2019—2020北京朝阳高二(上)期末数学试卷(含答案)
2020-2021年北京市朝阳区高二数学上学期期末试题及答案
2020-2021年北京市朝阳区高二数学上学期期末试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 圆的圆心C 的坐标为（ ） 22:210C x x y ++-=A. （1，0） B. （－1，0） C. （2，0） D. （－2，0）【答案】B2. 已知直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，若，，则an (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = 直线l 与平面α（ ） A. 垂直 B. 平行C. 相交但不垂直D. 位置关系无法确定【答案】A3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）22126x y -=C.D. 【答案】B4. 如图，已知直线l 与圆相交于A ，B 两点，若平面向量，满足22:4O x y +=OA OB，则和的夹角为（ ）2OA OB ⋅=-OA OBA. 45°B. 90°C. 120°D. 150°【答案】C5. 光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，…，F 64.光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的（ ） A. 2倍 B. 4倍C. 8倍D. 16倍【答案】C6. 过抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，抛物线的焦点24y x =()()003,0A y y >B 为，直线在轴下方交抛物线于点，则（ ） F BF x E FE =A. 1 C. 3D. 4【答案】D7. 下列有四个说法：①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点： ②函数在定义域上单调递减； 1()f x x=③某质点沿直线运动，位移（单位：m ）与时间t （单位：s ）满足关系式则y 256y t =+1t s =时的瞬时速度是10 m/s ； ④设x ＞0，，，则在（0，＋∞）上函数的图象比的图象()ln f x x =1()1g x x=-()f x ()g x 要“陡峭”.其中正确的序号是（ ） A. ①③ B. ②③C. ①④D. ③④【答案】A8. 如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK 和LM 所成角的大小为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】D9. 已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C ()222210x y a b a b +=>>1F 2F P C上的任意一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 120PF PF ⋅>A. B. C. D. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦⎛⎝12⎛⎝⎤⎥⎦【答案】B10. 如图，在三棱锥O -ABC 中，三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c . M 为△ABC 内部及其边界上的任意一点，点M 到平面OBC ，平面OAC ，平面OAB 的距离分别为a 0，b 0，c 0，则（ ） 000a b c a b c++=A.B.C. 1D. 21412【答案】C二、填空题：本大题共6小题每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.11. 只知两条直线，平行，则m 的值为______. 1:210l x y ++=2:20()l x my m R +=∈【答案】4解：两条直线，平行，则，得1:210l x y ++=2:20()l x my m R +=∈122m ⨯=⨯，4m =12. 等差数列满足，，则_________. {}n a 1212a a +=344a a +=56a a +=【答案】4-解：等差数列满足，，设公差为，则{}n a 1212a a +=344a a +=d ，()134248a a d a a ++-==-则， 563444a a a a d +=++=-13. 已知函数（a ∈R ），且，则a 的值为_________. ()sin f x x ax =+12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭【答案】1解：对函数求导得，()cos f x x a '=+则，得. cos 122f a ππ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭1a =14. 如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1.则A 1C 与平面C 1BD _______（填“垂直”或“不垂直”）；A 1C 的长为_______.【答案】 ①. 垂直 ②解：设，，，由题意可得，CB a = CD b = 1CC c =1CA a b c =++ 则()()()2211CA BD CA CD CB a b c b a b a c b c a ⋅=⋅-=++⋅-=-+⋅-⋅ ，，同理可证， cos 60cos 600c b c a =⋅-⋅=1CA BD ∴⊥11CA BC ⊥，故平面．1BD BC B ⋂= 1CA ⊥1C BD ∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1，,11CD CB CC ∴===222221111()2()1112()6222CA a b c a b c a b b c a c ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=+++++=,1CA →∴=即A 1C .故答案为：垂直；15. 2020年11月24日我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅.2004年，中国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”.2007年10月24日“嫦娥一号”成功发射升空，探月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心为椭圆焦点的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个轨道飞行（如图所F 示），三个椭圆轨道的长半轴长、半焦距和离心率分别为，探月卫星沿三(),,1,2,3i i i a c e i =个椭圆轨道的飞行周期（环绕轨道一周的时间）分别为16小时，24小时和48小时，已知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的平方与长半轴长的三次方之比是定值.现有以下命题：①；②；③；④.则以上112233a c a c a c -=-=-21a <31a =123e e e <<命题为真命题的是___________.（写出所有真命题的序号）【答案】①③④解：由题意知：三个椭圆轨道的近地点相同且都以地心为焦点， F ∴，故①正确，112233a c a c a c -=-=-，即，则且，故②错误，③3331232565762304a aa ==3331234936a a a ==211a >=31a =正确，∵若地球半径为，则， R 112233a c a c a c R -=-=-≈∴，，，故， 11c a R =-22c a R =-33c a R =-123123,11,1R R Re a a e e a =-=-=-由上知：，所以，故④正确. 321a a a >>123e e e <<故答案为：①③④16. 把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n （n ∈N *）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.【答案】 ①. ②. 2465 21n -解：第1组有1个数， 第2组有3个数， 第3组有5个数， ……第n 组有个数.()12121n n +-=-前8组的数字个数分别为1,3……15，共64项，第9组中的数字个数有2×9-1=17个， 设把正奇数列的前n 项和为，则第9组中的所有数之和：n S .()()81648181164641=81126412=246522S S ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯--⨯+⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：；2465. 21n -三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证朋过程. 17. 已知函数()ln .f x x x =（1）求曲线在点（e ，）的切线方程； ()y f x =()f e （2）求函数的单调区间.()f x 【答案】（1）； （2）在单调递减，在单调递增． 2y x e =-1(0,e1(,)e+∞解：（1）由得， ()ln f x x x =()()ln 10f x x x '=+>所以切线斜率为 ()ln 12f e e '=+=切点坐标为，(,)e e 所以切线方程为，即； 2()y e x e -=-2y x e =-（2）， ()()ln 10f x x x '=+>令，得． ()0f x '=1=x e当时，；∴1(0,∈x e()0f x '<当时，，1(,)∈+∞x e()0f x '>∴在单调递减，在单调递增． ()ln f x x x =1(0,)e1(,)e+∞18. 已知圆，若直线与圆C 相交于A ，B 两点，且222:(0)C x y r r +=>1:20l x y -+=.AB =（I ）求圆C 的方程.（II ）请从条件①条件②这两个条件中选择一个作为点P 的坐标，求过点P 与圆C 相切的直线l 2的方程.①（2，－3）；②（1）.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（I ）；（II ）选①：或；选②：224x y +=512260x y ++=2x =.40x +-=解：（I ）设圆心到直线的距离为，则，即，1l d 222||2AB r d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭222d r =-又， d ==24r ∴=故圆C 的方程为；224x y +=（II ）选①：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意； 2l 2l 2x =当直线斜率存在时，设的方程为，即， 2l 2l 3(2)y k x +=-230kx y k ---=则圆心到直线，解得， 2l 2=512k =-此时直线的方程为，即， 2l 53(2)12y x +=--512260x y ++=综上，直线的方程为或； 2l 512260x y++=2x =选②，可得在圆上，即为切点，=所以直线的方程为，即. 2l 1)y x =-40x +-=19. 已知是各项均为正数的等比数列，.{}n a *31260,16,a a a n N -==∈（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{b n }的通项b n 满足，求{b n }的前n 项和S n 的最小值及取得最小值时92n b n a +=n 的值.【答案】（I ）；（II ）当时，取得最小值为 4nn a =4n =n S 16-解：（I ）设等比数列的公比为，且，{}n a q 0q >则，解得，23111216016a a a q a a a q ⎧-=-=⎨==⎩144a q =⎧⎨=⎩4n n a ∴=（II ），，92n b n a +=()22log 9log 4929n n n b a n ∴=-=-=-，()()2272984162n n n S n n n -+-∴==-=--则当时，取得最小值为. 4n =n S 16-20. 在如图所示的多面体中，且，，且//AD BC 2AD BC =AD CD ⊥//EG AD ，且，平面ABCD ，，M ，N 分EG AD =//CD FG 2CD FG =DG ⊥2DA DC DG ===别为棱的中点.,FC EG（I ）求点F 到直线EC 的距离；（II ）求平面BED 与平面EDC 夹角的余弦值；（III ）在棱GF 上是否存在一点Q ，使得平面MNQ //平而EDC ？若存在.指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.【答案】（I ；（II ；（III ）不存在，证明见解析； 解：（I ）由平面ABCD 知，，，又， DG ⊥DG DC ⊥DG DA ⊥AD CD ⊥则建立以D 点为原点的空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，(0,0,0)D (2,0,0)A (0,2,0)C (0,0,2)G (2,0,2)E (0,1,2)F (1,2,0)B则，3(0,,1)2M (1,0,2)N ，，(2,2,2)CE →=-(2,1,0)EF →=-所以点F 到直线EC==（II ）由（I ）知，，， (1,2,0)DB →=(2,0,2)DE →=(0,2,0)DC →=设平面BED 的法向量为，(,,)m x y z →=则，令，则 20220m DB x y m DE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =(2,1,2)m →=-设平面EDC 的法向量为，n (x,y,z)→=则，令，则 22020n DE x z n DC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =(1,0,1)n →=-故cos ,m nm n m n→→→→→→⋅<>===由图知，二面角B EDC --（III ）设GF 上存在一点Q ，设，(0,,2)Q λ[0,1]λ∈则，3(0,,1)2MQ λ→=-3(1,,1)2MN →=-设平面MNQ 的法向量为(,,)p x y z →=则，令，则 3023()02p MN x y z p MQ y z λ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩1y =3(,1,)2p λλ→=-若平面平面，则，//MNQ EDC //n p →→故不存在，即不存在点Q 使得平面平面 λ//MNQ EDC21. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且xOy DE ())P 直线与的斜率之积等于. DP EP 13-（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，过，分别F C F l C A B A B 作直线的垂线与轴相交于，两点.若的斜率.l x M N MN =l 【答案】（1）；（2）. (2213x y x +=≠1k =±解：（1）设，则， (),P xy (13EP DP k k x =-≠所以可得动点P 的轨迹C 的方程为 (2213x y x +=≠（2）可得，设直线l 的方程为，()F (y k x =+()()1122,,,A x yB x y 联立可得 (2213y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()222231630k x xk +++-=所以 2121226331k x x x x k -+==+因为过A ，B 分别作直线l 的垂线与x 轴相交于M ，N 两点所以 1AM BN k k k==-所以直线的方程为，令可得，同理可得AM ()111y y x x k -=--0y =11M x x ky =+22N x x ky =+所以()()21122121MN x ky x ky k x x =+--=+-=所以(21k +==解得，所以21k =1k =±。
北京市朝阳区2019-2020学年高二第一学期期末数学试题及答案
