最新北师大版高中数学选修4-4测试题全套及答案
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（ ）A ．1B ．105C ．3105D ．22．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C ：3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（ ） A ．522B ．22C ．2D ．3223．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1B ．1-C ．21-D ．21--4．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)B ．32,222⎛⎫⎪⎪⎝⎭ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭5．参数方程21,11x ty t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）所表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)227．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（ ）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C ．(34,0)D ．(0,34)8．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) A 7 B 7C 7 D 7 9．椭圆221164x y +=上的点到直线220x y +-=的最大距离是（ ）A ．3B 11C ．22D 1010．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°11．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．12．椭圆221169x y +=上的点到直线34132x y += ）A ．0B ．25C ．52D ．241325- 二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．已知直线l 的普通方程为x+y+1=0，点P 是曲线3(x cos C y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩：为参数）上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为______．15．已知直线参数方程为355435x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，直线与圆5ρ=交于B 、C 两点,则线段BC 中点直角坐标________.16．直线415{315x ty t=+=--（t 为参数）被曲线24πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截得的弦长为 .17．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 18．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程是1123x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），M（03l 与曲线C 的公共点为P ，Q ，则11PM QM+=_______19．实数x ，y 满足223412x y +=，则2x +的最大值______．20．直线3,423x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），点C 在椭圆2214x y +=上运动，则椭圆上点C 到直线l 的最大距离为______.三、解答题21．将圆224x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得曲线C ． （1）求出C 的参数方程;（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设P 是曲线C 上的一个动点，求点P到直线:20l x y +-=距离的最小值． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6πθρ=>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.23．已知直线l的参数方程为1222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在平面直角坐标系xOy 中，()1,2P ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与曲线M 交于A ，B 两点. （1）求曲线M 的直角坐标方程； （2）求PA PB ⋅的值.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l经过点(P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为1x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围.25．在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为4x ty kt=-⎧⎨=⎩，(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1yx k，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线1C . 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线3l的方程为:sin()4πρθ-=（1）求曲线1C 的普通方程；（2）设点A 在3l 上，点B 在1C 上，若直线AB 与3l 的夹角为4π，求AB 的最大值. 26．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，(t 是参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若12,C C 交于,A B 两点，P 点坐标为()2,2--，求11PA PB+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】消掉参数t ，得出直线1l 的普通方程，再由两平行线的距离公式求解即可. 【详解】∵1:32l y x =-，234l x =+，∴d ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，求两平行线间的距离，属于中档题.2．C解析：C 【分析】设点,sin )Q θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，设点,sin )Q θθ，则点Q 到直线:40l x y +-=的距离为d ==，当2,6k k Z πθπ=+∈时，min d ==故选：C. 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.3．C解析：C 【分析】设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】设22(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭,故选：C 【点睛】本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值4．D解析：D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=，∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.5．D解析：D 【分析】消参化简整理得221x y +=，即得方程对应的曲线. 【详解】将1t x =代入y =，化简整理得221x y +=，同时x 不为零，且x ，y 的符号一致， 故选D. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．D解析：D 【解析】分析：化参数方程2x sin y cos θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）为普通方程，将四个点代入验证即可.详解：方程2x sin y cos θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数得到212,y x =-将四个点代入验证只有D满足方程. 故选D.点睛：本题考查参数分析与普通方程的互化，属基础题 7．B解析：B 【解析】分析：将参数方程化为普通方程，判断出焦点在y 轴上，利用222c a b =-即可得结果.详解：椭圆的参数方程为3cos (5x y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数）， ∴椭圆的标准方程是221925+=x y ，∴椭圆的焦点在y 轴上，且2225,9a b ==，22216c a b ∴=-=，4c ∴=， ∴椭圆的两个焦点坐标是()0,4±，故选B.点睛：本题主要考查椭圆的参数方程以及椭圆的简单性质，属于中档题. 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程.8．A解析：A 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e＝4. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=9．D解析：D 【分析】设椭圆221164x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ），由点到直线20x y +=的距离公式，计算可得答案． 【详解】设椭圆221164x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ）则点P到直线20x y +=的距离=，max d ==D ．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．10．B解析：B 【解析】 由题设可知02cos 70sin 20tan 201sin 70cos 20y k x -====-，故依据直线的斜率与与倾斜角之间的关系可知该直线的倾斜角为020α=，应选答案B 。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．过椭圆C ：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定2．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心3．已知直线3:2x tl y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+4．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) A ．74B ．73C ．72D ．755．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠6．圆C 的极坐标方程为ρ2cos θ=，则圆心C 极坐标为 ( ) A ．()2,0B ．()1,πC ．()1,0D ．()2,π7．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（ ）A ．B ．2C ．D ．28．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b9．椭圆221169x y +=上的点到直线34132x y +=上的点的最近距离是（ ）A ．0B ．25C ．52D ．241325- 10．已知圆()22:11M x y -+=,圆()22:11N x y ++=,直线12,l l 分别过圆心,M N ,且1l 与圆M 相交于,A B 两点,2l 与圆N 相交于,C D 两点,点P 是椭圆22149x y+=上任意一点,则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1011．已知两条曲线的参数方程1C ：5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和2C ：4cos 453sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（ ） A ．5B ．52C ．7D ．7212．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A 到直线sin()66πρθ+=的距离的最大值是（ ）A ．62B ．6C ．362D ．26二、填空题13．在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，设为曲线上一动点，则的取值范围为_____________14．直线1{2x t y t =-=-（t 为参数）与曲线3{2x cos y sin θθ==（θ为参数）的交点个数是_______．15．已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线:350l x y +=-上的动点，则PQ 的最小值为________．16．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________17．椭圆2219x y +=上的点P 到点(2,0)A 的最小距离为___________18．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()2211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，则2x y +的最小值为________.19．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩[]0,πθ∈，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______．20．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的方程为4cos ρθ=（02πθ≤≤），()2,0C .直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当ABC 的面积最大时，tan α=______. 三、解答题21．已知直线1l 过点()1,3M ，倾斜角是3π，直线2:sin cos 20l ρθρθ+-=. （1）写出直线1l 的参数方程；（2）直线1l 与直线2l 的交点为N ，求MN .22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(0,1)P -，其参数方程为1231x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线2C ：22(0)y px p =>过点(1,2). （1）求曲线2C 的方程； （2）若1C 和2C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值. 23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且设点(2,1)P ，求22||||PM PN +的值．24．在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=.（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的极坐标.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l经过点(P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为1x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围. 26．极坐标系中椭圆C 的方程为2222cos 2sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为(),P x y，求x 的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦AB ，CD 交于点Q ，且直线AB 与CD 的倾斜角互补，求证：QA QB QC QD ⋅=⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】 圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.3．C解析：C 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为2122x t y t ''⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.4．A解析：A 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以所以e故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=5．C解析：C 【解析】:2cos C ρθ=22222(1)1x y x x y ⇒+=⇒-+=314k <⇒<- ，选C.6．C解析：C 【解析】圆2222cos 0,(1)1,x y ρρθ-=-+=，圆心(1,0)，所以圆心的极坐标为（1，0）.选C.7．D解析：D 【解析】试题分析：首先将直线（为参数）代入曲线方程中得，，整理得，所以．设直线与双曲线的交点分别为A 、B ，由直线参数方程 的几何意义知，即为所求.考点：直线的参数方程；弦长公式.8．A解析：A 【分析】用参数表示出,x y ，由此化简22x y +，结合三角函数、二次函数的性质，求得22x y +的最大值. 【详解】记2cos x θ=，sin y b θ=，2224cos 2sin ()x y b f θθθ+=+=，222()4sin 2sin 44(sin )444b b f b θθθθ=-++=--++，[]sin 1,1θ∈-.若01044b b <⇒<，则当sin 4b θ=时()f θ取得最大值244b +； 若144bb >⇒>，则当sin 1θ=时()f θ取得最大值2b . 故选：A 【点睛】本题考查的是椭圆的性质及椭圆的参数方程，可以从不同角度寻求方法求解，本题用了椭圆的参数方程结合三角函数的最值进行求解.9．B解析：B 【分析】利用椭圆的参数方程设出椭圆上的点的坐标()4cos ,3sin P θθ，再由点到直线距离公式得到d =. 【详解】因为椭圆方程221169x y +=，所以椭圆的参数方程为：4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，设P 为椭圆上任意一点，设()4cos ,3sin P θθ， 则P点到直线34x y +=的距离d ==当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 有最小值，即min 5d = 故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，点到直线距离的最值，考查了学生的计算能力，属于一般题.10．B解析：B 【分析】根据圆和椭圆的参数方程可假设出,,A C P 点坐标；根据,A B 共线、,C D 共线可得,B D 坐标；写出向量后,根据向量数量积运算法则可求得210sin 8PA PB PC PD θ⋅+⋅=+,从而可知当2sin 0θ=时,取得最小值,代入求得结果. 【详解】由题意可设：()1cos ,sin A αα+,()1cos ,sin C ββ-+,()2cos 3sin P θθ,则()1cos ,sin B αα--,()1cos ,sin D ββ---()1cos 2cos ,sin 3sin PA αθαθ∴=+--,()1cos 2cos ,sin 3sin PB αθαθ=----()2222212cos cos 9sin sin 5sin 4cos 4PA PB θαθαθθ∴⋅=--+-=-+同理可得：25sin 4cos 4PC PD θθ⋅=++210sin 8PA PB PC PD θ∴⋅+⋅=+当2sin 0θ=时,()min8PA PB PC PD ⋅+⋅=故选：B 【点睛】本题考查向量数量积的最值的求解问题,关键是能够灵活应用圆和椭圆的参数方程的形式,表示出所需的点的坐标,从而将问题转化为三角函数最值的求解问题.属于中档题.11．D解析：D 【分析】利用直线参数方程参数的几何意义求解即可. 【详解】曲线1C 的直角坐标方程为2225x y +=，2C的参数方程为432x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 设这两条曲线的交点为,A B ，其对应的参数为,A B t t将423x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2225x y +=中，整理得20t += 0A t ∴=，B t =-则A B t AB t =-=故选：D 【点睛】本题主要考查了直线参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.12．C解析：C 【分析】先将直线sin()6πρθ+=A 的坐标，利用点到直线的距离求解. 【详解】由直线sin()6πρθ+=1cos 2ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭0x +-=. 又点A 是曲线2213x y +=上任意一点，设),sin Aαα则点A 到直线3260y x +-=的距离为：3sin 3cos 2631d αα+-=+6sin 2643622πα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=≤ 当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时取得等号. 故选：C 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.二、填空题13．-22【解析】【分析】将曲线的极坐标化成直角坐标得x23+y2=1设x=3cosαy=sinα则x+y=2sin(α+π3)再求函数的最值得解【详解】因为ρ2=31+2sin2θ所以化成直角坐标得x 解析：【解析】 【分析】将曲线的极坐标化成直角坐标得，设，则，再求函数的最值得解.【详解】 因为，所以化成直角坐标得，设，所以，所以x+y 的取值范围为[-2,2]. 故答案为：【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查曲线的参数方程的应用，考查三角函数的图像和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．【解析】直线的普通方程：x+y=1曲线的普通方程：再消去y 得所以两个交点答案：2 解析：2【解析】直线的普通方程：x+y=1,曲线的普通方程：22194x y +=，再消去y ，得21318270x x --=，0>，所以两个交点。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(含答案解析)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23BCD2．已知直线l的参数方程为2x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（ ） A ．1BCD ．23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x tl y t =+⎧⎨=-⎩的距离的最大值为（ ）ABCD4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） A．2BC ．1D ．25．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) AB ．22CD ．46．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]39，C． D．7．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．()621-B ．()621+C ．125D ．2458．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-9．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈10．直线（为参数）与圆(为参数)的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．过圆心D ．相交不过圆心11．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线251:51x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（ ）A ．2B 63+C 31D 10 12．已知两条曲线的参数方程1C ：5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和2C ：4cos 453sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（ ） A ．5B ．52C ．7D ．72二、填空题13．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________． 14．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.15．