薛定谔方程-1
薛定谔公式方程
薛定谔公式方程
薛定谔公式是量子力学中的一条重要方程，描述了微观粒子的波动性质。
它的形式如下：
iħ ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ
其中，ħ代表约化的普朗克常数，i代表虚数单位，∂Ψ/∂t表示波函数Ψ对时间的偏导数，∇²Ψ表示波函数Ψ的拉普拉斯算子，m代表粒子的质量，V表示势能。
这个方程的意义在于描述了微观粒子的量子态随时间的演化规律。
它由两部分组成：动能项-ħ²/2m ∇²Ψ和势能项VΨ。
动能项-ħ²/2m ∇²Ψ描述了微观粒子波函数Ψ的空间变化对其动能的影响。
负号表示了粒子的波函数Ψ在动能项中是负相干的，也就是说波函数Ψ在此区域传播的波动性质。
ħ²/2m表示了波动性和粒子质量之间的关系，质量越大，波动性越小。
势能项VΨ描述了微观粒子波函数Ψ在势场中的行为。
势能项的形式取决于具体的势场，比如自由空间中没有势能项，而在外部场中，势能项可以描述粒子对外部场的响应。
整个方程描述了量子粒子的波函数随时间演化的规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在不同的时间点的波函数分布，从而描绘了粒子在空间中运动的概率分布。
当然，在具体的情况下，薛定谔公式还需要结合边界条件和初
值条件来解决。
这些条件可以通过实验数据或者物理假设来确定，从而得到粒子的具体运动规律。
总的来说，薛定谔公式是量子力学中描述微观粒子波动性质的重要方程。
它描绘了波函数随时间的演变规律，通过求解可以得到粒子在空间中的概率分布。
这对于研究微观粒子的行为有着重要的意义。
量子力学中的薛定谔方程及其求解
量子力学中的薛定谔方程及其求解量子力学是研究微观粒子行为的重要理论，其核心是薛定谔方程。
薛定谔方程描述了量子体系中粒子的波函数以及随时间演化的规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理，并讨论一些常见的求解方法。
一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是波动方程，描述了量子体系中粒子的行为。
它的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = Hψ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ是粒子的波函数，t 是时间，H是哈密顿算符。
薛定谔方程的左边代表了波函数随时间变化的导数，右边代表了粒子在量子力学描述下的总能量。
通过求解这个方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而揭示粒子的行为。
二、薛定谔方程的求解方法求解薛定谔方程是量子力学中的关键问题，涉及到很多数学方法和物理概念。
下面介绍几种常见的求解方法。
1. 一维自由粒子的求解方法对于一维自由粒子，其哈密顿算符可以简化为动能算符，即H = -ħ^2/2m * ∂^2/∂x^2。
将这个算符代入薛定谔方程，可以得到一维自由粒子的薛定谔方程为：iħ∂ψ/∂t = -ħ^2/2m * ∂^2ψ/∂x^2这是一个简单的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。
假设波函数可以分解为时间部分和空间部分的乘积，即ψ(x, t) = φ(x) * χ(t)，代入薛定谔方程后可以分离变量，得到两个独立的常微分方程。
分别求解这两个方程，再将它们的解合并，即可得到一维自由粒子的波函数。
2. 一维势阱的求解方法一维势阱是限制粒子运动在有限空间内的一种势场。
在势阱中，波函数的形式将受到势场的影响。
求解一维势阱的薛定谔方程需要考虑势场对波函数的贡献。
对于势阱中的波函数，只有在势阱内部才能存在。
在势阱内部，薛定谔方程的形式与自由粒子类似，但是边界条件会影响波函数的形式。
边界条件一般为波函数在势阱边界处连续且导数连续。
通过求解这个边界问题，可以得到一维势阱中的波函数。
3. 二维和三维量子体系的求解方法对于二维和三维的量子体系，薛定谔方程将变为偏微分方程。
薛定谔方程的含义和求解方法
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
第五章 薛定谔方程数值解法-1
D1
由此解得 C1 和 D1 为
1 r2W (W ) C1 e ( W ) 2 r2 1 r2W (W ) D1 e ( W ) 2 r2
(5.1.16)
