一极限存在准则
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高数第一章极限存在准则 两个重要极限
当
时,
当
时,
lim
n
xn
a
令N max N1 , N2,
则n当 N
时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即xn a ,
l故im
n
xn
a
.
2
例1. 证明
证: 利用夹逼准则 由.
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n
n2 2
lim
n
1
1
n2
1
lim n
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
1
3
准则1’ 函数极限存在的夹逼准则
当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
a
lim
n
xn
b
(m)
b ( 证明略 ) 5
例2. 设
证明数列
极限存在 . (P49)
证: 利用二项式公式(P270 ), 有
xn (1 1n)n
1
n 1!
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n1)(n2) 3!
1 n3
n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
x x0
2
1-7存在准则两个重要极限
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1 1 ) 1.
x [x]
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 )x e.
x
x
令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t
7、 lim(1 x )2x _________. x x
8、 lim(1 1 ) x _________.
x
x
二、求下列各极限:
1、 lim 1 cos 2x x0 x sin x
2、 lim(tan x)tan 2x x 4
3、 lim( x a ) x x x a
4、 lim( n2 1)n n n 1
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
2、 lim sin 2x __________. x0 sin 3x
3、 lim arc cot x __________.
极限存在准则两个重要极限
sin x 即 cos x < < 1, x
π 上式对于 − < x < 0也成立. 2
当 0 < x < 时, 2
π
2 x x 2 x , = 2 sin 2 < 2( ) = 0 < cos x − 1 = 1 − cos x 2 2 2
x2 Q lim = 0, x →0 2
∴ lim cos x = 1,
x
+9
1 x x
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x sinx ∴lim = 1. x→0 x
注
此结论可推广到
sinϕ( x) lim =1 x→a ϕ( x)
条件是x → a时,ϕ( x) → 0，其中a可为 有限值， 有限值，也可为∞
高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
n
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
第六节两个重要极限
x
x
lim(1 1 )x e
x
x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
若在极限 lim(1 1 )x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A0，利率为 r ， 期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A为
lim x A
证毕。
例1 证明 limsin x 0 x0
证 当 x 时，0 sin x x
2
由 lim x 0 , x0
再根据准则1，得
limsin x 0 证毕。
x0
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
例2 证明 limcos x 1 x0
2
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
1 x 1
(0 x )
sin x cos x
2
sin x是偶函数
x
得到 cos x sin x 1 (0 x )
x
2
limcos x 1 , lim sin x 1
x0
x0 x
证毕。
例4
计算 lim tan x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
而
lim(1
n
n
1
)n 1
lim
n
(1 n
1
1 )n1 1 1
e
n1
lim(1 1 )n1 lim(1 1 )n(1 1 ) e
极限存在准则.两个重要极限
例13 求 lim x 1 2x x0 1
解 原式 lim(1 2x) x (1 型) x0
lim(1
2
x
)
1 2x
2
(lim(1
2
x)
1 2x
)2
e2.
x0
x0
例14 求 lim(1 sin x)csc x (1 型)
x0
1
解 原式 lim(1 sin x)sin x x0
x0 nx
x0
nx
lim sin mx / limcos x m lim sinmx /limcos x m 。
x0 nx
x0
n x0 mx x0
n
7/17
例7 求 解
lim arcsin x
x0
x
(0 型) 0
lim arcsin x yarcsin x
x0
x
lim y y0 sin y
例9 证明数列x1
3 , xn1
3 xn
的
极
限
存
在
并
求lim n
xn
.
证 易知 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3 xk1 3 xk 3 3 3
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
1.
第一个重要极限
lim sin x 1 x0 x
(0 型) 0
C B
证： 设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得AOC , 于是由
o
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
1-6极限存在准则
上两式同时成立,
a z n a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim xn a.