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程是1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0θπ≤≤），直线l 的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若曲线C 与直线l 有交点，则a 的取值范围是_______. 16．已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q为直线:0l x y +=-上的动点，则PQ 的最小值为________．17．已知直线l ：32,54.5x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与x 轴交于点M ，点N 是圆2240x y y +-=上的任一点，则||MN 的最大值为_____．18．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线20x y +=的最大距离为__________．19．已知(,)P x y 是椭圆22143x y+=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．20．已知抛物线的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21x y θθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若点P 的极坐标为()1,π，过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+的最大值．22．已知在极坐标系中曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为：132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点(3,0)A ．（1）求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）设曲线1C 与曲线2C 相交于,P Q 两点，求||||⋅AP AQ 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数，0)m >．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=，l 被C（1）求实数m 的值；（2）设l 与C 交于点A ，B ，若点P的坐标为(m ，求||||PA PB +的值． 24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l经过点(P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为1x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围.25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.26．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，(t 是参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若12,C C 交于,A B 两点，P 点坐标为()2,2--，求11PA PB+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m 的值，将直线的参数方程与曲线C 的方程联立，可得2220t t --=，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案； 【详解】解：根据题意，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，则其标准方程为221124x y +=，其左焦点为(-，直线l过点(-，其参数方程为(x m ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则m =-将直线l 的参数方程22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=， 则12||||||2FA FB t t ==． 故选：D本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题．3．B解析：B【分析】将直线84:1x tly t=+⎧⎨=-⎩，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.【详解】84:1x tly t=+⎧⎨=-⎩可得：4120x y+-=根据点到直线距离公式，可得C上的点到直线l的距离为=≤=【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题. 4．B解析：B【分析】设曲线C上任意一点的坐标为),sinθθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C上的点到直线l的距离的最小值.【详解】设曲线C上任意一点的坐标为),sinθθ，所以，曲线C上的一点到直线l的距离为d==42sinπθ⎛⎫-+⎪=当()232k k Zππθπ+=+∈时，d取最小值，且mind== B.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题. 5．A解析：A【分析】设,2sin )P θθ，由此24sin )x y θθθϕ++=+，根据三角函数的有界性可得结果. 【详解】椭圆方程为22164x y +=,设,2sin )P θθ,则24sin )x y θθθϕ++=+ (其中tan ϕ=),故2x y +≤2x y +A. 【点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档题. 利用公式()sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=+=+ 可以求出:①()f x 的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域⎡⎣；④对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标. 6．B解析：B 【解析】分析：求出A （﹣3，0），B （0，﹣3），=P （α，α），点P 到直线x+y+2=0的距离：=，∈，由此能求出△ABP 面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A （﹣3，0），B （0，﹣3），=，∵点P 在圆（x ﹣1）2+y 2=2上，∴设P （αα）， ∴点P 到直线x+y+3=0的距离：=，∵sin ()4πα+∈[﹣1，1]，∴， ∴△ABP面积的最小值为13,2⨯= △ABP面积的最大值为19,2⨯= 故答案为：B ．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P （αα），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.7．B解析：B 【解析】分析：根据椭圆的方程算出A （4，0）、B （0，3），从而得到|AB|=5且直线AB ：3x+4y ﹣12=0．设点P （4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P 到直线AB 距离为d=125()4πθ+﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出d max =1251），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB 面积的最大值．详解：由题得椭圆C 方程为：221169x y +=，∴椭圆与x 正半轴交于点A （4，0），与y 正半轴的交于点B （0，3）， ∵P 是椭圆上任一个动点，设点P （4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]） ∴点P 到直线AB ：3x+4y ﹣12=0的距离为=125()4πθ+﹣1|， 由此可得：当θ=54π时，d max =1251）∴△PAB 面积的最大值为S=12|AB|×d max =61）. 点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于()4πθ+﹣1|，不是sin ()4πθ+=1时，整个函数取最大值，而应该是sin ()4πθ+=-1，要看后面的“-1”.8．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()322x t t y t 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线，得2122(33)160,16,t t t t -++==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．9．D解析：D 【解析】试题分析：2cos212sin θθ=-,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-,代入22sin x θ=+可得22yx =-,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.10．A解析：A 【解析】试题分析：即3x-4y-36="0;"即，由圆心到直线的距离，所以，直线与圆相离，选A 。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(含答案解析)
一、选择题1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换22x xy y ''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线()()22561x y -++=，则曲线C 的对称中心是（ ）A ．()5,6-B ．5,32⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()10,12-D ．5,62⎛⎫-⎪⎝⎭2．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ） A ．1(,)23π-B ．1(,)23πC ．(1,)3π-D ．(1,)3π3．极坐标方程2cos22cos 1ρθρθ-=表示的曲线是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线4．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=5．在球坐标系中，点3,,46P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点33,,46Q ππ⎛⎫⎪⎝⎭之间的距离为（ ） AB．C．D．26．若22,3P π⎛⎫⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．圆22cos 4sin 30ρρθρθ++-=上到直线cos sin 10ρθρθ++=点共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在平面直角坐标系中，抛物线23x y =-经过伸缩变换1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后得到的曲线方程是（ ） A ．2''4y x =-B ．2''4x y =-C ．2'9'4y x =-D ．2'9'4x y =-9．以π4⎛⎫⎪⎝⎭） A ．ρ=-(sin θ+cosθ) B ．ρ=sin θ+cosθ C ．ρ=-2(sin θ+cosθ) D ．ρ=2(sin θ+cosθ)10．圆心在(0,1)且过极点的圆的极坐标方程为（ ）A ．1ρ=B ．cos ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=11．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（ ） A ．一个圆B ．两个圆C ．两条直线D ．一个圆和一条直线12．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为A ．22(1)4x y -+=B ．22(1)4x y +-=C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1y x +-=二、填空题13．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．14．已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A 在圆ρ＝2cosθ＋2sinθ上，点B 在直线31x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上，则|AB|的最小值为________．15．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的直角坐标方程为：22(1)1y x +-=. （1）求曲线C 和直线AB 的极坐标方程；（2）过点O 的射线l 交曲线C 于M 点，交直线AB 于N 点，若||||4OM ON ⋅=，求射线l 所在直线的直角坐标方程. 16．在极坐标系中，曲线43sin πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭关于________对称. 17．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．18．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(包含答案解析)
一、选择题1．椭圆22:1169x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( )ABCD2．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23BCD3．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（ ） ABCD4．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（ ） A ．6B ．5C ．8D ．75．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（）A．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--6．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1B ．1-C 1D ．1-7．直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125BC ．5D8．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为212x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） ABCD9．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t为参数）与曲线ρ=B ，C 两点，则BC 的值为（ ） A．BC．D10．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的42C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=11．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）AB．CD．12．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和直线:x tl y t b=⎧⎨=+⎩（t 为参数，b 为实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ） AB．C ．0D．二、填空题13．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为______. 14．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 15．直线122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长为_________.16．无论k 取任何实数，直线2y kx =+与椭圆()2 θx cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数恒有交点，则实数m 的取值范围是_____。
北师大版高中数学选修4-4模块综合测试.docx
高中数学学习材料唐玲出品模块综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关坐标系的说法，错误的是( ) A ．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆 B ．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小 C ．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程 D ．同一条曲线可以有不同的参数方程解析： 直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．答案： C2．把函数y ＝12sin2x 的图象经过________变化，可以得到函数y ＝14sin x 的图象．( )A ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的2倍B ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的12倍D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的12解析： 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y ＝12sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y ＝12sin x 的图象，再把纵坐标缩短为原来的12，得到y ＝14sin x 的图象．答案： D3．极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形是( ) A ．一个圆与一条直线 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两条直线解析： 所给方程可以化为(ρ－2)(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sin θ.化成直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4和x 2＋y 2－y ＝0，可知分别表示两个圆．答案： C4．在极坐标系中，如果一个圆方程是ρ＝4cos θ＋6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρsin θ＝3B ．ρsin θ＝－3C ．ρcos θ＝2D ．ρcos θ＝－2答案： A5．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ知x ＝2＋y (2≤x ≤3) 所以y ＝x －2 (2≤x ≤3)． 答案： C6．经过点M (1,5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎩⎨⎧ x ＝1＋12ty ＝5－32tB ．⎩⎨⎧ x ＝1－12ty ＝5＋32tC ．⎩⎨⎧x ＝1－12ty ＝5－32tD ．⎩⎨⎧ x ＝1＋12ty ＝5＋32t解析： 根据直线参数方程的定义，易得⎩⎨⎧x ＝1＋t ·cos π3y ＝5＋t ·sin π3，即⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝5＋32t .答案： D7．x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3x ，后所得图形的焦距( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析： 变换后方程变为：x 24＋y 29＝1，故c 2＝a 2－b 2＝9－4＝5，c ＝5， 所以焦距为2 5. 答案： C8．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，则|BC |的值为( )A ．27B ．30C ．7 2D ．302解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°⇒⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′y ＝－1＋12t ＝－1＋22t (t ′为参数)．代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0， ∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2 ＝(32)2＋4×3＝30，故选B ． 答案： B9．已知P 点的柱坐标是⎝⎛⎭⎫2，π4，1，点Q 的球面坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，π4，根据空间坐标系中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2，可知P 、Q 之间的距离为( )A ． 3B ． 2C ． 5D ．22解析： 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P 点的柱坐标转化为空间直角坐标(2，2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空间直角坐标⎝⎛⎭⎫22，22，0，代入两点之间的距离公式即可得到距离为 2. 答案： B10．如果直线ρ＝1cos θ－2sin θ与直线l 关于极轴对称，则直线l 的极坐标方程是( )A ．ρ＝1cos θ＋2sin θB ．ρ＝12sin θ－con θC ．ρ＝12cos θ＋sin θD ．ρ＝12cos θ－sin θ解析： 由ρ＝1cos θ＋2sin θ知ρcos θ＋2ρsin θ＝1，∴x ＋2y ＝1. 答案： C11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋4sin φ)，y ＝2(sin φ－4cos φ).(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).(θ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ).(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(θ－sin θ)，y ＝4(1－cos θ).(θ为参数)解析： 圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ).(φ为参数). 答案： A12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′，且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其他点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )A ．AB B ．BC C ．CDD ．DA解析： ∵x ≤x ′且y ≥y ′，∴点P (x ，y )在点P ′(x ′，y ′)的左上方． ∵Ω中不存在优于Q 的点，∴点Q 组成的集合是劣弧AD ，故选D ． 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上) 13．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则极点到该直线的距离是________ 解析： 对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程．极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22， 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：2214．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.解析： 直线：y ＝x ·tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12，∴α＝π6或56π.答案： π6或56π.15．已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.则圆的直角坐标方程为__________，直线l 和圆C 的位置关系为__________(填相交、相切、相离)．解析： (1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1.ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和⊙C 相交．答案： (x －1)2＋(y －1)2＝2；相交16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______.解析： 直线和圆的方程分别是x ＋y －6＝0，x 2＋(y －2)2＝22，所以圆心为(0,2)，其到直线的距离为d ＝|0＋2－6|1＋1＝2 2.