数值分析小论文 线性方程组的直接解法
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。
增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。
3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。
b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。
c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。
d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。
具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。
首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。
c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。
它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。
3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。
数值分析论文2
数值分析在水文地质中的应用摘要：本文通过运用数值分析中线性方程组的直接解法，解决水文地质中具体的问题，本文将地下水的流动的情况通过数学模型将其演示出来，再运用MATLAB 求出地下水的各个参数。
关键词：地下水；追赶法 ；MATLAB 。
1序言数值分析是研究各种数学问题求解的数值计算方法，许多实际问题都需要运用数值分析的各种算法来求解，同时联系计算机各种软件来实现解答。
在水文地质中，地下水的流动很难描述，通过地下水的数值模拟将河流描述，运用数值分析的方法运用MATLAB 实现。
2实际问题描述考察通过x=0和x=L 处的长且直的河流为界的承压含水层，如下图，该含水层均质各向同性，顶底板水平，上覆弱透水层，垂向补给强度为W （x ），两河流边界的水位分别为ψ1和ψ2，且不随时间变化。
首先，沿河流的方向取单宽作为计算区，并对计算区进行剖分，即江河间距L 剖分成N 等分，则空间步长为Δx=L/N 。
其次，在网格分割线上任取一点作为节点，节点编号由左向右依次为0,1，……i ，……N 。
任一节点i 的坐标为i Δx ，水位为H i ，已知节点0的水位为ψ1，节点N 的水位为ψ2。
L=800m, ψ1=10m, ψ2=5m,W=0.004m/d,T=100m 2/d.若取Δx=100m 即N=L/Δx=8，则共有9个节点，编号依次为0,1，……8，其中节点1，2，……7的水头是待求值。
从而求1122)2(2)(ϕϕϕ++-+-=TWLL x T W x H3数学模型的建立建立数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤≤=+∂∂==21022)()()0(0)(ϕϕL x x x H x H L x x W x HT 以剖分为基础，针对节点i 建立差分方程：())()(2)()()(22x O x x H x x H x x H x H ∆+∆-∆-+∆+=)()()()(2)(2222x O x x x H x H x x H x H x∆+∆∆++-∆-=∂∂ 式中：H （x+Δx ）、H(X)、H （x+Δx ）在这里分别相当于节点i-1、i 、i+1的水头，用H i-1、H i 、H i+1表示，则)()(2221122x O x H H H x H i i i x∆+∆+-=∂∂+-这里将舍去余项)(2x O ∆，并以i H _表示节点i 的水头H i 的近似值，则有21__1_22)(2x H H H x H i i i x∆+-=∂∂+- 成立。
(数值分析)第五章 解线性方程组的直接法
2
11 .
10 5 10
0
1 9
7 9
2 3
华长生制作
8
第二步消元，令 l32 10 / 63, 得增广矩阵
1 0
2
3 7
1
3 2
2
11
.
10 5 10
0
0
53 53 63 63
利用回代公式依次得到
x3 1, x2 1, x1 1.
在这个例子中我们写出的是分数运算的结果。如果在计算机上
a(1) 13
x3
0.49105820
事实上,方程组的准确解为
x* (0.491058227,0.050886075,0.367257384)T
华长生制作
15
例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行 避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法
列主元素消去法也称按列部分主元的消去法。一般地，在完成 了第k-1步消元运算后，在 ( A(k) , b(k) ) 的第k 列元素 akk(k)之下的所有 元素中选一个绝对值最大的元素作为主元素，即若
的列元素为a13 2, 因此1,3行交换
华长生制作
13
r1 r3
2 1
108
1.072 3.712
2
5.643 3 4.623 2
3 1
( A(1) , b(1) )
绝对值最大 不需换行
m21 0.5
m31 0.5108
2 0
0
m32 0.629 72292
1.072 0.3176 10
2 3.712 1.072
3 4.623 5.643
x1 x2 x3
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
第5章（改）解线性方程组的直接法（演示）数值分析
第5章（改）解线性方程组的直接法（演示）数值分析第五章线性代数方程组的数值解法线性方程求解问题是科学研究和工程计算中最常见的问题。
如电学中的网络问题、工程力学中求解连续力学体（微分方程）问题的差分方法、有限元法、边界元法及函数的样条插值、最小二乘拟合等，都包含了解线性方程组问题。
因此，线性方程组的解法在数值计算中占有极其重要的地位。
对于n 阶线性方程组=A x b ，若det()0≠A ，则方程组有惟一解。
由克莱姆（Cramer ）法则，其解为d e t ()(1,2,,)d e t ()i i A x i n A == ,其中i A 为用向量b 代替A 中第i 列向量所得矩阵。
每个n 阶行列式共有!n 项，每项都有n 个因子，所以计算一个n 阶行列式需做(1)!n n -?次乘法，我们共需要计算1n +个行列式，要计算出i x ，还要做n 次除法，因此用Cramer 法则求解要做2(1)!n n n -?+次乘除法（不计加减法），计算量十分惊人。
如30n =时，就需作约352.3810?次乘法。
可见Cramer 法则在理论上是绝对正确的，但当n 较大时，在实际计算中却是不可行的。
因此寻求有效的数值计算方法就成为非常必要的课题。
线性方程组的类型很多，若按其系数矩阵阶数的高低和含零元素多少，大致可分为两类：一类是低阶稠密线性方程组，即系数矩阵阶数不高，含零元素很少。
另一类是高阶稀疏线性方程组，即系数矩阵阶数高，零元素占绝对优势（比如占70%以上）。
线性方程组的数值解法也可分为两大类：直接法和迭代法。
直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算可以得到方程组精确解的方法。
但是，在实际计算时，由于初始数据变为机器数而产生的误差以及计算过程中所产生的舍入误差等都要对解的精确度产生影响，因此直接法实际上也只能算出方程真解的近似值。
常用的有效算法是Gauss 消去法和矩阵的三角分解法。
迭代法是用某种极限过程去逼近准确解的方法。
数值分析第三章 解线性方程组的直接方法..