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x0 , ) (或 x M )时,有
第六节 第六节 极限存在准则及 极限存在准则及 两个重要极限 两个重要极限
一、极限存在准则
第一章 第一章
二、 两个重要极限
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
n
( 2) lim yn a , lim zn a ,
1 tan x 2
(0 x ) 2 (0 x ) 2
sin x x tan x
sin x cos x 1 x
注
当 0 x 时, 2 2 2 x x x 2 0 cos x 1 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2 2 x (1 cos x ) 0, lim cos x 1, lim 0, lim x 0 x 0 x0 2 sin x 又 lim1 1, lim 1. x 0 x 0 x
x 0
解 原式＝ lim[(1 2 x ) ]
x 0
1 2x 2
e .
2
3 x 2x 例6 求 lim( ) . x 2 x
解
1 x2 2 1 4 e 2 . 原式 lim[(1 ) ] (1 ) x x2 x2
a z n a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim xn a.
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x0 , ) (或 x M )时,有
第六节 第六节 极限存在准则及 极限存在准则及 两个重要极限 两个重要极限
一、极限存在准则
第一章 第一章
二、 两个重要极限
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
n
( 2) lim yn a , lim zn a ,
1 tan x 2
(0 x ) 2 (0 x ) 2
sin x x tan x
sin x cos x 1 x
注
当 0 x 时, 2 2 2 x x x 2 0 cos x 1 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2 2 x (1 cos x ) 0, lim cos x 1, lim 0, lim x 0 x 0 x0 2 sin x 又 lim1 1, lim 1. x 0 x 0 x
x 0
解 原式＝ lim[(1 2 x ) ]
x 0
1 2x 2
e .
2
3 x 2x 例6 求 lim( ) . x 2 x
解
1 x2 2 1 4 e 2 . 原式 lim[(1 ) ] (1 ) x x2 x2
极限存在准则两个重要极限公式
令t =1x, 则:
lim(1
1
x)x
=
lim(1
1)t
=
e.
x0
t
t
此结论可推广到
1
lim1 ( x)( x) = e
xa
条件是x a时, ( x) 0，其中a可为
有限值，也可为
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
14
例5 求 lim(1 1 )x .
n2 n n2 1
又 lim n
n = lim n2 n n
1 1 1 = 1,
n
lim
n
n = lim n2 1 n
1 = 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 L 1 ) = 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
6
例2 证明数列 xn = 3 3 L 3 (n重根 式)的极限存在.
证: 显然 xn1 > xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 = 3 3, 假定 xk 3, xk1 = 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
原式
=
lim x (1
x 1 )x
x
=
e e 1
=
e2
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
16
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
10 lim sin x = 1; x0 x
大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利
两个重要极限的应用
总结词
两个重要极限在微积分、概率论和统计 学等领域有广泛应用。
VS
详细描述
第一个重要极限常用于解决一些微积分问 题，例如求不定积分和定积分；第二个重 要极限则常用于解决一些概率论和统计学 问题，例如计算概率和期望值等。两个重 要极限都是微积分和概率论中非常重要的 概念，对于理解这些学科的基本原理和解 决问题具有重要意义。
在一些特定的金融产品中，如指数基金、期权等，连续复利的应用尤为重 要。
连续复利还可以用于评估企业的价值，如市盈率、市净率等指标的计算中 ，连续复利的应用也是不可忽视的。
CHAPTER 04
极限存在准则与连续复利的 关系
极限存在准则对连续复利的影响
01
极限存在准则为连续复利的计算提供了理论基础， 确保了复利计算的正确性和可靠性。
CHAPTER 03
连续复利
连续复利的概念
连续复利
是一种计算利息的方式，它假设本金在每个时间点上都获得利息 ，而不是在固定的时间段内获得利息。
与离散复利的区别
离散复利假设本金在固定的时间段内获得利息，而连续复利则假设 本金在每个时间点上都获得利息。
连续复利的计算公式
A=P*e^rt，其中A是未来的总金额，P是本金，r是年利率，t是时 间。
详细描述
柯西收敛准则是一个非常强大的工具，用于证明数列的收敛性。这个准则表明，如果一个数列的任意 两项之间的差的绝对值可以任意小，那么这个数列就是收敛的。柯西收敛准则可以用来证明许多复杂 的数列的收敛性，尤其是在处理无穷级数时非常有用。
极限存在准则三
总结词
极限存在准则三是闭区间套定理，它指出如果一个数列的项构成一个闭区间套， 即每个区间端点的极限相等且等于该数列的项，则该数列收敛于这个极限。
1-6 极限存在准则
因此数列{xn }单调增加, 且有上界3. 所以 lim xn 存在.