由上面过程可见，C 0和D 0的值完全确定了 A1，B1，C1和D1的值，结果完全确定了波 函数。一般情况下C1的值不一定为零。为了 满足 时， ( x) 为零，必须要 求C1=0。这就对E的取值进行了限制，不能 取任意值，只能取某些确定值，才能保证 C1=0的要求。
(5.1.3) (5.1.4)
其中E为波函数的本征值。
由(5.1.3)式，直接可得
f (t ) ce
iEt /
其中c为任意常数。粒子的波函数 可表示成
( x,
(5.1.5)
这就是定态波函数，其中常数c已经包括在 ( x) 中。
几率密度为
(5.2.2)
如果考虑原子的外层电子运动，这时内层电子的 作用可近似考虑成电子云，它的密度为 (r ) ，这 时的势能由两部分组成，即
Ze (r ) U (r ) r r
2
(5.2.3)
第一项是核子的贡献，Z 为带正电的核子数，第 二项为电子云的贡献。以上三种情况都属于辏力 场的情况。
(0) r2 C0 r2 (0) r1 A1
可解得
r2 A1 r 1
(5.1.13)
同理，利用在势阱的另一边 X W 处，波函数 和它的一次导数都连续，得到
r2 (W ) sin Wr1 cos Wr1 r1
(5.1.14-1) (5.1.14-2)
(W ) C1e
量子力学中模的平方=-1
量子力学中模的平方=-1
摘要：
1.引言：介绍模的平方等于-1 的概念
2.模的平方的定义和性质
3.量子力学中的模的平方
4.模的平方等于-1 的实际应用
5.总结：模的平方等于-1 的重要性
正文：
【引言】
在量子力学中，模的平方等于-1 是一个重要的概念。
模是复数的绝对值，而平方则是一个数的二次方。
当这两个操作结合起来，我们得到了一个非常奇特的结果：模的平方等于-1。
【模的平方的定义和性质】
模的平方定义为|a|，其中|a|表示复数a 的绝对值。
这是一个非负数，它的平方根是|a|。
然而，当a 是纯虚数时，即a=bi（b 为实数，i 为虚数单位），模的平方就等于-1。
这是因为，对于纯虚数，其实部为0，虚部为非零实数，所以其绝对值等于非零实数的绝对值，即1。
因此，模的平方等于-1。
【量子力学中的模的平方】
在量子力学中，模的平方等于-1 在薛定谔方程中起着重要的作用。
薛定谔方程是描述量子力学中物体状态演化的基本方程，其中的波函数满足模的平方等于-1 的条件。
这个条件保证了量子力学中的波函数是复数，且其模长等
于1。
【模的平方等于-1 的实际应用】
模的平方等于-1 在量子力学中有广泛的应用。
它保证了量子力学中的波函数是复数，并且其模长等于1。
这个条件是描述量子力学中物体状态的基本条件，对于我们理解量子力学中的现象有着重要的作用。
【总结】
模的平方等于-1 是一个奇特的概念，但在量子力学中起着重要的作用。
薛定谔方程一般表达式
薛定谔方程一般表达式
一、薛定谔方程的定义与意义
薛定谔方程（Schrdinger Equation）是量子力学中描述粒子波函数随时间演化的基本方程。
由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1926年提出，标志着量子力学体系的建立。
薛定谔方程的提出，使得量子力学的研究从定性走向了定量，具有重要的理论意义。
二、薛定谔方程的一般表达式
薛定谔方程的一般表达式为：
i(Ψ/t)= HΨ
其中，i 是虚数单位，是约化普朗克常数，Ψ 是波函数，H 是哈密顿算子。
这个方程描述了粒子在势能场中的运动规律，是量子力学研究的基础。
三、薛定谔方程在量子力学中的应用
薛定谔方程在量子力学中有着广泛的应用，如：
1.求解粒子在有限势能阱中的能级和态。
2.描述粒子在势能场中的干涉现象。
3.解释原子光谱的线形和分裂。
4.描述分子轨道和化学键的形成。
四、薛定谔方程的拓展与改进
随着科学技术的发展，薛定谔方程不断地被拓展和改进，以适应更复杂物理体系的研究。
一些重要的拓展包括：
1.相对论性薛定谔方程：为了解释高速运动粒子的性质，将相对论效应纳
入薛定谔方程。
2.含时薛定谔方程：在一般薛定谔方程的基础上，引入含时势能项，用于描述粒子在时间演化过程中的性质。
3.多粒子薛定谔方程：将薛定谔方程扩展到多粒子体系，用于研究粒子间的相互作用和关联。
总之，薛定谔方程作为量子力学的基本方程，在理论研究和实际应用中具有重要意义。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
量子力学中的薛定谔方程
量子力学中的薛定谔方程量子力学是研究微观世界的一门物理学科，它的理论基础就是薛定谔方程。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，是量子力学的核心方程之一。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念、数学表达及其在量子力学中的重要意义。