1步 共进行 n ？
(1) (1) ) (1) a11 x a12 ... a1(1 b 1 n 1 ( 2) ( 2) ( 2) a22 ... a2 n x2 b2 . . . . . ... . . . . ( n) ( n) ann xn bn
§1 Gaussian Elimination – The Method
回代
( n) ( n) xn bn / ann
bi( i ) xi
a
j i 1 (i ) ii
(i ) a ij x j
n
( i n 1, ..., 1)
Then must find the Whatwe if we can’t (n i) smallest integer k i with ( ) 0 定理 若A的所有顺序主子式 a /* determinant of leading What if ? find such k ? ii No No unique unique a 0 What if ? (i ) nn , and interchange a ki 0 exists. solution solution exists. principal submatrices */ k 均不为 ，则高斯消元无需换行即可 the -th row0 with the i-th row.
x2 1,
x1 0
全主元消去法 /* Complete Pivoting */
每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 Step k: ① 选取 | ai
k
| mik | 1 。
jk
数值分析(本科)线性方程组直接法
线性方程组的直接解法
一、引言
求解线性方程组是数值计算的核心问题之一 两类解法：直接解法和迭代解法 满矩阵 ------ 直接法
大规模稀疏矩阵 ------- 迭代法 特殊形式的矩阵 ------- 追赶法 本章主要介绍直接法(包括追赶法)。
二、高斯消去法
求解线性方程组
注：本章所考虑的线性方程组的未知量个数与方程个数相等，
注：
利用三角分解的方法求解时，三角分解（消去过程）只需要计 算一次。
四、三角分解之杜利脱尔分解
注：
利用高斯消去法进行计算时，消去过程一般需要多次计算。
四、三角分解之杜利脱尔分解
注：
由于消去过程的计算量要远大与回代过程的计算量， 所以对于这类问题，应采用三角分解的方法求解。
四、三角分解之杜利脱尔分解
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
三、列主元高斯消去法
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
三、列主元高斯消去法
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
四、三角分解之杜利脱尔分解
引入如下矩阵
例如,
四、三角分解之杜利脱尔分解
上述初等变换用矩阵乘法来描述：
四、三角分解之杜利脱尔分解
高斯消去法的 消去过程
上三角阵
上述初等变换用矩阵乘法来描述：
四、三角分解之杜利脱尔分解
说明： 1）条件”所有顺序主子式均不等于零”：保证在消去的过程中主 元非零，即消去过程可以完成。
且方程组有唯一解，即系数矩阵为可逆方阵。
数值分析小论文线性方程组的直接解法
数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。
线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。
在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。
高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。
消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。
在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。
回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。
回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。
高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。
但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。
另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。
在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。
列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。
LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。
综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。
高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。
在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。
数值分析第二章解线性方程组的直接方法
a2(22) x2 ... a2(2n) xn b2(2) ,
..............
an(nn) xn bn(n) .
对此方程组进行回代，就可求出方程组的解.
xn
xiΒιβλιοθήκη bn(n) (bi(i )
an(nn) ,
n
ai(ji ) x
j i 1
j
)
ai(ii ) ,
i n 1,n 2,,1.
x3 x3
1 1
4x1 2x2 2x3 3
消去后两个方程中的x1得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
6x2 6x3 1
再消去最后一个方程的x2得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
42 5
x3
7 5
消元结束.
x1
1 2
经过回代得解:
x2
1 3
互换, 因而程序比较复杂, 计算时间较长.
• 列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法, 但其
计算简单, 工作量大为减少, 且计算经验与理论实
践均表明, 它与全主元素法同样具有良好的数值稳
定性.
• 列主元素法是求解中小型稠密线性方程组的最好
方法之一.
