极化恒等式在高中数学应用

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极化恒等式高中数学向量

极化恒等式高中数学向量《神奇的极化恒等式——高中数学向量的魔法钥匙》嘿！同学们，你们知道吗？在咱们高中数学里，有个超级神奇的东西，叫极化恒等式！这玩意儿就像是一把神奇的魔法钥匙，能打开向量世界里好多神秘的大门。

记得有一次上数学课，老师在黑板上写下了极化恒等式的公式，那一堆字母和符号，看得我脑袋都大啦！我心里直犯嘀咕：“这到底是啥呀？怎么这么复杂！” 老师好像看出了我们的困惑，笑着说：“同学们，别着急，咱们慢慢来。

”老师开始给我们讲解，他说：“极化恒等式就像是一座桥梁，把向量的长度和数量积联系在了一起。

” 我还是不太明白，就小声问同桌：“你懂了吗？” 同桌摇摇头说：“没有啊，感觉好难！” 这时候，前面的学霸转过头来，一脸自信地说：“这有啥难的，仔细听老师讲就懂啦！” 哼，我心里不服气，难道我就听不懂啦？老师接着举例子，在黑板上画了一个图，边画边说：“你们看，如果把向量A 和向量B 想象成两个小伙伴在走路，那么极化恒等式就能算出他们之间的某种特殊关系。

” 我突然好像有点感觉了，这不就跟我们平时走路算距离差不多嘛！后来，老师又出了几道练习题让我们做。

我一开始抓耳挠腮，怎么都做不出来。

我着急地想：“哎呀，这可怎么办呀？” 就在我快要放弃的时候，我突然灵光一闪，想起了老师讲的关键步骤，一下子就做出来了！我兴奋地喊了出来：“我做出来啦！” 周围的同学都投来了惊讶的目光。

经过那次之后，我发现极化恒等式其实也没那么可怕。

它虽然看起来复杂，但只要我们用心去理解，多做几道题，就能掌握它的奥秘。

这不就像我们学骑自行车吗？一开始觉得摇摇晃晃，根本掌握不了平衡，可是练得多了，自然而然就能骑得稳稳当当啦！极化恒等式也是这样，只要我们不害怕它，勇敢地去探索，就能发现它的美妙之处。

所以呀，同学们，别被极化恒等式一开始的样子吓到，只要我们坚持学习，它一定会成为我们在数学世界里的好帮手！。

极化恒等式的应用

极化恒等式的应用作者：高立东
来源：《数学学习与研究》2020年第14期
【摘要】在高中数学向量的学习中，极化恒等式虽然不是教材中的公式，但它可以由基本公式得出，在解决一些问题时，能够起到很好的作用.本文通过具体的例子，介绍了极化恒等式及其应用.
【关键词】极化恒等式
综上可见，极化恒等式虽然不是重要的公式，但如果我们对它有所了解并基本掌握，在解决具体问题，特别是一些讨论范围的小题时，往往会起到意想不到的效果.
向量数量积的最值问题还可以从多角度去思考，如：定义法、坐标法、基底法和几何意义法等.当题目涉及直线、平面或空间的一个动点，需要求两个向量数量积的最值的时候，教师可以引导学生利用極化恒等式去寻找解决问题的思路，把向量数量积的最值问题转化为某个向量模的最大值，进而找到该向量的模取得最值时的动点的位置，有利于揭示向量问题的本质，有利于理解向量作为沟通代数与几何的桥梁作用，有利于领悟数形结合的数学思想，有利于分辨向量知识的源与流，从而摆脱题海战术，提高教学效率.
【参考文献】
[1]施健昌.巧用四“化” 破解极化恒等式之惑[J].中学数学教学参考，2015（12）.
[2]王红权，李学军，朱成万.巧用极化恒等式妙解一类向量题[J].中学教研（数学），2013（08）.。

