空间中的平行关系习题
高一数学(人教A版)8.5空间直线、平面的平行习题课-ppt课件
E B
⑤当容器倾斜如右图所示时，BE×BF是定值．
G D H
C
其中所有正确命题的序号是_____，为什么？
①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；
分析：如何判断有水部分呈棱柱形？棱柱的定义是什么？
一般地，有两个面互相平行，其余 A1
D1
各面都是四边形，并且相邻两个四边形 B1
C1
的公共边都互相平行，由这些面所围成
⑦
① ②
线线平行
③ ④
线面平行
⑤ ⑥
面面平行
例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的
中点，求证：EF//平面CD1．
⑦
① ②
线线平行
③ ④
线面平行
⑤ ⑥
面面平行
线线平行
线面平行
如何在平面CD1内得到 一条直线，使得这条直
线与直线EF平行？
例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的
C
因此命题③错误．
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
解析：因为BC//FG，
根据基本事实4可得，FG//A1D1， 又因为A1D1不在平面EFGH内， FG在平面EFGH内，
所以棱A1D1始终与水面所在平面平行， 所以命题④正确；
A1 B1
FE A
B
D1 C1
GH D
C
⑤当容器倾斜如右图所示时，BE×BF是定值．
此题通过线面平行得出线线平
b
行，再由基本事实4得出另一组线线平 β a
行，最后得到线面平行．方法是通过
a′ α
“由已知想可知，由求证想需知”来实
现线线平行与线面平行关系的转化．
面面平行练习题
面面平行练习题一、选择题1. 若平面α内的直线a与平面β内的直线b平行，且直线a不在平面β内，那么平面α与平面β的位置关系是：A. 平行B. 相交C. 垂直D. 重合2. 在空间几何中，若两平面没有公共点，则这两个平面：A. 相交B. 平行C. 垂直D. 重合3. 根据面面平行的判定定理，若直线a平行于平面β，直线b在平面α内，且直线a与直线b平行，则：A. 平面α与平面β平行B. 平面α与平面β相交C. 平面α与平面β垂直D. 不能确定4. 若平面α与平面β平行，且点P不在平面α或平面β内，则过点P的直线与平面α和平面β的位置关系是：A. 平行B. 相交C. 垂直D. 重合5. 根据面面平行的性质定理，若平面α与平面β平行，直线a在平面α内，直线b在平面β内，则直线a与直线b：A. 平行B. 相交C. 垂直D. 重合二、填空题6. 若直线a平行于直线b，且直线a在平面α内，直线b在平面β内，则平面α与平面β_________。
7. 当两平面平行时，它们之间的距离处处_________。
8. 若直线a与平面α垂直，直线b与平面β垂直，且直线a与直线b平行，则平面α与平面β_________。
9. 若直线a与直线b相交，且直线a在平面α内，直线b在平面β内，则平面α与平面β_________。
10. 当平面α与平面β平行时，平面α内的任意直线与平面β_________。
三、简答题11. 描述面面平行的性质定理，并给出一个几何图形的例子。
12. 解释为什么两个平面平行时，它们之间的距离处处相等，并给出证明。
13. 给出一个实际生活中面面平行的例子，并解释其在该场景中的重要性。
四、证明题14. 已知平面α内的直线a与平面β内的直线b平行，且直线a不在平面β内，证明平面α与平面β平行。
15. 若平面α与平面β平行，直线c在平面α内，直线d在平面β内，且直线c与直线d平行，证明直线a与直线b平行。
五、应用题16. 在一个立方体中，找出所有平行的平面对，并解释为什么它们是平行的。
空间中的平行关系
诚西郊市崇武区沿街学校.2空间中的平行关系平行公理从古希腊时代到公元1800年间，许多数学家都尝试根据欧几里德的其他公理去证明欧几里德平行公理，结果都归于失败，19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约等人都各自独立地认识到这种证明是不可能的，也就是说平行公理是独立于其他公理的，并且可以用不同的平行公理替代欧几里德的平行公理而建立非欧几何学。
罗巴切夫斯基于1830年前后，发表了关于非欧几何的理论，罗巴切夫斯基的平行公理是.在一平面上，过直线外一点至少有两条直线与该直线一一共面而不相交.，由此演绎出一系列全新的无矛盾的结论，在这种几何里，三角形内角和小于180°，相似三角形不存在，等等。
这样一来，欧几里德几何与罗巴切夫斯基几何就存在本质上的区别，欧氏几何只是罗氏几何的特殊情况。
1854年，德国数学家黎曼研究了自己的几何学，他拓广了空间概念，例如四维的黎曼空间，创始了几何学的一片更广阔的领域，这种几何称为黎曼几何学。
在黎曼几何中，黎氏直线是封闭的〔是球的大圆〕，一切直线都相交。
黎氏平面上没有不相交的直线，黎氏三角线的内角和大于180°，黎氏几何中没有平行线。
罗氏几何学与欧氏几何的区别仅在于一条平行公理，而黎氏几何与欧氏几何的区别却大得多，不仅平行公理不同，其他公理亦不同。
研习点1平行直线1.平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.3.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.公理4的符号表述为：a//c，b//c a//b.本公理中说到的两条直线仍然是不重合的两条直线，否那么，平行同一条直线的两条直线还可能重合，在使用这个公理时，一定要先有两条直线不重合，才能得到两条直线平行的结论.公理4反映了两条直线的位置关系.公理4主要用来证明两条直线平行，它是证明两直线平行的重要根据.4.等角定理：假设一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向一样，那么这两个角相等.：如下列图，∠BAC 和∠B1A1C1的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线AB 与A1B1同向，射线AC 与A1C1同向， 求证：∠BAC=∠B1A1C1。
线线、线面、面面平行练习题(含答案)
DC A B B 1A1C 1直线、平面平行的判定及其性质 测试题A一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12MN AC BD ≥+ B ．()12MN AC BD ≤+C ．()12MN AC BD =+ D ．()12MN AC BD <+二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ． 三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α 3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ） A ．a α⊄，则//a α B ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂ 4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定 5.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在 二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BD D 1． 三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E在棱PC 上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC .EPDCBA参考答案A一、选择题 1．D【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条. 3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线. 5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP. 9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE. 三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1（2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点 E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点， 所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，若A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；D 正确. 2．C【提示】若直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α 或a α 3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之. 4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l . 5．A 【提示】 6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.①④⑤⑥ 8.68或368 【提示】如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68. SS AABBCCα α ββ(1)(2)DD如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368.9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1 B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上. 三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面. 11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MBMBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .OF ABCDP E。