n
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作 业
习题12 (P44): 21. 24.双号 25.
20
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e (a(x)0)
e
法 设 lim u( x) 0, lim v( x) , 则有
lim( 1 u ) lim[( 1 u ) ] e
v
1 u uv
lim uv
.
x2 例7 求 lim . x x 1
x
x
x 1 3 3 x 2 1 解 lim lim x x 1 x x 1 3x exp( lim ) e3 . x x 1
n n
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn a
n
例1 求 lim n 3n 4n 5n .
n
解
5 n 3n 4n 5n 5 n 3,
n
而 lim 5 n 3 5， lim n 3n 4n 5n 5. n
2
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定理(函数极限与数列极限的关系) 如果当xx0时f(x)的极限存在 {xn}为f(x)的定义域 内任一收敛于x0的数列 且满足 xn x0(nN) 那么相应 的函数值数列{f(xn)}必收敛 且
n
lim f (xn ) lim f (x)
x x0
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上页x e x x
n
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作 业
习题12 (P44): 21. 24.双号 25.
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e (a(x)0)
e
法 设 lim u( x) 0, lim v( x) , 则有
lim( 1 u ) lim[( 1 u ) ] e
v
1 u uv
lim uv
.
x2 例7 求 lim . x x 1
x
x
x 1 3 3 x 2 1 解 lim lim x x 1 x x 1 3x exp( lim ) e3 . x x 1
n n
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn a
n
例1 求 lim n 3n 4n 5n .
n
解
5 n 3n 4n 5n 5 n 3,
n
而 lim 5 n 3 5， lim n 3n 4n 5n 5. n
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定理(函数极限与数列极限的关系) 如果当xx0时f(x)的极限存在 {xn}为f(x)的定义域 内任一收敛于x0的数列 且满足 xn x0(nN) 那么相应 的函数值数列{f(xn)}必收敛 且
n
lim f (xn ) lim f (x)
x x0
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1极限存在准则-两个重要极限(可编辑修改word版)
n 2 + i∑∑n n n n n n第一章第六节极限存在准则 两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则；2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】1、夹逼准则；2、单调有界准则；3、两个重要极限。
【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3 分钟）。
首先给出极限存在准则（10 分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5 分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10 分钟）；课堂练习（5 分钟）。
【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限 1000 11、limn →∞i =11000 个 0 相加，极限等于 0。
n 2、limn →∞i =11 无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、lim x ，其中 x = n →∞， x 1 = ，极限不能确定。
对于 2、3 就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:(1) y n ≤ x n ≤ z n (2) lim y = a , n →∞(n = 1,2,3 )lim z = a , n →∞那么数列 x 的极限存在, 且lim x = a . n →∞证： y n → a ,z n → a , ∀> 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 上 上上 n > N 1 上上上y n - a < , 上 n > N 2上上上z n - a < ,n 2+ i 3 + x n - 1 3n2+ 1 n2+ 2 n2+ nn2+ 1 n2+ n11+1n11+1n2nn取N = max{N1 , N2}, 上两式同时成立, 上a-<y n<a+,a-<z n<a+,当n > N 时，恒有a-<y n≤x n≤z n<a+,上x n -a <上上, ∴lim x =a.n→∞ 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限o准则Ⅰ′ 如果当x ∈U (x0,) (或x>M)时,有(1) g(x) ≤ f (x) ≤h(x),(2) lim g(x) =A,x→x0( x→∞) lim h(x) =A, x→x0( x→∞)那么limx→x0( x→∞)f (x) 存在, 且等于A .准则I和准则I' 称为夹逼准则。
高等数学 第二章 极限与连续 2.6 两个重要极限
sin kx kx k lim sin kx kx
k 1 k .