答案： (0,2) 2 2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)(1)化ρ＝cos θ－2sin θ.为直角坐标形式并说明曲线的形状； (2)化曲线F 的直角坐标方程：x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0为极坐标方程． 解析： (1)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ ∴x 2＋y 2＝x －2y 即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0 即⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫522 表示的是以⎝⎛⎭⎫12，－1为圆心，半径为52的圆．(2)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0的极坐标方程为： ρ2－5ρ－5ρcos θ＝0.18．(12分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫3，π9，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足OQ QP ＝23，求动点P 的轨迹方程．解析： (1)设M (ρ，θ)为圆C 上任意一点，如图，在△OCM 中，|OC |＝3，|OM |＝ρ，|CM |＝1，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪θ－π6，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ⎪⎪⎪⎪θ－π6，化简整理，得ρ2－6· ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程． (2)设Q (ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos ⎝⎛⎭⎫θ1－π6＋8＝0① 设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1) ＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ，代入①得425ρ2－6·25ρcos(θ－π6)＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－5π6＋50＝0为P 点的轨迹方程． 19．(12分)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程； (2)求点F 1，F 2到直线l 的距离之和． 解析： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2； 曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322.点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2＝22，∴d 1＋d 2＝2 2.20．(12分)已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P 、M 两点间的距离； (2)求M 点的坐标； (3)求线段AB 的长|AB |.解析： (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设倾斜角为α，tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋35ty ＝45t(t 为参数)，∵直线l 与抛物线相交，把直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x ，整理得8t 2－15t －50＝0，设这个方程的两个根为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝158，t 1·t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)由(1)知，中点M 所对参数为t M ＝1516，代入直线的参数方程，M 点的坐标为⎩⎨⎧x ＝2＋35×1516＝4116y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎫4116，34.(3)由参数t 的几何意义，|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 2＋t 1)2－4t 1t 2＝5873.21．(12分)如图，自双曲线x 2－y 2＝1上一动点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 中点P 的轨迹方程．解析： 设点Q 的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)． ∵QN ⊥l ，∴可设直线QN 的方程为x －y ＝λ ①将点Q 的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ 所以线段QN 的方程为x －y ＝sec φ－tna φ ② 又直线l 的方程为x ＋y ＝2.③由②③解得点N 的横坐标x N ＝2＋sec φ－tan φ2设线段QN 中点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x N ＋x Q 2＝2＋3sec φ－tan φ4，④4×④－②得 3x ＋y －2＝2sec φ. ⑤4×④－3×②得 x ＋3y －2＝2tan φ.⑥⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.22．(14分)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t (t 为参数)．当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？解析： 椭圆方程为y 24＋x 2＝1，化直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t为⎩⎨⎧x ＝55t ′y ＝m ＋255t ′(t ′为参数)．代入椭圆方程得(m ＋255t ′)2＋4⎝⎛⎭⎫55t ′2＝4⇔8t ′2＋45mt ′＋5m 2－20＝0当Δ＝80m 2－160m 2＋640＝640－80m 2>0， 即－22<m <2 2.方程有两不等实根t ′1，t ′2，则弦长为|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝640－80m 28依题意知＝640－80m 28＝6，解得m ＝±455.。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试题(答案解析)
一、选择题1．在极坐标系中，点P 在圆1ρ=上，则点P 到直线()cos 2sin 5ρθθ+=的距离的最小值为（ ） A ．5B ．3C ．31-D ．51-2．方程sin cos k ρθθ=++ 的曲线不经过极点，则k 的取值范围是（ ） A ．0k ≠B ．k R ∈C ．2k >D ．2k3．已知三个不同的点,,E F G 在圆22(1)9x y -+=上运动，且GE GF ⊥，若点Q 的坐标为()4,4，则QE QF QG ++的取值范围是（ ） A ．[23,32]B ．[]1,6C ．[]2,9D ．[]12,184．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为23cos ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1B ．3C ．2D ．23 5．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．6．在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）两点，则|AB|＝（ ） A 2B 3C ．1D 57．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线2ρ截得的线段长为（ ） A 3B ．62C 6D ．28．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B 两点，则线段AB 的长度为（ ） A ．2B 2C ．22D ．19．在极坐标系中，曲线46sin πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于( ) A ．直线23πθ=对称 B ．直线56πθ=对称C ．点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 D ．极点中心对称10．在同一平面直角坐标系中，将直线22x y -=按124x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线l 的方程，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为（ ）A ．4cos sin 4ρθρθ-=B ．cos 16sin 4ρθρθ-=C ．cos 4sin 4ρθρθ-=D ．cos 8sin 4ρθρθ-=11．已知点P的直角坐标(2,--，则它的一个极坐标为（ ） A ．(4，3π) B ．(4，43π) C ．(-4，6π) D ．(4，76π) 12．点M的直角坐标为(1)-化为极坐标为（ ） A ．（2，56π） B ．（2，76π） C ．（2，116π） D ．（2，6π） 二、填空题13．已知点1,0A ，()3,4 B ，O 为坐标原点，点C 在AOB ∠的平分线上，且2OC =，则点C 的坐标为_______________.14．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.若||||AB OP ⋅，则α=________.15．已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A 在圆ρ＝2cosθ＋2sinθ上，点B 在直线31x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上，则|AB|的最小值为________．16．球坐标2,,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭对应点的直角坐标为________. 17．在同一平面直角坐标系中，将曲线22368120x y x --+=变成曲线22''4'30x y x --+=，则满足上述图形变换的伸缩变换是________.18．直线θα=与cos()1ρθα-=的位置关系是________． 19．在极坐标系中，曲线43sin πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭关于________对称. 20．对于函数y ＝f (x )(x ∈R)而言，下列说法中正确的是________．(填序号) ①函数y ＝f (x ＋1)的图象和函数y ＝f (1－x )的图象关于x ＝1对称． ②若恒有f (x ＋1)＝f (1－x )，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称．③函数y ＝f (2x ＋1)的图象可以由y ＝f (2x )向左移一个单位得到． ④函数y ＝f (x )和函数y ＝－f (－x )图象关于原点对称．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++＝．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是()θαρ∈R ＝，l 与C 交于A B ，两点，||AB l 的斜率．22．在直角坐标系xOy 中，圆1C 和2C 的参数方程分别是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）和cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求圆1C 和2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM ：θα=与圆1C 交于点O 、P ，与圆2C 交于点O 、Q ，求2226100,x y x y x y ++-+=+=则的最大值.23．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0M ，A 是圆22:4O x y +=上一个动点，AOM ∠的平分线交MA 于点P ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点P 的轨迹C 的极坐标方程； （2）若射线()π06θρ=>与圆O 和曲线C 分别交于S ，T 两点（其中T 异于原点O ），求ST ．24．在直角坐标系xOy 中，已知点()6,2Q ，曲线1C 的参数方程为28682x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），点P 是曲线1C 上的任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于点O ，A ，射线OA 逆时针旋转90︒交曲线2C 于点B ，且3OA OB ⋅=，求k . 25．在直角坐标系xOy 中，曲线()221:24C x y -+=，曲线22cos :sin x C y φφ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线l 的极坐标方程为004πθααρ⎛⎫=≤≤> ⎪⎝⎭，，若l 分别与1C ，2C 交于异于极点的M ，N 两点．求OM ON ⋅的取值范围． 26．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为π02θαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，将直线1l 绕极点O 逆时针旋转π3个单位得到直线2l ． （1）求C 和2l 的极坐标方程；(2)设直线1l 和曲线C 交于,O A 两点，直线2l 和曲线C 交于,O B 两点，求OA OB +的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】将极坐标方程转化为普通方程，将圆上点到直线距离问题转化为圆心到直线的距离再减半径，即可求出其最小值． 【详解】由1ρ=得221x y +=，∴圆心（0，0），r = 由()cos 2sin 5ρθθ+=，得25x y +=， 又圆心（0，0）到直线的距离为d r ==>，∴直线和圆相离，所以点P 到直线250x y +-=1r =， 故选：D. 【点睛】本题考查了极坐标方程和普通方程的转化，考查直线和圆的关系，考查了转化思想，属于中档题．2．C解析：C 【分析】由题意可知，极点不在方程表示的sin cos k ρθθ=++曲线上，可知sin cos k θθ+=-无解，利用辅助角公式得出24sin cos sin πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，即可得出k 的取值范围. 【详解】当0ρ=时，sin cos k θθ+=-，则此方程无解 由224sin cos sin πθθθ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，所以当2k >时，方程无解.故选：C 【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，涉及了正弦函数的性质，属于中档题.3．D解析：D 【分析】利用数形结合，采用建系的方法，根据向量的坐标表示以及运算，结合辅助角公式，可得结果. 【详解】 如图：由GE GF ⊥，可知EF 为直径 可设()()13cos ,3sin ,13cos ,3sin E F ϕϕϕϕ+--， ()13cos ,3sin G θθ+所以()33cos ,3sin 4QE ϕϕ=-+-，()33cos ,3sin 4QF ϕϕ=---- ()3cos 3,3sin 4QG θθ=--则()3cos 9,3sin 12QE QF QG θθ++=--所以(3cos QE QF QG ++=化简可得234QE QF QG ++=即3234tan 4QE QF QG ϕ++==所以当()sin 1θϕ+=时，min12QE QF QG++=当()sin 1θϕ+=-时，max18QE QF QG++=所以||QE QF QG ++的取值范围为[]12,18 故选：D 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，对这种几何问题，常会采用建系，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.4．B解析：B 【分析】由题意可知曲线1C 与2C 交于原点和另外一点，设点A 为原点，点B 的极坐标为()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立两曲线的极坐标方程，解出ρ的值，可得出AB ρ=，即可得出AB 的值. 【详解】易知，曲线1C 与2C均过原点，设点A 为原点，点B 的极坐标为()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立曲线1C 与2C 的坐标方程2sin ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3πθρ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，AB ρ== 故选：B. 【点睛】本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.5．C解析：C 【解析】【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。
北师大版高中数学选修4-4章末综合测评(一).docx
章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A.y ＝3sin xB.y ＝3sin 2xC.y ＝3sin 12xD.y ＝13sin 2x【解析】 由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3. 代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′. ∴变换后的曲线方程为y ＝3sin x . 【答案】 A2.极坐标方程sin θ＝12(ρ∈R ，ρ≥0)表示的曲线是( )A.两条相交直线B.两条射线C.一条直线D.一条射线【解析】 ∵sin θ＝12，所以θ＝π6(ρ≥0)和θ＝56π(ρ≥0)，故其表示两条射线. 【答案】 B3.极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14B.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14C.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14 【解析】 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.故选D.【答案】 D4.点A 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，34π，则它的直角坐标为( )【导学号：12990019】A.(－1,1，－2)B.(－1,1，2)C.(－1，－1，2)D.(1,1，－2)【解析】 x ＝r sin φcos θ＝2sin 34πcos 34π＝－1， y ＝r sin φsin θ＝2sin 34πsin 34π＝1， z ＝r cos φ＝2cos 34π＝－ 2.所以直角坐标为(－1,1，－2)，故选A. 【答案】 A5.与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( )A.x 2＋y 2＝3B.x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)C.y ＝1－x 2D.x 2＋y 2＝9(x ≠0)【解析】 设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋1(x ≠－1)，k PB ＝y x －1(x ≠1). 又k P A ＋k PB ＝－1，即y x ＋1＋y x －1＝－1，得 x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)，故选B. 【答案】 B6.如图1，已知点P 的极坐标是(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线的极坐标方程是( )图1A.ρ＝1B.ρ＝cos θC.ρ＝－1cos θD.ρ＝1cos θ【解析】 由题图可知ρcos(π－θ)＝1， 即ρ＝－1cos θ，故选C. 【答案】 C7.圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.22 B. 2 C.2D.2 2【解析】 圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)，如图，|OC |＝2， 在Rt △COD 中， ∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4， ∴|CD |＝ 2.即圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为 2. 【答案】 B8.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R )的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 【解析】 点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R )，即直线y ＝x ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，再化为极坐标，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3. 【答案】 A9.极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A.一条射线和一个圆 B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆【解析】 方程ρcos θ＝2sin 2θ可化为ρcos θ＝4sin θcos θ，即cos θ＝0或ρ＝4sin θ，方程cos θ＝0即θ＝k π＋π2，表示y 轴，方程ρ＝4sin θ即x 2＋y 2＝4y ，表示圆，故选C.【答案】 C10.圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rC.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r【解析】 圆ρ＝r 的直角坐标方程为 x 2＋y 2＝r 2，① 圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ).两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ).∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0.②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程.再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .【答案】 D11.圆ρ＝2a sin θ关于极轴对称的圆的方程为( ) A.ρ＝2a cos θ B.ρ＝－2a cos θ C.ρ＝－2a sin θD.ρ＝2a sin θ【解析】 法一：根据对称规律，把⎩⎨⎧θ′＝－θ，ρ′＝ρ代入原方程，可得原方程表示的曲线关于极轴对称的曲线方程.∴ρ＝2a sin θ关于极轴对称的曲线方程为ρ′＝2a sin (－θ)，即ρ＝－2a sin θ. 法二：因为圆ρ＝2a sin θ的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ，该圆关于极轴对称的圆的圆心应为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，3π2，半径仍为a ，其方程应为：ρ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2，即ρ＝－2a sin θ. 【答案】 C12.直线θ＝α和直线ρsin (θ－α)＝1的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直D.重合【解析】 直线θ＝α化为直角坐标方程为y ＝x tan α，ρsin (θ－α)＝1化为ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y ＝x tan α＋1cos α.所以两直线平行. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上) 13.点M 的直角坐标为(－1，3，2)，那么它的柱坐标为________.【解析】 设柱坐标为(r ，θ，z )，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，又tan θ＝－3，∴θ＝2π3，故柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，2 14.在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________.