高中数学函数的概念、图像与性质

利用函数的单调 性、奇偶性解不 等式·T5
未考查
函数图象的识辨·T7 分段函数、解不等式·T15
高考命题规律：
1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分 段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，难度一般。主要考查函数的 定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断。
①若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x)＝f(2a－x)，则 y＝f(x) 的图象关于直线 x＝a 对称；
②若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝－f(a－x)，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 y＝ f(x)的图象关于点(a,0)对称。
2．函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质。证明函数的单调性时， 规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论。复合函数的单调性遵循“同 增异减”的原则。 (2)奇偶性：①若 f(x)是偶函数，则 f(x)＝f(－x)。 ②若 f(x)是奇函数，0 在其定义域内，则 f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点 对称的单调区间内有相反的单调性。
时，f(x)＝2x－m，则f(2 019)＝( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x＋1)＝f(1－x)，所以 f(x＋2) ＝f(－x)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝f(x)，所以 f(x)的周期为 4，因为 x∈[0,1]时，f(x) ＝2x－m，所以 f(0)＝1－m＝0，所以 m＝1，所以 x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，所 以 f(2 019)＝f(－1＋505×4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1。故选 B。
答案 D
(2)若函数f(x)＝
x2
4x
8,
(x
2)(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范
2 loga x, (x 2)
围是________。
解析 当 x≤2 时，y＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，由 f(x)的值域是[4，＋∞)，
a>1，
a>1，
可知{y|y＝2＋logax，x>2}⊆[4，＋∞)，所以2＋loga2≥4， 即loga2≥2， 解
答案 B
考向2 函数图象的应用
【例3】 (2019·全国Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，
f(x)＝x(x－1)。若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－ 8 ，则m的取值范围是( )
9
A. (, 9] 4
B. (, 7] 3
C. (, 5]
2
(3)周期性：①若 y＝f(x)对 x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或 f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成 立，则 y＝f(x)是周期为 2a 的周期函数。
②若 y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线 x＝a(a≠0)对称，则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数。
③若 y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线 x＝a(a≠0)对称，则 f(x)是周期为 4|a|的周期函数。
④若 f(x＋a)＝－f(x)或fx＋a＝±f1x(a≠0)，则 y＝f(x)是周期为 2|a|的周期 函数。
考点考向研究
精析精研 重点攻关
考点一 函数的概念及表示
【例1】
(1)函数y＝log2(2x－4)＋
x
1
3
的定义域是(
)
A．(2,3)
B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(2,3)∪(3，＋∞)
答案 B
考点三 函数的性质及应用
广度拓展
考向1 函数的单调性、奇偶性与周期性的应用
【例4】 (1)已知函数的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1<x2时，都有 f (x1) f (x2 ) >0；
x1 x2
③y＝f(x＋4)是偶函数；
②f(x＋4)＝－f(x)；
2．此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、 不等式、创新性问题结合命题，难度较大。
考点整合
明确考点 扣准要点
知识梳理： 1．函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：
一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换。 (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究。 (3)函数图象的对称性
答案 C
(2)．(2019·湖南省湘东六校联考)函数
y
＝
x＋sinx
ex＋e－x 的
图
象
大致
为
()
解析 设 f(x)＝xe＋x＋sein－xx，则 f(－x)＝－xe＋－xs＋ine－x x＝－xe＋x＋sein－xx＝－f(x)， 所以函数 f(x)为奇函数，故排除选项 C；又 f(－π)＝－eπ＋πe－π<0，故排除选 项 A；当 x→＋∞时，x＋sinx>0，所以 f(x)>0，故排除选项 D。故选 B。
ln( x 1) 【变式训练1】 (1)函数f(x)＝ x 2 的定义域是( )
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．[－1,2)∪(2，＋∞)
D．(－1,2)∪(2，＋∞)
解析
要使 f(x)＝lnxx－＋21有意义，需使xx＋ －12>≠00，，
x>－1， 即x≠2，
所以函数
f(x)的定义域为(－1，2)∪(2，＋∞)。故选 D。
…12xxx－＋11，x，0－<x1≤<1x，≤0， 2x－1x－2，1<x≤2， 22x－2x－3，2<x≤3， …
由此作出函数 f(x)的图象，如图所示。由图可知
当 2<x≤3 时，令 22(x－2)(x－3)＝－89，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得 x＝73或 x＝83，将这两个值标注在图中。要使对任意 x∈(－∞，m]都有 f(x)≥－89，必有 m≤73，即实数 m 的取值范围是－∞，37。故选 B。
答案 B
(2)(2019·湖南岳阳一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则
