第四章方差分析
第四章+方差分析
§4 方差分析¾问题的提出[引例1] 为研究光照条件对某种有机物降解速度的影响，在人工控制的六种不同光强条件下，测定了该有机物24小时内的降解速度。
光强条件重复测定结果117.724.827.925.224.3219.422.62722.123320.72120.518.818.6417.319.419.116.920.851719.49.111.915.8614.312.411.811.614.2光照条件是否影响该有机物的降解速度？－不同的光照条件下降解速度是否存在显著性差异？单因素方差分析¾问题的提出[引例2] 为比较3种松树在4个不同地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机地选取5株，测量它们的胸径。
在不同地区松树的胸径是否存在显著性差异？双因素等重复方差分析¾问题的提出[引例3]为研究3种不同作物对污泥中镉吸收能力的差别，选择了4个地块进行栽培试验。
将每一个地块划分成三个小区，三种作物随机地分种在每个地块的三个小区上。
在所有地块上施用同等数量的污泥，作物收获后分别测定了其中镉的积累量（ug/kg)：不同作物对镉的吸收是否有显著性差异？不同地块下作物对镉的吸收是否有显著性差异？双因素无重复方差分析§4 方差分析¾研究论文¾利用t 检验进行2个以上总体均值比较的弊端¾检验过程烦琐¾无统一的试验误差，犯第I类错误的概率增大=2510C ααα−10.4’10＝0.05＝（1-）＝¾方法的提出英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出方差分析方法(analysis of variance，ANOVA)。
方差分析的基本思想是：把全部数据关于总均值的离差平方和分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平作用所产生的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认某些因素或交互作用的重要性。
方差分析可用于多个样本均值的比较、分析多个因素的交互作用、方差的同质性检验、回归方程的显著性检验。
spass课件,教程,第四章_方差分析
95% 置信区间
下限
上限
-.641 2.934
.676 4.251
-2.934
.641
-.388 3.021
-4.251 -.676
-3.021
.388
多重比较结果，从表中可知密度1和密度3两两之间差异显著；密度1和2， 2和3之间差异不显著。
第四章 方差分析
（analysis of variance, 简称为ANOVA）
温度 30℃ 101
79 60
35℃ 89 80 67
第四章 方差分析
（analysis of variance, 简称为ANOVA）
第四章 方差分析
（analysis of variance, 简称为ANOVA）
第四章 方差分析
（analysis of variance, 简称为ANOVA）
单变量单因子方差分析
单变量方差分析属于广义线性模型（General Linear Model）中的 一部分， 本分析包括的范围非常广泛，既可以分析单因子，也可 以分析多因子，还可以进行协方差，最后给出方差分析表，并可 以进行多重比较。和单因子方差分析（One way ANOVA）相比， 单因子方差分析中的都可以在本分析中实现。
从表中可知，p=0.047<0.05,说明三个不同密度的燕麦产量差异显著。 进而可以进行多重比较。
多重比较结果，从表中可知密度1和密度3两两之间差异显著；密度1和2， 2和3之间差异不显著。
第四章 方差分析
（analysis of variance, 简称为ANOVA）
因变量: 温度
5.2 三个不同温度处理下的盆栽小麦的重量（g）分 别如下表所示，并且每一温度处理下的盆数（重复） 不相同，试问三种不同温度处理的小麦重量有无差 异。
第四章方差分析
第四章⽅差分析第四章⽅差分析⼀、填空题1、⽅差分析就是通过对实验数据进⾏分析，检验⽅差时，各正态总体的是否相等，以判断各因素对试验指标的影响是否相等。
2、单因素⽅差分析的数学模型为。
3、在单因素⽅差分析中，总偏差平⽅和分解公式为。
4、对于具有s 个⽔平的单因素A 实验⽅差分析（⽔平i A 对应的总体为),(2σµi N （i =1,2,…,s ），现取样，设各⽔平下的样本容量之和为n ,以T e A S S S ,,分别表⽰因素A 的效应平⽅和、误差平⽅和、总偏差平⽅和，则（1）T e A S S S ,,之间的关系是___________；（2）在s µµ==...1成⽴的条下，~)/()1/(s n S s S E A --___________；（3）在显著性⽔平α下，假设“s H µµ==...:10，s H µµ,...,:11不全相等”的拒绝域形式是_________4、⽅差分析的⽬的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5、在⼀个单因⼦试验中，因⼦A 有4个⽔平，每个⽔平下重复次数分别为：5，7，6，8 那么误差平⽅和的⾃由度，因⼦A 的平⽅和的⾃由度为。
