1.绝对值三角不等式
《绝对值的三角不等式》 讲义
《绝对值的三角不等式》讲义一、引入在数学的世界里，不等式是我们解决问题和理解数量关系的重要工具。
而绝对值的三角不等式，则是不等式家族中一个非常重要的成员。
它在代数运算、几何图形以及实际问题中都有着广泛的应用。
那么，什么是绝对值的三角不等式呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。
二、绝对值的定义首先，我们来回顾一下绝对值的定义。
对于一个实数 x，其绝对值｜x| 表示 x 到 0 的距离。
当 x 大于等于 0 时，｜x| ＝ x；当 x 小于 0 时，｜x| ＝ x。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
三、三角不等式的形式绝对值的三角不等式有两种常见的形式：形式一：｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|形式二：｜｜a| ｜b|｜≤ ｜a b|接下来，我们通过具体的例子来感受一下这两个不等式。
例 1：若 a ＝ 2，b ＝－3，那么｜a ＋ b| ＝｜2 ＋（－3)｜＝｜－1| ＝ 1，｜a| ＋｜b| ＝｜2| ＋｜－3| ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5，显然1 ≤ 5，满足｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。
例 2：若 a ＝ 5，b ＝ 2，那么｜a b| ＝｜5 2| ＝ 3，｜｜a| ｜b|｜＝｜｜5| ｜2|｜＝｜5 2| ＝ 3，满足｜｜a| ｜b|｜≤ ｜a b|。
四、证明绝对值的三角不等式（一）证明｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|我们分四种情况来讨论：情况一：当a ≥ 0，b ≥ 0 时，｜a ＋ b| ＝ a ＋ b，｜a| ＋｜b| ＝ a ＋ b，所以｜a ＋ b| ＝｜a| ＋｜b|。
情况二：当a ≥ 0，b ＜ 0 时，｜a ＋ b| ＝｜a （b)｜，因为a ≥ 0， b ＞ 0，根据三角形两边之和大于第三边，所以｜a （b)｜≤ ｜a| ＋｜ b| ＝｜a| ＋｜b|，即｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。
情况三：当 a ＜ 0，b ≥ 0 时，与情况二类似，可得｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。
高1数学绝对值三角不等式知识点
高1数学绝对值三角不等式知识点数学课本中不等式这一部分包含绝对值三角不等式，同学们需要重点关注，下面是店铺给大家带来的高1数学绝对值三角不等式知识点，希望对你有帮助。
高1数学绝对值三角不等式知识点(一)绝对值三角不等式绝对值三角不等式：1、基本形式如果a，b都是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立;2、变式如果a，b都是实数，则。
三角不等式的解法利用三角函数线或正弦、余弦、正切函数的图象写出解集.高1数学绝对值三角不等式知识点(二)绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法二.教学目的1、掌握绝对值的三角不等式;2、掌握不等式证明的基本方法三.知识分析[绝对值的三角不等式]定理1若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。
几何说明：(1)当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与-b 的距离等于它们到原点距离之和。
(2)如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释)。
|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。
定理2设a，b，c为实数，则，等号成立，即b落在a，c之间。
推论1推论2[不等式证明的基本方法]1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。
比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。
比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。
如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。
2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。
所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。
绝对值三角不等式在数学竞赛中的常见考点
绝对值三角不等式在数学竞赛中的常见考
点
绝对值三角不等式是数学竞赛中的一个常见考点。
这个不等式用于解决三角函数和绝对值函数的相关问题。
下面是一些在数学竞赛中常见的与绝对值三角不等式相关的考点。
1. 不等式的基本性质
绝对值三角不等式具有一些基本的性质，比如它可以用于求解函数的范围和确定函数的定义域。
竞赛中常常会考察学生对这些性质的理解和应用能力。
2. 不等式的证明
在数学竞赛中，常常会考察学生对绝对值三角不等式的证明能力。
学生需要熟练掌握绝对值的定义和三角函数的性质，以及推导不等式的方法和技巧。
3. 不等式的应用
绝对值三角不等式可以应用于各种函数的求解和极限问题。
在数学竞赛中，学生需要能够根据具体的题目情境，合理地运用绝对值三角不等式来解决问题。
4. 不等式的变形
绝对值三角不等式常常需要进行变形和简化，以使其更易处理和应用。
竞赛中可能会出现一些较为复杂的不等式，学生需要有能力将它们转化为更简单的形式，并利用相关的数学技巧进行求解。
