积分表积分公式推导
积分表127个公式的推导
高等数学积分表公式推导目 录（一）含有b ax +的积分（1~9）·······················································1 （二）含有bax +的积分（10~18） (5)（三）含有22a x ±的积分（19~21） (9)（四）含有)0( 2>+a b ax 的积分（22~28） (11)（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）········································14 （六）含有)0( 22>+a a x 的积分（31~44） (15)（七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）.........................................24 （八）含有)0( 22>-a x a 的积分（59~72）.........................................37 （九）含有)0( 2>++±a c bx a 的积分（73~78） (48)（十）含有 或))((x b a x --的积分（79~82）...........................51 （十一）含有三角函数的积分（83~112）...........................................55 （十二）含有反三角函数的积分（其中0>a )（113~121）.......................68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）..........................................73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）..........................................78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81)附录：常数和基本初等函数导数公式 (85)说明 (86)bx a x --±- 1 -（一）含有b ax +的积分（1~9）Cb ax ln ab ax dx b ax t Ct ln adtta b ax dx dta dx ,adx dt t tb ax abx x b ax )x (f C b ax ln ab ax dx .++⋅=++=+⋅==+∴=∴=≠=+-≠+=++⋅=+⎰⎰⎰⎰1111 1)0( }|{ 1 11代入上式得：将，则令的定义域为被积函数证明：C b ax μa dx b ax b ax t C t μa dtt a dx b ax dtadx ,adx dt t b ax μC b ax μa dx b ax .μμμμμμμ++⋅+=++=+⋅+==+∴=∴==+-≠++⋅+=++++⎰⎰⎰⎰111)()1( 1)()1( 11)( 1, 1)( )()1( 1)( 2代入上式得：将则令证明：()()()()()C b ax ln b b ax adx b ax x b ax t Ct ln b t aCt ln a ba t dtt badt a dtt b 1a dt a ·t b t a dx b ax x dtadx ,b t a x ,t t b ax abx |x b ax x )x (f C b ax ln b b ax adx b ax x .22222222++⋅-+=++=+⋅-=+⋅-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+∴=-=≠=+-≠+=++⋅-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1111 11111 )0( }{ 13代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：- 2 -Cb ax ln b b ax b b ax a dx b ax x C b ax ln ab b ax d b ax a b dx b ax b a C b ax ln ab x a b b ax d b ax ab dx a b ax d b ax bb ax a b dx b ax abx a C b ax a dx b ax a dxbax b a dx b ax abx a dx b ax a dxb ax b abx b ax adx b ax x Cb ax ln b b ax b b ax a dx b ax x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++-+=+++=++=+++-=++-=+-+=+++=++-+-+=+--+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ )( 2)(211 )(11 22 )(122 )(221 )(21)(1 121)(1 )2)(1 )( 2)(211 .4223233232222323323321232222222222232由以上各式整理得：证明：Cxbax ln b C b ax xln b Cb ax ln b x ln b )b ax (d b ax b dx x b dxbax b a dx x b dx )b ax (b a bx b ax x dx b abAb B Aa bx a x b ax b ax Bx b ax x abx |x b ax x )x (f Cxbax ln b b ax x dx .++⋅-=++⋅=++⋅-⋅=++-=+-=+⋅-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+⋅-≠+⋅=++⋅-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1 1 11 1111 111]1[)( B 1A 10 A B)(A B )A(1 , A )(1 }{ )(1 1)( 5于是有则设的定义域为被积函数证明：b log b log a a -=-1 提示：- 3 -C x b ax ln b a bx C b ax ln b a bx x ln b a b ax d b ax b a dx x b dx x b a dx b ax b a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b b a Bb aB Ab C Aa b aB Ab x a x Cx b ax b ax x b ax C x B x b ax x a bx x b ax x x f C x b ax ln b a bx b ax x dx ++⋅+-=++⋅+-⋅-=++++-=+++-=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=+∴=++++++++=+++=+⋅-≠+⋅=++⋅+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1 1 )(1111 1111)( 1B A 100 1B )( C)(A )B()( A 1 , A )(1 }|{ )(1)( 1)( .6222222222222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：Cb ax b b ax ln a Cb ax a bb ax ln a b ax d b ax a b b ax d b ax a dx b ax a b dx b ax a dx b ax x a bB aB Ab Aa x B Ab a x b ax x b ax Bb ax A b ax x a b x |x b ax x )x (f C b ax b b ax ln a dx b ax x .+⎪⎭⎫⎝⎛+++=++++⋅=++-++=+-+=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=∴=++⋅++=+++=+-≠+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1 )( 1 )( )(1)(11 )(111)( 1A 01 )(AB )A( ,)( )( }{ )( 1)( 72222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：- 4 -()C b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x b ax t C t b t ln b t aC t ln a b t a t a b dt t a b dt a dt t a b dt t a bt t b dx b ax x t a btt b t a t b b ax x dt adx ,b t a x ,t t b ax a b x |x b ax x )x (f C b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x .+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅-+=++=+-⋅-=+⋅-⋅+-=-+=-+=+∴-+=-=+∴=-=≠=+-≠+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⋅-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰23222333323323223222222222222222232221)( )2(121 12112)( 2)()( 11 )0( }{)( 21)( 8代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：C|xbax |ln ·b b ax b Cb ax ·b b||ax ln b|x|ln b dxb ax b adx b ax ba dx xb b ax x dx b a D b a B b A 1Ab 0D Bb Aab 20Ba Aa Ab D Bb Aab 2x Ba Aa x Dx Bbx Bax Aabx 2Ab x Aa Dxb ax Bx b ax A 1 b ax Db ax B x A b ax x a bx |x b ax x )x (f C|xbax |ln b b ax b b ax x dx .22222222222++-+=++++⋅-⋅=+-+-=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==++=+∴+++++=+++++=++++=++++=+-≠+=++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰2222222222221)(11111)(1111)( 1 )()( )()( )()(1 }{)(1 ·1)(1)( 9于是有则设：的定义域为证明：被积函数- 5 -（二）含有bax +的积分（10~18）Cb ax a C b ax a b ax d b ax a dx b ax C b ax a dx b ax ++⋅=++⋅+⋅=++=+++⋅=++⎰⎰⎰3121213)(32)(21111)()(1 )(32 .10证明：C b ax b ax a C b ax b b ax a dx b ax x b ax t C b t a t C t a b t a dt a b dt a dtbt t a dt a t t a b t dx b ax x t abt b ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x ++⋅-⋅=++⋅-+=++=+-=+⋅-⋅=-=-=⋅⋅-=+∴⋅-=+=-=≥=+++⋅-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰32322233252325224222232)()23(152 )(]5)(3[152 )53(152 ******** )(22 , 2 , , )0()()23(152 .11代入上式得：将则令证明：[]C b ax b abx x a ab ax b b abx b x a b ax a dx b ax x b ax t C bt b t at C t a b t a b t a C t a b t a b t a dt t a b dt t a b dt t a dtbt t b t t a dx b ax x a bt t b t t a b t b ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b abx x a a dx b ax x ++⋅+-⋅=+⋅-++++⋅=++=+-+⋅=+⋅-⋅+⋅=+⋅+⋅-⋅+⋅+⋅+⋅=--=-+⋅=+∴-+=⋅-=+=-=≥=+++⋅+-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++3222322223322243353332731432132163432326332532232522222322232)()81215(1052 )(4235301515 )(1052 )423515(1052 543272 411421126112 422 )2(22)( , 2 , , )0( )()81215(1052 .12代入上式得：将则令证明：- 6 -C b ax b ax a C b ax a b b ax b ax a dx b ax x b ax t Ct a b t a C t a b t a bdt a dt t a dt a tat b t dx b ax x dt at dx a b t x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x ++⋅-⋅=++⋅-+⋅+⋅=++=+⋅-⋅=+⋅-⋅+⋅=-=⋅-=+∴=-=>=+++⋅-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰+)()2(32 )(2)()(32 232 22112 22 2, 2 , , )0( )()2(32 .132222322122222222代入上式得：将则令证明：[]C b ax b abx x a a C b ax b ax b b abx b x a b ax a dx bax x b ax t C bt b t at Ct b t b t a dt t a b dt b a dt t a dtbt b t a dt a tt a b t dx bax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b abx x a a dx bax x ++⋅+-⋅=++⋅+⋅-+++⋅+⋅=++=+-+⋅=+-+=-+=-+=⋅⋅-=+∴=-=>=+++⋅+-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)()843(152)()(1015)2(3)(152)10153(152 )3251(2 422 )2(221)(, 2 , , )0( )()843(152 .142223222232224332532323432243222222232代入上式得：将则令证明：- 7 -⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-+⋅->+++-+⋅=++-+⋅-=++=+-⋅-=-+=-<+++-+⋅=++=++-⋅=-=->-=⋅⋅-=+∴=-=>=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅->+++-+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)0(2)0(1 2 , 12t2 )(122 0 .21 1 )(122 0b .1 221, 2 , , )0( )0(2)0(1 .15222222222b C bbax arctan bb C bb ax b b ax ln b b ax x dx C bbax arctan bb ax x dx b ax t Cb arctan b dt b t dt b t b Cbb ax b b ax ln b bax x dx b ax t Cb t bt ln b dt b t dt b t dtb t dta tt a b t bax x dx dt atdx a b t x t t b ax b C bbax arctan bb C bb ax b b ax ln b b ax x dx 得：综合讨论代入上式得：将，时当代入上式得：将，时当则令证明：C a x a x ln a ax dx ++-⋅=-⎰ 21 21 22：公式C a xarctan a a x dx +⋅=+⎰1 19 22：公式- 8 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-=+++-+-=+⋅++-+-=+++-+-=+-+-=+++-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==+∴++=+++=+⋅+-+-=+-b ax x dx b a bx b ax dxb ax x b a bx b ax dx b ax x b a dx b ax ax b bx b ax dx b ax x b a b ax d x b bx b ax dx bax x b a xd b ax b dx b ax x b a dx x b ax b dx bax x b a b ax x dx b b a Bb Ba A b ax x x b ax B b ax x b ax x b ax x dx b a bx b ax bax x dx 2 121 )(2111 111 11111 1B A 10 )B( A 1 , A 1 2 .162122222于是有则设证明：2 212 )(2 2122 122 1, 122 122 2 2 22 , , )0( 2 .172222222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+⋅-+++=++=⋅-+=-+=+∴-∴-+=-+=-+-=-=⋅-=+∴=-=≥=++++=+bax x dxb b ax dx bax ab b ax b b ax dx x b ax b ax t dxt ab t b t dtbt b t dx x b ax dt bt R b dtbt b t dt b t b dt dt bt b b t dtbt t dt a t b t at dx x b ax dt atdx a b t x t t b ax bax xdx b b ax dx xb ax 代入上式得：将不能明确积分符号可正可负取值为则令证明：- 9 -（三）含有22a x ±的积分（19~21）2 2)(1 112.182122⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++-=⋅+⋅++-=+++-=+-=++++-=+-bax x dxa xb ax dx ab ax x x b ax b ax d xx b ax xdb ax dx x b ax b ax x dxa x bax dx x b ax 证明：C a xarctan a a x dx a x arctan t axarctan t tant a x C t adt at dt sec a tsec a a x dx t sec a t tan a dx a x t dt sec a tant a d dx πt πtant a x C a x arctan aa x dx 2222222+⋅=+==∴⋅=+⋅==⋅⋅=+∴=+⋅=+⋅=⋅=<<-⋅=+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰1111 1)1(1 )( , )22( 1 .19222222222代入上式得：将则令证明：- 10 