河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数学试题
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试(全国卷)数学(理)试题(解析版)
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试（全国卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合10,2x A x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭{}24B x x =≤，则()()R R A B ⋃=（ ）A ．(,2](1,)-∞-⋃-+∞B ．(,2)[1,)-∞--+∞C ．(2,1)--D ．[2,1]--【答案】B【解析】先根据题意得(,1)(2,)A =-∞-⋃+∞，[2,2]B =-，再根据集合运算即可求解. 【详解】因为集合{}210,42x A x B x x x ⎧⎫+=>=⎨⎬-⎩⎭，所以(,1)(2,)A =-∞-⋃+∞，[2,2]B =-，[2,1)A B ⋂=--，()()()(,2)[1,)RRRA B A B ⋃=⋂=-∞-⋃-+∞.故选：B 【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，考查运算能力，是基础题.2．设a R ∈，若复数1ia i-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于直线y x =上，则a =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】化简复数写出其在复平面内对应的点的坐标，再代入直线方程即得参数. 【详解】 化简221(1)()1(1)11i i a i a a ia i a a -----+==+++，故复平面内对应点的坐标是2211,11a a a a -+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为复数1i a i -+在复平面内对应的点位于直线y x =上，所以221111a a a a +--=++，所以0a =. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数在复平面内对应的点的特征，属于基础题. 3．设()πxf x -=，()πlog g x x =，()πxh x =，则()0.3f ，()0.3g ，()0.3h 的大小关系是（ ）A ．()()()0.30.30.3g f h <<B ．()()()0.30.30.3f g h <<C ．()()()0.30.30.3f h g <<D ．()()()0.30.30.3g h f <<【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得()0.3f ，()0.3g ，()0.3h 取值范围，即可求解. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得()0.3000.3ππ1f -<=<=，()0.30.3π1h =>，根据对数函数的性质，可得()π0.3log 0.30g =<， 所以()()()0.30.30.3g f h <<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数式与对数的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个关于“奇偶归一”的猜想，对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，若输入a 的值为3，则输出结果为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】根据程序框图，列出循环过程中的a与对应的i，计算循环结果. 【详解】根据程序框图，列出循环过程中的a与i，a 3 10 5 16 8 4 2 1i 1 2 3 4 5 6 7 8所以输出的结果为8i=.故选：C【点睛】本题考查程序框图，重点考查循环过程，属于基础题型.5．函数()21sin()21xxxf x-⋅=+的部分图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】C【解析】先判断出()f x 的奇偶性，然后通过特殊值()1f 与0的关系即可确定出()f x 所对应的函数图象. 【详解】因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()()()()()()21sin 12sin 21sin 211221xxxxxxx x x f x f x ---⋅--⋅--⋅-====+++，所以()f x 是偶函数，排除A ，D ；又因为(21)sin1(1)021f -=>+，排除B.故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的图象，难度一般.分析函数解析式对应的函数图象可从函数的奇偶性、函数的单调性、特殊值等方面入手.6．某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动.为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如下： 你最喜欢的社团类型是什么？—您选哪一项？（单选） A ．体育类如：羽毛球、足球、毽球等 B ．科学类如：数学建模、环境与发展、电脑等 C ．艺术类如：绘画、舞蹈、乐器等 D ．文化类如：公关演讲、书法、文学社等 E.其他由两个统计图表可以求得，选择D 选项的人数和扇形统计图中E 的圆心角度数分别为（ ） A ．500，28.8° B ．250，28.6°C ．500，28.6°D ．250，28.8°【答案】A【解析】根据扇形统计图和条形统计图得选择A 的人数为300，占比为15%，进而得接受调查的学生的总人数为2000，故选D 的人数为500，进而得E 的圆心角度数. 【详解】解：设接受调查的学生的总人数为x ， 由调查结果条形图可知选择A 的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知：选择A 的人数比例为15%， 所以30015%x=，解得2000x =， 而选择D 的人数为：200025%500⨯=，扇形统计图中E 的圆心角度数为：(115%12%40%25%)36028.8︒︒----⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的应用，考查数据分析与处理，是中档题. 7．已知M 为抛物线2:4C x y =上一点，C 在点M 处的切线11:2l y x a =+交C 的准线于点P ，过点P 向C 再作另一条切线2l ，则2l 的方程为（ ） A ．1124y x =-- B ．122y x =-+ C ．24y x =-+ D ．24y x =--【答案】D【解析】先根据C 在点M 处的切线11:2l y x a =+，求出a 的值，再求得点3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后再求过点P 抛物线的切线方程. 【详解】设()00,M x y ，由题意知，214y x =，则12y x '=， C 在点M 处的切线11:2l y x a =+，所以001122x x y x =='=所以01x = ，则11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭， 将11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭代入11:2l y x a =+的方程可得14a =-，即111:24l y x =- 抛物线2:4C x y =的准线方程为：1y =- 则3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设2l 与曲线C 的切点为()00,N x y ， 则20000011(1)433222x x y x x +--==⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，解得04x =-或01x =（舍去）， 则(4,4)N -，所以2l 的方程为24y x =--. 故选：D 【点睛】本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题. 8．已知||||1CA CB ==，设2a CA CB =-，22b CA CB =+.若0a b ⋅=，则sin ,CA CB 〈〉的值为（ ）A．0 B ．2C ．1D ．1-【答案】C【解析】依题意设12,CA e CB e ==，由0a b ⋅=可得120e e ⋅=，从而得到1e ，2e 的夹角为2π，即可得解； 【详解】解：根据题意，设12,CA e CB e ==，则121e e ==，则122a e e =-，1222b e e =+.因为0a b ⋅=，即)()1212220e e e -⋅+=，即2211222220e e e e +-⋅=，所以120e e ⋅=，所以向量1e ，2e 的夹角为2π，sin 12π=.故选：C 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算律，向量夹角的计算，属于中档题.9．如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．||sin2AB d α=⋅ B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅【答案】C【解析】||cos2AB d α=⋅，故选项A 不正确；||||sin DC BD d α==，故选项D 不正确；2||sin NC d α=⋅，故选项B 不正确；2||(||)2dDC d AB =⋅-，故选项C 正确. 【详解】连接BC ，如图所示，易知AC 是圆的直径.因为BAD DAC α∠=∠=，所以2BAC α∠=. 在Rt ABC 中，||cos2AB d α=⋅， 故选项A 不正确；在Rt ADC 中，||sin DC d α=⋅.又因为BAD DAC ∠=∠，所以||||sin DC BD d α==， 故选项D 不正确；211||(||)(||)(1cos2)sin 222dNC d AM d AB d αα=-=-=⋅-=⋅，故选项B 不正确；因为BAD DAC ∠=∠，所以||BD DC =.又因为AM AB =，易知ADB △与ADM △全等，所以||||BD DM =， 所以||DC DM =.又因为N 是MC 的中点，所以DN CM ⊥， 所以Rt DNC Rt ADC ∽，所以||||||||DC NC AC DC =，所以2||||||(||)2d DC AC NC d AB =⋅=⋅-， 故选项C 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查几何选讲和三角函数，考查二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得二面角A BD C --的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】根据题意做出图形，取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，取OA 上离O 点近的三等分点记为F ，自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ，则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，再根据几何关系计算即可得答案. 【详解】解：如图，取BD 的中点记为O ，连接OC ，OA ，根据题意需要找到外接球的球心， 取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，同理取OA 上离O 点近的三等分点记为F ， 自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ， 则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，由菱形的性质得AOC ∠就是二面角A BD C --的平面角， 所以AOC △是边长为34232⨯=33OE =. 在POE △中，30POE ︒∠=， 所以23PE =.又433CE =， 所以133PC R ==. 故选：A. 【点睛】本题考查几何体的外接球的半径求解，考查空间思维能力，是中档题.11．已知函数2(),()2ln ,()4x f x e g x x h x x x m ===-+，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B .若对任意12,[1,]t t e ∈都有()2||AB h t >成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),2ee -∞+ B ．(,4)e -∞+ C ．()2,5e e-∞-D ．(,3)e -∞+【答案】D【解析】先根据题意将恒成立问题转化成最值问题，再利用导数求最值，计算参数范围即可. 【详解】由题意，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B ，故||2ln xAB e x =-设()()2ln 1xF x e x x e =-≤≤，则问题可以转化为在区间[1,]e 内min max ()()F x h x >.因为12()20xF x e e x'=-->，所以()F x 在[1,]e 上单调递增，故min ()(1)F x F e ==.因为2()4h x x x m =-+，其对称轴2x =，所以在区间[1,]e 上，(1)()f f e > 即max ()(1)143h x h m m ==-+=-，所以e 3m >-，即3m e <+.故选：D. 【点睛】本题考查了恒成立问题，考查了利用导数求函数最值和利用二次函数求最值，属于中档题.12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若2021220210122021(12)x b b x b x b x -=++++，数列{}n a 的首项12202111122021,222n n n b b b a a S S ++=+++=⋅，则2021S =（ ） A ．12021-B ．12021C ．2021D ．2021-【答案】A【解析】通过对二项展开式赋值12x =求解出1a 的值，然后通过所给的条件变形得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而求解出{}n S 的通项公式，即可求解出2021S 的值. 【详解】令12x =，得202112202102202111202222b b b b ⎛⎫-⨯=++++= ⎪⎝⎭. 又因为01b =，所以1220211220211222b b b a =+++=-. 由111n n n n n a S S S S +++==-，得111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，所以1111n n S S +-=-， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111S =-，公差为1-的等差数列，所以11(1)(1)nn n S =-+-⋅-=-， 所以1n S n =-，所以202112021S =-.故选：A. 【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意11n n n a S S ++=-的运用.二、填空题13．若实数x ，y 满足2,,3,x y y x x +⎧⎪≤⎨⎪⎩则232z y x =-+的最小值为__________.【答案】9-【解析】化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合找到最优解，联立方程组求出最优解的点的坐标，代入目标函数即可求出结果. 【详解】 由约束条件作出由232z y x =-+，得3222z y x -=+， 作直线3:2l y x =，将直线l 平移经过M 点时在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值. 联立203x y x +-=⎧⎨=⎩ 解得：(3,1),M -代入232z y x =-+可得：min 9z =- 故答案为：9-【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，属于基础题.14．在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________.【解析】先由余弦定理求出AC =sin B =，再由正弦定理可得答案. 