高考数学复习考点题型专题讲解6 极化恒等式、投影向量

高考数学复习考点题型专题讲解专题6 极化恒等式、投影向量极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.(2)在平行四边形PMQN 中，O 是对角线交点，则： ①PM →·PN →＝14[|PQ →|2－|NM →|2](平行四边形模式)；②PM →·PN →＝|PO →|2－14|NM →|2(三角形模式).类型一投影向量的应用由投影与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积.例1 已知|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a 在向量e 上的投影向量是________；向量e 在向量a 上的投影向量是________. 答案－2e －18a解析由|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3，向量a 在向量e 上的投影数量：|a |cos 23π＝－2，向量e 在向量a 上的投影数量：|e |cos 23π＝－12，故向量a 在向量e 上的投影向量：－2e ，向量e 在向量a 上的投影向量：－12×a |a |＝－18a .训练1 (1)已知向量a 与b 的夹角为34π，且|a |＝2，|b |＝3，则a 在b 方向上的投影向量与投影向量的长度分别是( ) A.23b ，2B.23b ，－ 2 C.－23b ，2D.－23b ，－ 2 (2)已知向量a ＝(1，2)，A (6，4)，B (4，3)，b 为向量AB →在向量a 上的投影向量，则|b |＝________. 答案 (1)D (2)455解析 (1)设a 在b 方向上的投影向量为λb (λ∈R )，则a ·b ＝λb ·b ，故λ＝a ·b b 2＝|a |cos 34π|b |＝－23.故a 在b 方向上的投影向量为－23b ，a 在b 方向上的投影向量的长度为|a | cos 34π＝－ 2.(2)AB →＝(－2，－1)，由投影公式可知|b |＝|AB →·a ||a |＝|－2×1＋（－1）×2|5＝455.类型二利用极化恒等式求向量的数量积利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤： (1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.例2 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________.(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________.答案 (1)78 (2)32解析 (1)设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n .根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1，联立解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78.即BE →·CE →＝78.(2)连接EG ，FH 交于点O (图略)，则EF →·FG →＝EO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，GH →·HE →＝GO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32.训练2 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.(2)如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________.答案 (1)－16 (2)4解析 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得AB →·AC →＝|AM →|2－14|BC →|2＝9－14×100＝－16.(2)取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，因AB ＝4，AE ＝2，∠BAC ＝60°，故BE ⊥AE ，所以BE ＝2 3. 在△DEB 中，FN 綉12BE ，所以FN ＝3，故BF →·DE →＝2FB →·FD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫FN →2－14DB →2＝2(3－1)＝4.类型三利用极化恒等式求数量积的最值(范围)(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.例3 (1)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________.(2)(2022·济南调研)在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC →2的最小值为________. 答案 (1)214 (2)2 3解析 (1)法一(极化恒等式法)连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD →2－BD →2，又AD ＝12|AB →＋AC →|＝52，故AB →·AC →＝254－BD →2＝254－14BC →2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →)max ＝214.法二(坐标法)以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图，则A (0，3)，C (c ，0)，B (b ，2)，则AB →＝(b ，－1)，AC →＝(c ，－3) 从而(b ＋c )2＋(－4)2＝52，即(b ＋c )2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤（b ＋c ）24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立. (2)取BC 中点O ，PB →·PC →＝PO →2－14BC →2⇒PB →·PC →＋BC →2＝PO →2＋34BC →2≥2PO →2·34BC →2＝3|PO →||BC →|，当且仅当PO ＝32BC 时等号成立.∵PO ≥12h ，∴3|PO →||BC →|≥32h |BC →|＝3S △ABC ＝23，∴PB →·PC →＋BC →2的最小值为2 3.训练3 (1)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________.(2)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB→的最大值是________.答案(1)[0，2] (2)2解析(1)由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径.设内切球的球心为O，则PM→·PN→＝PO→2－ON→2＝|PO→2|－1.由于P为正方体表面上的动点，故|OP|∈[1，3]，所以PM→·PN→∈[0，2].(2)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则OC →·OB →＝OM →2－14＝|OM →|2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号. 所以OC →·OB →的最大值为2.一、基本技能练1.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析由极化恒等式得a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.2.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →＝( )A.－9B.21C.－21D.9答案 D解析 AB →·AD →＝|AO →|2－14|BD →|2＝－7，∴14|BD →|2＝16，BC →·DC →＝|CO →|2－14|BD →|2＝25－16＝9.3.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →＝( )A.－34B.－89C.－14D.－49答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13.法一 FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.法二由极化恒等式得FD →·FE →＝FO →2－14DE →2＝19－1＝－89.4.已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD →·PC →的最大值是( ) A.92B.2 C.32D.34 答案 B解析如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，由极化恒等式可得PD →·PC →＝PE →2－EC →2＝|PE →|2－12，所以当P 与A (B )重合时，|PE →|＝52最大，从而(PD →·PC →)max ＝2. 5.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C.2D.22答案 C解析由极化恒等式(a －c )·(b －c )＝14[(a ＋b －2c )2－(a －b )2]，∵(a －c )·(b －c )＝0，所以(a ＋b －2c )2＝(a －b )2，故c 2＝(a ＋b )·c ，又因为|a |＝|b |＝1，a ⊥b ， ∴|a ＋b |＝2，于是|c |2≤|a ＋b ||c |＝2|c |， ∴|c |≤ 2.6.已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值为( )A.1B. 2C.2D.2 2答案 A解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP与直线x－y＋2＝0垂直时，PA→·PB→有最小值，即PA→·PB→＝PO→2－OB→2＝(2)2－12＝1.故选A.7.已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值为( )A.－14B.－13C.－12D.－1答案 C解析∵PA→＋PB→＝2PO→，∴(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→，取OC中点D(图略)，由极化恒等式得，PO→·PC→＝|PD→|2－14|OC→|2＝|PD→|2－14，又|PD →|2min ＝0，∴(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－12.8.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为( ) A.－2 B.－32C.－43D.－1答案 B解析取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，取AD 的中点E ，连接PE .由△ABC 是边长为2的等边三角形，E 为中线AD 的中点得AE ＝12AD ＝32，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(|PE →|2－|EA →|2) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤|PE →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫322≥2×⎝⎛⎭⎪⎫0－34＝－32，当且仅当|PE →|＝0时，取等号， ∴PA →·(PB →＋PC →)的最小值为－32.9.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________. 答案 1解析取AE 中点O ，设AE ＝x (0≤x ≤1)，则AO ＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO →|2－14|AE |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1. 10.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则PA →·PB →的最小值为________. 答案 16解析设AB 的中点为M ，则PA →·PB →＝PM →2－MA →2＝|PM →|2－9，所以要求PA →·PB →的最小值，只需求|PM →|的最小值，显然当点P 为线段MC 与圆的交点时，|PM →|取得最小值，最小值为|MC |－2. 在△AMC 中，由余弦定理得|MC |2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，所以|MC |＝7，所以|PM →|的最小值为5，则PA →·PB →的最小值为16.11.在Rt△ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2解析取MN 的中点为P ，由极化恒等式得 CM →·CN →＝|CP →|2－14|MN |2＝|CP →|2－12.当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM →·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.12.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________. 答案 [－9，0]解析如图，取CD 的中点G ，连接OG ，MO ，CO ，得OG ⊥CD ，MA →·MB →＝|MO →|2－14|BA →|2＝|MO →|2－16，∵|OC →|≥|OM →|≥|OG →|， ∴7≤|OM →|≤4， ∴MA →·MB →∈[－9，0]. 二、创新拓展练13.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8答案 C解析如图，由已知OF ＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE →|2－14|OF →|2＝|PE →|2－14，∵当P 在椭圆右顶点时，|PE →|2有最大值，|PE →|2max＝254， ∴OP →·FP →的最大值为6.14.(多选)(2022·苏北四市调研)已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A.PB →·PC →＝PD →2－DB →2B.存在点P ，使|PD →|<|P 0D →| C.P 0C →·AB →＝0 D.AC ＝BC 答案 AD解析如图所示，取BC 的中点D ，连接PD ，根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，所以|PD →|≥|P 0D →|，A 正确；B 错误；故由点P 为边AB 上任意一点知：点D 到边AB 上点的距离的最小值为|DP 0→|，从而DP 0⊥AB ， ∴P 0C →·AB →≠0，C 错误；取AB 的中点E ，则由P 0B ＝14AB 知，CE ∥DP 0，故CE ⊥AB ，于是AC ＝BC ，D 正确.15.(2022·宁波模拟)AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，|AB |＝6，若点P 为⊙C 上一动点，则PA →·PB →的取值范围是( ) A.[0，100] B.[－12，48] C.[－9，64] D.[－8，72] 答案 D解析如图，取AB 中点为Q ，连接PQ .∴PA →＋PB →＝2PQ →，PA →－PB →＝BA →，∴PA →·PB →＝14[(PA →＋PB →)2－(PA →－PB →)2]＝14(4|PQ →|2－|BA →|2).又∵|BA →|＝6，|CQ |＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝4，∴PA →·PB →＝|PQ →|2－9， ∵点P 为⊙C 上一动点， ∴|PQ |max ＝5＋|CQ |＝9， |PQ |min ＝5－|CQ |＝1，∴PA →·PB →的取值范围为[－8，72].16.在半径为1的扇形中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于P ，则OP →·BP →的最小值为________. 答案－116解析取OB 的中点D ，作DE ⊥AB 于点E ，连接PD ，则OP →·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，易知|PD →|∈[]|DE →|，|AD →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32，则OP →·BP →＝PD →2－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，12，故所求最小值为－116.17.如图，在平面四边形ABCD 中，AC ＝AD ＝2，∠DAC ＝120°，∠ABC ＝90°，则BD →·BC →的最大值为________.答案 1解析取CD 的中点E ，连接EA ，EB ，∵AC ＝AD ＝2，∠DAC ＝120°， ∴AE ⊥CD ，DE ＝AD sin 60°＝3，由∠ABC ＝∠AEC ＝90°，∴A ，B ，C ，E 四点共圆，且AC 为直径，则BD →·BC →＝|BE →|2－|ED →|2＝|BE →|2－(3)2≤|AC →|2－3＝22－3＝1，所以BD →·BC →的最大值为1.18.(2022·金丽衢12校联考)已知平面向量a ，b ，c ，d 满足|a |＝|b |＝2，a·b ＝0，|b ＋2c |＝2，若(d －a )·(d ＋2b )≤4，则|c ＋d |的取值范围为________. 答案 [0，10＋4]解析如图，因为|a |＝|b |＝2，a ·b ＝0，所以不妨设a ＝OA →＝(2，0)，b ＝OB →＝(0，2).设c ＝OC →，d ＝OD →.因为|b ＋2c |＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＝1，所以可知点C 在以(0，－1)为圆心，1为半径的圆上.设E (0，－4)，M 为AE 的中点，由(d －a )·(d ＋2b )＝AD →·ED →＝DM →2－AM →2＝DM →2－5≤4，可得点D 在以M (1，－2)为圆心，3为半径的圆内(包含边界)，所以|c ＋d |＝|d －(－c )|＝|OD →－OC ′→|＝|C ′D →|∈[0，10＋4].。

巧用极化恒等式,妙解高考向量题

巧用极化恒等式，妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
4a b (a b) (a b)
2
2
极化恒等式的几何意义：
(a b) 2 (a b) 2 a b 4
设OA ＝a, OB b, D为AB的中点，即点 C的轨迹是以D为起点，以
例4
数量积有关的范围问题
点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C1 D1 的底面 A1B 1C 1D1 1 ， 1 上的一点，则 PA PC 的取值范围为 2 .
A
. M B
.P
D1
在ABC中，点 E，F分别是线段 AB，AC的中点，点 P在直线 EF上，若ABC的面积为 2，则 PC PB BC 的最小值是
2 2 1 取BC的中点 D，在 PBC内使用恒等式得： PC PB ＝PD －BD ＝ | PD | 2 | BC | 2 , 4 4 2 2 因为 ABC的高 h , PBC的高为 , 从而 | PD | , | BC | | BC | | BC | 3 4 3 2 从而原式 | PD | 2 | BC | 2 | BC | 2 3 2 4 4 | BC |
解二：建系： AB 所在直线为 x 轴， AB 中垂线为 y 轴，设 AB 4 ， C (a, b), P( x,0) 则 A(2,0), B(2,0), P0 (1,0)
(2 x)(a x) a 1恒成立，即 x 2 (a 2) x a 1 0 在 2 x 2 恒成立， a 2 0 ，即点 C 在 AB 的中垂线上， CA CB 。

极化恒等式的应用

极化恒等式的应用引言极化恒等式是数学中一条重要的关系式，它在各个领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍极化恒等式的定义和性质，并给出一些具体的应用案例。

极化恒等式的定义极化恒等式是指在内积空间中，通过使用内积运算将双线性函数转化为一个向量上的光滑函数。

具体地，对于一个内积空间 V，其内积运算为 \< , \>，则对于任意两个向量v, w ∈ V，极化恒等式可以表示为：\< v, w \> = \frac{1}{4} \left(\|v + w\|^2 - \|v - w\|^2\right)其中，\|v\| 表示向量 v 的范数。