新教材高一数学——空间直线、平面的平行练习题
8.5 空间直线、平面的平行练习题1．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则下列说法正确的是()A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上2．下列说法正确的是()A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m⊂α，则必有() A．l∥αB．α∥γC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b或a，b相交；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∩β＝a，a∥b⇒b∥β或b∥α.其中正确命题的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③5．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的是________(填序号)．6．如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE ∥平面NCF.其中判断正确的序号是________．7．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其中正确的命题是________．8．给出下列说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．9．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.10．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB ∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．详解：1．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则下列说法正确的是()A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上答案D解析连接EH，FG.因为F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，所以GF∥BD，且GF＝23BD.因为点E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH∥BD，且EH＝12BD，所以EH∥GF，且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M在直线AC上．故选D.2．下列说法正确的是()A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线答案D解析由直线与平面的位置关系及直线与平面平行的判定定理，知D正确．3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m⊂α，则必有() A．l∥αB．α∥γC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ答案D解析 ⎭⎪⎬⎪⎫β∩γ＝l ，l ⊂β，l ⊂γm ∥l ，m ⊂α⇒m ∥β或m ∥γ.若m 为α与β的交线或为α与γ的交线，则不能同时有m ∥β，m ∥γ.故选D.4．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥b 或a ，b 相交；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥β或b ∥α.其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③答案 C解析 对于①，由α∩β＝a ，b ⊂α，得a ，b 共面，则a ∥b 或a ，b 相交，正确；对于②，α∥β，m ⊂α，n ⊂β可能得到m ∥n ，还有可能是直线m ，n 异面，错误；对于③，m ∥n ，m ∥α，当直线n 不在平面α内时，可以得到n ∥α，但是当直线n 在平面α内时，n 不平行于平面α，错误；对于④，由α∩β＝a ，a ∥b ，得b 至少与α，β中的一个平面平行，则b ∥β或b ∥α，正确．故选C.5．已知a ，b ，c 是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；③若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线；④若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .其中正确的是________(填序号)．答案 ①解析 由基本事实4知①正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a ⊂平面α，b ⊂平面β时，a 与b 可能平行、相交或异面，故③不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．故正确说法的序号为①.6．如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM ∥平面DE ；②CN ∥平面AF ；③平面BDM ∥平面AFN ；④平面BDE∥平面NCF.其中判断正确的序号是________．答案①②③④解析以面ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个判断都是正确的．7．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其中正确的命题是________．答案②④解析由面面平行的定义可知②④正确．8．给出下列说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．答案②③解析①中平面α与γ也可能重合，故①不正确．假设直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β，知a⊂α或a∥α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交，②正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β，得a∥b.因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a⊂α，所以PQ⊂α，③正确．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能，④不正确．9．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．所以O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.10．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB ∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点．证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF=CD且AF//CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CF∥平面ADD1A1，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.。
专题3：立体几何中平行关系的证明基础练习题
（1）连接 ，则 也为 的中点，由 可证 平面 ；
（2）存在， 为 的中点时，平面 平面 ，利用平面与平面平行的判定定理可证结论.
【详解】
（1）连接 ，则 也为 的中点，
因为 为 的中点，所以 为△ 的中位线，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平
∴ 是 的中点，
又 是 的中点，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
4．(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.
【分析】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，即可证明BF∥HD1；（2）取B1D1的中点O，易证四边形BEGO为平行四边形，故有OB∥GE，从而证明EG∥平面BB1D1D．（3）由正方体得BD∥B1D1，由四边形HBFD1是平行四边形，可得HD1∥BF，可证平面BDF∥平面B1D1H．
7．证明详见解析．
【解析】
【分析】
利用中位线，分别证明 ，由此证得平面内两条相交直线和另一个平面平行，从而证得两个平面平行.
【详解】
因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA．
又EF 平面PAC，PA 平面PAC，所以EF∥平面PAC．
同理得EG∥平面PAC．
又EF 平面EFG，EG 平面EFG，EF∩EG＝E，
5．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连接 ，通过证明 平面 与 平面 ，可得平面 平面 ；
（2）找到 为异面直线 和 所成角，求 即可.
