基础解系与极大无关组
向量组基础解系
向量组基础解系一、向量组的基础概念向量是数学中一个重要的概念，它可以表示空间中的任意一个点，或者是空间中的任意一个有方向的线段。
在线性代数中，我们常常需要研究多个向量之间的关系，这时候就会用到向量组这个概念。
所谓向量组，指的是由多个向量组成的集合。
例如：{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}就是一个由三个三维单位向量组成的向量组。
在研究向量组时，我们通常会关注它们之间的线性相关性和线性无关性。
二、线性相关和线性无关对于一个含有n个元素的实数集合{a1,a2,...,an}，如果存在一组不全为零的实数k1,k2,...,kn使得k1a1+k2a2+...+knan=0，则称该集合是线性相关的；反之，如果只有当k1=k2=...=kn=0时才有k1a1+k2a2+...+knan=0，则称该集合是线性无关的。
在研究向量组时，我们通常将其看做n维空间中的点，并且将每个点表示为n维坐标系下的列向量。
例如：{(1,0),(0,1)}就是一个由两个二维单位向量组成的向量组，可以表示为以下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}$$对于一个n维向量组，如果它是线性无关的，则它中的任意k个向量都是线性无关的。
反之，如果它是线性相关的，则其中必定存在一些向量可以表示为其他向量的线性组合。
三、基和基础解系在研究向量组时，我们通常会将其看做n维空间中的点，并且将每个点表示为n维坐标系下的列向量。
例如：{(1,0),(0,1)}就是一个由两个二维单位向量组成的向量组，可以表示为以下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}$$对于一个n维线性空间V和V中的一个由m个元素构成的有限集合S={v1,v2,...,vm}，如果S是线性无关的，并且S张成了V（即任意一个元素都可以表示为S中元素的线性组合），则称S为V的一组基。
线性方程组解的结构
xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.
线性代数—线性方程组解的结构
r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1
考研线性代数 解题方法汇总(非知识点汇总)
考研线性代数解题方法汇总（非知识点汇总）行列式的计算消零化基本形法•思想：通过恒等变形变为基本形求解•恒等变形o消零化▪当列/行元素大致相同时，用第一行倍加▪当列/行元素具有递推性质时，用i行倍加i+1行▪相同优先o互换▪变为分块对角矩阵▪变换主/副对角线（变换次数为(n-1)n/2）o展开定理•常见行列式形状o爪形行列式o行和相等行列式▪求法▪1、所有元素向第一列求和▪2、提出第一列公因式▪3、将第一列归零化，视情况采用相应方法加边法•使用场景：无法通过互换、倍加、倍乘化简的行列式•使用方法：每列元素都含有同一参数的项，且该项系数（可以是其他参数）具有规律性数学归纳法与递推法•使用场景：具有递推性质的n阶行列式的证明•第一类归纳法o1、验证n=1时成立o2、假设n=k时成立o3、证明n=k+1时成立•第二类归纳法o1、验证n=1、n=2时成立o2、假设n<k时成立o3、证明n=k时成立•常见行列式形状o三主对角线行列式▪行和相等▪行和不相等用范德蒙德行列式行列式形式与解法总结•特殊形状行列式o爪形行列式o行和相等行列式o三主对角线行列式•多个行/列元素大致相同•行列元素具有递推性质•零的分布有规律•第一列只有两个元素o消去第二个元素o放置两头采用展开定理•具有递推性质的n阶行列式•所有元素都为齐次式余子式和代数余子式的线性组合计算法1:转化为行列式计算法2:用伴随矩阵计算•1、利用 A=|A|A逆计算A•2、由伴随阵的相应元素得到余子式•要求：需要A逆好求，没啥大用特别：所有代数余子式和的计算抽象行列式的计算|A+B|•知列向量o拆分o将向量的线性组合转化为矩阵乘积o将对矩阵的变换过程转化为矩阵乘积•完全抽象•知部分具体矩阵C 或 C的特征值o向|C|、|C+kE|靠拢▪相似：知A～B，可得|A+kE|=|B+kE|▪特征值性质：A+kE的特征值为 