【详解】在ABC中，易求sin 3B =.又6,4BC AB ==， 由余弦定理可得2222212cos 64264683AC BC AB BC AB B ⎛⎫=+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭-，解得AC =设ABC 外接圆的半径为r，则由正弦定理，得2sin 3AC r B ===，所以4r =.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形和利用正弦定理求三角形外接圆的半径，属于中档题. 15．已知甲有2张印着数字2的卡片，乙有3张印着数字2的卡片和3张印着数字3的卡片，乙先从自己的卡片中任选2张卡片给甲，甲再从现有的卡片中任选2张还给乙，每张卡片被选中的可能性都相等，则甲给乙的两张卡片都印着数字2的概率为__________. 【答案】815【解析】分三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，分别计算概率即可. 【详解】可分为三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，所以2211223233332222264646C C C C C C 1681C C C C C 3015P =⨯+⨯+⨯==.故答案为：815【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件与相互独立事件的概率计算，考查分类讨论的思想.16．过椭圆2221(1)x y a a+=>上一点P 及坐标原点O 作直线l 与圆2221x y a +=+交于A ，B 两点.若存在一点P 满足2||||1a PA PB =+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[2,)+∞【解析】将||||PA PB 整理化简得22||||1||PA PB a OP =+-结合22||1,OP a ⎡⎤∈⎣⎦，得21||||PA PB a ≤⋅≤，即可得2211a a ≤-≤，解不等式即可. 【详解】 如图所示：22||||(||||)(||||)1||PA PB OA OP OA OP a OP =-+=+-.又因为22||1,OP a ⎡⎤∈⎣⎦，所以21||||PA PB a ≤⋅≤.若存在一点P ，使得2||||1a PA PB =+，即2211a a ≤-≤，解得2a ≥故答案为：2,)+∞ 【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，涉及不等式的性质，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()1,3n n S ++在抛物线2y x 上.（1）求n a ；（2）求数列{}9n a -的前n 项和n T .【答案】（1）21,2,1, 1.n n n a n +⎧=⎨=⎩；（2）2272,4,726, 5.n n n n T n n n ⎧-++=⎨-+⎩. 【解析】（1）由条件可得222n S n n =+-，当1n =时，111a S ==；当2n 时，由1n n n a S S -=-可求出答案.（2）28,2,98, 1.n n n a n -⎧-=⎨-=⎩,分4n 和5n ，分别求和，得出答案.【详解】解：（1）因为点()1,3n n S ++在抛物线2yx 上，所以23(1)n S n +=+，所以222n S n n =+-. 当1n =时，111a S ==； 当2n 时()22122(1)2(1)221n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.所以21,2,1, 1.n n n a n +⎧=⎨=⎩（2）易求28,2,98, 1.n n n a n -⎧-=⎨-=⎩当4n 时，22922972n n T S n n n n n n =-+=--++=-++； 当5n 时，[]()22449(4)142222936726n n T T S S n n n n n n =+---=++---+=-+. 综上，2272,4,726, 5.n n n n T n n n ⎧-++=⎨-+⎩【点睛】本题考查根据前n 项和求通项公式，等差数列加绝对值的求和问题.属于中档题.18．近年来，随着我国社会主义新农村建设的快速发展，许多农村家庭面临着旧房改造问题，为此某地出台了一项新的政策.为了解该地农村家庭对新政策的满意度，进行了相关调查，并从参与调查的农村家庭中抽取了200户进行抽样分析，其中，非务农户中对新政策满意的占7，而务农户中对新政策满意的占1.（1）完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关（结果精确到0.001）？（2）若将频率视为概率，从该地区的农村家庭中采用随机抽样的方法，每次抽取1户，抽取5次，记被抽取的5户中对新政策满意的人数为X，每次抽取的结果相互独立，求X的分布列和数学期望.附表：2.072参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）填表见解析；能；（2）分布列见解析；期望为3.【解析】（1）根据题意补全列联表，再根据独立性检验的知识求解即可；（2）根据题意从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是35，随机变量满足二项分布，即：3~5,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布的知识求解即可.【详解】解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2200(70503050)258.333 6.635100*********k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关.（2）由列联表中的数据可知，对新政策满意的农村家庭的频率是12032005=，将频率视为概率，即从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是35.由题意知3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，05053232(0)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 141532240(1)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 232532720(2)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3235321080(3)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 414532810(4)553125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 505532243(5)553125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为3()535E X np ==⨯=.【点睛】本题考查独立性检验，二项分布，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题. 19．如图，四边形ABCD 是菱形，2,22,AB AP BG DE DE ===⊥平面ABCD .（1）证明：P ，E ，C ，G 四点共面.（2）若2,23PA AC ==，求二面角P CE D --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）15. 【解析】（1）取PA 的中点M ，根据条件可证明四边形PMBG 和四边形MECB 是平行四边形，利用平行的传递性可证明四边形PGCE 是平行四边形，从而证明四点共面；（2）由菱形和AC 的长，可求出60BAD ︒∠=，又AP ⊥平面ABCD ，可建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，取PA 的中点M ，连接,EM BM . 因为22AP BG MP ==，所以MP BG =， 所以四边形PMBG 是平行四边形， 所以PG MB =.由题意知,ME AD AD BC ==，所以ME BC =， 所以四边形MECB 是平行四边形， 所以MB EC =，所以PG EC = 所以四边形PGCE 是平行四边形， 所以P ，E ，C ，G 四点共面.（2）解：因为DE⊥平面ABCD，//AP DE，所以AP⊥平面ABCD.在ABC中，由余弦定理得2222222(23)23cos222223AB AC BCBACAB AC+-+-∠===⋅⨯⨯，所以30BAC︒∠=，所以60BAD︒∠=.以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz-.则(0,0,2),(3,3,0),(0,2,1),(0,2,0),(3,3,2),(3,1,1),(0,0,1) P C E D PC CE DE=-=--=设平面PCE的法向量为()111,,n x y z=，则0,0,n PCn CE⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111113320,30.x y zx y z⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩令11y=，得1132,xz⎧=⎪⎨⎪=⎩所以3,1,2n⎛⎫= ⎪⎝⎭.设平面CDE的法向量为()222,,m x y z=，则0,0,m DEm CE⎧⋅=⎨⋅=⎩即22220,30.zx y z=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x=，得223,0,yz⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以(1,3,0)m=-.设二面角P CE D--的平面角为θ，所以222223131013cos,4||||3121(3)3n mn mn m⨯+⋅〈〉===⎛⎫++⨯+⎪⎝⎭，所以2115sin 144θ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以二面角P CE D --的正弦值为15. 【点睛】本题考查空间向量求二面角，考查证明点共面，考查学生的空间想象能力以及计算能力，熟记定理和公理是解决立体几何证明的关键，本题属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是32，短轴长为2，A ，B 分别是E的左顶点和下顶点，O 为坐标原点. （1）求E 的标准方程；（2）设点M 在E 上且位于第一象限，ABM 的两边BM 和AM 分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）21-. 【解析】（1）先由短轴长得b ，再根据条件列,a c 关系，计算即得结果；（2）先数形结合可知CDM 的面积是ABM 面积减去四边形ABCD 的面积S ，分别计算S 为定值和ABM 面积最大值即求得CDM 的面积最大值. 【详解】解：（1）因为椭圆E 的离心率32c e a ==，短轴长为2，所以1b =. 又因为222a b c =+，解得2,3a c ==.故椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）如图所示，设点()()0000,02,01,(,0),(0,)M x y x y C m D n <<<<.(2,0)A -，且A ，D ，M 三点共线，0022y nx ∴=+，得00202y n x =>+，又()0,1B -所以00000222||1122y x y BD n x x ++==+=+=++， 同理得00022||1x y AC y ++=+，又AC BD ⊥，因此四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅00000012222221x y x y x y ++++=⋅⋅++()()()2000022221x y x y ++=++()22000000000044484222x y x y x y x y x y +++++=+++.又因为点()00,M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，即220044x y +=，代入上式得()0000000044882222x y x y S x y x y +++==+++.设过点M 且与直线AB 平行的直线l 的方程为1(0)2y x t t =-+>， 当l 与椭圆相切时，M 到AB 的距离d 最大，为两平行线之间的距离，得ABM 面积最大.联立221,21,4y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得222220x tx t -+-=，所以()22(2)4220t t ∆=--=，解得t =.所以直线l的方程为20x y +-=，即min d =所以()max 112ABM S==+. 所以CDM的面积的最大值为(121+-=.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆中三角形面积的最值问题，属于中档题.21．已知函数22()(, 2.718)xx a f x a R e e-+=∈=.（1）求()f x 的单调区间.（2）若()f x 在区间21,1a e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，证明：1111a a a +>-+. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）首先求函数的导数，再分1a ≤和1a >两种情况讨论求函数的单调区间；（2）结合题意分析可知1a a e -<+，由1x e a >+，可证明1111a a a +>-+，再利用分析法转化为证明11111a e a a -+>+-+，通过构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】 （1）解：由题意，()222222()x x x x a x x a f x e e --+-++-'==， 令2()22,44g x x x a a =-++-∆=-.①当1a 时，0∆，此时()0f x '，函数()f x 在R 上单调递减；②当1a >时，>0∆，令()0g x =，则11x =21x =，当(,1x ∈-∞-时，()0f x '<，所以()f x 单调递减，当(1x ∈-+时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，当(1)x ∈++∞时，()0f x '<，所以()f x 单调递减.综上所述，当1a 时，函数()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；当1a >时，函数()f x 的单调递减区间为(,1-∞-和(1)++∞，单调递增区间为(1+.（2）证明：由（1）知1a >，因为(1)0g >，所以210a g e -⎛⎫+< ⎪⎝⎭，得1a a e -<+， 要证1111a a a +>-+，只需证11111a e a a -+>+-+. 对于函数()1x h x e x =--，有()1x h x e '=-.因为()h x '在R 上单调递增，且(0)0h '=， 所以()h x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h =，即不等式1x e x +恒成立，当且仅当0x =时“=”成立，故当1a >时，1a e a >+，即11a e a ->+①. 因为1a a e -<+且1a >，所以1a a e --<， 可得11a e a >-，所以111e a >>-②. 由①+②得，11111a e a a -+>+-+， 故1111a a a +>-+得证. 【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，重点考查转化思想，逻辑推理能力，计算能力，属于难题，本题的难点是第二问，需构造函数()1xh x e x =--，通过分析函数的性质，以及转化变形，证明不等式. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,12sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，a R ∈）. （1）若1a =，求1C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos 4sin 10ρθρθ+-=，若1C 与2C 相切，求实数a 的值.【答案】（1）22(1)(1)4x y -+-=；（2）73a =或133a =-. 【解析】（1）消去参数θ，直接可得曲线1C 的普通方程；（2）将参数方程，极坐标方程都化为普通方程，由直线与圆相切列方程即可得a 值.