解： 原式 k lim x 0
kx 0
例4
求
2 sin x
2 2 x 2
解： 原式 lim 例5 求
x 0
sin lim x 2 x 0 2
1
x 2
2
1 2
1
2
解： 令 t
例11
求 x
lim (
x 2
x
2
2
x 1
)
x
x x x x 解： lim ( 2 ) lim lim x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x
x
x
x
1 1 lim 1 1 x x 1 x 1
x,
OAB 的高为 BD ,
于是有
sin x BD ,
tan x AC ,
C
二、两个重要极限
B
(1)
lim
sin x x
x 0
1
0 0
型
x
o
D
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin x
1 2
tan x
(0 x
2
2
sin x x tan x ,
单调减少
定理2.12
准则Ⅱ
单调有界数列必有极限.
几何解释:
m
x1
x 2 x 3x n x n 1
A
M
x
C
k 1 k .
解： 原式 k lim x 0
kx 0
例4
求
2 sin x
2 2 x 2
解： 原式 lim 例5 求
x 0
sin lim x 2 x 0 2
1
x 2
2
1 2
1
2
解： 令 t
例11
求 x
lim (
x 2
x
2
2
x 1
)
x
x x x x 解： lim ( 2 ) lim lim x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x
x
x
x
1 1 lim 1 1 x x 1 x 1
x,
OAB 的高为 BD ,
于是有
sin x BD ,
tan x AC ,
C
二、两个重要极限
B
(1)
lim
sin x x
x 0
1
0 0
型
x
o
D
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin x
1 2
tan x
(0 x
2
2
sin x x tan x ,
单调减少
定理2.12
准则Ⅱ
单调有界数列必有极限.
几何解释:
m
x1
x 2 x 3x n x n 1
A
M
x
C
高等数学《极限存在准则》
证明：当
x (
, 0)
(0,
)时
,
2
2
有 0 1 cos x 2sin2 x x2 , 22
lim x2 0 , lim0 0 , lim (1 cos x) 0 ,
x0 2
x0
x0
lim cos x 1 . x0
例4 (1) 求 lim n 1n 2n 3n . n
解 n3n3 n 1n 2n 3n数 f ( x), g( x),h( x) 满足如下条件：
。
(1) 当 x U( x0 ,r) (或 | x | M ) 时 , 有 g( x) f ( x) h( x)
(2)lim g( x) A , limh( x) A
x
x
则 lim f ( x) 存在 , 且 lim f ( x) A .
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 若数列 ( xn )n1 , ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件： (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极
限存在,
且
lim
n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
准则II实际上包含两点： 1）若{ xn } 单调增加且有上界，则 { xn } 必有极限. 2）若{ xn } 单调减少且有下界，则 { xn } 必有极限.
