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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷
(江西师大附中使用)高三理科数学分析
一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明,从考生熟悉的基础知识入手,多角度、多层次地考查了学生
的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力,立足基础,先易后难,难易适中,强调应用,不偏不怪,达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内,几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容,体现了“重点知识重点考查”的原则。
1.回归教材,注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则,尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及,其中应用题与抗战胜利70周年为背景,把爱国主义教育渗透到试题当中,使学生感受到了数学的育才价值,所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际,操作性强。 2.适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题,都是综合性问题,难度较大,学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力,以及扎实深厚的数学基本功,而且还要掌握必须的数学思想与方法,否则在有限的时间内,很难完成。 3.布局合理,考查全面,着重数学方法和数学思想的考察
在选择题,填空题,解答题和三选一问题中,试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数,三角函数,数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体,立意于能力,让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析
1.【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点,且满足AB AC →
→
=,则AB AC →
→
⋅的最小值为( )
A .1
4-
B .1
2-
C .3
4-
D .1-
【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识,是向量与三角的典型综合题。解法较多,属于较难题,得分率较低。 【易错点】1.不能正确用OA ,OB ,OC 表示其它向量。 2.找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。 【解题思路】1.把向量用OA ,OB ,OC 表示出来。 2.把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O ,由AB AC →→
=得,22
()()OB OA OC OA -=-,因为
1OA OB OC ===,所以有,OB OA OC OA ⋅=⋅则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-
2OB OC OB OA OA OC OA =⋅-⋅-⋅+ 21OB OC OB OA =⋅-⋅+
设OB 与OA 的夹角为α,则OB 与OC 的夹角为2α
所以,cos 22cos 1AB AC αα⋅=-+211
2(cos )22
α=--
即,AB AC ⋅的最小值为1
2
-,故选B 。
【举一反三】
【相似较难试题】【2015高考天津,理14】在等腰梯形ABCD 中,已知
//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,
1
,,9BE BC DF DC λλ
==则AE AF ⋅的最小值为 .
【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ,体现了数形结合的基本思想,再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅,体现了数学定义的运用,再利用基本不等式求最小值,体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】
2918
【解析】因为1,9DF DC λ=
1
2
DC AB =,
119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ
--=-=
-==, AE AB BE AB BC λ=+=+,
19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλ
λλ
-+=++=++=+,
()
221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC
λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛
⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
19199421cos1201818
λλ
λλ++=
⨯++⨯⨯⨯
︒2117172992181818λλ=
++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为
29
18
. 2.【试卷原题】20. (本小题满分12分)已知抛物线C 的焦点()1,0F ,其准线与x 轴的
交点为K ,过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上; (Ⅱ)设8
9
FA FB →
→
⋅=
,求BDK ∆内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系,圆的标准方程,韦达定理,点到直线距离公式等知识,考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法,是直线与圆锥曲线的综合问题,属于较难题。
【易错点】1.设直线l 的方程为(1)y m x =+,致使解法不严密。
2.不能正确运用韦达定理,设而不求,使得运算繁琐,最后得不到正确答案。 【解题思路】1.设出点的坐标,列出方程。 2.利用韦达定理,设而不求,简化运算过程。 3.根据圆的性质,巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】(Ⅰ)由题可知()1,0K -,抛物线的方程为2
4y x =
则可设直线l 的方程为1x my =-,()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -,
故214x my y x =-⎧⎨=⎩
整理得2440y my -+=,故121244y y m y y +=⎧⎨=⎩
则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭
令0y =,得1214
y y
x ==,所以()1,0F 在直线BD 上.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知121244
y y m y y +=⎧⎨=⎩,所以()()2
12121142x x my my m +=-+-=-,
()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-,()221,FB x y →
=-
故()()()2
1212121211584FA FB x x y y x x x x m →
→
⋅=--+=-++=-,
则284
84,93
m m -=
∴=±,故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=