【详解】（1）当1a =时，曲线1C 的参数方程为12cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），消去θ， 所以22(1)(1)4x y -+-=；（2）曲线1C 的参数方程为2cos ,12sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）， 消去θ可得22()(1)4x a y -+-=，所以曲线1C 是圆心为(,1)a ，半径为2的圆，曲线2C 的极坐标方程为3cos 4sin 10ρθρθ+-=，可化为3410x y +-=， 若1C 与2C 相切，则1C 的圆心到2C 的距离等于1C 的半径，即2d ==， 解得：73a =或133a =-. 【点睛】 本题考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查直线与圆的位置关系，考查了转化与化归的思想.23．已知函数()2123f x x x =-++.（1）求不等式21239x x -++≤的解集；（2）若关于x 的方程2()30f x k k -+=有实数解，求实数k 的取值范围.【答案】（1）11744x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{1k k ≤-或}4k ≥. 【解析】（1）分类讨论法去绝对值、解不等式组、求并集即可；（2）将问题转化为方程()f x =23k k -有解，再根据绝对值三角不等式求最小值，列不等式求解，即可得答案.【详解】（1）原不等式等价于12(21)(23)9x x x ⎧>⎪⎨⎪-++≤⎩或3122(21)(23)9x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--++≤⎩或32(21)(23)9x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩ 解得1724x <≤或3122x -≤≤或11342x -≤<-， 所以不等式的解集为11744x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）因为212321234x x x x -++≥---=，方程2()30f x k k -+=有解，关于x 的方程2()30f x k k -+=有实数解，只需234k k -≥，解得1k ≤-或4k ≥.所以实数k 的取值范围为{1k k ≤-或}4k ≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，方程有解问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.。
2021届河北省衡水中学高三数学第一次联合考试试题解析
点评：
本题考查了抛物线的定义和通径的概念，以及直线和抛物线的位置关系，考查了利用韦
达定理搭桥，建立各个量之间的联系，考查了转化思想和数形结合思想，计算量相对较
大，属于难题.
11．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线 x 1 对称，则（ ）
A． f x 4 f x C． f x 有最大值
现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的每人检测结果呈阳性的概率为且检测次数的数学期望为20则若合并检测检测次数取值为121对应的概率分别为2020202020点评
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数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
8．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，M 为 CC1 的中点，点 N 在侧面 ADD1A1
内，若 BM A1N ．则 ABN 面积的最小值为（ ）
A． 5 5
答案 B
B． 2 5 5
C．1
D．5
取 DD1 的中点为 E， AD 的中点 P ，证明 A1P AE ，即 A1P BM ，得到点 N 的轨
三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前 2020 项中，偶数的个数为（ ）
A． 505
B． 673
C． 674
D．1010
答案 B
由斐波那契数列的特点可知，该数列只有第 3k k N 项为偶数，再由
2020 36731可求得结果. 解：
由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第 3k k N 项为偶数，
2
，可得
A1P
AE
，
即 A1P BM ，所以点 N 的轨迹为线段 A1P ．
河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题(word版含答案)
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河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、单选题
1．设集合{}2430A x x x =-+≤，{}15B x x
=∈<<Z ，则A
B
=（ ） A ．{}2
B ．{}3
C ．{}2,3
D ．{}1,2,3 【答案】C
2．若复数1i z =-，则1z z
=-（ ） A ．1
B
C ．
D ．4 【答案】B 3．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为（ ）
A ．19
B ．38
C ．55
D ．65 【答案】D 4．数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（ ） A ．505
B ．673
C ．674
D ．1010 【答案】B
5．已知非零向量a ，b 满足a b =，且2a b a b +=-，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．2π3
B ．π2
C ．π3
D ．π6
【答案】C。
河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题 文(含解析)
河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B 中元素的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】用列举法依次表示出集合,A B ，再求出交集，再判断元素个数． 【详解】解：∵{}6A x N x =∈<， ∴{}0,1,2,3,4,5A =， 又{}2,xB y y x A ==∈， ∴{}1,2,4,8,16,32B =， ∴{}1,2,4AB =，有3个元素，故选：C ．【点睛】本题主要考查用列举法表示集合，考查集合的交集运算，属于基础题． 2.已知复数z 满足z （1+i ）＝1+3i ，其中i 是虚数单位，设z 是z 的共轭复数，则z 的虚部是（ ） A. i B. 1C. ﹣iD. ﹣1【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数代数形式的除法运算求出z ，再根据共轭复数的定义写出z ，从而得出z 的虚部． 【详解】解：∵()113z i i +=+，∴131i z i +==+()()()()13111i i i i +-+-422i+=2i =+，∴2z i =-，则z 的虚部为1-，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的定义及复数的虚部，属于易错题．3.等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，若a 2，a 4是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +2＝0的两个根，则S 5＝（ ） A. 5 B. 10C. 12D. 15【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理得244a a +=，再利用等差数列的性质即可得出结论．【详解】解：∵24,a a 是关于x 的一元二次方程2420x x -+=的两个根， ∴由韦达定理得244a a +=， 由等差数列的性质得，1524324a a a a a +=+==，∴544210S =++=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的性质与前n 项和的计算，属于基础题．4.若f （x ）＝e x +ae ﹣x 是定义在R 上的奇函数，则曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是（ ） A. y ＝﹣x B. y ＝xC. y ＝﹣2xD. y ＝2x【答案】D 【解析】 【分析】由函数()f x 是定义在R 上的奇函数得(0)0f =，求出函数()f x 的解析式，再求出'()f x ，从而可求出切线方程．【详解】解：∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)10f a =+=，得1a =-， ∴()xxf x e e -=-， ∴'()xxf x e e-=+，∴(0)0f =，'(0)2f =，∴曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为2y x =， 故选：D ．【点睛】本题主要考查奇函数的定义及性质，考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方程，属于基础题．5.已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ） A.1122-sin 1 B.1122-cos 1 C.1122-sin 12D.1122-cos 12【答案】A 【解析】 【分析】由题意先求出圆心角，再求出扇形的面积和△OAB 的面积，从而得出结论． 【详解】解：设O 的半径为r ，劣弧所对的圆心角为α，弧长为l ，由弧长公式l r α=得111l r α===， ∴弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积211sin 22S lr r α=-11sin122=-， 故选：A ．【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，考查三角形的面积公式，属于基础题．6.某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测验在一次体能测验中，某班甲、乙、丙三位同学的成绩（单位：分）及班内排名如表（假定成绩均为整数）现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位，这两位同学成绩相同的概率是（ ）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得出成绩为95分的有2人，94分的有3人，本题是古典概型，求出事件包含的基本事件数以及基本事件的总数，从而求出答案．【详解】解：由表格可知，该班成绩为95分的有2人，94分的有3人， ∴从这5名同学中随机抽取2名同学， 基本事件总数为2554102C ⨯==， 这两位同学成绩相同包含的基本事件数是2223134C C +=+=，∴这两位同学成绩相同的概率420.4105p ===， 故选：B ．【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，考查排列、组合问题，属于基础题．7.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左，右焦点分别为F 1，F 2，若以F 1F 2为直径的圆和曲线C 在第一象限交于点P ，且△POF 2恰好为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A.13+ B.15+ C. 13+ D. 15+【答案】C 【解析】 【分析】先设12||2F F c =，由题意知△12F F P 是直角三角形，利用且2POF ∆恰好为正三角形，求出1||PF 、2||PF ，根据双曲线的定义求得a ，c 之间的关系，则双曲线的离心率可得．【详解】解：连接1PF ， 设12||2F F c =，则由题意可得12PF F ∆是直角三角形，由2POF ∆恰好为正三角形得，2160PF F ︒∠=，∴2||PF c =，∴221||43PF c c c =-=， 12||||32PF PF c c a ∴--=，3131c e a ∴===-． 故选：C ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质．考查数形结合的思想的运用，属于基础题． 8.某校高一组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘““酿酒”野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同．已知1班不选“农耕”“采摘”；2班不选“农耕”“酿酒”；如果1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”；3班既不选“野炊”，也不选“农耕”；5班选择“采摘”或“酿酒”则选择“饲养”的班级是（ ） A. 2班B. 3班C. 4班D. 5班【答案】B 【解析】 【分析】本题的关键是找出1，2，3，5班都不选农耕，则只有4班选农耕，再根据逆否命题的真假性，可得1班选酿酒，所以5班只有选采摘，逐一选择可得出结果． 【详解】解：由题意，1，2，3，5班都不选农耕，则只有4班选农耕， 根据逆否命题，1班选酿酒，所以5班只有选采摘， 只剩下“野炊”和“饲养”， 因3班既不选“野炊”， 故选择“饲养”的班级是3班． 故选：B ．【点睛】本题主要考查合情推理能力，以及逆否命题的真假性的判断能力，属于基础题．9.下列关于函数()2221f x cos x x =-的说法，正确的是（ ）A. 3x π=是函数f （x ）的一个极值点B. f （x ）在区间[0，2π]上是增函数 C. 函数f （x ）在区间（0，π）上有且只有一个零点512π D. 函数f （x ）的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移12π个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【分析】先化简函数解析式，然后再逐一判断选项即可．【详解】解：函数2()2cos 21f x x x =-cos 22x x =+2sin(2)6x π=+，当3x π=时，12sin(2)62x π+=，所以3x π=不是函数()f x 的一个极值点，所以A 不正确；当6x π=时，函数()f x 取得最大值，所以函数在区间[0,]2π上不是增函数，所以B 不正确；由2sin(2)06x π+=得2,6x k k Z ππ+=∈，则,212k x k Z ππ=-∈，所以在区间(0,)π上有两个零点512π，1112π，所以C 不正确； 由函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到2sin(2())2sin(2)126y x x ππ=+=+，所以D 正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用，属于基础题． 10.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V 、棱数E 及面数F 满足等式V ﹣E +F ＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的．20世纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一颗“足球”，称为“巴克球（Buckyball ）”．则“巴克球”的顶点个数为（ ）A. 180B. 120C. 60D. 30【答案】C 【解析】 【分析】设巴克球顶点数V 、棱数E 及面数F ，计算出面数和棱数即可求出顶点数． 【详解】解：依题意，设巴克球顶点数V 、棱数E 及面数F ， 则201232F =+=，每条棱被两个面公用，故棱数512620902E ⨯+⨯==，所以由2V E F -+=得：90322V -+=，解得60V =． 故选：C ．【点睛】本题为阅读型题目，计算出棱数是解决问题的关键，属于基础题．11.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 是线段AC 1上的点，且AE ＝EF ＝FC 1，分别过点E ，F 作与直线AC 1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（ ） A.13B.12C.23D.34【答案】C 【解析】 【分析】构造平面1A BD ，平面11CB D ，设正方体边长为1，根据等体积法计算A 到平面1A BD 的距离3h =，从而可得出E ，F 分别为1AC 与平面1A BD 和平面11CB D 的交点，计算中间几何体的体积得出答案． 