《极限存在准则》课件
利用实数的连续性证明极限存在准则
总结词
利用实数的连续性，通过分析数列与实 数轴的关系证明极限存在准则。
VS
详细描述
实数的连续性是指实数轴上的任意两点间 的所有点都位于这两点之间。利用实数的 连续性，我们可以分析数列与实数轴的关 系来证明极限的存在。例如，如果一个数 列收敛于实数L，那么对于任意的正数ε， 都存在一个正整数N，使得当n>N时， |a_n - L| < ε。这意味着数列的项在L的ε 邻域内摆动。由于实数的连续性，我们知 道这个ε邻域内只有有限个点。因此，当n 增加时，数列的项最终会落在L的邻域内 并保持在这个邻域内。这证明了数列的极 限存在。
定义方式
极限存在准则通常以一系列定理的形式给出，这些定理描述了在不同情况下数 列或函数极限存在的条件。例如，单调有界定理、Cauchy收敛准则等。
极限存在准则的起源和历史
起源
极限存在准则的起源可以追溯到17世纪和18世纪，当时数学 家开始研究无穷小量和连续性的概念。这些概念的发展导致 了极限理论的产生，极限存在准则作为极限理论的一部分， 也随之发展起来。
在几何学中的应用
极限存在准则在几何学中 也有着重要的应用，如研 究曲线、曲面和流形的性 质和构造等。
在概率论中的应用
极限存在准则在概率论中 也有着重要的应用，如研 究随机变量的极限性质和 概率分布的收敛性等。
极限存在准则的研究展望
深入研究极限存在准则的数学原理
进一步深入研究极限存在准则的数学原理，探索其在数学其他分支中的应用。
积分学基础
在积分学中，极限存在准则用于确定积分的存在性和计算方法。例如，在研究定积分和不定积分的性质时，极限 存在准则发挥了关键作用。
04
高等数学课件1-7极限存在准则
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
(P93总习题一,13)
解
n n n
2
n
1 n 1
2
1 1 1 n
1 n n
2
n n 1
2
,
又 lim
n
n n
2
lim
n
1,
lim
n n 1
2
n
lim
1 1 1 n
2
n
1,
由夹逼定理得
lim h( x ) A,
那末 lim f ( x ) 存在, 且等于 A.
准则 І和准则 I'称为夹逼准则. 注意:
利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
$1-7极限存在准则
x x0 ( x )
4
例1 求 lim (
n
1 n 1
lim (1
x
1 x
) e
1 x
令 t
1 x
, lim(1 x )
x 0
lim(1 ) t t
1
t
e.
1
lim(1 x ) x e
x 0
$1-7极限存在准则 17
1
lim(1 x ) e
x x 0
lim (1 ) e x x
) e (e 2.71828)
n
$1-7极限存在准则
15
当 x 1时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
)
[x]
(1
1 n 2
2
1 n n
2
).
(P93总习题一,13)
解
n n n
2
n
1 n 1
2
1 1 1 n
1 n n
2
n n 1
2
,
又 lim
n
n n
2
lim
n
1,
lim
n n 1
2
n
lim
1 1 1 n
2
n
1,
由夹逼定理得
lim h( x ) A,
那末 lim f ( x ) 存在, 且等于 A.
准则 І和准则 I'称为夹逼准则. 注意:
利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
$1-7极限存在准则
x x0 ( x )
4
例1 求 lim (
n
1 n 1
lim (1
x
1 x
) e
1 x
令 t
1 x
, lim(1 x )
x 0
lim(1 ) t t
1
t
e.
1
lim(1 x ) x e
x 0
$1-7极限存在准则 17
1
lim(1 x ) e
x x 0
lim (1 ) e x x
) e (e 2.71828)
n
$1-7极限存在准则
15
当 x 1时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
)
[x]
(1
1-6极限存在准则-两个重要极限
令 t = − x,
1 x 1 −t 1 t ∴ lim (1 + ) = lim (1 − ) = lim (1 + ) x → −∞ t → +∞ t → +∞ x t t −1 1 t −1 1 = lim (1 + ) (1 + ) = e. t → +∞ t −1 t −1
1 x ∴ lim (1 + ) = e x→∞ x
n→ ∞
证 Q yn → a ,
zn → a ,
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
当 n > N 1时恒有 y n − a < ε ,
当 n > N 2时恒有 z n − a < ε ,
取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a − ε < yn < a + ε,
0
(1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ), ( 2) x lim g ( x ) = A , lim h ( x ) = A , →x x→ x
( x →∞ )
0
( x →∞ )
0
那末 lim f ( x )存在, 存在, 且等于 A.
x → x0 ( x →∞ )
准则
和准则
'称为夹逼准则 称为夹逼准则.
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及z n 满足下列条件: 满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ z n
n→ ∞
( n = 1,2,3L)
n→ ∞
( 2) lim yn = a , lim z n = a ,
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证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x
2 n
1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn
2
.
