微积分基本定理导学案
《微积分基本定理》学案3(新人教A版选修2-2)
微积分基本定理（学案）◆一、学习目标定位学习目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分学习重点：1、微积分基本定理的内容2、用微积分基本定理的求简单的定积分学习难点：微积分基本定理的引入◆二、新课导入复习定积分的概念试用定义计算211dx x⎰的值. 解：分析：求解过程遇到麻烦，究其原因“和式难求”。
就需寻求新的解决方法。
◆三、新知探究1. 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 一个作变速直线运动的物体的位移满足函数()y y t =,由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度为 .设这个物体在时间段[],a b 内的位移为s ,试用(),()y t v t s 表示。
问题分解：1）如何用y(t)表示[a,b]内的位移s? 2）如何用v(t)表示[a,b]内的位移s?dx x ⎰2111()lim nn i if xn →∞==∙∆∑111limnn i i n n→∞==∙∑11lim n n i i →∞==∑111lim(1)23n n →∞=++++综合可得:2. 微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式一般的，如果函数[](),()(),f x a b F x f x '=是区间上的连续函数，并且那么，()baf x dx =⎰。
这就是微积分基本定理，也叫牛顿——莱布尼兹公式。
也记作：()baf x dx =⎰ = 。
.说明：(!)．它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。
我们可以用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分.(2)。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
思考并回答下列问题：（2）计算定积分()ba f x dx ⎰的关键是什么？（4）利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数 例题精析例2、计算下列定积分：（1）211dx x ⎰解： 解：例2．计算下列定积分：220sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理导学案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
1。
6微积分基本定理【学习目标】1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理；2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分；3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足的函数。
【学习重难点】重点：定积分的概念和定积分的性质 难点：微积分基本定理,并会求简单的定积分。
【问题导学】预习教材P 51～ P 54，找出疑惑之处. 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式） （1）条件：函数在区间上连续，并且 。
(2）结论: .(3）符号表示：= .（4）作用：建立了 与 间的密切联系,并提供了计算定积分的有效方法. 【合作探究】探究任务一:利用微积分基本定理求定积分 问题1：计算下列定积分: (1） ;（2） ;（3) ; (4） ；(5) ; （6）;(7) ； （8）。
答案：,,， ,，2，，.规律总结:用微积分基本定理求定积分时，求被积函数的原函数是关键，需要注意一下两点(1）熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；（2）当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时,可适当变形后再求解。
特别地，需要弄清积分变量，精确定位积分区间,分清积分上限与积分下限.探究任务二：求分段函数的定积分问题2:已知计算。
答案：()()Fx f x '=()F x ()f x [],a b ()b af x dx =⎰()baf x dx =⎰321(4)x x d x--⎰251(1)x dx-⎰21(2)t dx +⎰211(1)dx x x +⎰12x dx⎰22(co s 2)x x d xππ-+⎰0332edx x +⎰222sin xdxππ-⎰203162t +4ln31ln 232ln2e +2π42,02(),cos ,2x x f x x x ππππ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩0()f x dxπ⎰2112π--变式:计算定积分.答案：5规律总结：若被积函数是分段函数，利用定积分的性质3，根据函数的定义域,将积分区间分解为相应的几部分,带入相应的解析式求解。
北师大版3.4微积分基本定理导学案
1、 =（）
(A) (B) (C) (D)
2、
3、如图，函数 与 相交形成一个闭合图形（阴影），则该闭合图形的面积是
4、用力把弹簧从平衡位置拉长10cm，此时用力是200N，变力F做的功 为
【学生小结】
谈谈学完本节有什么收获?