【详解】
证明：（1）由题意可得，点 分别是 和 的中点，连接 ，
，
又 平面 平面 ，
平面 ，
同理： ，则 平面 ，
又 平面 平面 ，
1.2.2空间中的平行关系
第七章立体几何第4课时直线、平面平行的判定及性质导学案一、引1．(课本习题改编)给出下列四个命题：①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．其中正确命题的个数是________个．2．(课本习题改编)已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，判断平面MNP与平面A1BD的位置关系。
二、探1．直线和平面平行的判定定理(1)定义：直线与平面，则称直线平行平面；(2)判定定理：；(3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒a∥β.2．直线和平面平行的性质定理3．两个平面平行的判定定理(1)定义：两个平面，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的，与另一个平面平行，则这两个平面平行；(3)推论：一个平面内的分别平行于另一个平面内的，则这两个平面平行．4．两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线．5．与垂直相关的平行的判定定理(1)a⊥α，b⊥α⇒；(2)a⊥α，a⊥β⇒.三、讲例1(2012·辽宁)如图所示，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.例2如图所示，a，b是异面直线，A、C与B、D分别是a，b上的两点，直线a∥平面α，直线b∥平面α，AB∩α＝M，CD∩α＝N，求证：若AM＝BM，则CN＝DN.例3如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.四、练1．下列命题中正确的是________．①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．2．(2014·合肥一检)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题为________．3. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P—ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．4. (2013·辽宁)如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.5、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.五、小结与反思：六、作业必修2课本56页第6，8，11题，57页第7题。
空间解析几何练习题解决空间中直线与平面的问题
空间解析几何练习题解决空间中直线与平面的问题空间解析几何是解决三维空间中的几何问题的一种方法。
在解决空间中直线与平面的问题时，我们可以利用向量和坐标等工具进行分析和计算。
下面将通过几个练习题来演示如何解决空间中直线与平面的问题。
练习题1：已知直线L：{(x,y,z)|x=a+t1m,y=b+t2n,z=c+t3p}，平面P：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D为常数，且直线L与平面P相交。
求直线L与平面P的交点坐标。
解析：直线L与平面P有交点时，交点坐标满足直线上的点同时满足平面的方程。
即将直线L的参数方程代入平面P的方程，得到一个关于参数t1、t2、t3的方程组。
解这个方程组，即可获得交点坐标。
解题步骤：1.将直线L的参数方程代入平面P的方程，得到Ax+(a+t1m)Bx+(b+t2n)Cz+(c+t3p)+D=0。
2.将方程展开，化简得到At1m+Bt2n+Ct3p+Ax+By+Cz+D=0。
3.根据参数的系数相等，得到三个方程：At1+Bt2+Ct3+A=0，Bt1+Ct2=0，Ct1=0。
4.解这个方程组，得到参数t1、t2、t3的值。
5.将参数的值代入直线L的参数方程，即可得到直线与平面的交点坐标。
练习题2：已知直线L：{(x,y,z)|x=1+t,y=2-t,z=3+2t}，平面P：x-2y+z+1=0，判断直线L与平面P的关系。
解析：直线与平面的关系有三种情况，即直线在平面上、直线与平面相交、直线与平面平行。
判断直线与平面的关系，可以通过判断直线上的点是否满足平面的方程。
解题步骤：1.将直线L的参数方程代入平面P的方程，得到(1+t)-2(2-t)+(3+2t)+1=0。
2.将方程化简，得到t=0。
3.将t的值代入直线L的参数方程，得到(x,y,z)=(1,2,3)。
4.将直线上的一点代入平面P的方程，若等式成立，则直线在平面上；若不成立，则直线与平面相交。
5.将(1,2,3)代入平面P的方程，得到1-2(2)+3+1=0。
高考一轮复习第七章 第四节 空间中的平行关系
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012· 抚顺模拟)已知 m，n 表示两条不同直线，α，β，γ 表示不 同平面，给出下列三个命题：
m⊥α (1) n⊥α m⊥α (3) n∥α
⇒m∥n；
m⊥α (2) m⊥n
⇒n∥α
⇒α∥β
行，那么这两个平
面平行
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2.两平面平行的性质定理： 文字语言 性 如果两个平行平面时 质 与第三个平面 相交， 定 那么它们的 交线 平 理 行 图形语言 符号语言 α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b
⇒a∥b
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1．(教材习题改编)下列条件中，能判断两个平面平行 的是 ( )
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[考题范例] (12分)(2012· 太原模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面 ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90° ，SA⊥底面 ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝ (1)求四棱锥S－ABCD的体积； (2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明． 2 3
⇒a∥α
定理
2．性质定理： 文字语言 性 质 定 理 如果一条直线和一个 平面平行，经过这条 a∥α a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
图形语言
符号语言
直线的平面和这个平
面相交，那么这条直 线就和交线平行.