极化恒等式的性质极化恒等式具有以下一些重要的性质：1.对称性：对于任意的v, w ∈ V，极化恒等式成立。

2.线性性：极化恒等式中的向量 v 和 w 可以是任意的线性组合，对应的恒等式仍然成立。

3.正定性：当且仅当 V 是一个欧几里得空间时，极化恒等式成立。

极化恒等式在向量分析中的应用极化恒等式在向量分析中起着重要的作用，以下是一些常见的应用案例：1. 向量正交性证明假设有两个向量 v 和 w，在证明它们正交性时，可以利用极化恒等式。

通过计算 \< v, w \>，若等式右侧的值为 0，则可以得到 v 和 w 的正交性。

2. 向量长度计算对于一个给定的向量 v，可以利用极化恒等式计算其长度。

通过令 w = v，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 的长度，即 \|v\|。

3. 向量夹角计算给定两个向量 v 和 w，可以利用极化恒等式计算它们之间的夹角。

通过令 w = v - w，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 和 w 之间的夹角。

极化恒等式在物理学中的应用极化恒等式在物理学中也有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 电场的计算对于一个给定的电场分布，利用极化恒等式可以计算电场的能量密度。

通过令v 和 w 分别为电场和电位移向量，在极化恒等式中代入并求解，即可得到电场的能量密度。

高中数学极化恒等式公式_概述及解释说明

高中数学极化恒等式公式概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在对高中数学中的极化恒等式公式进行概述和解释说明。

高中数学中，极化恒等式是一类重要的数学公式，具有广泛的应用。

通过深入探究极化恒等式的定义、重要性以及在高中数学中的应用，希望能够帮助读者更好地理解和运用这些公式。

1.2 文章结构本文主要分为五个部分，包括引言、高中数学极化恒等式公式概述、解释极化和恒等式概念、常见的高中数学极化恒等式公式及其证明方法介绍以及结论与展望。

每个部分将详细介绍相关内容，并提供实例和解释，以便读者能够更好地理解。

1.3 目的本文的目的是系统地总结和阐述高中数学中涉及到的极化恒等式公式，并提供相应的证明方法。

通过对这些公式进行深入讲解，旨在帮助读者加深对这些概念的理解，并掌握它们在实际问题中应用的技巧。

同时，本文也将展望未来研究的方向，为相关领域的进一步探索提供思路和建议。

以上是对“1. 引言”部分的详细清晰撰写。

2. 高中数学极化恒等式公式概述2.1 极化恒等式的定义在高中数学中，极化恒等式是指可以在变量或未知数所代表的值满足一定条件的情况下，将一个表达式变为另一个等价的表达式。

极化恒等式通常涉及到代数、三角函数、数列和几何等方面的内容。

它们由数学家们总结得出，是解决问题和推导证明的重要工具。

2.2 极化恒等式的重要性极化恒等式在高中数学教学中具有重要作用。

通过运用极化恒等式，我们可以简化复杂的表达式、推导出新的关系和性质，并解决各种类型的问题。

理解和掌握了极化恒等式，能够提升学生对高中数学概念和方法的理解，在解决实际问题时更加灵活和高效。

2.3 极化恒等式在高中数学中的应用极化恒等式广泛应用于高中数学各个领域。

例如，在代数领域，我们经常使用分配律、合并同类项以及因式分解来转换表达式；在三角函数领域，我们利用三角函数的周期性和各种恒等式来简化计算；在数列领域，我们可以运用递归关系和等差、等比数列的性质；在几何领域，我们使用勾股定理、相似性质和平行线截切定理等。

极化恒等式在向量问题中的应用高三数学专题复习

优点：化动为静，化曲为直，化普通为特殊，破解最值问题
再见
如图1：AC AB AD, DB AB AD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
证明：不妨设AB a, AD b,
则AC a b，DB a b，
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b
（1）
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b
M
所以 a b AM 2 1 DB 2 4
= AM 2 BM 2
AM 2 DM 2
（三角形模式）
例1.在ABC中，M是BC的中点，AM 3, BC 10，
则AB AC ______ .
A
B
M
C
【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。
（2）
（1）（2）两式相加得：AC 2
2
DB
2
2
a
b 2
2
2
AB
AD 2
结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
新课讲授
思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？
a
b
1 4
ab
2
ab
2
————极化恒等式
对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的
引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行
四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 1 . 4
即：
ab
1 4
AC

极化恒等式(教师版)