27
§2 直接三角分解法
Gauss消元法的矩阵表示
a12
a13
a 1 0 a21 a22 a23 a21 aa11 a22 aa12 a23 aa13
b 0 1 a31 a32 a33 a31 ba11 a32 ba12 a33 ba13
28
n=3时Gauss消元法的矩阵表示
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
数值分析——线性方程组直接解法Hilbert矩阵
数值分析第一次上机实习报告——线性方程组直接解法一、问题描述设 H n = [h ij ] ∈ R n ×n 是 Hilbert 矩阵, 即11ij h i j =+- 对n = 2,3,4，…13,(a) 取11n n x R ⨯⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，及n n b H x =，用Gauss 消去法和Cholesky 分解方法来求解n n H y b =，看看误差有多大.(b) 计算条件数：2()n cond H(c) 使用某种正则化方法改善(a)中的结果.二、方法描述1. Gauss 消去法Gauss 消去法一般用于系数矩阵稠密且没有任何特殊结构的线性方程组。
设H =[h ij ]，y = (y 1,y 2,…，y n )T . 首先对系数矩阵H n 进行LU 分解，对于k=1,2，…n,交替进行计算：1111),,1,,1(),1,2,,k kj kj kr rj r k ik ik ir rk r kk u h l u j k k n l a l u i k k n u -=-=⎧=-=+⎪⎪⎨⎪=-=++⎪⎩∑∑…… 由此可以得到下三角矩阵L=[l ij ]和上三角矩阵U=[u ij ]. 依次求解方程组Ly=b 和Ux=y ，111,1,2,,1(),,1,,1i i i ir r r n i i ir r r i ii y b l y i n x y u x i n n u -==+⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩∑∑…… 即可确定最终解。
2. Cholesky 分解法对于系数矩阵对称正定的方程组n n H y b =，存在唯一的对角元素为正数的下三角矩阵L ，使得H=LL T 。
因此，首先对矩阵H n 进行Cholesky 分解，即1122111()1()j jj jj jk k j ij ij ik jk k jj l h l l h l l l -=-=⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 1,i j n =+… L 的元素求出之后，依次求解方程组Ly=b 和L T x=y ，即1111111(),2,3,i i i ik k k ii b y l y b l y i n l -=⎧=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩∑… 11(),1,2,n n nn n i i ki k k i nn y x l x y l x i n n l =+⎧=⎪⎪⎨⎪=-=--⎪⎩∑…1 由此求得方程组n n H y b =的解。
线性方程组的直接解法
线性方程组的直接解法
线性方程组（linear equation system）是一类几何问题，也是解决线性系统和代数问题的重要方法，线性方程组由多个联立方程组成，这些方程中也可能含有未知量。
直接解法是把数学模型转换为数值模型，并给出实现其解题步骤的算法，它不同于间接求解的方法，既不做任何假设，也不处理不确定性问题，只是简单地直接求解线性方程组。
解线性方程组的直接解法主要分为三种，分别是高斯消元法、列主元消去法和列坐标变换法。
高斯消元法是一种比较常用的方法，主要是把线性方程组的未知量从左到右一步步求出来，其中用到的主要技术是把矩阵中部分元素消去为零，以便求解不定线性方程组的未知量。
而列主元消去法则是以一列为主元，去消除其他联立方程中出现的此列中的变量，从而最终求出其他未知变量的值。
最后，列坐标变换法是将线性方程组转换为一个更有利于求解的矩阵，其中未知量可以直接求得解答。
除了这三种常见方法外，还有一些更特殊的直接解法，比如要解常微分方程的未知函数，可以用拉格朗日方法和分部积分方法，再比如求解雅各比方程的根，可以通过主副方程互解求解，这种方法也叫作特征根法。
综上，解线性方程组的直接解法有高斯消元法、列主元消去法、列坐标变换法等；特殊问题可以采用拉格朗日方法、分部积
分法和特征根法等。
每种方法都有自己的优势，因此在使用时，可以根据问题的特点，选择适合的方法来解决。
数值分析线性方程组的直接解法
数值分析课程实验报告实验名称线性方程组的直接解法_____________________实验目的①掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤；②了解高斯消去法可能遇到的困难。
用文字或图表记录实验过程和结果列主元高斯消去法算法描述将方程组用增广矩阵B=[A：b]=（a j \心申）表示。
步骤1:消兀过程，对k=12|j|, n—1（1）选主元，找i k亡｛k,k+1,川,n｝使得k卜maxi a ikai k，（2）如果a i k,k = 0 ,则矩阵A奇异，程序结束；否则执行（3）。
（3）如果ik^k,则交换第k行与第i k行对应兀素位置，aq㈠a i k j,j=k,IH, n + 1。
（4）消兀，对i = k +1」H,n，计算m k=a k / a kk,对j = k +1,川,n +1，计算a j = a ij — m ik a^.步骤2:回代过程：（1）右a nn -0,则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）。
厲（2）nX n =a ng/a nn；对i = n—1川,2,1，计算X j = a,n 出一》a j X j /a H< j4 丿三、练习与思考题分析解答1、解方程组0.10伙2.304X2 3.555X3 =1.183-1.347为3.712X2 4.623X3 = 2.137-2.835X, 1.072X25.643X^3.035（1）编程用顺序高斯消去法求解上述方程组，记下解向量，验证所得到的解向量是否是原方程组的解，若不是原方程组的解，试分析原因，并证实你的分析的正确性!解：采用顺序消元法求得如下结果：请输入一个3行矩阵0.101 2.304 3.555 1.183-1.347 3.712 4.623 2.137-2.835 1.072 5.643 3.0350.101 2.304 3.555 1.1830 34.4396 52.0347 17.91420 0 6.09738 2.0435最后计算得到x =(-0.3982,0.0138,0.3351) T，代入原方程验证可知解向量是原方程组的解。
数值分析 第三章解线性方程组的直接法
T T A LDU 0 , AT U 0 DT LT , A AT U 0 L A LDLT
由于A是正定矩阵，所以D中的元素都大于零，可以把D也再分解
14
d11 d11 1 1 1 d 22 D2 D2 , D2 D d nn
lii 1,lik 0 k i , ukj 0 k j
11
ai1 由此得算法： u1 j a1 j , j 1, 2,, n; li1 a ,i 1, 2,, n 11
uij aij lik ukj , j i, i 1,, n; lij
还可以进一步用标度化的选主元(相对最大)
6
第三节 矩阵的三角分解
消元法求解方程组是通过行初等变换把系数矩阵化为对角阵,由 线性代数知识可知,左乘一个初等矩阵,就相当于做一次行变换.