一、薛定谔方程的基本概念薛定谔方程描述的是微观粒子的运动状态和行为规律。
它是在三维空间中描述波函数（ψ）随时间演化的偏微分方程。
薛定谔方程的形式可以如下所示：Ĥψ = Eψ，其中，Ĥ是哈密顿算符，ψ是波函数，E是对应的能量本征值。
薛定谔方程中的哈密顿算符代表了粒子的总能量运算符。
它的形式为：Ĥ = -（h²/2m）∇² + V(x)，其中，h是普朗克常量，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V(x)是粒子所受势场的势能函数。
二、薛定谔方程的数学表达薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要使用数学上的一些工具和方法。
我们先来看一维情况下的薛定谔方程：-（h²/2m）d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，x代表粒子的位置坐标。
要得到波函数ψ(x)的解，可以采用变分法、数值计算或者一些特殊情况下的解析求解方法。
对于多维情况，如三维空间中的薛定谔方程，形式如下：-（h²/2m）∇²ψ(x, y, z) + V(x, y, z)ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)。
解一维薛定谔方程可以得到单粒子的波函数，而解三维薛定谔方程则可以得到多粒子的复合波函数。
三、薛定谔方程的重要意义薛定谔方程是量子力学的基石，它揭示了微观粒子的波粒二象性和不确定性原理。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数，从而计算出粒子的能级、概率密度分布和运动轨迹等物理量。
薛定谔方程还能描述量子力学中的一些奇特现象，例如原子和分子的能级结构、粒子在势阱中的驻波现象、量子隧穿效应等。
薛定谔方程是啥
薛定谔方程是啥薛定谔方程（Schrodinger Equation）是量子力学的基本方程之一，描述了微观粒子的行为。
它是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的，并成为量子力学的基石之一。
薛定谔方程的导出薛定谔方程的导出源自对电子行为的研究。
在量子力学中，电子被视为波粒二象性的粒子。
为了描述电子的运动状态，薛定谔引入了波函数（Wave Function）的概念，将电子的运动状态与波函数建立了联系。
假设一个电子所处的状态可以由一个波函数Ψ(x, t)来描述，其中x表示位置，t表示时间。
根据量子力学的基本原理，波函数Ψ应满足薛定谔方程。
薛定谔方程的标准形式如下：$$ i\\hbar\\frac{{\\partial}}{{\\partial t}}\\Psi(x, t) = \\left(-\\frac{{\\hbar^2}}{{2m}}\\frac{{\\partial^2}}{{\\partial x^2}} + V(x,t)\\right)\\Psi(x, t) $$其中，i代表虚数单位，ħ代表约化普朗克常数，m代表电子的质量，V(x, t)代表电子所受到的势能。
薛定谔方程的物理意义薛定谔方程描述了波函数随时间演化的行为，它是量子力学中的基本方程之一，提供了了解粒子行为和性质的框架。
薛定谔方程的左边代表了波函数随时间的变化速率，右边代表了波函数在空间中的变化情况。
薛定谔方程描述的是波函数随时间和空间的变化规律，从中可以推导出粒子的能量、位置和动量等物理量的概率分布。
这使得薛定谔方程成为预测粒子行为的重要工具。
波函数Ψ的模的平方（|Ψ|²）表示某一时刻粒子出现在空间中的概率密度分布。
根据薛定谔方程，粒子的能量和位置等性质是用波函数的特定解来描述的。
薛定谔方程的应用薛定谔方程在研究微观世界中的粒子行为方面有着重要应用。
薛定谔方程被广泛应用于量子力学中的各个领域，如原子物理学、凝聚态物理学、粒子物理学等。
薛定谔方程表达式
薛定谔方程表达式薛定谔方程（Schrödinger equation）是一种经典的方程，用于描述粒子的波动性。
它是量子力学在研究量子系统中的基础方程式。
薛定谔方程由詹姆斯·薛定谔在1925年第一次提出，并用于量子力学建模和解决，并被用于许多不同领域，如原子物理学和材料科学。
一、定义薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来描述粒子的波动性和量子力学，也用于原子物理学和材料科学等领域建模。