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四、平面与平面平行 1．判定定理： 文字语言 如果一个平面内有 判定 定理 两条 相交直线 平 行于另一个平面平 图形语言 符号语言 a⊂α b⊂α a∩b＝P a∥β b∥β
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[步步满分] 2 (1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝3，SA＝2， ∴AD＝3.(3分) 由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形， 且SA＝AB＝BC＝2， 1 1 VS－ABCD＝3×SA×2×(BC＋AD)×AB 1 1 10 ＝3×2×2×(2＋3)×2＝ 3 .(6分)
空间点、直线、平面之间的位置关系和平行判定习题
1.点A 在直线上,记作 ；点A 在平面α内,记作 ；直线α在平面α内,记作 .2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：3.公理的作用：（1）公理1作用：判断直线是否在平面内；（2）公理2作用：确定一个平面的依据；（3）公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 4. 空间两条直线的位置关系：5. 等角定理：6. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.7. 公理4：8. 公理4作用：判断空间两条直线 的依据.9.直线与平面有三种位置关系：（1） —— 有无数个公共点（2）——有且只有一个公共点（3）——没有公共点10. 两个平面之间有两种位置关系：（1）——没有公共点（2）——有且只有一条公共直线2.2 直线、平面平行的判定及其性质11.判定定理的符号表示为：.12. 证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.13.面面平行判定定理：．用符号表示为：.14. 垂直于同一条直线的两个平面平行.15. 平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是.16.线面平行的性质定理：符号语言：18. 面面平行的性质：. 用符号语言表示为：.19. 其它性质：①；②；③夹在平行平面间的平行线段相等.1．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别是AC、BD的中点，且EF＝3，则AB与CD所成的角为__________．3 / 72．在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝213，AC ＝23，求AC 和BD 所成的角．3．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、AD 、CB 、CD 上的点，并且有GB CG EB AB ＝，HD CH FD AF ＝，试证EF 、GH 、BD 共点或两两平行．4 已知异面直线a 、b 所成的角为60°，在过空间一定点P 的直线中，与a ，b 所成的角均为60°的直线有多少条？过P 与a 、b 所成角均为50°，或均为70°的直线又各有多少呢？希望读者通过对上述三个具体问题的求解，总结解题方法，然后再探讨关于与异面直线成等角的直线的存在性问题的一般性情况：已知异面直线a ，b 所成的角为θ0且θ0＜90°，过空间一点P 的直线中与a ，b 所成的角均为θ的直线有多少条？5．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。
1.2.2空间中的平行关系(1)2012-12-17王荣福
郭鑫、李国栋、卢洪燕、朱春丽、林磊
高雨靖、王君祥、左晨曦、张宏民 陈亚萍、潘少华（一人未交） 李廷坤、戴均贞（一人未交） 亓怀菊 张红、赵相坤、李栋、初春雨、于文涛
得分 3 4 4 5 4 0 0 1 4
学案反馈
存在的问题：
1.不能想象空间中两条直线的位置关系； 2.对基本性质4的应用不熟练； 3. 对空间几何四边形的概念理解不透彻。
高效展示
展示问题
问题导学1、2、3 问题导学4、5 例1和拓展 例2 例2拓展
展示位置 展示小组
前黑板 前黑板 后黑板 后黑板 后黑板 6组 2组 7组 3组 8组
目标： （1）展示人规范快速， 总结规律（用彩 笔）； （2）其他同学讨论完 毕总结完善，A 层注意拓展，不 浪费一分钟； （3）小组长要检查落 实，力争全部达 标
合作探究
重点讨论内容： 1.空间中两条直线的位置关系； 2.利用基本性质4证明有关 问题的方法; 3.对于空间四边形的理解； 4.自己的疑难问题. 目标：
（1）小组长首先安排讨论任务，人人参与，热烈讨论，积极表达自己的观点， 提升快速思维和准确表达的能力。 （2）小组长调控节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论，AA力争拓展 提升，BB、CC解决好全部展示问题。 （3）讨论时，手不离笔、随时记录，未解决的问题，组长记录好，准备展示 质疑。
所以 EF ∥ AC
又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1 所以 AA1∥CC1 且 AA1∥CC1 即四边形AA1C1C是平行四边形 所以AC∥A1C1 从而 EF∥A1C1.
例3. 如图,已知E,E1分别是正方体ABCD－ A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点. 求证：∠C1E1B1 = ∠CEB. 分析：设法证明E1C1∥EC, E1B1∥EB.