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分 （选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 不等式(2)0x x -<的解集是（A ）{}02x x << （B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x +取得最小值时，x 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）43. 已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为（A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为 （A ）22184x y += （B ）221164x y += （C ）221816x y += （D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +- （D ）,,a b a b a -+6.已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l 的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④ （D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4（B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C ）(1,（D ）)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0⋅=AB AC ，0⋅=AC AD ，0⋅=AD AB ，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________. 14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.俯视图三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n 的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD平面PBC ； （Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O 的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 参考答案 2020．1三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-． (11)分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB平面ABCD ，且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 不妨设2AB =，因为PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以2PA PD ==，2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P ，(1,0,0)D -．所以(1,2,1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥．因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ．O xyz PA BC D E所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n即0,20.x z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,3PD PD PD ⋅〈〉===-⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角， 所以二面角--A PB C 的余弦值是-…………………………………18分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y+=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△所以AOB △的面积为 (10)分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x kx x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =．又因为离心率c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244,.99m x x x x -+=-= 由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++， 两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，11 / 11 由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+． 所以2212122224,.1414m m k y y y y k k -+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----=即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合.又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P m x k k==-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。
北京市朝阳区高二上期末数学试题(理)(含答案)-2019年(精校版)
北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试卷一、选择题：共10题1．圆被直线截得的弦长为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的性质.由圆的方程可知，圆心坐标为(2,0),半径r=2,则圆心到直线x=1的距离为d=1，由垂径定理可知，弦长为2．抛物线上与其焦点距离等于的点的横坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查抛物线的定义.设该点横坐标为x，由抛物线的定义可知，x+=3，则x=3．已知,则是的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件.因为，所以,因此，且，故是的充分而不必要条件.4．已知两条不同的直线,三个不同的平面,下列说法正确的是A.若则B.若则C.若则D.若则【答案】D【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质，考查空间想象能力.因为，所以平面内存在一条直线c与a平行，因为所以b与c垂直，则b与的位置关系不确定，故A错误；平行于同一条直线的两个平面不一定平行，故B错误；因为所以或，故C错误；因此，D 正确.5．在圆上任取一点,过点作轴的垂线段为垂足,当点在圆上运动时,线段的中点的轨迹方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查点的轨迹方程、圆的方程.设点P(s,t),M(x,y),D(s,0),由题意可知，s=x，t=2y，且，消去s、t，化简可得点M的轨迹方程为6．如图,平行六面体中,与的交点为,设,则下列向量中与相等的向量是A. B.C. D.【答案】A【解析】本题主要考查空间向量的应用.由题意可得，7．若由方程和所组成的方程组至多有两组不同的实数解,则实数的取值范围是A.或B.或C. D.【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系. 方程表示两条直线，联立两个方程，消去x，化简可得2y2-2by+b2-2=0,由题意可知，判别式=4b2-8(b2-2),所以或8．设是坐标原点,若直线与圆交于不同的两点,且,则实数的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以为邻边作菱形，由分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为,所以的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线l的距离小于等于，由点到直线的距离公式可得,所以，则实数的最大值是29．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该三棱锥的底面面积为，高为4，所以，该三棱角的体积V=10．已知动圆位于抛物线的内部(),且过该抛物线的顶点,则动圆的周长的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查抛物线的简单几何性质、圆的方程与性质.设圆的方程为x2+(y-b)2=b2(b>0),与联立消去x可得y2+(4-2b)y=0,由题意可知，要使动圆的周长最大，则圆的半径也最大，且圆与抛物线相切，则判别式=0，故b=2，所以动圆的周长的最大值是二、填空题：共6题11．写出命题:“任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定:______________;判断是__________命题. (后一空中填“真”或“假”)【答案】存在两个等腰直角三角形,它们不相似; 假【解析】本题主要拿考查全称命题与特称命题的否定、命题真假的判断.由全称命题的否定的定义可知：命题: 存在两个等腰直角三角形,它们不相似;显然命题是假命题.12．已知,则的外接圆的方程是 .【答案】【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段OA与线段OB的垂直平分线的交点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径r=5,所以，所求圆的标准方程为13．中心在原点,焦点在轴上,虚轴长为并且离心率为的双曲线的渐近线方程为__________.【答案】【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.设双曲线的方程为,由题意可知，b=，又因为e=3，所以c=3a，易求得a=1，所以双曲线方程为，则渐近线方程为14．过椭圆C:的右焦点的直线与椭圆C相交于A,B 两点．若,则点与左焦点的距离=_________.【答案】【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质、平面向量的共线定理.由题意，因为,所以AB与x 轴垂直，将x=1代入椭圆方程求得|y |=,即|AF2|=,又因为,所以=15．下图为四棱锥的表面展开图,四边形为矩形,.已知顶点在底面上的射影为点,四棱锥的高为,则在四棱锥中,与平面所成角的正切值为_________.43(P)P【答案】【解析】本题主要考查直线与平面所成的角、线面垂直，考查了空间想象能力.由题意可知，在四棱锥中，PA与平面ABCD垂直，所以∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角，又因为，所以AC=，又PA=，所以与平面所成角的正切值为tan∠PCA=16．如图,正方体的棱长为1,N 为中点,M 为线段上的动点(M 不与B ,重合)有四个命题: ①平面BMN ; ②//平面; ③平面平面;④三棱锥的体积有最大值.其中真命题的序号是_________.A 1【答案】②③【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的体积空间向量的应用，考查了空间想象能力.如图所示，连接BD 、DC 1，易证AD 1//BC 1，显然CD 1与AD 1不垂直，即CD 1与BC 1不垂直，故平面BMN 不垂直，因此①错误;根据线面与面面平行的判定定理易证平面AB 1D 1与平面BDC 1平行，则易知//平面，故②正确;利用线面与面面垂直的判定定理易证BD 与平面，则易得平面平面，故③正确;因为V D-MNC =V M-CDN ，因为三角形CDN 的面积为定值，点M 为BC 1上的动点，且与B 、C 1不重合，所以点M 到平面CDN 的距离没有最大值，因此，V D-MNC =V M-CDN 没有最大值，故④错误.三、解答题：共3题17．如图,长方体中,为的中点,点分别为棱的中点1B(Ⅰ)求证:平面//平面;(Ⅱ)求证:平面⊥平面.【答案】(Ⅰ)在长方体中,点和点分别为所在棱的中点, 所以且,从而四边形为平行四边形.所以.又因为平面NMC,NC 平面NMC,所以平面NMC.又点M 是棱的中点,所以MN是的中位线,所以.由于平面NMC,MN平面NMC ,所以平面NMC.又因为平面平面,所以平面平面NMC.(Ⅱ)在长方体中,平面ABCD,且平面ABCD,所以.在矩形ABCD中,E为BC的中点,则,从而,即.因为平面,所以DE⊥平面.又DE平面,所以平面⊥平面,【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定定理与性质定理，考查了空间想象能力.(1)根据题意，先证明四边形为平行四边形，即可证明，易得平面NMC，同理可证明平面NMC，则结果易证;(2)先证明，，易得DE⊥平面，则结论即可证明.18．如图,四棱锥的底面为直角梯形,//,且,平面底面为的中点, 为等边三角形,是棱上的一点,设与不重合).(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若//平面,求的值;(Ⅲ)若二面角的平面角为,求的值.【答案】(Ⅰ)因为为等边三角形,为的中点,所以.因为平面⊥平面,且平面平面平面,所以平面.又平面,所以.由已知得,所以平面.且平面,所以.(Ⅱ)连接交于,连接.因为//平面平面,平面平面,所以.因为//,所以.又,所以.所以,则为的中点,.(Ⅲ)方法一:依题意,若二面角的大小为,则二面角的大小为. 连接,过点作交于,过作于,连接.因为平面,所以平面.又平面,所以.又平面平面,所以平面,从而.则为二面角的平面角,即.在等边中,.由于,所以.又,所以.在中,解得.方法二:由于,以为原点,射线分别为正半轴,正半轴,正半轴建立空间直角坐标系, 如图. 根据条件可知:平面即平面的一个法向量为.设,由条件可知:)即,解得:即.设平面的一个法向量为,则 ,,令,则.即.因为二面角的平面角为,所以,解得.因为,所以.【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定定理与性质定理、二面角、空间向量的应用，考查了空间想象能力.(1)根据题意证明、，即可证明平面，则结论易得;(2)连接交于,连接，由//平面可得，根据题意证明，则易求k的值;(3) 依题意,若二面角的大小为,则二面角的大小为，连接,过点作交于,过作于,连接，证明，则为二面角的平面角,即，根据已知条件求解即可;法二：由于,以为原点,射线分别为正半轴,正半轴,正半轴建立空间直角坐标系, 平面即平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量为，根据题意，化简求解即可.19．已知椭圆,过原点作直线交椭圆于两点,为椭圆上异于的动点,连接,设直线的斜率分别为),过作直线的平行线,分别交椭圆于和. (Ⅰ)若分别为椭圆的左、右顶点,是否存在点,使?说明理由.(Ⅱ)求的值;(Ⅲ)求的值.【答案】(Ⅰ)不存在点,使.说明如下:设.依题意,此时,则.若,则需使,即.又点在椭圆上所以,把代入(1)式中解得,,且.显然与为椭圆上异于的点矛盾,所以不存在.(Ⅱ)设,依题意直线过原点,则.由于为椭圆上异于的点,则直线的斜率,直线的斜率.即.椭圆的方程化为,由于点和点都为椭圆上的点,则,两式相减得,因为点和点不重合,所以,即.(Ⅲ)方法一:由于分别平行于直线,则直线的斜率,直线的斜率.设直线的方程为,代入到椭圆方程中,得,解得.设,由直线过原点,则.则=.由于,所以,即.直线的方程为,代入到椭圆方程中,得,解得.同理可得.则.由(Ⅱ)问,且,则.即化简得.即.方法二:设,由直线都过原点,则.由于分别平行于直线,则直线的斜率,直线的斜率,由(Ⅱ)问,可得.由于,则.由于点不可能在轴上,即,所以,过原点的直线的方程为,代入椭圆的方程中,得,化简得.由于点在椭圆上,所以,所以,不妨设,代入到直线中,得.即,则.===.又,所以.【解析】本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式、两条直线的位置关系、两点间的距离公式、平面向量的数量积，考查了计算能力.(1) 设.依题意,,(或k PA·k PB=),求出之间的关系，联立椭圆方程，求出的值，即可判断结论;(2) 设,依题意直线过原点,则.由于为椭圆上异于的点,即可求出的表达式，由题意，，两式化简求解即可;(3)法一：由于分别平行于直线,则直线的斜率,直线的斜率，设直线的方程为,代入到椭圆方程中,解得，设,由直线过原点,则，利用两点间的距离公式可得的表达式，同理得，化简即可求得的值;法二：设,由直线都过原点,则，由于分别平行于直线,则直线的斜率,直线的斜率,由(Ⅱ)问,可得，再直线与椭圆联立求出交点坐标，化简即可求出的值.。
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高2020届高三年级期中质量检测数学试题(word版,含答案)
高三数学试卷 第1页（共13页）北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2019．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =-（C ）2log y x =（D ）22x xy -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②（B ）①③ （C ）②③（D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β （B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ （D ）若m β⊥，则αβ⊥高三数学试卷 第2页（共13页）（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为 （A ）32 （B（C） （D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =， 点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是 （A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）2 （D）[2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④ 若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④高三数学试卷 第3页（共13页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区2019-2020学年高二数学上学期期末考试质量检测试题(含解析)
a3
a1q
a1q2
2q
2q2
4
，解得：
q 2
a4 a1q3 16 故答案为： 16
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的 计算，属于基础题.