1 a 21 a11 a 记 L = 31 1 a11 an1 ห้องสมุดไป่ตู้ 11
第三章 解线性方程组的直接法
第一节 引言
解线性方程组的方法可分为两大类:直接法和迭代法. 直接法的基本原理就是高斯消元法,再根据数值计算的特点 做一些适当的处理而得到的一类算法.直接法的特点是没有 截断误差,只有计算误差(舍入误差). 迭代法是类似于上一章单个方程那样,以某种方式构造一 个向量序列,使得这个向量序列收敛到解向量.因此迭代 法既有截断误差又有舍入误差.
0.01000 0.01200 0 0.100 103 0 0 .
8.010 44.41 1175 105 6517 105 x3 5.546; x2 100.0; x1 104.0 0.1670 0.6781
关于线性方程组求解的论文
线性方程组的求解问题摘要:线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支。
其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。
本文先简要介绍了线性方程组求解的历史，然后给出线性方程组解的结构。
重点介绍了解线性方程组的几种方法:消元法，克拉默法则和利用向量空间概念求解线性方程组的方法。
最后介绍了如何利用Matlab、Excel等常用电脑软件解线性方程。
关键词:线性方程组克拉默法则 Matlab1.线性方程组求解的历史线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中已作了比较完整的论述。
其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。
在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。
他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。
麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。
克莱姆不久也发表了这个法则。
18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了一元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
法国数学家范德蒙不仅对行列式理论本身进行了开创性研究，而且把行列式应用于解线性方程组。
英国数学家凯莱用矩阵表示线性方程组及线性方程组的解。
19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。
格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解。
2.线性方程组解的结构n元线性方程组的一个解(c1,c2,……c n)是一个，维向量，当方程组有无穷多个解时，需要研究这些解向量之间的关系，以便更透彻地把握住它们。
关于齐次线性方程组的解的结构有以下结论:1)定义1齐次线性方程组的一组解η1，η2……ηt称为该方程组的一个基础解系，如果a)该方程组的任一解都能表成η1，η2……ηt的线性组合。
数值分析实验报告二求解线性方程组的直接方法
数值分析实验报告二求解线性方程组的直接方法数值分析实验报告二求解线性方程组的直接方法姓名：刘学超日期：3/28一实验目的1.掌握求解线性方程组的高斯消元法及列主元素法；2.掌握求解线性方程组的克劳特法；3.掌握求解线性方程组的平方根法。
二实验内容1.用高斯消元法求解方程组(精度要求为)：2.用克劳特法求解上述方程组(精度要求为)。
3.用平方根法求解上述方程组(精度要求为)。
4.用列主元素法求解方程组(精度要求为)：三实验步骤(算法)与结果1用高斯消元法求解方程组(精度要求为)：#include#define n3 void gauss(double a[n][n],double b[n]) {double sum1=0,sum2=0,sum3=0,sum4=0；double l[n][n],z[n],x[n],u[n][n]；int i,j,k；for(i=0；i n；i++)l[i][i]=1；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n；j++){if(i=j){for(k=0；k=i-2；k++)sum1+=l[i][k]*u[k][j]；u[i][j]=a[i][j]-sum1；}if(i j){for(k=0；k=j-2；k++)sum2+=l[i][k]*u[k][j]；l[i][j]=(a[i][j]-sum2)/u[j][j]；}}for(k=0；k=i-2；k++)sum3+=l[i][k]*z[k]；z[i]=b[i]-sum3；for(i=n-1；i=0；i--){for(k=i；k=n-1；k++)sum4+=u[i][k]*x[k]；x[i]=(z[i]-sum4)/u[i][i]；}}for(i=0；i n；i++)printf("%.6f",x[i])；}main(){double v[3][3]={{3,-1,2},{-1,2,2},{2,-2,4}}；double c[3]={7,-1,0}；gauss(v,c)；}2用克劳特法求解上述方程组(精度要求为)#include#include#include#define n3 int main(){float u[n][n],l[n][n],d[n]={7,-1,0},x[n]；float a[3][3]={{3,-1,2},{-1,2,2},{2,-2,4}}；int i,j,k；printf("equations：\n")；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n-1；j++)printf("(%f)Y%d+",a[i][j],j+1)；printf("(%f)Y%d=%f",a[i][n-1],n,d[i])；printf("\n")；} printf("\n")；for(j=0；j n；j++)for(i=j；i