泛函分析习题1

线性与非线性泛函分析◇

- 1 -

习题1

1.(张燕石淼)设在全体实数R 上，定义两个二元映射2(,)()x y x y ρ=-和

(2) (,)d x y ，证明(1)(,)ρR 不是度量空间；(2)(,)d R 是度量空间．

2.(范彦勤孙文静)设X ρ(,)为度量空间，:f ∞→∞[0,+][0,+]为严格单调函数，且满足,x y f ∀∈∞[0,+],(0)=0,()()()f x y f x f y +≤+，令(,)((,))d x y f x y ρ=，证明X d (,)为度量空间．

3. (武亚静张丹)设X d (,)为度量空间，证明,,,x y z w X ∀∈有

(,)(,)(,)(,)d x z d y w d x y d z w -≤+．

4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为{}123(,,,....,...)|,1,2,...n i X x x x x x R i =∈=，对于123(,,,....,...)n x x x x x =及12(,,...,...)n y y y y =∈X ，定义11(,)12k k

k

k k k

x y d x y x y ∞

=-=+-∑

．证明 X d (,)为度量空间．

5.设()X n 为0和1组成的n 维有序数组，例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =，对于任意的,()x y X n ∈，定义(,)d x y 为x 和y 中取值不同的个数，例如在(3)X 中，(110,111)1d =，(010,010)0d =(010,101)3d =．证明((),)X n d 为度量空间．

6.(苏艳丁亚男)设X d (,)为度量空间， A X ⊂且A ≠φ．证明A 是开集当且仅当A 为开球的并．

7.(张振山赵扬扬)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间．那么映射:f X Y →是连续映射当且仅当Y 的任意闭子集F 的原象1()f F -是X 中的闭集．

8.(王林何超)设{}n x 与{}n y 是度量空间X d (,)的两个Cauchy 列．证明(),n n n a d x y =是收敛列．

9.(李敬华孙良帅)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间，在X Y ⨯上定义度量

112212121

((,),(,)){[(,)][(,)]}p p p x y x y d x x d y y γ=+，其中1122(,),(,)x y x y X Y ∈⨯，1p ≥为正数．证明

X Y ⨯是完备空间当且仅当X d (,)和Y ρ(,)均是完备空间．

10.(李秀峰钱慧敏)设X d (,)是完备的度量空间，{}11n G x G ∈是X 中的一列稠密的开子集，

证明

1

n n G ∞

=也是X 中的稠密子集．

11.(王胜训闫小艳)设n A ⊂R ，证明A 是列紧集当且仅当A 是有界集． 12 (冯岩盛谢星星)设X d (,)为度量空间，A X ⊆且A φ≠．证明 （1）{|,(,)}x x X d x A ε∈<是X 的开集．

（2）{|,(,)}x x X d x A ε∈≤是X 的闭集，其中0ε>．

第一章 习题

- 2 - 13.(李小伟周新慧)设[,]B a b 为定义在[],a b 上的所有有界函数，若(),()[,]x t y t B a b ∈，定义

[]

()(),(,)sup t a b d x y x t y t ∞∈=-，求证d ∞为[,]B a b 的度量及[,]C a b 为[,]B a b 的闭集．

14.(陈明徕孙潇洋)设(),x d 为度量空间，A X ⊂且A φ≠．若A 为紧集，则存在00,x y A ∈使得00()(,)diam A d x y =．其中,()

sup{(,)}x y A

diam A d x y ∈．

15.(张秀芳张银利)设(,)X d 为度(,)X d 量空间，令(,)

(,)1(,)

d x y x y d x y ρ=+，证明(,)X d 为完备

度量空间当且仅当(,)X ρ为完备度量空间．

16.(常铮岳晓鹏)设,,x y z ∈+Z ，定义11

(,)d x y x y

=-，证明d 为+Z 上的度量，(,)d +Z 不为完备度量空间，+Z 表示正整数集．

17.(王文生李科莹)设(,)X d 为度量空间，A X ⊂且A φ≠，定义(,)inf{(,)}y A

d x A d x y ∈．证明

,x y X ∀∈有|(,)(,)|(,)d x A d y A d x y -≤．

18.设(,)X d 为完备的度量空间，点列{}n x X ⊂，如果0ε∀>，存在X 的一个基本列{}n y ，使得(,)n n d x y ε<．证明{}n x 收敛．

19.设(,)X d 为为紧的度量空间，{}n A 为X 的一列非空闭子集，且

1231n n A A A A A +⊃⊃⊃

⊃⊃⊃

证明

1

n n A φ∞

=≠．

20.设(,)X d 为完备的度量空间，映射 设(,)X d ，(,)Y ρ为两个度量空间，:f X Y →为单射，证明f 是连续映射的充要条件是f 把X 中的任一紧集映成Y 中的紧集．

21.设,X Y 均为度量空间，:f X Y →为连续映射，若A 是X 的稠密子集，则()f A 是()f X 的稠密子集．

22.设12,F F 都是度量空间(,)X d 中的紧集，则必存在0102,x F y F ∈∈，使得00(,)d x y 12(,)d F F =，其中1212(,)inf{(,),}d F F d x y x F y F =∈∈称为1F 与2F 的距离．

23.设12,F F 是度量空间(,)X d 中的两个子集，其中1F 是紧集，2F 是闭集，若12(,)0d F F =则必存在01

2x F F ∈．

24.设(,)X d 为完备的度量空间，映射:A X X →满足：,x y X ∀∈且x y ≠有

(,)(,)d Ax Ay d x y <

若知A 有不动点，那么此不动点是惟一的．

25.设M 是(,)n d R 中的有界闭子集，,x y M ∀∈且x y ≠，映射:A M M →满足(,)(,)d Ax Ay d x y <，证明A 在M 中存在惟一的不动点．

26.证明有界数列空间l ∞是完备的度量空间．(距离的定义：(,)sup ||i i i

d x y x y =-)