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+++++----+⋅--++⋅⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⋅-=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=+∴+-+=+-+-+++=+-+++=+++=⋅+⋅-⋅-+=+-+=++⋅--++⋅⋅-=+122212221221222222222212212222221222222212222222122222122222222221222122222)()1(232)()1(2 )()32()()1(21)( , 1 )()12()(21)(1 )(1)()( )21( )(12)(12)( )(2)( )(2)( 2)()()( )(1 )()( )()1(232)()1(2)( .20n n n n n n n n n 2n n n n n n n n n n n nn n n n n a x dx a n n a x a n x a x dx n a x x a n a x dx n n a x dxn a x x na dx a x dx a x 2na a x x a x dx n dx a x na dx a x n a x x dx a x a a x n a x x dx a x x n a x x dx x a x n x a x x a x d x a x x a x dx a x dxa n n a x a n x a x dx 则令移项并整理得：证明：Cax ax ln a Ca x ln a a x ln a dx ax a dx a x a dx a x a x a ax dx C a x ax ln a ax dx ++-⋅=++⋅--⋅=+--=+--=-++-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰21 2121 121121 ]11[21 21 .212222证明：- 11 -（四）含有)0( 2>+a b ax 的积分（22~28）)0( 21)0( 1 2 , 1 21 121 )(11 1)(11)(11 0 .2 1 C 1 )(11 1)(1111 0b .1 )( )0( 21)0( 1 .222222222222222222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅--⋅⋅->+⋅⋅=++-+⋅--⋅⋅-=+-+--⋅⋅-=--=+∴⋅--=⋅--=+<+⋅⋅=+⋅⋅⋅=+=+∴⋅+=⋅+=+>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅--⋅⋅->+⋅⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰b C b x a bx a ln ab b C x b aarctan ab b ax dx C b x a b x a ln ab C a bx ab x ln a a b dx a bx a b ax dx a a b x a a b x b ax b C x b aarctan abx b aarctan b a a dxa b x a b ax dx a ab x a a b x b ax 0a b C b x a b x a ln ab b C x b aarctan abb ax dx 得：综合讨论，时当，时当证明：C b ax ln a b ax d b ax a dx b ax dx bax x a C b ax ln a dx bax x 22++⋅=++=+=+>++⋅=+⎰⎰⎰⎰21 )(121 121)0( 21 .23222222证明：- 12 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=⋅+=+>+-=+b ax dx a b a x dx b ax a b dx b a b dxb ax b a b dx b b ax ax a b dx bax x a b ax dx a b a x dx bax x 2222222222 11 )11( 1)0( .24证明： C 21 21 21 )(12112112121])(1[21)( 11 )()(1 )(1 )(121 )()( )( C 21)( .25222222222222222222++=++-=++-=+-=+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=++=+=+>++⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰bax x ln ·b Cb ax ln ·b x ln ·b b ax d bax b dx x b dxb ax b a dx x b dxb ax b a bx b ax x dx b aB bA Ab 0B Aa AbB Aa x Bx b ax A b ax Bx A b ax x dxb ax x dx b ax x xb ax x dx0a bax x lnbb ax x dx 22222222222222于是有则设：证明：- 13 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--=+-=+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+>+--=+b ax dx b abx dx b ax b a dx x b dx b ax b a bx b ax x dx b aB b A Ab 0B Aa Ab B Aa x Bx b ax A b ax B x A b ax x a b ax dx b a bx b ax x dx 2222222222221 111 ])(1[)( 11 )()(1 )(1 0)( 1)( .2622222于是有则设：证明：C bxx b ax ln ba Cb ax ln ·b a bx x ln ·b a dx baxb a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b a A b B Bb Ba Ab C Aa Bb x Ba Ab x C Aa Cx b ax B b ax Ax bax C x B x A b ax x dx b ax x dx b ax x xb ax x dx 0a C bx x b ax ln b a b ax x dx 222222222222+-+=+++--=+++-=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=+∴++++=++++=+++=++=+=+>+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222222222224222322244244244322223212221 2 1212112 )( 1100 )()( )()(1 )(1 )(121 )()( )( 212)( .27于是有则设：证明：- 14 -（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-++--+⋅-<+-+⋅-=+++-++--+⋅-=+--+=--+=-++=++>+-+⋅-=+-++=-++=++<-++=++∴-++=++>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-++--+⋅-<+-+⋅-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)4( 44 41)4(42 2 , 1 44 41 )2()4()(124 )4()(14 )()(14 4 .2 42 )2()()(124 )()(14 4 .1 )()(14 )()(41 )0( )4( 44 41)4( 42 .292222222222222222222222222222ac b C ac b b 2ax acb b 2ax ln ac b ac b C b 4ac b 2ax arctan bac c bx ax dx Cac b b 2ax acb b 2ax ln ac b b axd ac b b 2ax a a dx ac b b 2ax a dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx ac b Cb4ac b 2ax arctan b ac b ax d b 4ac b 2ax a a dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx ac b dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx b 4ac b 2ax ac bx ax a ac b C ac b b 2ax ac b b 2ax ln ac b ac b C b 4ac b 2ax arctan bac c bx ax dx 2222222222222222得：综合讨论，时当，时当证明： C a x arctan a a x dx +⋅=+⎰1 19 22：公式C 21 2122++-⋅=-⎰a x ax ln a a x dx ：公式 21)(2 )(2121)(2)(212121)(21 )(2121121)(21 ))(2121()(21 211102 2 2)(1 2)(21 21 1121 21 1121 121)( )( 21)(2)( 2822222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++-+=++++-=++-+-=+--+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+⋅+-+⋅-=+++⋅-=+-=+>+++=+b ax dx b b ax b x dxb ax b b b ax abx b b ax dx b ax b b abx b ax ax dx b ax b b dx x ab b ax ax dx b ax b abx b ax ax b B bA Ab Ba Aa Abx )Ba Aa (Bax b ax A b ax B ax A b ax ax dxax b ax b ax ax ax d b ax b ax ax b ax d ax b ax dx 0a b ax dxb b ax b x b ax dx .222222222222222222222222222上式于是有，则设：证明：- 15 -（六）含有)0( 22>+a a x 的积分（31~44）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-++⋅=++-++++=++-++++=++-+⋅=++>++-++⋅=++cbx ax dx a b c bx ax ln a dx cbx ax a b c bx ax d c bx ax a dx c bx ax b a dx c bx ax b ax a dx c bx ax b b ax a dx c bx ax x a c bx ax dx a b c bx ax ln a dx c bx ax x 222222222222 2 21 12)(121 21221 221 )0( 2 21 .30证明：C)( , 1 |AB | , |AC | B Rt 1 , 01, 22 || , ) )22(}{1 )0( C )( 31222222322222222222222222222222222122+++=+∴>+++++=+-++=+++=++=+∴=+==∴+====∠++==⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>+++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a x dx 0x a x C x a x ln C lna x a x ln C a xa x ln C tant sect ln a x dx a xtant a a x cost sect a x x ,a |BC |,t ABC ΔC tant sect ln dtsect dtt sec a sect a a x dx secta a x cost sect πt π sect a a x tdt sec a tant a (d dx ,πt πtant a x R x |x ax )x (f a a x x ln C a x arsh ax dx .22 则中，设在则可令的定义域为被积函数证明：C t tan t sec ln tdt sec ++=⎰|| 87 ：公式- 16 -1)( |AB ||AC |sint |AB | , |AC |, || , B Rt 1cos 1 11 1)( )( , 01 , 22 ||)( , ) ( ,)22( }|{)(1)( )0( )( .3222223222222222322322322322222322C a x a x C sint a a x dx a x xa x x a BC t ABC ΔC sint a tdt a dt sect a dt t sec a t sec a a x dx t sec a a x cost sect πt πt sec a a x tdt sec a tant a d dx πt πtant a x R x x a x x f a C ax a x a x dx 23333332++=+⋅=+∴+==∴+====∠+===⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰则中，设在则可令的定义域为被积函数证明： C a x dx a x x a x t C t dt dtat t t a t dx a x x dta t t tdt a t dx a t x t t a x a C a x dx a x x ++=++=+==-⋅-=+∴-=⋅-=∴-=>=+>++=+⎰⎰⎰⎰⎰-22222222222222212222222222 2)(21 , )0( )0( .33代入上式得：将则令证明：Cax C a x a x d a x dx a x dx a x x dx a x x a C ax dx a x x ++-=++⋅-⨯=++=+=+⋅=+>++-=+----⎰⎰⎰⎰⎰2223122222322223222322322223221 )(231121 )()(21 )(21)()( )0( 1)( .34证明：- 17 -C )( 22 C)( )( 22 31)( C )( 1 39)( C )( 22 1)0( C )( 22 .35222222222222222222222222222222222222222222222222+++⋅-+⋅=+++⋅-++++⋅=+∴+++=++++⋅++⋅=++-+=+-+=+>+++-+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a a x x a x x ln a a x x ln a a x x dx a x x a x x ln x d ax a x x ln a a x x dx a x x d a x a dx a x dx a x a a x dx a x x a a x x ln a a x x dx ax x 公式公式证明：C )( )()( 1, |AB | , |AC |, || , B Rt cos 1 1 )( )( , 01 , 22 )( ) ( ,)22( }|{)()( )0( C )( )( .362222322222222222223222222222322232223222322222223222+++++-=+∴>+++-+-++=++-++=+-+=+∴+===+=∴+====∠+-+=-=-=-==⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>+++++-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a x x dx a x x 0x a x C lna ax x x a x ln C a x xa x a x ln C sint tant sect ln dx a x x a a x cost sect ,a x tant a x x sint a x x a BC t ABC ΔC sint tant sect ln dt t dt sect dt sectdt sect dt sect t sec dt sect t tan tdt sec a t sec a t tan dx a x x t sec a t tan a x x cost sect πt π|t sec a |t tan a a x x tdt sec a tant a d dx πt πtant a x R x x a x x x f a a x x ln ax x dx a x x 1111222323233222则中，设在，则可令的定义域为被积函数证明：Ctant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 18 -1 )( 21)( 21 )( 21 21 1 1 2)(21 , )0( )0( 1.3722222222222222222222222222222212222222222C x a a x ln a C x a a x ln a C a a x a a x ln a a x x dx a x t C a t a t ln a C a t a t ln a dt at dt a t t a t t a x x dx dt a t t tdt a t dx a t x t t a x a C x aa x ln a a x x dx +-+⋅=+-+⋅=+-+-+⋅=+⋅+=+--⋅=++-⋅=-=-⋅-⋅=+⋅∴-=⋅-=∴-=>=+>+-+⋅=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则令证明：C 21 2122++-⋅=-⎰a x ax ln a a x dx ：公式b nlog b log a na = 提示： 1 11)1(211121)1(1121 1221 11111 1 , )0( 1 11 )0( .3822222222221122222222222222222222222222222C x a a x ax x dx x t C t a aC t a a t a d t a a dtt a ta a dt ta t dt a tx d a x t x t x t x da x a x x dx a C x a a x a x x dx ++-=+⋅=++⋅-=++-⋅-=++-=+-=+-=+-=+-∴=≠=+-=+⋅>++-=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则令证明：- 19 -C a x x ln 2a a x 2x dx a x a x x ln a a x x dx a x C a x x ln a dx ax a dx a x x dx a x a x x dx a x x dx a x dx ax x a x x a x d x a x x dx a x a C a x x ln 2a a x 2x dx a x .22222222222222222222222222222222222222222222222222+++⋅++=+++⋅++=+++++⋅=+=+-++=+++∴+-+=+-+=+>+++⋅++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)()( 2 )( 1 )0( )( 391即②得，由①②又①：证法C )a x x ( ln 2a a x 2x dx a x lna2a )a x x ( ln 2a a x 2x |aa x x |ln 2a a x 2x |tant sect |ln a 21tant ·sect a 21a x tant ,a x a cost 1sect x a |AB |x,tant ·a |AC | ||, Rt ,tant a x C |tant sect |ln a 21tant sect a 21dtant sect a 87 C |tant sect |ln sectdt )sectdt a tant ·sect a (21dtant sect a sectdt dtant sect dt cost 1dt t cos 1cost 1dt t cos t