A的特征值+k行列式方程•1、将方程化为待求矩阵为因子的因式方程行列式表示的函数和方程求行列式函数f最高次数•化简行列式计算fo观察有差相同的行列，尽可能化零o多项式行列式化为基本型求解求行列式函数f的复合函数求行列式函数f的根或根的个数由行列式函数f的根特征（二重根）求参数行列式在Ax=0上的应用——克拉默法则注意：在求解|A|=0时，使用展开定理直接求因式乘积，不要先求多项式再因式分解，可能很难因式分解|A|=0的证明充要条件•|A|=k|A|o将关于A一次幂的表达式两边取行列式o特别：正交矩阵相关证明【李线代讲义例2.29】•Ax=0有非零解•反证法•存在零特征值o当题目中提到列向量时使用o题目中有A的多项式函数：同乘å•矩阵的秩注意矩阵方阵的幂通用步骤o对角阵o小三角阵o对角线元素相同的三角阵o零分布规则的阵分解为矩阵乘积•1、若给定矩阵向量成比例，则可分解为两向量乘积•2、利用结合律将两向量交换相乘•原理o行向量*列向量=数o列向量*行向量=各行成比例的矩阵利用递推式•使用场景：给定矩阵无法分解•1、依次求矩阵前几次幂，得递推式o形式：A^m=k*A^s（n>m)o注意•2、由递推式用法化简求值o1）从A^n中提出A^s，将其看作催化剂o2）A^s把A^n剩余部分全部转化为k▪转化为(n-s)/(m-s)个k乘积▪当n-s/m-s不是整数时分类讨论利用对角阵•1、求其相似对角阵代入•2、当对角阵元素相同时，求幂不需要求P两方阵和的幂•通过二项式定理展开•特别：对角线元素相同的三角阵o1、将给定矩阵分解为单位阵E和小三角阵B的和o2、用二项式定理展开，消去零项，再求和o背景知识：小三角阵▪对角元素为0的三角阵▪小三角阵的幂=更小三角阵▪小三角阵的”非零对角线到角的线数+1”次幂=O矩阵乘法的可交换性求与其可交换的矩阵•待定系数法o1、假设同阶矩阵B与其可交换o2、列式AB=BA并化简o3、令对应元素相等得解•拆解单位阵法o应用场景：给定矩阵与单位阵相近o1、将给定矩阵呢拆解为单位阵E和矩阵Bo2、求与矩阵B可交换的矩阵证明两矩阵可交换•利用伴随矩阵公式o应用场景：被证明式中含有伴随阵o1、凑出与伴随阵对应的矩阵o2、用公式进行矩阵交换后恢复•利用可逆矩阵公式o应用场景：给定两被证矩阵关系式o1、将已知条件凑出AB=E，证明可逆o2、由可逆矩阵可交换写出交换乘积等式o3、将乘积展开，消去多余项相关结论•对角矩阵与对角矩阵可交换•(E+A)^(-1)与(E-A)可交换对称矩阵和反对称矩阵相关结论•n阶方阵=对称矩阵+反对称矩阵待定证明A可逆并求A逆求数值矩阵A的逆•分块矩阵法求抽象矩阵的逆•分解成多个可逆矩阵的乘积o将待证矩阵分解为已知可逆矩阵的乘积o相关结论分块矩阵的逆•主对角线分块矩阵的逆•副对角线分块矩阵的逆•待定系数法o1、设出逆矩阵，令其与原矩阵相乘为单位阵o2、由对应块相等列方程可逆矩阵的判别验证•证明可逆o证明|A|≠0o特征值全为0部分+特征值全不为0部分证明A=O证明aij=0证明r(A)=0相关结论抽象矩阵式化简先化简条件，再化简被证式用条件将被证式的不可转化单元表出伴随矩阵低阶阵：定义法一般/抽象阵：公式法记忆方阵的行列式常见恒等变换•交换某项乘积顺序o解法：一边消一边补o例：(E+AB)=A(E+BA)A^(-1)•(A^(-1)+B^(-1))=A^(-1)(A+B)B^(-1)矩阵方程技巧•知A*可直接求|A|、A^(-1)•A逆的逆可乘进括号逆中初等矩阵将左乘初等矩阵看作行变换证明正交阵证明ATA=AAT=E，不能只证一部分矩阵的秩与等价矩阵向量向量组的线性表出计算题转化为线性方程组有没有解证明题构造方程组，证明方程组有解•等价证明r(å1,å2,...,ås)=r(å1,å2,...,ås,ç)找出两个条件•å1,å1,...,ås线性无关•å1,å1,...,ås,ç线性相关证明k≠0反证法向量组的线性相关、无关具体相关性计算转化为Ax=0有没有非零解特别•有零向量•向量数>维数•n维n个向量行列式=0•向量数>矩阵秩抽象相关性证明定义法•1、设k1a1+k2a2+...