6、单因素试验⽅差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、⽅差齐性、独⽴性．⼆、简述题1、简述⽅差分析解决什么问题。
2、单因素⽅差分析的数学模型是什么？3、单因素⽅差分析中的总偏差平⽅和分解公式是什么？4、单因素⽅差分析中，总偏差平⽅和、组间偏差平⽅和（因⼦平⽅和）、组内偏差平⽅和（误差平⽅和）分别是由什么引起的？5、⽅差分析的检验⼀般⽤什么检验法？6、⽅差分析的⽬的及思想（结合单因素）。
三、单选题1、⽅差分析是⼀个（）问题。
A 、假设检验B 、参数估计C 、随机试验D 、参数检验2、在⽅差分析中，（）反映的是样本数据与其组平均值的差异 A 总离差 B 组间误差 C 组内误差 D A,B,C 全错3、∑∑==-si n j i ij iX X 112)(是（）B 组间平⽅和C 总离差平⽅和 D4、单因素⽅差分析中，数据i ij n j r i X ,,2,1;,,2,1, ==可以看作是取⾃（）。
第四章协方差分析
MSe
1 n
xi• x•• E XX
2
(4 18)
即：各处理的方差应具备齐性，它们都是从具有 同一方差的正态总体中的来的；个处理的回归系
数i均等于以及反应变量与协变量之间的回归 系数≠0。因此，在对一组数据做协方差分析时，
首先要对以上各个条件做检验。只有以上条件得 到满足时，才能做协方差分析。
yij i (xij x•• ) ij
i 1,2,, a
j
1,2,, n
(4 1)
其中yij是第 i 次处理所得到的反应变量的第 j 次
观察值。cij是相当于yij的协变量值。c··是cij的 平均数，是总平均数，i是第i次处理效应， 是yij在cij上的线性回归系数，ij是随机误差成份。 做协方差分析，需要满足以下几个条件：ij是 服从正态分布的独立随机变量；≠0，即yij与cij
变差来源
平方 和
回归 处理
误差 总和
S2XY／SXX SS’e－SSe＝(SYY－S2XY／SXX)
－(EYY－E2XY／EXX) SSe＝EYY－E2XY／EXX
SYY
自由度 1
a－１
a(n－1)－1 an－1
均方 (SS’e－SSe)／(a－1)
F (SS’e－SSe)／ (a-1)／MSe
MSe＝SSe／[a(n－1)－1]
2
a i1
n j 1
yi2j
y•2• an
SXX
a i 1
n j 1
xij
x••
2
a i 1
n j 1
xi2j
x•2• an
a n
S XY
xij x••
i1 j1
yij y••
第四章 方差分析课件
Ａ
Ｂ
Ｃ
24
20
20
36
18
11
25
17
6
14
10
3
26
19
0
34
24
-1
23
4
5
合计
n
7
6
8
21
Σ jΧ
182
108
48
338
Σ jΧ 2
5054
2050
608
7712
X
26
18
6
22.8
SS组内
(xij xi )2
ij
v组 内nk
组内均方 MS组内= SS组内/ 组内
三者关系：
1. SS总= SS组间＋ SS组内 2. 总 = 组间 ＋组内
4
5
合计
n
7
6
8
21
Σ jΧ
182
108
48
338
Σ jΧ 2
5054
2050
608
7712
X
26
18
6
22.8
表 ５ .１ 三 种 方 案 治 疗 后 血 红 蛋 白 增 加 量 （ ｇ ／ Ｌ ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
24
20
20
36
18
11
25
17
6
14
10
3
26
19
0
34
24
-1
23
4
5
合计
n
7
6
8
21
Σ jΧ
6 108
8 48
21 338
单因素方差分析ppt课件
SEn1i
1 nk
这里Байду номын сангаас
SE
SE n s
i k的置信度为 1 的置信区间为
yi. yk. t/2(ns)
SEn 1i n 1k
总结：
方差分析是检验同方差的若干正态总体均值是否相 等的一种统计分析方法。
即若两个变差差别不大， 各个水平差异不大； 若两个变差差别较大，则不同水平存在显著差异。
3、平方和的分解
记
1 s ni y n i1 j1 yij
s
ST
ni
(yij y)2
s
ni
(yijyi yi y)2