【详解】解：构造平面1A BD ，平面11CB D ，则1AC ⊥平面1A BD ，1AC ⊥平面11CB D ， 设正方体边长为1，则112A B A D BD ===13AC =13AE EF FC ∴===， 11111111326A ABD CBCD V V --∴==⨯⨯=，设A 到平面1A BD 的距离为h ，则112131(2)36A AB D V h -==，解得3h ，E ∴∈平面1A BD ，同理可得F ∈平面11CB D ，∴正方体夹在平面α与β之间的部分体积为121263-⨯=，∴体积之比是23， 故选：C ．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12.已知椭圆2211612x y C +=：的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上且异于长轴端点．点M ，N 在△PF 1F 2所围区域之外，且始终满足10MP MF ⋅=，20NP NF ⋅=，则|MN |的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14【答案】A 【解析】 【分析】设1PF ，2PF 的中点分别为C ，D ，则M ，N 在分别以C ，D 为圆心的圆上，直线CD 与两圆的交点(△12PF F 所围区域之外）分别为M ，N 时，||MN 的最大，可得||MN 的最大值为122PF PF CD a c ++=+即可． 【详解】解：设1PF ，2PF 的中点分别为C ，D ，10MP MF =，20NP NF =，则M ，N 在分别以C ，D 为圆心的圆上，∴直线CD 与两圆的交点(△12PF F 所围区域之外）分别为M ，N 时，||MN 最大， ∴||MN 的最大值为124262PF PF CD a c ++=+=+=， 故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知非零向量,a b 满足||||a b =，3a b b -=，则a 与b 的夹角为__________．【答案】120︒ 【解析】由题意，22223a b a b b +-⋅=，得222cos ,b a b b -=，所以1cos ,2a b =-， 所以夹角是120︒．14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_____．【答案】4． 【解析】 【分析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥P ABCD -，其中，PO ⊥底面ABCD ，ABCD 是正方形，边长为3，2PO =，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长． 【详解】解：由题意几何体的直观图如图，其中，PO ⊥底面ABCD ，ABCD 是正方形， 边长为3，2PO =，12AO AC =， 所以24(22)4PC =+=，2222213PB PD ==++=， 所以最长的棱长为4， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的直观图，考查四棱锥中最长棱的求法，属于基础题．15.已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，且2222a a bcosB b c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则b +c 的取值范围为_____．【答案】)+∞ 【解析】 【分析】根据已知等式和余弦定理，可推出cos cos B C =，即B C =，b c =，又知4a =，所以4b c +>；因为三角形ABC 是锐角三角形，所以角A 为锐角，cos (0,1)A ∈；由2222cos a b c bc A =+-，设b c x ==，用cos A 表示出x ，并求出x 的取值范围，进而得2b c x +=的取值范围．【详解】解：4a =，且222(cos )2aa b B b c -+=，2222cos a ab B b c ∴-+=，即2222cos a b c ab B +-=，又由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=，∴可得2cos 2cos ab B ab C =，即cos cos B C =，B C ∴=，b c =，又A 为锐角，cos (0,1)A ∴∈， 4a =，4b c ∴+>，设b c x ==，由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，2221622cos 2(1cos )x x A x A ∴=-=-，∴2881cos x A=>-，∴x >2x >故b c +>故答案为：)+∞．【点睛】本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想，转化思想，属于中档题． 16.已知曲线y ＝|lnx |与直线y ＝m 有两个不同的交点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 1＜x 2），设直线l 1，l 2分别是曲线y ＝|lnx |在点P 1，P 2处的切线，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ．△P 2AB 为等边三角形，则实数m 的值为_____．【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质可得121=x x ，1201x x <<<，分别求得y lnx =和y lnx =-的导数，可得切线的斜率和切线的方程，以及A ，B 的坐标，可得等边三角形的边长，可得2x ，进而得到m 的值．【详解】解：由曲线|ln |y x =与直线y m =有两个不同的交点，可得12ln ln x x ，即有121=x x ，1201x x <<<，由ln y x =-的导数为1y x'=-，可得切线1l 的斜率为11x -，切线的方程为1111(ln )()y x x x x --=--， 令0x =得11ln y x =-，即1(0,1ln )A x -， 由ln y x =的导数为1y x'=，可得切线2l 的斜率为121x x =，切线的方程为212ln ()y x x x x -=-，令0x =得2121ln ln 1y x x x x =-=--，即1(0,ln 1)B x --，则||2AB =， 由△2P AB为等边三角形，可得223x ==，则2|ln |m x ==故答案为：．【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查直线方程的运用，属于中档题． 三、解答題：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分．17.端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响．某记者走访市场发现，各大商场粽子种类繁多，价格不一根据数据统计分析，得到了某商场不同种类的粽子销售价格（单位：元/千克）的频数分布表，如表一所示． 表一：在调查中，记者还发现，各大品牌在馅料方面还做足了功课，满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽，很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内，记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查，结果如表二． 表二：（1）根据表一估计该商场粽子的平均销售价（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据表二信息能否有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关？参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中 n a b c d =+++为样本容量）【答案】（1）该商场粽子的平均销售价为21.25元/千克（2）有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关 【解析】 【分析】（1）根据表一的数据计算平均数即可；（2）根据表二信息计算观测值，对照临界值即可得出结论． 【详解】解：（1）根据表一的数据，1(12.5417.51222.51627.5632.52)21.2540x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 估计该商场粽子的平均销售价为21.25； （2）根据表二信息，22100(3055015)1009.091 3.8418020455511K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关．【点睛】本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题，属于基础题． 18.已知{a n }是等比数列，318a =，且123116a a a +，，成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设121121222n n n b log a log a -+=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）a n ＝（12）n （2）221nn + 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和公比q 的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得2(21)(21)n b n n =-+112121n n =--+，再由数列的裂项相消求和．【详解】解：（1）设{}n a 是公比为q 的等比数列，318a =，且1231,,16a a a +成等差数列，可得2118a q =，13212()16a a a +=+，即211112()16a a q a q +=+， 解得112a q ==， 则111()2n n n a a q -==；（2）121121222(log )(log )n n n b a a -+=21211122211()()22n n log log -+=2(21)(21)n n =-+112121n n =--+， ∴1111335n T =-+-+⋯112121n n +--+1121n =-+221n n =+．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，E 为CD 的中点连接AE 交BD 于G ，点F 在侧棱PD 上，且DF 13=PD ．（1）求证：PB ∥平面AEF ； （2）若24cos BPA ∠=E ﹣PAD 的体积． 【答案】（1）证明见解析（23【解析】 【分析】（1）以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明//PB 平面AEF ；（2）求出(0,1,)PA a =--，(3,0,)PB a =-，由2cos 4BPA ∠=，求出1PO =，三棱锥E PAD -的体积E PAD P ADE V V --=，由此能求出结果．【详解】（1）证明：四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，E 为CD 的中点连接AE 交BD 于G ，点F 在侧棱PD 上，且13DF PD =，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PO a =，则(0,0,)P a ，(0,1,0)A -，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,0,0)D -，31(,0)2E ，23()3aF ， (3,0,)PB a =-，33(,0)2AE =-，23()3aAF =， 设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则33·02223·033n AE x y a n AF x y z ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩，取3x =3(3,1,)n a =，3030PB n =+-=，PB ⊂/平面AEF ， //PB ∴平面AEF ；（2）解：(0,1,)PA a =--，(3,0,)PB a =-，2cos 4BPA ∠=，∴22||2||||13PA PB PA PB a a==+ 由0a >，解得1a =，1PO ∴=， 三棱锥E PAD -的体积：13E PAD P ADE ADE V V S PO --∆==⨯⨯111322CD AE AO =⨯⨯⨯⨯⨯11241162=⨯-⨯3【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 20.已知函数()xf x ae x a =--（e 为自然对数的底数）. (1)求函数()f x 的极值；(2)问：是否存在实数a ,使得()f x 有两个相异零点？若存在,求出a 的取值范围；若不存在,请说明理由.【答案】(1) ①当0a ≤时，函数()f x 无极值.②当0a >时,函数()f x 有极小值为(ln )ln 1f a a a -=-+,无极大值；(2)存在,(0,1)(1,)a ∈+∞【解析】 【分析】(1)对函数()f x 求导,根据a 的不同取值范围,进行分类讨论,求出函数()f x 的极值； (2)根据a 的不同取值范围,进行分类讨论,结合(0)0f =、函数的极值的大小、(1)中的结论,最后求出a 的取值范围.【详解】解：(1)因为()x f x ae x a =--,所以()1xf x ae '=-.①当0a ≤时，()10xf x ae '=-<，所以(,)x ∈-∞+∞时,()0f x '<,所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减. 此时，函数()f x 无极值.②当0a >时,令()10xf x ae '=-=，得ln x a =-, 当(,ln )x a ∈-∞-时,()0f x '<,所以函数()f x (,ln )a -∞-上单调递减；当(ln ,)x a ∈-+∞时,()0f x '>,所以函数()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增. 此时,函数()f x 有极小值为(ln )ln 1f a a a -=-+,无极大值. (2)存在实数a ,使得()f x 有两个相异零点.由(1)知：①当0a ≤时,函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减； 又(0)0f =,所以此时函数()f x 仅有一个零点； ②当01a <<时，ln 0a ->因为(0)0f =,则由（1）知(ln )0f a -<； 取1(2ln )2ln (01)f a a a a a -=+-<<,令1()2ln g a a a a=+-, 易得22212(1)()10a g a a a a-'=-+-=-<,所以()g a 在(0,1)单调递减,所以()(1)0g a g >=,所以1(2ln )2ln 0f a a a a-=+->. 此时,函数()f x 在(ln ,2ln )a a --上也有一个零点. 所以,当01a <<时,函数()f x 有两个相异零点. ③当1a =时,ln 0a -=,()(0)0f x f ≥=， 此时函数()f x 仅有一个零点.④当1a >时,ln 0a -<,因为(0)0f =,则由(1)知(ln )0f a -<； 令函数()ln (1)h a a a a =->,易得1()10(1)h a a a'=->>, 所以()(1)0h a h >=所以ln a a >,即ln a a -<-. 又()0af a ae--=>,所以函数()f x 在(,ln )a a --上也有一个零点,所以,当1a >时,函数()f x 有两个相异零点. 综上所述,当(0,1)(1,)a ∈+∞时,函数()f x 有两个相异零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点问题,考查了分类讨论思想.21.已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），直线l 交C 于A ，B 两点，且A ，B 两点与原点不重合，点M （1，2）为线段AB 的中点．