C
二、两个重要极限
B
(1) lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
x0
lim cos x 1, 又 lim1 1, lim sin x 1.
x0
x0
x0 x
例3
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim x0
2 x2
1
lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
x
2
1 2
sin lim( x0 x
2
)2
1 2
12
2
1. 2
(2) lim(1 1 )x e
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1 , N2 }, 上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
x
x
x
(1
1 1
) x
1
x
.
e
例5 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解 原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4 e 2 .
x
x2
x2
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小 ,
10 lim sin 1; 某过程
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1 1 ) 1.
x
x
t
t
t t 1
lim (1 1 )t1(1 1 ) e.
t t 1
t 1
lim(1 1 )x e
x
x
令t 1, x
lim(1
1
x)x
lim(1
1)t
e.
x0
t
t
1
lim(1 x) x e
x0
例4 求 lim(1 1 )x .
x
x
解
原式 lim[(1 1 ) x ]1 lim
n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 单调数列 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.71828 )
当 x 1时, 有 [ x] x [ x] 1,
(1 1 )[ x] (1 1 ) x (1 1 )[ x]1 ,
[x] 1
x
[x]
而 lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )[ x] lim (1 1 ) e,
x
x
定义 lim(1 1)n e
n
n
设
xn
(1
1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1) (n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
类似地,
xn1
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列xn , yn 及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn
a,
lim
nzna, Nhomakorabea那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
1
1
1 (1 2!
1 n
) 1
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n 1)
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
xn
1
1
1 2!
1 n!
11 1 2
1 2n1
3
1 2n1
1
20 lim (1 ) e. 某过程
思考题
1
求极限 lim 3x 9x x x
思考题解答
1
lim 3x 9x
x
1 x
lim 9x x
x [x]
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 )x e.
x
x
令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x 0
)
(或
x
M )时,有
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 和准则 '称为夹逼准则.
注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn , 并且 yn与zn的极限是容易求的 .
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x
2 n
1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn
2
.
C
二、两个重要极限
B
(1) lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
x0
lim cos x 1, 又 lim1 1, lim sin x 1.
x0
x0
x0 x
例3
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim x0
2 x2
1
lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
x
2
1 2
sin lim( x0 x
2
)2
1 2
12
2
1. 2
(2) lim(1 1 )x e
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1 , N2 }, 上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
x
x
x
(1
1 1
) x
1
x
.
e
例5 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解 原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4 e 2 .
x
x2
x2
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小 ,
10 lim sin 1; 某过程
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1 1 ) 1.
x
x
t
t
t t 1
lim (1 1 )t1(1 1 ) e.
t t 1
t 1
lim(1 1 )x e
x
x
令t 1, x
lim(1
1
x)x
lim(1
1)t
e.
x0
t
t
1
lim(1 x) x e
x0
例4 求 lim(1 1 )x .
x
x
解
原式 lim[(1 1 ) x ]1 lim
n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 单调数列 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.71828 )
当 x 1时, 有 [ x] x [ x] 1,
(1 1 )[ x] (1 1 ) x (1 1 )[ x]1 ,
[x] 1
x
[x]
而 lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )[ x] lim (1 1 ) e,
x
x
定义 lim(1 1)n e
n
n
设
xn
(1
1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1) (n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
类似地,
xn1
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列xn , yn 及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn
a,
lim
nzna, Nhomakorabea那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
1
1
1 (1 2!
1 n
) 1
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n 1)
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
xn
1
1
1 2!
1 n!
11 1 2
1 2n1
3
1 2n1
1
20 lim (1 ) e. 某过程
思考题
1
求极限 lim 3x 9x x x
思考题解答
1
lim 3x 9x
x
1 x
lim 9x x
x [x]
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 )x e.
x
x
令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x 0
)
(或
x
M )时,有
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 和准则 '称为夹逼准则.
注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn , 并且 yn与zn的极限是容易求的 .