i1 j1
i1 j1
s n i
(y ij y i)2 2 (y ij y i)y ( i y ) (y i y )2
1 ni
2
ni 1 j1 yij yi
是来自正态总体 N(i,2) 的样本
yi1,yi2,yini 的样本方差，所以：
12j ni1(yijyi)2~2(ni1)
n i
2 n i
2
n i
2
S E y 1 j y 1 y 2j y 2 y s j y s
j 1
j 1
ni
yij
j 1
应差异不大，
其差异主要有随机误差造成的。
若因素A的各个水平对试验结果影响不同， 则 y i 差异应比较明显，此差异应有系统误差所引起 不能再认为只有随机误差造成的。
2、方差分析的基本思想： 从所有观测值的总变差中分析出系统变差和随机误差， 通过比较二者的大小关系， 说明试验因素的不同水平对试验结果影响的大小。
来源 因子 误差 总和
平方和
第四章方差分析2
H A0 : µ1 = µ2 = L = µr ; H A1 : 至少存在一对µi ≠ µ j ,
1 s 1 设 : x i ⋅ = ∑ x ij , ( i = 1, 2, L , r ), x ⋅ j = s j =1 r 1 x = rs
H B 0 : µ1 = µ 2 = L = µr ; H B1 : 至少存在一对µi ≠ µ j ,
Y i ~ N ( µ i , σ 2 ), ( i = 1, 2 , L , r ), 且 相 互 独 立 , y ij 是 Y ij的 样 本 值 , 在 同 一 Y i 下 , 样 本 Y ij ~ N ( µ i , σ 2 )( j = 1, 2 , L , n i ) 也 相 互 独 立 ,
∴ µ i的 1 − α 置 信 区 间 为 : Yi ⋅ − tα / 2 ( n − r )
2 SE , Yi ⋅ + tα / 2 ( n − r ) ni ( n − r ) 2 SE ni ( n − r )
9
结束
就例1而言 就例 而言, 而言
αˆ 1 = y 1 ⋅ − y = 1 7 3 . 5 − 1 9 0 . 3 3 = − 1 6 . 8 3 , αˆ 2 = y 2 ⋅ − y = 1 8 7 . 7 5 − 1 9 0 . 3 3 = − 2 . 5 8 , αˆ 3 = y 3 ⋅ − y = 2 0 9 . 7 5 − 1 9 0 . 3 3 = 1 9 . 4 2 .
2 A
2 A
( r − 1) , S = S
2 E
2 E
2 SA ( n − r ) , F = 2 ~ F ( r − 1, n − r ). SE
6
理学第四章方差分析
LSR0.01
q0.01
S x
表4 不同品种4个月增重量试验LSR值（q法）
M
2
3
4
q0.05
3.08
3.77
4.20
q0.01
4.32
5.04
5.50
LSR0.05 LSR0.01
4.65 6.52
5.69
6.34
7.61
8.30
3、三种方法的比较
表5 猪品种4个月增重量差异显著性比较表（Duncan法）
记字母法。这种方法首先将全部平均数以大到小依次排 列，然后在最大的平均数上标字母a，将该平均数与以下 各平均数相比，凡相差不显著的（〈 LSD）都标上字母a， 直至某个与之相差显著，则标以字母b。
在以该标有b的平均数为标准，与各个比它大的平均 数比较，凡差异不显著的在字母a的右边加标字母b。然 后再以标b的最大平均数为标准与以下未曾标有字母的平 均数比较，凡差异不显著的继续标以字母b，直至差异显 著的平均数标以字母c，在与上面的平均数比较，如此重 复，直至最小的平均数有了标记字母，并与上面的平均 数比较后为止。
b
A
表7 不同品种4个月增重量差异显著表(LSD检验)
平均数
差异显著性
xi
0.05
0.01
大白
30.9
a
A
沈花
27.9
ab
AB
沈白
25.8
b
AB
沈黑
24.1
b
B
根据上述检验计算，可以看到在跨距M=2时，LSD 法，SSR法和q检验的显著尺度是相同的。当 M 3时， 三种检验的显著尺度便不相同，LSD最低，SSR法次之， q检验法最高。因此，对于精度要求高的试验应用q检验， 一般试验可用SSR法。
第四章多个样本均数比较的方差分析
第四章多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想是通过比较各组或处理的均值差异与各组内的个体间差异来判断是否存在显著差异。
在进行方差分析之前，需要满足一些前提条件，如对总体的抽样是简单随机抽样、各样本之间是独立的等。
这些前提条件的满足保证了方差分析的可靠性。
多个样本的方差分析是通过计算组间离差平方和（SSTr）、组内离差平方和（SSE）和总离差平方和（SST）来比较各组或处理之间的差异。