【解析】 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1.【答案】 115.已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________.【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3.由⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，3π3，2π3，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22π3，π4，2π3.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，33π，23π ⎝ ⎛⎭⎪⎫223π，π4，23π 16.已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________.【导学号：12990020】【解析】 依题意，点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π12，∵cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22·32－22·12＝6－24， sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22·32＋22·12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， ∴y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋2，∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2). 【答案】 (6－2，6＋2)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图2建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心).图2【解】 ∵O 是△BCD 的中心，∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，4π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，2π3.18.(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状.【解】 将⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝14， 故曲线C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3为圆心，半径为12的圆.19.(本小题满分12分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ， 直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值.【解】 ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.20.(本小题满分12分)如图3，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米(精确到整数位)?图3【解】 如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0).依题意，有P (－1，－1)，∴p ＝12，故抛物线的方程为 x 2＝－y .设B (x ，－2)，则x ＝2，∴|O ′B |＝1＋ 2. 所以水池的直径为2(1＋2)≈5(m). 即水池的直径至少应设计为5 m.21.(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程；(2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程. 【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM ＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ， 则|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)， 故圆C 的极坐标为ρ＝2cos(θ－1).(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2，即ρ＝－2sin(1－θ)，故ρ＝2sin(θ－1)为所求.22.(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程. 【解】 (1)法一：∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4. 又∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2. 法二：设A (ρ，θ1)，B (ρ，θ2)，θ1，θ2∈[0,2π)， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ1－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2－π4＝22.∵θ1，θ2∈[0,2π)，∴|θ1－θ2|＝π2，即∠AOB ＝π2， 又|OA |＝|OB |＝2， ∴|AB |＝2 2.(2)法一：∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1， 即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.法二：设点P (ρ，θ)为直线l 上任一点，因为直线AB 与极轴成π4的角， 则∠PCO ＝3π4或∠PCO ＝π4， 当∠PCO ＝3π4时，在△POC 中，|OP |＝ρ，|OC |＝1，∠POC ＝θ，∠PCO ＝3π4，∠OPC ＝π4－θ， 由正弦定理可知：1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝ρsin 34π， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————桑水 同理，当∠PCO ＝π4时，极坐标方程也为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22. 当P 为点C 时显然满足ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22. 综上，所求直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．1cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．cos 2ρθ=D ．1sin 2ρθ=2．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）上的点到曲线cos sin 4ρθρθ+=的最短距离是（ ）. A ．1B ．2C ．22D ．323．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）A ．1'2'3x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．5．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．126．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=7．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．34k <-B ．34k ≥-C ．k R ∈D ．k R ∈但0k ≠8．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{?1x cos y sin αα==+（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．39．在极坐标系中，曲线1C 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线2C 的方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy 。
数学北师大版选修4-4 模块测试附答案 含解析 精品
数学北师版选修4—4模块测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )． A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆2．直线l 的参数方程为,x a t y b t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )．A ．|t 1|B ．2|t 1|C 1|D ．1|2t 3．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )．A ．ρ＝2cos(θ－π4)B ．ρ＝2sin(θ－π4)C ．ρ＝2cos(θ－1)D ．ρ＝2sin(θ－1)4．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程1,23x t y t=--⎧⎨=+⎩(t 为参数)所表示的图形分别是( )．A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线5．点M 的直角坐标是(－1，则点M 的一个极坐标是( )．A ．π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π2,2π+3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭(k ∈Z )6．已知点M 的球坐标为3π3π4,,44⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标是( )．A ．(－2,2，-)B ．(2，－2，-C ．(2，－2，D ．(－1，1)7．直线ρcos θ＝2关于直线π4θ=对称的直线方程为( )．A ．ρcos θ＝－2B ．ρsin θ＝2C ．ρsin θ＝－2D ．ρ＝2sin θ8．设x ，y ∈R ，x 2＋2y 2＝6，则x ＋y 的最小值是( )．A ．-．C ．－3D ．72- 9．过点(0,2)且与直线21x ty =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)的夹角为30°的直线方程为( )．A ．y ＝xx ＝0 B ．yx ＋2和y ＝0 C ．yx ＋2和x ＝0 D ．yx +x ＝0 10．点P (1,0)到曲线2,2x t y t⎧=⎨=⎩(t 是参数)上的点的最短距离为( )．A ．0B ．1CD ．2二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．渐开线4(cos sin ),4(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆上各点的横坐标伸长为原来的3倍，得到的曲线方程是________．12．直线3,14x at y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)过定点__________．13．已知圆极坐标方程为ρ＝2cos θ，则该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离是__________．14．若动点(x ，y )在曲线222=14x y b+(0＜b ＜2)上变化，则x 2＋2y 的最大值为__________．15．在极坐标系中，点P π2,6⎛⎫-⎪⎝⎭到直线l ：ρsin(θ－π6)＝1的距离是________． 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)在下列平面直角坐标系中，分别作出(x －3)2＋(y －3)2＝36的图形． (1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12. 17．(12分)已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点． (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 18．(12分)在极坐标系中，求经过极点O (0,0)，A π6,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 9π4⎛⎫ ⎪⎝⎭三点的圆的极坐标方程．19．(12分)已知椭圆C 1：2cos ,x m y ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(φ为参数)及抛物线C 2：y 2＝6(x －32)．当C 1∩C 2≠∅时，求m 的取值范围．20．(13分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C (3，π6)，半径r ＝1，点Q 在圆C 上运动． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在线段OQ 延长线上运动，且OQ ∶QP ＝2∶3，求动点P 的轨迹方程．21．(14分)已知直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C的参数方程为2cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．定点A (0，，F 1，F 2是圆锥曲线C 的左，右焦点．(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F 1且平行于直线AF 2的直线l 的极坐标方程．(2)在(1)条件下，设直线l 与圆锥曲线C 交于E ，F 两点，求弦EF 的长．参考答案1．答案：C ρcos θ＝2sin 2θ⇒ρcos θ＝4sin θcos θ.∴cos θ＝0或ρ＝4sin θ即ρ2＝4ρsin θ. 则θ＝k π＋π2(k ∈Z )或x 2＋y 2＝4y . 2．答案：C P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )， ∴|P 1P |1|.3．答案：C 由已知得圆心在相应的直角坐标下的坐标为(cos 1，sin 1)，所以圆在直角坐标下的方程为(x －cos 1)2＋(y －sin 1)2＝1，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入上式，得ρ2－2ρcos(θ－1)＝0.所以ρ＝0或ρ＝2cos(θ－1)，而ρ＝0表示极点，适合方程ρ＝2cos(θ－1)，即圆的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．4．答案：A ∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．∵1,23,x t y t =--⎧⎨=+⎩∴3x ＋y ＋1＝0表示直线．5．答案：C ρ2，tan θ＝=1--∴θ＝2k π＋2π3(k ∈Z )． 6．答案：A 3π3π4sin cos =424422x ⎛⨯- ⎝⎭＝＝－，3π3π4sinsin =4244y ＝，3π=4cos =4(4z ⨯--则点M 的直角坐标为(－2,2，-)． 7．答案：B ∵直线x ＝2关于直线y ＝x 对称的直线是y ＝2， ∴直线方程为ρsin θ＝2.8．答案：C不妨设,x y αα⎧⎪⎨⎪⎩(α为参数)，则x ＋yαα＝3sin(α＋φ)(其中tan ϕ．∴x ＋y 的最小值为－3.9．答案：C直线=2,=1x t y +⎧⎪⎨+⎪⎩的斜率k ，倾斜角为60°.故所求直线的倾斜角为30°或90°.10．答案：B 设点P (1,0)到曲线上的点(t 2,2t )的距离为d ，则dt 2＋1≥1.∴d min ＝1.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．答案：22=114416x y + 由渐开线方程知基圆的半径为4，则基圆的方程为x 2＋y 2＝16，把横坐标伸长为原来的3倍，得到椭圆方程29x ＋y 2＝16，即22=114416x y +. 12．答案：(3，－1) 由=3,=14x at y t +⎧⎨-+⎩得14=3y x a +-.∴－(y ＋1)a ＋4x －12＝0对任意a 都成立．故y ＝－1.此时t ＝0，∴x ＝3，所以直线过定点(3，－1)．13．答案：5由圆方程ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. 即x 2＋y 2＝2x ，所以(x －1)2＋y 2＝1.圆心(1,0)，半径r ＝1.直线2x ＋y ＝1.所以圆心到直线的距离d. 14．答案：4＋24b 曲线方程化为参数方程为=2cos ,=sin x y b θθ⎧⎨⎩(θ为参数)．则x 2＋2y ＝(2cos θ)2＋2b sin θ＝4cos 2θ＋2b sin θ ＝4(1－sin 2θ)＋2b sin θ＝－4sin 2θ＋2b sin θ＋4＝－4(sin θ－4b )2＋4＋24b .∵0＜b ＜2，∴10<<42b .∴当sin =4b θ时，x 2＋2y 取最大值为24+4b .15．1 点P (2，π6-)的直角坐标为－1)，将直线l ：ρsin(θ－π6)＝1化为直角坐标方程为=122xy -，即x ＋2＝0，∴点P 到直线l 的距离d ＝1.16．答案：解：(1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，(x －3)2＋(y －3)2＝36的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，(x －3)2＋(y －3)2＝36的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，(x －3)2＋(y －3)2＝36的图形如下：17．答案：解：(1)设圆的参数方程为=cos ,=1sin x y θθ⎧⎨+⎩(θ为参数)．则2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1θ＋φ)＋1(其中tan φ＝2)．＋1≤2x ＋y 1.(2)x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0恒成立． ∴a ≥－(x ＋y )恒成立．设f (x )＝－(x ＋y )＝－(sin θ＋cos θ＋1)＝sin(θ＋π4) 1.∴a －1. 18．答案：解：将三点的极坐标化为直角坐标为O (0,0)，A (0,6)，B (6,6)， ∴△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形．∴圆心(3,3)，半径r ＝∴圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0. 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0.即圆的极坐标方程为π4ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭. 19．答案：解：将椭圆C 1的参数方程代入C 2：y 2＝6(x －32)，整理得3sin 2φ＝6(m ＋2cos φ－32)， ∴1－cos 2φ＝2m ＋4cos φ－3，即(cos φ＋2)2＝8－2m .∵1≤(cos φ＋2)2≤9，∴1≤8－2m ≤9.解之，得1722m -≤≤. ∴当C 1∩C 2≠∅时，m ∈17,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．答案：解：(1)设M (ρ，θ)为圆C 上的任意一点，如图，在△OCM 中，|OC |＝3，|OM |＝ρ，|CM |＝1，∠COM ＝|θ－π6|，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2ρ·3cos|θ－π6|，化简并整理，得ρ2－6ρcos(θ－π6)＋8＝0为圆C 的极坐标方程．(2)设Q (ρ1，θ1)，则有21ρ－6ρ1cos(θ1－π6)＋8＝0①.设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝25ρ. 又θ1＝θ，即112,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入①，得4252ρ－6×2πcos()56ρθ-＋8＝0， 整理，得ρ2－15ρcos(θ－π6)＋50＝0为点P 的轨迹方程．21．答案：解：(1)由圆锥曲线C 的参数方程知其普通方程为2243x y +＝1. A (0，，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．∴直线l的斜率k l ：yx ＋1)．∴直线l 的极坐标方程为ρsin θcos θ.即2ρsin(θ－π3)(2)联立221,431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+)⎩得5x 2＋8x ＝0. ∴|EF |165. 即弦EF 的长为165.。
高中数学选修4-4 北师大版 椭圆的参数方程 作业 Word版 含答案
课时跟踪检测(十) 椭圆的参数方程一、选择题1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于( ) A ．πB.π2 C ．2πD.3π2解析：选A ∵点(－a,0)中x ＝－a ，∴－a ＝a cos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 2．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( ) A. 3B ．－33C ．2 3D ．－2 3 解析：选C 点M 的坐标为(1,23)，∴k OM ＝2 3.3．直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P 使得△PAB 的面积等于4，这样的点P 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 设椭圆上一点P 1的坐标为(4cos θ，3sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，如图所示，则S 四边形P 1AOB ＝S △OAP 1＋S △OBP 1 ＝12×4×3sin θ＋12×3×4cos θ ＝6(sin θ＋cos θ)＝62sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 当θ＝π4时，S 四边形P 1AOB 有最大值为6 2. 所以S △ABP 1≤62－S △AOB ＝62－6＜4.故在直线AB 的右上方不存在点P 使得△PAB 的面积等于4，又S △AOB ＝6＞4，所以在直线AB 的左下方，存在两个点满足到直线AB 的距离为85，使得S △PAB ＝4.故椭圆上有两个点使得△PAB 的面积等于4.4．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ，得x ＋y －1＝0(－1≤x ≤0,1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．二、填空题5．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为________． 解析：椭圆的普通方程为(x ＋4)24＋(y －1)225＝1. ∴c 2＝21，∴2c ＝221.答案：2216．实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________．解析：因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝45，cos φ＝35. 当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5.答案：57．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆 O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为____________．解析：l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线l 与圆O 相切，得m ＝±2b .从而椭圆的一个焦点为(2b,0)，即c ＝2b ，所以a ＝3b ，则离心率e ＝c a ＝63. 答案：63三、解答题8．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R)，求它们的交点坐标．解：将⎩⎨⎧ x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程，得 x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)， 将x ＝54t 2，y ＝t 代入，得 516t 4＋t 2－1＝0， 解得t 2＝45， ∴t ＝255(∵y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54·45＝1， ∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255. 9．对于椭圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的1a ，再把纵坐标缩短为原来的1b 即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．