【2020创新设计 二轮专题复习 文科数学】大题每日一题规范练(第一周)

星期一(数列) ____年____月____日【题目1】 已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，公比q ＝2，且S 2＝3，等差数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝－b 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n 的最大值. 解 (1)∵等比数列{a n }满足公比q ＝2，S 2＝3， ∴S 2＝a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3，解得a 1＝1， ∴a n ＝a 1×q n －1＝2n －1. (2)由题及(1)知，b 2＝a 3＝4. ∵b 3＋b 5＝0，∴b 4＝0，则等差数列{b n }的公差d ＝b 4－b 22＝－2， b 1＝b 2－d ＝4＋2＝6，∴T n ＝6n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋7n ，＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋494，故当n ＝3或4时，T n 取得最大值，此时T 3＝T 4＝12.星期二(三角) ____年____月____日【题目2】 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R ). (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值.解 (1)∵f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最小正周期为π. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)∵f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45， ∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.星期三(概率与统计)____年____月____日【题目3】某市为了了解民众对开展创建文明城市工作以来的满意度，随机调查了40名群众，并将他们随机分成A，B两组，每组20人，A组群众给第一阶段的创文工作评分，B组群众给第二阶段的创文工作评分，根据两组群众的评分绘制了如图所示的茎叶图.(1)根据茎叶图比较群众对两个阶段的创文工作满意度评分的平均值和集中程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)完成下面的列联表，并通过计算判断是否有99%的把握认为民众对两个阶段创文工作的满意度存在差异？，n＝a＋b＋c＋d.参考公式：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解(1)根据茎叶图看出，B组群众给第二阶段创文工作满意度评分的“叶”大部分分布在“茎”的7、8、9上，也相对集中在峰值的附近，∴B 组群众给第二阶段创文工作满意度评分的平均值高于A 组群众给第一阶段创文工作满意度评分的平均值，且给分相对于A 组更集中些. (2)填写列联表如下：计算K 2＝40×（11×17－9×3）220×20×14×26≈7.033>6.635，∴有99%的把握认为民众对两个阶段创文工作的满意度存在差异.星期四(解析几何) ____年____月____日【题目4】 已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P (x 0，3)为抛物线C 上一点，且|PF |＝4，过点A (a ，0)作抛物线C 的切线AN (斜率不为0)，设切点为N . (1)求抛物线C 的标准方程； (2)求证：以FN 为直径的圆过点A . (1)解 由题知，|PF |＝y P ＋p2， ∴4＝3＋p2，解得p ＝2， ∴抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)证明 设切线AN 的方程为y ＝k (x －a )，k ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k （x －a ）消去y 可得x 2－4kx ＋4ka ＝0，由题意得Δ＝16k 2－16ka ＝0，即a ＝k ， ∴切点N (2a ，a 2)，又F (0，1)，A (a ，0)， ∴AF→＝(－a ，1)，→＝(a，a2).AN因此AF→·AN→＝(－a，1)·(a，a2)＝0.∴∠F AN＝90°，故以FN为直径的圆过点A.星期五(立体几何)____年____月____日【题目5】如图所示的几何体QP ABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，P A∥QD，P A＝1，AD＝AB＝QD＝2.(1)求证：平面P AB⊥平面QBC；(2)求该组合体QP ABCD的体积.(1)证明因为QD⊥平面ABCD，P A∥QD，所以P A⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC，因为AB⊥BC，且AB∩P A＝A，所以BC⊥平面P AB，又BC⊂平面QBC，所以平面P AB⊥平面QBC.(2)解连接BD，如图所示，平面QDB将几何体分成四棱锥B－P ADQ和三棱锥Q－BDC两部分，过B作BO⊥AD，因为P A⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以P A⊥BO，又AD⊥OB，P A∩AD＝A，所以BO⊥平面P ADQ，即BO为四棱锥B－APQD的高，因为BO＝AB sin 60°＝3，S四边形P ADQ＝12(1＋2)×2＝3，所以V B－P ADQ＝13·BO·S四边形P ADQ＝ 3.因为QD⊥平面ABCD，且QD＝2，又△BCD为顶角等于120°的等腰三角形，BD＝2，S△BDC＝33，所以V Q－BDC＝13·S△BDC·QD＝23 9，所以组合体QP ABCD的体积为3＋239＝1139.星期六(函数与导数) ____年____月____日【题目6】 已知函数f (x )＝ln xx －kx (k ∈R ).(1)当k ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )<0恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)当k ＝0时，f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， ∴f (1)＝0，f ′(1)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.(2)若f (x )<0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即k >ln xx 2对x >0恒成立， 设g (x )＝ln xx 2， 可得g ′(x )＝1－2ln xx 3， 由g ′(x )＝0，可得x ＝e ， 当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >e 时，g ′(x )<0， g (x )在(e ，＋∞)上单调递减. 因此g (x )在x ＝e 处取得极大值， 且最大值是g (e)＝12e.所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12e ，＋∞.星期日(选考部分) ____年____月____日【题目7】 在下面两个题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分. 1.选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)求圆C 1的普通方程和圆C 2的直角坐标方程； (2)判断圆C 1与圆C 2的位置关系.解 (1)由圆C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，得圆C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4. 由圆C 2的极坐标方程ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，可得ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，可转换为圆C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x －2y ，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. (2)由(1)知，圆C 1的半径r 1＝2，圆心坐标为(0，2)， 圆C 2的半径r 2＝2，圆心坐标为(1，－1)， ∴圆心距d ＝（1－0）2＋（－1－2）2＝10，∴r 1－r 2＝2－2<10，r 1＋r 2＝2＋2>10， ∴圆C 1与圆C 2相交. 2.选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.(1)若关于x 的不等式f (x )>a 有解，求实数a 的取值范围； (2)解不等式f (x )<x 2－2x . 解 (1)f (x )＝|x －2|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－1，－2x ＋1，－1<x <2，－3，x ≥2，故f (x )的值域为[－3，3]， ∴f (x )的最大值是3，若f (x )>a 有解，则有a <f (x )max ，即a <3， ∴a 的取值范围是(－∞，3).(2)当x ≤－1时，x 2－2x >3，得x <－1； 当－1<x <2时，x 2－2x >－2x ＋1，得1<x <2； 当x ≥2时，x 2－2x >－3，得x ≥2.综上，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).。