14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________；面积最大的侧面的面积
为_________.
【答案】 (1). 16 (2). 10
A. ①②③
B. ①②
C. ②③④
D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】 m ， m// 或 m ，又 l m l ，①正确；
m ， // m ，又 l // m l ，②正确；
l ， // l ，又 m m l ，③正确；
北京市朝阳区 2019-2020 学年度第一学期期末质量检测 高二数学试卷
第一部分（选择题共 50 分）
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.
1.不等式 x(x 2) 0 的解集是( )
x 0 x 2
A.
x x 2
数最值.
3.已知双曲线
x2 a2
y2 16
1(a
0) 的一个焦点为 (5 ,
0)
，则 a
的值为(
)
A. 9
B. 6
C. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
D. 3
根据双曲线中 a2 b2 c2 可构造方程求得结果.
【详解】双曲线焦点为 5, 0
故选： D
a2 16 25 ，解得： a 3
北京市朝阳区高二上期末数学试题(理)(含答案)
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12．已知������(8,0),������(0,6),������(0,0) ,则������������������������的外接圆的方程是
.
【答案】(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25 【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段 OA 与线段 OB 的垂直平分线的交 2 2 点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径 r=5,所以，所求圆的标准方程为(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25
A. 2 【答案】B 【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以 B.2 C. 6 D.2 2
������������1、������������2为邻边作菱形，由������1������2与������������1 + ������������2分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为 |������1������2| ≥ |������������1 + ������������2|,所以������������1、������������2的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线 l 的距离小于等于 2，由 |������| 点到直线的距离公式可得 ≤ 2,所以 ‒ 2 ≤ ������ ≤ 2，则实数������的最大值是 2 2
向量中与������1������相等的向量是
A. ‒ ������ + ������ + ������
1 2
1 2
B. ������ + ������ + ����� ������ ‒ ������ + ������ 2 2
北京市朝阳区2019-2020年高二(上)期末试题
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分 （选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 不等式(2)0x x -<的解集是（A ）{}02x x << （B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x +取得最小值时，x 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）43. 已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为（A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为（A ）22184x y +=（B ）221164x y +=（C ）221816x y +=（D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +- （D ）,,a b a b a -+6.已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④ （D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4（B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C ）(1,（D ）)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0⋅=AB AC ，0⋅=AC AD ，0⋅=AD AB ，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________. 14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.俯视图三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n 的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD平面PBC ； （Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.。
2019北京朝阳高二(上)期末数学
2019北京朝阳高二（上）期末数学（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是A. a+c>b+dB. a-c>b-dC. ac>bdD. >2. 抛物线y²=4x的准线方程为A. x=1B. x=-1C. y=1D. y=-13. 在等比数列{a n}中，a1=1,a4=8,则{a n}的前5项和是A. 2B. 8C. 15D. 314.在正方形ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB1与BC1所成的角的大小是A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°5. “m>0,n>0,且m≠n”是“方程=1表示的曲线为椭圆”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，在四棱锥A-BCDE中，AD⊥平面BCDE，底面BCDE为直角梯形，DE∥BC,∠CDE=90°，BC=3,CD=DE=2,AD=4. 则点E到平面ABC的距离为A. B. C. D. 27. 已知数列{a n}满足a n=.若{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是A. (1,2]B. （2，3）C. [2,3)D. （1，3）8. 已知F1,F2是双曲线C: - =1（a>0,b>0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率为A. B. C. 2 D. +19.我国古代数学名著《九章算术》中，有一个问题的算法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，···，，n∈N*;①第二部：将数列①的各项乘以n，得到的数列记为a1, a2, a3, a4,···，a n,则a1a2+a2a3+a3a4+···+a n-1a n=A. n²B. （n-1）²C. n（n-1）D. n（n+1）10. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为线段AC的中点，点E在线段A1C1上，则直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是A. [,]B. [,]C. [,]D. [,]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上。
2019—2020北京朝阳高二(上)期末数学试卷(含答案)
2020北京朝阳高二（上）期末数 学 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.不等式(2)0x x -<的解集是 （A ）{}02x x <<（B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x+取得最小值时，x 的值为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）43.已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为 （A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为（A ）22184x y +=（B ）221164x y +=（C ）221816x y +=（D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +-（D ）,,a b a b a -+6. 已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l 的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④（D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是 （A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C）(1,（D）,)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18 第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________.14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.俯视图正视图15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.（本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD 平面PBC ；（Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O 的一条直线与直线l交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.2020北京朝阳高二（上）期末数学参考答案一、选择题：（本题满分50分）二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-．…………………………………11分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB平面ABCD ，且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 不妨设2AB =，因为PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以2PA PD ==，2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P ，(1,0,0)D -．所以(1,2,1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．Oxyz PABC D E由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥． 因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ． 所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则{n ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即0,20.x z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,PD PD PD ⋅〈〉===⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角， 所以二面角--A PB C 的余弦值是分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y +=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△ 所以AOB △的面积为分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x kx x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =．又因为离心率c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244,.99m x x x x -+=-= 由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN取到最大值3. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++， 两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+．所以2212122224,.1414m m k y y y y k k-+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----= 即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合. 又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P mx k k==-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。
2019-2020学年人教A版北京市朝阳区高三上学期期末数学试卷(解析版)