空间中的平行关系
空间中的平行关系（提高篇）高考会这样考 1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系．复习备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.转化的思想解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化3.解题技巧要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据．注意常用方法：三角形中位线法，构造平行四边形法等。
知识点回顾1.线面平行的判定及性质定理；2.面面平行的判定及性质定理；要求会用数学语言和图形语言表达。
1①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是________(填序号)．2．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．3．设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β4．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，则m 平行于平面α内的任意一条直线； ②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β； ④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝12BC ＝2，AC＝CD ＝3. 证明：EO ∥平面ACD ；2.如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE ∥DF ，∠DEF ＝90°. (1)求证：BE ∥平面ADF ；3..如图，四棱锥A -B CD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ，求证：CD ∥平面EFGH.4.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1C.1.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C 1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1 D；（3）平面BDF∥平面B1D1 H.2.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.1.如图，在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?空间中的平行关系（习题课）高考会这样考 1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系．复习备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.转化的思想解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化3.解题技巧要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据．注意常用方法：三角形中位线法，构造平行四边形法等。
线面平行练习题
线面平行练习题一、选择题1. 已知直线a与平面α平行，直线b在平面α内，下列说法正确的是：A. 直线a与直线b平行B. 直线a与直线b异面C. 直线a与直线b相交D. 直线a与直线b可能平行，也可能异面2. 若直线m与平面α平行，直线n在平面α内，且直线m与直线n不平行，则直线m与直线n：A. 平行B. 异面C. 相交D. 无法确定3. 直线l在平面β内，且与平面α平行，若直线m与平面α平行，直线m不在平面β内，则直线l与直线m：A. 平行B. 异面C. 相交D. 垂直二、填空题4. 若直线a与平面α平行，直线b与平面α垂直，则直线a与直线b_________。
5. 已知直线m平行于平面α内的直线n，若直线m在平面β内，且平面α与平面β相交于直线l，则直线m与直线l_________。
6. 若直线a与平面α平行，直线b在平面α内，且直线a与直线b不平行，则直线a与直线b_________。
三、判断题7. 若直线a与平面α平行，直线b在平面α内，则直线a与直线b一定平行。
（）8. 若直线m与平面α平行，直线n在平面α内，且直线m与直线n平行，则直线m与直线n一定在同一平面内。
（）9. 若直线a与平面α平行，直线b与平面α垂直，则直线a与直线b垂直。
（）四、简答题10. 已知直线l平行于平面α，平面α与平面β相交于直线m，求证：直线l与直线m平行或异面。
11. 若直线a与平面α平行，平面α与平面β相交于直线l，直线b在平面β内且与直线l不平行，求证：直线a与直线b平行或异面。
五、证明题12. 已知平面α内的直线a与平面β平行，直线b在平面β内，且直线a与直线b不平行。
证明：直线a与直线b异面。
13. 已知直线m与平面α平行，直线n在平面α内，且直线m与直线n不相交。
证明：直线m与直线n异面。
14. 若直线a与平面α平行，直线b在平面α内，且直线a与直线b 垂直，求证：直线a与平面α垂直。
六、解答题15. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知直线AB₁与直线CD₁平行，求证：直线AB₁与平面ABCD平行。
2022年《教学 空间中的平行关系》优秀教案
空间中的平行关系〔1〕教学目标：1、理解公理42、掌握等角定理及其应用教学重点：1、理解公理42、掌握等角定理教学过程：（一）复习平面几何中有关平行线的传递性的结论（二）公理4：平行于同一直线的两条直线平行〔应指出：此“公理〞并不是真正的公理，可以证明，但不一定给学生证明〕（三）异面直线的概念：不同在任一平面内的两条直线（四）异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线〔注：第〔三〕、〔四〕两条课标均未设计，但应重视〕（五）等角定理：见教材（六）空间两直线成的角：过空间一点作两直线的平行线。
得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两直线成的角（七）例子与练习1在立方体中过点能作条直线，与直线、都成角2空间三条直线，下面给出三个命题：①，那么；②假设a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c是异面直线；③假设a、b共面，b、c共面，那么a、c共面；上述命题正确的个数是3过空间一点能否作直线与两给定异面直线都相交？过一点能否作一平面与两给定的异面直线都相交？4空间四边形中，M、N分别是AB、CD的中点;求证：①与异面；②5以下命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②平行于同一直线的两条直线平行其中正确的选项是6、是异面直线，直线平行于直线，那么与〔〕A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D 不可能是相交直线课堂练习：略小结：本节课学习了公理4和等角定理，了解异面直线的概念和直线成角的概念课后作业：略空间中的平行关系〔2〕教学目标：1、直线与平面平行的概念2、直线与平面平行的判定与性质教学重点：直线与平面平行的判定与性质教学过程：（八）复习公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内（九）按直线与平面的公共点的个数给直线与平面的位置关系分类：1、直线与平面有且只有一个公共点——相交；2、直线与平面无公共点——平行；3、直线与平面有无数个公共点——直线在平面内（十）直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么平面外的直线与这个平面平行——线线平行，线面平行此定理的证明方法是反证法应讲明证明方法步骤：反设、归谬、结论（十一）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与这两个平面的交线平行——线面平行，线线平行（十二）例子与练习例1、直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的〔〕无数条直线都不相交解析：直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C例2、“平面内有无穷条直线都和直线平行〞是“〞的〔〕即不充分也不必要条件解析：如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选B例3、：正方形与正方形不共面，=求证：平面证法一：如图，连结AM并延长交BC于G，那么==，所以又MN平面, EG平面故平面证法二：如图，过N作直线NH因为==, 所以HMMN平面MHN,所以平面卡片:判断直线与平面平行常用的方法有:1根据直线与平面平行的定义;2根据直线与平面平行的判定定理;3假设两平面平行,那么其中一个平面内的任意直线平行与另一平面此条可讲完下节后补充课堂练习：教材第47页练习A、B小结：本节课学习了直线与平面平行的概念,直线与平面平行的判定与性质课后作业：教材第60页习题1-2A：7、9空间中的平行关系〔3〕教学目标：1、平面与平面平行的概念2、平面与平面平行的判定与性质教学重点：平面与平面平行的判定与性质教学过程：（十三）直线与平面无公共点——平行（十四）平面与平面无公共点——平行（十五）平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线与另一平面平行，那么这两个平面平行——线面平行，面面平行此定理的证明方法是反证法应进一步稳固证明方法步骤：反设、归谬、结论推论：一个平面内有两条相交直线与另一平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行——线线平行，面面平行〔低一级的位置关系判定高一级的位置关系〕（十六）直线与平面平行的性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行——面面平行，线线平行（十七）例子与练习1、：在正方体中；求证：平面平面解析：因为所以平面平面卡片：判断两平面平行的方法主要有：〔1〕两平面平行的定义；〔2〕如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，那么两平面平行；〔3〕如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两相交直线，那么两平面平行；2 平面证：假设不共线三点到平面的距离相等且不为0，那么该三点确定的平面β与平面的关系为〔〕A平行B相交C平行或相交D重合4 求证：平行于同一平面的两个平面平行课堂练习：教材第50页练习A、B小结：本节课学习了平面与平面平行的概念, 平面与平面平行的判定与性质课后作业：教材第60页习题1-2A：:5、7。