解：设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)， 如果将该圆看成椭圆，那么在椭圆中对应的数值分别为a ＝b ＝r ，所以c ＝a 2－b 2＝0，则离心率e ＝c a ＝0.即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎫4，π2化为直角坐标， 得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1B ．1-C1D．1-3．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定4．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ） A．BC．D5．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．56．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) AB ．22CD ．47．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．578．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠9．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B ．1255C ．925D ．910510．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的34，得到的曲线2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=11．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（ ）A ．B ．2C ．D ．212．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．160二、填空题13．已知点M 在直线223324x ty t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上，点N 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，则MN 的最小值为________________. 14．已知直线l 的参数方程为：21x aty a t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若它们总有公共点 ，则a 取值范围是___________． 15．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ24⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．16．已知直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 17．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.18．若直线y x b =+与曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，且1212,328t t t t a +==+有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_________．19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．已知抛物线的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________.三、解答题21．已知直线l的参数方程为2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，()2,0P ，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长AB 以及PQ .22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，在以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭. （1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程和直线l 的倾斜角.（2）设点()0,1P ，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||||PA PB +的值.23．（1）已知圆M的极坐标方程为2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，求ρ的最大值． （2）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线L的参数方程为1,222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.24．已知直线l的参数方程为2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=.（参考公式22cos sin cos 2θθθ-=）（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 截得的弦长.25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.26．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．C解析：C 【分析】设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】设22(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭,故选：C 【点睛】本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值3．B解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=， ∴BC ==B ． 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．5．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线2241x y +=化为极坐标方程，设12(,),(,)2A B πρθρθ+，可将2211OAOB+表示为θ的函数，可得答案. 【详解】解：将曲线2241x y +=化为极坐标方程得：2222cos 4sin 1ρθρθ+=，可得2221cos 4sin ρθθ=+，由OA OB ⊥，可设12(,),(,)2A B πρθρθ+,可得2211OAOB+=221211+ρρ=2222cos 4sin +cos +4sin +22ππθθθθ++（）（）=5， 故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.6．A解析：A 【解析】【分析】设,2sin )P θθ，由此24sin )x y θθθϕ++=+，根据三角函数的有界性可得结果. 【详解】椭圆方程为22164x y +=,设,2sin )P θθ,则24sin )x y θθθϕ++=+ (其中tan ϕ=),故2x y +≤2x y +A. 【点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档题. 利用公式()sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=+=+ 可以求出:①()f x 的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域⎡⎣；④对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标. 7．C解析：C 【解析】 【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，，化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()222C r -，，＝圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．8．C解析：C 【解析】:2cos C ρθ=22222(1)1x y x x y ⇒+=⇒-+=314k <⇒<- ，选C.9．B解析：B 【解析】试题分析：由直线的参数方程21{(1x t t y t =-=+为参数)，可得直线的普通方程为230x y -+=，则圆229x y +=的圆心到直线的距离为d ==，所以所求弦长是5l ==，故选B.考点：直线与圆的位置关系及圆的弦长公式.10．B解析：B 【解析】根据题意，曲线C 2：12θ 2x cos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）， 消去参数，化为直角坐标方程是224413y x +=故选B ．点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：22221cos sin 1,1tan cos θθθθ+=+=.不要忘了参数的范围. 11．D解析：D 【解析】试题分析：首先将直线（为参数）代入曲线方程中得，，整理得，所以．设直线与双曲线的交点分别为A 、B ，由直线参数方程 的几何意义知，即为所求.考点：直线的参数方程；弦长公式.12．C解析：C【解析】本题考查直线的斜率，倾斜角的概念，诱导公式以及消参技能. 〖思路分析〗设法从参数方程中消去参数t ，再借助直线斜率的定义求解. 〖解答〗由320{20x tsin y tcos =+=-得 320{20x tsin y tcos -==-，消去参数t 得cos20cot203sin20y x =-=-- 因为20tan70tan110cot -=-=即有tan1103yx =- 所以此直线的倾斜角为110 故选择C〖评注〗消去参数t ，得到斜率的表达式cot203yx =--并不难，大多数同学都能做到；把cot20-转化为tan70-进而转化为tan110，是本题的难点.二、填空题13．【分析】先求出直线的普通方程再求出点到直线的距离再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值【详解】由题得直线方程为由题意点到直线的距离∴故答案为【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化考查点到直线 2【分析】先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值. 【详解】由题得直线方程为431720x y -+=，由题意，点N到直线的距离d===，∴minMN=【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14．【分析】把参数方程化为普通方程若直线与椭圆有公共点对判别式进行计算即可【详解】直线l的参数方程为（t为参数）消去t化为普通方程为ax﹣y ﹣1＝0且椭圆C的参数方程为：（θ为参数）消去参数化为联立直线解析：3[,0)(0,)2-+∞【分析】把参数方程化为普通方程，若直线与椭圆有公共点，对判别式0∆≥进行计算即可.【详解】直线l的参数方程为21x aty a t=⎧⎨=-⎩（t为参数），消去t化为普通方程为a x﹣y﹣1＝0，且a0≠,椭圆C的参数方程为：12x cosy sinθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数化为()22114yx-+=．联立直线与椭圆()2210114ax yyx--=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消y整理得()()224+8210a x a x-++=，若它们总有公共点，则()()22=8+24416(23)0a a a∆-+=+≥，解得32a≥-且a0≠,故答案为()3,00,2⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的互化，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．15．【解析】【分析】求出抛物线直角坐标方程为直线的直角坐标方程为由此能求出点F到直线l的距离【详解】抛物线参数方程为为参数焦点为F抛物线直角坐标方程为直线l的极坐标方程为直线的直角坐标方程为点F到直线l【解析】 【分析】求出抛物线直角坐标方程为24y x =，()1,0F ，直线的直角坐标方程为10x y -+=，由此能求出点F 到直线l 的距离． 【详解】抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，∴抛物线直角坐标方程为2y 4x =，()F 1,0，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ρθθ⎫∴-=⎪⎪⎝⎭∴直线的直角坐标方程为x y 10-+=， ∴点F 到直线l 的距离为：d ==【点睛】本题考查点到直线的距离的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．【解析】将直线的参数方程化为普通方程是：将圆的参数方程化为普通方程是：∴圆心到直线的距离解析：2【解析】将直线的参数方程化为普通方程是：10x y -+=，将圆的参数方程化为普通方程是：22(2)1x y -+=，∴圆心(2,0)到直线10x y -+=的距离d ==． 17．【解析】试题分析：由题意得曲线的普通方程为直线的直角坐标方程为所以圆心到直线的距离为所以直线与曲线交于考点：直线与圆的位置的弦长的计算解析：65【解析】试题分析：由题意得，曲线1C 的普通方程为221x y +=，直线l 的直角坐标方程为4340x y --=，所以圆心到直线的距离为224454(3)d ==+-，所以直线l 与曲线1C 交于224621()55AB =-=． 考点：直线与圆的位置的弦长的计算．18．【解析】试题分析：曲线（为参数且）的普通方程为它是半圆单位圆在右边的部分作直线如图它过点时当它在下方与圆相切时因此所求范围是考点：两曲线的交点个数【名师点睛】在数形结合时既要进行几何直观的分析又要进 解析：(2,1⎤--⎦【解析】 试题分析：曲线cos {sin x y θθ==（θ为参数，且22ππθ-≤≤）的普通方程为221(0)x y x +=≥，它是半圆，单位圆在y 右边的部分，作直线y x b =+，如图，它过点(0,1)A -时，1b =-，当它在下方与圆相切时，2b =-，因此所求范围是(2,1]b ∈--．考点：两曲线的交点个数．【名师点睛】在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的．在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，如本题，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．19．【解析】由曲线的极坐标方程化简为化为曲线的参数方程为化为设为曲线上的任意一点则曲线上的点到曲线上的点的距离当且仅当时即点时取等号∴最近的距离为故答案为 解析：2a b a b -=+【解析】由曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，化简为22cos sin ρθρθ=，化为2x y =曲线2C 的参数方程为3{1x ty t=-=-，化为20x y --=设()2,P x x 为曲线21:C x y =上的任意一点，则曲线1C 上的点P 到曲线2C上的点的距离82d ==≥，当且仅当12x =时，即点11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭时取等号 ∴最近的距离为2a b a b -=+ 故答案为2a b a b -=+20．8【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立消去根据韦达定理求得的值进而根据抛物线的定义可知求得答案【详解】抛物线的参数方程为普通方程为抛物线焦点为且直解析：8 【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++， 求得答案． 【详解】抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x =，抛物线焦点为()1,0 ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以126x x +=， 根据抛物线的定义可知|121262822Ap px x x x p B +++=++=+==， 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得AB 值，从而解决问题.三、解答题21．（1）l 0y --=，曲线C 的直角坐标方程为221x y -=． （2）AB =2PQ =．【分析】（1）消去参数t 得直线的普通方程，利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的标准参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义求弦长． 【详解】（1）由2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t得2)y x =-，所以l0y --=，222222cos2(cos sin )(cos )(sin )1ρθρθθρθρθ=-=-＝，所以曲线C 的直角坐标方程为221x y -=．（2）直线l的标准参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=得2460t t --=，2(4)4(6)400∆=--⨯-=>， 124t t +=，126t t =-，12,t t 异号，所以12AB t t =-===设Q 对应的参数是0t ，则12022t t t +==，所以02PQ t ==． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，掌握直线参数方程中参数的几何意义是解题关键．22．（1）曲线C 的普通方程为22142x y +=，直线l 的倾斜角为4π；（2）3. 【分析】（1）根据曲线C 的参数方程，消去α，可得曲线C 的普通方程，将直线极坐标方程展开，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，可得直线l 的普通方程，根据斜率，即可求得直线l 的倾斜角；（2）根据点P 在线上，可得直线l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，可得关于t 的一元二次方程，设点,A B 对应的参数为1t ，2t ，利用韦达定理，可得12t t +，12t t ⋅的值，代入公式，即可求得答案. 【详解】（1）由曲线C的参数方程2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，得其普通方程为22142x y +=，将直线l的极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开化为：sin cos 222ρθρθ-=，即sin cos 1ρθρθ-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，可得1y x -=，即10x y -+=， 所以斜率1k =，则tan 1θ=，由[0,)θπ∈可得4πθ=，所以直线l 的倾斜角为4π. （2）由（1）知，点()0,1P 在直线l ：10x y -+=上，则直线l的参数方程为：1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程得2211114222⎛⎫⎛⎫⨯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2340t +-=， 设点,A B 对应的参数为1t ，2t ，则123t t +=-，1243t t ⋅=-，所以1212||||PA PB t t t t +=+=-212124t t tt == 【点睛】解题的关键是掌握直线参数方程中t 的几何意义，易错点为：当120t t ⋅<时，1212||||PA PB t t t t +=+=-，当120t t ⋅>时，1212||||PA PB t t t t +=+=+，求解时需先判断12t t ⋅的正负，再求值，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.23．（1）2） 【分析】（1）先化简方程得到圆的直角坐标方程，再求圆上的点到原点距离的最大值得解； （2）将直线参数方程代入抛物线，利用参数的几何意义可求解. 【详解】（1）原方程化为260ρθθ⎫-++=⎪⎪⎝⎭，即24(cos sin )60ρρθρθ-++=.故圆的直角坐标方程为224460x y x y +--+= 圆心为(2,2)M故max ||OM ρ===（2）将直线L的参数方程1,222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入抛物线方程24y x =，得224122⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10t =，2t =-所以12AB t t =-= 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆中距离的最值问题，考查直线参数方程参数的几何意义，属于中档题.24．（1）2)y x =-；221x y -=（2） 【分析】(1)求直线l 的普通方程可由参数方程消去参数即可；求曲线C 的直角坐标方程先对曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=进行化简，然后用cos x ρθ=，sin y 代入即可；(2)联解直线和双曲线方程，求出交点的横坐标，代入圆锥曲线的弦长公式即可.【详解】解：（1）直线l的方程为2)y x =- 由2cos21ρθ=得22(cos2sin )1ρθθ-=22(cos )(sin )1ρθρθ-=∵cos x ρθ=，sin y∴221x y -=（2）直线l的方程为2)y x -将3(2)y x =-代入221x y -=得 2212130x x -+=解得16102x +=，26102x -= ∴弦长为21212113210k x x x x +-=+-=. 【点睛】本题考查了参数方程转普通方程以及由极坐标方程转直角坐标方程，弦长公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.25．（1）1C ：24y x =，2C ：22(4)1x y +-=；（2）122 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x = 曲线2C 的极坐标方程28sin 150ρρθ-+=变为直角坐标的方程为：22(4)1x y +-=(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l 的参数方程为32cos 42324sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=-⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知2122320t t ++=，因为1232t t =，12122t t +=2212||||||122C A C B t t +=+=【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 26．（1）3y x =；（215【分析】（1）直线l 的参数方程消去参数，能求出直线l 的普通方程（2）曲线22:(1)4C x y +-=，求出圆心(0,1)到直线3y x =的距离d ，圆的半径2r，22||2AB r d =-【详解】（1）直线l 的参数方程为(3x tt y t=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）， ∴直线l 的普通方程为3y x =.（2）曲线22:(1)4C x y +-=圆心(0,1)到直线y =的距离12d ==， 圆的半径2r，∴222||115()4244AB r d =-=-=，∴||AB =【点睛】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
高中数学北师大版选修4-4期末考试卷(含答案解析)
三、解答题
共70分
17
较易
掌握
坐标系与参数方程 - 极坐标系
10
18
一般
掌握
坐标系与参数方程 - 简单曲线的极坐标方程 - 圆的极坐标方程
12
19
一般
掌握
坐标系与参数方程 - 直线的参数方程
12
20
一般
简单应用
坐标系与参数方程 - 直线的参数方程
12
21
较易
理解
坐标系与参数方程 - 曲线的参数方程
A． B． C． D．
7．（5分）直线 （ 是参数）被圆 截得的弦长等于（ ）
8．（5分）在极坐标系中，由三条直线 ， ， 围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）直线 的参数方程为 （ 为参数），则直线 的倾斜角大小为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知曲线 ： （ 为参数）， ， ，若曲线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围为（ ）
14．（5分）在 中， ， ， 是 的一个三等分点，则 的最大值是__________．
15．（5分）已知圆 ，过点 的直线 与圆 在 轴上方交于 ， 两点，且 ，则直线 的斜率为__________．
16．（5分）在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线 的极坐标方程为 ，则曲线 上的点与曲线 上的点的最小距离为________.