2019-2020学年第一学期高三（上）期末数学试卷一、选择题1．在复平面内，复数i（2+i）对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）2．已知a＝3﹣2，b＝log0.52，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b3．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x4．在△ABC中，若b＝3，c＝，C＝，则角B的大小为（）A．B．C．D．或5．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A．20 B．40 C．60 D．1206．已知函数f（x）＝e|x|﹣e﹣|x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．48．设函数f（x）＝x3﹣3x+a（a∈R），则“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是（）A．B．C．4 D．810．笛卡尔、牛顿都研究过方程（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A．②③B．①④C．③D．③④二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（2x+）4的展开式中的常数项为．12．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝；数列{a n}的前n项和的最小值为．13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差DX＝2.1，P（X＝3）＜P（X＝7），则p＝．15．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+π）＝2f（x），当x∈[0，π）时，f（x）＝sin x．若存在x0∈（﹣∞，m]，使得f（x0）≥4，则m的取值范围为．16．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：q＝λ1，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10﹣3焦耳/（厘米•度），不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10﹣4焦耳/（厘米•度），△T为室内外温度差．q值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是型．三、解答题共6小题，共86分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知函数f（x）＝x+m（m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）对于任意都有f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．18．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成频率分布直方图如图：（Ⅰ）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数；（Ⅱ）从所抽取的20人中得分落在组[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝3，PF＝2FA，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求异面直线AB与DF所成角的余弦值；（Ⅲ）判断直线EF与平面PBC的位置关系，请说明理由．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点，且椭圆C的一个顶点D的坐标为（﹣2，0）．过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B 不同于点D），直线DA与直线m：x＝4交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与直线m 交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点F的坐标；（Ⅱ）求证：D，B，N三点共线．21．已知函数f（x）＝（sin x+a）lnx，a∈R．（Ⅰ）若a＝0，（ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（ⅱ）求函数f（x）在区间（1，π）内的极大值的个数．（Ⅱ）若f（x）在内单调递减，求实数a的取值范围．22．设m为正整数，各项均为正整数的数列{a n}定义如下：a1＝1，a n+1＝（Ⅰ）若m＝5，写出a8，a9，a10；（Ⅱ）求证：数列{a n}单调递增的充要条件是m为偶数；（Ⅲ）若m为奇数，是否存在n＞1满足a n＝1？请说明理由．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数i（2+i）对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C．2．已知a＝3﹣2，b＝log0.52，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b解：∵0＜3﹣2＜1，log0.52＜log0.51＝0，log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：D．3．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得e＝＝2，即有c＝2a，由c2＝a2+b2，可得b2＝3a2，即b＝a，则渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x．故选：B．4．在△ABC中，若b＝3，c＝，C＝，则角B的大小为（）A．B．C．D．或解：∵b＝3，c＝，C＝，由正弦定理可得，，∴sin B＝＝＝，∵b＞c，B＞C，∴B＝或，故选：D．5．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A．20 B．40 C．60 D．120解：由题可知分两种情况：①1名教师，3名学生，×＝30；②2名教师，2名学生，×＝30；故共有：30+30＝60．故选：C．6．已知函数f（x）＝e|x|﹣e﹣|x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减解：∵f（x）＝e|x|﹣e﹣|x|，则f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）e x﹣e﹣x单调递增，故选：C．7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．4解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体的底面面积为的三角形，高为2的三棱锥体．故V＝．故选：A．8．设函数f（x）＝x3﹣3x+a（a∈R），则“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，函数f（x）＝x3﹣3x+a，其导数f′（x）＝3x2﹣3，分析可得：在区间（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，在区间（﹣1，1）上，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，在区间（1，+∞）上，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，则当x＝﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）＝a+2，当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝a﹣2；据此可得：若a＞2，f（x）的极小值f（1）＝a﹣2＞0，f（x）有且只有一个零点，故“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”充分条件，若f（x）有且只有一个零点，必有a+2＜0或a﹣2＞0，即有a＜﹣2或a＞2，故“a＞2”不是“f（x）有且只有一个零点”必要条件，综合可得：故“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”充分不必要条件，故选：A．9．已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是（）A．B．C．4 D．8解：以点B为圆心，直线BC，BA分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：B（0，0），A（0，2），D（2，2），圆B的半径为，∴设，∴，，∴＝，∴时，取最大值8．故选：D．10．笛卡尔、牛顿都研究过方程（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A．②③B．①④C．③D．③④解：设P（x，y）为曲线（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy上，则P（x，y）关于y轴对称点Q（﹣x，y）显然不满足方程，故①错误；则P（x，y）关于x轴对称点Q（x，﹣y）显然不满足方程，故②错误；当x＜0时，（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy＜0，此时y＞0，故曲线不经过第三象限，③正确，结合已知曲线方程可知，（1，0），（2，0），（3，0），（﹣1，24）在曲线上，④错误故选：C．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（2x+）4的展开式中的常数项为24 ．解：由通项公式得：T r+1＝C（2x）4﹣r（）r＝24﹣r C x4﹣2r，令r＝2，得展开式的常数项为：24﹣2C＝24，故答案为：2412．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝﹣6 ；数列{a n}的前n项和的最小值为﹣20 ．解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1+n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n﹣）2﹣，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差DX＝2.1，P（X＝3）＜P（X＝7），则p＝0.7 ．解：某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，则X～B（10，p），∵X的方差DX＝2.1，P（X＝3）＜P（X＝7），∴，解得p＝0.7．故答案为：0.7．15．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+π）＝2f（x），当x∈[0，π）时，f（x）＝sin x．若存在x0∈（﹣∞，m]，使得f（x0）≥4，则m的取值范围为．解：函数f（x）＝，作出函数f（x）的图象如图：当3π≤x＜4π时，由f（x0）≥4，得8sin（x0﹣3π）≥4，得sin（x0﹣3π）≥，得≤x0﹣3π≤，得≤x0≤，即若存在x0∈（﹣∞，m]，使得f（x0）≥4，则m的取值范围为m≥，故答案为：[，+∞）16．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：q＝λ1，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10﹣3焦耳/（厘米•度），不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10﹣4焦耳/（厘米•度），△T为室内外温度差．q值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是B型．解：A型双层玻璃窗户：；B型双层玻璃窗户：；C型双层玻璃窗户：；D型双层窗户：；根据q＝λ1，且q值越小，保温效果越好，故答案为：B．三、解答题共6小题，共86分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知函数f（x）＝x+m（m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）对于任意都有f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．解：（Ⅰ）因为＝＝．所以f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又函数y＝sin x的单调递增区间为（k∈Z）．由，k∈Z，得，k∈Z．所以f（x）的单调递增区间为．（Ⅲ）因为，所以．所以．所以．当，即时，f（x）的最大值为m+3，又因为f（x）＜0对于任意恒成立，所以m+3＜0，即m＜﹣3．所以m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成频率分布直方图如图：（Ⅰ）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数；（Ⅱ）从所抽取的20人中得分落在组[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．解：（Ⅰ）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有0.0050×20×20＝2（人），得分落在组（20，40]的人数有0.0075×20×20＝3（人）．∴所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有2人，得分落在组（20，40]的人数有3人．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2．，，．∴X的分布列为：∴X的期望．（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝3，PF＝2FA，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求异面直线AB与DF所成角的余弦值；（Ⅲ）判断直线EF与平面PBC的位置关系，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：连结AC．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．（Ⅱ）解：设AC，BD交于点O．因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BD．如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），，，P（0，﹣1，3），F（0，﹣1，1）．则，，设异面直线AB与DF所成角为θ，则，，所以AB与DF所成角的余弦值为．（Ⅲ）解：直线EF与平面PBC相交．证明如下：由（Ⅱ）可知，，，，设平面PBC的一个法向量为＝（x，y，z），则，即令，得＝（）．则＝﹣1≠0，所以直线EF与平面PBC相交．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点，且椭圆C的一个顶点D的坐标为（﹣2，0）．过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B 不同于点D），直线DA与直线m：x＝4交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与直线m 交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点F的坐标；（Ⅱ）求证：D，B，N三点共线．解：（Ⅰ）因为点在椭圆C上，且椭圆C的一个顶点D的坐标为（﹣2，0），所以解得所以椭圆C的方程为．所以椭圆C的右焦点F的坐标为（1，0）．（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝1．显然，，或，．当，时，直线DA的方程为，点M的坐标为（4，3）．所以k MF＝1．直线FN的方程为y＝﹣（x﹣1），点N的坐标为（4，﹣3）．则，．所以，所以D，B，N三点共线．同理，当，时，D，B，N三点共线．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1）．由得（3+4k2）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）＝0．且△＝（﹣8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．直线DA的方程为，点M的坐标为．所以．直线NF的方程为，点N的坐标为．则，．所以＝＝＝＝＝＝＝0．所以与共线，所以D，B，N三点共线．综上所述，D，B，N三点共线．21．已知函数f（x）＝（sin x+a）lnx，a∈R．（Ⅰ）若a＝0，（ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（ⅱ）求函数f（x）在区间（1，π）内的极大值的个数．（Ⅱ）若f（x）在内单调递减，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）（ⅰ）因为f（x）＝sin xlnx，所以，．