绝对值三角不等式在数学竞赛中的考点是多样的，上述仅为其中的一些常见考点。
为了在竞赛中取得好成绩，学生需要对这些考点进行深入的学习和理解，并通过大量的练习来提高自己的解题能力。
绝对值三角不等式1
绝对值不等式1、利用绝对值的几何意义：0,0,<≥⎩⎨⎧-=x x x x x 在数轴上一个点到原点的距离称为这个数的绝对值2、分类讨论去绝对值3、两边平方去绝对值绝对值三角不等式证明一个含绝对值的不等式成立，除了用一般不等式的基本性质外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：()a a ≥1，当且仅当0≥a 时等号成立，a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。
()22a a =()b a b a ⋅=⋅3()()04≠=b ba b a那么?b a b a +=+?b a b a +=- 成立吗？ 探究：b a b a b a -+,,,之间的关系定理（绝对值三角不等式）如果b a ,是实数，则b a b a b a +≤±≤-注：当b a ,为复数或向量时结论也成立。
1、不等式243<-x 的整数解的个数是_________2、函数22--=x x y 的定义域为___________3、设不等式b a x <-的解集为{}21<<-x x ，则=a __________=b ____________ 4、解不等式（1）1112≥++x x （2）112≤--x（3）11>--x x （4）14log 2log 22≥++xx（5）321≤-+-x x （6）1211+<--+xx x（7）2log log 2<-a xa xa a5、求函数()13121-+-+-=x x x x f 的最小值6、关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是多少？7、设6,4,0ααα<-<->b y a x ，求证：α<--+b a y x 32328、设二次函数()()0,02≠>++=b a c bx ax x f ，已知()()()11,11,10,≤-≤≤≤f f f a b ，当1≤x 时，证明：()45≤x f9、设二次函数()()0,02≠>++=b a c bx ax x f ，已知()()()11,11,10≤-≤≤f f f ，当1≤x 时，证明：()45≤x f10、设二次函数()()0,02≠>++=b a c bx ax x f ，已知1≤x 时，()1≤x f ，证明：当1≤x 时，42≤+b ax11、求函数112+--+++=x x x x y 的最小值12、若不等式175+>-x x 与不等式022>-+bx ax 同解，而k b x a x ≤-+-解集非空，求实数k 的取值范围13、R y x ∈,若211≤-+-++y x y x ，求y x +的取值范围14、设函数()()01>-++=a a x ax x f ，证明：()2≥x f。
《绝对值的三角不等式》 学历案
《绝对值的三角不等式》学历案一、学习目标1、理解绝对值的三角不等式的含义。
2、掌握绝对值的三角不等式的证明方法。
3、能够运用绝对值的三角不等式解决相关的数学问题。
二、学习重难点1、重点（1）绝对值的三角不等式的推导及证明。
（2）运用绝对值的三角不等式进行不等式的证明和求解最值问题。
2、难点（1）对绝对值的三角不等式等号成立条件的理解和运用。
（2）灵活运用绝对值的三角不等式解决复杂的数学问题。
三、知识回顾1、绝对值的定义：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用符号“｜｜”表示。
例如，｜5| ＝ 5，｜ 5| ＝ 5 。
2、绝对值的性质：（1）非负性：｜a| ≥ 0 ，当且仅当 a ＝ 0 时，｜a| ＝ 0 。
（2）对称性：｜ a| ＝｜a| 。
四、新课导入在数学中，不等式是一个非常重要的内容。
我们经常会遇到需要比较两个数或者表达式大小的情况。
今天，我们要来学习一个重要的不等式——绝对值的三角不等式。
考虑以下两个实数 a 和 b ，它们在数轴上的位置关系会对｜a ＋ b| 与｜a| ＋｜b| 的大小产生影响。
五、探究绝对值的三角不等式1、当 a 、 b 同号时（1）若 a 、 b 同为正数，即 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ，则 a ＋ b ＞ 0 。
此时，｜a ＋ b| ＝ a ＋ b ，｜a| ＋｜b| ＝ a ＋ b ，所以｜a ＋ b|＝｜a| ＋｜b| 。
（2）若 a 、 b 同为负数，即 a ＜ 0 ， b ＜ 0 ，则 a ＋ b ＜ 0 。
此时，｜a ＋ b| ＝（a ＋ b) ＝ a b ，｜a| ＋｜b| ＝ a ＋（ b) ＝a b ，所以｜a ＋ b| ＝｜a| ＋｜b| 。
2、当 a 、 b 异号时（1）若 a ＞ 0 ， b ＜ 0 ，且｜a| ＞｜b| ，则 a ＋ b ＞ 0 。
此时，｜a ＋ b| ＝ a ＋ b ，｜a| ＋｜b| ＝ a b ，因为 a ＋ b ＜ a b ，所以｜a ＋ b| ＜｜a| ＋｜b| 。
1.绝对值三角不等式
1、绝对值三角不等式
2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义
表示点A到原点的距离
a 离 a b 的几何意义 表示数轴上A,B’( B与B’关于
原点对称)两点之间的距离
a
0 a
A x
a b
B’ -b
A
a O
a b
b
B
x
a ,a>0 1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0 －a ,a<0 2.绝对值的几何意义： |a| 0 |a－b| A a B b A a
实数a绝对值|a|表示 数轴上坐标为A的点 到原点的距离. 实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.