反
思
栏
3、定积分性质
4、微积分基本定理
若 是在区间 上连续函数，且 ，则
（牛顿—莱布尼茨公式）
5、重要结论
（1）当对应的曲边梯形位于x轴上方时（即 ），定积分的取值为正值（即曲线梯形的面积），当曲边梯形位于x轴下方时（即 ），定积分的取值为负值（即曲线梯形面积相反数）。
（2）如图，在区间 上，若
则阴影部分的面积
（3）如果物体在变力 的作用下做直线运动，并且物体沿与 相同方向从 移动到 ，则变力 所做的功
【巩固提高】
探究一用微积分基本定理计算定积分
例1、计算下列定积分
（1） （2）
（3） （4）
探究二、定积分的几何意义与物理意义
例2、
（2）如图，直线 分抛物线 与x轴所围图形为面积相等的两部分，则k=
（3）一物体沿直线以速度 (t的单位：秒，v的单位：米/，秒)做变速直线运动，则该物体从时刻 秒到时刻 秒间运动的路程为
高三年级第一学期数学学科导学稿
执笔人：王广青审核人：王广青学校：安中数学组时间：2013年月日
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一、课题：3.4微积分基本定理
二、学习目标
1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；
2、了解微积分基本定理的含义。
三、教学过程
【知识梳理】
1、定积分的背景
微积分基本定理第2课时导学案
班级：_____________ 姓名：_______________柘木中学2013级高二数学导学案微积分基本定理(2) 2015.03.25编写人：胡赛赛 审核人：胡先义 徐峰一、学习目标知识技能1．理解并记住牛顿—莱布尼茨公式，即微积分基本定理；2．数学思想方法（转化）：将求定积分的问题转化成求原函数的问题.过程与方法理解导数与积分计算的互逆关系，认识和体会微积分基本定理的重要意义和作用. 情感、态度与价值观通过微积分基本定理的学习，体会事物之间的相互转化和对立统一的辩证关系.二、学习重难点重点：微积分基本定理难点：准确求函数的定积分三、预习方案预习教材 预习教材第53—55页的内容自主梳理1.复数的有关概念 (1)复数的概念：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的________和________． 特殊的：当且仅当_________，则bi a +为实数；当且仅当_________，则bi a +为虚数； 当_______且_______，则bi a +为纯虚数.(2)复数相等：bi a +＝di c +⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：bi a +与di c +共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．z 为z 的共轭复数． 2.复数的几何意义(1) 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；虚轴上的点（除原点外）都表示________． (2)复数bia z +=复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．___________．(3)复数的模：向量OZ →的长度叫做复数bi a z +=的模，记作________或__________， 即||||bi a z +=＝________________. 3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，则①加法：)()(21di c bi a z z +++=+＝______________； ②减法：)()(21di c bi a z z +-+=-＝________________； ③乘法：)()(21di c bi a z z +⋅+=⋅＝________________； ④除法：)()()()(21di c di c di c bi a di c bi a z z -⋅+-⋅+=++==_____________＝____________)0(≠+di c ． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何C z z z ∈321、、，有21z z +＝________， 321)(z z z ++＝__________________. (3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何C z z z ∈321、、， 有=⋅21z z _______,()=⋅⋅321z z z __________,()=+321z z z ____________.预习检测1.已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a=______. 2.(2013辽宁)复数i z +=1的虚部是______.3.在复平面内复数i iz -+=143对应的点在第______象限. 4.若复数,2i z -=则=+zz 10（ ）A.i -2B.i +2C.i 24+D.i 36+5.已知i 是虚数单位，则复数=+)1(13i i （ ） A.i +1 B.i -1 C.i +-1 D.i --1四、探究学案探究一、复数的概念1.(2013安徽文)设i 是虚数单位，若复数ia --310()R a ∈是纯虚数，则a 的值为（ ） A.3- B.1- C.1 D.32.