巧用极化恒等式秒杀向量高考题一、极化恒等式：1.极化恒等式：设b a ,是两个平面向量，则有恒等式])()[(4122b a b a b a --+=⋅ （1） 2.极化恒等式的几何意义：向量a 和b 的数量积b a ⋅等于以a 和b 为邻边的平行四边形的“和对角线”的平方减去“差对角线”的平方的41，即 ][41])[(41])()[(41222222BC AD BC AD b a b a b a -=-=--+=⋅在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即22222241])2[(41])()[(41BC AM BC AM b a b a b a -=-=--+=⋅极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”的平方差的四分之一，因此，当两个向量的“和向量”与“差向量”为定向量时，常常可以考虑极化恒等式进行转化求解二、极化恒等式的应用1.（2012年浙江高考15题）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3=AM ，10=BC ，则=⋅AC AB解法1：（基底法）)()()()(MA MB MA MB MA MC MA MB AC AB --⋅-=-⋅-=⋅1625922-=-=-=MB MA解法2：（坐标法）以点M 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,5(),0,5(C B -，设)sin 3,cos 3(θθA ，则)sin 3,cos 35(),sin 3,cos 35(θθθθ--=---=AC AB16259sin 925cos 9)sin 3()cos 35)(cos 35(222-=-=+-=-+---=⋅θθθθθAC AB 解法3：（极化恒等式）=⋅AC AB 161004194122-=⨯-=-BC AM2.（2011年上海高考11题）在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，3=AB ，1=BD ，则=⋅AD AB解法1：（基底法）)3132(AC AB AB AD AB +⋅=⋅ AC AB AB ⋅+=313222152********=⨯⨯⨯+⨯= 解法2：（基底法）)(BA BD BA AD AB -⋅-=⋅215921132=+⨯⨯-=+⋅-=BA BD BA解法3：（坐标法）以BC 的中点O 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,23(-B , )233,0(),0,21(A D -，所以)233,21(),233,23(--=--=AD AB所以21542743=+=⋅AD AB 解法4：（转化为其它向量的数量积）取BC 的中点E ，则BD AE ⊥所以=⋅AD AB ED EB AE EB ED AE AE ED AE EB AE ⋅+⋅+⋅+=+⋅+2)()(2152123)233(22=⨯+=⋅+=ED EB AE 解法5：（极化恒等式）取BD 的中点M ，则由极化恒等式知215411)233(412222=-+=-=⋅BD AM AD AB 3.（2016年江苏高考13题）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，F E ,是AD 上两个三等分点，4=⋅CA BA ，1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE解法1：（基底法）设b AC a AB ==,，则4=⋅=⋅=⋅b a AC AB CA BA ①)32()32()()(AC AD AB AD AC AF AB AF CF BF -⋅-=-⋅-=⋅1)22(91)3231()3231()3131()3131(22-=--⋅=-⋅-=-+⋅-+=b a b a b a a b b b a a b a ② 联立①②得229,2=+b a所以))(61[])(61[)()(b b a a b a AC AE AB AE CE BE -+⋅-+=-⋅-=⋅87)5526(36122=--⋅=b a b a解法2：（基底法）设a DF b BD ==,，则49)3()3()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DA DB DA CA BA ① 1)()()()(22-=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DF DB DF CF BF ②联立①②得813,852==b a 所以874)2()2()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DE DB DE CE BE 解法3：（坐标法）以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设)0,(a B -， ),(),2,2(),3,3(),0,(y x F y x E y x A a C ，则4)(9)3,3()3,3(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CA BA ① 4)(),(),(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CF BF ②联立①②得813,85222==+a y x 所以813)(4)2,2()2,2(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CE BE 解法4：（极化恒等式）设a FD EF AE ===，则4419412222=-=-=⋅=⋅BC a BC AD AC AB CA BA ①141412222-=-=-=⋅=⋅BC a BC FD FC FB CF BF ②联立①②得81341,8522==BC a所以=⋅CE BE 87813820414412222=-=-=-=⋅=BC a BC ED EC EB4.若AB 是圆O 的直径，M 是圆O 的弦CD 上的一个动点，8=AB ，6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围为解法1：（坐标法）设点)0,4(),0,4(B A -，设),(y x M ，则由OC OM OG ≤≤知16722≤+≤y x所以]0,9[1622-∈-+=⋅y x MB MA解法2：（极化恒等式）1641222-=-=⋅MO BC MO MB MA又OC OM OG ≤≤，即]4,7[∈OM ，所以]0,9[-∈⋅MB MA5.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上一动点，延长AE 交圆O 与点F ，则FB FA ⋅的取值范围为解法1：（坐标法）建系如图，)1,3(),1,3(B A --，设]2,6[),sin 2,cos 2(ππθθθ-∈F ，所以 ]6,0[sin 42)sin 21,cos 23()sin 21,cos 23(∈+=---⋅----=⋅θθθθθFB FA解法2：（极化恒等式）341222-=-=⋅FD BC FD FB FA 因为CD FD BD ≤≤，即]3,3[∈FD ，所以FB FA ⋅]6,0[∈ 6.如图，放置的边长为1的正方形ABCD ，顶点D A ,分别在x 轴，y 轴正半轴（含原点）滑动，则OC OB ⋅的最大值为解法1：（坐标法）设)90,0(0∈=∠θODA ，则)0,(sin θA ，)cos ,0(θD ，)sin cos ,(cos ),sin ,cos (sin θθθθθθ++C B所以22sin 1)cos (sin cos cos )cos (sin ≤+=+++=⋅θθθθθθθOC OB 当且仅当045=θ时等号成立，所以OC OB ⋅的最大值为2 解法2：（极化恒等式）取AD BC ,的中点N M ,，则4141222-=-=⋅OM BC OM OC OB ，又23121=+=+≤MN ON OM所以241)23(2=-≤⋅OC OB ，即OC OB ⋅的最大值为27.（2012年南京模拟）在ABC ∆中，点F E ,分别为线段AC AB ,的中点，点P 在直线EF 上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅的最小值是解析：（极化恒等式）由题意知4221=⋅⇒=⋅=∆h BC h BC S ABC 2222224341BC PO BC BC PO BC PC PB +=+-=+⋅322343)2(22≥⋅≥+≥h BC BC h8.（2012年安徽高考题）平面向量b a ,满足32≤-b a ，则b a ⋅的最小值为解法1：222249494432b a b a b a b a b a +=+⋅⇒≤⋅-+⇒≤- 由基本不等式得894449422-≥⋅⇒⋅-≥≥+=+⋅b a b a b a b a b a ，当且仅当略所以b a ⋅的最小值为89-解法2：（极化恒等式）]92[81]22[81)2(21222-+≥--+=⋅=⋅b a b a b a b a b a89)90(81-=-≥，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+3202b a b a 即b a ,反向共线且43=a 时等号成立，所以b a ⋅的最小值为89-巩固练习：1.（2007年天津高考15题）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，D 是边BC 的中点，则=⋅BC AD解析：=⋅BC AD 25)49(21)(21)(222=-=-=-⋅+AB AC AB AC AC AB 2.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的动点，则PB PA ⋅的取值范围为解析：过点C 作AB CD ⊥于点D ，则点D 为AB 的中点，32===BC AC AB ，PB PA ⋅341222-=-=PD AB PD因为31≤≤PD ，所以PB PA ⋅]6,2[-∈3.设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上（如图所示），则PC PD ⋅的取值范围为解析：取CD 的中点E ，则441222-=-=⋅PE CD PE PC PD因为522≤≤PE ，所以]160[ ∈⋅PC PD4.（2015年南通三调）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 为半径作圆交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PD PC ⋅的最小值为解法1：（坐标法）解法2：（极化恒等式）取CD 的中点G ，则141222-=-=⋅PG CD PG PD PC又215≤≤-PG ，所以PD PC ⋅]3,525[-∈，所以PD PC ⋅的最小值为525- 5.已知AB 是圆O 的直径，2=AB ，C 是圆O 上异于，点B A ,的一点，P 是圆O 所在的平面上任意一点，则PC PB PA ⋅+)(的最小值为解析：取OC 的中点D ，则21212)41(22)(222-≥-=-⨯=⋅=⋅+PD OC PD PC PO PC PB PA6.（2017年南通二模）如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3=OA ，5=OC ，若7-=⋅AD AB ，则=⋅DC BC解析：16417419412222=⇒-=-=-=⋅BD BD BD AO AD AB916254122=-=-=⋅=⋅BD CO CD CB DC BC7.如图，在ABC ∆中，已知4=AB ，6=AC ，060=∠BAC ，点E D ,分别在边AC AB ,上，且AD AB 2=，AE AC 3=，若F 为DE 的中点，则DE BF ⋅的值为解法1：（极化恒等式）取BD 的中点N ，连接EB NF ,，则AE BE ⊥，所以32=BE 因为NF 是DBE ∆的中位线，所以3=FN4)1(2)41(22222=-=-=⋅=⋅FN DB FN FD FB DE BF解法2：（基底法）略解法3：（坐标法）略备选题：1.（2008年浙江高考9题）已知b a ,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量0)()(=-⋅-c b c a ，则c 的最大值为（）A.1B.2C.2D.22 解法1：（代数法）c b a c b a c b a c c b c a ⋅+=⇒=⋅+⋅+-=-⋅-)(0)()()(22所以2cos 2cos 2≤=⇒+=θθc c b a c ，故选C解法2：（坐标法）设),(),1,0(),0,1(y x OC c b a ====，则)1,(),,1(y x c b y x c a --=---=-所以21)21()21(0)1()1()()(22=-+-⇒=----=-⋅-y x y y x x c b c a所以点C 在以点)21,21(为圆心，222≤解法3：（几何法）设b a OD c OC b OB a OA +====,,,2==所以0)()(=-⋅-c b c a CB CA CB CA OC OB OC OA ⊥⇒=⋅⇒=-⋅-⇒00)()(所以点C 在以AB 的最大值为22.（2013年浙江高考7题）设点0P 是ABC ∆的边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00⋅≥⋅，则（）A.090=∠ABC B.090=∠BAC C.AC AB = D.BC AC = 解析：取BC 的中点M ，则22022004141BC M P BC PM C P B P PC PB -≥-⇒⋅≥⋅ 所以M P PM 0≥，所以AB MP ⊥0，所以BC AC =，故选D3.在平面直角坐标系xOy 中，B A ,分别在y x ,正半轴上移动，2=AB ，若点P 满足2=⋅PB PA ，则OP 解析1：（坐标法）设),0(),0,(b B a A ，),(y x P ，则422=+b a2),(),(22=--+=-⋅-=⋅=⋅by ax y x b y x y a x BP AP PB PA by ax y x +=-+⇒222324324)(4))(()()2(222222222222+≤+≤-⇒+=++≤+=-+⇒y x y x y x b a by ax y x]13,13[22+-∈+=y x解析2：（极化恒等式）取AB 的中点Q ，则121==AB OQ⇒=-=-=⋅∴2141222PQ AB PQ PB PA 3=，1313+≤+≤=≤=-∴4.梯形ABCD 中，满足AD // BC ，1=AD ，3=BC ，2=⋅DC AB ，则=⋅BD AC 解析：取BC 的两个三等分点F E ,，G 在CB 的延长线上，且1==AD BG ，则321412222=⇒=-=-=⋅=⋅AE AE BF AE AF AB DC AB=⋅BD AC 1)43()41(22=--=--=⋅-GC AE AG AC5.（2016年南京三模）在半径为1的扇形AOB 中，060=∠AOB ，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则BP OP ⋅的最小值为解析：取OB 的中点D ，则41)43(41412222-≥-=-=⋅=⋅PD OB PD PB PO BP OP 161-=6.在等腰直角ABC ∆中，1==AC AB ，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动，则)()(AM AC AM AE -⋅-的取值范围为解析：取CE 中点D ，则]42343[，∈MD]1167[8141)()(222，∈-=-=⋅=-⋅-MD CE MD MC ME AM AC AM AE7.已知B A ,是圆O ：122=+y x 上的两个点，P 是线段AB 上的动点，当AOB ∆的面积最大时，2AP AP AO -⋅的最大值为解析：当AOB ∆的面积最大时，OB OA ⊥，所以PO PA PO AP AP AO AP AP AP AO ⋅-=⋅=-⋅=-⋅)(2取OA 的中点，则222241)41(PM OA PM PO PA AP AP AO -=--=⋅-=-⋅81)42(412=-≤。