（1）若直线l 的斜率为1，求抛物线C 的方程；（2）分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线，若两条切线交于点S ，证明点S 在一条定直线上． 【答案】（1）x 2＝2y （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）设直线l方程为y x t =+，代入抛物线方程，消去y ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得p ，即可得到所求抛物线方程；（2）求得22x y p=的导数，可得抛物线在A ，B 处的切线的斜率，由点斜式方程和点A ，B满足抛物线方程，可得在A ，B 处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点S 所在的定直线方程．【详解】解：（1）设直线l 的方程为y x t =+，代入抛物线2:2(0)C x py p =>，可得2220x px pt --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x p +=，点(1,2)M 为线段AB 的中点，可得22p =，即1p =， 则抛物线的方程为22x y =；（2）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，点(1,2)M 为线段AB 的中点， 可得122x x +=，124y y +=，由22x y p=的导数为x y p '=，可得抛物线在A 处的切线斜率为1x p ，切线方程为111()x y y x x p-=-， 由2112x py =，可得11()x x p y y =+，①同理可得22()x x p y y =+，②①+②可得1212()(2)x x x p y y y +=++， 即为2(24)x p y =+，即20x py p --=． 可得交点S 在一条定直线20x py p --=上．【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第2223题中任选一题作答．如果多做则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为412x ty m t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为（ρ﹣2cosθ）2＝5﹣4sin 2θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相切，求m 的值．【答案】（1）直线l 的普通方程为x +2y ﹣4﹣2m ＝0；曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0（2）m 32=或72- 【解析】 【分析】（1）由消参法可得直线的普通方程；由222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入化简可得曲线C 的直角坐标方程；（2）求得曲线C 表示的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件：d r =，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求值．【详解】解：（1）直线l 的参数方程为412x t y m t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，(t 为参数）， 可得24242x y t m t m +=-++=+， 即直线l 的普通方程为2420x y m +--=， 曲线C 的极坐标方程为22(2cos )54sin ρθθ-=-， 即为2224cos 4cos 54sin ρρθθθ-+=-， 由222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得22410x y x +--=；（2）由（1）可得曲线C 表示以(2,0)由直线l 与曲线C 相切，可得圆心到直线的距离为半径，=32m =或72-． 【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化，考查直线和圆相切的条件，考查化简运算能力，属于中档题． 23.已知函数f （x ）＝|x +4m|+|x +2m +1﹣3|． （1）当m ＝1时，求不等式f （x ）≥7的解集； （2）试证明f （x ）≥2．【答案】（1）{x |x ≥1或x ≤﹣6}（2）证明见解析 【解析】 【分析】21 （1）将1m =代入()f x 中，然后将()f x 写为分段函数的形式，再根据()7f x 分别解不等式可得解集；（2）由绝对值三角不等式可得12()|(4)(23)||(21)2|2m m m f x x x ++-+-=-+，从而证明结论．【详解】解：（1）当1m =时，25,1()413,4125,4x x f x x x x x x +>-⎧⎪=+++=--⎨⎪--<-⎩．因为()7f x ，所以2571x x +⎧⎨>-⎩或2574x x --⎧⎨<-⎩， 所以1x 或6x -，所以不等式的解集为{|1x x 或6}x -；（2）证明：11()|4||23||(4)(23)|m m m m f x x x x x ++=+++-+-+-12|423||(21)2|2m m m +=-+=-+，当且仅当21m =，即0m =时取等号，所以()2f x ．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．。
河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题(解析版)
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【解析】
由 z 1 i ，得 z 1 i 1 i ，则 z 1 i 2 ．
1 z i
1 z
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的概念和复数的运算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.
3．某班级要从 6 名男生、3 名女生中选派 6 人参加社区宣传活动，如果要求至少有 2
A． 2
B．3
C． 2, 3
【答案】C 【思路分析】
先求出 A x 1 x 3 和 B 2,3, 4 ，再求 A B 即可解题.
【解析】
因为 A x x2 4x 3 0 ，所以 A x 1 x 3 ，
因为 B x Z 1 x 5 ，所以 B 2,3,4 ，
D．1, 2,3
绝密★启用前
河北省衡水中学 2021 届高三数学第一次联合考试试题
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题
1．设集合 A x x2 4x 3 0 ， B x Z 1 x 5 ，则 A B （ ）
期望为 20，则 p 的值为（ ）
1
A．
1
1 20
20
1
B．1
1 20
21
1
C．
1
1 21
20
1
D．
1
1 21
21
【答案】A
【思路分析】
第 3 页 共 22 页
先确定次数取值和对应的概率，再求数学期望建立方程求 p 的值. 【解析】 若合并检测，检测次数取值为 1，21，
(全国卷)河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题.doc
（全国卷）河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A ＝{}2430x x x -+≤，B ＝{}15x Z x ∈<<，则AB ＝A ．{2}B ．{3}C ．{2，3}D ．{1，2，3} 2．若复数1i z =-，则1zz-＝A ．1BC ．D ．43．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为A ．19B ．38C ．55D ．654．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2021项中，偶数的个数为 A ．505 B ．673 C ．674 D ．1010 5．已知非零向量a ，b 满足a b =，且2a b a b +=-，则a 与b 的夹角为A ．23π B ．2π C ．3π D ．6π 6．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p ，且检测次数的数学期望为20，则p 的值为A ．12011()20- B ．12111()20- C ．12011()21- D ．12111()21-7．已知未成年男性的体重G （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的关系可用指数模型G ebxa =来描述，根据大数据统计计算得到a ＝2.004，b ＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm ，体重为17.5kg ．预测当他体重为35kg 时，身高约为(ln2≈0.69) A ．155cm B ．150cm C ．145cm D ．135cm8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，点N 在侧面ADD 1A 1内，若BM ⊥A 1N ．则△ABN 面积的最小值为A ．5 B ．5C ．1D ．5 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知3cos()55πα+=，则3sin(2)5πα-＝ A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．242510．已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点，则下列说法定正确的是A ．AB 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线x ＝﹣1相切C ．12x x 为定值D ．若M(﹣1，0)，则∠AMF ＝∠BMF 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，则A ．(4)()f x f x +=B ．()f x 在区间(﹣2，0)上单调递增C ．()f x 有最大值D ．()sin2xf x π=是满足条件的一个函数12．若存在实数t ，对任意的x ∈(0，s ]，不等式2(2)(1)0x x t t x ----≤恒成立．则s的值可以为A ．12 B ．12C ．32-D ．32+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知F 1，F 2为双曲线2214y x -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且12PF 2PF =，则△PF 1F 2的面积为 ．14．已知实数a ，b ∈，+∞)，且满足2211ln b a b a->，则a ，b 是 ．15．数学多选题有A ，B ，C ，D 四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全都选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分，已知某道数学多选题正确答案为B ，D ，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ．16．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥AB ，PA ＝4，AB ＝3，二面角P —AB —C 的大小为30°，在侧面△PAB 内（含边界）有一动点M ，满足M 到PA 的距离与M 到平面ABC 的距离相等，则M 的轨迹的长度为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①对任意n ＞1，满足112(1)n n n S S S +-+=+，②12n n n S S a +-=+，③1n n S na +=-(1)n n +这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =， ，若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；若数列{}n a 不一定是等差数列，说明理由．（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）18．（本小题满分12分）振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下：于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x 的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X~N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．附：若X~N(μ，2σ)，则P(x μσμσ-<≤+)≈0.68，P(22x μσμσ-<≤+)≈0.96． 19．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OB ·sin ∠ABD ＝OD ·sin ∠ADB ，∠ABC ＝3π，AB ＝3BC ＝3． （1）求sin ∠DAC ；（2）若∠ADC ＝23π，求四边形ABCD 的面积．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA ＝PC ＝AC ． （1）证明：AC ⊥PB ；（2）若PB 与底面所成的角为45°，求二面角B —PC —A 的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，并且经过点(0，1)，离心率为32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，求△OMD 面积的最大值，并求此时点D 的坐标． 22．（本小题满分12分）已知函数1()ln e x x f x x x -=-．（1）求函数()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）证明：（i ）()2f x <；（ii ）任意N n *∈，1e (2ln )n n n n -<-．。
河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题(pdf版含答案)
ab 的大小关系
是______．
【答案】 a ab b
第 3 页 共 11 页
15．数学多选题有 A，B，C，D 四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为 B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率 为______．
1 20
21
1
C．
1
1 21
20
1
D．
1
1 21
21
【答案】A
7．已知未成年男性的体重 G （单位： kg ）与身高 x （单位：cm ）的关系可用指数模
型 G aebx 来描述，根据大数据统计计算得到 a 2.004 ，b 0.0197 ．现有一名未成 年男性身高为110cm，体重为17.5kg ，预测当他体重为 35kg 时，身高约为
D．65
【答案】D
4．数列1、1、 2 、 3 、 5 、8 、13 、 21 、 34 、称为斐波那契数列，是意大利著名 数学家斐波那契于1202 年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第
三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前 2020 项中，偶数的个数为（ ）
A． 505
绝密★启用前
河北省衡水中学 2021 届高三数学第一次联合考试试题
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题
1．设集合 A x x2 4x 3 0 ， B x Z 1 x 5 ，则 A B （ ）
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试(全国卷)数学(文)试题(解析版)
B． 为定值
C． 的最大值为
D．当 为直径时，四边形 面积的最大值为16
【答案】B
【解析】利用对称性可求得 的最小值，判断选项A；利用平面向量基本定理和数量积的定义判断选项B；利用圆的切线的性质判断选项C；利用梯形中位线可得 ，即当 最长时，四边形 的面积最大．
【详解】
设 ，则N关于l对称的点为 ，所以 的最小值为 ，故A正确； 不是定值，故B错误；当 最小，且当 为圆O的切线时， 最大，此时 ，故C正确；在四边形 中， ，且 .因此，当 最长，即 时面积最大，最大值为16，故D正确
【详解】
因为函数 与 的图象关于直线 对称， ，所以 ， 所以 的图象如图所示.