(2013山东)若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为（ ） A. 2i + B. 2i - C.5i + D.5i -班级：_____________ 姓名：_______________变式：若将本探究1中的条件“i a --310”变“iaa --3，且其实部与虚部和为1”试求a .探究二、复数的代数运算 1.(2013新课标文)212(1)ii +=-（ ）A. 112i --B. 112i -+C. 112i +D. 112i - 2.(2013安徽)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数,若z i z z 22=+⋅,则z =（ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1探究三、复数的几何表示1.(2013四川)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．C D ．D2.(2013北京)在复平面内，复数2(2)i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限五、当堂练习1.(2014大纲）设iiz +=310，则z 的共轭复数为( ) A ．i 31+- B ．i 31-- C ．i 31+ D ．i 31-2.(2014全国)=-+23)1()1(i i ( ) A ．i +1 B ．i +-1 C ．i -1 D ．i --1 3.(2014广东)已知复数z 满足(34)25,i z +=则z =( )A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+4.(2014浙江)已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.(2014重庆)在复平面内表示复数)21(i i -的点位于（ ）A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限六、复习收获与小结。
微积分基本定理(二)
1.6第２课时：微积分基本定理（二）编写：皮旭光【学习目标】１．进一步熟悉简单定积分的求法，了解被积函数为复合函数、分段函数的定积分的求法；２．全面了解定积分与曲边梯形的面积的关系，进而引出利用函数的奇偶性求定积分的结论。
【知识线索】1．定积分公式：（1）=⎰b a cdx（2）=⎰b a n dxx（3）=⎰b a xdxcos（4）=⎰b a xdxsin（5）)0_(__________1>=⎰xdxxba（6）=⎰b a x dxe（7）=⎰n m x dxa2．定积分性质（1）⎰⎰=b abadxxfkdxxkf)()(（k为常数）；（2）⎰⎰⎰±=±bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([；（3）⎰⎰⎰+=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(。
3．若函数)(xf是)0](,[>-aaa上的奇函数，则0)(=⎰-a a dxxf；若函数)(xf是],[aa-上的偶函数，则⎰⎰=-aaadxxfdxxf)(2)(。
【知识建构】１、阅读教材P53页例2，我们可以得出：定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0．(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时（如图①所示），定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；(2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时（如图②所示），定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；(3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（如图③所示），且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．①②③高二选修2-2：第一章导数及其应用课时目标呈现课前自主预习课中师生互动2、复合函数的求导法则是：'''x u x u y y ⋅=。
你能求出下列被积函数)(x f 的原函数)(x F 吗?（1）x x f 2cos )(=； （2）x a x f 2)(=。
微积分基本定理导学案