n；i++)l[i][j]=a[i][j]；for(i=0；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)u[i][j]=a[i][j]；for(j=1；j n；j++)u[0][j]=u[0][j]/l[0][0]；for(k=1；k n；k++){for(j=k；j n；j++)for(i=j；i n；i++)l[i][j]-=l[i][k-1]*u[k-1][j]；for(i=k；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)u[i][j]-=l[i][k-1]*u[k-1][j]；for(i=k；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)u[k][j]=u[k][j]/l[k][k]；}d[0]=d[0]/l[0][0]；for(k=0；k 2；k++){for(i=k+1；i n；i++)d[i]-=d[k]*l[i][k]；d[k+1]/=l[k+1][k+1]；}for(i=0；i n；i++)x[i]=d[i]；for(k=n-2；k 2-n；k--)for(i=k；i-1；i--)x[i]-=x[k+1]*u[i][k+1]；for(j=0；j n；j++)for(i=j；i n；i++)printf("l[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,l[i][j])；printf("\n")；for(i=0；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)printf("u[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,u[i][j])；printf("\n")；for(i=0；i n；i++)printf("d%d=%f\n",i+1,d[i])；printf("\n")；printf("the result is：\n")；for(i=0；i n；i++)printf("Y%d=%f\n",i+1,x[i])；getch()；}结果：3用平方根法求解上述方程组(精度要求为)#include#define n3 void gauss(double a[n][n],double b[n]) { double sum1=0,sum2=0,sum3=0,sum4=0；double l[n][n],z[n],x[n],u[n][n]；int i,j,k；for(i=0；i n；i++)l[i][i]=1；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n；j++){if(i==j){for(k=0；k=i-2；k++) sum1+=pow(l[i][k],2)；l[i][j]=sqrt(a[i][i]-sum1)；}if(i j){for(k=0；k=j-2；k++) sum2+=l[i][k]*u[k][j]；l[i][j]=(a[i][j]-sum2)/l[j][j]；} }for(k=0；k=i-2；k++) sum3+=l[i][k]*z[k]；z[i]=(b[i]-sum3)/l[i][i]；for(i=n-1；i=0；i--){for(k=i；k=n-1；k++) sum4+=l[k][i]*x[k]；x[i]=(z[i]-sum4)/l[i][i]；}}for(i=0；i n；i++)printf("%.6f",x[i])；}main(){double v[3][3]={{3,-1,2},{-1,2,2},{2,-2,4}}；double c[3]={7,-1,0}；gauss(v,c)；}结果：4用列主元素法求解方程组(精度要求为)：#include#include#define n3 int main(){float u[n][n],l[n][n],d[n]={7,-1,0},x[n]；float a[n][n]={3,-1,2,-1,2,-2,2,-2,4}；int i,j,k；printf("equations：\n")；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n-1；j++)printf("(%f)Y%d+",a[i][j],j+1)；printf("(%f)Y%d=%f",a[i][n-1],n,d[i])；printf("\n")；}printf("\n")；for(i=0；i n；i++)for(j=0；j n；j++)l[i][j]=a[i][j]；for(i=0；i n；i++)for(j=0；j n；j++)u[i][j]=a[i][j]；l[0][0]=sqrt(l[0][0])；u[0][0]=sqrt(u[0][0])；for(i=1；i n；i++)l[i][0]/=u[0][0]；for(j=1；j n；j++)u[0][j]/=l[0][0]；for(k=1；k 3；k++){for(j=0；j k；j++)l[k][k]-=pow(l[k][j],2)；l[k][k]=sqrt(l[k][k])；for(i=k+1；i n；i++)for(j=0；j k；j++)l[i][k]-=l[i][j]*l[k][j]；for(i=k+1；i n；i++)for(j=0；j k；j++)l[i][k]/=l[k][k]；}d[0]=d[0]/l[0][0]；for(k=0；k 2；k++){for(i=k+1；i n；i++)d[i]-=d[k]*l[i][k]；d[k+1]/=l[k+1][k+1]；}for(i=0；i n；i++)for(j=0；j n；j++)u[i][j]=l[j][i]；for(k=n-1；k 1-n；k--){x[k]=d[k]/u[k][k]；for(i=k-1；i-1；i--)d[i]=d[i]-u[i][k]*x[k]；}for(j=0；j n；j++){for(i=j；i n；i++)printf("l[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,l[i][j])；} printf("\n")；for(i=0；i n；i++){for(j=i；j n；j++)printf("u[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,u[i][j])；} printf("\n")；printf("the result is：\n")；for(i=0；i n；i++)printf("Y%d=%f\n",i+1,x[i])；}结果：四实验收获与教师评语。