方程 可化为 ，即求函数 与 的图象的交点个数.
当 时， 的图象恒过点 ，此时有两个交点；
当 时， 与 的图象有一个交点；
当 时，设斜率为 的直线与 的切点为 ，由斜率 ，所以 ，所以切点为 ，此时直线方程为 ，即 ，所以直线 与 恰好相切，有一个交点.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求出角 的终边经过点 ，进而求出 ，然后利用倍角公式进行求解即可
【详解】
因为角 的终边经过点
即角 的终边过点 ，
所以 ，
所以 .
故选:A
【点睛】
本题考查倍角公式的使用，主要考查学生的运算能力，属于基础题
4．函数 的部分图象大致是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据函数值的分布判断选项.
【详解】
函数 是奇函数， 是偶函数，所以函数 为奇函数，函数图象关于原点对称，排除A，C；当 时， ，排除D.
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试(全国卷)数学(文)试题(解析版)
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试（全国卷）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =-->，{}lg(1)1B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{39}x x <≤B ．{}23x x -≤≤ C ．{}29x x -≤≤ D ．{13}x x -<≤【答案】D【解析】求出集合A 、B 、RA ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得:{}{260|2A x x x x x =-->=<-或}3x >，所以{}23RA x x =-≤≤，{}{}{}lg(1)1011019B x x x x x x =+≤=<+≤=-<≤，故(){13}RA B x x ⋂=-<≤.故选：D 【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，涉及解一元二次不等式、对数不等式，属于基础题.2．在复平面内，复数|34|12i i-+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用模长公式和复数的除法运算化简可得对应的点，进而得出所在象限． 【详解】()()()512|34|51212121212i i i i i i i --===-+++-，对应点为(1,2)-，在第四象限.故选：D 【点睛】本题考查复数的定义与运算，考查学生计算能力，属于基础题． 3．若角α的终边经过点()sin60,cos120︒︒，则tan2α=（ ）A ．3-B ．33-C ．3 D ．3【答案】A【解析】先求出角α的终边经过点3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，进而求出tan α，然后利用倍角公式进行求解即可 【详解】因为角α的终边经过点()sin60,cos120︒︒即角α的终边过点3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3tan α=-， 所以22tan tan 231tan ααα==--. 故选:A 【点睛】本题考查倍角公式的使用，主要考查学生的运算能力，属于基础题 4．函数()2sin ln 1y x x=⋅+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据函数值的分布判断选项.【详解】函数sin y x =是奇函数，()2ln 1y x=+是偶函数，所以函数()2sin ln 1y x x =⋅+为奇函数，函数图象关于原点对称，排除A ，C ；当0πx <<时，0y >，排除D. 故选：B 【点睛】本题考查识别函数图象，重点考查函数性质和函数图象，属于基础题型.5．已知数列{}n a 为等差数列，415222,21a a a a =+=-.若2020m a =，则m =（ ） A ．671 B ．672C ．2013D ．2014【答案】B【解析】设公差为d ，利用等差数列的通项公式列出关于1,a d 的方程组，求解代入2020m a =，即可求出m .【详解】 设公差为d ， 由5211411121422122322a a a d a d a a a d a =-+=+-⎧⎧⇒⎨⎨=++=+⎩⎩，得137d a =⎧⎨=⎩，则由13(1)73(1)2020m a a m m =+-=+-=， 解得672m =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式.属于较易题.6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为120，则判断框内应补充的条件为（ ）A ．4i <B ．4iC ．5i <D ．5i【答案】D【解析】由题意结合循环结构的特征，注意变量取值的变化，逐步运行即可得解. 【详解】当1i =时，0S =； 当2i =时，3S =； 当3i =时，12S =； 当4i =时，39S =； 当5i =时，120S =. 故选：D. 【点睛】本题考查了循环结构程序框图的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．“ABC 为锐角三角形”的充分不必要条件是（ ） A ．0AB AC ⋅>B ．sin sin sin cos cos cos A BC A B C ++>++ C ．A ，B ，C 成等差数列，且||3A C π-<D ．222AC BC AB +> 【答案】C【解析】A 选项，由0AB AC ⋅>，可得A 为锐角，进而可作出判断； B 选项，由已知022B A ππ<-<<可得sin cos A B >，sin cos B C >，sin cos C A >，所以sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，进而得证； C 选项，易得2A+C =B ，3B π=，又由33A C ππ-<-<，可得A ，C 均小于2π，进而得证；D 选项，易得cos 0C >，所以C 为锐角，无法确定ABC 的形状. 【详解】A 选项，由0AB AC ⋅>，可得A 为锐角，不满足条件； B 选项，若ABC 为锐角三角形，则022B A ππ<-<<，则sin sin 2A B π⎛⎫>-⎪⎝⎭，即sin cos A B >， 同理可得sin cos B C >，sin cos C A >，所以sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++， 若,24AB C，不等式成立，但此时A 并非锐角，不满足条件；C 选项，因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2A+C =B ，3B π=，又由33A C ππ-<-<，可得A ，C 均小于2π， 所以ABC 为锐角三角形；反之若ABC 为锐角三角形，若85,10A B C ==︒=︒， 则A ，B ，C 成等差数列，且||3A C π-<不成立，满足充分不必要条件；D 选项，由222AC BC AB +>，得cos 0C >， 所以C 为锐角，无法确定ABC 的形状. 故选：B . 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 8．已知向量,OA OB 的夹角为60︒，||1,||2OA OB ==，点C 为AOB ∠的平分线上的一点，且(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn=（ ） A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】C【解析】利用点C 为AOB ∠的平分线上的一点，可利用菱形对角线平分对角进行作图，构造出四边形11OB CA 为菱形，由||1,||2OA OB ==，设1OA kOA =，则11OA k OB ==，则12kOB OB =，所以，利用向量的线性运算，即可得到11OC OA OB =+=2kkOA OB mOA nOB +=+，进而求解m n 即可【详解】如图，过点C 作11//,//CA OB CB OA ，则可得四边形11OB CA 为菱形，所以11OA OB =.设1OA kOA =，则11OA k OB ==，则12kOB OB =，所以11OC OA OB =+=2k kOA OB +.又因为OC mOA nOB =+，所以22m kkn ==. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查学生的数形结合能力，属于基础题9．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，,AC BD 是其两条对角线，8BD =，且ACD △为正三角形，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．3B ．3C ．243D ．323【答案】B【解析】由已知和托勒密定理可得AB a a BC a BD ⋅+⋅=⋅，即 8AB BC BD +==.再由三角形的面积公式可求得选项. 【详解】设AD DC AC a ===，由托勒密定理知，AB a a BC a BD ⋅+⋅=⋅， 所以8AB BC BD +==. 又因为3ABD ACD π∠=∠=，3CBD CAD π∠=∠=，所以四边形ABCD 的面积为ABDBCDS SS=+=113sin sin ()16323234AB BD BC BD AB BC BD ππ⋅+⋅=+⋅=. 故选：B.【点睛】本题考查数学文化，数学定理的应用，以及解三角形，属于中档题.10．已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,M N 两点，点P 在直线:20l x y +-=上，过圆O 上的任意两点,S T 分别向l 作垂线，垂足为,S T ''，以下说法不正确的是（ ） A ．||||PM PN +的最小值为2B ．PM PN ⋅为定值 C ．SPT ∠的最大值为3πD ．当ST 为直径时，四边形SS T T ''面积的最大值为16 【答案】B【解析】利用对称性可求得||||PM PN +的最小值，判断选项A ；利用平面向量基本定理和数量积的定义判断选项B ；利用圆的切线的性质判断选项C ；利用梯形中位线可得8SS TT ''+=，即当S T ''最长时，四边形SS T T ''的面积最大． 【详解】设(2,0),(2,0)M N -，则N 关于l 对称的点为(42,422)N '，所以||||PM PN +的最小值为62MN '=故A 正确；2()()4PM PN OM OP ON OP OP ⋅=-⋅-=-不是定值，故B 错误；当OP 最小，且当,PS PT 为圆O 的切线时，SPT ∠最大，此时3SPT π∠=，故C 正确；在四边形SS T T ''中，//SS TT ''，且8SS TT ''+=.因此，当S T ''最长，即||4S T ST ''==时面积最大，最大值为16，故D 正确 故选：B 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线，考查平面向量数量积的应用，属于中档题．11．一圆柱形容器，底面半径为1，高为3，里面装有一个小球，小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切.过圆柱上底面圆周上一点作一个平面α，使得α与小球恰好相切，则α与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为（ ） A ．5 B ．12C ．2 D ．35【答案】D【解析】作出当平面α与小球相切，且与底面所成锐二面角最小时的剖面图，再由直线与圆相切时的性质求得12DE =，由面面角的定义可求得该平面与圆柱下底面所成锐二面角的正弦值. 【详解】当平面α与小球相切，且与底面所成锐二面角最小时，轴截面如下图所示，2CF CH ==，DE DH =，所以DC DE CF =+，2EF =，在Rt GDC △中，由勾股定理222(2)2(2)DE DE +=+-得12DE =， 所以该平面与圆柱下底面所成锐二面角的正弦值为1323221552+22-==. 故选：D.【点睛】本题考查面面角的求解方法，空间想象能力，属于中档题.12．已知函数()x f x e =，函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，令(),0,()(),0,f x xh xg x x≤⎧=⎨>⎩则方程22()e h x x e=+解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】首先利用图象关于y x=对称,求出()h x解析式，22()e h x x e=+可化为2()1xh xe=+，求函数()y h x=与21xye=+的图象的交点个数，然后分0x≤、01x<<、1x>分别讨论即可求解.【详解】因为函数()g x与()f x的图象关于直线y x=对称，()xf x e=，所以()lng x x=，,0,()ln,0,xe xh xx x⎧⎪=⎨>⎪⎩所以()h x的图象如图所示.方程22()e h x x e=+可化为2()1xh xe=+，即求函数()y h x=与21xye=+的图象的交点个数.