空间中的平行关系练习题
空间中的平行关系练习题 班级___________姓名______________一、选择题1．(2010·山东)在空间，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行2．(2010·湖北)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α4．已知直线m 、n 及平面α、β，则下列命题正确的是( )A. ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ∥β⇒α∥βB. ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ∥n ⇒n ∥αC. ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αα⊥β⇒m ∥βD. ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n 5．(2008·安徽)已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是( )A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β6．过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条7．(2011·浙江台州模拟)已知m 、n 为直线，α、β为平面，给出下列命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④ ⎭⎬⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n .其中正确命题的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④8．下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在平面α内，则a ∥α； ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知两个不同的平面α、β与两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥β；③若m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，m⊂α，则m∥β.其中正确命题的个数是( )A．1个B．2个C．3个 D．4个10．已知直线m，n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m，n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是( )A．①②③B．①④C．①②④D．②④二、填空题1．已知a、b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与平面β的位置关系是______．2．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件__________时，有MN∥平面B1BDD1.3．给出下列关于互不相同的直线l、m、n与平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．三、解答题1．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.2．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.3．(2010·陕西)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V.。
空间中的平行关系(基础+复习+习题+练习)
如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，∥，且，在棱上是否存在一 点，使平面∥平面？若存在，求点 的位置；若不存在，请说明理由．
走向高考：
（北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中， ，平面，且 ，点是的中点. 略； 求证：∥平面；略.
（山东文）如图，在直四棱柱中， B C D A
已知，． 求证：；设是上一点，试确定 的位置，使平面，并说明理由．
（北京文）如图，在中，，，分别为，的中点，点为线段上的一点，将 沿折起到的位置，使，如图.求证： ∥平面；略.略.
(安徽) 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，，都是 正三角形；
证明直线∥；求棱锥的体积.
（届高三福建师大附中期中文）如图,在直角梯形中,,,.将 沿折起,使 平面平面,得到几何体,如图所示.（Ⅰ）若为的中点，试在线段上找一 点，使 ∥平面，并加以证明；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略. A B C D 图2 B A C D 图1
（届高三福建师大附中期中文）在如图所示的多面体中，已知正方形和 直角梯形所在的平面互相垂直，，∥，， 求证：平面；略；略；略.
典例分析：
考点一 线线平行
问题1．(山东) 如图所示，在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，
与交于点，与交于点，连接.求证：∥；略.
考点二 线面平行
问题2．( 新课标Ⅱ) 如图，直棱柱
中， 分别是
的中点， ．证明： 平面 ;略．
问题3．(海南高考改编) 如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，
点在上，且，在棱上是否存在一点，使∥平面？证明你的结论．
与此
的
么过该直线的任意一个平
一条直线平行，则该直线 面与已知平面的
与此平面平行.
与该直线
符号语
线线、线面、面面平行练习题(含答案)
i、选择题1下列条件中，能判断两个平面平行的是 （） A •一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B .一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C •一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D •一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2. E , F , G 分别是四面体 ABCD 勺棱BC CD DA 的中点，则此四面体中与过 E , F ,G 的截面平行的棱的条数是9. 正方体ABCD-A i B i C i D i 中，E 为DD 1中点，则BD i 和平面ACE 位置关系是三、解答题iO.如图，正三棱柱 ABC-AB i C i 的底面边长是2，侧棱长是,3, D 是AC 的中点•求过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行； ③过直线外一点有且只有一个平 面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b异面，则经过b 存在唯 个平面与［平行ii •如图，在平行六面体 ABCD-A i B i C i D i 中，E , M , N , G 分别是AA i , CD , CB , CC i 的中点， 求证：(i ) MN//B i D i ； (2) AC i //平面 EB i D i ； (3)平面 EB i D i //平面 BDG.A . 0B . 1 3. 直线a , b,c 及平面:, A . a// :・,b 二二 B . 4. 若直线m 不平行于平面C . 2D ［，使a//b 成立的条件是（ a// : ,b// : :•，且 m 二：•， .3 ) D . a 〃 ：•，:丁| ： =b ) 证：B i C// 平面 A i BD .C . a// c,b //c 则下列结论成立的是（ B .:-内不存在与m 平行的直线D .:-内的直线与m 都相交A .:-内的所有直线与m 异面C .:-内存在唯一的直线与 m 平行5.