数值分析第五章解线性方程组的直接法
数值分析第五章解线性方程组的直接法解线性方程组是数值分析中的一个重要问题，对于大规模的线性方程组来说，直接法是一种常用的求解方法。
本文将介绍解线性方程组的直接法，包括高斯消元法和LU分解法，并对其稳定性和计算复杂度进行讨论。
高斯消元法是一种常用的直接法，用于求解非奇异线性方程组。
其基本思想是通过初等行变换将线性方程组转化为上三角方程组，然后通过回代求解得到方程的解。
高斯消元法的步骤如下：1.将线性方程组表示为增广矩阵[A，b]，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
2.从第一行开始，选择一个非零元素作为主元，通过行变换将主元下方的元素全部消为零。
3.重复第2步，直到矩阵变为上三角矩阵。
4.通过回代求解上三角矩阵，得到方程组的解。
高斯消元法的主要优点是简单直接，容易实现，但存在一些问题。
首先，如果系数矩阵A是奇异矩阵，即行列式为零，那么高斯消元法无法得到方程组的解。
其次，如果系数矩阵A的其中一行或几行接近于线性相关，那么在消元过程中会引入大量的舍入误差，导致计算结果不准确。
这也说明了高斯消元法的稳定性较差。
为了提高稳定性，可以使用LU分解法来解线性方程组。
LU分解法将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
这样，原始的线性方程组可以表示为LUx=b，进而可以通过两个步骤来求解方程组：1.进行LU分解，将系数矩阵A分解为L和U。
2.分别用前代和回代的方法求解方程组Ly=b和Ux=y。
LU分解法相对于高斯消元法的优点是，可以在求解多个右端向量时，避免重复计算LU分解，从而提高计算效率。
同时，LU分解法的稳定性也较高，对于多个右端向量求解时，舍入误差的累积相对较小。
然而，LU分解法也存在一些问题。
首先，LU分解法的计算复杂度较高，需要进行两次矩阵乘法和一次矩阵向量乘法，而且LU分解过程中需要对系数矩阵A进行大量的行变换，增加了计算量。
其次，当系数矩阵A的一些元素非常小或非常大时，LU分解法容易出现数值不稳定的情况，即舍入误差的累积较大，导致计算结果不准确。
数值分析-线性方程组的直接解法
U =
Columns 1 through 7
16.0000 10.0000 -11.0000 -9.0000 17.0000 34.0000 2.0000
0 4.5000 3.2500 -3.2500 10.2500 15.5000 -2.5000
0 0 -3.2222 10.2222 -3.7778 -3.4444 1.5556
fori=2:n
t=0;
fork=1:i-1
t=t+L(i,k)*b(k);
end;
b(i)=b(i)-t;
end;
y=b
x(n)=b(n)/U(n,n);
fori=n-1:-1:1
t=0;
fork=i+1:n
t=t+U(i,k)*x(k);
end;
x(i)=(y(i)-t)/U(i,i);
end;
ifk~=1
A(k:n,k)=A(k:n,k)-A(k:n,1:k-1)*A(1:k-1,k);
end
t=find(abs(A(k:n,k))==max(abs(A(k:n,k))));
t=t(1)+k-1;
flag(k)=t;
ift~=k
p=A(k,:); A(k,:)=A(t,:); A(t,:)=p;
A=[4 2 -3 -1 2 1 0 0 0 0;
8 6 -5 -3 6 5 0 1 0 0;
4 2 -2 -1 3 2 -1 0 3 1;
0 -2 1 5 -1 3 -1 1 9 4 ;
-4 2 6 -1 6 7 -3 3 2 3;
8 6 -8 5 7 17 2 6 -3 5;
0 2 -1 3 -4 2 5 3 0 1;
数值分析第五章线性方程组直接解法
x3 1 x2 8 7x3 1
x1 2 2x2 2x3 2
3
Gauss 消去法
考虑 n 阶线性方程组：
a11x1 a12x2 ... a1nxn b1
a21
x1
a22 x2
...
a2n xn
b2
an1x1 an2x2 ... annxn bn矩阵形式Biblioteka Ax b109 1
1
0 109 109
列主元Gauss消去法：
109 1 1
1
1 2
1 1 2 109 1 1
x2 1, x1 0
x1 x2
1 1
数值分析
第五章 解线性方程组的直接方法
—— 矩阵三角分解法
18
LU 分解
1、LU分解 将 Gauss 消去过程中第 k-1 步消元后的系数 矩阵记为：
10
LU 分解存在唯一性
LU 分解存在
高斯消去法不被中断
所有顺序主子式不为零
a(k) kk
0
定理：若 A 的所有顺序主子式不为零，则 A 存在 唯一的 LU分解
11
列主元 Gauss 消去法
Gauss 消去法有效的条件是： 主元全不为零
例：解线性方程组
0 1
1 0
x1 x2
1 1
列主元 Gauss 消去法
( k = 1, …, n-1)
a(k) nk
a(k) nn
A L A 则 A(k) 与 A(k+1) 之间的关系式可以表示为： (k1)
(k) k
其中： 1
Lk
1 mk1,k 1
mik
a(k) ik
a(k) kk
( i = k + 1, …, n )
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题目：煤层瓦斯含量规律分析算法：线性方程组的直接接法组号：22组员：张玉柱薛洪来孔杰商鹏煤层瓦斯含量规律分析张玉柱，薛洪来，孔杰, 商鹏（河南理工大学安全学院，河南焦作454000）摘要：通过煤层瓦斯含量预测数学模型的建立，研究对煤层瓦斯含量预测影响的煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素，确定影响瓦斯含量的多元回归方程，为瓦斯含量的预测和估计提供了一定的理论依据。