cos 1 dt t cos t sin tantdt sect tant tantdsect tantdsect a tant sect a dtant sect a )tant ·a (sectd ·a dx a x sect ·a a x , 0cos 1sec , 2πt 2π,sect ·a t tan 1a a x )2πt 2π( tant a x 2 )0a ( C )a x x ( ln 2a a x 2x dx a x .39222222222222222222222222222212222323222222222222222222+++⋅++⋅=+⋅-++⋅++⋅=++⋅++⋅=++∴=+==∴+=====∠∆∴⋅=+++⋅=++=+=-=-⋅=-==⋅⋅=-⋅===+∴=+∴>=<<-=+=+<<-⋅=>+++⋅++⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰综合①②③④⑤得则，中，可设在⑤联立③④有④）（公式又③联立①②有②又①，则令：证法a BC t B ABC tt t sec t tan 221 =+提示：)0( )(131>+++=+⎰a C a x x ln dx a x 2222：公式- 20 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++⋅⋅+++⋅=+∴+++⋅++⋅⋅+++=+++⋅+⋅+⋅++⋅+⋅⋅=∴+===∴+====∠++⋅+⋅+⋅=+++⋅⋅=+⋅⋅==+-⋅=⋅--⋅=⋅-⋅=-⋅=+=+-⋅=⋅--⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=-⋅==⋅=+∴⋅=+∴>=<<-=+<<-=∈+=>+++⋅⋅+++⋅=+Ca x x ln a a x a x x dx a x C x a x ln 83aa x 8x a 3a x a x x C a x a x ln a 83a x a a x 8a 3a x aa x a x a tant d t sec a a a x t sect ,a x tant a x x a BC t ABC ΔC tant sect ln a 83tant sect a 83tant t sec a tant d t sec a C tant sect ln tant sect dt sect tant sect tant d t sec a dt t sec tant d sect dt sect dt t sec tant sect sectdt t sec tant sect sectdt t tan tant sect sect d tant tant sect tant d sect tant d sect a tant t sec a tant d t sec a tant d sect a tant d t sec a tant t sec a tant d sect t sec a tant t sec a tant d sect t tan a tant t sec a dt t sec t tan a tant t sec a dt tant sect t sec tant a tant t sec a t sec d tant a tant t sec a tant d t sec a tant a d t sec a dx a x tsec a a x cost sect πt πt sec a a x πt πtant a x R x x a x x f a C a x x ln a a x a x x dx a x 4333333223333232332323333333333)( 83)52(8 )( )(4 4 cos 1 |AB | , |AC |, || , B Rt 41 21 21 21 21 )1( ) 3 (41 3 3 )1(3 3 3 3 ) ( )( )( , 01 , 22 ||)( ,)22( }|{)()( )0( )( 83)52(8 )( .4022422223222222222221224224223224422221444414444444444444444443223223223222242222322则中，设在联立①④得④联立②③得：③又②①移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明： Ctant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 21 -Ca x C a x a x d a x dx a x dx a x x a C a x dx a x x ++=++⋅+⨯=++=+=+⋅>++=+⋅+⎰⎰⎰⎰32221122222122221222232222)(31)(211121 )()(21 )(21 )0( )(31 .41证明：- 22 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++⋅-++⋅=+⋅∴++⋅=++⋅∴>+++++⋅-++⋅=++⋅+++⋅-+⋅=++⋅⋅+++⋅-+⋅⋅=⋅∴+===∴+====∠+⋅++-⋅=⋅++-⋅⋅=-⋅⋅=--⋅=--⋅=⋅+-⋅=-⋅=-⋅=⋅⋅+=⋅⋅+=⋅-⋅⋅+=-⋅⋅+=-⋅⋅+=+=+⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=+⋅∴⋅=+⋅∴>=<<-=+⋅<<-=∈+⋅=>+++⋅-++⋅=+⋅Ca x x ln a a x a x x dx a x x a x x ln a x a x ln a x a x Cx a x ln a a x a x x C a x x x a x ln a a x x a C aa x a x a a x a x ln a a a x axa t dsec t sec tant a aa x t sect ,a x tant a x x a BC t ABC ΔC sect t tan a tant sect ln a tant sect a t dsec t sec tant a C tant sect ln tant sect dt sect tant sect sect d tant sect d tant dt sect tant sect dt sect t tan dt sect tant sect sectdt t tan tant sect tdt sec tant sect tant d sect tant sect sect d tant t sec t tan a t dsec tant a t sec t tan a t dsec tant a t dsec t sec tant a dsect tant t sec a t sec t tan a t dsec tant a dt t tan t sec a t sec t tan a t dsec tant a t dtan t sec a t sec t tan a t dsec tant a t dsec t tan a t dsec tant a t dsec t tan tant a t dsec t sec tant a t d t sec t tan a tant d sect t tan a tant a d sect t tan a dx a x x sect t tan a a x x costsect πt π sect a t tan a a x x πt πtant a x R x x a x x x f a C a x x ln a a x a x x dx a x x 23222333232333322322222)( 8)2(8 )( 88 0 8)2(8 4 88 4 88 cos 1 |AB | , |AC |, || , B Rt 48821 21 2121)1( 4 4 ) (41 3 3 )1( ) ( )( )( , 01 , 22 ||)( ,)22( }|{)( )0( )( 8)2(8 .42224222222222422422224222222232242241223342242244222214444144444244434444444444443222322222222222242222222，则中，设在联立①②得：②移项并整理得：①移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明： C tant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 23 -)( )( 2 )( 2 21 12)(21 , )0( }0|{)( )0(.4322222222222222222222222222222222222222222222122222222222222C x a a x ln a a x Cxa a x ln a a x C a a x a a x ln a a x dx x a x a x t Ca t a t ln a t C a t a t ln a a t dt a t a dt dt a t a a t dta t t dt a t t a t t dx x a x dt at t tdt a t dx a t x a t t t a x x x xa x x f a C x aa x lna a x dx xa x +-+⋅++=+-+⋅++=+-+-+⋅++=++=+--⋅+=++-⋅⋅+=-+=-+-=-=-⋅-=+∴-=⋅-=∴-=≠≥=+≠+=>+-+⋅++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则且令的定义域为被积函数证明：C )( 2 , 1 C )( , 0 2. C )( 0 1|AB | , |AC |, || , B Rt 111 )1( , 01 , 20,) ( ,)20( , 0 1. }0|{)( )0( C )( .4422222222222222222222222222222222222222222222222222222222222+++++-=++++++-=+<+++++-=+∴>+++-++++-=++-++=+∴+===+=∴+====∠+-+=+=+=⋅+=⋅+=+⋅=⋅=+∴=+∴>=<<=+==<<=>≠+=>+++++-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x a x ln xa x dx x a x x a x ln xa x dx x a x x x a x ln xa x dx x a x x ax C lna x a x ln xa x C xa x a xa x ln dx x a x aa x cost sect ,a x tant ,a x xsint a x x a BC t ABC ΔC sint tant sect ln dsint t sin dt sect dt tsin cost dt sect dtt sin tcos cost dt sect dt ttan sect dt sect dt t tan t tan sect tdt sec a t tan a sect dx x a x t tan a sect x a x cost sect πt t tan a sect a x a x tdt sec a tant a d dx πt tant a x x x x x a x x f a a x x ln x a x dx x a x 1112222222222222得：综合讨论同理可证得：时当则中，设在，则可令时当的定义域为被积函数证明： Ctant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式C 21 2122++-⋅=-⎰ax ax ln a a x dx ：公式- 24 -（七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）2 1 || || ||1|| || 1. 2 1 Rt 20 )20( . 1 }{ 1 1 )0( 453 C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x a x dx ,C a x x ln C a a x x ln C a x x ln C a x x ln C a μμln a μd μa x dx μx ,x μa x ,a x C |a x x |ln |a a x x |ln |t tan t sec |ln ax dx a a x |BC ||AC |t tan ,a x t cos t sec a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔC |tant sect |ln sectdt dt tant a tantsect a a x dx tant a a x πttant a 1t sec a a x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x ax f(x)a C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x a x dx .22122522422242242242222222222222222222222222222122+-+=+⋅=-+---=+-+-=+-+-=+-+--=+-+-=--=--=-=>--<+-+=-+=+=-∴-====∴-====∠++==⋅⋅⋅=-∴⋅=-<<⋅=-=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+-+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证法 C t tan t sec ln tdt sec ++=⎰|| 87 ：公式- 25 -2 1 || || ||1)( || 1 . 2 || . 1 }{ 1 2 )0( 45 C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x a x dx ,C a x x ln C a a x x ln C a x x ln C a x x ln C a μμln a μd μa x dx μx ,x μa x ,a x C a x x ln C 1a x a x ln C a x arch C t dt dt sht a sht a a x dx shtdt a dx ,sht a a t ch a a x a x arch t 0)(t cht a x ,a x a x a x |x ax f(x)a C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x ax dx .221225224222422422422222232222122222222222122+-+=+⋅=-+---=+-+-=+-+-=+-+--=+-+-=--=--=-=>--<+-+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+==⋅⋅=-∴⋅=⋅=-=-=>⋅=>-<>-=>+-+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，可设时当或的定义域为被积函数：证法- 26 -C a x a x a x dx ,C ax a x a x dx x μC a μa μa μμd a μμd a x dx μx ,x μa x ,a x C a x a x a x dx x a x t sin a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔCt sin a sint d t sin a dt t sin t cos a dt t sin t cos t cos a dt t tan sect a dt t tan a tant sect a a x dx t tan a a x tant πt t tan a a x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x a x f(x)a C ax a x a x dx .222222222222222222222222222222222222+-⋅-=-+-⋅-=--=+-⋅=----=-∴-=-=>--<+-⋅-=-∴-=∴-====∠+-===⋅==⋅⋅⋅=-∴⋅=-><<⋅=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+-⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰23232333232222222232333333333323)( 2 1 )( )()( 1 )()( . 2 )( Rt 1 11 111 1)( )( , 0 20 )( )20( . 1 }{ )(1 )0( )( 46得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 )(211121 )()(21 )(21 )0( .47211222221221C a x C a x a x d a x dx a x dx a x x a C a x dx a x x 222222222222+-=+--⨯=--=-=->+-=----⎰⎰⎰⎰：证明。
积分表24个公式(一)
积分表24个公式(一)积分表24个公式1. 基本积分法则•公式：∫u(x)dx=U(x)+C•说明：对于可导的函数u(x)，其原函数U(x)的导函数为u(x)。
因此，对u(x)进行积分即可得到U(x)加上常数C的结果。
2. 积分线性法则•公式：∫(af(x)+bg(x))dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx•说明：对于可积函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，将其线性组合进行积分，可以将积分分别作用于f(x)和g(x)，然后再乘以对应的系数。
3. 积分常数法则•公式：∫dx=x+C•说明：对于常数函数1，进行积分得到x加上常数C。
4. 积分倒数法则dx=ln|f(x)|+C•公式：∫1f(x)• 说明：对于可积函数 f (x )，其倒数的积分为该函数的自然对数的绝对值再加上常数 C 。
5. 积分复合函数法则• 公式：∫f(g (x ))g′(x )dx =F(g (x ))+C• 说明：对于复合函数 f(g (x ))，其中 g′(x ) 是 g (x ) 对 x 的导数。
将复合函数的积分转化为对 g (x ) 的原函数 F (x ) 进行积分，再加上常数 C 。
6. 反常积分定义• 公式：∫f b a (x )dx =lim n→∞∫f b a(x )dx • 说明：当函数 f (x ) 在区间 [a,b ] 上不满足 Riemann 积分定义的条件时，可以使用极限的方式来定义反常积分。
…（以此类推，依次列举下去）通过以上24个公式，我们可以灵活运用各种积分技巧来求解不同类型的积分问题。
这些公式是对积分操作的基本规则的总结和归纳，是进行积分计算的重要工具。
熟练掌握这些公式，能够帮助我们更加高效地解决各种积分相关的问题。
积分基本公式和法则
(1 x ) 2 dx =____________________ . 10、 x
二、求下列不定积分：
x2 dx 1、 2 1 x 2 3x 5 2x dx 2、 3x 3x
cos 2 x x dx dx 3、 cos 4、 2 2 2 cos x sin x 1 5、 (1 2 ) x x dx x x 2 sin(2 e 2 , 32) ，且在任一点处的切线的斜 三、一曲线通过点 x sec xdx 6、 x2 1 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
1 2 x 2 x ln x C 2
例6 求积分
2 x 3 x dx
6 C 解 原式= 6 dx ln 6 2 1 x x 化和 例7 求积分 dx . x (1 x 2 ) 2 2 1 x x x (1 x ) dx dx 解 2 2 x(1 x ) x(1 x ) 1 1 1 1 dx dx dx 2 2 x 1 x x 1 x
2.不定积分的性质
[k
1
f ( x ) k 2 g ( x )]dx k 1 f ( x )dx k 2 g( x )dx
k1 0, k 2 0
3.直接积分法： 经过恒等变形后再用性质和积分公式 求积分的方法叫做“直接积分法”.