又因为，所以曲线y＝f（x）在点处的切线方程为，化简得．………（ⅱ）当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，此时f（x）无极大值．当时，设g（x）＝f'（x），则，所以f'（x）在内单调递减．又因为，f'（π）＝﹣lnπ＜0，所以在内存在唯一的，使得f'（x0）＝0．所以f（x）在（1，x0）内单调递增，在（x0，π）内单调递减，此时f（x）有唯一极大值．综上所述，f（x）在（1，π）内的极大值的个数为1………（Ⅱ）由题可知，其中．当a≤﹣1时，f'（x）＜0，故f（x）在内单调递减；下面设a＞﹣1．对于，lnx＜lnπ＜lne2＝2，且cos x＜0，所以cos xlnx＞2cos x．所以当时，．设h（x）＝sin x+2x cos x+a，，则h'（x）＝cos x+2cos x﹣2x sin x＝3cos x﹣2x sin x＜0．所以h（x）在上单调递减．，h（π）＝﹣2π+a．当﹣2π+a≥0时，即a≥2π时，h（π）≥0，对，h（x）＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在内单调递增，不符合题意．当﹣2π+a＜0时，即﹣1＜a＜2π时，，h（π）＜0，所以，使h（x1）＝0，因为h（x）在内单调递减，所以对，h（x）＞0，所以f'（x）＞0．所以f（x）在内单调递增，不符合题意．所以当a＞﹣1时，f（x）在内不单调递减．综上可得a≤﹣1，故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．22．设m为正整数，各项均为正整数的数列{a n}定义如下：a1＝1，a n+1＝（Ⅰ）若m＝5，写出a8，a9，a10；（Ⅱ）求证：数列{a n}单调递增的充要条件是m为偶数；（Ⅲ）若m为奇数，是否存在n＞1满足a n＝1？请说明理由．解：（Ⅰ）a8＝6，a9＝3，a10＝8．（Ⅱ）先证“充分性”．当m为偶数时，若a n为奇数，则a n+1为奇数．因为a1＝1为奇数，所以归纳可得，对∀n∈N*，a n均为奇数，则a n+1＝a n+m，所以a n+1﹣a n＝m＞0，所以数列{a n}单调递增．再证“必要性”．假设存在k∈N*使得a k为偶数，则，与数列{a n}单调递增矛盾，因此数列{a n}中的所有项都是奇数．此时a n+1＝a n+m，即m＝a n+1﹣a n，所以m为偶数．（Ⅲ）存在n＞1满足a n＝1，理由如下：因为a1＝1，m为奇数，所以a2＝1+m≤2m且a2为偶数，．假设a k为奇数时，a k≤m；a k为偶数时，a k≤2m．当a k为奇数时，a k+1＝a k+m≤2m，且a k+1为偶数；当a k为偶数时，．所以若a k+1为奇数，则a k+1≤m；若a k+1为偶数，则a k+1≤2m．因此对∀n∈N*都有a n≤2m．所以正整数数列{a n}中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．设集合A＝{（r，s）|a r＝a s，r＜s}，设集合B＝{r∈N*|（r，s）∈A}⊆N*．因为A≠∅，所以B≠∅．令r1是B中的最小元素，下面证r1＝1．设r1＞1且．当时，，，所以；当时，，，所以．所以若r1＞1，则r1﹣1∈B且r1﹣1＜r1，与r1是B中的最小元素矛盾．所以r1＝1，且存在满足，即存在n＞1满足a n＝1．。
2020.1北京市朝阳区高二数学(上)期末试卷 答案
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 参考答案 2020．1三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-．…………………………………11分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB Ì平面ABCD ，且AB AD ⊥， 所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以POAD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 不妨设AB =PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以PA PD==2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A，B ，(C -，(0,0,1)P ，(D -所以1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥．因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ．所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n即0,20.x z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,3PD PD PD ⋅〈〉===-⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角， 所以二面角--A PB C 的余弦值是3-．…………………………………18分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y+=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△所以AOB △的面积为……………………………………………………10分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =．又因为离心率2c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244.9m x x x x -+==由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN取到最大值3. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++， 两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+．所以2212122224,.1414m m k y y y y k k -+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----= 即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合. 又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P mx k k==-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。
北京市朝阳区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析
北京市朝阳区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．圆（x ﹣2）2+y 2=4被直线x=1截得的弦长为（ ）A ．1B ．C ．2D ．2．抛物线y 2=2x 上与其焦点距离等于3的点的横坐标是（ ）A ．1B ．2C ．D ．3．已知p ：“x ＞2”，q ：“x 2＞4”，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件4．已知两条不同的直线a ，b ，三个不同的平面α，β，γ，下列说法正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，a ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βD ．若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β5．在圆x 2+y 2=16上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是（ ）A ．B ．x 2+y 2=4C ．D ．6．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若=， =， =．则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．﹣++B ．C ．D ．﹣﹣+7．若由方程x 2﹣y 2=0和x 2+（y ﹣b ）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b 的取值范围是（ ）A ．或B ．b ≥2或b ≤﹣2C ．﹣2≤b ≤2D ．8．设O 是坐标原点，若直线l ：y=x+b （b ＞0）与圆x 2+y 2=4交于不同的两点P 1、P 2，且，则实数b 的最大值是（ ）A ．B ．2C ．D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．10．已知动圆C位于抛物线x2=4y的内部（x2≤4y），且过该抛物线的顶点，则动圆C的周长的最大值是（）A．πB．2πC．4πD．16π二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．写出命题p：”任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定¬p：；判断¬p是命题．（后一空中填“真”或“假”）12．已知A（8，0），B（0，6），O（0，0），则△AOB的外接圆的方程是．13．中心在原点，焦点在y轴上，虚轴长为并且离心率为3的双曲线的渐近线方程为．14．过椭圆C： +=1的右焦点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点．若=，则点A与左焦点F 1的距离|AF1|= ．15．如图为四棱锥P﹣ABCD的表面展开图，四边形ABCD为矩形，，AD=1．已知顶点P在底面ABCD上的射影为点A，四棱锥的高为，则在四棱锥P﹣ABCD中，PC与平面ABCD所成角的正切值为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点，（M不与B，C1重合）有四个命题：①CD1⊥平面BMN；②MN∥平面AB1D1；③平面AA 1CC 1⊥平面BMN ；④三棱锥D ﹣MNC 的体积有最大值．其中真命题的序号是 ．三、解答题（本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=1，AD=2，E 为BC 的中点，点M ，N 分别为棱DD 1，A 1D 1的中点． （Ⅰ）求证：平面CMN ∥平面A 1DE ；（Ⅱ）求证：平面A 1DE ⊥平面A 1AE ．18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AD ‖BC ，且，BC ⊥DC ，∠BAD=60°，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，△PAD 为等边三角形，M 是棱PC 上的一点，设（M 与C 不重合）．（Ⅰ）求证：CD ⊥DP ；（Ⅱ）若PA ∥平面BME ，求k 的值；（Ⅲ）若二面角M ﹣BE ﹣A 的平面角为150°，求k 的值．19．已知椭圆W ：，过原点O 作直线l 1交椭圆W 于A ，B 两点，P 为椭圆上异于A ，B 的动点，连接PA ，PB ，设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2（k 1，k 2≠0），过O 作直线PA ，PB 的平行线l 2，l 3，分别交椭圆W 于C ，D 和E ，F ．（Ⅰ）若A ，B 分别为椭圆W 的左、右顶点，是否存在点P ，使∠APB=90°？说明理由．（Ⅱ）求k 1•k 2的值；（Ⅲ）求|CD|2+|EF|2的值．北京市朝阳区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．圆（x ﹣2）2+y 2=4被直线x=1截得的弦长为（ ）A ．1B ．C ．2D ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】算出已知圆的圆心为C （2，0），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l 的距离d=1，由垂径定理加以计算，可得直线l 被圆截得的弦长．【解答】解：圆（x ﹣2）2+y 2=4的圆心为C （3，0），半径r=2，∵点C 到直线直线x=1的距离d=1，∴根据垂径定理，得圆（x ﹣2）2+y 2=4被直线x=1截得的弦长为2=2故选：D ．2．抛物线y 2=2x 上与其焦点距离等于3的点的横坐标是（ ）A ．1B ．2C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线y 2=2x 的焦点为（，0），准线方程为x=﹣．设所求点P 的坐标为（x 0，y 0），利用|PF|=3，结合抛物线的定义即可得出．【解答】解：由抛物线方程y 2=2x 的焦点为（，0），准线方程为x=﹣．设所求点P 的坐标为（x 0，y 0），由抛物线的定义可得，|PF|=x 0+=3．解得x 0=．故选：C ．3．已知p ：“x ＞2”，q ：“x 2＞4”，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x 2＞4，解得x ＞2或x ＜﹣2，即可判断出结论．【解答】解：由x 2＞4，解得x ＞2或x ＜﹣2，∴p 是q 的充分不必要条件．故选：A ．4．已知两条不同的直线a ，b ，三个不同的平面α，β，γ，下列说法正确的是（ ）A．若a∥α，b⊥a，则b∥αB．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若α⊥β，a⊥α，则a∥βD．若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若a∥α，b⊥a，则b∥α，b与α相交或b⊂α，不正确；对于B，若a∥α，a∥β，则α∥β或α，β相交，不正确；对于C，若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，不正确；对于D，若α⊥γ，β∥γ，在β内存在直线与α垂直，根据平面与平面垂直的判定，可得α⊥β，正确．故选：D．5．在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是（）A．B．x2+y2=4 C．D．【考点】轨迹方程．【分析】设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入圆x2+y2=16整理得线段PD 的中点M的轨迹．【解答】解：设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）∵M为线段PD的中点，∴y1+0=2y，y1=2y．又∵P（x，y1）在圆x2+y2=16上，∴x2+y12=16，∴x2+4y2=16，即=1．∴点M的轨迹方程为=1．故选：C．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=， =， =．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++ B．C． D．﹣﹣+【考点】相等向量与相反向量．【分析】由题意可得=+=+=+ [﹣]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选A ．7．若由方程x 2﹣y 2=0和x 2+（y ﹣b ）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b 的取值范围是（ ）A ．或B ．b ≥2或b ≤﹣2C ．﹣2≤b ≤2D ．【考点】曲线与方程．【分析】由方程x 2﹣y 2=0和x 2+（y ﹣b ）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，直线与x 2+（y ﹣b ）2=2相切或相离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，x 2﹣y 2=0表示两条直线x ±y=0．