一个活跃在高考中的恒等式

・56・
中学数学月刊
2020年第4期
一"话趺％
张玉虎（云南省施甸县第一中学 678200）
极化恒等式是泛函分析中揭示内积和范数关系的一个重要恒等式，有实内积空间与复内积空间两种表现形式•极化恒等式能有效地将内积运算问题转化为范数运算问题，从而使内积问题得以简单、直观地解决.在高中数学的平面向量
分点，BA •Cd=4,Df ・CF=—1 则BE .CE
的值是________ . 解析设| BDI =b,DF\=%,由极化恒等
D D 式得 ~BA ・7 =A ・ ~AC= \~A,\2 — \~DB\2 = 9%2 —b2 =4 ①%
B .CF =F .FC = 1312 — |BI2 =
%2 —b2 =—! ②%
于教材,构建
长度之间的通
、数的之间的巧妙结合,
方法,值得广
去重视和
•
|6点|2 = |2点|2 — 1.
当点C为AB的中点
7
时，|CO| mn
2
1点 =i（又点c在圆内，所
以 |2点| 2 < \~OB\2 1,从而C点・2点（
—，。）.故选 C.
3 用极化恒等式求解圆锥曲线问题例6 （2010年福）若点O和点F分别为 2
椭圆4 + 3 =1的中心和左焦点，点P为椭圆上
由①②，可得％2 = 5'2 =等.故B・CE
极化恒等式解决的是共起点两向量的数量积问题，解决的关键是在第三边上取中点,将多变量问题转化为单变量问题，将向量的数量积转化为向量的长度问题•在高考数学中，极化恒等式能将一些涉及向量的数量积问题化繁为简、化难为易, 从而使共起点向量的数量积问题得以快捷、高效地

极化恒等式

活跃在高考中的一个恒等式——极化恒等式01何谓极化恒等式()()14⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦22a b a b a b三角形模型：在ABC 中，D 为BC 的中点：.⋅=-=-=-22222214AB AC AD BD AD CD AD BC平行四边形模型在平行四边形ABCD 中：()⋅=-2214AB AD AC BD02极化恒等式应用例1，（2017全国II ，理12）已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()⋅+PA PB PC 的最小值是（）A. 2-B. 32-C. 43- D. 1- 解法1（坐标法）：以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线y 轴建立平面直角坐标系，()()()1,0,1,0,0,3C A B -，设(),P x y ，则(),3,x y =--PA ()1,x y =---PB ，()1,x y =--PC()()(),32,2x y x y ⋅+=--⋅--=PA PB PC ∴222232+2222x y x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当0,2x y ==0,2P ⎛ ⎝⎭，()⋅+PA PB PC 取得最小值32-.解法2（极化恒等式）：设BC 的重点为O ，OC 的中点为M ，连接OP ，PM ，()22⋅+=⋅=-=2212PA PB PC PO PA PM AO ∴33222-≥-2PM ，当且仅当M 与P 重合始去等号.例2在ABC 中，已知90,4,3,C AC BC D ∠===是AB 的中点，E ，F 分别是BC ，AC 上的动点，且EF = 1，则⋅DE DF 的最小值为（） A.5 B. 154 C. 174D. 17解法1（坐标法）以AC 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()34,0,0,3,2,,2A B D ⎛⎫⎪⎝⎭设()()0,,,0,E b F a 则221a b +=，332,,2,22b a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DE DF ，()2532512434242b DE DF a a b ∴⋅=--=-+，由柯西不等式可得：()()()222224343a b a b ++≥+，即435a b +≤，当且仅当43,55a b ==时取等号，()251255154342424DE DF a b ∴⋅=-+≥-=，故选B解法2（极化恒等式）设EF 的中点为M ，连接CM ，则12=CM ，即点M 在如图所示的圆弧上，则 2222111154244DE DF DM EM DM CD ⋅=-=-≥--=,故选B本题也可用三角换元法解决例3，（2013浙江）设ABC ，0P 是边AB 上的一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅，则（） A. 90ABC ∠= B. AB AC = C. 90BAC ∠= D. AC BC =解法1（坐标法）以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设()()=4,,,,0AB C a b P x，则()()()()()()()0001,0,2,0,2,0,2,0,,,1,0,1,P A B PB x PC a x b P B PC a b -=-=--==-， ()()00,21PB PC P B PC x a x a ⋅≥⋅∴--≥-恒成立，即：()()110x a x ---≥恒成立， 11,a ∴-=即：0a =，∴点C 在y 轴上，AC BC ∴=,故选D解法2（基地法）解法3（极化恒等式）例4、（2016江苏）如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，⋅值为4,1⋅=⋅=-，则BE CEBA CA BF CF解法1（坐标法）以BC为x，D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系解法2（基底法）解法3（极化恒等式）例5、（2018宝鸡一模）直线0ax by c ++=与圆22:16O x y +=相交于两点M ，N ，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为解法1（坐标法）以O 为坐标原点，MN 的平行线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，解法3（极化恒等式）例6，如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，,3,6AD BD AD BAD π⊥=∠=,()()11,22CM CA CB CN CD CA =+=+，则CM CN ⋅的最大值为以C为坐标原点，BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系，解法2（基底法）解法3（极化恒等式）：（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

极化恒等式公式高中

极化恒等式公式高中在高中数学的学习中，有一个不太起眼但却十分实用的工具，那就是极化恒等式公式。

极化恒等式，对于很多同学来说，刚接触时可能会觉得有点陌生和头疼。

但别怕，咱们一起来好好琢磨琢磨它。

先来说说极化恒等式的表达式：对于向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，有\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{1}{4}\left(|\vec{a} + \vec{b}|^2 - |\vec{a}- \vec{b}|^2\right)\)。

这个公式看起来是不是有点复杂？其实呀，它就是在告诉我们向量内积和向量模长之间的一种巧妙关系。

我记得有一次在课堂上，我给同学们讲解极化恒等式。

当时有个同学一脸困惑地问我：“老师，这个公式到底有啥用啊？感觉好抽象。

”我笑了笑，拿起粉笔在黑板上画了一个简单的几何图形。

我说：“同学们，咱们假设这里有一个平行四边形 ABCD，AC 和BD 是它的两条对角线，\(\vec{AB} = \vec{a}\)，\(\vec{AD} = \vec{b}\) 。

那 AC 的长度平方加上 BD 的长度平方等于多少呢？” 同学们都开始思考起来。

我接着引导他们：“我们可以利用极化恒等式来解决这个问题。

AC的长度平方就是\(|\vec{a} + \vec{b}|^2\)，BD 的长度平方就是\(|\vec{a}- \vec{b}|^2\) 。

所以，AC 的长度平方加上 BD 的长度平方，就等于 2（\(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2\)）。

”这时候，同学们的眼睛里开始有了亮光，似乎明白了一些。

再举个例子，假如我们要求一个三角形 ABC 中，边 BC 上中线 AD 的长度。

如果知道了\(\vec{AB}\)和\(\vec{AC}\) ，那我们就可以利用极化恒等式轻松搞定。

极化恒等式在解决一些与向量相关的最值问题、几何问题时，往往能发挥出意想不到的效果。

高考题变式｜极化恒等式

上述两题的方法二都运用了平面向量中的极化恒等式该公式能将向量的数量积运算转化成加减法的运算达到简化的目的是解决此类问题的利器
高考题变式｜极化Βιβλιοθήκη 等式变式题中的三角形变成了一般的三角形，便有人会觉得不好建系了，其实不然，与原题几乎是一模一样的做法，法二更是相同。
上述两题的方法二都运用了平面向量中的极化恒等式，该公式能将向量的数量积运算转化成加减法的运算，达到简化的目的，是解决此类问题的利器。