5
3
较易
理解
坐标系与参数方程 - 极坐标系 - 极坐标与直角坐标的互化 - 极坐标下两点距离的计算
5
4
全部
掌握
坐标系与参数方程 - 简单曲线的极坐标方程 - 圆的极坐标方程
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ） A．B．CD3．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为：2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x tl y t =+⎧⎨=-⎩的距离的最大值为（ ）ABCD5．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2,0)C 直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC∆的面积最大时，tan α=( )A．3B．2CD ．76．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ） A．BC．D 7．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)B．2⎛ ⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 8．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．59．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（ ） A．2+BC．4+D．10．动点1293cos 4sin 1,cos sin 2(55M θθθθθ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭为参数）的轨迹的普通方程为（ ）A ．22(1)(2)1259x y +-+=B ．22(1)(2)1259x y -++=C ．22(1)(2)1925x y +-+=D ．22(1)(2)1925x y -++=11．在平面直角坐标系中，参数方程2211x ty t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数）表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一条线段D ．一条射线12．椭圆221169x y +=上的点到直线34x y += ）A ．0B．5C．D．245- 二、填空题13．已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，l 与圆224x y +=相交与两点,A B ，则点P 到,A B 两点的距离之积为____.14．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为______. 15．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．16．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．17．若实数x 、y 满足2214xy +=，则()()121x y ++的取值范围是_________.18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C 的直角坐标方程为__________19．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，则圆C 的圆心到直线l 的距离为______.20．直线3,423x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），点C 在椭圆2214x y +=上运动，则椭圆上点C 到直线l 的最大距离为______.三、解答题21．已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在平面直角坐标系xOy 中，()1,2P ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与曲线M 交于A ，B 两点. （1）求曲线M 的直角坐标方程；（2）求PA PB ⋅的值.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l的参数方程为：24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两曲线相较于M ，N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若()2,4P --，求PM PN +的值.23．已知曲线2cos ,:2sin ,x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设曲线C 经过伸缩变换,12x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C '的极坐标方程；（2）若,A B 是曲线C '上的两个动点，且OA OB ⊥，求22|OA OB +的最小值． 24．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的极坐标方程；（2）已知点()1,0M ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求MA MB -的值．25．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为6cos 1sin x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 是圆C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最小值．26．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 2313co -s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y 的最大值为133+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入2x y +得：（其中）=，故知2x y +22考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．3．A解析：A 【分析】本题首先可以求出曲线C 的直角坐标方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据韦达定理得出12t t +以及12t t 的值，再然后根据PM 、MN 、PN 成等比数列得出21212t t t t -=，最后将12t t +以及12t t 的值带入21212t t t t -=中，通过计算即可得出结果. 【详解】因为曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>所以曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>将直线l的参数方程242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线C 的直角坐标方程得：()2116402t t a -++=， 设交点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t ，则()122t t +=，()122164t t a =+， 因为PM 、MN 、PN 成等比数列，所以21212t t t t -=，即212125t t t t =+，()()2410164a =+，解得1a =或4a =-（舍取），故满足条件的1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查韦达定理以及等比中项的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.4．B解析：B 【分析】将直线84:1x tl y t =+⎧⎨=-⎩，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】84:1x t l y t=+⎧⎨=-⎩ 可得：4120x y +-=根据点到直线距离公式，可得C 上的点到直线l 的距离为=≤=【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.5．D解析：D 【分析】先将直线直线l 与曲线C 转化为普通方程，结合图形分析可得，要使ABC ∆的面积最大，即要ACB ∠为直角，从而求解出tan α． 【详解】解：因为曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 两边同时乘以ρ，可得24cos ρρθ=，所以曲线C 的普通方程为22(2)4(02)x y y -+=， 曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的上半个圆. 因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），所以直线l 的普通方程为tan tan 0x y αα-+=，因为1sin 2sin 2ABCS CA CB ACB ACB ∆， 所以当ACB ∠为直角时ABC ∆的面积最大，此时C 到直线l 的距离22222AB CA CB d +=== ，因为直线l 与x 轴交于()1,0D -， 所以3CD =，于是7DE = 所以214tan 7α==， 故选D ． 【点睛】本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想．6．B解析：B 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论．【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=，∴BC ==B ． 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．7．D解析：D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.8．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线2241x y +=化为极坐标方程，设12(,),(,)2A B πρθρθ+，可将2211OAOB+表示为θ的函数，可得答案. 【详解】解：将曲线2241x y +=化为极坐标方程得：2222cos 4sin 1ρθρθ+=，可得2221cos 4sin ρθθ=+，由OA OB ⊥，可设12(,),(,)2A B πρθρθ+,可得2211OAOB+=221211+ρρ=2222cos 4sin +cos +4sin +22ππθθθθ++（）（）=5， 故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.9．A解析：A 【分析】首先求出曲线T 的直角坐标系方程，设点(4cos ,sin )M αα，求出点M 到直线T 的距离，利用三角函数即可求出点M 到直线T 的距离的最大值． 【详解】由曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，可得曲线T 的直角坐标方程为2200x y +-=，由于点M 为曲线C 的一个动点，故设点(4cos ,sin )M αα， 则点M 到直线T 的距离：2sin()d αϕ===+-所以当sin()1αϕ+=-时，距离最大max 2d =+，点M 到直线T的距离的最大值为2+故答案选A 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的相关知识，考查推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．10．A解析：A 【分析】先设1293cos 4sin 1,cos sin 255x y θθθθ=--=++，再利用三角函数的同角关系消去参数即可得解. 【详解】设1293cos 4sin 1,cos sin 255x y θθθθ=--=++ 可得2222(1)(3cos 4sin )9cos 16sin 24sin cos x θθθθθθ+=-=+-，（1）22225(2)16cos 9sin 24sin cos 9y θθθθ-=++，（2） （1）+（2）可得：2225(2)(1)916259y x -++=+=，化简得：22(1)(2)1259x y +-+=.故选A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，属于基础题.11．D解析：D 【分析】参数方程2211x t y t⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，1,1x y ≤≥，故表示的曲线是射线. 【详解】将参数方程2211x t y t⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，其中1,1x y ≤≥，又点(1,1)在直线上，故表示的曲线是以(1,1)为起点的一条射线 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，但互化时一定要注意消去参数，得到的普通方程中x, y 的范围，本题中20t ≥，所以消去参数得到的方程为一条射线，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.12．B解析：B 【分析】利用椭圆的参数方程设出椭圆上的点的坐标()4cos ,3sin P θθ，再由点到直线距离公式得到d =. 【详解】因为椭圆方程221169x y +=，所以椭圆的参数方程为：4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，设P 为椭圆上任意一点，设()4cos ,3sin P θθ，则P点到直线34x y +=的距离d ==当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 有最小值，即min d = 故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，点到直线距离的最值，考查了学生的计算能力，属于一般题.二、填空题13．2【分析】由题意可得出直线的参数方程再代入圆的方程利用根与系数的关系及直线参数方程的几何意义即可求出【详解】因为直线经过点倾斜角所以直线的参数方程为：（为参数）代入圆得到：设对应的参数分别为则所以故解析：2 【分析】由题意可得出直线的参数方程，再代入圆的方程，利用根与系数的关系及直线参数方程的几何意义即可求出. 【详解】因为直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，所以直线l的参数方程为：1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入圆224x y +=得到：2(120t t +-=，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则(121t t +=-+，122t t =-， 所以122PA PB t t ⋅=⋅= 故答案为：2 【点睛】本题考查了直线的参数方程以及几何意义，属于一般题.14．【分析】椭圆为参数）的普通方程为利用特殊位置进行求解即可【详解】椭圆为参数）的普通方程为当直线的斜率不存在时直线代入可得故答案为：【点睛】本题考查椭圆参数方程与普通方程互化考查转化与化归思想考查逻辑解析：43【分析】椭圆2cos :(x C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）的普通方程为22143x y +=，利用特殊位置进行求解即可． 【详解】椭圆2cos :(x C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）的普通方程为22143x y +=，当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =，代入22143x y +=，可得32y =±32m n ∴==， ∴1143m n +=． 故答案为：43【点睛】本题考查椭圆参数方程与普通方程互化，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用特殊化进行求解，可简化解题过程．15．【解析】【分析】求出抛物线直角坐标方程为直线的直角坐标方程为由此能求出点F 到直线l 的距离【详解】抛物线参数方程为为参数焦点为F 抛物线直角坐标方程为直线l 的极坐标方程为直线的直角坐标方程为点F 到直线l【解析】 【分析】求出抛物线直角坐标方程为24y x =，()1,0F ，直线的直角坐标方程为10x y -+=，由此能求出点F 到直线l 的距离． 【详解】抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，∴抛物线直角坐标方程为2y 4x =，()F 1,0，直线l的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ρθθ22⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭∴直线的直角坐标方程为x y 10-+=， ∴点F 到直线l 的距离为：d ==【点睛】本题考查点到直线的距离的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．【分析】将参数方程变形为两式平方再相减可得出曲线的普通方程【详解】将参数方程变形为两等式平方得上述两个等式相减得因此所求普通方程为故答案为：【点睛】本题考查参数方程化为普通方程在消参中常用平方消元法解析：22221x y a b-=【分析】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得2222222211241124x t a t y t b t ⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，上述两个等式相减得22221x y a b -=，因此，所求普通方程为22221x y a b -=，故答案为：22221x y a b-=.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】利用椭圆的参数方程设代入所求代数式换元可得出将代数式转化为关于的二次函数在区间上的值域来处理【详解】设则设则其中由于二次函数当时；当时因此的取值范围是故答案为【点睛】本题考查椭圆参数方程的应解析：3,32⎡-+⎢⎣. 【分析】利用椭圆的参数方程，设2cos x θ=，sin y θ=，代入所求代数式，换元sin cos t θθ=+4πθ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭，可得出21sin cos 2t θθ-=，将代数式转化为关于t 的二次函数在区间⎡⎣上的值域来处理.【详解】设2cos x θ=，sin y θ=，则()()()()()1212cos 12sin 14sin cos 2sin cos 1x y θθθθθθ++=++=+++，设sin cos 4t πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 则()22sin cos 12sin cos t θθθθ=+=+，21sin cos 2t θθ-∴=，()()2211214212212t x y t t t -++=⨯++=+-，其中t ⎡∈⎣，由于二次函数2213221222y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当12t =-时，min 32y =-；当t =时，2max 213y =⨯+=+.因此，()()121x y ++的取值范围是3,32⎡-+⎢⎣，故答案为3,32⎡-+⎢⎣. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数的值域问题以及二次函数的值域，本题用到了两次换元，同时要注意()2sin cos 12sin cos 1sin 2θθθθθ±=±=±关系式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18．【解析】分析：利用同角三角函数关系式中的平方关系消去参数求曲线C 的直角坐标方程详解：由线的参数方程为（为参数）利用可得曲线C 的直角坐标方程为点睛：该题考查的是有关曲线的参数方程向普通方程的转化在解题解析：221416x y +=.【解析】分析：利用同角三角函数关系式中的平方关系，消去参数求曲线C 的直角坐标方程.详解：由线C 的参数方程为2,4x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），利用22cos sin 1θθ+=可得曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=.点睛：该题考查的是有关曲线的参数方程向普通方程的转化，在解题的过程中，对应的关键步骤就是消参，用到的知识点就是三角函数的平方关系.19．【解析】直线l 的参数方程为（t 为参数）普通方程为x ﹣y+1=0圆ρ=﹣4cosθ即ρ2=﹣4ρcosθ即x2+y2+4x=0即（x+2）2+y2=4表示以（﹣20）为圆心半径等于2的圆∴圆C 的圆心到解析：12． 【解析】直线l的参数方程为12{12x ty t =-+=（t 为参数），普通方程为x，圆ρ=﹣4cosθ 即ρ2=﹣4ρcosθ，即 x 2+y 2+4x=0，即 （x+2）2+y 2=4， 表示以（﹣2，0）为圆心，半径等于2的圆．∴圆C 的圆心到直线l=12，故答案为：12． 20．【分析】将直线的参数方程改为直线的一般方程设椭圆上点坐标利用点到直线的距离公式进行计算可得最大值【详解】由得得设则点到的距离其中即椭圆上点到直线的最大距离为故答案为：【点睛】本题考查椭圆的参数方程的【分析】将直线的参数方程改为直线的一般方程，设椭圆上点C 坐标()2cos ,sin C θθ，利用点到直线的距离公式进行计算可得最大值. 【详解】由3,423x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩得4233x y =⨯+，得2340x y -+=，设()2cos ,sin C θθ，则点C 到AB的距离d ==≤=4tan 3ϕ=-.即椭圆上点C 到直线l【点睛】本题考查椭圆的参数方程的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查正弦函数的性质，属于基础题.三、解答题21．（1）()2224x y -+=（2）1 【分析】(1)由极坐标和直角坐标的互化，可得曲线M 的方程;(2)将直线的参数方程代入曲线方程，结合参数的几何意义，以及韦达定理可得所求值. 【详解】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=， ∴224x y x +=，即()2224x y -+=，此即为曲线M 的直角坐标方程.（2）将122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()2224x y -+=并整理得210t ++=， 由t 的几何意义得121PA PB t t ⋅=⋅=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的运用，考查化简运算能力，属于中档题.22．（Ⅰ）24y x =；20x y --=；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）根据cos x ρθ=、sin y ρθ=，求得曲线C 的直角坐标方程，用代入法消去直线l 参数方程中的参数t 得到其普通方程；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得到2480t -+=，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，利用韦达定理以及12PM PN t t +=+，计算即可求得结果. 【详解】（Ⅰ）根据cos x ρθ=、sin y ρθ=， 求得曲线C 的直角坐标方程为24y x =，用代入法消去参数求得直线l 的普通方程20x y --=．（Ⅱ）直线l的参数方程为：224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入24y x =，得到2480t -+=，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=1248t t ⋅=，∴12PM PN t t +=+= 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程与参数方程的应用，属于基础题型. 23．（1）ρ=；（2）165【分析】（1）先求出曲线C '的普通方程，再把它化成极坐标方程得解；（2）设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求出22||||OA OB + 22094sin 24θ=+，再求函数的最小值得解. 【详解】解：（1）曲线C 的普通方程为224x y +=，曲线C '的普通方程为22(2)4x y +=，即2214x y +=，曲线C '的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=，即ρ=．（2）设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 2222122244||||13sin 13cos OA OB ρρθθ+=+=+++22016954sin 24θ=≥+， 所以，当sin 21θ=±时，22||||OA OB +取到最小值165． 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查极坐标方程的最值问题的求解，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 24．（1）10x y --=，4cos ρθ=．（2【分析】（1）消去参数方程中的参数，求得直线l 与圆C 的普通方程，根据直角坐标方程和极坐标方程的转化公式，求得圆C 的极坐标方程.（2）将直线l 的参数方程代入圆的普通方程，化简后写出根与系数关系，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得MA MB -的值． 【详解】（1）由122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相减并化简得直线l 的普通方程为：10x y --=，由22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，消去参数α，得圆C 的普通方程为：()2224x y -+=2240x y x ⇒+-=，所以圆C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）把直线的参数方程1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）带入到圆C 的普通方程：()2224x y -+=中化简可得：230t -=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=123t t =-，∵1t ，2t 异号，∴1212MA MB t t t t -=-=+=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查直线参数方程中参数的几何意义的运用，属于中档题.25．（1）圆C 的普通方程为()()22611x y +++=；直线l 的直角坐标方程为20x y -+=；（21-． 【分析】（1）在圆C 的参数方程中消去参数t ，可得出圆C 的普通方程，将直线l 的极坐标方程变形为cos sin 20ρθρθ-+=，进而可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 的坐标为()6cos ,1sin t t -+-+，利用点到直线的距离公式以及正弦函数的有界性可求出结果． 