计算公式为：SSTr = Σni(x̄i - x̄)²SSE = ΣΣ(xij - x̄i)²SST=SSTr+SSE其中，n是每组或处理的样本个数，ni是第i组或处理的样本个数，x̄i是第i组或处理的样本均值，x̄是全部样本的均值，xij是第i组或处理的第j个样本值。
通过计算SSTr和SSE，可以得到均方值（MS）：MStr = SSTr / (r - 1)MSE=SSE/(N-r)其中，r是组或处理的个数，N是总样本个数。
接下来，需要计算F值，用于判断各组或处理均值是否有显著差异：F = MStr / MSE根据F值和自由度，可以查找F表来确定是否存在显著差异。
如果F 计算值大于F临界值，则拒绝原假设，表示均值之间存在显著差异。
方差分析还可以进行多重比较，用于确定具体哪些组或处理之间存在显著差异。
常用的多重比较方法有Tukey的HSD（最大均值差异）和Bonferroni方法。
方差分析的优点是可以同时比较多个样本的均值差异，具有较好的统计效应。
然而，方差分析也存在一些限制，如对正态性和方差齐性的要求较高。
总之，多个样本均数比较的方差分析是一种常用的统计方法，在科学研究和实验设计中得到广泛应用。
它可以帮助研究人员确定不同处理或组之间的差异，为决策提供支持。
第4章 方差分析
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
方差分析基本思想：
方差分析，是按变异的不同来源，将全部观察值总的
离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分，除随机误 差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释， 通过比较不同来源变异的均方（MS），借助F分布做出统 计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。
1 k i , i i k i 1
xij i ij
（4-1）
若令
则（4-1）式可以改写为
xij i ij
（4-2）
其中， 为全试验观测值总体平均数； 显然有
i 是第i个处理的效应，表示处理i对试验结果产生的影响。
i 1
k
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单 2.
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为
xi
x
j 1
ni
ij
ni
(i 1,2,, k )
18/46
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
12/46
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
三、问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1 , 2, , k 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提 出如下假设： H0 ： 1 2 … k H1 ： 1 , 2 , ，k 不全相等
2. 3. 4.
差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组 间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为
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尽量减少试验次数。
便于对试验结果（指标值）进行统计分析。由于在试 验中存在随机误差，并体现在指标的测量值上，所以对指 标值的分析需用统计方法。
㈡试验基本原则 三个基本原则：重复、随机化和区组。
——这三个基本原则在每个试验中都必须考虑
1. 重复
定义：在相同条件下进行若干次试验。
若重复进行n次试验，试验结果分别记为x1,…,xn， 它就是一个样本。
通重常复假有定两：个X作i=用+：i , i ~N(0, 2), i=1,2,…,n
提供标准差
其中
y 1 n
的估计
ˆ s [ 1
n
n
yi
i 1
n i 1
(
yi
y)2 ]1/ 2
提供均值 的更为精确的估计
ˆ y ~ N(, 2 / n)
2. 随机化 定义：试验材料的分配和各试验点的试验次序都 要随机确定。 意义： 随机化常能使各次试验结果相互独立，这是试验 设计中正确使用统计方法分析试验结果的基石；
它是试验误差的源泉
注意：在试验中，噪声因子会对试验结果起干扰 作用，要消除这种干扰通常是不可能的，只能尽量限 制它，使其减少干扰