一、填空题： 1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意 两个的差是一个______； 2、 f ( x ) 的________称为 f ( x ) 的不定积分； 3、把 f ( x ) 的一个原函数F ( x ) 的图形叫做函数f ( x ) 的________，它的方程是 y F ( x ) ，这样不定积 f ( x )dx 在几何上就表示________，它的方程是 y F ( x) C ；
（完整word版）积分公式
（完整word版）积分公式2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后⾯真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下⾯我们要学习不定积分的计算⽅法，⾸先是四则运算．3.不定积分的四则运算根据微分运算公式d(f(x)±g(x))=d f(x)±d g(x)d(kf(x))=k d f(x)我们得不定积分的线性运算公式(1)∫[f(x)±g(x)]d x=∫f(x)d x±∫g(x)d x(2)∫kf(x)d x=k∫f(x)d x，k是⾮零常数.现在可利⽤这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．例2.5.4求∫(x3+3x++5sin x－4cos x)d x解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x－4∫cos x d x=+7ln|x|－5cos x－4sin x+C .注.此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成⼀个任意常数C，因此在最后写出C即可．例2.5.5求∫(1+)3d x解.原式=∫(1+3+3x+)d x=∫d x+3∫d x+3∫x d x+∫d x=x+3+C=x+2x++C .注.∫d x与∫1d x是相同的，其中1可省略．例2.5.6求解.原式===－x+arctan x+C .注.被积函数是分⼦次数不低于分母次数的分式，称为有理假分式．先将其分出⼀个整式x2－1，余下的分式为有理真分式,其分⼦次数低于分母的次数．例2.5.7求.解.原式==∫csc2x d x－∫sec2x d x=－cot x－tan x+C .注.利⽤三⾓函数公式将被积函数化简成简单函数以便使⽤基本积分公式.例2.5.8求.解.原式==+C .为了得到进⼀步的不定积分计算⽅法，我们先⽤微分的链锁法则导出不定积分的重要计算⽅法??换元法.思考题.被积函数是有理假分式时，积分之前应先分出⼀个整式，再加上⼀个有理真分式，⼀般情形怎样实施这⼀步骤？4.第⼀换元法（凑微分法）我们先看⼀个例⼦：例2.5.9求.解.因(1+x2)' =2x，与被积函数的分⼦只差常数倍数2，如果将分⼦补成2x,即可将原式变形：原式=(令u=1+x2)=(代回u=1+x2).注.此例解法的关键是凑了微分d(1+x2)．⼀般地在F'(u)=f(u),u=?(x)可导,且?' (x)连续的条件下,我们有第⼀换元公式(凑微分)：u=? (x) 积分代回u=? (x)∫f[?(x)]?' (x)d x=∫f[?(x)]d?(x)=∫f(u)d u=F(u)+C=F[?(x)]+C其中函数?(x)是可导的,且F(u)是f(u)的⼀个原函数．从上述公式可看出凑微分法的步骤：凑微分————→换元————→积分————→再换元' (x)d x=d(x) u=(x) 得F(u)+C得F[?(x)]+C注.凑微分法的过程实质上是复合函数求导的链锁法则的逆过程．事实上，在F'(u)=f(u)的前提下，上述公式右端经求导即得:[F[?(x)]+C]' =F '[?(x)]?' (x)=f[?(x)]?' (x)这就验证了公式的正确性．例2.5.10求∫(ax+b)m d x.(m≠-1,a≠0)解.原式=(凑微分d(ax+b))=(换元u=ax+b)=(积分)=. (代回u=ax+b)例2.5.11求.解.原式=(凑微分d(-x3)=-3x2d x)===(换元u=-x3).注.你熟练掌握凑微分法之后，中间换元u=?(x)可省略不写,显得计算过程更简练,但要做到⼼中有数．例2.5.12求∫tan x d x.解.原式==-ln|cos x|+C .同理可得∫cot x d x=ln|sin x|+C .例2.5.13求(a>0).解.原式==.例2.5.14求(a>0).解.原式==.例2.5.15求.解.原式====.例2.5.16∫sec x d x.解.原式=(换元u=sin x)===(代回u=sin x)===ln|sec x+tan x|+C .公式:∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C .例.2.5.17求∫csc x d x .解.原式===ln|csc x-cot x|+C .公式:∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C .凑微分法是不定积分换元法的第⼀种形式，其另⼀种形式是下⾯的第⼆换元法．5.第⼆换元法不定积分第⼀换元法的公式中核⼼部分是∫f[?(x)]?'(x)d x=∫f(u)d u我们从公式的左边演算到右边，即换元：u=?(x)．与此相反，如果我们从公式的右边演算到左边，那么就是换元的另⼀种形式，称为第⼆换元法．即若f(u),u=?(x),?'(x)均连续,u=?(x)的反函数x=?-1(u)存在且可导,F(x)是f[?(x)]?'(x)的⼀个原函数,则有∫f(u)d u=∫f[?(x)]?'(x)d x=F(x)+C=F[?-1(u)]+C .第⼆换元法常⽤于被积函数含有根式的情况．例2.5.18求解.令(此处?(t)=t2)．于是原式===(代回t= -1(x)=) 注.你能看到，换元=t的⽬的在于将被积函数中的⽆理式转换成有理式,然后积分．第⼆换元法除处理形似上例这种根式以外，还常处理含有根式，，(a>0)的被积函数的积分．例2.5.19求. (a>0)解.令x=a sec t，则d x=a sec t tan t d t,于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 .到此需将t代回原积分变量x，⽤到反函数t=arcsec，但这种做法较繁．下⾯介绍⼀种直观的便于实施的图解法：作直⾓三⾓形，其⼀锐⾓为t及三边a，x，满⾜：sec t=由此，原式=ln|sec t+tan t|+C1==.注．C1是任意常数,-ln a是常数,由此C=C1-ln a仍是任意常数．(a>0)例2.5.20求.解.令x=a tan t，则d x=a sec2t d t，于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 ．图解换元得原式=ln|sec t+tan t|+C1=.公式:.例2.5.21求(a>0).解.令x=a sin t，则d x=a cos t d t，于是原式===+C.图解换元得：原式=+C=+C .除了换元法积分外，还有⼀个重要的积分公式，即分部积分公式．思考题.在第⼆换元法公式中，请你注意加了⼀个条件“u=?(x)的反函数x=?1-(u)存在且可导”，你能否作出解释，为什么要加此条件？6.分部积分公式我们从微分公式d(uv)=v d u+u d v两边积分，即∫d(uv)=∫v d u+∫u d v由此导出不定积分的分部积分公式∫u d v=uv -∫v d u下⾯通过例⼦说明公式的⽤法．例2.5.22求∫x2ln x d x解.∫x2ln x d x=(将微分dln x算出)==.例2.5.23求∫x2sin x d x.解.原式=∫x2d(-cos x) (凑微分)=-x2cos x-∫(-cos x)d(x2) (⽤分部积分公式)=-x2cos x+∫2x cos x d x=-x2cos x+2∫x dsin x(第⼆次凑微分)=-x2cos x+2[x sin x－∫sin x d x] (第⼆次⽤分部积分公式)=-x2cos x+2x sin x+2cos x+C .例2.5.24求∫e x sin x d x.解.∫e x sin x d x=∫sin x d e x (凑微分)=e x sin x-∫e x dsin x(⽤分部积分公式)=e x sin x-∫e x cos x d x(算出微分)=e x sin x-∫cos x d e x(第⼆次凑微分)=e x sin x-[e x cos x-∫e x dcos x] (第⼆次⽤分部积分公式)=e x(sin x-cos x)-∫e x sin x d x(第⼆次算出微分)由此得：2∫e x sin x d x=e x(sin x-cos x)+2C因此∫e x sin x d x=(sin x-cos x)+C ．注.(1)此例中在第⼆次凑微分时，必须与第⼀次凑的微分形式相同．否则若将∫e x cos x d x凑成∫e x dsin x,那将产⽣恶性循环，你可试试．(2)积分常数C可写在积分号∫⼀旦消失之后．例2.5.25求∫arctan x d x解.此题被积函数可看作x0arctan x，x0d x=d x，即适合分部积分公式中u=arctan x，v=x．故原式=x arctan x - ∫x d(arctan x) (⽤分部积分公式)=x arctan x - d x(算出微分)=x arctan x - (凑微分)=x arctan x - ln(1+x2)+C .⼩结.(1)分部积分公式常⽤于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形，例如x3arctan x，x3ln x 幂函数与反正切或对数函数x2sin x，x2cos x幂函数与正弦,余弦x2e x幂函数与指数函数e x sin x,e x cos x 指数函数与正弦,余弦等等．(2)在⽤分部积分公式计算不定积分时，将哪类函数凑成微分d v，⼀般应选择容易凑的那个．例如arctan x d，ln x d我们已学习了不定积分的⼏种常⽤⽅法，除了熟练运⽤这些⽅法外，在许多数学⼿册中往往列举了⼏百个不定积分公式，它们不是基本的，不需要熟记，但可以作为备查之⽤，称为积分表．思考题.你仔细观察分部积分公式，掌握其中使⽤的规律，特别是第⼀步凑微分时如何选择微分.7.积分表的使⽤除了基本积分公式之外，在许多数学⼿册中往往列举了⼏百个补充的积分公式，构成了积分表．下⾯列出本节已得到的基本积分公式．(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1,x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=- cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=- cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C(14)∫tan x d x=-ln|cos x|+C(15)∫cot x d x=ln|sin x|+C(16)=(a>0)(17)=(a>0)(18)(a>0)(19)=(a>0)(20)∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C(21)∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C利⽤积分表中的公式，可使积分计算⼤⼤简化．积分表的使⽤⽅法⽐较简单，现举⼀例说明之．例2.5.26求解.从积分表中查得公式则将a=3，b=－1，c=4代⼊上式并添上积分常数C即得解答：=.。
积分表常用公式
积分表常用公式积分表是数学中常用的一种工具，它可以将一系列的函数、图像或数据点映射到一个数学结构，从而使其可以高效地表示和分析。
积分表中使用的公式有很多，而最常用的几种就是拉格朗日积分，定积分和累积分。
拉格朗日积分是积分中最为基础的公式。
它的公式定义为：∫a~bf(x) dx = F(b)-F(a)其中，f(x)是在区间[a,b]上的一个函数，F(x)是函数f(x)的积分。
拉格朗日积分可以用于求解一个变量的定积分，也可用于求解一个变量的微分变换的积分。
定积分的公式定义为：∫a~b f(x) dx = F(b)-F(a)其中，f(x)是在区间[a,b]上的一个函数，F(x)是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
定积分可以用于求解函数在一个固定的区间内的积分。
累积分的公式定义为：∫-∞~∞f(x) dx = F(∞)-F(-∞)其中，f(x)是在区间[-∞,∞]上的一个函数，F(x)是函数f(x)的累积分。
累积分可以用于求解函数在一个无限的区间内的积分。
拉格朗日积分、定积分和累积分是数学中常用的几种积分公式。
它们可以用于求解函数的不同类型的积分，从而方便数学分析。
例如，可以用这些公式来求解在某一特定区域内函数的积分，或者求解数据变换的积分。
对于不同的问题，可以根据需要使用不同的积分公式，从而更好地解决数学问题。
此外，积分表还包括存在的几种不同的变换方法，如傅立叶变换、哈尔变换等，这些变换方法都可以应用于积分表中的数据点，从而更方便地进行数据推断和建模。
总而言之，积分表的用途是无穷无尽的，它为数学研究提供了方便的工具。
上述拉格朗日积分、定积分和累积分是最常用的几种积分公式，它们各有不同的用途，可根据需要使用，从而更好地解决数学问题。
同时，积分表中不仅仅有这三种积分公式，还包括存在的几种变换方法，这些变换方法也可以应用于积分表中的数据点，从而更好地实现数据推断和建模。
因此，积分表是数学中非常有用的工具，是数学研究的基础。
不定积分基本公式表(经典实用)
不定积分基本公式表（经典实用）以下是一些经典的不定积分公式：1. 基本导数公式：$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$, （当$n≠-1$）$\int e^xdx=e^x+C$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$, （$x≠0$）$\int \cos xdx=\sin x+C$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$\int \sec^2xdx=\tan x+C$$\int \csc^2xdx=-\cot x+C$$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x+C$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$2. 三角函数公式：$\int \tan xdx=\ln|\sec x|+C$$\int \cot xdx=\ln|\sin x|+C$$\int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C$$\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C$$\int \sin^2 xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$$\int \cos^2 xdx=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$$\int \sin^3 xdx=-\frac{1}{3}\cos^3 x+\cos x+C$$\int \cos^3 xdx=\frac{1}{3}\sin^3 x+\sin x+C$3. 特殊公式：$\int e^{ax}\cos bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)+C$$\int e^{ax}\sin bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C$$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$ $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C$其中，$C$为常数。
定积分表格计算法
定积分表格计算法
在求积分[公式]时，很简单，一次分部积分就好了。
但如果让你求的是[公式]甚至[公式]，分部积分就相当麻烦了。
于是诞生出了一个公式（方法）---表格法。
表格法的使用：以[公式]为例。
①画两行表格，[公式]放第一行首位，[公式]第二行首位。
然后第一行依次求导，第二行依次积分，如下，直到把[公式]求导到0为止。
②以[公式]为起点，左上、右下错位相乘，各项符号依次为“+”“-”“+”“-”
然后各项加起来就完事了。
即[公式]整理后答案为[公式]
有了这种方法我们得以秒杀一些简单积分。
如
此方法的推导很简单，用分部积分算下[公式]就可以退出来了。
其厉害之处在于，把积分式拆开，两者分别求导，积分，简便性大大提高。
连开头提到的[公式]都可以用表格法一步到位。
当然，该方法局限性是只能求带多项式[公式]的不定积分，如[公式],[公式],[公式]等。
但这已经够了，如果遇到sinx乘e^x这类积分，老实分部积分就好了，当然这类也有普遍公式，但形式过于复杂，就不再考虑。
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表1、基本积分公式：(1) (2) (3)(4) (5)(6) (7)(8) (8)(10)(11)2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin =()22a x x f -=；设：t a x sec =()22x a x f +=；设：t a x tan =()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）精品文档word文档可以编辑！谢谢下载！。
高等数学积分表公式推导
（十一）含有三角函数的积分（83~112）···········································55 （十二）含有反三角函数的积分（其中 a > 0)（113~121）·······················68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）··········································73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）··········································78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）··········································80 （十六）定积分（142~147）····························································81
ax +
dx b
=
1 a3
⎡1 ⎢⎣ 2
(ax +
b) 2
−
2b (ax
+
b)
+
b2
⋅ ln
ax +
b
⎤ ⎥⎦
+C
5.