【详解】（1）由6cos 1sin x t y t=-+⎧⎨=-+⎩消去参数t ，得()()22611x y +++=，所以圆C 的普通方程为()()22611x y +++=．由sin 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． （2）设点P 的坐标为()6cos ,1sin t t -+-+， 则点P 到直线l的距离为d ==sin 4t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当sin 14t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d取最小值，min 12d =-． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．26．（Ⅰ）22149x y +=，260x y +-=.（Ⅱ. 【分析】（Ⅰ）曲线C 的参数方程消去参数，能求出曲线C 的普通方程；直线l 的极坐标方程化为2cos sin 6ρθρθ+=，利用cos ,sin x y ρθρθ==求出直线l 的直角坐标方程.（Ⅱ）设()2cos ,3sin P ϕϕ，则P 到直线l 的距离：d =，由此能求出点P 到直线l 距离的最大值与最小值. 【详解】（Ⅰ）∵曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），∴曲线C 的普通方程为22149x y +=，∵直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=，∴2cos sin 6ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为260x y +-=. （Ⅱ）∵点P 是曲线C 上的动点，∴设()2cos ,3sin P ϕϕ，则P 到直线l 的距离：d ==，∴当()sin 1ϕθ+=-时，点P 到直线l 距离取最大值max d ==；当()sin 1ϕθ+=时，点P 到直线l 距离取最小值min d == 【点睛】本题主要考查考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化以及曲线上的点到直线的距离的最值的求法，还考查了运算求解能力，属于中档题.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．椭圆22:1169x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( )A ．181225+ B ．161025- C ．181225- D ．161025+ 2．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） A ．13B ．135+C ．3D ．133+3．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C ：3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（ ） A ．522B ．22C ．2D ．3224．已知22451x y +=，则25x y +的最大值是（ ） A ．2B ．1C ．3D ．95．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．6．已知(,)P x y 是椭圆3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P 到340x y --=的距离的最大值为（ ） A ．426+ B ．23+C ．426- D ．23-7．曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．8．已知点()1,2A -，()2,0B ，P为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C．1,3⎡+⎣D．1,3⎡-+⎣9．曲线的参数方程为2211x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），则曲线是（ ）．A ．抛物线B ．双曲线的一支C ．圆D ．直线10．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．2404424b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b11．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线15:1x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（ ）A ．2BC1D12．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和直线:x tl y t b=⎧⎨=+⎩（t 为参数，b 为实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ） AB．C ．0D．二、填空题13．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t=⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4πρθ-=直线l被曲线C 截得的线段长为_______14．已知直线l 的参数方程为：21x aty a t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若它们总有公共点 ，则a 取值范围是___________． 15．已知直线l 的参数方程为22212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 16．直线1{2x t y t =-=-（t 为参数）与曲线3{2x cos y sin θθ==（θ为参数）的交点个数是_______．17．直线被圆所截得的弦长为 ．18．点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离是__________________．19．若点P （x ，y ）在曲线（θ为参数，θ∈R ）上，则的取值范围是_____．20．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆2212x y +=两个不同的动点，且满足11222x y x y ⋅+⋅=-2212x x +的值是_____． 三、解答题21．选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位， 已知曲线1C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的极坐标方程为()cos 2sin 20ρθθ++=.曲线2C 的图象与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点.（1）判断,A B 两点与曲线1C 的位置关系；（2）点M 是曲线1C 上异于,A B 两点的动点，求MAB ∆面积的最大值. 22．已知直线l 的方程为4y x =+，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；（2）若P 为圆C 上的动点，求P 到直线l 的距离d 的最大值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN 的面积．24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,2sin x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos21ρθ=．（1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C ，求PQ 的最小值．25．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 26．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos m ρθθ=+.（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若1C 与2C 交于P ，Q 两点，求11OQ OP k k +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，再利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可得答案. 【详解】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，则点P 到直线l的距离12cos 12sin 185d θθ++==1818455πθ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=≥，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，等号成立. 因为[)0,2θ∈π，所以54πθ=. 所以当54πθ=时，d取得最小值185-. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意点的参数设法及三角函数的有界性运用.2．D解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题3．C解析：C 【分析】设点,sin )Q θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.由曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，设点,sin )Q θθ，则点Q 到直线:40l x y +-=的距离为d ==，当2,6k k Z πθπ=+∈时，min d ==故选：C. 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.4．A解析：A 【分析】设1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值. 【详解】22451x y +=，则设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 5．D【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(有答案解析)(4)
一、选择题1．已知直线l的参数方程为22x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（ ） A ．1BCD ．22．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（ ） A．2B．2CD．23．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个5．直线l ：30x y ++=被圆C ：1424x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为（ ）A．B．C．D ．86．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)227．直线1sin 702cos70x t y t ⎧=+⎨=+⎩（t 为参数）的倾斜角为( )A ．70 B ．20 C ．160 D ．1108．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A．⎡⎢⎣⎦ B ．0tan 60x = C．D ．:::2x r r q q q e αα==9．直线22{x ty t=+=-（t 为参数）被曲线4cos p θ=所截的弦长为( )A ．4BCD ．810．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈11．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和直线:x t l y t b =⎧⎨=+⎩（t 为参数，b 为实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ）AB．C ．0D．二、填空题13．已知直线l 的参数方程为：21x aty a t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若它们总有公共点 ，则a 取值范围是___________． 14．若直线y x b =+与曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，且1212,328t t t t a +==+有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_________．15．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________16．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．18．无论k 取任何实数，直线2y kx =+与椭圆()2 θx cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数恒有交点，则实数m 的取值范围是_____。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(有答案解析)(2)
一、选择题1．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．11D ．222．已知22451x y +=，则25x y +的最大值是（ ） A ．2B ．1C ．3D ．93．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） A ．33B ．33-C ．3D ．33±4．过椭圆C ：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定5．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（ ） A ．245+B ．1345+C ．445+D ．656．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩点(43,31)Q m m +-，则||PQ 的最小值为( ) A ．2B ．115C ．95D ．17．曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．8．已知直线l 的参数方程为3332112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．33(,)-9．已知直线3:2x tl y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+10．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（ ） A ．0B ．14C ．2D ．2211．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离12．曲线1cos {2sin x y θθ=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______ 15．若直线y x b =+与曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，且12128222,328t t a t t a+=+=+有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_________． 16．直线被圆所截得的弦长为 ．17．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极坐标为42,4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为12cos {2sin x y αα=+=（α为参数），则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 ． 18．坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为___________19．P 是直线l ：40x y +-=上的动点，Q 是曲线C ：3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，PQ 的最小值是______.20．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 2tan (0)a a ρθθ=>．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设(1,0)P ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求实数a 的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1232x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P 的极坐标是2152,33π⎛⎫⎪⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN 的面积．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程：122312x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 25．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为6cos 1sin x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 204πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 是圆C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最小值．26．已知直线l 的参数方程为22242x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（Ⅰ）求出直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设()0,4P -，求PA PB +的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入2x y +得：（其中）=，故知2x y +22考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．2．A解析：A 【分析】设1cos 255x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则25cos sin 24x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值. 【详解】22451x y +=，则设1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，则25cos sin 24x y πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即21010x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2 故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 3．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。
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最新北师大版高中数学选修4-4测试题全套及答案第一讲一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫4，π3 B ．⎝⎛⎭⎫4，4π3 C ．⎝⎛⎭⎫－4，－2π3 D ．⎝⎛⎭⎫4，2π3 解析： 由直角坐标与极坐标互化公式： ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝3， 因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.答案： B2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③ 解析： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案： D3．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换( )A ．⎩⎨⎧5x ′＝2x 2y ′＝yB ．⎩⎨⎧2x ′＝5x y ′＝2yC ．⎩⎨⎧2x ′＝x5y ′＝2xD ．⎩⎨⎧5x ′＝2x2y ′＝y解析： 方法一：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y 22＝4，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 52＋⎝⎛⎭⎫y 22＝4， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝y2，得x ′2＋y ′2＝4，即x 2＋y 2＝4，∴伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y 为所求．方法二：将x 2＋y 2＝4改写为x ′2＋y ′2＝4，设满足题意的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′2＋y ′2＝4得λ2x 2＋μ2y 2＝4， 即λ2x 24＋μ2y 24＝1，与椭圆x 210＋y 28＝1比较系数得⎩⎨⎧ λ24＝110，μ24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝25，μ＝12，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝12y ，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y. 答案： D4．极坐标方程4ρsin 2θ2＝5表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线解析： 若直接由所给方程很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究．4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，化为直角坐标方程：2x 2＋y 2－2x ＝5，化简，得y 2＝5x ＋254.故该方程表示抛物线． 答案： D5．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4B ．7C ．2 2D ．23解析： ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝2 2. 答案： C6．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ解析： 由点P 的坐标可知，过点P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1，故选C ．答案： C7．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A ．22B ．2C ．2D ．22解析： 圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)，如图所示，|OC |＝2，在Rt △COD 中，∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4，∴|CD |＝ 2. 答案： B8．在极坐标中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析： 圆ρ＝4sin θ的圆心为⎝⎛⎭⎫2，π2，半径为r ＝2， 对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直线y ＝2，与圆相交； 对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线x ＝2，与圆相切； 选项C ，D 对应的直线与圆相离． 答案： B9．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( ) A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r解析： 圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2① 圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－2r ⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ)． 两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0② ①－②整理得2(x ＋y )＝－r ， 即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r . 答案： D10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝⎛⎭⎫1，π2的最近距离等于( )A ．2－1B ．5－1C ．1D ．2解析： 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径，即2－1.答案： A二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)11．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________.解析： 三条直线在直角坐标系下的方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1.如图可知， S △POQ ＝12×|OQ |×|y p |＝12×1×33＋1＝3－34. 答案：3－3412．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标 ________.解析： 依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12＝6－24，sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2，y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2. ∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)． 答案： (6－2，6＋2)13．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为 ________.解析： 数形结合，易知所求轨迹是以⎝⎛⎭⎫a 2，0为圆心，a2为半径的圆．求得方程是ρ＝a cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2. 答案： ρ＝a cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 14．点A 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－332，92，3，则它的球坐标为 ________.