关键词：瓦斯含量；模拟测试Mathematical models of gas content predictYuzhu-zhang, Honglai-xue, jie-kong, peng-shang(School of Safety Science and Engineering, Henan Polytechnic University，Jiaozuo．454000，China)Abstract: Through the gas content prediction mathematical model. Research on the impact of coal seam gas content prediction top bottom elevation, the buried depth, thickness of the overlying strata, volatile gradation factors. Determine the impact of gas content and multiple regression equation for the gas content prediction and estimate provided theoretical basis.Key words：teetonicslly coal；simulation test0.问题背景瓦斯是指在煤矿生产过程中，从煤层、岩层和采空区放出的各种有害气体的总称，其中甲烷是瓦斯的主体成分，所以狭义的矿井瓦斯一般是指甲烷，主要来自煤层，它构成威胁煤矿开采的主要危险。
它对矿井安全的威胁主要有突出、爆炸、和窒息三种形式，最严重的瓦斯灾害是瓦斯爆炸和瓦斯突出事故，它严重威胁着井下人员的生命和矿井设施的安全[1]。
瓦斯含量是影响煤矿安全生产的重要因素，因此，加强煤层瓦斯含量预测方法及瓦斯涌出的影响因素研究，掌握煤层瓦斯含量预测规律，对改善我国煤矿安全生产状况具有积极的意义[2]。
本文收集、整理和分析了大量实测数据资料，通过实测和数学方法，研究对瓦斯含量预测影响的煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素，确定影响瓦斯含量的多元回归方程。
最后，运用该方法对夏店煤矿回采工作面进行了瓦斯含量预测，结果与现场实测数据基本吻合。
根据夏店煤矿的生产实际，对瓦斯含量影响因素进行分析，研究瓦斯含量与煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素之间的关系，对夏店煤矿防治矿井瓦斯灾害，确保煤矿安全生产具有重要意义。
1. 问题分析及模型影响煤层瓦斯含量预测的有煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素。
如何判断这些因素对煤层瓦斯含量的影响程度，建立对煤层瓦斯含量影响程度大的因素的相关方程，是预测煤层瓦斯含量的关键。
通过测量收集煤层瓦斯含量影响因素的实际值，代入相关方程就可以预测煤层瓦斯含量。
瓦斯含量预测过程常用回归分析方法，用来研究煤层瓦斯含量y 与其影响煤层瓦斯含量变量x 之间的关系[3]。
简单的说，就是把对煤层瓦斯含量y 有显著影响的自变量x 逐个引入回归方程。
首先选出与y 相关程度最大的自变量，通过统计检验，表明该自变量的作用显著时，则将其引入回归式。
然后在剩余的自变量中再挑选与y 关系密切的自变量。
当引入的自变量由于后来变量的引入使它对因变量的作用有显著变为不显著时，则随时将他们从回归式中剔除。
因此，逐步回归每次在引入新变量的显著变量之前和剔除不显著变量之后，回归式中只包含显著变量。
如此反复进行，直到再也没有一个自变量可以剔除为止。
最终确定煤层瓦斯含量预测回归方程。
确定回归方程后，把测量和收集的相应自变量数据代入。
通过线性方程组Gauss 消去法求得相应自变量系数，建立煤层瓦斯含量预测方程。
2. 多元线性回归方程原理多元线性回归分析方法，通常是把所有m 个自变量全部引入回归方程，不管自变量对因变量是否有显著影响。
实际上，我们经常需要从许多自变量中“挑选”出有意义的自变量，建立一个“最优”的回归方程。
所谓“最优”的回归方程，就是包含所有对因变量有显著作用的量，而不包含对因变量无显著影响的变量的回归方程[4]。
因此，在线性回归分析中发展了对自变量进行筛选的数学方法，而逐步回归分析中发展了对自变量进行筛选的数学方法，而逐步回归方程目前被认为是一种较合理的方法。
回归分析是瓦斯含量预测过程一种常用的统计分析方法，用来研究某一变量与其他若干变量之间的关系，也可以定量确定一个变量随其变量变化如何变化。
通常被回归的变量用y 表示，称其因变量；影响因变量的其它因素用x 1,x 2,…,x m 表示，称为自变量。
回归分析中，假设进行n 次观测，观测值为（x 1k ,x 2k ,…,x mk ；y k ） （k=1,2,… n ）那么：),,2,1,())((1m j i y y x xl j jk nk i ikij ⋯=⋯⋯--=∑=(2-1)),,2,1,())((10m j i y y x xl k nk iki ⋯=⋯⋯--=∑=(2-2)00l =错误！未找到引用源。
(2-3)∑==nk ky ny 11(2-4)错误！未找到引用源。
∑==nk iki x x 1n1均 错误！未找到引用源。
(i,j=1,2…,m)(2-5)回归方程为：=^y =m m x b x b +⋯+++22110x b b(2-6)式中回归系数b1,b2,……，bm 由下方程组通过Gauss 消去法解出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++02211202222121101212111..................................................m m mm m m m m m m lb l b l b l l b l b l b l l b l b l b l (2-7)常数项b 0= ∑=-mk i ix by 1(2-8)然后用方差分析法对回归方程进行显著性效果检验，说明因变量与自变量密切的相关程度。
3. 算法的M ATLAB 实现3.1 最优回归方程和实验数据由影响夏店煤矿瓦斯含量的重要因素，把煤层底板标高、埋藏深度和上覆基岩厚度作为因变量，瓦斯含量作为因变量（见表1），进行多元回归分析。