+knan=0•2、恒等变形证明k1 k2 ... kn=0▪同乘使1项为0，需要多次同乘▪同乘后与原式相加减消元o常用条件▪特征向量：不同特征值特征向量线性无关▪基础解系：基础解系线性无关秩•1、将被证向量组以列排为矩阵A•2、证明r(A)=so A若有A=BCo A若有AB=Co A若有AB=O秩向量组极大无关向量组•含一参向量组求极大【李线代讲义例3.21】o拼矩阵、行变换、由参讨论秩求两向量组矩阵计算证明•思路：分别找到表大于和表小于的两个条件•条件o向量o方程组▪解向量的秩=n-r(A)▪若Ax=b、Ax=0有s个线性无关解向量，则s≤n-r(A)▪若AB=O，则r(B)≤n-r(A)其他•已知r(A)求r(B)等价矩阵和等价向量组分别证明向量组1、11可以相互线性表出r(A)=r(B)=r(A,B)当A B其中一个满秩时不需要求r(A,B)A可由B表出，Ｂ不能由A表出1、由r(A)<r(A,B)≤n得|A|=0解未知数2、代入看是否满足r(A)<r(B)=r(A,B)向量空间线性方程组齐次线性方程组具体型求解1、将系数矩阵化为含最大单位阵的矩阵2、非单位阵列的位置填写100；010；0013、在解向量其他位置填写填1列元素相反数抽象型求解1、推断r(A)知解向量个数2、找出n-r(A)个å使得Ax=0证明向量组是Ax=0的基础解系1、验证Açi=02、证明ç 1 ç 2 ... çt无关3、说明t=n-r(A)非齐次线性方程组具体型求解一般步骤•1、将增广矩阵化为含最大单位阵的矩阵•2、自由变量赋值o1/选取剩余非单位矩阵列作为自由变量o2/给通解的自由变量列赋值100；010；001o3/给特解的自由变量列赋值000•3、填写其他元素o1/通解解向量其他位置填写填1列元素相反数o2/特解解向量其他位置填写b向量元素含参注意•首先尽量消去参数•不能对某行同乘/除（可能为零）含参项•不能对某行同除含参项后加到另一行（可能为∞）含两参数的分类讨论•1、令|A|=0求出得唯一解参数范围•2、剩余范围画树状图讨论o三个主分支o次分支标准▪r(A)=?=r([A,b])•3、写情况类别o将每种情况对应的路线取交集，得参数范围o无解情况参数范围可取并集，合并为一种o无穷解情况不可合并抽象型求解1、推断解的结构2、找出n-r(A)个线性无关齐次方程解向量3、找出特解A的行向量与Ax=0的解的关系线性方程组系数矩阵列向量和解的关系求两个方程组的公共解两个方程组联立成大方程组求解抽象方程组：证明大方程组有非零解一个方程组+另一方程组的基础解系1、求出方程组的基础解系2、将公共解用两个基础解系分别表示•其中一个基础解系用负系数表示•移项得两个基础解系的线性组合=03、建立新齐次方程组并求解4、代回2步骤式得公共解同解方程组具体型同解必要条件题目•同未知数不同方程数的两个齐次方程组同解求参数步骤•1、由方程式较多的方程组1非满秩求参数•2、将方程组1求解得基础解系•3、将基础解系代入方程组2中求参数•4、验证两方程组秩相同抽象型1、证明方程组(1)的解是(11)的解2、证明方程组(11)的解是(1)的解方程组的几何应用求矩阵AX=B型•将其看作多个同系数矩阵的方程组•1、设X=[x,y,z]，x y z为列向量•2、将A、B组成增广矩阵[A,B]求解f(X)=B型（不可化为AX=B）•1、设未知矩阵为具体矩阵•2、代入条件令对应元素相等转化为方程组特征值与特征向量求特征值/向量数值矩阵特征方程法•1、利用特征方程求解特征根o展开公式法▪找到两行/列相乘加满足o一般方法▪1、合并同类项写成降幂多项式▪2、猜根后通过多项式除法进行因式分解•2、带入特征根解齐次线性方程组求特征向量观察法•秩1矩阵•主对角线ai，其他为b抽象矩阵方法•公式法•定义法o思想：将题目条件转化为Aå=kå形式o常见•相似法o背景知识▪P^(-1)AP~B，特征值相同▪B的特征向量=P^(-1)*A的特征向量▪A的特征向量=P*B的特征向量o思想：构造相似阵，求其特征，公式法求原矩阵特征o题目特征▪题目出现‘å1 å2线性无关’，‘Aå1’，‘Aå2’•同乘å法o步骤▪1、对f(A)=0同乘å转化为f(λ)=0，求λ可能值▪2、由’秩’ + ’可相似对角化’ 确定λ题目•‘å1 å2线性无关’，‘Aå1’，‘Aå2’•多项式f(A)=0两个矩阵是否有相同的特征值判断思路特征多项式是否相等常见判断矩阵与转置阵相似矩阵。
2014年4月全国自考 线性代数(经管类)04184 真题及参考答案
5．二次型 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+x32-2x1x2+4x1x3-2x2x3 的矩阵是 平方项 xi^2 的系数放在主对角 线 第 i 行第 i 列 位置 xixj 的系数除 2 放在第 i 行第 j 列 和 第 j 行第 i 列 位置 得二次型的矩阵 A.
