数值分析实验(5)

实验五 非线性方程与方程组的数值解法专业班级：信计131班 姓名：段雨博 学号：2013014907一、实验目的1、熟悉matlab 编程。

2、学习非线性方程求根的方法及程序设计算法。

二、实验题目1、迭代函数对收敛性的影响用迭代方法求方程()3210f x x x =--=的根 方案（1）：化方程为等价方程：()x x ϕ== 取初值00x =，迭代10次。

方案（2）：化方程()3210f x x x =--=为等价方程： ()3021x x x ϕ=-= 取初值00x =，迭代10次，观察其计算值，并加以分析。

2、初值的选取对迭代法的影响用牛顿法求方程310x x --=在0 1.5x =附近的根。

方案（1）：使用牛顿法并取0 1.5x =，由()()1k k k k f x x x f x +=-'得： 312131k k k k k x x x x x +--=--，迭代10次。

方案（2）：取00x =，并利用相同的公式：312131k k k k k x x x x x +--=--，迭代10次，观察比 较并分析原因。

3、收敛性和收敛速度的比较。

求方程()3sin 121f x x x x =--+的全部实根，其中误差限610ε-= 方案（1）：用牛顿法求解；方案（2）：用简单迭代法求解。

取相同的迭代初值，比较各方法的收敛速度。

三、实验原理与理论基础1、牛顿法：设已知方程()0f x =有近似根k x （假定()0k f x '≠），将函数()f x 在点k x 展开，有 ()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-，于是方程()0f x =可近似地表示为()()()0k k k f x f x x x '+-=这是个线性方程，记其根为1k x +，则1k x +的计算公式为：()()1,0,1...,k k k k f x x x k f x +=-=' 这就是牛顿法。

2、迭代法原理将非线性方程()0f x =化为一个同解方程()x x ϕ=，并且假设()x ϕ为连续函数，任取一个初值0x ，代入()x x ϕ=的右端，得()10x x ϕ=，继续()21x x ϕ=，……，则()1k k x x ϕ+=，0,1,2k = ，称()1k k x x ϕ+=式为求解非线性方程()x x ϕ=的简单迭代法。

3、收敛性与收敛阶设迭代过程()1k k x x ϕ+=收敛于方程()x x ϕ=的根x *，如果当k →∞时迭代误差k e x x **=-满足渐进关系式1k pk e C e +→常数0C ≠，则称该迭代过程是p 阶收敛的。

特别地，()11p C =<时称为线性收，1p >时称为超线性收敛，2p =时称为平方收敛。

定理4：对于迭代过程()1k k x x ϕ+=及正整数p ，如果()p x ϕ在所求根x *的临近连续，并且()()()()10,p x x x ϕϕϕ-***'''==== ()()0p x ϕ*≠，则该迭代过程在点x *附近是p 阶收敛的。

四、实验内容第一题：1、编写一般迭代法的M 文件程序。

2、分别调用两个程序得出结果。

第二题：1、编写牛顿迭代法的M 文件。

2、对等价方程分别取不同的初值0x ，调用牛顿迭代法求解。

第三题：1、分别调用简单迭代法和牛顿迭代法求解。

第一题：一般迭代法的M 文件：function [x_star,it] =iterate(~,~,~,~)%%求方程根的一般迭代法，调用方法为%%[x_star,it]=iterate(phi,x,ep,it_max)；%%其中philosophy（x）为迭代函数；x为初始点；%%ep为精度要求，缺省值为1e-5；%%it_max为最大迭代次数，缺省值为100，x_star为得到的解；%%it为所需的迭代次数.ifnargin<4;it_max=100;endifnargin<3ep=1e-5;endk=1;whilek<=it_maxx1=feval(phi,x);if abs(x1-x)<ep break;endx=x1;k=k+1;endx_star=x1;it=k;方案一：>> phi=@(x)(((x+1)/2)^(1/3))phi =@(x)(((x+1)/2)^(1/3))>> [x_star,it]=iterate(phi,0)x_star =1.0000it =8方案二：>> phi=@(x)(2*x^3-1)phi =@(x)(2*x^3-1)>> [x_star,it]=iterate(phi,0)x_star =-Infit =101第二题：牛顿迭代法的M文件：function [x_star,it] =Newton(fun,x,ep,it_max)%%求方程根的Newton法，调用方法为%%[x_star,it]=Newton(fun,x,ep,it_max)，%%其中fun（x）为迭代函数，提供函数值和导数值；x为初始点；%%ep为精度要求，缺省值1e-5；%%it_max为最大迭代次数，缺省值为100；%%x_star为得到的解；it为求解所需的迭代次数.ifnargin<4it_max=100;endifnargin<3ep=1e-5;endk=1;whilek<=it_max[f,dotf]=feval(fun,x);if abs(dotf)<1e-10error('%求根失败，求根函数的导数为0.');endx1=x-f/dotf;if abs(x1-x)<ep break;endx=x1;k=k+1;endx_star=x1;it=k;外部函数：function[f,dotf]=fun(x)f=x^3-x-1;dotf=3*x^2-1;x=1.5方案一：取>> [x_star,it]=Newton(@fun,1.5)x_star =1.3247it =4x=0方案二：取>> [x_star,it]=Newton(@fun,0)x_star =1.3247it =21第三题：牛顿法：外部函数：function[f,dotf]=fun(x)f=x^3-sin(x)-12*x+1;dotf=3*x^2-cos(x)-12;（1）调用牛顿迭代公式：>> [x_star,it]=Newton(@fun,0)x_star =0.0770it =3（2）简单迭代法：>> [x_star,it]=iterate(phi,0)x_star =NaNit =101五、实验结果1、方案一：>> phi=@(x)(((x+1)/2)^(1/3)) phi =@(x)(((x+1)/2)^(1/3))>> [x_star,it]=iterate(phi,0)x_star =1.0000it =8方案二：>> phi=@(x)(2*x^3-1)phi =@(x)(2*x^3-1)>> [x_star,it]=iterate(phi,0)x_star =-Infit =101x=1.52、方案一：取>> [x_star,it]=Newton(@fun,1.5) x_star =1.3247it =4x=0方案二：取>> [x_star,it]=Newton(@fun,0) x_star =1.3247it =213、（1）调用牛顿迭代公式：>> [x_star,it]=Newton(@fun,0)x_star =0.0770it =3（2）简单迭代法：>> [x_star,it]=iterate(phi,0)x_star =NaNit =101六、实验结果分析与小结1、通过这次实习，让我对非线性方程求解的各种迭代法有了更深的了解，之前在复习迭代法时对牛顿迭代法不是很清楚，当自己编程去解决问题时就会有不一样的感受和理解，比如初值对牛顿迭代法的影响，上课只是知道会有很大影响，但看到实验结果才看出来原来引起的误差确实很大。

不过牛顿迭代法的思想不太难，迭代的方法比较简单易懂，这次在编写程序又用到了外部函数，外部函数和内部函数不是很清楚，经过查资料，看别人写的程序，明白了好多。

2、这次实习虽然方法简单，但是编写程序不是很会，很多编程时用的函数之前从来没见过，所以自己没办法解决，查了别人是如何写的，然后自己模仿人家写下来，编写函数程序还是挺难的，很多函数很少用到，接触也不多，不是很清楚怎么来编写，如何调用函数来运行，程序编写出来有问题也不知道问题出在哪里，有调用不出来的。

希望通过以后的学习，包括借鉴人家写的，自己学会去编写程序，了解更多。