课题：1.6微积分基本定理一、学习目标1.通过实例直观了解微积分积分定理的含义.2.熟练地用微积分积分定理计算微积分.二、教学重难点教学重点：理解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分．教学难点：理解微积分基本定理的含义．三、自学指导与检测自学指导自学检测及课堂展示阅读课本54-51P完成右框内容1.复习定积分的性质①bakf(x)dx=⎰ .②b12a[f(x)f(x)]dx=±⎰ .③baf(x)dx=⎰ .2.微积分基本定理(1)一般地，如果)(xf是区间[]b a,上的连续函数并且)()(xfxF=',那么=⎰b a dxxf)(___________ .这个结论叫做微积分基本定理，也叫做. (2)符合表示：=⎰b a dxxf)(= .【即式训练1】用微积分基本定理求简单函数的定积分．（1）12x dx⎰；（2）()dxxx⎰-122；（3）⎰102dxe x（4）⎰--22)4)(24(dxxx【变式训练1】计算下列定积分:⎰π0sin xdx,⎰ππ2sin xdx,⎰π20sin xdx.由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.3：用微积分基本定理求分段函数的定积分A 层1．下列积分正确的是( )2.dx x ⎰--1121等于( )A.4πB.2π C.π D.π2B 层3.dx x ⎰11-等于() A.⎰11-xdx B. dx ⎰11- C. ⎰-01-)(dx x ＋⎰10xdx D. ⎰01-xdx ＋⎰-10)(dx xC 层5.已知⎰--=-aa dx x 8)12(,求a 的值.【即时训练2】.求函数3(01)()(14)x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩在区间[0,4]上的积分.。
《142微积分基本定理》导学案5.doc
《1・4・2微积分基本定理》导学案5【课标转述】通过实例，直观了解微积分基本定理的含义。
【学习目标】1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法【学习过程】一、复习：定积分的概念：用定义计算定积分方法步骤：二、新课探究：我们讲过用定积分定义计算定积分，但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较-•般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之I、可的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为s(t),速度为V(t)(v(r)><?),则物体在时间间隔「丁T 1内经过的路程可用速度函数表示为小 o另一方而，这段路程还可以通过位置函数S(t)在百込］上的增S-5(7；)-5(7；)来表达，即|%a)d「s(G-s(7；)而S'(r) = v(r)。
对于一般函数芦(兀),设尸3 =加'是否也有fbI f(x)dx = F(b) — F(ci)J a若上式成立，我们就找到了用f(力的原函数(即满足^，(劝二广(兀))的数值差F(b) —F(G)来计算/(x)在［a,b］上的定积分的方法。
注：1、定理如果函数F(X)是⑺小］上的连续函数f(劝的任意一个原函数，则f(x)dx = F(b) — F(a)2、为了方便起见,还常用尸(兀)『表示F(b)_F(a)，即b >f(x)dx = F(x)^=F(b)-F(a)该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分Z间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
人教版编号25 1.6 微积分基本定理2导学案
编号25 §1.6 微积分基本定理2
制作人 王俊兰 审核 高二数学组 2017.03
学习目标 会利用微积分基本定理求复杂函数的定积分
预习导航 复习微积分基本定理，常用积分公式 探究1求简单函数的定积分
【例1】 计算下列定积分
总结规律方法：
【变式1】 求下列定积分：
探究2求较复杂函数的定积分
例2.求下列定积分
思路探索：
总结规律方法：
变式2 计算下列定积分：
探究3 定积分的简单应用
例3.的最大值)(求,)2()(已知1
02
2a f dx x a ax a f ⎰-=
总结规律方法：
变式3 已知
的的值
,,求,2)(,0)0(,2)1(且),0()(1
2c b a dx x f f f a c bx ax x f -=='=-≠++=⎰
探究4 求分段函数的定积分
例4计算下列定积分
变式4求dx x x )2332(3
3-++⎰-
课堂小结：这节课学到了什么？各小组表现如何？ 课后作业。
陕西省澄城县寺前中学高二数学《微积分基本定理(1)》导学案
要想灵活运用微积分基本定理求定积分，就要对求导公式非常熟悉，进而能逆用求导公式求原函数。
★知识点归纳
1．如果 是区间 上的连续函数，并且 ，
那么 __________
2．完成积分表：
被积函数
的一个原函数
例1计算下列定积分：
（1） （2）
（3） （4）
合作探究
备注
求下列定积分：
；
当堂检测
备注
求下列定积分：（1） ；（2）
培养学生联系前后知识的连贯性
重点
难点
重点：对正向求导公式熟悉掌握，并会逆向运用它们求一些简单函数的原函数。
难点：逆向运用求导公式求原函数。
教学方法
讲授法，启发法
学生
自学
反馈
教学过程
新知导学
备注
★学法指导
在学习了上两节定积分的概念之后，我们会发现，用定积分的定义求值，往往比较复杂，特别是在求和和取极限两个步骤中。而用积分的几何意义求定积分的值有很大的局限性。因此有没有一种运算不需要经过这些复杂的过程，直接求得定积分的值就成了亟待解决的问题。本节我们可以通过实例：路程关于时间的函数的导数为速度关于时间的函数，而运用积分定义又发现，积分正好使之“逆向返回”，从而引出微积分基本定理——牛顿—莱布尼茨公式。它揭示了导数与积分间的关系。解决了我们求定积分计算上的难题，这就是牛顿—莱布尼茨公式的魅力所在。
拓展提升பைடு நூலகம்
备注
求下列定积分：（1）
（2）．计算 等于（）
. . . .
