列式定义
01
```
02
123
03
456
解答
• 3=0=0
解答
``` 2. 将第一行乘以-2加到第二行，得到
解答
``` 123
234
解答
• 3=0=0
解答
```
VS
3. 将第一行乘以-1加到第一行，得到
解答
01 ``` 02 0 0 0 03 2 3 4
解答
• 3=0=0
解答
```
4. 根据二阶行列式的计算公式，得到结果为：|1 2; 3 4| = -2。所以原行列式的值为：-2 * -4 * -2 = -16。
03 计算方法
三角化法
定义
三角化法是将一个n阶行列式转化为若干个3阶行列式，通 过计算这些3阶行列式来得到原n阶行列式的值。
计算步骤
首先将n阶行列式拆分成若干个3阶行列式，然后利用行列式的 性质进行化简，最后将这些3阶行列式的值相乘得到原n阶行列
式的值。
适用范围
适用于n≤3的行列式计算。
递推法
判断解的个数
行列式可以用来判断线性方程组解的个数，当系数矩阵的行列式不等于0时，方程组有唯一解；等于0 时，方程组有无穷多解或无解。
在矩阵中的应用
矩阵的逆运算
行列式是矩阵逆运算的基础，通过计算矩阵的行列式值和伴随矩阵，可以求得逆矩阵。
判断矩阵是否可逆
行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆，当行列式不等于0时，矩阵可逆；等于0时， 矩阵不可逆。
定义
递推法是根据行列式的定义和性质，通过递推关系式计算行列式的值。
计算步骤
首先根据行列式的定义写出递推关系式，然后利用行列式的性质进行化简，最后将递推关 系式中的项相加得到原n阶行列式的值。
3、n阶行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
p1 p2 pn
1
p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
7
线性代数
n阶行列式
说明 1、行列式是一种运算符，它是根据求解方程个 数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义 的；
元素在行列式ij中的余子式仍然是在行列式ij39线性代数n阶行列式ijijnnijijijijij所以命题得证40线性代数n阶行列式4443424133242322211413121144424124222114121133例如动画演示41线性代数n阶行列式行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和即1112njnj定理定理利用行列式的性质4拆分原理有44行列式按行行列式按行列列展开展开42线性代数n阶行列式nn121112111211行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即njni推论推论命题得证43线性代数n阶行列式把行列式行展开有detjnjn把行列式中的换成可得jknjni44线性代数n阶行列式55关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质kjkijkik其中45线性代数n阶行列式66应用举例应用举例46线性代数n阶行列式66应用举例应用举例按第二行展开得1356352747线性代数n阶行列式48线性代数n阶行列式1所以245351225184410319631849线性代数n阶行列式41按第4行展开5a413a422a432a444450线性代数n阶行列式第四行各元素余子式之和为分析41424344表示中元素的余子式则有ij1186851线性代数n阶行列式52线性代数n阶行列式53线性代数n阶行列式54线性代数n阶行列式解法一55线性代数n阶行列式56线性代数n阶行列式57线性代数n阶行列式58线性代数n阶行列式解法二59线性代数n阶行列式三小结三小结32211331231233221133211232231131221311121122122121221112212211121321222331323360线性代数n阶行列式余子式与代数余子式余子式与代数余子式ij划去后留下来的阶行列式叫做元素的余子式阶行列式中把元素所在的第ijij叫做元素的代数余子式
n阶行列式
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排列: 排列 32514 1的前面比 大的数有 个,故逆序数为 的前面比1大的数有 故逆序数为3; 的前面比 大的数有3个 故逆序数为 4的前面比 大的数有 个,故逆序数为 的前面比4大的数有 故逆序数为1; 的前面比 大的数有1个 故逆序数为 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为 的逆序数为 于是排列
解
(2k ) 1 (2k − 1) 2 (2k − 2 ) 3 (2k − 3)L(k + 1) k
↓
↓
↓
↓
↓
0 1
1
2
2
t = 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + L + ( k − 1) + ( k − 1) + k
L
↓
k
2 为偶数时，排列为偶排列， 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
为奇数时，排列为奇排列. 当 k 为奇数时，排列为奇排列
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例4
计算上三角行列式 计算上三角行列式
a11
a12 L a1n a 22 L a 2 n O M a nn
.