非选择题部分
注意事项： 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
1 2 的第三项均为 0
4．设 A 为 3 阶矩阵，且 r(A)=2，若 1 ， 2 为齐次线性方程组 Ax=0 的两个不同的解。k
为任意常数，则方程组 Ax=0 的通解为 A．k 1 C． k
1 2 2
B．k 2 D． k
1 2 2
定理：若 a1,a2 是 Ax=b 的两个不同的解,即 Aa1=b,Aa2=b, 则 A(a1-a2)=Aa1-Aa2=b-b=0,因此 a1-a2 是齐次方程组的解,而 A 的秩是 2,故基 础解系的个数为 3-2=1,于是有 a1-a2 恰好是 Ax=0 的基础解系. 2 为通解 k 1 2
2．设 A，B 为 4 阶非零矩阵，且 AB=0，若 r(A)=3，则 r(B)= A．1 C．3 B．2 D．4 因为 B≠0 所以 r(B)>=1 因为 AB =0 所以 r(A)+r(B)<=4 所以 r(B) <= 4-r(A) = 4-3=1 所以 r(B)=1
3．设向量组 1 =(1，0，0)T， 2 =(0，1，0)T，则下列向量中可由 1 ， 2 线性表出的是 A．(0，-1，2)T C．(-1，0，2)T B．(-1，2，0)T D．(1，2，-1)T 只要第三项不是 0 就错了，因
高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2） 称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。
显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。
问题：什么是线性方程组的解的结构？
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：ξ1, ξ2, ..., ξr 如果满足 ① ξ1，ξ2，...，ξr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示ξ1, ξ2, ..., ξr 的线性组合， 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
设 R(A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵为
称为方程组的解向量．
ξ11 ξ 21 ξ= M ξ n1
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = ξ1， x = ξ2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = ξ1 + ξ2 还是 Ax = 0 的解． 证明： A(ξ1 + ξ2 ) = Aξ1+ Aξ2 = 0 + 0 = 0 ． 性质2：若 x = ξ 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kξ 还是 Ax = 0 的解． 证明： A( kξ ) = k ( Aξ ) = k 0 = 0 ．
令
− b11 − b12 − b1,n− r M M M − br 1 − br 2 − br ,n − r ξ1 = 1 , ξ 2 = 1 ,L , ξ n − r = 0 0 0 0 M M M 0 0 1
齐次线性方 程组的通解
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
− b11 − b12 − b1,n − r x1 − b11c1 − L − b1,n− r cn − r M M M M M − br 1 − br 2 − br ,n − r xr − br 1c1 − L − br ,n− r cn − r = = c1 1 + c1 1 + L + cn − r 0 xr +1 c1 0 0 0 M O M M M x c n− r n 0 0 1
线性代数研究性教学的途径与方法
The Science Education Article CollectsNo.5,2021 Sum No.5212021年第5期总第521期摘要根据湖南文理学院线性代数课程的教学现状，我们给出了线性代数课程研究性教学的途径和方法：抽象理论具体化、研究式课堂教学、课后主题探讨、恰当的考评方式。