作业布置
备注
课本P85 A组第6题（1）（3）（4）
教（学）后反思
寺前中学高二数学教（学）案
年级：高二编写人审核人：编制时间：2013.4
高中数学《微积分基本定理》导学案
1．微积分基本定理(1)定理内容如果f(x)是区间[a，b]上的□01连续函数，并且F′(x)＝□02f(x)，那么⎠⎛ab f(x)d x ＝□03F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做□04牛顿－莱布尼茨公式．(2)定理的符号表示⎠⎛ab f(x)d x＝F(x)|b a＝□05F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则⎠⎛ab f(x)d x＝□06S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则⎠⎛ab f(x)d x＝□07－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则⎠⎛ab f(x)d x＝□08S上－S下．若S上＝S下，则⎠⎛ab f(x)d x＝□090.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．()答案(1)√(2)√(3)√答案(1)0(2)2(3)2拓展提升求简单的定积分要注意的两点(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[条件探究] 将本例中的2改为a ，求⎠⎛－43|x ＋a |d x .拓展提升求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式：(1)对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；(2)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．【跟踪训练2】 求定积分⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫|x －2|＋1x 2d x .拓展提升微积分基本定理，实际上给出了导数和定积分之间的内在联系，在求解含有参数的定积分问题时，往往要与其他知识联系起来，综合解决．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．答案(1)1(2)3 31.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积都是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和．在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.答案 A解析设f(x)＝ax＋b，代入可得a＝4，b＝3.2．定积分⎠⎛1(2x＋e x)d x的值为()A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1答案C解析⎠⎛1(2x＋e x)d x＝(x2＋e x)|10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e.3．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若⎠⎜⎛-11f(x)d x＝2f(a)成立，则a＝________.答案－1或13解析由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，所以⎠⎜⎛-11f(x)d x＝F(1)－F(－1)＝4，所以2f(a)＝4，所以f(a)＝2，即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或13.4．已知f(x)为一次函数，且f(x)＝x＋2⎠⎛1f(t)d t，则f(x)＝________.答案x－1解析设f(x)＝kx＋m(k≠0)，则⎠⎛1f(t)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫12kt2＋mt10＝12k＋m，∴kx ＋m ＝x ＋k ＋2m ，∴k ＝1且m ＝k ＋2m ，∴m ＝－1.即f (x )＝x －1.5．已知f (x )＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．解 由f (－1)＝2得a －b ＋c ＝2，① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋b x ＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12b x 2＋c x |10 ＝13a ＋12b ＋c ，所以13a ＋12b ＋c ＝－2，③由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.A 级：基础巩固练一、选择题1．若函数f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x ＝( )A.56B.12C.23D.16 答案 A解析 因为f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2|21＝56.2．若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1x d x ＝(x 2＋ln x )a 1＝(a 2＋ln a )－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，a >1，a ＝2，所以a ＝2.3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2(0≤x <1)，2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 答案 C解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ，所以⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.答案 D答案 A答案 B二、填空题7．若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则⎠⎛03f (x )d x ＝________.答案 －18解析 ∵f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3.∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝－4.∴f (x )＝x 2－8x ＋3，∴⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛03(x 2－8x ＋3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x 2＋3x |30＝－18. 8．计算定积分⎠⎜⎛-11(x 2＋sin x )d x ＝________.答案 23解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cosx ′＝x 2＋sin x ，所以⎠⎜⎛-11 (x 2＋sin x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cosx |1－1＝23.9．定积分⎠⎛01x1＋x 2d x 的值为______． 答案 12ln 2解析 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ln (1＋x 2)′＝x 1＋x 2，所以⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝12 ln (1＋x 2)|10＝12 ln 2.B 级：能力提升练11．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2|10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.12．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ∈[－2，2)，1＋x 2，x ∈(2，4]，求使⎠⎛k 3f (x )d x ＝403恒成立的k 的值． 解 由题意得k<3. (1)当k ∈(2,3)时， ⎠⎛k3f (x )d x ＝⎠⎛k3(1＋x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 3|3k＝3＋13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋13k 3＝403，整理得k 3＋3k ＋4＝0，即k 3＋k 2－k 2＋3k ＋4＝0， 所以(k ＋1)(k 2－k ＋4)＝0，所以k ＝－1. 而k ∈(2,3)，所以k ＝－1舍去． (2)当k ∈[－2,2]时，⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k 2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝(x 2＋x )2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 332 ＝(22＋2)－(k 2＋k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋13×23＝403－(k 2＋k )＝403， 所以k 2＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝－1. 综上所述，k ＝0或k ＝－1.。
郑011 1.6微积分基本定理导学案2013-14高二下数学2-2
f′(3x)dx＝(
a
A．f(b)－f(a)
课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;
C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬
答案
题型一：用微积分基本定理求简单函数的定积分 1、
C．－cosx 4.答案 A 解析 F(x)＝
D．－sinx
x
costdt＝sint
0
6
x ＝sinx－sin0＝sinx. 0
(2x－4)dx＝16－4＝12.