当0x≤时，21xye=+的图象恒过点(0,1)，此时有两个交点；当01x<<时，21xye=+与()y h x=的图象有一个交点；当1x>时，设斜率为21e的直线与lny x=的切点为()00,lnx x，由斜率211ke x==，所以2x e=，所以切点为()2,2e，此时直线方程为()2212y x ee-=-，即21xye=+，所以直线21xye=+与z x y=+恰好相切，有一个交点.综上，此方程有4个解. 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数与方程知识，方程的根的个数也即是两个函数图象交点的个数，属于中档题.二、填空题13．若实数,x y 满足20,210,1,x y x y x -≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩则x y +的最小值为_____.【答案】1【解析】画出可行域，再分析直线y x z =-+取最小值时的最优解即可. 【详解】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.令z x y =+，则y x z =-+.作出直线:l y x =-，将直线l 平移经过点M 时在y 轴上的截距最小，由20210x y x y -=⎧⎨-+=⎩得12,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以x y +的最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了线性规划求最小值的问题，属于中档题.14．随着我国对新冠肺炎疫情的控制，全国消费市场逐渐回暖，某商场统计的人流量x （单位：百人）与销售额y （单位：万元）的数据表有部分污损，如下所示. x 2 3 45 6 y 2.23.86.57.0已知x 与y 具有线性相关关系，且线性回归方程 1.230.08y x =+，则表中污损数据应为_____. 【答案】5.5【解析】先计算出x ，再由线性回归方程过点(),x y ，可得答案. 【详解】 由表可知2345645x ++++==.因为线性回归方程过点(),x y ，所以1.2340.085y =⨯+=，所以表中数据应为55(2.2 3.8 6.57.0) 5.5⨯-+++=. 故答案为：5.5. 【点睛】本题考查线性回归方程过样本中心点，属于基础题. 15．已知向量(2,),(ln ,2)a y b x ==-，且a b ⊥，那么yx的最大值为_____. 【答案】1e【解析】先根据向量的垂直关系得到,x y 之间的关系式，再将yx表示为关于x 的函数，利用导数分析求解出yx的最大值. 【详解】由题意可知0a b ⋅=，即ln ,y x = 所以ln (0)y x x x x =>，令()()ln 0x f x x x =>，即求()f x 的最大值，且()21ln xf x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0,()fx f x '>在区间()0,e 上单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在区间(),e +∞上单调递减，所以当x e =时，()()max 1f x f e e ==，即yx 的最大值为1e. 故答案为：1e. 【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求解参数与利用导数求解最值的综合应用，主要考查学生的计算与转化能力，难度一般.16．小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O 为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB 与OC 垂直，80cm,20cm AB OC ==，若该双曲线的焦点位于直线OC 上，则在点O 以下的焦点距点O ______cm .【答案】21)【解析】设该双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，根据题意求方程，根据双曲线的性质求解得答案. 【详解】解：设该双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.因为渐近线相互垂直，所以a b =.由题意知，2222(20)401a a b+-=， 解得30,302a b c ===故该双曲线的一个焦点位于点O 以下30(21)cm . 故答案为： 21)- 【点睛】本题考查双曲线的实际应用，是基础题.三、解答题17．在ABC 中，已知,,a b c 分别是角,,A B C的对边，,4B AB S π==为ABC的面积，()2222sin S a b c C =+-.（1）求C ；（2）若点D 在直线CB 上，且AD AC ⊥，求线段CD 的长度. 【答案】（1）3C π=；（2）【解析】（1）利用余弦定理和三角形的面积公式可得1cos 2C =，即可得答案； （2）在ABD △中利用正弦定理可得AD =，在Rt ACD △中可求得线段CD 的长度; 【详解】解：（1）由余弦定理，得2222cos a b c ab C +-=， 所以22cos sin S ab C C =， 即sin 2cos sin ab C ab C C =， 解得1cos 2C =. 因为(0,)C π∈，所以3C π=.（2）由题意及（1）知，6ADC π∠=.在ABD △中，因为3sinsin64ABADππ=，所以AD =所以在Rt ACD △中，sin3AD CD π===【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图.（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询.如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？（2）为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如下.（i）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（ii）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率.【答案】（1）应抽取小吃类商贩40（家），果蔬类商贩15（家）；（2）（i）152.5元；（ii）3.5【解析】（1）根据各类频率之和为1先求小吃类占的频率，再求小吃类、果蔬类商贩的家数即可（2）（i）用各个区间的中点乘以所占的频率，最后求和即可（ii）求出该果蔬经营点的日收入超过200元的天数，其中超过250元的有2天，先列出所有可能的情况，再找出两天的日收入至少有一天超过250元的情况，最后求概率即可.【详解】-----=，解：（1）由题意知，小吃类所占比例为125%15%10%5%5%40%⨯=（家），按照分层抽样的方式随机抽取，应抽取小吃类商贩10040%40⨯=（家）.果蔬类商贩10015%15（2）（i）该果蔬经营点的日平均收入为⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. (750.0021250.0091750.0062250.0022750.001)50152.5（ⅱ）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为：(0.0020.001)500.15+⨯=，0.15406⨯=，其中超过250元的有2天，记日收入超过250元的2天为12,a a ，其余4天为1234,,,b b b b 随机抽取两天的所有可能情况为：()()()()()1211121314,,,,,,,,,a a a b a b a b a b ，()()()()21222324,,,,,,a b a b a b a b ，()()()121314,,,,,b b b b b b ，()()2324,,,b b b b ，()34,b b 共15种，其中至少有一天超过250元的所有可能情况为：()()()121112,,,,,a a a b a b ，()()()131421,,,,,a b a b a b ，()()()222324,,,,,a b a b a b 共9种.所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为93155=. 【点睛】考查饼形图、平均数以及古典概型的应用，中档题.19．如图，四棱锥S ABCD -的各侧棱长均为2，底面ABCD 为矩形，22,2AB AD ==过底面对角线AC 作与直线SB 平行的平面α，且平面α交SD 于点E.（1）试确定点E 的位置，并说明理由； （2）求三棱锥E ABC -的体积.【答案】（1）点E 为SD 的中点；答案见解析；（2）23. 【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，由于//SB 平面AEC ，故根据线面平行的性质定理得//EO SB ，由于为O 为BD 中点，进而得E 为SD 中点； （2）连接SO ，证明SO ⊥底面ABCD ，进而根据12E ABC S ABC V V --=求体积即可得答案. 【详解】解：（1）点E 为SD 的中点.理由如下：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，如图.因为//SB 平面,AEC SB ⊂平面SBD ，且平面AEC 平面SBD EO =，所以//EO SB .在SBD 中，因为O 为BD 中点，所以E 为SD 中点.（2）如图，连接SO .由题意知，SB SD =，所以SO BD ⊥； 同理，SO AC ⊥. 因为ACBD O =，所以SO ⊥底面ABCD .又因为22,2AB AD ==， 所以23BD =1SO =，所以1111222212232E ABC S ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的性质定理，线面垂直的证明，几何体体积的计算，考查空间思维能力和运算能力，是中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，但不在x 轴上，当点P 在C 上运动时，12PF F △的周长为定值6，且当112PF F F ⊥时，132PF =. （1）求C 的方程.（2）若斜率为(0)k k ≠的直线l 交C 于点M ，N ，C 的左顶点为A ，且1,,AM AN k k k-成等差数列，证明：直线l 过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意可得22223,2226,,b a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解方程组即可得答案；（2）设直线:l y kx m =+，与椭圆C 方程联立，利用韦达定理可得,k m 之间的关系，即可得答案； 【详解】（1）解：由题意知，22223,2226,,b a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩所以2,1,a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意知，(2,0)A -.设直线:l y kx m =+，与椭圆C 方程联立，得221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2223484120kxkmx m +++-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则12221228,34412,34km x x km x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()12121212121212432(2)2222242AM AN y y kx m kx m x x k k k m k x x x x x x x x m k+++++=+=+=+-⋅==+++++++-12k-⨯， 所以2k m =.所以:2(21)l y mx m m x =+=+，恒过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 21．已知函数()(1)ln()a xf x x a R e=-∈. （1）若关于x 的不等式()ln 1f x x a +-对任意的正数x 恒成立，求实数a 的取值范围.（2）证明：()*111ln(1)231n n N n +>+++∈+. 【答案】（1）(,1]-∞；（2）证明见解析.【解析】（1）由()ln 1f x x a +-，化简不等式，得ln 10x x ax -+对任意的正数x 恒成立，然后，利用参变分离法或者最值分析法进行求解即可（2）由（1）知，当1a =时，ln 10x x ax -+对任意的正数x 恒成立，即1ln 1x x-，当1x =时等号成立，进而可以令1n x n +=，得11ln 111n n n n n +>-=++，整理得，递推式1ln(1)ln 1n n n +->+，然后分别令1,2,3,,n n =，然后累加即可得证【详解】（1）解：()(1)ln(1)(ln )ln ln a xf x x x x a x x x ax a e=-=--=--+， 由()ln 1f x x a +-，得ln 10x x ax -+对任意的正数x 恒成立. 解法一：即ln 11ln x x ax x x+=+对任意的正数恒成立， 令1()ln g x x x=+，只需min ()a g x .