高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算教学设计新人教A版必修1

2.1.1 指数与指数幂的运算

整体设计

教学分析

我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．

根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．

三维目标

1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．

2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．

3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．

4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．

重点难点

教学重点

(1)分数指数幂和根式概念的理解．

(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．

(3)运用有理指数幂的性质进行化简、求值．

教学难点

(1)分数指数幂及根式概念的理解．

(2)有理指数幂性质的灵活应用．

课时安排

3课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1．同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的．教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算．

思路2．同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算．

推进新课

新知探究

提出问题

(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

(2)如x4＝a，x5＝a，x6＝a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

(4)可否用一个式子表达呢？

活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、

推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n 次方根的概念，评价学生的思维．

讨论结果：(1)若x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2.

(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根．一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根．一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根．

(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根．

(4)用一个式子表达是，若x n＝a，则x叫a的n次方根．

教师板书n次方根的意义：

一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1且n∈N*.

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例．

提出问题

(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？(多媒体显示以下题目).

①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.

(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，－32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？

(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？

(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．

讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，

所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a 6的立方根分别是±2，±2，±2,2，－2,0，a 2.

数和零．

(3)一个数a 的奇次方根只有一个，一个正数a 的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.

(4)任何一个数a 的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数．

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n 次方根的性质：

①当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，是互为相反数，正的n 次方根用n a 表示，如果是负数，负的n 次方根用－n a 表示，正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n

a (a ＞0)．

②n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示．

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零．

上面的文字语言可用下面的式子表示：

a 为正数：⎩⎨⎧

n 为奇数， a 的n 次方根有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根有两个为±n a .

a 为负数：⎩⎪⎨⎪⎧ n 为奇数， a 的n 次方根只有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根不存在.

零的n 次方根为零，记为n

0＝0. 可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例．

思考

根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况？