极化恒等式高中数学

极化恒等式高中数学极化恒等式，这个词听上去有点高大上，其实在高中数学中，它可不是那么难懂哦。

说到极化恒等式，我们先来聊聊“极化”这个词。

大家有没有想过，极化就像是我们的情绪，有时候高涨得像火山爆发，有时候又低落得像秋天的落叶。

极化恒等式其实就是在探讨一些数学对象之间的关系，就像我们跟朋友之间的情谊，有时候亲密无间，有时候又难免有些小摩擦。

数学里有趣的地方在于，它们就像生活中的种种关系，既简单又复杂，层出不穷。

想象一下你和小伙伴们在操场上玩耍，大家分成了两个小队，你们分别用不同的方式来比拼。

有的人喜欢射门，有的人则偏爱传球。

在数学的世界里，极化恒等式也是在比较不同的东西。

比如说，当我们拿两个向量出来玩的时候，极化恒等式帮助我们找出它们之间的联系。

你能想象吗？这就像是在看一场篮球赛，两个队伍在场上争夺，谁能把球传得更准确，谁能更好地配合。

通过极化恒等式，我们能够清晰地看出这场比赛的精彩之处。

有趣的是，极化恒等式的公式就像是一种神奇的魔法咒语，能把复杂的东西简化成更容易理解的样子。

比如说，假设有两个向量A和B，它们在一起就像是一对好搭档。

如果你想知道它们的内积，可以用极化恒等式把它们的模长和夹角转化为简单的数学表达式。

想象一下，就像在一场友谊赛中，队员们用默契的配合让比赛变得轻松有趣。

这时候，极化恒等式就是你们之间的默契桥梁，让你们在复杂的局面中找到简单的解法。

再来说说生活中的极化恒等式，很多时候我们会遇到一些看似矛盾的情况。

就像你可能爱吃甜食，但又想保持身材，这种内心的挣扎其实就像是数学里的矛盾体。

极化恒等式正是帮助我们平衡这些矛盾的工具。

在数学的世界里，它让我们看到不同的向量如何通过内积的方式产生联系，而这些联系又能帮助我们更好地理解事物的本质。

说到这里，不禁让人想起了生活中那些看似无解的问题，实际上，只要找到对的角度，就能找到答案。

讲真，极化恒等式不仅仅是一个枯燥的公式，它蕴含着深刻的道理和美丽的逻辑。

极化恒等式与等和(高)线定理【四大题型】(学生版)-高中数学

极化恒等式与等和(高)线定理【四大题型】【题型1利用极化恒等式求值】【题型2利用极化恒等式求最值(范围)】【题型3利用等和线求基底系数和的值】【题型4利用等和线求基底系数和的最值(范围)】1.极化恒等式与等和(高)线定理极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和(高)线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值(范围)中有着重要作用.【知识点1极化恒等式】1.极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a |2+|b |2).证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -b，AC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①，DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②，①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b2-a -b 2 ----极化恒等式平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2 .2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14，即14a +b2-a -b 2 (如图).(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M 为BC 的中点)(如图).极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.【知识点2等和(高)线定理】1.等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R )，则λ+μ=1，由△OAB 与△OA 'B '相似，必存在一个常数k ,k ∈R ，使得，则，又(x ,y ∈R )，∴x +y =kλ+kμ=k ；反之也成立.(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R )，若点P '在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 1，k 2互为相反数；⑥定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.【题型1利用极化恒等式求值】1.(2024·贵州毕节·三模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，若BA⋅CA =7，BE ⋅CE =2，则BF ⋅CF =()A.-2B.-1C.1D.22.(23-24高三上·福建厦门·期末)如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF =2FO ，则FD ⋅FE =()A.-34B.-89C.-14D.-493.(2024高三·江苏·专题练习)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA =3，OC =5.若AB⋅AD =-7，则BC ⋅DC 的值是．4.(23-24高二下·湖南长沙·开学考试)如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1，AD =2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF ⋅FG +GH ⋅HE等于．【题型2利用极化恒等式求最值(范围)】5.(2024高三·全国·专题练习)半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足OA +AB +AC =0，点P 是圆内一点，则P A ⋅PO +PB ⋅PC 的取值范围为()A.[-4，14)B.[0，4)C.[4，14]D.[4，16]6.(23-24高一下·江苏南通·期中)正三角形ABC 的边长为3，点D 在边AB 上，且BD =2DA ，三角形ABC 的外接圆的一条弦MN 过点D ，点P 为边BC 上的动点，当弦MN 的长度最短时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[-1,5]B.[-1,7]C.[0,2]D.[1,5]7.(2024·重庆·模拟预测)已知△OAB 的面积为1,AB =2，动点P ,Q 在线段AB 上滑动，且PQ =1，则OP⋅OQ的最小值为.8.(23-24高三上·上海浦东新·阶段练习)在面积为2的平行四边形中ABCD 中，∠DAB =π6，点P 是AD 所在直线上的一个动点，则PB 2+PC 2-PB ⋅PC 的最小值为．【题型3利用等和线求基底系数和的值】9.(2024·四川成都·模拟预测)如图，在平行四边形ABCD 中，BE =23BC ，DF =34DE ，若AF =λAB +μAD，则λ+μ=()A.32B.-112C.112D.010.(2023·河北沧州·模拟预测)在△ABC 中，BE =12EC ,BF =12BA +BC，点P 为AE 与BF 的交点，AP =λAB +μAC ，则λ+μ=()A.0B.14C.12D.3411.(23-24高一上·江苏常州·期末)在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 在线段DC 上，且CF =2DF ．若AC =λAE +μAF，λ,μ均为实数，则λ+μ的值为．12.(23-24高一上·江苏苏州·期末)如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若MN =λ1AM +λ2BN ，λ1,λ2∈R ，则λ1+λ2的值为.【题型4利用等和线求基底系数和的最值(范围)】13.(2024·山东烟台·三模)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB+yAC ，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.114.(23-24高三上·河北沧州·期中)如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点(含边界)，且AP =λAB +μACλ,μ∈R ，则λ+μ的取值范围是()A.0,1B.0,2C.0,3D.0,415.(23-24高一下·福建泉州·阶段练习)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC (λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是.16.(23-24高一下·广西桂林·期末)已知O 为△ABC 内一点，且4OA +8OB +5OC =0 ，点M 在△OBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+μ的取值范围是．一、单选题1.(2024·四川绵阳·三模)如图，在△ABC 中，AF =BF =6,EF =5，则EA ⋅EB =()A.-11B.-13C.-15D.152.(2024·陕西西安·一模)在△ABC 中，点D 是线段AC 上一点，点P 是线段BD 上一点，且CD =DA ，AP=23AB+λAC ，则λ=()A.16B.13C.23D.563.(2024高三·全国·专题练习)在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AE =13AD ，AF =2AE ，AB ⋅AC=6，FB ⋅FC =-2，则EB ⋅EC =()A.-1B.2C.-12D.14.(2024·陕西榆林·三模)在△ABC 中，E 在边BC 上，且EC =3BE ,D 是边AB 上任意一点，AE 与CD 交于点P ，若CP =xCA +yCB，则3x +4y =()A.34B.-34C.3D.-35.(23-24高三下·湖南长沙·阶段练习)向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a ⋅b =14AD 2-BC 2，我们称为极化恒等式.已知在△ABC 中，M 是BC 中点，AM =3，BC =10，则AB ⋅AC=()A.-16B.16C.-8D.86.(2024·全国·模拟预测)如图，在△ABC 中，AN =tNC (t >0)，BP =λPN (λ>0)，若AP =34AC -14BC ，则λ+t 的值为()A.7B.6C.5D.47.(23-24高三上·山东潍坊·期末)已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[0，1]B.0,2C.[1，2]D.-1,18.(2024·河北沧州·三模)对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC 中，AB =2，以三条边为直径向外作三个半圆，M 是三个半圆弧上的一动点，若BM =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.12B.33C.1D.32二、多选题9.(23-24高一下·江苏南京·期中)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在λ,μ∈R 使BM =λAB +μAC，则λ,μ的取值可能是()A.λ=-35,μ=110B.λ=1,μ=-32C.λ=-910,μ=25D.λ=-710,μ=3510.(23-24高一下·四川成都·阶段练习)如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，M 为线段AD 上的动点，若BM =λBE +μBD ，则λ+μ的值可以是()A.32B.12C.1D.211.(23-24高一下·陕西西安·阶段练习)(多选)如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD =λBC λ∈R ，AD ⋅AB =-32，则()A.AB ·BC =9B.实数λ的值为16C.四边形ABCD 是梯形D.若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ⋅DN 的最小值为132三、填空题12.(2024·新疆·二模)在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC ，点E 是线段BC 的中点，若AE =λAB +μAD ，则λ+μ=.13.(23-24高一下·黑龙江大庆·期末)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点BA ⋅CA =5，BF ⋅CF =-2，则BE ⋅CE 的值是.14.(23-24高三·广东阳江·阶段练习)在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则PB ⋅PC +BC 2的最小值是．四、解答题15.(23-24高一下·甘肃白银·阶段练习)如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．(1)用AB ，AD 方表示AE ；(2)若AF =λAB +μAD ，求λ+μ的值．16.(23-24高一下·江苏苏州·期中)阅读一下一段文字：a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2，a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2，两式相减得(a +b )2-(a -b )2=4a ·b ⇒a ·b =14[(a +b )2-(a -b)2]我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．(1)若AD =6，BC =4，求AB ⋅AC 的值；(2)若AB ⋅AC =4，FB ⋅FC =-1，求EB ⋅EC 的值．17.(23-24高一上·辽宁大连·期末)在三角形ABC 中，AB =a ，AC =b ，BE =2EC，D 为线段AC 上任意一点，BD 交AE 于O .(1)若CD =2DA .①用a ，b表示AE ；②若AO =λAE ，求λ的值；(2)若BO =xBA +yBC ，求12x +13y +1的最小值.18.(23-24高一下·湖南邵阳·期末)如图，已知四边形ABDE 为平行四边形，点C 在AB 延长线上，点M 在线段AD 上，且AB =12BC ,AM =13AD ，设AB =a ,AE =b .(1)用向量a ，b表示CD ；(2)若线段CM 上存在一动点P ，且AP =ma +nb m ,n ∈R ，求n 2+mn 的最大值.1119.(23-24高一下·广东潮州·阶段练习)阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a +b )2=a 2+2a ⋅b +b 2；②(a -b)2=a 2-2a ⋅b +b 2.由①-②得(a +b )2-(a -b )2=4a ⋅b ⇔a ⋅b =(a +b )2-(a -b )24，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD 中，BD =8,AB ⋅AD =48，E 为BD 中点.(1)若cos ∠BAD =1213，求△ABD 的面积；(2)若2AE =EC ，求CB ⋅CD 的值；(3)若P 为平面ABCD 内一点，求P A ⋅PB +PD 的最小值.。