关键词研究性教学；线性相关性；线性方程组Ways and Methods of Research-based Teaching of Linear Algebra//YANG Youmei,SU Jing,LIU GuocanAbstract According to the present situation of Linear Algebra teaching in our university,we give the ways and methods of re-search-based teaching of Linear Algebra:concretization of ab-stract theory;research teaching in class,theme discussion after class;appropriate assessment methods.Key words research-based teaching;linear correlation;linear e-quations线性代数是理工科和经管类专业的一门理论必修课程，是学生从比较具体的数学到抽象的公理化的数学的一个过渡，该课程的主要特点是抽象、逻辑性较强。
湖南文理学院（以下简称我校）线性代数课程的基本现状如下：（1）课时少，教学内容多。
（2）传统的灌输式教学让学生养成了思维懒惰的习惯，缺乏学习的主动性和自觉性。
（3）学生数学基础本就薄弱，加上课时少，学生的学习时间投入不够，每年补考人数较多。
针对这些现状，本文分别从教学内容、教学方法、考核方式三个方面探讨了线性代数课程研究性教学的途径和方法。
[研究生入学考试]高等代数知识点总结
![[研究生入学考试]高等代数知识点总结](https://img.taocdn.com/s3/m/afcdf12d79563c1ec5da7198.png)
转置
取逆 伴随
(AT)T=A
(AT) 1=(A1)T
(A1) 1=A
(AT)*=(A*)T
(A1)*＝(A*)1 (A*)*=|A|n2A*
其它
A-1=|A|-1A*
AA*=A*A=|A|I 当A可逆时， A*＝|A|A1
13
行列式
秩数
加法
数乘 乘法 转置 取逆
|kA|=kn|A| |AB|=|A||B| |AT|=|A| |A1|=|A|1 |A*|=|A|n1 定义 性质
线性关系
等价
极大无关组 秩数
26
线性表示：
• 列向量组1,...,r可由1,...,s线性表示当且仅当 有矩阵C使得(1,...,r)=(1,...,s)C. 进一步，C的 第k列恰为k的表示系数 • 线性表示有传递性 • 被表示者的秩数≤表示者的秩数
O A B I A1B A O C D O O D CA1B I I
23
适用例子: 习题3.7.5; 3.7.9~11:
2.正则化方法
① 证明当A可逆时结论成立 ② 考虑xI+A,有无穷多个x使得该矩阵可逆 ③ 将要证明的结论归结为多项式的相等 ④ 若两个多项式在无穷多个点处的值相同,则这两
6
• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解 n n
f a( x x1 )
1
( x xt )
t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解
线性代数—线性方程组解的结构
0 0 0
0 0 0
1 2 2
1 4 5
1
2 2
1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
1 6 7
1
0 0
0
0 0
0 0 0
1 0 0
1 1 0
1
0 0
,
自由未知量取为 x2 , x5 ,
10
1 2 1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
解
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
3 0 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3
3 61
0 0 0
1 1 1
2 ห้องสมุดไป่ตู้ 2
2 2 2
6 66
6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
3 0 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3
3 61
0 0 0
1 1 1
2 2 2
2
一、齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2n xn 0 , am1 x1 am2 x2 amn xn 0
Ax ()
a11
A
a21 am1
a12 a22 am2
a1n
a2n amn
1 1 0
1
0 0
,
自由未知量取为 x2 , x5 ,
基础解系:
2
1
1
0
,
0
0
2
0
2
1
.
0
1
11
基础解系的个数和基础解系所含向量的个数