解析： r ＝⎝⎛⎭⎫3322＋⎝⎛⎭⎫922＋32＝6. cos φ＝36＝12，∴φ＝π3.tan θ＝92332＝3，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫6，π3，π3. 答案： ⎝⎛⎭⎫6，π3，π3 三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线，由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)．求直线l 的极坐标方程．解析： 在直线l 上任取一点M (ρ，θ)．在直角三角形OMA 中， 由三角知识得ρcos(α－θ)＝d ，即ρ＝dcos (α－θ).这就是直线l 的极坐标方程．16．(12分)在平面直角坐标系中，已知点A (3,0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且∠AOP 的平分线交P A 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程．解析： 以圆心O 为极点，x 轴正半轴为轴建立坐标系， 设Q (ρ，θ)，P (1,2θ)． 因为S △OAQ ＋S △OQP ＝S △OAP ，所以12·3ρ·sin θ＋12ρ·sin θ＝12×3×1×sin2θ.整理得ρ＝32cos θ.17．(12分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．解析： ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝⎛⎭⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝⎛⎭⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.18．(14分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析： (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1， 得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)； 当θ＝π2时，ρ＝233，得N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .第二讲一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析： ∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x ，∴表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t得到直线3x ＋y ＝－1. 答案： A2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A ．7 2B ．4014C ．82D ．93＋43解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t⇒⎩⎨⎧x ＝－2＋22·2t ，y ＝1－22·2t ，令t ′＝2t ，把⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝1－22t ′代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25. 整理，得t ′2－72t ′＋4＝0， |t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝82. 答案： C3．点集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ是参数，0＜θ＜π)，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则b 满足( )A ．－32≤b ≤3 2B ．－3＜b ＜32C ．0≤b ≤3 2D ．－3＜b ≤32解析： 用数形结合法解． 答案： D4．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)上的两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且AP→＝λPB →(λ≠－1)，则点P 所对应的参数为( )A ．t 1＋t 22B ．t 1＋t 21＋λC ．t 1＋λt 21＋λD ．t 2＋λt 11＋λ答案： C5．已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪y x ·y x －2＝－1， C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(ρ，θ)⎪⎪ρ＝2cos θ，θ≠k π4，k ∈Z ， D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z ， 下列等式成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝D C ．A ＝CD ．B ＝C解析： 集合B 与D 都是曲线(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0，x ≠2)． 答案： B6．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．4πD ．9π解析： 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)， ①0＝r (sin φ－φcos φ). ② ①×cos φ＋②×sin φ得r ＝3， 所以基圆的面积为9π. 答案： D7．过抛物线⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝3t(t 为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )A ．π3B ．π3或2π3C ．π6D ．π6或5π6解析： 将抛物线的参数方程化成普通方程为y 2＝32x ，它的焦点为⎝⎛⎭⎫38，0.设弦所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －38，由⎩⎨⎧y 2＝32x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －38，消去y ，得64k 2x 2－48(k 2＋2)x ＋9k 2＝0，设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34·k 2＋2k 22－916＝2 解得k ＝± 3.故倾斜角为π3或2π3答案： B8．下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θy ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A ．y 23－x 29＝1B ．y 23－x 29＝－1C ．y 23－x 2＝1D ．y 23－x 2＝－1解析： 双曲线的普通方程为x 23－y 21＝1离心率为23＝233，渐近线为y ＝±33xB 中y 23－x 29＝－1即x 29－y 23＝1其离心率为233，渐近线为y ＝33x ， 故与原双曲线的离心率及渐近线相同． 答案： B9．已知点P 在椭圆x 2＋8y 2＝8上，且P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最小，则P 点坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫－83，13 B ．⎝⎛⎭⎫13，83C ．(0，±1)D ．(±22，0)解析： 设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θy ＝－2＋5sin θ(θ为参数)取x －2y ＝1＋5cos θ＋4－25sin θ ＝5＋5cos θ－25sin θ ＝5＋5sin(θ－φ)． 故最大值为10. 答案： B10．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋3解析：把直线参数方程化为⎩⎨⎧x ＝－32t ′，y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，求得t ′1＋t ′2＝－4(2＋3)，t ′1t ′2＝16>0，知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t ′1|＋|t ′2| ＝|t ′1＋t ′2|＝4(2＋3)． 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．如图所示，齿轮的廓线AB 为圆的渐开线的一段弧．已知此渐开线的基圆的直径为225 mm ，则此渐开线的参数方程为________.答案： ⎩⎨⎧x ＝2252(cos t ＋t sin t )y ＝2252(sin t －t cos t )(t 为参数)12．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ＋1，x ＝cos θ(θ是参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________.解析： 由题意知，曲线C ： x 2＋(y －1)2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0，所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0， 化简得ρ＝2sin θ. 答案： ρ＝2sin θ13．点M (x ，y )在椭圆x 212＋y 24＝1上，则点M 到直线x ＋y －4＝0的距离的最大值为________，此时点M 的坐标是________.解析： 椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则点M (23cos θ，2sin θ)到直线 x ＋y －4＝0的距离 d ＝|23cos θ＋2sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－42.当θ＋π3＝32π时，d max ＝42，此时M (－3，－1)． 答案： 42 (－3，－1)14．若曲线y 2＝4x 与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β(t 为参数)相切，则cos αcos β＝________.解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β，∴x －2y ＋4＝2cos αcos β＝2m ，其中m ＝cos αcos β，∴x ＝2＋2my ＋8m ，代入y 2＝4x ， 得y 2＝4(2＋2my ＋8m )， y 2－8my －8－32m ＝0. ∵直线与曲线相切，∴Δ＝(－8m )2－4×(－8－32m ) ＝64m 2＋4×8(1＋4m )＝0， 2m 2＋4m ＋1＝0，∴(m ＋1)2＝12，m ＝－1±22，∴cos αcos β＝－1±22. 答案： －1±22三、解答题(本大题共4题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ＋m y ＝22t(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，试求实数m 的值． 解析： (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 直线l 的直角坐标方程为y ＝x －m (2)m ＝1或m ＝316．(12分)求椭圆4x 2＋y 2－8x cos θ－4y sin 2θ－sin 22θ＝0中心的轨迹方程(θ为参数)，并证明无论θ取何值，椭圆的大小、形状保持不变．解析： 椭圆方程可化为4(x －cos θ)2＋(y －2sin 2θ)2＝4， 即(x －cos θ)2＋(y －2sin 2θ)24＝1， 故椭圆中心的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin 2θ，消去θ得y ＝2－2x 2(|x |≤1)． 对于所给椭圆无论θ如何变化，它的长轴长始终为4，短轴长为2，离心率32. 因此椭圆的大小形状保持不变．17．(12分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ；(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程； (2)若P (x ，y )是曲线C 上的一个动点，求x ＋2y 的最大值． 解析： (1)曲线的极坐标方程ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ， 即4ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝36， ∴4x 2＋9y 2＝36， ∴x 29＋y 24＝1. (2)设P (3cos θ，2sin θ)，则x ＋2y ＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)， ∵θ∈R ，∴当sin(θ＋φ)＝1时，x ＋2y 的最大值为5.18. (14分)如图所示，设矩形ABCD 的顶点C ，坐标为(4,4)，点A 在圆x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)上移动，且AB ，AD 两边分别平行于x 轴，y 轴，求矩形ABCD 面积的最小值及对应点A 的坐标．解析： 设A (3cos θ，3sin θ)(0＜θ＜90°) 则|AB |＝4－3cos θ，|AD |＝4－3sin θ S ＝|AB |·|AD |＝(4－3cos θ)(4－3sin θ) ＝16－12(cos θ＋sin θ)＋9cos θ·sin θ. 令t ＝cos θ＋sin θ(1≤t ≤2)， 则2cos θ·sin θ＝t 2－1∴S ＝16－12t ＋92(t 2－1)＝92t 2－12t ＋232＝92⎝⎛⎭⎫t －432＋72∴t ＝43时，矩形ABCD 的面积S 取得最小值72.此时⎩⎨⎧ cos θ＋sin θ＝43，cos θ·sin θ＝718，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝4±26sin θ＝4∓26∴对应A 坐标为⎝⎛⎭⎫2＋22，2＋22或⎝⎛⎭⎫2－22，2＋22.模块综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关坐标系的说法，错误的是() A ．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆 B ．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小 C ．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程 D ．同一条曲线可以有不同的参数方程解析： 直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．答案： C2．把函数y ＝12sin2x 的图象经过________变化，可以得到函数y ＝14sin x 的图象．( )A ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的2倍B ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的12倍D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的12解析： 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y ＝12sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y ＝12sin x 的图象，再把纵坐标缩短为原来的12，得到y ＝14sin x 的图象． 答案： D3．极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形是( ) A ．一个圆与一条直线 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两条直线解析： 所给方程可以化为(ρ－2)(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sin θ.化成直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4和x 2＋y 2－y ＝0，可知分别表示两个圆．答案： C4．在极坐标系中，如果一个圆方程是ρ＝4cos θ＋6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρsin θ＝3B ．ρsin θ＝－3C ．ρcos θ＝2D ．ρcos θ＝－2答案： A5．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ知x ＝2＋y (2≤x ≤3)所以y ＝x －2 (2≤x ≤3)． 答案： C6．经过点M (1,5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎩⎨⎧ x ＝1＋12t y ＝5－32tB ．⎩⎨⎧ x ＝1－12t y ＝5＋32tC ．⎩⎨⎧x ＝1－12ty ＝5－32tD ．⎩⎨⎧ x ＝1＋12ty ＝5＋32t解析： 根据直线参数方程的定义，易得⎩⎨⎧x ＝1＋t ·cosπ3y ＝5＋t ·sin π3，即⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝5＋32t .答案： D 7．x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3x ，后所得图形的焦距( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析： 变换后方程变为：x 24＋y 29＝1，故c 2＝a 2－b 2＝9－4＝5，c ＝5， 所以焦距为2 5. 答案： C8．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，则|BC |的值为( )A ．27B ．30C ．7 2D ．302解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°⇒⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′y ＝－1＋12t ＝－1＋22t (t ′为参数)．代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0， ∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2＋4×3＝30，故选B ．答案： B9．已知P 点的柱坐标是⎝⎛⎭⎫2，π4，1，点Q 的球面坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，π4，根据空间坐标系中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2，可知P 、Q 之间的距离为( )A ． 3B ．2C ． 5D ．22解析： 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P 点的柱坐标转化为空间直角坐标(2，2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空间直角坐标⎝⎛⎭⎫22，22，0，代入两点之间的距离公式即可得到距离为 2. 答案： B10．如果直线ρ＝1cos θ－2sin θ与直线l 关于极轴对称，则直线l 的极坐标方程是( )A ．ρ＝1cos θ＋2sin θB ．ρ＝12sin θ－con θC ．ρ＝12cos θ＋sin θD ．ρ＝12cos θ－sin θ解析： 由ρ＝1cos θ＋2sin θ知ρcos θ＋2ρsin θ＝1，∴x ＋2y ＝1. 答案： C11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋4sin φ)，y ＝2(sin φ－4cos φ).(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).(θ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ).(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(θ－sin θ)，y ＝4(1－cos θ).(θ为参数)解析： 圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ).(φ为参数).答案： A12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′，且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其他点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )A ．AB B ．BC C ．CDD ．DA解析： ∵x ≤x ′且y ≥y ′，∴点P (x ，y )在点P ′(x ′，y ′)的左上方． ∵Ω中不存在优于Q 的点，∴点Q 组成的集合是劣弧AD ，故选D ． 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上)13．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则极点到该直线的距离是________ 解析： 对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程．极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22， 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：2214．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.解析： 直线：y ＝x ·tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12，∴α＝π6或56π.答案： π6或56π.15．已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.则圆的直角坐标方程为__________，直线l 和圆C 的位置关系为__________(填相交、相切、相离)．解析： (1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1.ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和⊙C 相交．答案： (x －1)2＋(y －1)2＝2；相交16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______.解析： 直线和圆的方程分别是x ＋y －6＝0，x 2＋(y －2)2＝22，所以圆心为(0,2)，其到直线的距离为d ＝|0＋2－6|1＋1＝2 2.答案： (0,2) 22三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)(1)化ρ＝cos θ－2sin θ.为直角坐标形式并说明曲线的形状； (2)化曲线F 的直角坐标方程：x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0为极坐标方程． 解析： (1)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ ∴x 2＋y 2＝x －2y 即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0 即⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫522 表示的是以⎝⎛⎭⎫12，－1为圆心，半径为52的圆． (2)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得 x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0的极坐标方程为：ρ2－5ρ－5ρcos θ＝0.18．(12分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫3，π9，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足OQ QP ＝23，求动点P 的轨迹方程．解析： (1)设M (ρ，θ)为圆C 上任意一点，如图，在△OCM 中，|OC |＝3，|OM |＝ρ，|CM |＝1，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪θ－π6，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ⎪⎪⎪⎪θ－π6，化简整理，得ρ2－6· ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程． (2)设Q (ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos ⎝⎛⎭⎫θ1－π6＋8＝0① 设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1) ＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ，代入①得425ρ2－6·25ρcos(θ－π6)＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－5π6＋50＝0为P 点的轨迹方程． 19．(12分)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程； (2)求点F 1，F 2到直线l 的距离之和． 解析： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2；曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322.点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2＝22，∴d 1＋d 2＝2 2.20．(12分)已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P 、M 两点间的距离； (2)求M 点的坐标； (3)求线段AB 的长|AB |.解析： (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设倾斜角为α，tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋35ty ＝45t(t 为参数)，∵直线l 与抛物线相交，把直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x ，整理得8t 2－15t －50＝0，设这个方程的两个根为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝158，t 1·t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516. (2)由(1)知，中点M 所对参数为t M ＝1516，代入直线的参数方程，M 点的坐标为⎩⎨⎧x ＝2＋35×1516＝4116y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎫4116，34.。