dx
1
∫ x (ax + b) = − b ⋅ ln
ax + b x
+C
证明：被积函数 f ( x ) = 1 的定义域为{x | x ≠ − b}
x ⋅ (ax+ b)
∴
∫
dx ax +
b
=
1 a
∫
1dt t
= 1 ⋅ ln t + C a
积分表147个公式的推导(修正版)
目 录（一）含有b ax +的积分（1~9）·······················································1 （二）含有bax +的积分（10~18） (5)（三）含有22a x ±的积分（19~21） (9)（四）含有)0( 2>+a b ax 的积分（22~28） (11)（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）········································14 （六）含有)0( 22>+a a x 的积分（31~44）.........................................15 （七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）.........................................24 （八）含有)0( 22>-a x a 的积分（59~72）.........................................37 （九）含有)0( 2>++±a c bx a 的积分（73~78） (48)（十）含有 或))((x b a x --的积分（79~82）...........................51 （十一）含有三角函数的积分（83~112）...........................................55 （十二）含有反三角函数的积分（其中0>a )（113~121）.......................68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）..........................................73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）..........................................78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81)附录：常数和基本初等函数导数公式 (85)bx a x --±- 1 -（一）含有b ax +的积分（1~9）Cb ax ln ab ax dx b ax t Ct ln adtta b ax dx dtadx ,adx dt t t b ax abx x b ax )x (f C b ax ln ab ax dx .++⋅=++=+⋅==+∴=∴=≠=+-≠+=++⋅=+⎰⎰⎰⎰1111 1)0( }|{ 1 11代入上式得：将，则令的定义域为被积函数证明：C b ax μa dx b ax b ax t C t μa dtt a dx b ax dtadx ,adx dt t b ax μC b ax μa dx b ax .μμμμμμμ++⋅+=++=+⋅+==+∴=∴==+-≠++⋅+=++++⎰⎰⎰⎰111)()1( 1)()1( 11)( 1, 1)( )()1( 1)( 2代入上式得：将则令证明：()()()()()C b ax ln b b ax adx b ax x b ax t Ct ln b t aCt ln a ba t dtt badt a dtt b 1a dt a ·t b t a dx b ax x dtadx ,b t a x ,t t b ax abx |x b ax x )x (f C b ax ln b b ax adx b ax x .22222222++⋅-+=++=+⋅-=+⋅-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+∴=-=≠=+-≠+=++⋅-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1111 11111 )0( }{ 13代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：- 2 -Cb ax ln b b ax b b ax a dx b ax x C b ax ln ab b ax d b ax a b dx b ax b a C b ax ln ab x a b b ax d b ax ab dx a b ax d b ax bb ax a b dx b ax abx a C b ax a dx b ax a dxbax b a dx b ax abx a dx b ax a dxb ax b abx b ax adx b ax x Cb ax ln b b ax b b ax a dx b ax x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++-+=+++=++=+++-=++-=+-+=+++=++-+-+=+--+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ )( 2)(211 )(11 22 )(122 )(221 )(21)(1 121)(1 )2)(1 )( 2)(211 .4223233232222323323321232222222222232由以上各式整理得：证明：Cxbax ln b C b ax xln b Cb ax ln b x ln b )b ax (d b ax b dx x b dxbax b a dx x b dx )b ax (b a bx b ax x dx b abAb B Aa bx a x b ax b ax Bx b ax x abx |x b ax x )x (f Cxbax ln b b ax x dx .++⋅-=++⋅=++⋅-⋅=++-=+-=+⋅-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+⋅-≠+⋅=++⋅-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1 1 11 1111 111]1[)( B 1A 10 A B)(A B )A(1 , A )(1 }{ )(1 1)( 5于是有则设的定义域为被积函数证明：b log b log a a -=-1 提示：- 3 -C x b ax ln b a bx C b ax ln b a bx x ln b a b ax d b ax b a dx x b dx x b a dx b ax b a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b b a Bb aB Ab C Aa b aB Ab x a x Cx b ax b ax x b ax C x B x b ax x a bx x b ax x x f C x b ax ln b a bx b ax x dx ++⋅+-=++⋅+-⋅-=++++-=+++-=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=+∴=++++++++=+++=+⋅-≠+⋅=++⋅+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1 1 )(1111 1111)( 1B A 100 1B )( C)(A )B()( A 1 , A )(1 }|{ )(1)( 1)( .6222222222222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：C b ax b b ax ln a Cb ax a bb ax ln a b ax d b ax a b b ax d b ax a dx b ax a b dx b ax a dx b ax x a bB aB Ab Aa x B Ab a x b ax x b ax Bb ax A b ax x a b x |x b ax x )x (f C b ax b b ax ln a dx b ax x .+⎪⎭⎫⎝⎛+++=++++⋅=++-++=+-+=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=∴=++⋅++=+++=+-≠+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1 )( 1 )( )(1)(11 )(111)( 1A 01 )(AB )A( ,)( )( }{ )( 1)( 72222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：- 4 -()C b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x b ax t C t b t ln b t aC t ln a b t a t a b dt t a b dt a dt t a b dt t a bt t b dx b ax x t a btt b t a t b b ax x dt adx ,b t a x ,t t b ax a b x |x b ax x )x (f C b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x .+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅-+=++=+-⋅-=+⋅-⋅+-=-+=-+=+∴-+=-=+∴=-=≠=+-≠+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⋅-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰23222333323323223222222222222222232221)( )2(121 12112)( 2)()( 11 )0( }{)( 21)( 8代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：C|xbax |ln ·b b ax b Cb ax ·b b||ax ln b|x|ln b dx b ax b a dx b ax ba dx xb b ax x dx b a D b a B b A 1Ab 0D Bb Aab 20Ba Aa Ab D Bb Aab 2x Ba Aa x Dx Bbx Bax Aabx 2Ab x Aa Dxb ax Bx b ax A 1 b ax Db ax B x A b ax x a bx |x b ax x )x (f C|xbax |ln b b ax b b ax x dx .22222222222++-+=++++⋅-⋅=+-+-=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==++=+∴+++++=+++++=++++=++++=+-≠+=++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰2222222222221)(11111)(1111)( 1 )()( )()( )()(1 }{)(1 ·1)(1)( 9于是有则设：的定义域为证明：被积函数- 5 -（二）含有bax +的积分（10~18）Cb ax a C b ax a b ax d b ax a dx b ax C b ax a dx b ax ++⋅=++⋅+⋅=++=+++⋅=++⎰⎰⎰3121213)(32)(21111)()(1 )(32 .10证明：C b ax b ax a C b ax b b ax a dx b ax x b ax t C b t a t C t a b t a dt a b dt a dtbt t a dt a t t a b t dx b ax x t abt b ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x ++⋅-⋅=++⋅-+=++=+-=+⋅-⋅=-=-=⋅⋅-=+∴⋅-=+=-=≥=+++⋅-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰32322233252325224222232)()23(152 )(]5)(3[152 )53(152 ******** )(22 , 2 , , )0()()23(152 .11代入上式得：将则令证明：[]C b ax b abx x a ab ax b b abx b x a b ax a dx b ax x b ax t C bt b t at C t a b t a b t a C t a b t a b t a dt t a b dt t a b dt t a dtbt t b t t a dx b ax x a bt t b t t a b t b ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b abx x a a dx b ax x ++⋅+-⋅=+⋅-++++⋅=++=+-+⋅=+⋅-⋅+⋅=+⋅+⋅-⋅+⋅+⋅+⋅=--=-+⋅=+∴-+=⋅-=+=-=≥=+++⋅+-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++3222322223322243353332731432132163432326332532232522222322232)()81215(1052 )(4235301515 )(1052 )423515(1052 543272 411421126112 422 )2(22)( , 2 , , )0( )()81215(1052 .12代入上式得：将则令证明：- 6 -C b ax b ax a C b ax a b b ax b ax a dx b ax x b ax t C t a b t a C t a b t a bdt a dt t a dt a t at b t dx b ax xdt a t dx abt x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x++⋅-⋅=++⋅-+⋅+⋅=++=+⋅-⋅=+⋅-⋅+⋅=-=⋅-=+∴=-=>=+++⋅-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰+)()2(32)(2)()(3223222112222, 2 , , )0( )()2(32.132222322122222222代入上式得：将则令证明：[]C b ax b abx x a a C b ax b ax b b abx b x a b ax a dx bax x b ax t C bt b t at Ct b t b t a dt t a b dt b a dt t a dtbt b t a dt a tt a b t dx bax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b abx x a a dx bax x ++⋅+-⋅=++⋅+⋅-+++⋅+⋅=++=+-+⋅=+-+=-+=-+=⋅⋅-=+∴=-=>=+++⋅+-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)()843(152)()(1015)2(3)(152)10153(152 )3251(2 422 )2(221)(, 2 , , )0( )()843(152 .142223222232224332532323432243222222232代入上式得：将则令证明：- 7 -⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-+⋅->+++-+⋅=++-+⋅-=++=+-⋅-=-+=-<+++-+⋅=++=++-⋅=-=->-=⋅⋅-=+∴=-=>=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅->+++-+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)0(2)0(1 2 , 12t2 )(122 0 .211 )(122 0b .1 221, 2 , , )0( )0(2)0(1 .15222222222b C bbax arctan bb C bb ax b b ax ln b b ax x dx C bbax arctan bb ax x dx b ax t Cb arctan b dt b t dt b t b Cbb ax b b ax ln b bax x dx b ax t C b t b t ln b dt b t dt b t dtb t dta tt a b t bax x dx dt atdx a b t x t t b ax b C bbax arctan bb C bb ax b b ax ln b b ax x dx 得：综合讨论代入上式得：将，时当代入上式得：将，时当则令证明：C ax ax ln a a x dx++-⋅=-⎰ 21 21 22：公式C a xarctan a a x dx +⋅=+⎰1 19 22：公式- 8 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-=+++-+-=+⋅++-+-=+++-+-=+-+-=+++-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==+∴++=+++=+⋅+-+-=+-b ax x dx b a bx b ax dxb ax x b a bx b ax dx b ax x b a dx b ax ax b bx b ax dx b ax x b a b ax d x b bx b ax dx b ax x b a xd b ax b dx b ax x b a dx x b ax b dx bax x b a b ax x dx b b a Bb Ba A b ax x x b ax B b ax x b ax x b ax x dx b a bx b ax bax x dx 2 121 )(2111 111 11111 1B A 10 )B( A 1 , A 1 2 .162122222于是有则设证明：2 212 )(2 2122 122 1, 122 122 2 2 22 , , )0( 2 .172222222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+⋅-+++=++=⋅-+=-+=+∴-∴-+=-+=-+-=-=⋅-=+∴=-=≥=++++=+bax x dxb b ax dx bax ab b ax b b ax dx x b ax b ax t dxt ab t b t dtbt b t dx x b ax dt bt R b dtbt b t dt b t b dt dt bt b b t dtbt t dt a t b t at dx x b ax dt atdx a b t x t t b ax bax xdx b b ax