整理、计算已采区的瓦斯实际含量数据及对应的顶板泥岩和上覆基岩厚底，选取13组数据。
选择瓦斯含量y 为因变量，煤层厚度x1、埋藏深度x2挥发分x3和底板标高x4三个自变量（表3）建立多元线性回归方程（2-6），采用逐步回归的方法对自变量进行筛选直到建立最优的回归方程。
443322110x b x b x b x b b y ++++= (3-1)式中：b 0——常数项b 1,b 2,b 3,b 4——待定系数回归方程的显著性检验见表2。
F 统计量的值为6.0972，大于查表临界值3.86，回归是显著的，说明瓦斯含量与埋藏深度和上覆基岩厚度两个自变量有密切的相关关系，回归方程具有实际意义。
表1 瓦斯含量影响因素关系表Table 1 factors affecting gas content relation table影响因素（x ） 瓦斯含量（y ）与影响因素（x ）关系式相关系数 底板标高 002.230308.0-+=x y 0.7884 埋藏深度9638.5-0311.0x y = 0.8654上覆基岩厚度9139.4-0299.0x y = 0.8432 上覆30m 内泥岩厚度3095.0-4413.0x y = 0.2332下伏20m 内泥岩厚度2111.3-8948.0x y = 0.5272煤层厚度 195.321369.4-+=x y 0.179 煤的变质程度 （挥发份/%）01.1350.0-+=x y0.203表2 方差分析法进行显著性效果检验Table 2 variance analysis significant effectinspection方差来源平方和均方统计量置信限统计推断 回归∑==ml i i lb 1S 回ms 回回S =余回s s F =a F当F>F a 时，认为回归显著，线性相关密切；当F>F a 时，认为回归不显著，线性相关不密切。
其中F a =3.86126.304942.1016（m,n-m-1)剩余回余S l S -=001--=m n S s 余余39.62434.40276.09723.86表3 夏店煤矿3号煤层瓦斯含量及其影响因素统计表Table 3 No. 3 coal mine of Xiadian factors affecting gas content statistical table样品 煤厚 埋深 上覆30m 内泥岩厚度下伏20m 内泥岩厚度 挥发份顶板岩性 上覆基岩厚度标高 瓦斯含量JJ-1 6.1 435.8 15.3 7.68.55 砂质泥岩 421.26 491.748 5.5ZK3-1 5.9 427.6 14.85 12.55 11.41 泥岩400.8 565.261 3.2 ZK3-3 5.65 523.8 12.8 15 9.62 砂质泥岩517.55 408.635 13样品煤厚埋深上覆30m内泥岩厚度下伏20m内泥岩厚度挥发份顶板岩性上覆基岩厚度标高瓦斯含量ZK1-1 5.54 290.67 7.98 6.29 10.44 砂质泥岩268.3 639.952 1.7 ZK1-2 5.6 368.75 6.5 9.78 砂质泥岩358.65 588.895 1.3 ZK6-2 5.6 426.8 17.37 10.33 9.98 泥岩417.4 500.607 7 ZK7-1 6.2 386.95 14.95 9.55 15.42 泥岩360.4 596.527 5.2 503 5.9 188.41 11.35 泥岩147.02 714.98 1 604 6.32 433.81 13.29 泥岩420.24 458.87 6.7 602 5.72 282.84 10.27 泥岩274.33 675.56 3.3 804 6.15 536.47 9.73 泥岩483.83 458.71 11.3 802 5.23 288.93 12.02 泥岩271.01 640.15 4.1 709 5.93 480.75 11.87 砂质泥岩471.25 441.23 8.3 3.2 Matlab程序代码确定估计系数b0, b1, b2, b3，b4原则是根据线性方程组Gauss消去法[5]，把表3数据输入Matlap程序如下：function b=gauss(A,x) % 高斯求解方程组%b=gauss(A,x)n=length(A);a=[A,x];for k=1:n-1maxa=max(abs(a(k:n,k)));if maxa==0return;endfor i=k:nif abs(a(i,k))==maxay=a(i,k:n+1);a(i,k:n+1)=a(k,k:n+1);a(k,k:n+1)=y; break;endendfor i=k+1:nl(i,k)=a(i,k)/a(k,k);a(i,k+1:n+1)=a(i,k+1:n+1)-l(i,k).*a(k,k+1:n+1); endend%回代if a(n,n)==0 return endx(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1x(i)=(a(i,n+1)-sum(a(i,i+1:n).*x(i+1:n)))/a(i,i); end调用示例如下：>>A=[1,6.1,435.8,8.55,491.748;1,5.9,427.6,11.41,565.261;1,5.65,523.8,9.62,408.635;1,5.54,290.67,10.44,639.952;1,6.2,386.95,15.42,596.527;1,5.72,282.84,10.27,675.56;1,6.15,536.47,9.73,458.71;1,5.93,480.75,11.87,441.23]; >> x=[5.5; 3.2; 13; 1.7; 5.2;3.3;11.3;8.3]; >>b=gauss(A,x)b=18.2583 -1.3535 0.1350 0.1267 -0.0209可求得：b 0=18.2583，b 1=-1.3535，b 2=0.1350，b 3=0.1267，b 4=-0.0209 则回归方程为：y=18.2583-1.3535x 1+0.1350x 2+0.1267x 3-0.0209x 4 (3-2)4. 煤层瓦斯含量预测结果及分析4.1 煤层瓦斯含量预测结果通过以上分析，得出该矿影响瓦斯含量的多元回归方程如下，预测井田北部瓦斯含量。