则22111()x g x x x x-'=-=，当1x >时，()0,()'>g x g x 在区间(1,)+∞上单调递增， 当01x <<时，()0,()g x g x '<在区间(0,1)上单调递减. 所以min ()(1)1g x g ==.所以1a ，即实数a 的取值范围为(,1]-∞. 解法二：令()ln 1g x x x ax =-+， 则()ln 1(0)g x x a x '=+->. 当()10,a x e -∈时，()0,()g x g x '<在区间()10,a e -上单调递减，当()1,a x e-∈+∞时，()0,()'>g x g x 在区间()1,a e -+∞上单调递增，所以()1111()(1)11a a a a g x g eea ae e ----=--+=-，所以110a e --，即1a . 所以实数a 的取值范围为(,1]-∞.（2）证明：由（1）知，当1a =时，ln 10x x ax -+对任意的正数x 恒成立，即1ln 1x x-，当1x =时等号成立.令1n x n +=，则11ln111n n n n n +>-=++. 所以1ln(1)ln 1n n n +->+，1ln 3ln 23->，1ln 2ln12->累加，得111ln(1)ln1231n n +->++++， 即111ln(1)231n n +>++++. 【点睛】本题考查参变分离法和最值分析法的运用，以及利用递推式的关系，证明不等式成立，属于难题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3,3sin 4x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， （1）求C 的极坐标方程；（2）若直线l 过点(4,2)P ，且与C 交于,M N 两点，点P 恰好为线段MN 的中点求直线l 的斜率及||MN .【答案】（1）26cos 8sin 160ρρθρθ--+=；（2）直线l 的斜率为12；||4MN =. 【解析】（1）消参得22(3)(4)9x y -+-=，再利用222cos ,sin x x y y ρθρρθ=⎧+=⎨=⎩，化简即可得到答案；（2）设直线l 的参数方程为4cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角），代入曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，利用韦达定理和已知条件得到1tan 2α=，即可求出斜率，利用12||MN t t =-即可得出结果. 【详解】（1）由题意，得曲线C 的直角坐标方程为22(3)(4)9x y -+-=，即2268160x y x y +--+=，所以C 的极坐标方程为26cos 8sin 160ρρθρθ--+=.（2）设直线l 的参数方程为4cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角），代入曲线C 的直角坐标方程， 得2(2cos 4sin )40t t αα+--=. 设点,M N 对应的参数分别为12,t t ， 因为点P 恰好为线段MN 的中点， 所以124sin 2cos 0t t αα+=-=， 即1tan 2α=， 所以直线l 的斜率为12. 又12124,2t t t t ===， 所以1212||4MN t t t t ==+=-. 【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根与系数关系的应用.属于较易题.23．已知函数()|2||1|f x x m x =+-+. （1）若2m =-，求不等式()8f x 的解集；（2）若关于x 的不等式()|3|f x m x +对于任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4(,4],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）不等式()|3|f x m x +对于任意实数x 恒成立，转化为|2||1||3|x m x x ++++对于任意实数x 恒成立，记|2|()|1||3|x g x x x +=+++， 将()g x 写成分段函数形式，判断函数的单调性，依据单调性求得()g x 的最小值，从而可得可得m 的范围.【详解】解：（1）当2m =-时，34,2,(),21,34,1,x x f x x x x x ---⎧⎪=--<<-⎨⎪+-⎩当2x -时，348x --，解得4x -；当21x -<<-时，不等式无解；当1x -时，348x +，解得43x . 综上，不等式的解集为4(,4],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由题意知，|2|(|1||3|)x m x x ++++，所以|2||1||3|x m x x ++++. 记|2|()|1||3|x g x x x +=+++， 则1,(,3][1,),2()2,(3,1),2x g x x x ⎧∈-∞-⋃-+∞⎪⎪=⎨+⎪∈--⎪⎩， 当31x -<<-时，()()()22122322x x g x x x +⎧-≤<-⎪⎪=⎨--⎪-<<-⎪⎩，则()12g x <， 又当2x =-时，()min 0g x =， 所以1()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以12m ， 所以实数m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式恒成立问题.属于中档题.。
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河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试
数学试题
2020．9
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A ＝{
}
2
430x x x -+≤，B ＝{}
15x Z x ∈<<，则A
B ＝
A ．{2}
B ．{3}
C ．{2，3}
D ．{1，2，3} 2．若复数1i z =-，则
1z
z
-＝
A ．1
B
C ．
D ．4
3．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为
A ．19
B ．38
C ．55
D ．65
4．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2020项中，偶数的个数为 A ．505 B ．673 C ．674 D ．1010 5．已知非零向量a ，b 满足a b =，且2a b a b +=-，则a 与b 的夹角为
A ．
23π B ．2π C ．3π D ．6
π 6．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p ，且检测次数的数学期望为20，则p 的值为
A ．120
11()20
- B ．12111()20- C ．12011()21- D ．1
2111()21-
7．已知未成年男性的体重G （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的关系可用指数模型G e
bx
a =来描述，根据大数据统计计算得到a ＝2.004，
b ＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm ，
体重为17.5kg ．预测当他体重为35kg 时，身高约为(ln2≈0.69)
A ．155cm
B ．150cm
C ．145cm
D ．135cm
8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，点N 在侧面ADD 1A 1内，若BM ⊥A 1N ．则△ABN 面积的最小值为
A ．
5 B ．5
C ．1
D ．5 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项
中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知3cos()5
5π
α+
=
，则3sin(2)5
π
α-
＝ A ．2425-
B ．1225-
C ．12
25
D ．2425 10．已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于A(1x ，1y )，B(2x ，
2y )两点，则下列说法定正确的是
A ．A
B 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线x ＝﹣1相切
C ．12x x 为定值
D ．若M(﹣1，0)，则∠AMF ＝∠BMF 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，则
A ．(4)()f x f x +=
B ．()f x 在区间(﹣2，0)上单调递增
C ．()f x 有最大值
D ．()sin
2
x
f x π=是满足条件的一个函数
12．若存在实数t ，对任意的x ∈(0，s ]，不等式2
(2)(1)0x x t t x ----≤恒成立．则s 的值
可以为
A B C D
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置
上）
13．已知F 1，F 2为双曲线2
2
14
y x -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且12PF 2PF =，则△PF 1F 2的面积为 ．
14．已知实数a ，b ∈，+∞)，且满足
2211ln b
a b a
->，则a ，b 的大小关系是 ． 15．数学多选题有A ，B ，C ，D 四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全都选对的
得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分，已知某道数学多选题正确答案为B ，D ，
小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ． 16．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥AB ，PA ＝4，AB ＝3，二面角P —AB —C 的大小为30°，
在侧面△PAB 内（含边界）有一动点M ，满足M 到PA 的距离与M 到平面ABC 的距离相等，则M 的轨迹的长度为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
在①对任意n ＞1，满足112(1)n n n S S S +-+=+，②12n n n S S a +-=+，③1n n S na +=-
(1)n n +这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =， ，若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；若数列{}n a 不一定是等差数列，说明理由．
（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）
18．（本小题满分12分）
振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每
于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x 的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）
（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X~N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．
附：若X~N(μ，2
σ)，则P(x μσμσ-<≤+)≈0.68，P(22x μσμσ-<≤+)≈0.96．
19．（本小题满分12分）
如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OB ·sin ∠ABD ＝OD ·sin ∠ADB ，∠ABC ＝
3
π
，AB ＝3BC ＝3． （1）求sin ∠DAC ；
（2）若∠ADC ＝
23
π
，求四边形ABCD 的面积．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA ＝PC ＝AC ．
（1）证明：AC ⊥PB ；
（2）若PB 与底面所成的角为45°，求二面角B —PC —A 的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的焦点在x 轴上，并且经过点(0，1) （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，求△OMD 面积的最大值，并求此时点D 的坐标．
22．（本小题满分12分）
已知函数1
()ln e
x x f x x x -=
-．
（1）求函数()y f x =在x ＝1处的切线方程； （2）证明：（i ）()2f x <；（ii ）任意N n *
∈，1
e (2ln )n n n n -<-．。