3.绝对值的运算性质：
0, x a , y b ,
2x 3 y 2a 3b 5
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项
绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项
绝对值三角不等式是高中数学中常见的一类不等式，它的解法技巧和注意事项如下。
解法技巧：
1. 分析绝对值的取值范围：对于绝对值不等式|f(x)| < a，首先需要确定f(x)的取值范围。
根据绝对值的定义，当f(x)的取值在-a 和a之间时，不等式成立。
2. 分类讨论：根据f(x)的取值范围进行分类讨论，将不等式分为多个情况进行分析。
例如，当f(x) > 0时，|f(x)| = f(x)；当f(x) < 0时，|f(x)| = -f(x)。
根据不同情况，构建等式或不等式进行求解。
3. 利用绝对值性质简化不等式：绝对值有一些基本的性质，如|a+b| ≤ |a| + |b|和|a-b| ≥ ||a| - |b||。
在解决绝对值三角不等式时，可以通过利用这些性质将复杂的不等式简化为更简单的形式。
注意事项：
1. 确定变量的定义域：在解决绝对值三角不等式时，需要考虑变量的取值范围，即定义域。
根据函数的定义域，确定绝对值的取值范围，从而确定不等式的解集。
2. 注意绝对值的符号：绝对值的结果总是非负数，即|a| ≥ 0。
在解决绝对值三角不等式时，需要根据不等式的符号确定绝对值的符号，避免出现不符合实际情况的解。
3. 将不等式化为关于绝对值的形式：有时候，需要将不等式转化为关于绝对值的形式，例如将|x+a| -b。
通过求解这两个不等式得到更精确的解集。
绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项上述所述，可以帮助我们更好地理解和解决这类不等式问题。
绝对值三角不等式
a ,a>0 1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0
－a ,a<0 2.绝对值的几何意义：
|a|
A
0
a
实数a绝对值|a|表示 数轴上坐标为A的点 到原点的距离.
|a－b|
A
B
a
b
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.
3.绝对值的运算性质：
a |a|
a2 a , ab a b ， | b | | b |
探究
设a, b为实数， 你能比较 a b 与之a 间 的b 大
小关系吗？
当ab>0时，a b a b 当ab<0时，a b a b 当ab=0时，a b a b
ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b
当且仅当 ab 时0，等号成立。
你能解释它的几何意义吗？
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式 2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义 表示点A到原点的距离 a b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,B’( B与B’关
于原点对称)两点之间的距离
a A
0
a
x
ab
ab
B’
A
B
-b
a
O
bx
当向量 a, 不b 共线时，
ab a b
探究：当向量 a, b共线
时，又怎样的结论？
同向： a b a b 反向： a b a b
ห้องสมุดไป่ตู้
y
ab b
Oa
x
ab a b
1.2.1 绝对值三角不等式 课件(人教A选修4-5)
[证明] (C－c)|
|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋
≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|. s s s 因为|A－a|< ，|B－b|< ，|C－c|< ， 3 3 3 s s s 所以|A－a|＋|B－b|＋|C－c|< ＋ ＋ ＝s. 3 3 3
②点B不在A，C上时，|a－c| < |a－b|＋|b－c|.
应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．
[例 1]
s s s 已知|A－a|< ，|B－b|< ，|C－c|< . 3 3 3
求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.
[思路点拨] ―→ 得出结论
变形 重新 定理 转化为|A－a|＋ 原式 ――→ ――→ 分组 |B－b|＋|C－c|
∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.
∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3. ∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．
点击下图进入创新演练
法二：把函数看作分段函数． 4，x<－1， y＝|x－3|－|x＋1|＝2－2x，－1≤x≤3， －4，x>3. ∴－4≤y≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.
(2)|x|≤1，|a|≤1， ∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x2|＋|x|＝－|x|2＋|x|＋1 12 5 5 ＝－(|x|－ ) ＋ ≤ . 2 4 4 1 5 ∴|x|＝ 时，|f(x)|取得最大值 . 2 4
1.2.1 绝对值三角不等式 课件(人教A选修4-5)
4．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．
解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥ |1－x＋x＋1|＝2， 当且仅当(1－x)(1＋x)≥0， 即－1≤x≤1时取等号．
∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|
取得最小值2.
5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的 取值范围． 解：a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，
法二：把函数看作分段函数． 4，x<－1， y＝|x－3|－|x＋1|＝2－2x，－1≤x≤3， －4，x>3. ∴－4≤y≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.
(2)|x|≤1，|a|≤1， ∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a|1－|x2|＋|x|＝－|x|2＋|x|＋1 12 5 5 ＝－(|x|－ ) ＋ ≤ . 2 4 4 1 5 ∴|x|＝ 时，|f(x)|取得最大值 . 2 4
∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.
∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3. ∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．
点击下图进入创新演练
(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝 对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题
的关键．
3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是________， 最小值是________． 解析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5. 答案：5 1
绝对值三角不等式 课件
[例2] (1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值． (2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)． 若|a|≤1，求|f(x)|的最大值． [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可 求解．
[解] (1)法一：||x－3|－|x＋1|| ≤|(x－3)－(x＋1)|＝4， ∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.
4．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值． 解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥ |1－x＋x＋1|＝2， 当且仅当(1－x)(1＋x)≥0， 即－1≤x≤1时取等号． ∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1| 取得最小值2.
5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的 取值范围． 解：a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立， ∴a<[|x＋1|－|x－2|]min. ∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3. ∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．
绝对值三角不等式
绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅 当 ab≥0 时，等号成立． 几何解释：用向量a，b分别替换a，b. ①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为： 三角形的两边之和大于第三边 ． ②若a，b共线，当a与b 同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b 反向 时，|a＋b|<|a|＋|b|. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝 对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b| ≤|a|＋|b|.
绝对值三角不等式
综合法 : ab a b , 且当且仅当ab 0取等 a2 b2 2ab a2 b2 2 a b (a b)2 a 2 b 2 2 a b (a b)2 ( a b )2 当且仅当ab 0等号成立
绝对值三角不等式：
若 a,b 是实数，则 a b a b a b
oa b ba o
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b
b
oa
ao
b
综上 ab 0时，a b a b ab 0时，a b a b
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b 当a b 0时，a b a b
应用一： 证明不等式成立源自定理2 如果a、b、c是实数,
-
-------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|
-------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
证明：由绝对值三角不等式
a b b c (a b) (b c) a c
ab bc ac
当且仅当(a b)(b c) 0时等号成立
的点 B 之间的距离.如图:
即，
a b AB a b的几何意义?
关于绝对值还有什么性质呢?
① a a2
a 2 a2
② ab a b , a a ,…… bb
猜想：
① a b 与 a b 之间有什么关系？ ② a b 与 a b 之间有什么关系？
在数轴上表示 a 、b 、a b 时需要注意些什么？
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr
ab
r
rb
a
rr ab
rr ab
推论 1 a1 a2 L an ≤ a1 a2 L an
绝对值三角不等式取等条件
绝对值三角不等式取等条件
绝对值三角不等式取等条件：
1）如果$a=b=-c$，即a b c三个实数相等，则绝对值三角不等式成立：$|a|+|b|=|c|$
2）如果$a=-b$ 且$a>c$或$a=-b$ 且$c>a$，则绝对值三角不等式成立：$|a|+|b|=|c|$
3）如果 $|a|+|b|<|c|$，则绝对值三角不等式的等号不能取等，即
$|a|+|b|≠|c|$
4）如果 $|a|+|b|>|c|$，则绝对值三角不等式的等号不能取两边都等，即$|a|+|b|≠|c|$
绝对值三角不等式是一个基本的数学不等式，它是数学中绝对值的一
个典型应用，也是教科书中常考查的题型。
绝对值三角不等式取等条
件共有四种：
1）如果a b c三个实数相等，即$a=b=-c$，则绝对值三角不等式会成立；2）如果$a=-b$，且$a$或$c$大于另一数则$|a|+|b|=|c|$；
3）如果$|a|+|b|<|c|$，则等号不能取等；
4）如果$|a|+|b|>|c|$，则等号不能取两边都等。
绝对值三角不等式是绝对值典型应用中的一个重要定理，它反映了绝对值的性质，如大小关系、计算等，也是数学知识应用中很实用的一种不等式，在学习数学时要把握其取等条件，从而掌握绝对值三角不等式的概念，把它运用到实际中。
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
绝对值三角不等式
当ab < 0时，ab = −ab,| a + b |= (a + b) 2 = a + 2ab + b = | a | −2 | ab | + | b |
2 2 2 2 2 2 2
< | a | +2 | ab | + | b | = (| a | + | b |) =| a | + | b |, 所以 | a + b |≤| a | + | b |, 当且仅当ab ≥ 0时，等号成立。
ε
2a
, y ∈ (0, M ) ，
xy − ab < ε .
