南京大学地学院22数学物理方法期终试卷标准答案

南京大学地学院22数学物理方法期终试卷标

准答案

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2

南京大学2012—2013学年第一学期《数学物理方法》期终考试标准答案

院系 地学院等 年级 三 学号 姓名

一.（20分）计算⎰∞∞

-+dx x

x x

3

sin 。 解：

⎰⎰⎰⎰

∞∞-∞∞-∞∞-∞

∞

-+=+++=+dx x x x i dx x x x i dx x x x dx x

x e ix

3333sin sin cos

因为x

x +31

在上半大圆一致收敛，根据约当引理，x x e ix +3在上半大

圆的积分为０，可将广义积分化为围绕上半复平面的回路积分。

x

x e ix

+3有三个单奇点，其中原点在实轴上， i 在上半平面。 1|13)0(Re 02=+===x ix

x e x s

e

x e i x s i x ix 21

|13)(Re 2-=+===

)11())0(Re 21)((Re 23

e

i x s i x s i dx x x e ix -==+==+⎰

∞

∞

-ππ 因此π)1

1(sin 3

e

dx x x x -=+⎰

∞∞

-

3

二.（20分）已知函数)(t f 的傅立叶变换为1

1

)(4

+=ωωF ,计算)2('t f 的傅立叶变换。 解：

⎰⎰∞

∞

-∞

∞

-+=

=

ωωωωωωd e d e F t f t

i t

i 11)()(4 ⎰⎰∞

∞

-∞

∞-+=+=ωωωωωωωd e i d e dt d t f t i t

i 1111)('44 ⎰⎰⎰∞

∞-∞

∞-∞

∞-+=+=+=ωωω

ωωωωωωωωωd e i d e i d e i t f t i t i t i 164221)2

(111)2('4424

因此)2('t f 的傅立叶变换为16

44+ωω

i 。

三.（20分）相同高度相距L 的两点之间绷紧一根均质弦。由于弦自身重力原因，平衡时弦的中点高度比端点矮d 。 1、求弦上横波的传播速度。

2、将弦恢复到水平位置保持静止然后松开，求弦的振动情况。 解：

根据题意，本题为波动问题，两端满足刚性边界条件，弦的横振动方程为

4

⎪⎩⎪

⎨⎧====-=-====0

|,0|0|,0|00

02t t t L x x xx tt u u u u g u v u 1、 在平衡状态下，弦的位置不随时间变化，

0|,0|,02=====L x x xx u u g u v ，可以解出)(22

x L x v g

u --

=。 在弦中点处，d v

gL L L L v g u -=-=--=22

28)2(22,因此L d

g

v 8=

。 ２、令w x L x v

g

u +--

=)(22，则ｗ满足 ⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

-=====-====)(2|,0|0|,0|020002x L x v g w w w w w v w t t t L x x xx tt 根据齐次边界条件可以得出本征值和本征基函数,一般解为：

∑∞

=+=1)cos sin (sin

n n n L

vt

n B L vt n A L x n w πππ 代入初始条件：

∑∞

==-1

2sin )(2n n B L x n x L x v g π ∑∞

==1

sin

0n n L

v

n A L x n ππ 因此，0=n A ,))1(1(2sin

)(222332

02n L

n v n gL dx L x n x L x v g L B --=-=⎰ππ 最终得到：

5

∑∞

=++++--=0

3

3

2)12(cos )12(sin )

12(1

32)(4n L

vt

n L x n n d x L x L d u πππ

四.（20分）将ϕθϕθ22sin sin ),(=f 按照球谐函数进行展开。 解：

)2cos 1(21

sin 2ϕϕ-= ϕϕθθϕθ2cos )1(2

1

)1(212cos sin 21sin 21),(2222x x f ---=-=

))()((31

)1(21202x P x P x -=- )(6

1

)1(21222x P x =- 因此，ϕϕθ2cos )(6

1

))()((31),(2220x P x P x P f --=

五.（20分）一个长度为L ，半径为R 的半圆柱型工件，初始温度为T 。将其投入零度的水中进行淬火，求解工件内各点温度随时间变化的函数。 解：

根据题意，本题为输运问题，工件初始温度为Ｔ，表面温度为０：

⎪⎩

⎪

⎨⎧===-=ΩT

u u u a u t xx t 02|0

|0