立体几何初步复习课件

立体几何初步
海安县李堡中学数学组 顾宏生
立体间中的平行问题
在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低 维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到 “线面平行”，再到“面面平行”，而利用性 质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定 理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化 的方法总是受具体题目的条件决定，不能过于 呆板僵化，遵循规律而不受制于规律．
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(3)由(2)及已知，可得 AG＝ 2，即 G 为 AD 的 中点． 取 EF 的中点 N，连结 GN，则 GN⊥EF. 因为 BC∥AD，所以 BC∥EF. 过点 N 作 NM⊥EF，交 BC 于点 M， 则∠GNM 为二面角 B－EF－A 的平面角． 连结 GM，可得 AD⊥平面 GNM， 故 AD⊥GM，从而 BC⊥GM.
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在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制 条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经 过一直线”等．这些条件一方面有很强的约束 性；另一方面又为证明指出了方向．在利用定 理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理 的规律性．空间中的垂直关系是比平行关系更 重要更灵活多变的一种重要关系．“转 化”“降维”是重要的思想方法和解题技巧， 应在学习中提炼这些方法．
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例2 如图所示，△ABC 为正三角形，EC⊥平 面 ABC，BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点．求证： (1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA； (3)平面 DEA⊥平面 ECA.
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【分析】 证明“面面垂直”一般有两种方法， 一是利用定义，证明二面角的平面角是直角； 二是利用判定定理．
∴MN∥BD，即 N 点在平面 BDM 内． ∵EC⊥平面 ABC，∴EC⊥BN. 又 CA⊥BN，∴BN⊥平面 ECA. ∵BN⊂平面 MNBD， ∴平面 MNBD⊥平面 ECA. 即平面 BDM⊥平面 ECA.
21EC，
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(3)由(2)可知MNBD为平行四边形， ∴DM∥BN， 又∵BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA. 又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.
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空间角的计算
1.两条异面直线所成的角．求两条异面直线所成 的角一般通过平移(在所给图形内平移一条直线 或平移两条直线)，或补形(补形的目的仍是平移)， 把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计 算；平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位 线、成比例线段来实现，补形时经常把空间图形 补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、 平行六面体、正棱柱、正棱锥等)．
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空间中的垂直问题
空间线面垂直关系的证明依据是空间线面垂 直、面面垂直的判定定理和性质定理，以及线 线垂直的一些常用结论，要熟练掌握这些定理 的表达语言、表达符号和表达图形，这是证明 空间垂直关系的重要前提．证明空间垂直关系 的基本思想是转化，证明空间垂直关系的重点 是线面垂直，证明线面垂直就要证明线线垂直， 而线线垂直的证明又要通过线面垂直实现，线 面垂直的证明就是在这种垂直关系的互相转 化中实现的，包括面面垂直的证明．
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法二：(添加辅助线，由线线平行⇒线面平行) 如图所示，连结 BM 并延长交 A1B1 于 P 点， 连结 PC1，则可证 △B1MP∽△AMB，∴BM1MA ＝MPMB. 又已知BM1MA ＝CN1BN，∴MPMB＝CN1BN， 则易得 MN∥PC1，而 PC1⊂平面 A1B1C1D1， ∴MN∥平面 A1B1C1D1.
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【分析】 先做出要求的角，再在三角形中 求角．
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【解】 (1)因为四边形 ADEF 是正方形， 所以 FA∥ED. 所以∠CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角． 因为 FA⊥平面 ABCD，所以 FA⊥CD.
故 ED⊥CD.
在 Rt△CDE 中，CD＝1，ED＝2 2，
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【证明】 (1)如图所示，取 EC 的中点 F，连 结 DF，易知 DF∥BC， ∵EC⊥BC，∴DF⊥EC. 在 Rt△DFE 和 Rt△DBA 中， ∵EF＝12EC＝BD，FD＝BC＝AB， ∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故 DE＝DA.
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(2)取 CA 的中点 N，连结 MN，BN，则 MN
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例1 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是对角线 AB1，BC1 上的点，且 BM1MA ＝CN1BN，求证：MN∥平面 A1B1C1D1.
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【分析】 证明线面平行的思路有两个： (1)用“面面平行⇒线面平行”；(2)添加辅助线， 创造使用线面平行判定定理的条件．
CE＝ CD2＋ED2＝3，
所以
cos∠CED＝ECDE＝2 3
2 .
所以异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为232.
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(2)证明：如图，过点B作BG∥CD，交AD于 点G， 则∠BGA＝∠CDA＝45°. 由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB， 从而CD⊥AB. 又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面 ABF.
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2.直线和平面所成的角．当直线为平面的斜线 时，它是斜线和斜线在平面内的射影所成的角， 可按照定义作出并找到这个锐角，然后通过解 直角三角形加以求出． 3.二面角．二面角是通过其平面角的大小来度 量的，作二面角的平面角主要有定义法、垂面 法．
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例3 (2010·高 考 天 津 卷 ) 如 图 ， 在 五 面 体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA⊥平 面 ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2 2，∠ BAD＝∠CDA＝45°. (1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值； (2)证明 CD⊥平面 ABF； (3)求二面角 B－EF－A 的正切值．
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【证明】 法一：(用“面面平行⇒线面平行”) 如图所示，在平面 AA1B1B 内，作 MK∥A1B1，
交 BB1 于 K 点，连结 KN，则易知BM1MA ＝BK1BK，而
已知B1M＝C1N，∴B1K＝C1N，则 MA NB KB NB
KN∥B1C1.
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又MK∩KN＝K，A1B1∩B1C1＝B1. ∴平面MKN∥平面A1B1C1D1. 而MN⊂平面MKN，∴MN∥平面A1B1C1D1.