dx xb ax 代入上式得：将不能明确积分符号可正可负取值为则令证明：- 9 -（三）含有22a x ±的积分（19~21）2 2)(1 112.182122⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++-=⋅+⋅++-=+++-=+-=++++-=+-bax x dxa xb ax dx ab ax x x b ax b ax d xx b ax xdb ax dx x b ax b ax x dxa x bax dx x b ax 证明：C a x arctan a a x dx a x arctan t a xarctant tant a x C t adt at dt sec a tsec a a x dx t sec a t tan a dx a x t dt sec a tant a d dx πt πtant a x C a x arctan a a x dx 2222222+⋅=+==∴⋅=+⋅==⋅⋅=+∴=+⋅=+⋅=⋅=<<-⋅=+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰1 111 1)1(1 )( , )22( 1 .19222222222代入上式得：将则令证明：- 10 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+++++----+⋅--++⋅⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⋅-=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=+∴+-+=+-+-+++=+-+++=+++=⋅+⋅-⋅-+=+-+=++⋅--++⋅⋅-=+122212221221222222222212212222221222222212222222122222122222222221222122222)()1(232)()1(2 )()32()()1(21)( , 1 )()12()(21)(1 )(1)()( )21( )(12)(12)( )(2)( )(2)( 2)()()( )(1 )()( )()1(232)()1(2)( .20n n n n n n n n n 2n n n n n n n n n n n nn n n n n a x dx a n n a x a n x a x dx n a x x a n a x dx n n a x dxn a x x na dx a x dx a x 2na a x x a x dx n dx a x na dx a x n a x x dx a x a a x n a x x dx a x x n a x x dx x a x n x a x x a x d x a x x a x dx a x dxa n n a x a n x a x dx 则令移项并整理得：证明：Cax ax ln a Ca x ln a a x ln a dx ax a dx a x a dx a x a x a ax dx C a x ax ln a ax dx ++-⋅=++⋅--⋅=+--=+--=-++-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰21 2121 121121 ]11[21 21 .212222证明：- 11 -（四）含有)0( 2>+a b ax 的积分（22~28）)0( 21)0( 1 2 , 1 21 121 )(11 1)(11)(11 0 .2 1 C 1 )(11 1)(1111 0b .1 )( )0( 21)0( 1 .222222222222222222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅--⋅⋅->+⋅⋅=++-+⋅--⋅⋅-=+-+--⋅⋅-=--=+∴⋅--=⋅--=+<+⋅⋅=+⋅⋅⋅=+=+∴⋅+=⋅+=+>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅--⋅⋅->+⋅⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰b C b x a bx a ln ab b C x b aarctan ab b ax dx C b x a b x a ln ab C a bx ab x ln a a b dx a bx a b ax dx a a b x a a b x b ax b C x b aarctan abx b aarctan b a a dxa b x a b ax dx a ab x a a b x b ax 0a b C b x a b x a ln ab b C x b aarctan abb ax dx 得：综合讨论，时当，时当证明：C b ax ln a b ax d b ax a dx b ax dx bax x a C b ax ln a dx bax x 22++⋅=++=+=+>++⋅=+⎰⎰⎰⎰21 )(121 121)0( 21 .23222222证明：- 12 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=⋅+=+>+-=+b ax dx a b a x dx b ax a b dx b a b dxb ax b a b dx b b ax ax a b dx bax x a b ax dx a b a x dx bax x 2222222222 11 )11( 1)0( .24证明：C 21 2121 )(12112112121])(1[21)( 11 )()(1 )(1)(121 )()( )( C 21)( .25222222222222222222++=++-=++-=+-=+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=++=+=+>++⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰bax x ln ·b Cb ax ln ·b x ln ·b b ax d bax b dx x b dxb ax b a dx x b dxb ax b a bx b ax x dx b aB bA Ab 0B Aa AbB Aa x Bx b ax A bax Bx A b ax x dxb ax x dx b ax x xb ax x dx 0a bax x lnbb ax x dx 22222222222222于是有则设：证明：- 13 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--=+-=+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+>+--=+b ax dx b a bx dx b ax b a dx x b dx b ax b a bx b ax x dx b aB b A Ab 0B Aa Ab B Aa x Bx b ax A b ax B x A b ax x a b ax dx b a bx b ax x dx 2222222222221 111 ])(1[)( 11 )()(1 )(1 0)( 1)( .2622222于是有则设：证明：C bxx b ax ln baC b ax ln ·ba bx x ln ·ba dx bax b a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b a A b B Bb Ba Ab C Aa Bb x Ba Ab x C Aa Cx b ax B b ax Ax bax C x B x A b ax x dx b ax x dx b ax x xb ax x dx 0a C bx x b ax ln b a b ax x dx 222222222222+-+=+++--=+++-=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=+∴++++=++++=+++=++=+=+>+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222222222224222322244244244322223212221 2 1212112 )( 1100 )()( )()(1 )(1 )(121 )()( )( 212)( .27于是有则设：证明：- 14 -（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-++--+⋅-<+-+⋅-=+++-++--+⋅-=+--+=--+=-++=++>+-+⋅-=+-++=-++=++<-++=++∴-++=++>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-++--+⋅-<+-+⋅-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)4( 44 41)4(42 2 , 1 44 41 )2()4()(124 )4()(14 )()(14 4 .2 42 )2()()(124 )()(14 4 .1 )()(14 )()(41 )0( )4( 44 41)4( 42 .292222222222222222222222222222ac b C ac b b 2ax acb b 2ax ln ac b ac b C b 4ac b 2ax arctan bac c bx ax dx Cac b b 2ax acb b 2ax ln ac b b axd ac b b 2ax a a dx ac b b 2ax a dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx ac b Cb4ac b 2ax arctan b ac b ax d b 4ac b 2ax a a dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx ac b dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx b 4ac b 2ax ac bx ax a ac b C ac b b 2ax ac b b 2ax ln ac b ac b C b 4ac b 2ax arctan bac c bx ax dx 2222222222222222得：综合讨论，时当，时当证明： C a x arctan a a x dx +⋅=+⎰1 19 22：公式C 21 2122++-⋅=-⎰a x a x ln a a x dx ：公式21)(2 )(2121)(2)(212121)(21 )(2121121)(21 )(2121()(21 211102 2 2)(1 2)(21 21 1121 21 1121 121)( )( 21)(2)( 2822222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++-+=++++-=++-+-=+--+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+⋅+-+⋅-=+++⋅-=+-=+>+++=+bax dx b b ax b x dxb ax b bb ax abx b b ax dx b ax b babx b ax ax dxb ax b b dx x ab b ax ax dx b ax b abx b ax ax b B bA Ab Ba Aa Abx )Ba Aa (Bax b ax A b ax B ax A b ax ax dxax b ax b ax ax ax d b ax b ax ax b ax d ax b ax dx 0a bax dxb b ax b x b ax dx .222222222222222222222222222上式于是有，则设：证明：- 15 -（六）含有)0( 22>+a a x 的积分（31~44）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-++⋅=++-++++=++-++++=++-+⋅=++>++-++⋅=++cbx ax dx a b c bx ax ln a dx cbx ax a b c bx ax d c bx ax a dx c bx ax b a dx c bx ax b ax a dx c bx ax b b ax a dx c bx ax x a c bx ax dx a b c bx ax ln a dx c bx ax x 222222222222 2 21 12)(121 21221 221 )0( 2 21 .30证明：C )( , 1 |AB | , |AC | B Rt 1 , 01, 22 || , ) )22(}{1 )0( C )( 31222222322222222222222222222222222122+++=+∴>+++++=+-++=+++=++=+∴=+==∴+====∠++==⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>+++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a x dx 0x a x C x a x ln C lna x a x ln C a xa x ln C tant sect ln a x dx a xtant a a x cost sect a x x ,a |BC |,t ABC ΔC tant sect ln dt sect dt t sec a sect a a x dx secta a x cost sect πt π sect a a x tdt sec a tant a (d dx ,πt πtant a x R x |x ax )x (f a a x x ln C a x arsh ax dx .22 则中，设在则可令的定义域为被积函数证明：C t tan t sec ln tdt sec ++=⎰|| 87 ：公式- 16 -1)( |AB ||AC |sint |AB | , |AC |, || , B Rt 1cos 1 11 1)( )( , 01 , 22 ||)( , ) ( ,)22( }|{)(1)( )0( )( .3222223222222222322322322322222322C a x a x C sint a a x dx a x xa x x a BC t ABC ΔC sint a tdt a dt sect a dt t sec a t sec a a x dx t sec a a x cost sect πt πt sec a a x tdt sec a tant a d dx πt πtant a x R x x a x x f a C ax a x a x dx 23333332++=+⋅=+∴+==∴+====∠+===⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰则中，设在则可令的定义域为被积函数证明： C a x dx a x x a x t C t dt dtat t t a t dx a x x dta t t tdt a t dx a t x t t a x a C a x dx a x x ++=++=+==-⋅-=+∴-=⋅-=∴-=>=+>++=+⎰⎰⎰⎰⎰-22222222222222212222222222 2)(21 , )0( )0( .33代入上式得：将则令证明：Cax C a x a x d a x dx a x dx a x x dx a x x a C ax dx a x x ++-=++⋅-⨯=++=+=+⋅=+>++-=+----⎰⎰⎰⎰⎰2223122222322223222322322223221 )(231121 )()(21 )(21)()( )0( 1)( .34证明：- 17 -C )( 22 C)( )( 22 31)( C )( 1 39)( C )( 22 1)0( C )( 22 .35222222222222222222222222222222222222222222222222+++⋅-+⋅=+++⋅-++++⋅=+∴+++=++++⋅++⋅=++-+=+-+=+>+++-+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a a x x a x x ln a a x x ln a a x x dx a x x a x x ln x d ax a x x ln a a x x dx a x x d a x a dx a x dx a x a a x dx a x x a a x x ln a a x x dx ax x 公式公式证明：C )( )()( 1, |AB | , |AC |, || , B Rt cos 1 1 )( )( , 01 , 22 )( ) ( ,)22( }|{)()( )0( C )( )( .362222322222222222223222222222322232223222322222223222+++++-=+∴>+++-+-++=++-++=+-+=+∴+===+=∴+====∠+-+=-=-=-==⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>+++++-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a x x dx a x x 0x a x C lna ax x x a x ln C a x xa x a x ln C sint tant sect ln dx a x x a a x cost sect ,a x tant a x x sint a x x a BC t ABC ΔC sint tant sect ln dt t dt sect dt sectdt sect dt sect t sec dt sect t tan tdt sec a t sec a t tan dx a x x t sec a t tan a x x cost sect πt π|t sec a |t tan a a x x tdt sec a tant a d dx πt πtant a x R x x a x x x f a a x x ln ax x dx a x x 1111222323233222则中，设在，则可令的定义域为被积函数证明：C tant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 18 -1 )( 21 )( 21 )( 21 21 1 1 2)(21 , )0( )0( 1.3722222222222222222222222222222212222222222C x a a x ln a C x a a x ln a C a a x a a x ln a a x x dx a x t C a t a t ln a C a t a t ln a dt at dt a t t a t t a x x dx dt a t t tdt a t dx a t x t t a x a C x aa x ln a a x x dx +-+⋅=+-+⋅=+-+-+⋅=+⋅+=+--⋅=++-⋅=-=-⋅-⋅=+⋅∴-=⋅-=∴-=>=+>+-+⋅=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则令证明：C 21 2122++-⋅=-⎰a x ax ln a a x dx ：公式bnlog b log a na = 提示： 1 11)1(211121)1(1121 1221 11111 1 , )0( 1 11 )0( .3822222222221122222222222222222222222222222C x a a x ax x dx x t C t a aC t a a t a d t a a dtt a ta a dt ta t dt a tx d a x t x t x t x da x a x x dx a C x a a x a x x dx ++-=+⋅=++⋅-=++-⋅-=++-=+-=+-=+-=+-∴=≠=+-=+⋅>++-=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则令证明：- 19 -C a x x ln 2a a x 2x dx a x a x x ln a a x x dx a x C a x x ln a dx a x a dx a x x dx a x a x x dx ax x dx a x dx a x x a x x a x d x a x x dx a x a C a x x ln 2a a x 2x dx a x .22222222222222222222222222222222222222222222222222+++⋅++=+++⋅++=+++++⋅=+=+-++=+++∴+-+=+-+=+>+++⋅++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)( )( 2 )( 1 )0( )( 391即②得，由①②又①：证法C a x x ln 2a a x 2x dx a x lna2a a x x ln 2a a x 2x |aa x x |ln 2a a x 2x |tant sect |ln a tant sect a a x tant ,a x a cost sect x a |AB |x,tant a |AC |a |BC |,t B ABC Δ ,tant a x C |tant sect |ln a 2tant sect a 2dtant sect a C |tant sect |ln sectdt sectdt a tant sect a 2dtant sect a sectdt dtant sect dt cost dt t cos cost dt t cos t cos dt t cos t sin tantdt sect tant tantdsect tantdsect a tant sect a dtant sect a tant a sectd a dx a x sect a a x tcos t sec ,2πt 2π,sect a t tan a a x 2πt 2πtant a x 0a C a x x ln 2a a x 2x dx a x .222222222222222222222222222212222323222222222222222222+++⋅++⋅=+⋅-++⋅++⋅=++⋅++⋅=++∴=+==∴+=====∠∴⋅=+++⋅=++=+=-=-⋅=-==⋅⋅=-⋅===+∴=+∴>=<<-=+=+<<-⋅=>+++⋅++⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)( )( 21·21 1· Rt 11 87 )·(1 1111 )·(· · , 01·1 )( 2 )()( 39综合①②③④⑤得则，中，可设在⑤联立③④有④）（公式又③联立①②有②又①，则令：证法 t sec t tan 221 =+提示：)0( )(131>+++=+⎰a C a x x ln dx ax 2222：公式- 20 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++⋅⋅+++⋅=+∴+++⋅++⋅⋅+++=+++⋅+⋅+⋅++⋅+⋅⋅=∴+===∴+====∠++⋅+⋅+⋅=+++⋅⋅=+⋅⋅==+-⋅=⋅--⋅=⋅-⋅=-⋅=+=+-⋅=⋅--⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=-⋅==⋅=+∴⋅=+∴>=<<-=+<<-=∈+=>+++⋅⋅+++⋅=+Ca x x ln a a x a x x dx a x C x a x ln 83aa x 8x a 3a x a x x C a x a x ln a 83a x a a x 8a 3a x aa x a x a tant d t sec a a a x t sect ,a x tant a x x a BC t ABC ΔC tant sect ln a 83tant sect a 83tant t sec a tant d t sec a C tant sect ln tant sect dt sect tant sect tant d t sec a dt t sec tant d sect dt sect dt t sec tant sect sectdt t sec tant sect sectdt t tan tant sect sect d tant tant sect tant d sect tant d sect a tant t sec a tant d t sec a tant d sect a tant d t sec a tant t sec a tant d sect t sec a tant t sec a tant d sect t tan a tant t sec a dt t sec t tan a tant t sec a dt tant sect t sec tant a tant t sec a t sec d tant a tant t sec a tant d t sec a tant a d t sec a dx a x tsec a a x cost sect πt πt sec a a x πt πtant a x R x x a x x f a C a x x ln a a x a x x dx a x 4333333223333232332323333333333)( 83)52(8 )( )(4 4 cos 1 |AB | , |AC |, || , B Rt 41 21 21 21 21 )1( ) 3 (41 3 3 )1(3 3 3 3 ) ( )( )( , 01 , 22 ||)( ,)22( }|{)()( )0( )( 83)52(8 )( .4022422223222222222221224224223224422221444414444444444444444443223223223222242222322则中，设在联立①④得④联立②③得：③又②①移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明： Ctant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 21 -Ca x C a x a x d a x dx a x dx a x x a C a x dx a x x ++=++⋅+⨯=++=+=+⋅>++=+⋅+⎰⎰⎰⎰32221122222122221222232222)(31)(211121 )()(21 )(21 )0( )(31 .41证明：- 22 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++⋅-++⋅=+⋅∴++⋅=++⋅∴>+++++⋅-++⋅=++⋅+++⋅-+⋅=++⋅⋅+++⋅-+⋅⋅=⋅∴+===∴+====∠+⋅++-⋅=⋅++-⋅⋅=-⋅⋅=--⋅=--⋅=⋅+-⋅=-⋅=-⋅=⋅⋅+=⋅⋅+=⋅-⋅⋅+=-⋅⋅+=-⋅⋅+=+=+⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=+⋅∴⋅=+⋅∴>=<<-=+⋅<<-=∈+⋅=>+++⋅-++⋅=+⋅Ca x x ln a a x a x x dx a x x a x x ln a x a x ln a x a x Cx a x ln a a x a x x C a x x x a x ln a a x x a C a a x a x a a x a x ln a a a x a x a t dsec t sec tant a aa x tsect ,a x tant a x x a BC t ABC ΔC sect t tan a tant sect ln a tant sect a t dsec t sec tant a C tant sect ln tant sect dt sect tant sect sect d tant sect d tant dt sect tant sect dt sect t tan dt sect tant sect sectdt t tan tant sect tdt sec tant sect tant d sect tant sect sect d tant t sec t tan a t dsec tant a t sec t tan a t dsec tant a t dsec t sec tant a dsect tant t sec a t sec t tan a t dsec tant a dt t tan t sec a t sec t tan a t dsec tant a t dtan t sec a t sec t tan a t dsec tant a t dsec t tan a t dsec tant a t dsec t tan tant a t dsec t sec tant a t d t sec t tan a tant d sect t tan a tant a d sect t tan a dx a x x sect t tan a a x x costsect πt π sect a t tan a a x x πt πtant a x R x x a x x x f a C a x x ln a a x a x x dx a x x 23222333232333322322222)( 8)2(8 )( 88 0 8)2(8 4 88 4 88 cos 1 |AB | , |AC |, || , B Rt 48821 21 2121)1( 4 4 ) (41 3 3 )1( ) ( )( )( , 01 , 22 ||)( ,)22( }|{)( )0( )( 8)2(8 .42224222222222422422224222222232242241223342242244222214444144444244434444444444443222322222222222242222222，则中，设在联立①②得：②移项并整理得：①移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明： C tant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 23 -)( )( 2 )( 2 21 1 2)(21 , )0( }0|{)( )0(.4322222222222222222222222222222222222222222222122222222222222C x a a x ln a a x Cxa a x ln a a x C a a x a a x ln a a x dx x a x a x t C a t a t ln a t C a t a t ln a a t dt a t a dt dt a t a a t dt a t t dt a t t a t t dx x a x dt at t tdt a t dx a t x a t t t a x x x x a x x f a C x aa x lna a x dx xa x +-+⋅++=+-+⋅++=+-+-+⋅++=++=+--⋅+=++-⋅⋅+=-+=-+-=-=-⋅-=+∴-=⋅-=∴-=≠≥=+≠+=>+-+⋅++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则且令的定义域为被积函数证明：C )( 2 , 1 C )( , 0 2. C )( 01 |AB | , |AC |, || , B Rt 1 1 1 )1( , 01 , 20 , ) ( ,)20( , 0 1. }0|{)( )0(C )( .4422222222222222222222222222222222222222222222222222222222222+++++-=++++++-=+<+++++-=+∴>+++-++++-=++-++=+∴+===+=∴+====∠+-+=+=+=⋅+=⋅+=+⋅=⋅=+∴=+∴>=<<=+==<<=>≠+=>+++++-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x a x ln xa x dx x a x x a x ln xa x dx x a x x x a x ln x a x dx x a x x a x C lna x a x ln x a x C x a x a x a x ln dx x a x a a x cost sect ,a x tant ,ax x sint a x x a BC t ABC ΔC sinttant sect ln dsint t sin dt sect dt t sin cost dt sect dt t sin t cos cost dt sect dt t tan sect dt sect dt t tan t tan sect tdt sec a t tan a sect dx x a x t tan a sect x a x cost sect πt t tan a sect a x a x tdt sec a tant a d dx πt tant a x x x x x a x x f a a x x ln x a x dx x a x 1112222222222222得：综合讨论同理可证得：时当则中，设在，则可令时当的定义域为被积函数证明： Ctant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式C21 2122++-⋅=-⎰a x a x ln a a x dx ：公式- 24 -（七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）2 1 || || ||1|| || 1 . 21 Rt 2)20( . 1}{ 1 1 )0( 453 C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x a x dx ,C a x x ln C aa x x ln C a x x ln C a x x ln C a μμln a μd μa x dx μx ,x μa x ,a x C |a x x |ln |a a x x |ln |t tan t sec |ln ax dx a a x |BC ||AC |t tan ,a x t cos t sec a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔC |tant sect |ln sectdt dt tant a tantsect a a x dx tant a a x πt tant a 1t sec a a x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x ax f(x)a C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x ax dx .22122522422242242242222222222222222222222222222122+-+=+⋅=-+---=+-+-=+-+-=+-+--=+-+-=--=--=-=>--<+-+=-+=+=-∴-====∴-====∠++==⋅⋅⋅=-∴⋅=-<<⋅=-=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+-+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证法 C t tan t sec ln tdt sec ++=⎰|| 87 ：公式- 25 -2 1 || || ||1)( || 1 . 2 || . 1 }{ 1 2 )0( 45 C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x a x dx ,C a x x ln C a a x x ln C a x x ln C a x x ln C a μμln a μd μa x dx μx ,x μa x ,a x C a x x ln C 1a x a x ln C a x arch C t dt dt sht a sht a a x dx shtdt a dx ,sht a a t ch a a x a x arch t 0)(t cht a x ,a x a x a x |x ax f(x)a C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x ax dx .221225224222422422422222232222122222222222122+-+=+⋅=-+---=+-+-=+-+-=+-+--=+-+-=--=--=-=>--<+-+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+==⋅⋅=-∴⋅=⋅=-=-=>⋅=>-<>-=>+-+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，可设时当或的定义域为被积函数：证法- 26 -C a x a x a x dx ,C ax a x a x dx x μC a μa μa μμd a μμd a x dx μx ,x μa x ,a x C a x a x a x dx x a x t sin a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔCt sin a sint d t sin a dt t sin t cos a dt t sin t cos t cos a dt t tan sect a dt t tan a tant sect a a x dx t tan a a x tant πt t tan a a x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x a x f(x)a C ax a x a x dx .222222222222222222222222222222222222+-⋅-=-+-⋅-=--=+-⋅=----=-∴-=-=>--<+-⋅-=-∴-=∴-====∠+-===⋅==⋅⋅⋅=-∴⋅=-><<⋅=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+-⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰23232333232222222232333333333323)( 2 1 )( )()( 1 )()( . 