基础解系是矩阵的重要概念之一，它上线性代数中起到了非常重要的作用。
我们都知道，解系是线性方程组的解所构成的集合，而基础解系则是线性方程组的解所构成的最小集合，它具有以下几个重要的性质：1. 基础解系的个数等于自由未知量的个数。
这是基础解系的最基本的性质之一。
上线性方程组中，自由未知量是指可以任意取值的未知量，而非自由未知量则是由自由未知量唯一确定的未知量。
基础解系的个数恰好是自由未知量的个数，这个性质在求解线性方程组的基础解系时非常重要。
2. 基础解系所含向量的个数等于矩阵的秩。
矩阵的秩是矩阵的重要属性之一，它可以描述矩阵的行向量或者列向量的线性无关程度。
而基础解系所含向量的个数恰好就是矩阵的秩，这个性质将基础解系和矩阵的秩通联了起来，使得我们可以通过矩阵的秩来间接求得基础解系的相关信息。
3. 基础解系所含向量是线性方程组的解空间的一组基。
线性方程组的解空间是指所有解所构成的空间，而基础解系所含向量恰好是这个空间的一组基，它可以唯一地表示解空间中的任意解。
这个性质在描述线性方程组的解空间时非常有用，可以帮助我们更好地理解和分析线性方程组的解空间。
基础解系是线性代数中一个非常重要的概念，它在求解线性方程组、描述矩阵性质和分析解空间等方面都有非常重要的作用。
通过深入理解基础解系的相关性质和特点，我们可以更好地应用它来解决实际问题，从而更好地理解和运用线性代数的知识。
基础解系是线性代数中一个非常基础却又非常重要的概念，它在解决线性方程组、矩阵变换和线性空间等问题中发挥着关键作用。
对于一个矩阵而言，它的基础解系包含了对应线性方程组的全部解信息，而基础解系所含向量的个数则决定了解空间的维数。
接下来，我们将进一步探讨基础解系的特性和相关性质，以加深对这一重要概念的理解。
4. 基础解系的构造方法。
在实际应用中，我们经常需要求解线性方程组的基础解系，以便得到线性方程组的全部解。
通常，我们可以通过高斯消元法或者矩阵的初等变换来将系数矩阵化为行阶梯形矩阵或者简化行阶梯形矩阵。
一般解和基础解系的关系
一般解和基础解系的关系一般解和基础解系是线性代数中一个重要的概念，它们在矩阵和线性方程组的求解中扮演着重要的角色。
下面我们就来详细探讨一下一般解和基础解系的关系。
首先，让我们先了解一下一般解和基础解系的概念。
在线性方程组Ax=b中，A为系数矩阵，x为未知数向量，b为已知向量。
如果该线性方程组有解，则我们可以得到一般解，即形如x=x_0+x_n的解，其中x_0是特解，x_n是自由向量，可以是任意实数。
基础解系则是x_n 的一个最大线性无关组。
那么一般解和基础解系之间有怎样的关系呢？答案是，一般解可以由基础解系表示出来。
具体来说，一般解等于特解加上自由向量的线性组合。
也就是说，基础解系中的向量可以经过线性组合得到一般解中的自由向量部分。
这个关系可以用一个具体的例子来说明。
考虑一个二阶线性齐次方程组：a11x1 + a12x2 = 0a21x1 + a22x2 = 0其中a11、a12、a21、a22为已知实数。
如果我们求解该方程组，可以得到两个基础解向量：x_n1 = (1, -a11/a12)x_n2 = (-a12/a11, 1)可以看出，x_n1和x_n2是线性无关的，且它们是该方程组的两个基础解向量。
那么该方程组的一般解就可以表示为：x = c1x_n1 + c2x_n2其中c1、c2为任意实数，表示线性组合的系数。
通过调整c1和c2的值，可以得到方程组的不同解。
通过上述例子，我们可以看到，一般解和基础解系之间的关系是非常密切的。
基础解系可以看作是一般解的构成要素，通过基础解向量的线性组合，可以得到一般解。
因此，基础解系在线性方程组的求解中具有重要的指导意义。
总结起来，一般解和基础解系是线性方程组求解过程中的两个重要概念。
一般解是由特解和自由向量的线性组合得到的，而基础解系是自由向量的一个最大线性无关组。
基础解系可以通过线性组合构成一般解，因此在求解线性方程组时，我们可以通过寻找基础解系来得到一般解。
基本解例题
基本解例题
1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵a化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；=""
4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系="" ="">
设n为未知两个数，r为矩阵的秩.只要找到齐次线性方程组的n-r 个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余n-r 个未知量移到等式右端，再令右端n-r 个未知量其中的一个为1,其余为零，这样可以得到n-r个解向量，这n-r个解向量构成了方程组的基础解系.