∵由方程x 2﹣y 2=0和x 2+（y ﹣b ）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，∴直线与x 2+（y ﹣b ）2=2相切或相离，∴≥，∴b ≥2或b ≤﹣2，故选：B ．8．设O 是坐标原点，若直线l ：y=x+b （b ＞0）与圆x 2+y 2=4交于不同的两点P 1、P 2，且，则实数b 的最大值是（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设P 1P 2中点为D ，则OD ⊥P 1P 2，确定||2≤2，即可求出实数b 的最大值．【解答】解：设P 1P 2中点为D ，则OD ⊥P 1P 2，∵， ∴||≥2||，∵||2+||2=4 ∴||2≤2∵直线l ：y=x+b （b ＞0）与圆x 2+y 2=4交于不同的两点P 1、P 2，∴||2＜4∴||2≤2∴（）2≤2∵b ＞0∴b ≤2．∴实数b 的最大值是2．故选：B．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图作出三棱锥的直观图，根据三视图中的数据计算棱锥的体积．【解答】解：由三视图可知三棱锥是从边长为4的正方体中截出来的M﹣ADD′，其中M为BC的中点．∴三棱锥的体积V===．故选：C．10．已知动圆C位于抛物线x2=4y的内部（x2≤4y），且过该抛物线的顶点，则动圆C的周长的最大值是（）A．πB．2πC．4πD．16π【考点】抛物线的简单性质．【分析】设圆的方程为x2+（y﹣b）2=b2，与x2=4y联立可得y2+（4﹣2b）y=0，利用4﹣2b=0，求出b，即可求出动圆C的周长的最大值．【解答】解：设圆的方程为x2+（y﹣b）2=b2，与x2=4y联立可得y2+（4﹣2b）y=0，∴4﹣2b=0，∴b=2，∴动圆C的周长的最大值是2π×2=4π．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．写出命题p：”任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定¬p：存在两个等腰直角三角形，它们不相似；判断¬p是假命题．（后一空中填“真”或“假”）【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：存在两个等腰直角三角形，它们不相似，∵任意两个等腰直角三角形都是相似的为真命题．，∴原命题为真命题，则命题的否定为假命题，故答案为：存在两个等腰直角三角形，它们不相似假12．已知A（8，0），B（0，6），O（0，0），则△AOB的外接圆的方程是（x﹣4）2+（y﹣3）2=25 ．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，△AOB是以AB为斜边的直角三角形，因此外接圆是以AB为直径的圆．由此算出AB中点C的坐标和AB长度，结合圆的标准方程形式，即可求出△AOB的外接圆的方程．【解答】解：∵△AOB的顶点坐标为A（8，0），B（0，6），O（0，0），∴OA⊥OB，可得△AOB的外接圆是以AB为直径的圆∵AB中点为C（4，3），|AB|=10∴圆的圆心为C（4，3），半径为r=5可得△AOB的外接圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25故答案为：（x﹣4）2+（y﹣3）2=2513．中心在原点，焦点在y轴上，虚轴长为并且离心率为3的双曲线的渐近线方程为y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得b，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a=1，可得双曲线的方程，即可得到渐近线方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得2b=4，即b=2，又e==3，c2=a2+b2，解得a=1，可得双曲线的方程为y2﹣=1，即有渐近线的方程为y=±x．故答案为：y=±x．14．过椭圆C ： +=1的右焦点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若=，则点A 与左焦点F 1的距离|AF 1|= ． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，右焦点坐标，由=，可得F 2为AB 的中点，即有AB ⊥x 轴，令x=1，可得|AF 2|，再由椭圆的定义，即可得到所求值．【解答】解：椭圆C ：+=1的a=2，b=，c=1， 右焦点F 2为（1，0），由=，可得F 2为AB 的中点，即有AB ⊥x 轴，令x=1，可得y=±•=±， 由椭圆的定义可得，|AF 1|+|AF 2|=2a=4，可得|AF 1|=4﹣|AF 2|=4﹣=．故答案为：．15．如图为四棱锥P ﹣ABCD 的表面展开图，四边形ABCD 为矩形，，AD=1．已知顶点P 在底面ABCD上的射影为点A ，四棱锥的高为，则在四棱锥P ﹣ABCD 中，PC 与平面ABCD 所成角的正切值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】作出四棱锥的直观图，根据PA ⊥平面ABCD 即可得出∠PCA 为所求角，利用勾股定理计算AC ，即可得出线面角的正切值．【解答】解：作出四棱锥的直观图如图所示：∵顶点P 在底面ABCD 上的射影为点A ，∴PA ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 为直线PC 与平面ABCD 所成的角，PA=．∵四边形ABCD 为矩形，，AD=1，∴AC=，∴tan ∠PCA=．故答案为：．16．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，N 为CD 1中点，M 为线段BC 1上的动点，（M 不与B ，C 1重合）有四个命题：①CD 1⊥平面BMN ；②MN ∥平面AB 1D 1；③平面AA 1CC 1⊥平面BMN ；④三棱锥D ﹣MNC 的体积有最大值．其中真命题的序号是 ②③ ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】直接利用空间中线线关系，线面关系及面面关系逐一判断4个命题得答案．【解答】解：①∵CD 1与BM 成60°角，∴CD 1与平面BMN 不垂直，①错误；②∵平面BMN ∥平面AB 1D 1，∴MN ∥平面AB 1D 1，②正确；③∵平面BMN 与平面BC 1D 重合，而平面AA 1CC 1⊥平面BC 1D ，③正确；④∵M 与B 重合时，三棱锥D ﹣MNC 的体积最大，而M 不与B ，C 1重合，④错误．∴z 正确命题的序号为②③．故答案为：②③．三、解答题（本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=1，AD=2，E 为BC 的中点，点M ，N 分别为棱DD 1，A 1D 1的中点． （Ⅰ）求证：平面CMN ∥平面A 1DE ；（Ⅱ）求证：平面A 1DE ⊥平面A 1AE ．【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（I ）由中位线定理可得MN ∥A 1D ，由长方体的结构特征可得四边形A 1ECN 是平行四边形，故CN ∥A 1E ，从而平面CMN ∥平面A 1DE ；（II ）由AA 1⊥平面ABCD 可得AA 1⊥DE ，由线段的长度可由勾股定理的逆定理得出AE ⊥DE ，故DE ⊥平面A 1AE ，从而平面A 1DE ⊥平面A 1AE ．【解答】解：（Ⅰ）∵M ，N 分别为棱DD 1，A 1D 1的中点，∴MN ∥A 1D ，∵A 1D ⊂平面A 1DE ，MN ⊄平面A 1DE ，∴MN ∥平面A 1CD ．∵E 是BC 中点，N 是A 1D 1的中点，∴A 1N=CE ，A 1N ∥CE ，∴四边形A 1ECN 是平行四边形，∴CN ∥A 1E ，∵A 1E ⊂平面A 1DE ，CN ⊄平面A 1DE ，∴CN ∥平面A 1CD ，又∵MN ∩CN=N ，MN ⊂平面MCN ，CN ⊂平面MCN ，∴平面CMN ∥平面A 1DE ．（Ⅱ）∵AA 1⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥DE ．∵AB=1，AD=2，E 为BC 的中点，∴，∴EA 2+ED 2=AD 2，即AE ⊥DE ．∵AA 1⊂平面AA 1E ，AE ⊂平面AA 1E ，AE ∩AA 1=A ，∴DE ⊥平面A 1AE ．又DE ⊂平面A 1DE ，所以平面A 1DE ⊥平面A 1AE ．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，且，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设（M与C不重合）．（Ⅰ）求证：CD⊥DP；（Ⅱ）若PA∥平面BME，求k的值；（Ⅲ）若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，求k的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PE⊥AD，从而PE⊥平面ABCD，进而PE⊥CD，再由CD⊥DA，得CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥DP．…..（Ⅱ）连接AC交BE于N，连接MN，推导出PA∥MN，从而∠CBN=∠AEN=90°，进而△CNB≌△ANE．由此能求出k=1．（Ⅲ）法一：连接CE，过点M作MF∥PE交CE于F，过A（0，1，0）作FG⊥BE于G，连接MG，则∠MGF为二面角M﹣BE﹣C的平面角，由此能示出k．法二：以E为原点，射线EB，EA，EP分别为x正半轴，y正半轴，z正半轴建立空间直角坐标系，利用和量法能求出k．【解答】（本题满分14分）证明：（Ⅰ）因为△PAD为等边三角形，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD．又CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD．由已知得CD⊥DA，PE∩AD=E，所以CD⊥平面PAD．双DP⊂平面PAD，所以CD⊥DP．…..解：（Ⅱ）连接AC交BE于N，连接MN．因为PA∥平面BME，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BME=MN，所以PA∥MN．因为 AD∥BC，BC⊥DC，所以∠CBN=∠AEN=90°．又CB=AE，∠CNB=∠ANE，所以△CNB≌△ANE．所以CN=NA，则M为PC的中点，k=1．…..（Ⅲ）方法一：依题意，若二面角M﹣BE﹣A的大小为150°，则二面角M﹣BE﹣C的大小为30°．连接CE，过点M作MF∥PE交CE于F，过A（0，1，0）作FG⊥BE于G，连接MG．因为PE⊥平面ABCD，所以MF⊥平面ABCD．又BE⊂平面ABCD，所以MF⊥BE．又MF∩FG=F，MF⊂平面MFG，FG⊂平面MFG，所以BE⊥平面MFG，从而BE⊥MG．则∠MGF为二面角M﹣BE﹣C的平面角，即∠MGF=30°．在等边△PAD中，．由于，所以．又，所以．在△MFG中，解得k=3．…..方法二：由于EP⊥EA，EP⊥EB，EA⊥EB，以E为原点，射线EB，EA，EP分别为x正半轴，y正半轴，z正半轴建立空间直角坐标系，如图．∵，∠BAD=60°，∴A（0，1，0），，，D（0，﹣1，0），E（0，0，0），平面ABE即xoy平面的一个法向量为=（0，0，1）．设M（x，y，z），由条件可知：（k＞0），即，∴，解得：即，．设平面MBE的一个法向量为=（x'，y'，z'），则，x'=0，令，则z'=k．即=（0，）．因为二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，所以|cos＜＞|=|cos150°|，即==，解得k=±3．因为k＞0，所以k=3．…..19．已知椭圆W ：，过原点O 作直线l 1交椭圆W 于A ，B 两点，P 为椭圆上异于A ，B 的动点，连接PA ，PB ，设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2（k 1，k 2≠0），过O 作直线PA ，PB 的平行线l 2，l 3，分别交椭圆W 于C ，D 和E ，F ．（Ⅰ）若A ，B 分别为椭圆W 的左、右顶点，是否存在点P ，使∠APB=90°？说明理由． （Ⅱ）求k 1•k 2的值；（Ⅲ）求|CD|2+|EF|2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）不存在点P ，使∠APB=90°．理由如下：设P （x P ，y P ），运用向量垂直的条件和数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可判断；（Ⅱ）设P （x P ，y P ），A （x A ，y A ），运用直线的斜率公式和点差法，化简整理可得所求值； （Ⅲ）方法一：由于l 2，l 3分别平行于直线PA ，PB ，求得直线方程，联立椭圆方程，求得弦长，化简整理，即可得到所求值；方法二、设C （x C ，y C ），E （x E ，y E ），由直线l 2，l 3都过原点，则D （﹣x C ，﹣y C ），F （﹣x E ，﹣y E ）． 由于l 2，l 3分别平行于直线PA ，PB ，由平行的条件，求得直线方程，代入椭圆方程，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）不存在点P ，使∠APB=90°．说明如下：设P （x P ，y P ）．依题意，此时A （﹣2，0），B （2，0），则，．若∠APB=90°，则需使，即． (1)又点P 在椭圆W 上，所以，把代入（1）式中解得，x P =±2，且y P =0． 显然与P 为椭圆上异于A ，B 的点矛盾，所以不存在；（Ⅱ）设P （x P ，y P ），A （x A ，y A ），依题意直线l 1过原点，则B （﹣x A ，﹣y A ）． 由于P 为椭圆上异于A ，B 的点，则直线PA 的斜率，直线PB 的斜率．即．椭圆W 的方程化为x 2+4y 2=4，由于点P 和点A 都为椭圆W 上的点，则，两式相减得，因为点P 和点A 不重合，所以，即；（Ⅲ）方法一：由于l 2，l 3分别平行于直线PA ，PB ，则直线l 2的斜率k CD =k 1，直线l 3的斜率k EF =k 2．设直线l 2的方程为y=k 1x ，代入到椭圆方程中，得，解得．设C （x C ，y C ），由直线l 2过原点，则D （﹣x C ，﹣y C ）．则=．由于y C =k 1x C ，所以|CD|2=，即|CD|2=． 直线l 3的方程为y=k 2x ，代入到椭圆方程中，得，解得．同理可得．则|CD|2+|EF|2=．由（Ⅱ）问，且k 1≠0，则．即|CD|2+|EF|2=16化简得|CD|2+|EF|2=16． 即|CD|2+|EF|2=20．方法二：设C （x C ，y C ），E （x E ，y E ），由直线l 2，l 3都过原点，则D （﹣x C ，﹣y C ），F （﹣x E ，﹣y E ）． 由于l 2，l 3分别平行于直线PA ，PB ，则直线l 2的斜率k CD =k 1，直线l 3的斜率k EF =k 2，由（Ⅱ）得，可得．由于k CD =k 1≠0，则．由于点C 不可能在x 轴上，即y C ≠0，所以，过原点的直线l 3的方程为，代入椭圆W 的方程中，得，化简得．由于点C （x C ，y C ）在椭圆W 上，所以，所以，不妨设x E =2y C ，代入到直线中，得．即，则．|CD|2+|EF|2===．又，所以|CD|2+|EF|2=20．。
2019-2020学年朝阳区高二上学期期末数学试卷及答案
线 M 的左支有两个不同的交点，则 M 的离心率的取值范围是
（A） (2 , )
（B） (1 , 2)
（C） (1 , 3)
（D） ( 3 , )
10. 已知球 O 的直径为 3， A , B , C , D 是球 O 上四个不同的点，且满足 AB AC 0 ，
AC AD 0 ， AD AB 0 ，分别用 S1 , S2 , S3 表示 ABC , ACD , ABD 的面积，则
合题目要求的一项.