高中数学基础题型向量极化恒等式(含解析)

向量极化恒等式【要点总结】1.极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.2.平行四边形PMQN ，O 是对角线交点.则： (1)PM →·PN →＝14[|PQ |2－|NM |2](平行四边形模式)；(2)PM →·PN →＝|PO |2－14|NM |2(三角形模式).【典例1】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．【答案】 78【解析】设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n.根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1.联立解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78.即BE →·CE →＝78.【典例2】如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．【答案】 [0,2]【解析】由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0,2]．【典例3】 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.(2)(2018·上海调研)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________. 【答案】 (1)－16 (2)[－2，6]【解析】 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16.(2)取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3. 又由极化恒等式得：P A →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以P A →·PB →∈[－2，6].【典例4】 (2018·诸暨适应性考试)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( ) A.－14B.－13C.－12D.－1【答案】 C【解析】 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC →＝|PD |2－14|OC |2＝|PD |2－14，又|PD |2min ＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12. 【典例5】如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP→＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是( ) A.44 B.22 C.24 D.72 【答案】 B【解析】如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ，AP →·BP →＝（AP →＋BP →）2－（AP →－BP →）24＝（2EP →）2－AB →24＝2，∴EP ＝32，又∵CP →＝3PD →，AE →＝EB →，AB →＝DC →， ∴AE ＝2DP ，即△F AE 中，DP 为中位线，AF ＝2AD ＝10，AE ＝12AB ＝4，FE ＝2PE ＝62，AD →·AB →＝AF →·AE →＝AF 2＋AE 2－EF 22＝100＋16－722＝22.【典例6】若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 【答案】 C【解析】如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max＝254，∴OP →·FP →的最大值为6. 【典例7】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________. 【答案】 1【解析】取AE 中点O ，设|AE |＝x (0≤x ≤1)，则|AO |＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO |2－14|AE |2＝12＋⎝⎛⎭⎫12x 2－14x 2＝1. 【典例8】 (2018·镇海中学模拟)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________. 【答案】 23【解析】取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC →2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号， PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝2 3. 【典例9】已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC【答案】 D【解析】如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE.根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则| PD →|≥|P 0D →|恒成立，必有DP 0⊥AB.因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC.【典例10】如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB →的最大值是________．【答案】 2【解析】如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC →·OB →＝OM →2－14.因为OM≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号．所以OC →·OB →的最大值为2.。

高中数学巧用极化恒等式秒杀高考向量题

高中数学巧用极化恒等式秒杀高考向量题高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。

1.极化恒等式极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4a b a b a b 2⎡⎤⋅=+--⎣⎦ ，有时也可将其写成。

224()(a b a b a b ⋅=+-- )注：21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣ 2⎤⎦表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若是实数，则恒等式,a b 21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣2⎤⎦也叫“广义平方差”公式；极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣⎦ （如图）在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214a b AM BM AM BC ⋅=-=-2，它揭示了三角形的中线与边长的关系。

此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。

2．极化恒等式的应用自向量引入高中数学以后，由于它独特的性质(代数与几何的桥梁)，在近几年全国各地的高考中迅速成为创新题命制的出发点，向量试题有着越来越综合，越来越灵活的趋势，在浙江省数学高考中尤为突出，也出现了一些非常精美的向量题。

例1在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则______AB AC ⋅=（年浙江省数学高考理科试题第15题）2012【分析】该问题就是利用极化恒等式解决的极好范例，因为21925162AB AC AM BC ⋅=-=-=-。