下列命题中，假命题的个数是（①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 直线、平面平行的判定及其性质 测试题6.已知空间四边形 ABC ［中, M,N 分别是AB,CD 的中点，则下列判断正确的是 （）iiA• MN AC BD B • MN 弓 AC BDC• MN =i AC BD二、填空题7 •在四面体ABCD 中，四面体的四个面中与i MN AC BDM , MN &如下图所示，四个正方体中, 分别为其所在棱的中点，能得到N 分别是面 △ ACD , △ BCD 的重心，则 平行的是 ________ .A ,B 为正方体的两个顶点， MNPAB//面MNP 勺图形的序号的是B2C . :- // —a 二：sb 二，，则 a//b D4. 一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关 系是（）A.异面B.相交C.平行D.不能确定5•下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③ 如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如 果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A .①③ B .①② C .②③D .③④6. a , b 是两条异面直线，A 是不在a , b 上的点，则下列结论成立的是A .过A 有且只有一个平面平行于 a , bB .过A 至少有一个平面平行于a , bC. 过A 有无数个平面平行于 a , bD. 过A 且平行a , b 的平面可能不存在、填空题7. a , b ,c 为三条不重合的直线， a, 3, 丫为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：且如=缪，求证：直线MN //平面PBC.MB NP参考答案A一、 选择题 1. D【提示】当■- - /：' -1时，〉内有无数多条直线与交线 I 平行，同时这些直线也与平面1平行.故A , B, C 均是错误的 2. C、选择题1. _：匚，B 是两个不重合的平面，a , b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定 一:匚// 3 的是（）A . -：： , 3都平行于直线a , bB .:-内有三个不共线点到3的距离相等C . a , b 是G 内两条直线，且 a //3, b // 3D . a , b 是两条异面直线且 a//_：:, b// 二，a // 3, b / 3 2.两条直线a , b 满足a // b , b 二〕，则a 与平面:-的关系是（ ）3.设a,b 表示直线，:-, 表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（A . a 二：，贝V a/rBa// ： , b 二：^ ,则 a//b① a // C b // c■- // c④一a // c 厂、a //T—a // b;② b //— -// —几⑤〃其中正确的命题是// c// b;③「c⑥a //_______ •（将正确的序号都填上）& 设平面 ot // 3, A , C€a , B , D €3,直线 AB 与 CD 交于 S,若 AS=18, BS=9 , CD=34 ,贝y CS= ____________ . 9.如图，正四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E , F , G , H 分 别是棱CC 1, C 1D 1 , DD 1 , DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则 M 满足 时，有 MN // 平面 B 1BD D 1. 三、解答题P-ABCD PA AB = a在棱PC 上.问点E 在何处时，PA//平面EBD ，并加以证明 P a, P^ l ：',a/r-// '■，则 a11•如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M , N 分别为AB , PD 上的点,ACC【提示】棱AC , BD与平面EFG平行，共2条.3. C【提示】a//二b二:s则a//b或a,b异面；所以A错误；a〃〉，b〃＞,则a//b或a,b异面或a,b相交，所以B错误；a// ：•,〉门■-二b,则a//b或a,b异面，所以D错误;a//c,b//c,贝U a//b,这是公理4，所以C正确.4. B【提示】若直线m不平行于平面［，且m二〉，则直线m于平面:-相交，〉内不存在与m平行的直线.5. B【提示】②③④错误•②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行•③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边二、填空题7. 平面ABC，平面ABD【提示】连接AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E,由型=型=丄得M N // AB.因此,MA NB 2MN //平面ABC且MN //平面ABD.8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP, 对于②④，过AB找一个平面与平面MNP相交，AB与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.9. 平行【提示】连接BD交AC于0,连0E,「. OE // B D1, OEC平面ACE , A B D1//平面ACE.三、解答题10. 证明：设AB1与A1B相交于点P,连接PD,则P为AB1中点，D 为AC 中点，.PD//B1C.又；PD 二平面A1B D, B1C//平面A1B D11. 证明：（1）；M、N分别是CD、CB的中点，.MN//BD又；BB1//DD1,四边形BB1D1D是平行四边形.所以BD//B 1D1 又MN//BD，从而MN//B 1D1（2）（法 1 ）连A1C1, A1C1 交B1D1 与O 点■■四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的中点E是AA1的中点，.EO是厶AA1C1的中位线，EO//AC1.AC1 二面EB1D1 , EO 面EB1D1，所以AC1//面EB1D1（法2）作BB1中点为H点，连接AH、C1H , E、H点为AA1、BB 1中点，所以EH//C1D1，则四边形EHC1D1是平行四边形，所以ED1//HC1又因为EA // B1H，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB〃/AH丫AHC HC1=H，几面AHC 1〃面EB1D1.而AC 1匸面AHC 1,所以AC 1//面EB1D1 （3）因为EA// B1H，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB//AH因为AD// HG，则四边形ADGH是平行四边形，所以DG//AH，所以EB1//DG又；BB1//DD1,四边形BB1D1D是平行四边形. 所以BD//B1D1.3匸 Bb DG=G 二面 EBD// 面 BDG如图（2）,由 ot // 3知 AC // BD , (1)⑵4一、 选择题 1. D 【提示】A 错，若a // b ,则不能断定o （ // 3； B 错，若A , B , C 三点不在B 的同一侧，则不能断定 ? / 3 C 错，若a //b ，则不能断定：• //3； D 正确. 2. C 【提示】若直线a , b 满足a // b , b 二：：，则a //二或a 7二3. D 【提示】根据面面平行的性质定理可推证之4. C 【提示】设a 门3=1, a// a , a // 3过直线a 作与a 3都相交的平面 Y 记。
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（5）过两条异面直线中的一条和另 一条平行的平面有 且仅有一个。
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（6）如果l1 // l2 , l1 平行于平面，
则l2
或 /平/ 面
l2 l1
l2
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（7）如果两直线a ,b 相交，a平行 于平面，则b与平面的位置关系 是 相交或平行 。
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1
线线平行的判定方法
1.定义 直线与直线共面，且没有交点
2.平行公理
a a
/ /
/b /c
b
/
/c
3.线面平行性质 定理
a //
a
a
// l
l
4.面面平行性质 定理
/ /
a
a / /b
b
5.利用平行四边形编辑的ppt 性质等。
2
线面平行的判定方法
1.定义: 直线与平面没有交点
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6
两个平面平行的性质
平两 行个
平 面
1、两个平面没有公共点
2、其中一个平面内的直线平行于 另一个平面 3、两个平行平面同时和第三个平面 相交，它们的交线平行
4、夹在两个平行平面间的平行线段相 等
5、夹在三个平行平面间的线段成比 例
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7
题型一、用平行的判定和性质解选择填空题
例1 填空
28习1 α、β是两个不重合的平面，a、b
是两条不同直线，在下列条件下，能判定
α∥β的是
.