1. 不等式 x(x 2) 0 的解集是
（A） x 0 x 2 （B）x x 0
（C） x x 2
（D）x x 0 或 x 2
2. 已知 x 1，则当 x 4 取得最小值时， x 的值为 x
（A）1
（B）2
（C）3
3.
已知双曲线
x2 a2
y2 16
1(a
0) 的一个焦点为 (5 ,
16. 不等式 x2 2y2 cx( y x) 对满足 x y 0 的任意实数 x , y 恒成立，则实数 c 的最大值 是________.
3 / 11
三.解答题:本大题共 4 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
17. （本小题满分 16 分）
已知数列 an 是递增的等差数列， a2 3 ，且 a1 , a2 , a5 成等比数列. （Ⅰ）求数列 an 的通项公式；
（Ⅱ）设直线 l : y kx m （ k 0 ）交椭圆 C 于 M , N 两点（ M , N 不同于点 A ）.过原点 O 的一条直线与直线 l 交于点 P ，与直线 AM , AN 分别交于点 D , E .
（ⅰ）当 k 2 时，求 MN 的最大值；
2019-2020学年北京市清华附中高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）若两条直线ax+2y-1=0与x-2y-1=0垂直，则a的值为（）A.1B.-1C.4D.-42.（单选题，5分）若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A.y=±2xB. y=±√2xC. y=±12xD. y=±√22x3.（单选题，5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|= 54x0，则x0等于（）A.1B.2C.4D.84.（单选题，5分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，5分）已知正方体的棱长为2．它的8个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是（）A.8πB.12πC.16πD.20π6.（单选题，5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.47.（单选题，5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：① 若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β ② 若m || α，n || β．且m || n，则α || β③ 若m⊥α，n || β，且m⊥n，则α⊥β ④ 若m⊥α，n || β，且m || n，则α || β其中正确的命题是（）A. ① ③B. ② ④C. ③ ④D. ①8.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A.3个B.4个C.5个D.6个9.（填空题，5分）直线y=x被圆x2+（y-2）2=4截得的弦长为___ ．10.（填空题，5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为1，则以F为圆心，且与1相切的圆的方程为___ ．11.（填空题，5分）已知点P是圆x2+y2=2上的动点，Q是直线l：3x-4y+15=0上的动点，则|PQ|的最小值为___ ．12.（填空题，5分）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为√3，D为BC的中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为___ ．13.（填空题，5分）已知椭圆C 1： x 2a 2 + y 2b 2 =1及双曲线C 2： x 2m 2 - y 2n 2 =1，均以（2，0）为右焦点且都经过点（2，3），则椭圆C 1与双曲线C 2的离心率之比为___ ．14.（填空题，5分）如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱AB 和CD 的中点，一个平面分别与棱BC ，BD ，AD ，AC 交于E ，F ，G ，H ，且MN⊥平面EFGH ．给出下列六个结论：① AC⊥BD ， ② AB || 平面EFGH ， ③ 平面ABC⊥平面EFGH ， ④ 四边形EFGH 的周长为定值； ⑤ 四边形EFGH 的面积有最大值； ⑥ 四边形EFGH 一定是矩形，其中，所有正确结论的序号是___ ． 15.（问答题，13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinA= √6 sinC ，c= √3 ．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）如果cosA= √33 ，求b 的值及△ABC 的面积．16.（问答题，13分）已知椭圆C ： x 216 + y 24 =1的右顶点为A ．上顶点为B ．点E 在椭圆C 上，点E 不在直线AB 上．（1）求椭圆C 的离心率和直线AB 的方程；（2）若以AE 为直径的圆经过点B ，求点E 的坐标．17.（问答题，14分）如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 是矩形，平面DCC 1D 1⊥平面ABCD ．AD=3，CD=DD 1=5，∠D 1DC=120°，M ，N 分别是线段AD 1，BD 的中点．（1）求证：MN || 平面DCC 1D 1；（2）求证：MN⊥平面ADC 1；（3）求三棱锥D 1-ADC 1的体积．18.（问答题，13分）已知函数f （x ）=lnx-x+1．（1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程：（2）若非零实数a 使得f （x ）≥ax - 12 ax 2- 12a 对x∈[1，+∞）恒成立，求a 的取值范围．19.（问答题，14分）已知A ，B ，C 是抛物线W ：y 2=4x 上的三个点，D 是x 轴上一点．（1）当点B 是W 的顶点，且四边形ABCD 为正方形时，求此正方形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形ABCD 是否可能为正方形，并说明理由．20.（问答题，13分）已知数列{a n }满足：a 1∈N*，且a n+1= {√a n ，若√a n 是整数，a n +4，若√a n 不是整数（n=1，2…）集合M={a n |n∈N*}中的最小元素记为m ．（1）若a 1=20，写出m 和a 10的值：（2）若m 为偶数，证明：集合M 的所有元素都是偶数；（3）证明：当且仅当m=l 时，集合M 是有限集．。
北京市101中学2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷及答案
北京101中学2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设iiz +-=11，则|z |=（ ） A. 1B. 2C.2D. 222. 设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sinA+ay +c =0与直线bx -y sinB+sinC=0的位置关系是（ ）A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直3. 已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+ z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数； ③复数z 是实数的充要条件是z =z 。
则其中正确命题的个数为（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 椭圆1422=+y x 的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 以上答案均不正确5. 已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9。
动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ）A.1486422=-y xB.1644822=+y x C.1644822=-y xD.1486422=+y x 6. 已知F 是抛物线x y =2的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，3||||=+BF AF ，则线段AB 的中点D 到y 轴的距离为（ ）A.43B. 1C.45D.47 7. 正四棱锥S-ABCD 底面边长为2，高为1，E 是棱BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0=⋅AC PE ，则动点P 的轨迹的周长为（ ）A. 1+2B.2+3 C. 22D. 238. 设点P 为双曲线12222=-by a x （a >0，b >0）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点A ，B 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A. （1，332]B. （1，2]C. [332，+∞）D. [2，+∞）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区2019~2020学年度第二学期期末质量检测高二年级数学试卷
北京市朝阳区2019～2020学年度第二学期期末质量检测高二年级数学试卷2020.7（考试时间120分钟 满分150分） 第一部分（选择题共50分）一、选择题共10题，每题5分，共50分，在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）若随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E(X)是 （A ）14 （B ）21 （C ）1 （D ）32（2）某物体作直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （（单位：s ）满足关系式221y t =+,那么该物体在t=3s 时的瞬时速度是（A ）2m/s （B ）4m/s （C ）7m/s （D ）12m/s(3)曲线()ln f x x =在点(1，0)处的切线方程为 (A)x-y-1=0 (B)x-y+1=0 ( C )10( D )10x y x y +-=++=（4）61()x x+的二项展开式中的带数项为（A ）1 （B ）6 （C ）15 （D ）20（5）从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（A ）12 （B ） 18 （C ）35 （D ）36（6）某射手每次射击击中目标的概率都是45，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为12163248()()()()125125125125A B C D （7）曲线()x f x e =上任意一点P 处的切线斜率的取值范围是(A) (, (B) () (C) ( (D) [)-∞+∞-∞+∞（8）一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径．如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（A ）6 （B ）14 （C ）49 （D ）84(9)函数2()(2)x f x x x e =-的图象大致是(10)已知函数()ln ,()1f x x g x ax ==+,若存在01x e≥使得00()()f x g x =-，则实数a 的取值范围是222211(A) [2,] (B) [,2]11(C) [,] (D) [,2]2e e e e e e e e ---第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6题，每题5分，共30分．（11）已知函数()sin f x x =的导函数为()f x '，则()2f π'= ________(12)若随机变量1~(3,)4X B .则X 的数学期望E(X)是________（13）从某校高一年级所有学生中随机选取100名学生，将他们参加知识竞赛的成绩的数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从成绩在[70,80),[80,90]两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，若从这6人中随机选取两人担任正副队长，则这两人来自同一组的概率为________（14）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为________; 所有项的系数之和为________（15）某商场举行促销活动，凡购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响，那么两次抽奖中至少有一次中奖的概率是________（16）设定义在R 上的连续函数f （x ）的导函数为()f x '，已知函数()y x f x '=⋅的图象（如图）与x 轴的交点分别为（-2,0） ， （0,0） ，（2,0），给出下列四个命题：①函数f(x)的单调递增区间是(2,0),(2,)-+∞; ②函数f(x)的单调递增区间是(,2),(2,)-∞-+∞; ③x=-2是函数f （x ）的极小值点； ④x=2是函数f （x ）的极小值点. 其中，正确命题的序号是________注：本题给出的命题中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．三、解答题共4题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）（本小题18分）新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的100倍.下表是通过抽样调查得到的某地区2014年到2018年的年新生婴儿性别比.（Ⅰ）根据样本数据，估计从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴的概率(精确到0.01)；（Ⅱ）从2014年到2018年这五年中，随机选取两年，用X 表示该地区的新生婴儿性别比高于107的年数，求x 的分布列和数学期望：（Ⅲ）根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由．（18） （本小题18分已知函数322()2,f x x ax a x a a R =-++∈（Ⅰ）若a=0，求证：当[1,)x ∈+∞时，()f x x ≥恒成立； （Ⅱ）当a=1时，求f （x ）在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f （x ）存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求a 的取值范围.(19)(本小题18分)已知函数1()ln ,f x a x a R x=+∈(Ⅰ)当a ＝1时，求曲线f (x )在点(1，f (1) )处的切线方程； (Ⅱ)求函数f (x )的极值；(Ⅲ)若y ＝f (x )在x ＝1时取得极值，设1()()g x f x x=-，当120x x <<时，试比较21()()2g x g x -与2121x x x x -+的大小，并说明理由． (20) (本小题16分) 已知集合12{,,,}n S a a a =中的元素都是正整数，对任意,i j a a S ∈，定义11(,)||i j i jd a a a a =-．若存在正整数k ，使得对任意,()i j i j a a S a a ∈≠，都有d 21(,)i j d a a k ≥，则称集合S 具有性质F k ．