极化恒等式的应用

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４４数学学习与研究㊀２０２０１４极化恒等式的应用极化恒等式的应用Һ高立东㊀（吉林省实验中学，吉林㊀长春㊀１３００２２）㊀㊀ʌ摘要ɔ在高中数学向量的学习中，极化恒等式虽然不是教材中的公式，但它可以由基本公式得出，在解决一些问题时，能够起到很好的作用．本文通过具体的例子，介绍了极化恒等式及其应用．ʌ关键词ɔ极化恒等式在高中数学向量部分的学习中，极化恒等式并没有在教材中出现，但我们很容易得到这个结论，而且它在解决一些向量问题时是一个有力的工具．本文通过具体实例，介绍一下这个公式．一㊁极化恒等式ａ㊃ｂ＝１４（ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２[]，也可以写成４ａ㊃ｂ＝（ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２．我们把这个公式称为极化恒等式，它表达了向量数量积运算和线性运算之间的一种关系，即数量积运算可以由线性运算的模得到，这是一个沟通数量积运算和线性运算的重要公式．图１极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的两条对角线的平方差的四分之一，即ａ㊃ｂ＝１４［ＡＤ２－ＢＣ２］＝ＡＭң２－ＢＭң２（如图１）．在三角形ＡＢＣ中，数量积也可以与中线建立联系，即ａ㊃ｂ＝ＡＭң２－ＢＭң２＝ＡＭң２－１４ＢＣң２．二㊁应㊀用例１㊀设向量ａ，ｂ满足ａ＋ｂ＝１０，ａ－ｂ＝６，则ａ㊃ｂ等于（㊀㊀）．Ａ．１㊀㊀㊀㊀Ｂ．２㊀㊀㊀㊀Ｃ．３㊀㊀㊀㊀Ｄ．５ʌ分析ɔ可以由极化恒等式直接得到答案．ʌ解ɔａ㊃ｂ＝１４（ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２[]＝１４ˑ（１０－６）＝１．例２㊀（２０１２年高考浙江卷理科第１５题）在әＡＢＣ中，Ｍ是ＢＣ的中点，ＡＭ＝３，ＢＣ＝１０，则ＡＢң㊃ＡＣң＝．ʌ分析ɔ利用极化恒等式的几何意义．ʌ解ɔＡＢң㊃ＡＣң＝ＡＭң２－ＢＭң２＝ＡＭң２－１４ＢＣң２＝９－２５＝－１６．例３㊀在正三角形ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ上的点，ＡＢ＝３，ＢＤ＝１，则ＡＢң㊃ＡＤң＝．ʌ分析ɔ可以利用极化恒等式的变形．ʌ解ɔ设ＢＤ的中点为Ｅ，ＢＣ的中点Ｏ，则４ＡＢң㊃ＡＤң＝４ＡＥң２－ＢＤң２＝４(３２３)２＋１[]－１２＝３０，所以ＡＢң㊃ＡＤң＝１５２．例４㊀在әＡＢＣ中，øＣ＝９０ʎ，ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，Ｄ是ＡＢ的中点，Ｅ，Ｆ分别是边ＢＣ，ＡＣ边上的动点，且ＥＦ＝１，则ＤＥң㊃ＤＦң的最小值等于．ʌ分析ɔ这个问题可以用坐标法处理，但是构造极化恒等式就特别简单．ʌ解ɔ设Ｈ为ＥＦ的中点，则ＤＥң㊃ＤＦң＝ＤＨң２－１４ＥＦң２＝ＤＨң２－１４．又因为ＣＨ＋ＤＨȡＣＤ，所以ＤＨȡＣＤ－ＣＨ＝５２－１２＝２，所以ＤＥң㊃ＤＦңȡＤＨң２－１４＝４－１４＝１５４．例５㊀（２０１８年高考江苏卷）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，Ａ为直线ｌ：ｙ＝２ｘ上在第一象限内的点，Ｂ（５，０），以ＡＢ为直径的圆Ｃ与直线ｌ交于另一点Ｄ，若ＡＢң㊃ＣＤң＝０，则点Ａ的横坐标为㊀㊀㊀㊀．ʌ分析ɔ此题可以利用极化恒等式，将ＡＢң㊃ＣＤң＝０转变成圆心到直线的距离与半径长之比，这样可以把不方便计算的数量积问题转化为线段长度问题，从而简化运算．ʌ解ɔ设Ａ（ａ，２ａ）（ａ＞０），则圆心Ｃ(ａ＋５２，ａ)，记ＡＤ的中点为Ｅ，连接ＣＥ，因为ＡＣ＝ＣＤ且Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＣＥʅＡＤ．因为ＡＢң㊃ＣＤң＝－２ＣＡң㊃ＣＤң＝－２（｜ＣＥң｜２－｜ＤＥң｜２）＝０，所以ＣＥ＝ＤＥ＝２２ＣＤ＝２２ＢＣ，所以ＣＥ＝ｄ＝２ˑａ＋５２－ａ２２＋１２＝２２(ａ＋５２－５)２＋ａ２＝２２ＢＣ，解得ａ＝３或ａ＝－１．因为ａ＞１，所以ａ＝３．图２例６㊀已知әＡＢＣ是边长为２的等边三角形，Ｐ为平面ＡＢＣ内一点，则ＰＡң㊃（ＰＢң＋ＰＣң）的最小值是（㊀㊀）．㊀Ａ．－２Ｂ．－３２Ｃ．－４３Ｄ．－１. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１４５㊀数学学习与研究㊀２０２０１４ʌ解ɔ取ＢＣ的中点Ｍ，ＡＭ的中点Ｆ，则ＰＡң㊃（ＰＢң＋ＰＣң）＝２ＰＡң㊃ＰＭң＝２｜ＰＦң｜２－１２｜ＡＭң｜２＝２｜ＰＦң｜２－３２．问题转化为求ＰＦң的最小值．显然，当Ｐ与Ｆ重合时有最小值０，故ＰＡң㊃（ＰＢң＋ＰＣң）的最小值是－３２．例７㊀已知ＲｔәＡＢＣ的斜边的长为４，设Ｐ是以为Ｃ圆心㊁１为半径的圆上的任意一点，则ＰＡң㊃ＰＢң的取值范围是（㊀㊀）．图３Ａ．－３２，５２[]Ｂ．－５２，５２[]Ｃ．－３，５[]Ｄ．１－２３，１＋２３[]ʌ分析ɔ本题与例４类似，可以通过极化恒等式ＰＡң㊃ＰＢң＝｜ＰＭң｜２－ＡＭң２，把ＰＭң的最值问题转化为ＣＭң的最值问题，使问题大大简化．ʌ解ɔ如图３所示，在ＲｔәＡＢＣ中，取斜边ＡＢ的中点为Ｍ，则ＰＡң㊃ＰＢң＝ＰＭң２－ＡＭң２＝ＰＭң２－４．设圆Ｃ的半径为ｒ，则ｒ＝１，而ＰＭң的最大值为ＣＭң＋ｒ＝２＋１＝３，最小值为ＣＭң－ｒ＝２－１＝１，因此ＰＡң㊃ＰＢң的最大值为３２－４＝５，ＰＡң㊃ＰＢң的最小值为１２－４＝－３，所以ＰＡң㊃ＰＢң的取值范围是－３，５[]，故选Ｃ．图４例８㊀已知ａ，ｂ是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量ｃ满足（ａ－ｃ）㊃（ｂ－ｃ）＝０，则ｃ的最大值是（㊀㊀）．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．２Ｄ．２２ʌ分析ɔ表面上看，本题与极化恒等式没有什么关系，但是，根据公式可以得到４（ａ－ｃ）㊃（ｂ－ｃ）＝（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｃ）[]２－（ａ－ｃ）－（ｂ－ｃ）[]２，从而有(ｃ－ａ＋ｂ２)２＝(ａ－ｂ２)２．ʌ解ɔ设ＯＡңʅＯＢң，且ＯＡң＝ａ，ＯＢң＝ｂ，ＯＣң＝ｃ，Ｄ为线段ＡＢ的中点，显然ＯＤң＝ａ＋ｂ２，ＤＣң＝ｃ－ａ＋ｂ２＝(ａ－ｂ２)２＝１２，这个式子表明ＤＣң是有固定起点，固定模长的动向量，即点Ｃ的轨迹是以Ｄ为圆心㊁以２２为半径的圆，因此，ｃ的最大值就是该轨迹圆的直径２，故选Ｃ．例９㊀点Ｐ是棱长为１的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的底面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１上一点，则ＰＡң㊃ＰＣң的取值范围是．㊀㊀ʌ分析ɔ本题体现了极化恒等式在空间的作用．ʌ解ɔ设ＡＣ的中点为Ｍ，由极化恒等式可得４ＰＡң㊃ＰＣң＝４ＰＭң２－ＡＣң２＝４ＰＭң２－２．因为１ɤＰＭң２ɤ３２，所以１２ɤＰＡң㊃ＰＣңɤ１．例１０㊀在әＡＢＣ中，Ｐ０是边ＡＢ上一定点，满足Ｐ０Ｂ＝１４ＡＢ，且对于边ＡＢ上任意一点Ｐ，恒有ＰＢң㊃ＰＣңȡＰ０Ｂң㊃Ｐ０Ｃң，则（㊀㊀）．Ａ．øＡＢＣ＝９０ʎ㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．øＢＡＣ＝９０ʎＣ．ＡＢ＝ＡＣＤ．ＡＣ＝ＢＣʌ分析ɔ由于本题呈现方式比较新颖，使得很多学生感到迷茫，费时费力且不得要领．图５ʌ解法１ɔ如图５，取线段ＢＣ的中点Ｄ，连接ＰＤ，Ｐ０Ｄ，在әＰＢＣ内使用极化恒等式，得ＰＢң㊃ＰＣң＝ＰＤң２－ＢＤң２，在әＰ０ＢＣ内使用极化恒等式，得Ｐ０Ｂң㊃Ｐ０Ｃң＝Ｐ０Ｄң２－Ｂ０Ｄң２．由条件知恒有ＰＤңȡＰ０Ｄң，及Ｐ０ＤʅＡＢ，故ＡＣ＝ＢＣ，所以选Ｄ．图６ʌ解法２ɔ如图６，取线段ＢＣ的中点Ｍ，则４ＰＢң㊃ＰＣң＝ＰＢң＋ＰＣң()２－４ＰＢң－ＰＣң()２＝４ＰＭң２－ＢＣң２，要使ＰＢң㊃ＰＣң的值最小，只需ＰＭң取得最小值，所以只有当ＭＰʅＡＢ时，ＰＭң取得最小值，且点Ｐ与点Ｐ０必须重合，Ｍ是线段ＢＣ的中点，只有ＡＣ＝ＢＣ时才能成立，所以选Ｄ．综上可见，极化恒等式虽然不是重要的公式，但如果我们对它有所了解并基本掌握，在解决具体问题，特别是一些讨论范围的小题时，往往会起到意想不到的效果．向量数量积的最值问题还可以从多角度去思考，如：定义法㊁坐标法㊁基底法和几何意义法等．当题目涉及直线㊁平面或空间的一个动点，需要求两个向量数量积的最值的时候，教师可以引导学生利用极化恒等式去寻找解决问题的思路，把向量数量积的最值问题转化为某个向量模的最大值，进而找到该向量的模取得最值时的动点的位置，有利于揭示向量问题的本质，有利于理解向量作为沟通代数与几何的桥梁作用，有利于领悟数形结合的数学思想，有利于分辨向量知识的源与流，从而摆脱题海战术，提高教学效率．ʌ参考文献ɔ［１］施健昌．巧用四化破解极化恒等式之惑［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１５（１２）．［２］王红权，李学军，朱成万．巧用极化恒等式妙解一类向量题［Ｊ］．中学教研（数学），２０１３（０８）．. All Rights Reserved.。

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