极化恒等式在高中数学应用

)3* ∠BAC = 90◦；
)4* AB = AC<
)5* AC = BC/
3/
在 △ABC
中- 点 M
是边 BC
的中点-AM
= 3, BC
=
10,
则A# B»
·
#» AC
=
.
4/
在正 △ABC
中- 点 D
是边 BC
上的点-AB
= 3, BD
=
1,
则A# B»
·
#» AD
=
.
5/
已知向量
#a»,
#» b
# »2 # »2
AC + BD = 2 AB + AD .
3/ 三角形中线的性质; 在 △ABC 中- 点 O 是边 BC 的中点- 则有
# »2 # »2
# »2 # »2
AC + AB = 2 AO + OB .
推论 2 推论 3
# »2 1 # »2 # »2
# »2
AO = AC + AB − OB ;
极化恒等式在解题中的妙用
极化恒等式简介
极化恒等式
已知向量
#a»,
#» b
是平面上两个向量，则有
变形形式： 2/ 平行四边形的一个重要结论：
#a» ·
#» b
=
1 [( #a»
+
#b»)2
− ( #a» −
#b»)2].
4
4 #a»
·
#» b
=
( #a»
+
#b»)2
−
( #a»
−
#b»)2.
# »2 # »2
为双曲线右支上一点-
则
# P
» A1
·
# P
» F2
的最小值
共3页 第3页
2
# »2 1 # »2 # »2 1 # »2
AO = AC + AB − BC ;
2
4
经典剖析
2/
已知点 P0 是 △ABC 的边 AB 上一定点，满足 P0B
# P0
» B
·
#» P0 C ,
则下列说法中一定正确的有
=
1 AB- 且对于 AB 4
/
上任意一点
P
-
恒有
# P
» B
·
# P
» C
)2* ∠ABC = 90◦；
A1
B1C1D1
上一点-
则
# P
»# A·P
C»的取值范围是
.
# »2 # »2
PA + PB
8/ 已知点 P 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上中线 CD 的中点，则
# »2
=
.
PC
9/
已知点 P 是
x2 y2 +
=
1
上任意一点-F
为其左焦点-
则
#» OP
·
#» FP
的最大值是
/
43
:/
在半径为 2 且圆心角为 60◦ 的扇形 AOB 中，点 C
是圆 M
:
x2
+ (y
− 2)2
=
1
的直
径-
则
# P
» E
·
# P
» F
的
最大值
是
16 8/
23/
若直线 x − y + 2 = 0 与圆 C
: (x − 3)2 + (y − 3)2
= 4 相交于 A, B
两点-
则
#» CA
·
# C
» B
=
/
24/
已知双曲线 C 是
:
x2 −
y2 /3
=
1 的左顶点 A1- 右焦点 F2- 点 P
是平面内
3
个互相垂直的单位向量-
若向量
#c» 满足 ( #a» −
#c»)
·
(
#» b
−
#c») = 0- 则 | #c»| 的最大值
是
.
6/
在 △ABC
中- 点 D
是边 BC
的中点-AB
= 2, AC
=
3,
则A# D»
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
·
#» BC
=
.
7/
已知点 P
是棱长为
2
的正方体
AB
C
D−A1B1C1
D1
的底面
为圆弧上的动点-AB与OC
交于点
P
-
则
#» OP
·
#» BP
的最小
值是
/
21/
已知 M (x0, y0) 是双曲线 C 的取值范围是
:
x2 2
− y2 /
=
1
上的任意一点-F1,
F2
分别是其两个焦点-
若
# M
» F1
·
# M
» F2
<
0.
则
y0
共3页 第2页
22/ 已知点 P 是
x2 y2 +
=
1 上任意一点-EF