记d （S ）是集合{(,)|,}i j i j d a a a a S ∈中的最大值． （Ⅰ）判断集合{1,2,3,4}A =和集合{6,8,12,16}B =是否具有性质F 4，直接写出结论；（Ⅱ）若集合S 具有性质F k ，求证： （i ）21()n d S k-≥； （ii ）n ≤2k —1．北京市朝阳区2019~2020学年度第二学期期末质量检测高二年级数学试卷 参考答案 2020．7一、选择题：（本题满分50分）二、填空题：（本题满分30分） 三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设“从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴”为事件A ， ………2分则100()100108.0P A =+ ……………………………………4分1000.48208=≈． ……………………………………6分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2． ……………………………………7分23253(0)10C P X C ===，1132256(1)10C C P X C ===，22251(2)10C P X C ===， ……………………………………10分所以X 的分布列为……………………………………12分所以X 的数学期望3614()0121010105E X =⨯+⨯+⨯=． …………………14分 （Ⅲ）答案一：可以否定．从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于0.5，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断． 答案二：不能否定．尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于0.5，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于0.5，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断． 答案三：无法判断．由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．…………………… 18分（注：1．其余答案，酌情给分．2．如果学生直接从生物学的角度，或者生活常识等角度说明，应适当扣分，没有体现用样本估计总体．）18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）证明：当0a =时，3()f x x =． …………………………………1分设3()g x x x =-，则2()31g x x '=-． …………………………………3分 因为[1,)x ∈+∞，所以()0g x '>．所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g x g ≥=． …………………5分 所以当[1,)x ∈+∞时，()f x x ≥恒成立． …………………………………6分 （Ⅱ）当1a =时，32()21f x x x x =-++．所以2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--． ………………………………7分 令()(31)(1)0f x x x '=--=得13x =或1x =． …………………………8分 当x 在[0,2]上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，当[0,2]x ∈时，函数()f x 的最大值为(2)3f =，……………………11分 函数()f x 的最小值为(0)(1)1f f ==． …………………………………12分（Ⅲ）因为322()2f x x ax a x a =-++，所以22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--．令()(3)()0f x x a x a '=--=得3ax =或x a =．……………………………13分 依题意，函数()f x 存在极大值和极小值，所以0a ≠． （ⅰ）当0a >时，aa >．当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以函数()f x 的极大值为34()327a a f a =+，极小值为()f a a =． 依题意有34()()4327a a f f a a a -=+-≤，所以3a ≤． 所以(0,3]a ∈． …………………………………15分 （ⅱ）当0a <时，aa <．当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以函数()f x 的极大值为()f a a =，极小值为34()327a a f a =+． 依题意有34()()()4327a a f a f a a -=-+≤，所以3a ≥-． 所以[3,0)a ∈-． …………………………………17分 综上所述，[3,0)(0,3]a ∈-． …………………………………18分19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）当1a =时，()1()ln 0f x x x x=+>，(1)1f =，……………………………2分 22111()x f x x x x-'=-=，(1)0f '=， ……………………………4分所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =．…………………………6分 （Ⅱ）由1()ln f x a x x =+()0x >，得2211()a ax f x x x x-'=-=()0x >．………8分 ① 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．…10分 所以，当1x a =时，()f x 有极小值1ln f a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 无极大值； ………11分② 若0a =，当(0,)x ∈+∞时，21()0f x x '=-<恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 无极值． ………12分 ③ 若0a <，当(0,)x ∈+∞时，21()0ax f x x -'=<恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 无极值． ………13分 综上，当0a >时，()f x 有极小值1ln f a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 无极大值； 当0a ≤时，()f x 无极值． …………………………………………14分 （Ⅲ）由21()a f x x x'=-，(1)0f '=，所以1a =． 由1()()ln g x f x x x=-=， 所以21()()2g x g x --2121x x x x -+2212121221111ln ln 1ln 221x x x x x x x x x x x x ---=-=-++ ． 又120x x <<，所以211x x >． 构造函数11()ln 21x x x x ϕ-=-+， ………………………………16分 则222211(1)12(1)()2(1)2(1)2(1)x x x x x x x x x x ϕ+---'=-=-=+++．当1x >时，22(1)()02(1)x x x x ϕ-'=>+恒成立，所以()x ϕ在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x >时，()(1)0x ϕϕ>=，即11ln 21x x x ->+， …………………17分 所以22121111ln 21x x x x x x ->+成立， 所以212121ln ln 2x x x x x x -->+，即212121()()2g x g x x x x x -->+．…………………18分 20．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）集合{1,2,3,4}A =具有性质4F ， ……………………………………2分集合{6,8,12,16}B =不具有性质4F ． ……………………………………4分 （Ⅱ）证明：不妨设12n a a a <<<． ……………………………………5分 （i ）由120n a a a <<<<得12111n a a a >>>． 对任意1i j n ≤≤≤，有11(,)(,)i j j i i jd a a d a a a a ==-，………………………6分 因为1111111111()()()0n i j i j na a a a a a a a ---=-+-≥， 所以11111n i ja a a a -≥-． 所以对任意1i j n ≤≤≤，都有1(,)(,)n i j d a a d a a ≥，所以111()n d S a a =-． ………………………8分 又因为 11223111111111n n na a a a a a a a --=-+-++- 1223121(,)(,)(,)n n n d a a d a a d a a k --=+++≥， 所以21()n d S k -≥． ……………………………………………10分（ii ）由（i ）可知，对任意1,2,,1i n =-，都有21112(,)(,)(,)(,)i i i n n n i i n i d a a d a a d a a d a a k -+++-=+++≥， 所以211i n n i a a k --≥，所以21i n i a k->． ……………12分 因为对任意1,2,,1i n =-，i a i ≥，所以11i a i ≤，所以21n i i k ->， 即2()i n i k -<，1,2,,1i n =-． ……………14分 若2n k ≥，则当i k =时，2()()(2)i n i k n k k k k k -=-≥-=，矛盾．所以2n k <． 又因为n 是正整数，所以21n k ≤-． …………………………16分。
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2020北京朝阳高二（上）期末数 学 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.不等式(2)0x x -<的解集是 （A ）{}02x x <<（B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x+取得最小值时，x 的值为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）43.已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为 （A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为（A ）22184x y +=（B ）221164x y +=（C ）221816x y +=（D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +-（D ）,,a b a b a -+6. 已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l 的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④（D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是 （A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C）(1,（D）,)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18 第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________.14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.俯视图正视图15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.（本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD 平面PBC ；（Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O 的一条直线与直线l交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.2020北京朝阳高二（上）期末数学参考答案一、选择题：（本题满分50分）二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-．…………………………………11分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB平面ABCD ，且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 不妨设2AB =，因为PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以2PA PD ==，2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P ，(1,0,0)D -．所以(1,2,1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．Oxyz PABC D E由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥． 因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ． 所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则{n ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即0,20.x z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,PD PD PD ⋅〈〉===⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角， 所以二面角--A PB C 的余弦值是分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y +=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△ 所以AOB △的面积为分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x kx x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =．又因为离心率c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244,.99m x x x x -+=-= 由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN取到最大值3. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++， 两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+．所以2212122224,.1414m m k y y y y k k-+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----= 即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合. 又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P mx k k==-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。