【2020创新设计 二轮专题复习 文科数学】大题每日一题规范练(第一周)

星期一(数列) ____年____月____日

【题目1】 已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，公比q ＝2，且S 2＝3，等差数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝－b 5. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n 的最大值. 解 (1)∵等比数列{a n }满足公比q ＝2，S 2＝3， ∴S 2＝a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3，解得a 1＝1， ∴a n ＝a 1×q n －1＝2n －1. (2)由题及(1)知，b 2＝a 3＝4. ∵b 3＋b 5＝0，∴b 4＝0，

则等差数列{b n }的公差d ＝b 4－b 2

2＝－2， b 1＝b 2－d ＝4＋2＝6，

∴T n ＝6n ＋n （n －1）

2

×(－2)＝－n 2

＋7n ，

＝－⎝ ⎛

⎭

⎪⎫n －722＋494，

故当n ＝3或4时，T n 取得最大值，此时T 3＝T 4＝12.

星期二(三角) ____年____月____日

【题目2】 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R ). (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；

(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π4，π2，求cos 2x 0的值.

解 (1)∵f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π6.

∴函数f (x )的最小正周期为π. 又x ∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－12，1，

∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.

(2)∵f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65， ∴sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x 0＋π6＝35，

又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，

∴cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x 0＋π6＝－4

5， ∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝

⎛

⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6

＝－45×32＋35×12＝3－4310.

星期三(概率与统计)____年____月____日

【题目3】某市为了了解民众对开展创建文明城市工作以来的满意度，随机调查了40名群众，并将他们随机分成A，B两组，每组20人，A组群众给第一阶段的创文工作评分，B组群众给第二阶段的创文工作评分，根据两组群众的评分绘制了如图所示的茎叶图.

(1)根据茎叶图比较群众对两个阶段的创文工作满意度评分的平均值和集中程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；

(2)完成下面的列联表，并通过计算判断是否有99%的把握认为民众对两个阶段创文工作的满意度存在差异？

，n＝a＋b＋c＋d.

参考公式：K2＝

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

解(1)根据茎叶图看出，B组群众给第二阶段创文工作满意度评分的“叶”大部分分布在“茎”的7、8、9上，也相对集中在峰值的附近，

∴B 组群众给第二阶段创文工作满意度评分的平均值高于A 组群众给第一阶段创文工作满意度评分的平均值，且给分相对于A 组更集中些. (2)填写列联表如下：

计算K 2＝40×（11×17－9×3）2

20×20×14×26

≈7.033>6.635，

∴有99%的把握认为民众对两个阶段创文工作的满意度存在差异.

星期四(解析几何) ____年____月____日

【题目4】 已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P (x 0，3)为抛物线C 上一点，且|PF |＝4，过点A (a ，0)作抛物线C 的切线AN (斜率不为0)，设切点为N . (1)求抛物线C 的标准方程； (2)求证：以FN 为直径的圆过点A . (1)解 由题知，|PF |＝y P ＋p

2， ∴4＝3＋p

2，解得p ＝2， ∴抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .

(2)证明 设切线AN 的方程为y ＝k (x －a )，k ≠0，

联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k （x －a ）

消去y 可得x 2－4kx ＋4ka ＝0，

由题意得Δ＝16k 2－16ka ＝0，即a ＝k ， ∴切点N (2a ，a 2)，又F (0，1)，A (a ，0)， ∴AF

→＝(－a ，1)，

→＝(a，a2).

AN

因此AF→·AN→＝(－a，1)·(a，a2)＝0.

∴∠F AN＝90°，故以FN为直径的圆过点A.

星期五(立体几何)____年____月____日

【题目5】如图所示的几何体QP ABCD为一简单组合体，

在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，P A∥QD，P A＝1，AD＝AB＝QD＝2.

(1)求证：平面P AB⊥平面QBC；

(2)求该组合体QP ABCD的体积.

(1)证明因为QD⊥平面ABCD，P A∥QD，