试验设计的任务：是在尽量限制噪声因子的条件 下考察可控因子的变化对试验结果（指标值）的影响， 从中寻找可控因子水平的最佳搭配，使产品的指标值 接近目标值，且指标值的波动尽量小。
第四章
方差分析
英国统计学家费歇在20年代首先把方差分析应用到农业 试验中，经过几十年的发展其内容已十分丰富，方差分析是 数理统计中具有广泛应用的基础方法之一———是工农业生 产和科学试验中分析数据的一个重要工具。本章我们仅介绍 单因素和双因素的方差分析。
第一节 单因子试验的设计和方差分析
一、试验例子与基本概念
表中的四组数据可以看成是分别来自四个不同总体的样本。 Ai药剂下的第j 次试验结果记为Xij
从表中数据可以看出：不同药剂处理过的种子，其平 均产量是有差异的。第二种药剂和第四种药剂处理过的水 稻平均产量要明显高于另两种药剂处理过的水稻平均产量。 此外，用同一种药剂处理的四块试验田中水稻产量之间也 有差异。
定量指标：用测量结果表示的指标称为定量指标， 如种子的苗高，粮食的产量，橡胶件的强度等。
定性指标：用等级评分等表示的指标称为定性指标， 如药物的疗效、物质的光谱度、布料的柔软度等。
注意：由于测量数据含有的信息丰富，故在试验中 要尽量选用定量指标。
因子与水平
影响试验结果的因素称为因子，因子所处的状态 （位级）称为水平。
可控因子：可用某种控制方式将其状态（即水平） 做审慎改变的因子，简称因子，常用大写字母表示。 如反应时间、反应温度、原材料产地、机器编号等。
不可控因子：在实际操作中不能控制、或难以控 制、或要花费昂贵才能控制、或试验人员尚未意识到 对试验结果会有影响的因子，又称为噪声因子或误差 因子，如环境温度与湿度、机器的老化等。
（3） 的意义 标准差是衡量随机误差大小的尺度。 越小试验误差
就越小，这说明试验的组织实施很好；
越大试验误差就越大，这说明不可控因子干扰较
大，要努力改进试验的实施。
过大会使试验误差淹没了可控因子、试验设计 ㈠定义：在明确所要考察的（可控）因子及其水平后， 对试验进行总体安排称为试验设计。
造成这些差异的原因有两方面：
一是由于因素A取不同水平所引起的差异。 另一方面，是由于随机而引起的差异，是由于试验误 差引起的这类差异。 现在的问题是要通过试验所得的数据来判断产量之间 的差异主要是由试验误差造成的，还是由不同药剂的变化 造成的。
㈡单因子试验名词解释
指标 用于衡量试验结果好坏的特性值称为指标。在有些 设计中，指标又称为响应。 指标的分类：定量指标和定性指标。
产量 试验
A1
A2
A3
A4
1
18
23
22
26
2
20
22
18
21
3
19
25
21
28
4
15
22
15
25
平均值
18
23
19
25
试验中有一可控制的条件（因素）——药剂，用A表示。 四种不同的药剂称为A 的四个不同的水平，分别记为
A1 , A2 , A3 , A4
Ai药剂处理过的种子的水稻产量Xi是一个随机变量， 在该药剂下经试验所得的水稻产量可以认为是来自总体Xi 的一个样本。
可以使不可控因子的影响部分“抵消”，不至于 积累成灾；可使试验误差得到准确的估计。
3. 区组 定义：把试验单元分为若干个小组，使每组内的 试验条件相同或近似相同，而组与组之间在试验条件 上允许有较大差异，这样的小组在试验设计中被称为 区组。
如 农田试验中按地的肥沃、日照和水分等，将试 验田分成若干区组；工业试验中，按操作时间（早、 晚、晚）把试验单元分成若干个区组。
实施区组技术的意义：把区组间的差异估计出来， 从而有可能把区组对试验结果的干扰排除或减少到最 低程度，保证统计分析结果的正确性。
㈢历史回顾 Ronald A. Fisher爵士是一位在试验设计中应用 统计方法的创新者。多年来，他在英国伦敦的 Rothamsted农业站担负起统计和数据分析的任务。 Fisher开发了并首先应用了方差分析作为试验设计的 统计分析的基本方法。于1933年，Fisher在伦敦大学 取得教授职位。随后，他在剑桥大学任教并成为世界 上很多大学的客座教授。除了开拓者Fisher外，许多 学者也对试验设计文献做出了显著的贡献。
㈠例4.1. 为了研究用来处理水稻种子的四种不同药剂 对水稻产量的影响。选择一块各种条件（气候、土质、管 理）基本相同的土地，将其分成16块作为试验田。在每四 块试验地里种下用同一种药剂处理过的水稻种子。试验的 结果—水稻产量（单位：kg）。由下表给出。
表4.1， 不同的药剂处理种子的水稻产量
药剂
试验误差 定义：试验结果常用指标的测量值（或评分值）y表示，
测量值y与指标真值之间的偏差 =y 称为试验误差，简
称误差。 注意：
（1） 是一个随机变量。
（2） 的分布 根据中心极限定理，只要把每个不可控 因子都限制在一定的范围内，随机误差 总可认为是服从 均值为0，方差为 2 的正态分布的随机变量。