数学物理方法习题解答(完整版)

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数学物理方法习题解答

(完整版)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学物理方法习题解答

一、复变函数部分习题解答

第一章习题解答

1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明:令Re z u iv =+。Re z x =,,0u x v ∴==。

1u

x

∂=∂,0v y ∂=∂,

u v x y ∂∂≠∂∂。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C -R 条件, 所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2

f z z

=

仅在原点有导数。

证明:令()f z u iv =+。()2

2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。v v

x y

∂∂ ==0 ∂∂。 所以除原点以外,,u v 不满足C -R 条件。而

,,u u v v

x y x y

∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续,且满足C -R 条件,所以()f z 在原点可微。

()00

00

00x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫

'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或:()()()2

*

00

0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z

∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

2

2

***0*

00lim

lim lim()0z z z z z z z

zz z z z z z z z z

=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。 【当0,i z z re θ≠∆=,*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关,则上式中**1z z

z z

∆∆==∆∆】

3、设333322

()z 0

()z=0

0x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪

=+⎨⎪⎩

,证明()z f 在原点满足C -R 条件,但不可微。

证明:令()()(),,f z u x y iv x y =+,则

()332222

22

,=0

0x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪

=+⎨+⎪⎩, 332222

22

(,)=0

0x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪

=+⎨+⎪⎩

。 3

300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y

y →→--===-; 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =-

()f z ∴ 在原点上满足C -R 条件。

但33332200()(0)()

lim lim ()()z z f z f x y i x y z

x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0,则

333333434322222

0()1(1)1(1)

lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ,()f z ∴在原点不可导。

4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一,证明其在区域D 上必为常数。

(1)()z f 在区域D 上为实函数; (2)()*z f 在区域D 上解析; (3)()Re z f 在区域D 上是常数。 证明:(1)令()(,)(,)f z u x y iv x y =+。

由于()z f 在区域D 上为实函数,所以在区域D 上(,)0v x y =。 ()f z 在区域D 上解析。由C -R 条件得

0u v x y ∂∂==∂∂,0u v y x

∂∂=-=∂∂。 ∴在区域D 上(,)u x y 为常数。从而()z f 在区域D 上为常数。

(2)令()(,)(,)f z u x y iv x y =+,则*()(,)(,)f z u x y iv x y =-。 ()f z 在区域D 上解析。由C -R 条件得

,u v u v

x y y x

∂∂∂∂= =-∂∂∂∂。 (1) 又*()f z 在区域D 上解析,由C -R 条件得

,u v u v

x y y x

∂∂∂∂=- =∂∂∂∂。 (2) 联立(1)和(2),得

0u u v v x y x y

∂∂∂∂====∂∂∂∂。 ,u v ∴在区域D 上均为常数,从而()f z 在区域D 上为常数。

(3)令()()(),,f z u x y iv x y =+,则()Re (),f z u x y =。

由题设知(),u x y 在区域D 上为常数,0u u x y

∂∂∴==∂∂。 又由C -R 条件得,在区域D 上

0,0v u v u x y y x

∂∂∂∂=-= ==∂∂∂∂,于是v 在区域D 上为常数。 ,u v ∴在区域D 上均为常数,从而在区域D 上()f z 为常数。 5、证明2xy 不能成为z 的一个解析函数的实部。

证明:令2

u xy =,2222022u u

x x x y

∂∂+=+=∂∂。

u ∴ 不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为z 的一个解析函

数的实部。

6、若z x iy =+,试证:

(1)sin sin cosh cos sinh z x y i x y =+; (2)cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-; (3)2

22sin sin sinh z x y +=; (4)222cos cos sinh z x y =+。

证明:(1)sin sin()sin cos()cos sin()z x iy x iy x iy =+=+

cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =, sin sin cosh cos sinh z x y i x y ∴=+。

(2)cos cos()cos cos()sin sin()z x iy x iy x iy =+=- cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =, cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-。

(3)2

22sin (sin cosh )(cos sinh )z x y x y =+2222sin cosh cos sinh x y x y =+

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