（1）α、β都平行于直线a、b
（2）α内有三个不共线点到β的距离相等
（3）a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
（4）a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α， a∥β，b∥β
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15
题型二、平行的证明 例2 证明:如果一条直线和两个相 交平面都平行，则这条直线与它们 的交线平行
（2)AC//平面BPQ
D1
Q
C1
证明：连结AD1，CD1，PQ，QB
在△C1D1C中，P、Q分别为C1D1， C1C的中点，∴PQ//CD1，PQ平 面BPQ,∴CD1//平面BPQ
A1
B1
P
D
C
A
B
D1Q12D1C1//AB
AD 1 D 1C D 1 AD 1 平面AD 1C
∴四边形ABQD1为平行四边形 ∴AD1//BQ ∴AD1//平面BPQ
线不是平行就是异面， ③如果直线a∥α，b∥α，则a∥b ④如果平面α∩平面β＝a，若b∥α，b∥β，则a∥b
B 其中为真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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24
2、 如 图 在 直 三 棱 柱 ABCA1B1C1中 ,B1C1A1C1
M,N分 别 是 A1B1,AB的 中 点 .
求 证 :平 面 AM C1//平 面 NB1C
证明 : M , N 分别是
A1
B
、AB
1
的中点
，
A1
MB 1 // AN
C1
四边形 ANB 1M 是平行四边形
AM//NB 1
AM
平面
AMC
，NB
1
1 平面
AMC
1
N B1// 平面 AMC 1
同理 NC// 平面 AMC 1
NB
，NC
CD的中点，则 （
）
A．MN1(ACBD) B.MN1(ACBD)
2
2
C. MN1(ACBD) D. MN1(ACBD)
2
2
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23
达标练习
1.（2005年浙江）给出下列四个命题：
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b
的任何平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的直
2.判定定 理
a / /b
a
a
/
/
b
3.面面平行性 质定理
a
/ /
a
/
/
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3
面面平行的判定方法
1.定义
平面与平面没有交点
2.判定定 理
a,b
a a
/
b /
A
/
/
b / /
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4
3.判定定理 的推论
a,b
a c,d
b
A
/ /
a / /c
（1）平行于同一平面的二直线的位置
关系是
（D ）
（A） 一定平行 （B） 平行或相交
（C） 相交
（D） 平行，相交，异面
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8
（2）点A是平面外的一点，过A
和平面平行的直线有 无数 条。
A α
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9
（3）点A是直线l 外的一点，过A和
直线l 平行的平面有 无数 个。
A
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10
（4）过两条平行线中的一条和另
D 1C 平面AD 1C 平面AD 1C// 平平//面平面BPQ AC 平面AD 1C
AC// 平平C面//平BPQ
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课堂小结： 三种平行关系的转化
线 线面平行判定 线 面面平行判定 面
线
面
面
平 行
线面平行性质 平 面面平行性质 平
行
行
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27
课后作业
百校名师 试卷
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已知：如图， l //，l // ，
m，求证： l //m
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17
练习2：如图，AB//, AC//BD,C
D .
求证：ACBD
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例3 在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证： DB1//面A1C1E
D1 A1
E
D A
F
C1
B1
∵DB1 // EF
∴ DB1 //面A1C1E
b / / d
4.平行于同一平面的两平面平行 （传递性）
/ /
/ /
/
/
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5
线面平行的性质
(1)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个 平面无公共点
(2)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个 平面内的直线成异面直线或平行直线
(3)如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平 面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。
1
平面 NB 1C 且 NB 1 NC N
平面 AMC 1 // 平面 NB 1C 编辑ppt
M B1
A
C
N B
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3、如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面是梯形，
AB//CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1,P、Q分别为
CC1，C1D1的中点，
求证（1）面AD1C//平面BPQ
C
B
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19
练习3 在正方体AC1中，O为平面ADD1A1的中心， 求证：CO // 面A1C1B
D1 A1
O
C1
B1
F
D
C
A
B
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20
题型三、综合应用
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21
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练习4 设线段AB、CD是夹在两个平行平面
, 间的两异面直线，点A、C
，B、D ，若M、N分别是AB、