2 )( Rt 1 11 111 1)( )( , 0 20 )( )20( . 1 }{ )(1 )0( )( 46得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 )(211121 )()(21 )(21 )0( .47211222221221C a x C a x a x d a x dx a x dx a x x a C a x dx ax x 222222222222+-=+--⨯=--=-=->+-=----⎰⎰⎰⎰：证明- 27 -1)( 2 1 1)( 1)( 1 )()(. 2 11)( Rt 11 11 1)( )( 20 )( )20( . 1 }{ )()0( 1)( 48333333222232332333333 C ax dx a x x , C a x dx a x x x μCaμμd a μμμd a μμdx a x x μx ,x μa x ,a x Cax C a x a a dx a x x a x at cot a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔC t cot a tdt csc a dt t sin a dt t tan t sec a dt tant sect a t tan a sect dx a x x t tan a sect a x x πt t tan a sect a a x x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x a x xf(x)a C ax dx a x x .22222222222222222222222222222222222222+--=-+--=--=+--=--=-∴-=-=>--<+--=+-⋅-=-∴-=∴-====∠+⋅-=--===⋅⋅⋅⋅=-∴⋅=-<<⋅⋅=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 C a x x ln a a x x dx ax x C a x x ln a a x dxa C a x x ln a a x x dx a x dxax a dx a x dx ax aa x dxax a a x dx a x x a C a x x ln a a x x dx a x x .22222222222222222222222222222222+-+⋅+-=-+∴+-+⋅=-+-+⋅--⋅=--+-=-+-=-+-=->+-+⋅+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22 45)( 53)( 221)( )0( 22 49222222222222222②得：由①公式②公式①证明：。
积分基本公式
2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6. 复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=ϕ(x)分别在点y0=ϕ(x0)与x0可导，则复合函数z=f[ϕ(x)]在x0可导，且或(f oϕ)' (x0)=f '(y0)⋅ϕ'(x0)．证．对应于自变量x0处的改变量∆x，有中间变量y在y0=ϕ(x0)处的改变量∆y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量∆z，（注意∆y可能为0）．现∆z=f'(y0)∆⋅y+v，∆y='ϕ(x0)∆x+u，且令，则v=∆αy，（注意，当∆y=0时，v=∆αy仍成立）．y在x 0可导又蕴含y在x0连续，即∆y=0．于是=f '(y0)⋅ϕ '(x0)+0⋅ϕ'(x0)=f'(y0)⋅ϕ'(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2) 计算复合函数的过程：x→−y →−z复合函数求导的过程：z→−y →−x：各导数相乘例2.3.15求y=sin5x的导数．解．令u=5x，则y=sin u．于是y' ==cos u⋅5=5cos5x．例2.3.16求y=lncos x的导数．解．令u=cos x，则y=ln u．于是．y'=例2.3.17求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．解．因y=，令u=m ln x，则y=e u．y' ==e u⋅m⋅m是正整数n时，即例2.3.2．(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x→−y→−z→−u…v→−w复合函数的求导：w→−v…u→−z→−y→−x：各导数相乘(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．例2.3.18求的导数解．=．(5) 链锁法则的微分形式是：d f(ϕ(x))=f'(ϕ(x))dϕ(x)例2.3.19求函数y=的微分解．d y =dsin2x=⋅2sin x dsin x=⋅2sin x cos x d x=⋅sin2x d x．思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5. 导数与微分的四则运算设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有公式(1) (u±v)' = u'±v'，d(u±v) = d u±d v．公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = v d u+u d v．公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = c d u．公式(4)，(v≠0)．点击此处看公式(1)－(4)的证明．例2.3.11求y=tan x的导数解．(tan x)' ===sec2x．同理可得(cot x)' =-csc2x．例2.3.12求y=sec x的导数．解．(sec x)' ==sec x tan x．同理可得(csc x)' =-csc x cot x．例2.3.13求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数．解一．y' =(1+4x)'(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3)'=4(2x2-3x3)+(1+4x)(2⋅2x-3⋅3x2)=8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3解二．因y =2x2+5x3-12x4，故y' =2⋅2x+5⋅3x2-12⋅4x3=4x+15x2-48x3．例2.3.14求函数y=(x+sin x)ln x的微分．解．d y=ln x d(x+sin x)+(x+sin x)dln x=ln x(d x+dsin x)+(x+sin x)d x=ln x⋅(d x+cos x d x)+d x=d x．2. 导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果x∈X-x0，我们称∆x=x-x00(∆读作delta)为自变量的改变量，∆y=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．如果极限存在，则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作．因∆x=x-x0，x=x0+∆x，故还有．此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线方程是．注意.∆x可正可负，依x大于或小于x0而定．根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：(1)计算函数在自变量x0+∆x处的函数值f(x0+∆x)；(2)计算函数的改变量∆y=f(x0+∆x)-f(x0)；(3)写出函数的差商；(4)计算极限，即导数值．例2.3.1求常数函数y=c的导数．解．因∆y=y(x+∆x)-y(x)=c-c=0，差商=0，故=0．此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0．例2.3.2设n是正整数，求幂函数y=x n在点x处的导数．解．因y(x+∆x)=(x+∆x)n=x n+，∆y=y(x+∆x)-y(x)=，故=．特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程．解．在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y'(2)=3⋅22=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是y-8=12⋅(x-2) ⇔ 12x-y-16=0．注．(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y'(x)，x∈X ．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0，y=x的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．(2)关于改变量的记号∆，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sin x 中的sin一样，绝不能把∆x看成∆与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(∆x)2来表示∆x的平方而不写∆x2 ．从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)例2.3.4y=sin x的导数是(sin x)' =cos x，y=cos x的导数是(cos x)' =-sin x ．例2.3.5 y=log a x(0<a≠1)的导数是(log a x)' =．特别，(ln x)' =1/x．例2.3.6指数函数y=a x(0<a≠1)的导数是(a x)' =a x ln a ．特别，(e x)' =e x．8. 导数的导数--二阶导数一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]' ，称为y=f(x)的二阶导数，记作y'' =f '' (x)，或=．如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n，n阶导数被定义为y(n)=(y(n-1))' ，n=2，3，…统称为函数y的高阶导数．例2.3.22求y=sin x的n阶导数．解．y' =cos x =sin，用归纳法不难求出y(n)=sin．例2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)=v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t)则是运动的加速度．例2.3.24求y =arc tan x的二阶导数y'' ．解．y' =，y'' =-(1+x2)-2(1+x2)' =．思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么f '' (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响.7. 基本初等函数的导数与微分公式=' =-' =-x=x=x=例2.3.20 求y=arcsin 的微分．解．．例2.3.21求y=+arctan e x的导数．解．．12.二元函数的导数与微分(选学）设z=f(x，y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是=，同理，z关于变量y的偏导数是=．我们也记．若z=f(x，y)有连续的偏导数f'x(x，y)，f'y(x，y)，则自变量x与y的改变量∆x与∆y 的线性表达式f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于∆x，∆y的全微分，记作d z=f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y．由于自变量的微分等于自变量的改变量：d x=∆x，d y=∆y，于是二元函数的微分公式是d z=．例2.3.30设f(x，y)=xy+x2-2 y3，求．解．=y+2x (把y看作常数，对x求导数)．=x-6y2(把x看作常数，对y求导数)．例2.3.31求z=e x sin y的全微分．解．d z=sin y d e x+e x dsin y=sin y e x d x+e x cos y d y=e x(sin y d x+cos y d y)．例2.3.32设x+2y+2z-2=0确定二元函数z=z(x，y)，求．解．对方程x+2y+2z-2=0两边求微分，则左端得d x+2d y+2d z-2d右端的微分是0，于是解得d z =，由此得，．13.分段函数的导数(选学）我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数y=f(x)在点x0的导数被定义为极限，这等价于=0 ，记，则=0，由此f(x0+∆x)-f(x0)=[u(∆x)+f’(x0)]∆x，于是[f(x0+∆x)-f(x0)]=[u(∆x)+f’(x0)]∆x=0 ，即f(x0+∆x) = f(x0)．如果记x=x0+∆x，则得f(x)= f(x0) ．这表明函数f(x)在x0连续．因此有定理．若函数y=f(x)在x0可导，则f(x)在x0连续．因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例2.3.33 讨论函数在点x=0的连续性与可导性．解．因,,故,且f(0)=e0=1．由此可见f(x)在x=0连续．其次，为讨论f '(0)，我们需计算极限．为方便计，用x代替 x，为此我们研究极限．现在，，．由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0定义．设函数y =f(x)定义在区间(a,b)内，x0(a,b)，如果极限存在，则称此极限为f(x)在点x0处的右导数，记作f+'(x0)=．类似地，f(x)在点x0的左导数是f-'(x0)=.只有f+'(x0)与f-'(x0)都存在且相等时，f(x)在点x0才可导，且f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0)．即有定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0(a,b)．则f '( x)存在f-'( x0)与f+'( x0)都存在且相等．左导数与右导数统称为单侧导数.例2.3.34讨论函数在x=0的可导性．解．首先讨论f(x)在x=0 的连续性．因，，f(0)=0，故f(x)在x=0连续．其次，因，，故f(x)在x=0可导，且f'(0)=-1．注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数：g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上, 上图中的原点并不属于函数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数是不存在的．1. 曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线, 除P点外还交曲线于Q点．为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．说明：点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点．点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右侧时x>x0；在左侧时x<x0．动直线PQ是曲线的割线．如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限则称PT为曲线在P点的切线．为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定其斜率．由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率的极限, 极限过程是由Q→P产生的．而Q→P即x→x0．设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为α, PT的斜率为k=tanα．现在割线PQ的斜率为：．而切线PT的斜率为：(PQ的斜率)=,由此得切线PT的方程是：y-f(x0)=k( x-x0)．。
分部积分列表法
分部积分列表法一、什么是分部积分列表法分部积分列表法是微积分中的一种计算积分的方法。
在应用分部积分法时，我们通常会遇到一些复杂的积分，无法直接计算。
这时，我们可以将积分分解为多个部分，然后对每个部分进行积分计算，最后再将结果相加得到最终的积分值。
二、分部积分列表法的基本原理分部积分法是基于积分的乘法法则进行推导的。
根据积分的乘法法则，对于两个函数f(x)和g(x)，有以下公式：∫f(x)g’(x)dx = f(x)g(x) - ∫f’(x)g(x)dx这个公式就是分部积分公式，也是应用分部积分法的基本原理。
通过反复应用这个公式，我们可以将一个复杂的积分问题分解为多个简单的积分问题。
三、分部积分列表法的步骤使用分部积分列表法求解积分问题的步骤如下：步骤一：确定分部积分的顺序对于一个复杂的积分问题，我们需要确定分部积分的顺序。
通常，我们选择的顺序是使得每次进行分部积分后，被积函数的形式能够简化或者消除。
步骤二：列出分部积分的列表根据确定的分部积分顺序，我们将每一步的积分计算列为一个列表。
列表的顺序应与分部积分的顺序一致。
步骤三：计算每一步的积分对于列表中的每一项，我们按照分部积分公式进行计算。
每次计算后，我们将结果填入列表中，作为下一步计算的基础。
步骤四：重复步骤三，直至得到最终结果通过反复应用分部积分公式，我们将逐步简化原始的积分问题，直至得到最终的结果。
在每一步计算中，我们可以根据需要选择适当的化简方法，如代数化简、换元法等。
四、分部积分列表法的应用示例下面通过一个具体的例子来说明分部积分列表法的应用。
例：计算∫x^2cos(x)dx步骤一：确定分部积分的顺序我们选择x^2作为f(x)，cos(x)dx作为g’(x)。
步骤二：列出分部积分的列表步骤f(x) g’(x)1 x^2 cos(x)2 2x -sin(x)3 2 -cos(x)4 0 -sin(x)步骤三：计算每一步的积分根据分部积分公式，我们可以得到每一步的积分结果：步骤f(x) g’(x)∫f(x)g’(x)dx1 x^2 cos(x) x^2sin(x)2 2x -sin(x) -2xcos(x)3 2 -cos(x) -2sin(x)4 0 -sin(x) 0步骤四：重复步骤三，直至得到最终结果将每一步的积分结果相加，得到最终的积分结果：∫x^2cos(x)dx = x^2sin(x) - 2xcos(x) - 2sin(x) + C其中C为常数项。