0
所以 F′(x)＝cosx，故应选 A. ) B．f(3b)－f(3a) D．3[f(3b)－f(3a)]
b
f′(3x)dx＝(
a
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬 课题 学习 目标 重点 难点 §1.6 微积分基本定理 课时 1 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），了解牛 顿-莱布尼兹公式 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的 关系），直观了解微积分基本定理的含义 学习流程 [知识链接]： （1）定义表达式：
sin xdx的几何意义？
③当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取____值， 且等于_______________面积；
问题 3：① 求 ②
2
0
sin xdx ______________ .
2
0
sin xdx的几何意义？
3 1 2. （ - 2 sin 0
③当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲 边梯形面积时，定积分的值为_____ ，且等于_________________ _______________________面积．
陕西省澄城县寺前中学高二数学《第二节 微积分基本定理》导学案
求下列定积分：
（1） （2）
（3） （4）
注明知识要求：A“识记类”
B“理解类”
C“应用类”
D“能力提升类”
合作探究
备注
求下列定积分
1.
2.求定积分：（1） ；（2） 。
寺前中学高二数学教（学）案
年级：高二编写人：审核人：编制时间：2013.4
课题
班级
高二
授课（完成）时间
2课时
教师（学生）
教
学
目
标
知识与技能
1．理解并记住牛顿—莱布尼茨公式，即微积分基本定理；2．会用求导公式和导数运算法则，反方向求使 的 （即 的原函数），并运用牛顿—莱布尼茨公式求 的定积分。
过程与方法
理解导数与积分计算的互逆关系，认识和体会微积分基本定理的重要意义和作用
情感态度与价值观
微积分基本定理使得导数和积分得到统一，使得微积分作为一个整体成为研究物体运动变化的最有力工具，使学生感悟数学在解决实际问题中的价值
重点
难点
重点：利用微积分基本定理求定积分
难点：逆向运用求导公式求原函数
教学方法
探析归纳，讲练结合
分析：对含有绝对值的被积函数，要去掉绝对值符号变为分段函数再积分；
对分段函数的积分，会依据定积分“对区间的可加性”分段积分，再求和；
当堂检测
备注
1．设 ，则积分 的值等于（）
. . . .
2．若 为偶函数且 ，则 等于（）
. . . .
3．求以下定积分：
（1） ；（2）
《1.6微积分基本定理(1)》导学案(新部编)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.6微积分基本定理（1）》导学案学法指导积极听讲，认真练习●为必背知识教学目标知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分.过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法.情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力.教学重难点重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.难点 了解微积分基本定理的含义.教学过程回顾：●1，⎰b a dx x f )(= . ●2，⎰b a dx x f )(的几何意义是什么？●3.定积分性质：常数与积分的关系：○1=⎰b a dx x kf )( . 和差的积分( 推广到有限个也成立)：○2=±⎰b a dx x f x f )]()([21 . 区间和的积分等于各段积分和 ：○3=⎰ba dx x f )( .引入新课：下面我们探讨变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系.设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t)，速度为v(t)(()v t o ≥)，则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 .另一方面，这段路程还可以通过位置函数S(t)在12[,]T T 上的增量 来表达，即 而()()S t v t '=.经过证明可以得到：● 微积分基本定理：一般地， ，并且 ，那么 ，这个结论叫做 ，又叫 .为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 . 微积分基本定理表明，计算定积分=⎰ba dx x f )(的关键是 .我们就用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁.通常，我们可以运用 ，求出F(x ).例题1：计算120x dx ⎰讨论展示1，计算下列定积分： (1)211dx x ⎰； (2)3211(2)x dx x -⎰2．计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.并说明其几何意义.书面作业：课本55页练习。
高二数学导学案 定积分与微积分基本定理
