17 S-L 本征值问题

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第 16 章 S-L 本征值问题
分离变量法总结
前面我们已经处理了几种典型的偏微分方程定解问题， 其中介绍了求解二阶线性偏微分方程定解问题的一种有效方 法——分离变量法。 分离变量法（又称为本征函数展开法）是求解线性偏微 分方程定解问题最常用的重要方法。 基本思想：把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中 有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题。先求解 相应的常微分方程的本征值问题。得到满足一定条件（如边 界条件）的特解族，然后再用线性组合的办法组合成级数或 含参数的积分，最后得到适合定解条件的特解。
a = 0, b = π; k (θ ) = sin θ , q(θ ) = 0, ρ(θ ) = sinθ
y ( x = ±1) 有界，
y (±1) < ∞
再加上自然边界条件：
就构成勒让德方程本征值问题：
d ⎡ 2 dy ⎤ ⎢ (1 − x ) dx ⎥ + λ y = 0, dx ⎣ ⎦
或
⎧ d ⎛ dΘ ⎞ ⎪ ⎜ sin θ ⎟ + λ sin θ Θ = 0 , dθ ⎠ ⎨ dθ ⎝ ⎪ y (θ = 0) < ∞, y (θ = π) < ∞ ⎩
d dy [k ( x) ] − q( x) y + λρ( x) y = 0 dx dx
叫作施图姆－刘维尔型方程（S-L方程）。
(a ≤ x ≤ b)
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第 16 章 S-L 本征值问题
研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般的二 阶常微分方程
施图姆－刘维尔型方程附加以齐次的第一类、第二类或第 三类边界条件，或自然边界条件(自然周期条件) ，就构成 施图姆－刘维尔本征值问题 。
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第 16 章 S-L 本征值问题
讨论 (1) 或
a = −1, b = +1; k ( x) = 1 − x 2 , q ( x) = 0, ρ ( x) = 1
f ( x) = ∑ f n yn ( x) 2 L f n = ∫ f ( x) yn ( x) dx L 0
•例题2 •本征解 •正交性
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y"+λy = 0, y( x + 2π ) = y( x)
ym = exp( imx), λm = m2 , m = 0, ± 1, ± 2,
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第 16 章 S-L 本征值问题
常见本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F. Sturm)－ 刘维尔(J.Liouville)本征值问题，本节讨论具有普遍意义的 施图姆－刘维尔本征值问题． 通常把具有如下形式二阶常微分方程
∫
2π
0
ym ( x) yn ( x)dx = 2πδ n,m
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第 16 章 S-L 本征值问题
•完备性
f ( x ) = ∑ f n yn ( x ) fn =
1 2π
∫
2π 0
f ( x ) yn ( x ) dx
•例题 3 •本征解 •正交性 •完备性
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施图姆—刘维尔本征值问题
从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微分方程 往往还附有边界条件，这些边界条件可以是明确写出来 的，也可以是没有写出来的所谓自然边界条件（或自然周 期条件）。满足这些边界条件的非零解使得方程的参数只 能取某些特定值，这些特定值叫做本征值(或特征值、或 固有值)，相应的非零解叫做本征函数（特征函数、固有 函数)。 求本征值和本征函数的问题叫做本征值问题。
S－L 型本征值问题的有关结论也适用于勒让德方程本征 值问题、连带勒让德方程本征值问题、贝塞尔方程的本征 值问题
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第 16 章 S-L 本征值问题
(4)
a = 0, b = L; k = 1, q = 0, ρ = 1
Mathematical Methods for Physics
第三篇 特 殊 函 数
Special functions
北京航空航天大学 物理科学与核能工程学院
第三篇 特 殊 函 数 Special functions
第十六章 特殊函数的一般理论 施图姆—刘维尔本征值问题
Problems of Sturm-Liuville equations
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第 16 章 S-L 本征值问题
注意：求解本征值问题时，要求所对应的定解条件必须 是齐次的(非齐次者，需先齐次化)。因而此解法对于定解 问题中微分方程的具体形式有一定的限制，同时对所讨论 问题的空间区域形状也有明显限制。还涉及到正交曲面坐 标系的选取等。 分离变量法理论依据： Sturm–Liouville型方程的本征值问题。
本征值问题为：
⎧ y "+ λ y = 0, ⎨ ⎩ y (0) = y ( L ) = 0
施图姆—刘维尔本征值的性质 可数性：存在可数无限多个本征值； 非负性：所有本征值均为非负数；
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第 16 章 S-L 本征值问题
施图姆—刘维尔本征函数集合的正交性和完备性 •正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交
[(1 − x ) y ']' + λ y = 0, y ( ± 1) < ∞
2
λl = l (l + 1), yl = Pl ( x ), l = 0,1, 2,
∫
1
−1
Pl ( x ) Pn ( x )dx = δ l ,n N
2 n
f ( x) = fl =
1 N l2
∑ ∫
1 −1
∞ l=0
∫
b
a
2 ym ( x) yn ( x)ρ ( x)dx = δ n ,m N m
•完备性：满足边界条件的光滑函数可按本征函数展开。
f ( x ) = ∑ f n yn ( x )
•展开系数
fn =
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1 2 Nn
∫
b
a
f ( x ) yn ( x ) ρ ( x )dx
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第 16 章 S-L 本征值问题
分离变量法中心内容 用分离变量法求解各种有界问题； 分离变量法基本要求 着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其 核心问题---本征值问题 掌握求解非齐次方程的本征函数展开法 掌握将非齐次边界条件齐次化的方法 应该掌握在球、柱坐标系中对 Δu = 0和 Δu + λu = 0 分离变量会得到哪些特殊函数微分方程。
f l Pl ( x )
f ( x ) Pl ( x ) d x
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本课程讲授计划全部完成！
谢谢！
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•例题1 •本征解 •正交性 •完备性
y"+ λy = 0, y (0) = y ( L) = 0 2 π yn = sin wn x, λn = wn , wn = nL , n = 1, 2,
∫
L 0
L y m ( x ) y n ( x )d x = δ n , m 2
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第 16 章 S-L 本征值问题 m2 (2) a = −1, b = +1 k ( x ) = 1 − x 2 , q ( x) = , ρ ( x) = 1 2 1− x
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或
a = 0, b = π m2 , ρ (θ ) = sin θ k (θ ) = sin θ , q(θ ) = sin θ 再加上自然边界条件： y ( ±1) 有界.
m2 (3) k ( x) = x, q ( x) = − , x
ρ ( x ) = x, λ = μ = k 2
的情况) μ >0
S-L型方程对应于贝塞尔方程(本征值
第一类边界条件的贝塞尔方程本征值问题为：
⎧ d dR m2 [ρ ] + (− )R + k 2 ρR(ρ) = 0 (0 ≤ ρ ≤ ρ0 ) ⎪ ρ ⎨ dρ dρ ⎪ R(ρ ) = 0, m = 0,1, 2, 3, | R(0) |< M , 0 ⎩
即构成连带勒让德方程本征值问题
⎧d ⎡ dy ⎤ m 2 (1 − x 2 ) ⎥ − y + λ y = 0, ⎪ ⎢ 2 dx ⎦ 1 − x ⎨ dx ⎣ ⎪ y (±1)有限. ⎩
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第 16 章 S-L 本征值问题
y ′′ + a( x) y ′ + b( x) y + λc( x) y = 0
通常乘以适当的函数
∫ a ( x )dx e
，就可化成 S-L方程
d ∫ a ( x )dx dy ∫ a ( x )dx ] y + λ[c( x)e ∫ a ( x )dx ] y = 0 [e ] + [b( x)e dx dx