证明： − ab = xy − ya + ya − ab = y(x − a) + a( y − b) xy
ε ε ≤ y x −a + a y −b < M ⋅ +a⋅ = ε. 2M 2a
补充练习 : a−b a+b 1.已知 a ≠ b , m = ,n = , 则m , n之间的 a−b a+b 大小关系是 ( D ) A.m > n B.m < n C.m = n D.m ≤ n π
例 : 若 x − m < ε , y − m < ε , 下列不等式中一定成立 的是 ( B ) A. x - y < ε B . x − y < 2ε C . x − y > 2ε D. x − y > ε
练习： 1.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a| (2)|a+b|-|a-b|≤2|b|
小结：
理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R, (a-b)(b-c)≥0时等号成立） 能应用定理解决一些证明和求最值问题。 作业：课本 作业：课本P19第、4、5题 第 、 题
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定理1的推广 如果a,b,c是实数，则
(1). a b c a b c (2). a c a b b c
定理2
1、求证：（1）a b a b 2 a
（2） a b a b 2 b
2、求证：（1） x a x b a b
（2） x a x b a b
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月15 日星期 二下午 6时26 分56秒1 8:26:56 20.12.1 5
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月下午 6时26 分20.12. 1518:2 6December 15, 2020
2020 6:26:56 PM18:26:562020/12/15
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/15/
谢 谢 大 家 2020 6:26 PM12/15/2020 6:26 PM20.12.1520.12.15
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。15-Dec-2015 December 202020.12.15
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式 2、绝对值不等式的
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义 表示点A到原点的距离 a b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,B’( B与B’关于
原点对称)两点之间的距离
a A
0
a
x
ab
ab
B’
A
B
-b
a
O
bx
a ,a>0 1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0
－a ,a<0 2.绝对值的几何意义：
|a|
A
0
a
实数a绝对值|a|表示 数轴上坐标为A的点 到原点的距离.
|a－b|
A
B
a
b
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.
3.绝对值的运算性质：
a |a|
a2 a , ab a b ， | b | | b |
探究
当向量 a, b不共线时，
ab a b
探究：当向量 a 反向： a b a b
y
ab b
O
a
x
ab a b
定理1
如果a,b是实数，则 a b a b
探究P13 定理1的完善
绝对值三角不等式
a b ab a b
a b ab a b
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月15日 星期二 6时26 分56秒1 8:26:56 15 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。下午 6时26 分56秒 下午6时 26分18 :26:562 0.12.15
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/15/
设a, b为实数， 你能比较 a b 与 之a 间 的b 大
小关系吗？
当ab>0时，a b a b 当ab<0时，a b a b 当ab=0时，a b a b
ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b
当且仅当 ab 时0，等号成立。
你能解释它的几何意义吗？
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 518:26: 5618:2 6Dec-20 15-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 18:26:5 618:26: 5618:2 6Tuesday, December 15, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 520.12. 1518:2 6:5618: 26:56D ecembe r 15, 2020
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Tuesday, December 15, 2020
15-Dec-2020.12.15
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1518:26:5615 December 202018:26
求 x 3 的x 最 9大值
求 x 3 的x最小9 值
例1、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1520. 12.15Tuesday, December 15, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。18:2 6:5618: 26:5618 :2612/ 15/2020 6:26:56 PM