0
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解
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 Lanpn .
n
若 pn ≠ n, 则 anp = 0, 所以只有 pn = n. 同理可得 pn−1 = n − 1, 因而展开式中不为零的项只有 a11a22 Lann .
2 2 1 3
共有
3 3
3种放法 种放法 2种放法 种放法 1种放法 种放法 种放法. 3 × 2 × 1 = 6 种放法
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第三节 n阶行列式的定义
思考题
x1 1 2
已知 f (x) = 1 x 1 − 1
32 x3 的项有两项,即 x1 1 2
f (x)= 1 x 1 −1
32 x 1 1 1 2x 1 对应于
( ) ( ) − 1 t a11a22a33a44 + − 1 t(1234)a11a22a34a43
p1 p2L pn
∑( ) 故 D1 =
− 1 t ( p1 p2L pn )a1 p1a2 p2 L anpn = D2 .
p1 p2L pn
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的.
2、 n 阶行列式共有 n!项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排
=
−1
a a L t (12L n) 11 22
ann
LLLLLLL
0 0 L ann = a11a22 L ann .
1234
0421
例3 D =
=?
0056
0008
1234
0421
D= 0
0
5
6 = a11a22a33a44 = 1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160.
0008
同理可得下三角行列式
记作 D = a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann 简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素．
其中 p1 p2 L pn 为自然数 1，2，L ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 L a1n D = a21 a22 L a2n
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
n阶行列式及其计算
an2 ann
j 1,2, n
an1
bn
ann
(1) D ? 怎样算？ (2) 当D 0 时，方程组⑵是否有唯 一解？
(3) 当D 0 时，若方程组⑵有唯一 解，解是否
可以表示成
xi
Di D
,
i 1,2, , n
克莱姆 法则！
由n2个数aij构成的n行n列的一个数表，称为n阶行列式， 它表示一种运算法则，结果是一个数值，其中的数aij称 为元素，二、三阶行列可用对角线法则来计算
a11 a21 an1
D a21
a22
a2n
DT a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
2020/11/18
11
2.两行（列）互换值变号
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
或 j1
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
注意两者有什么不同？
1 1 3 2
n
aij Aij i 1
j 1,2,, n
找相应 Aij
3 4 试试：按第一行和第三列计算上述行列式的值
3
D a1 j A1 j a11A11 a12 A12 a13 A13 6
或 j1
按第一行展开
3
D ai3 Ai3 a13 A13 a23 A23 a33 A33 6 按第三列展开
2020/i111/18
7
走试试别的行与列 找有零的有行或列
0 D 2
1 1 现按第一行展开
3
2
2
A12
递推法解n阶行列式
递推法解n阶行列式
行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵所对应的一个标量值。
在实际应用中，行列式经常被用来求解线性方程组的解、计算矩阵的逆等问题。
对于一个n阶行列式，我们可以使用递推法来求解。
我们需要了解行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，定义为：
det(A) = Σ(-1)^(i+j) * a(i,j) * det(A(i,j))
其中，i和j分别表示A的第i行和第j列，a(i,j)表示A的第i行第j列的元素，A(i,j)表示去掉A的第i行和第j列后所得到的(n-1)阶方阵。
接下来，我们可以使用递推法来求解n阶行列式。
具体步骤如下：
1. 对于1阶行列式，直接返回该元素的值。
2. 对于n阶行列式，选择其中一行或一列，将该行或列的元素乘以它们所在的代数余子式的值，然后将这些乘积相加，得到该行或列所对应的代数余子式的值。
3. 将该行或列所对应的代数余子式的值乘以该行或列的元素的符号(-1)^(i+j)，然后将这些乘积相加，得到该行或列的余子式的值。
4. 将该行或列的余子式的值乘以该行或列的元素的值，然后将这些乘积相加，得到该行或列所对应的代数余子式的值。
5. 将所有行或列所对应的代数余子式的值相加，得到n阶行列式的值。
通过递推法求解n阶行列式的时间复杂度为O(n!)，因此对于较大的n，递推法的效率较低。
在实际应用中，我们通常使用高斯消元法等更高效的方法来求解行列式。
递推法是一种求解n阶行列式的有效方法，它可以帮助我们更好地理解行列式的定义和性质。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解行列式，以提高计算效率。
n 阶行列式及性质
1 j1 2 j2
njn
an1 an2 ann
注：⑴ n 阶行列式共有 n2个元素，排成 n 行 n 列；
⑵从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从
右上角到左下角的对角线称为次（副）对角线；
⑶主对角线上的元素 aii (i 1,2,, n) 称为主对
角元；
⑷取正号的项与取负号的项各占一半，即为 n! 项； ⑸每项中同一行或一列的元素不可能乘在一起2； ⑹行列式常用大写字母D表示或 aij ，特别规定一阶
0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
r4 r3 0 2 1 5 0 0 1 1
3
2 2
0 0 0 1 0 0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3 r5 2r3 0 0 1 1 2
0 0 0 1 0 4
0 0 0 4 6
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3
r5 4r4 0 0 1 1 2 216
85
75
78
0 32 0 32
注：（1）此法也可与行列式的其它5条性质结合使用.