f(2 018)＋f(2 019)＝( )
A．－2
B．－1
C．0
D．1
解析 奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x＋1)为偶函数，则 f(－x＋1)＝ f(x＋1)＝－f(x－1)，即 f(x＋2)＝－f(x)，则 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即 f(x)是周 期为 4 的周期函数，所以 f(2 018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0，f(2 019)＝ f(505×4－1)＝f(－1)＝－1，则 f(2 018)＋f(2 019)＝0－1＝－1。故选 B。
)
A．－2
B．2
C．3
D．－3
解析 由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5 ①，f(－1)＝a－1＋b＝3 ②，联立①
②，结合
0<a<1，得
a＝12，b＝1，所以
百度文库
log3x，x>0， f(x)＝12x＋1，x≤0，
则 f(－3)＝21
－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2。故选 B。 答案 B
2x－4>0， 解析 由题意得x－3≠0， 解得 x>2 且 x≠3，所以函数 y＝log2(2x－4) ＋x－1 3的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)。故选 D。 答案 D
(2)已知函数f(x)＝
log 3
a
x
x, b,
x x
0 . 0
(0<a<1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(
得 1<a≤ 2，所以实数 a 的取值范围是(1， 2]。
答案 (1， 2]
考点二
函数的图象及应用增分考点
广度拓展
考向1 函数图象的识别
【例2】
(2019·全国Ⅲ卷)函数y＝
2x3 2x 2x
在[－6,6]的图象大致为(
)
解析 因为 f(x)＝2x＋2x23 －x，所以 f(－x)＝2－－x＋2x23 x＝－f(x)，且 x∈[－6,6]，所 以函数 y＝2x＋2x23 －x为奇函数，排除 C；当 x>0 时，f(x)＝2x＋2x23 －x>0 恒成立，排除 D；因为 f(4)＝224× ＋62－ 44＝161＋28116＝12285×716≈7.97，排除 A。故选 B。
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a<b<c
B．b<a<c
C．a<c<b
D．c<b<a
解析 因为 y＝f(x＋4)是偶函数，所以函数 f(x)的图象关于直线 x＝4 对称。 因为 f(x＋4)＝－f(x)，所以 f(x＋8)＝f(x)，即函数 f(x)是周期为 8 的周期函数。所 以 b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(2 017)＝f(1)＝f(7)。因为对任意的 x1，x2∈[4,8]，当 x1<x2 时，都有fxx11－ －fx2x2>0，所以函数 f(x)在[4,8]上单调递增，所以 b<a<c。故选 B。
方法指导：
(1)函数定义域的求法 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则， 列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可。 (2)分段函数问题常见类型及解题策略 ①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层 套”的函数值，要从最内层逐层往外计算。②求函数最值：分别求出每个 区间上的最值，然后比较大小。③解不等式：根据分段函数中自变量取值 范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提。④求 参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程。
答案 B
方法指导：
求解一个与已知函数相关的不等式恒成立问题时，主要有两种思考方 向：①利用函数 f(x)的奇偶性与单调性将问题转化为普通的代数不等式的恒 成立问题求解；②将不等式转化为两个函数图象位置关系问题，通过图象 的直观性求解。
ex＋1，x≥0， 【变式训练 2】(1) (2019·安徽合肥模拟)设函数 f(x)＝|x2＋2x|，x<0， 则函数 g(x)
答案 B
(2)(2019·北京高考)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)。若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增 函数，则a的取值范围是________。
解析 因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－ex－ae－x，所 以(1＋a)e－x＋(1＋a)ex＝0，所以 a＝－1；因为 f(x)单调递增，所以 f′(x)＝ex－
高考热点 分层突破
函数的概念、图像与性质
数学
全国卷3年考情分析
年份
全国Ⅰ卷
全国Ⅱ卷
全国Ⅲ卷
2019
函数的图象·T5
函数的图象与性质的应用·T12 函数的奇偶性、函数求值·T14
函数的图象·T7 函数的奇偶性及单调性·T11
2018
未考查
函数图象的识辨·T3 抽象函数的奇偶性及周期性·T11
2017
D. (, 8] 3
解析 当－1<x≤0 时，0<x＋1≤1，则 f(x)＝12 f (x＋1)＝12(x＋1)x；当 1<x≤2 时，0<x－1≤1，则 f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当 2<x≤3 时，0<x－2≤1，则 f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，…由此可得 f(x)＝
答案 B
方法指导：
(1)对于函数单调性与奇偶性的综合问题，注意奇、偶函数图象的对称 性以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上单调性的关系。
(2)周期性与奇偶性的综合问题多为求值问题，常利用奇偶性和周期性 将问题进行转换，即将所求值的自变量转化到已知解析式的自变量范围内 求解。
【变式训练3】 (1)(2019·山东济宁模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]
＝f(x)－3x－1 的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
ex＋1，x≥0， 解析 f(x)＝|x2＋2x|，x<0， 由 g(x)＝f(x)－3x－1＝0 得 f(x)＝3x＋1，作出 f(x)与 y＝3x＋1 的图象，如图，由图象知两个函数图象共有 3 个交点，则函数 g(x) 的零点个数为 3。
e2x－a ae－x＝ ex ≥0，所以 e2x－a≥0，a≤0，故 a 的取值范围是(－∞，0]。
答案 －1 (－∞，0]
考向2 函数性质中的新定义问题
【例5】 (2019·郑州市第二次质量预测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享
有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最