求基础解系三种求法为；
第一步确定自由未知量，第二步对矩阵进行基础行变换，第三步转化为同解方程组，第四步代入数值，第五步求解即可。
基础解系是大学的高等数学的学习中很重要的知识点。
基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组，即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合。
基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。
基础解系是针对有无数多组解的方程而言，若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数，若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。
基础解系的维数 -回复
基础解系的维数-回复基础解系的维数是一个线性代数中非常重要的概念。
在本文中，我们将从定义开始，一步一步地解释基础解系的含义、性质以及如何找到它。
文章的长度限制在1500-2000字以内，因此我们将尽可能详细地讨论这一主题。
首先，什么是基础解系？在线性代数中，给定一个线性方程组Ax=0，其中A是一个矩阵，x是一个未知向量。
基础解系就是这个线性方程组的解空间中的一组基。
解空间指的是使得Ax=0成立的所有解的集合，而基是解空间中的最小线性无关组。
换句话说，基础解系是解空间中最小的生成集。
基础解系的个数也被称为解空间的维数。
那么如何找到基础解系？我们可以通过高斯消元法来求解线性方程组Ax=0。
高斯消元法是一种使得方程组达到最简形式的操作方法。
通过使用初等行变换，我们可以将矩阵A化为行阶梯形式。
对于一个m×n的矩阵A，行阶梯形式意味着矩阵的每一行都有比上一行多一个零的前导。
此时，解空间的维数可以通过矩阵A的主元个数（非零行）来确定。
为了找到基础解系，我们需要找到自由未知量。
自由未知量是指在方程组中存在但不影响主元列的未知量。
自由未知量对应于非主元列的列向量。
一旦我们找到自由未知量，我们可以用其他未知量表示出它们。
这种表示形式可以通过主元列写成一个基础解系的线性组合。
因此，我们可以得到基础解系。
让我们通过一个例子来说明这个过程。
考虑线性方程组x + 2y - z = 02x + 4y - 2z = 03x + 6y - 3z = 0我们可以将这个方程组写成增广矩阵的形式：[1 2 -1 0][2 4 -2 0][3 6 -3 0]首先，我们可以应用高斯消元法将矩阵化为行阶梯形式：[1 2 -1 0][0 0 0 0][0 0 0 0]在这个例子中，我们可以看到第二行和第三行都变为了零。
这表明我们有两个主元列（第一列和第二列），以及一个自由未知量（第三列）。
自由未知量对应于z，而其他未知量可以用z表示。
基础解系和解集的关系
解析基础解系与解集的关系
解析基础解系与解集的关系
在高等数学中，我们经常会遇到求解方程或不等式组的问题，对
于这类问题，我们需要求出其解集。
而在求解过程中，往往会用到基
础解系的概念。
那么基础解系和解集到底有什么关系呢？
首先，我们需要了解基础解系和解集的定义。
基础解系是一个向
量组，使得该向量组所有的线性组合均为0，且任意一个向量不满足该条件。
而解集则是满足方程或不等式组的所有解的集合。
基础解系与解集的关系可以用几何意义进行解释。
在平面或空间中，方程组的解集可以看成向量的集合，在向量空间中，这些向量通
常构成一个简单多边形或简单多面体。
对于方程组来说，基础解系就
是解集所在空间内的基向量组成的一个基。
也就是说，任何一个向量
都可以表示为基础解系的线性组合，因此基础解系可以用来表示解集。
此外，我们还需要了解一些基础解系的性质。
基础解系的个数与
解集的维数相同。
如果基础解系的向量组不是线性无关的，即存在向
量是其他向量的线性组合，那么这个向量就可以从基础解系中去掉，
而不影响解集，也就是说，基础解系不唯一，但解集是唯一的。
因此，我们可以得出基础解系和解集的关系：基础解系可以用来
表示解集，而且具有一定的唯一性和性质。
在求解方程或不等式组时，我们可以利用基础解系的概念来化简问题，更便于解题。
总之，基础解系和解集是高等数学中常见的概念，他们之间有着密不可分的联系，掌握他们的定义和性质对我们求解方程或不等式组都有很大的帮助。
基础解系向量个数与秩的关系
基础解系向量个数与秩的关系
如果该行列式为一个n阶行列式，那基础解系的解向量为n减去秩的数量，简单地说解向量的个数为零行数；秩可以看作方程组中有效方程的个数，n代表未知量的个数，而基础解系则可看作自由未知量,显然有未知量个数-有效方程个数=自由未知量个数，即n-r=基础解系中向量个数。
基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组，即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合。
基础解系需要满足三个条件：
(1)基础卢播中所有量均就是方程组的求解；
(2)基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示；
(3)方程组的任一求解均可由基础卢播线性表出来，即为方程组的所有求解都可以用基础卢播的量去则表示。
值得注意的就是：基础卢播不是唯一的，因个人排序时对民主自由未知量的博采众长而异。
秩是线性代数术语。
在线性代数中，一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。
最大无关组的定义
其中 k1 , k 2 ,
首页
, k n r 是任意常数 .
上页 返回 下页 结束
２．线性方程组基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 于是 A 可化为 设A 的前 r 个列向量线性无关．
所以ξ 1 ,
首页
上页
返回
下页
结束
定理7
n元齐次线性方程组 Am×n x = 0的系数矩阵的秩 R( Am×n) = r时, 解集S的秩Rs = n r.