例5：计算下列行列式.
70 40
①
1 D
0
5
2
3 1 1 6
80 50
3 1 1 2
② D 5 1 3 4
2 0 1 1 1 5 3 3
解： ①
70 40 10 52 D 3 1 1 6 80 50
按第2
(1) A32
ci c j 表示将行列式的第i列与第j列互换
推论1：若行列式有两行（列）完全相同，则此行列 式的值为零. 即：
性质3：把行列式某一行（列）的所有元素都乘以 k， 等于用数 k 乘此行列式.
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
n阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 00
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
12 n;
an1 an2 ann
1
a a a t p1 p2pn
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 pn
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的;
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
从而这个项为零， 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为a a a a 14 23 32 41 .
0001
0 0
0 3
2 0
0 0
1t43211 2 3 4
24.
4000
例2 计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2n
证毕
例5 设
a11 a12 a1n
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n阶行列式
当n=2，3时，这样定义的二阶和三阶行列式与之前用对角线 法则定义的结果是一致的．当n=1时，一阶行列式为|a11|=a11， 注意不要与绝对值符号混淆．
根据二阶、三阶行列式的定义，我们发现式（1-10）还可以 写成如下形式：
n阶行列式
n阶行列式
n阶行列式
上式表明，一个三阶行列式等于它的第1行 各个元素与其相应的代数余子式（都是二阶行 列式）的乘积之和，这就意味着三阶行列式可 化为二阶行列式来计算．利用这个特点可以类 似定义四阶行列式、五阶行列式……以此类推， 可以给出n阶行列式的另一种定义．
n阶行列式
定义1-7 由排成n行n列的n2个数组成的n阶行列式记作
（1-9）
当n=1时，D=|a11|=a11 . 当n≥2时，假设n-1阶行列式已经定义，那么n阶行列式（1-9） 所表达的算式为
（1-10）
n阶行列式
其中A1j为元素a1j的代数余子式，j=1，2，…，
n．式（1-10
1
若记n阶矩阵
n阶行列式
作为二阶、三阶行列式的推广，我们类似地给出n阶行列式 的定义．
定义1-6 由排成n行n列的n2个元素aij（i，j=1，2，…，n） 组成的记号
（1-7
称为n阶行列式，其中j1j2…jn为n级排列， 有的n级排列求和．
表示对所
n阶行列式
容易看出，n阶行列式表示一 个数值，这个数值是n！项的代数 和，每一项是取自行列式中不同行 不同列的n个元素的乘积 a1j1a2j2…anjn，该项的符号在 j1j2…jn 为奇排列时取负号，为偶排 列时取正号．
n阶行列式
n阶行列式
注意观察二阶行列式（1-5）与三阶行列式（1-6）， 可以看出：
（1）二阶行列式的展开式是2！项乘积的代数和；三 阶行列式的展开式是3！项乘积的代数和.
（2）二阶和三阶行列式展开式中每一个乘积项中的 元素都取自不同的行和不同的列.
（3）当行列式展开式中乘积项元素的行标按自然数 列排列时，若元素的列标为奇排列，则该乘积项取负号； 元素的列标为偶排列时，该乘积项取正号．
则n阶行列式（1-9）又称为n阶矩阵A的行列式， 记作|A|或detA．
【例1-4】