导学案 定积分与微积分基本定理学习目标：1、通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；2、了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分；3、理解掌握定积分的几何意义和性质；4、了解微积分基本定理的含义，会用微积分基本定理求定积分．重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义、微积分基本定理． 难点：定积分的概念、定积分的几何意义、用微积分基本定理求定积分．预习内容：1、求曲边梯形的面积．如上图，求由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S ．解：（1）分割，在区间[01]，上等间隔地插入1n -个点，将区间[01]，等分成n1[0]n ，，12[]n n ，，⋅⋅⋅，1[1]n n-，，记第i 个区间为1[](12)i ii n n n-=，，，，，其长度为11i i x n n n-∆=-=，分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，⋅⋅⋅，n S ∆，显然，1ni i S S ==∆∑.（2）近似代替，记2()f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1[]i in n -， 上，可以认为函数2()f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n -处的函数值1()i f n-，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1[]i in n-，上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内 “以直代曲”，则有221111()()()(12)i i i i i S S f x x i n n n n n---'∆≈∆=∆=∆==⋅⋅⋅，，， （3）求和，由①，上图中阴影部分的面积2111111()()nnnn i i i i i i S S f x n n n ===--'=∆=∆==∑∑∑== = ，从而得到S 的近似值n S S ≈= .（4）取极限，分别将区间[01]，等分8，16，20，⋅⋅⋅等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即0x ∆→时，111(1)(1)32n S n n=--趋向于S ， 从而有1111111lim lim()lim (1)(1)323nn n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-==⋅=--=∑. 知识要点1、定积分：设()f x 定义在区间[]a b ，上，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=，区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间1[]i i x x -，上取一点(12,)i i n ξ=⋅⋅⋅，，，，作和式：11()()nni i i i b af x f n ξξ==-∆=∑∑，当n →+∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[]a b ，上的定积分，记为：()baf x dx ⎰， 即()baf x dx ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑，其中函数()f x 叫做 ，b 叫积分 ，a 叫积分 ，()f x dx 叫 ，1中的例题可用积分式 表示.2、函数()f x 在区间[]a b ，上连续且满足()0f x ≥，则由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x = 所围成的曲边梯形的面积用定积分表示为：S = .3、函数()f x ，()g x 在区间[]a b ，上连续且满足()()f x g x ≥，则由直线x a =，x b =和曲线()y f x =，()y g x =所围成的曲边梯形的面积用定积分表示为：S = .4、求()y f x =，()y g x =所围成的曲边梯形的面积的步骤： .5、定积分的性质：性质1 、⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （0k ≠）（定积分的线性性质）； 性质2 、1212[()()]()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）； 性质3 、()()()()b c baacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中 （定积分对积分区间的可加性）.6、原函数、函数()f x 是函数()F x 的导函数，即对任意x I ∈有'()()F x f x =，则称 是()f x 在I 上的一个原函数.7、微积分基本定理：如果 ，且()f x 在[]a b ，上可积，则()baf x dx =⎰= .预习检测：1、定积分⎰bacdx （常数0c >）的几何意义是 .2、由sin y x =，0x =，2x π=，0y =所围成图形的面积写成定积分的形式是 .3、定积分⎰badx x f )(的大小（ ）.A 、与)(x f 和积分区间[]a b ，有关，与i ξ的取法无关B 、与)(x f 有关，与区间[]a b ，及i ξ的取法无关C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]a b ，无关D 、与)(x f 、区间[]a b ，和i ξ的取法都有关 4、下列等式或不等式成立的个数是（ ）. ①⎰⎰=101)()(dx x f dt t f ；②dx x dx x xdx ⎰⎰⎰=+ππππ0220sin sin sin ；③dx x dx x aa a ⎰⎰=-02 ；④11dx <⎰⎰ A 、1 B 、2 C 、3 D 、45、利用定积分的几何意义求解下列定积分. （1）21(1)x dx +⎰； （2）22||x dx -⎰；（3）a-⎰（0a >）； （4）4()f x dx ⎰ ，其中01()113434x x f x x x x ≤<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩，，，.典型例题例1、（1）求sin y x =在[0]π，上的阴影的面积S ；（2）求2sin xdx ππ⎰；20sin xdx π⎰．例2、计算：（1）41⎰； （2）22(1)x dx +⎰； （3）211dx x ⎰； （4）2211dx x ⎰．例3、求由曲线y =与直线4x =，0y =所围成的曲边梯形的面积S ．例4、求由曲线2y x =，2y x =所围图形的面积S ．课堂练习：1、计算下列定积分（1）215dx -⎰； （2）032x dx -⎰； （3）0⎰； （4）91⎰； （5）311dx x ⎰；（6）11edx x --⎰； （7）102x dx ⎰； （8）10xe dx ⎰； （9）2sin xdx ππ⎰； （10）26cos xdx ππ⎰.2、计算下列定积分： （1）3(1)(3)t t dt -+⎰； （2）220(2)x x dx -⎰；（3）2cos2d πθθ⎰； （4）2121()x x dx -+⎰．3、由直线3x π=-，3x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为 .4、由曲线2y x =，3y x =围成的封闭图形面积为 .。