说明 当R( A) = n时, 方程组只有零解, 故没有基础解系;
基础解系ξ ,ξ ,
1 2 1
当R( A) = r < n时, 方程组必有含n r个向量的 x = k 1ξ + k 2ξ +
x1 4 3 x 3 2 2 = c1 1 + c2 0 = c1ξ1 + c2ξ 2 x3 0 1 x 4
易知 S = { x = c1ξ1 + c2ξ 2 | c1 , c2 ∈ R}
而 ξ 1，ξ 2 线性无关，故 ξ 1，ξ 2 是 S 的最大无关组。
x = ξ1 + ξ 2
证明 ∵ Aξ1 = 0 , Aξ 2 = 0 ∴ A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0
故 x = ξ1 + ξ 2 也是 Ax = 0的解 .
（2）若 x = ξ1 为 Ax = 0的解， k 为实数，则 x = kξ1 也是 Ax = 0 的解． 证明
首页
A(kξ1 ) = kA(ξ1 ) = k 0 = 0.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极大无关组所含向量个数与基础解系所含向量个数问题
比如方程Ax=0，其中A为1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 0 1 0
0 0 0 0
明显A的祑为3，并且A的极大无关组含有3个向量，而定理又说齐次线性方程组Ax=0（A 为m*n矩阵）的基础解系含有N-r个解向量，但基础解系也是极大无关组啊???
齐次方程线性相关基础解系
（1）线性相关的定义：给定向量组A:a1,a2, ···,an（假设为m维）, 如果存在不全为零的数x1, x2, ···,xn , 使
x1a1+ x2a2+ ··· + xn an=0则称向量组A是线性相关.
也即
a11·x1+a12·x2+...........+a1n·xn=0
a21·x1+a22·x2+............+a2n·xn=0
............
am1·x1+am2·x2+..........+amn·xn=0
方程组有非零解
等价于A m×n X=0 有非零解等价于|A|=0（当m=n时）
（2）下面我们从齐次方程角度出发来理解，观察方程组我们注意到：
A m×n中的n在方程角度对应未知数的个数，在矩阵方面对应列向量的个数（假设A m×n 是由n个m维的列向量构成）；
而A m×n中的m在方程角度对应方程的个数，在矩阵角度对应列向量的维数
根据我们小学解方程组的经验知道，当未知数的个数等于方程的个数方程只有一解（当然这个结论不是很严格，待会儿说到）；但是当未知数的个数大于方程的个数方程就有无数解了，至于未知数个数比方程个数多多少，其无数的程度怎么样，那时候我们没有具体概念，只知道是无数个。
等上了大学线性代数让我们又回归到了解方程组的问题，不过这次比小学时的规定多了些，概念也多了些。
——什么秩了，自由变量，基础解系等等。
其实未知数的个数等于方程的个数方程未必只有一解，还有一类方程组，看似有m个，但通过加减消元后，只剩下s个了（通过加减不能再消了）。
那么我们把这s个叫这个方程组的有效方程的个数，也即方程组的秩（也就是A的秩）。
至此，我把所有的涉及的概念都说完了。
下面，转入正题
由n个m维列向量组成的矩阵A m×n
n 对应未知数的个数还对应向量的个数
m 对应方程的个数还对应向量的维数
s 对应有效方程的个数还对应矩阵（向量组）的秩
接下来看结论(对n个m维列向量组成的矩阵A m×n 或向量组A)：
结论一
当n=s时（即向量组线性无关），方程组有零解，n个未知数都能确了，没有不确定的，基础解系为0。
当n＞s时（即向量组线性相关），方程组有无数解，因为里面有n-s个未知数（也即自由变量）无法确定。
而这n-s个自由变量就做了基础解系
当然n﹤s不可能，无论从向量还是方程组都可以解释。
结论二：
当向量个数大于向量维数时必相关
解释：n＞m≧s（注意方程的个数一定大于或等于有效方程的个数），所以相关
举例，由四个3维列向量组成的向量组a1,a2,a3,a4一定线性相关
当向量的维数大于或等于向量的个数时，相关性不确定：
解释：n＜m并不能说明n＜s，因为m≧s，不等号无法传递。
所以此时还要讨论m与s的大小关系来判断相关性。
结论三：
相关组添加个数仍相关（局部相关整体相关），无关组增加分量仍无关（整体无关局部无关）；理解：假设向量组A线性相关，也即矩阵A的n>s，添加个数相当于增加n，s不一定增加，最终n‘>s‘
而向量组A线性无关，则n=s，增加分量也即增加维数相当于增加m。
只有减少m有可能会减少到s；若是增加m则可能增加s。
但是s已经达最大值了（矩阵的秩小于等于行列中的最小数），所以不会改变s的值了。