《1.6微积分基本定理(2)》导学案(新部编)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
《1.6微积分基本定理（2）》导学案
【学法指导】
认真练习，清晰展示，积极质疑●为必背知识
【教学目标】
会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分.
【教学重点】
正确运用基本定理计算简单的定积分.
【教学难点】
熟练应用微积分基本定理的含义 .
一.知识回顾:
●定积分性质:常数与积分的关系:○1=⎰b
a dx x kf )( .
和差的积分( 推广到有限个也成立):○2
=±⎰b a dx x f x f )]()([21 . 区间和的积分等于各段积分和 :○3=⎰b
a dx x f )( .
● 微积分基本定理:一般地， ，并且 ，那么 ，这个结论叫做 ，又叫 .
为了方便起见，还常用()|b
a F x 表示()()F
b F a -，即 . ●常见基本函数的导数公式，求导法则，复合函数导数法则.(见课本)
二.讨论展示1，计算下列定积分: ⎰⎰⎰+----32220222)1()3(32)2()4)(24()1(dx x
x dx x x x dx x x １
2.计算下列定积分:
⎰⎰-461022cos )2()1(π
πxdx dx e x
(3)⎰31x dx 2。
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微积分基本定理导学案
【学习要求】
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
【学法指导】
微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法.
【知识要点】
1．微积分基本定理：如果f(x)在区间[a，b]上可积，并且_________，那么ʃb a f(x)d x ＝．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
（1）当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝．
（2）当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝_______．
（3）当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝，若S上＝S下，则ʃb a f(x)d x＝.
【问题探究】
探究点一微积分基本定理
问题1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？
问题2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)?
例1计算下列定积分：
（1）ʃ211x d x ； （2）ʃ31(2x －1x
2)d x ； （3）ʃ0－π(cos x －e x )d x .
跟踪训练1 计算下列定积分：
（1）ʃ1025x 4d x ； （2）ʃ31(x ＋1x
)26x d x .
探究点二 分段函数的定积分
例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.
先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
跟踪训练2 （1）设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，
求ʃ1－1f (x )d x ； （2）求ʃa －a x 2d x (a >0)．
探究点三 定积分的应用
例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0
sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．
跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54
π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．
【当堂检测】
1． (1＋cos x )d x 等于 ( ) A ．π B ．2 C ．π－2
D ．π＋2 2．若ʃa 1(2x ＋1x
)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是 ( ) A ．5 B ．4
C ．3
D ．2 3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝_______ 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧ 4x －2π，0≤x ≤π2，
cos x ，π2
<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .
【课堂小结】 ⎰-2π
2π
1．求定积分的一些常用技巧
（1）对被积函数，要先化简，再求积分．
（2）若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
【教学反思】。