它可以用来描述量子现象的基础力学行为。
它的表达式是：$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat{H}\psi(x,t)$$其中$\psi$是粒子的函数，$\hat{H}$是粒子的Hamilto算符，$t$表示时间，$i$表示虚数单位，$\hbar$是由物理常数Planck的常数除以2$\pi$所得的单位。
二、特点薛定谔方程具有以下特点：（1）数学严谨性：薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来准确描述粒子波动性；（2）应用广泛性：薛定谔方程不仅可以用于量子力学建立模型和解决问题，同时还可以应用到原子物理学、材料科学等领域；（3）简洁性：薛定谔方程只需要一个数学表达式，却可以描述量子力学中基本的力学行为；（4）学习方便性：薛定谔方程可以利用之前学过的代数知识去理解，不需要特别复杂的数学知识即可学习。
三、应用薛定谔方程被用于原子物理学，材料科学，电子学，化学物理，高分子物理，量子生物物理，量子信息等多个领域中。
（1）量子力学：薛定谔方程可以用来描述系统的粒子波动性和量子效应，它描述了受物理量子系统的特定粒子的波动动力；（2）原子物理：薛定谔方程用于描述原子核的结构，它能够提供一个准确的模型来表达原子核的特征；（3）材料科学：薛定谔方程可以用于描述晶体中原子分子之间的相互作用，它也可以用来识别晶体材料的特性；（4）电子学：薛定谔方程可以用来解释物理和化学特性，它还能够用于模拟终端器件，从而可以提高终端设备的效能。
大学物理：量子物理第二章 波函数和薛定谔方程-1
量子力学
粒子状态的 坐标（位置） 基本描述 动量（运动速度） --都是确定量
粒子具有波粒二象性，不可 能同时具有确定的坐标和动 量，坐标和动量都是以一定 的几率出现。用波函数描写 体粒子的量子状态。
其它量
其它物理量如能量等都 所有其它量都是以一定几率
是坐标和动量的函数-- 出现--用波函数描写体粒子
电子在底片上各位置出现的几率不是常数，出现的几率大， 即出现干涉图样中的“亮条纹”；有些地方电子出现的几率 为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。在电子双缝干涉实 验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布。 玻恩对波函数物理意义的解释：波函数在空间某一点的 强度和在该点找到粒子的几率成正比。
8
E p2 2m
自由粒子波函数：
(x,
t
t)
i
E
( x, t )
E (x,t) i (x,t)
t
x
i
p
2
x 2
p2 2
p2
2 2
x2
2 2
i t 2m x2
3
一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
2
x 2
三维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
(
2
x2
2
y 2
都是确定量
的量子状态。
11
例如在量子力学中力学量表示为：
对于一维粒子出现在x坐标的平均值为
x x | (x) |2 dx *(x) x (x)dx
相应的涨落偏差
结论：经典力学能够表示粒子确定的位置和动量，但是量子力
学中的波函数只能给出粒子位置的平均值x 及其偏差(x)2 。 12
量子物理学09-薛定谔方程20210227(1)
( )= − ⋅ψ ⎣ 薛定谔方程（Schrödinger Equation）在量子力学中的地位，就像牛顿三定律之于经典力学、麦克斯韦方程组之于电磁学一样，是最基本的方程。
一、薛定谔方程的建立考虑一个仅在 x 轴运动的自由粒子，其波函数为i (p ⋅x −E ⋅t )ψ(x ,t )=ψ0 ⋅e ℏx将波函数对时间 t 进行微分，得∂ψ(x ,t ) = − iE ⋅ψ(x ,t ) ∂t ℏ定义Eˆ ≡ i ℏ ∂ ∂tE ⋅ψ(x ,t )= i ℏ ∂ψ(x ,t ) ∂t 为能量算符。
同理，将波函数对位置 x 进行微分，得 ∂ψ(x ,t ) = ip ⋅ψ(x ,t ) ∂x ℏ x定义 p ˆ≡ −i ℏ ∂为动量算符。
p ⋅ψ(x ,t )= −i ℏ ∂ψ(x ,t ) x∂xx∂xp2根据狭义相对论，自由粒子的能量和动量的关系为E = x ，将其代入波函数对位置 x 的2m二阶微分表达式 ∂2ψ(x ,t ) ∂x 2p 2 xx ,t ，得 ℏ2− ℏ ⋅ ∂2ψ(x ,t ) =⋅ψ( )即自由粒子的薛定谔方程2m ∂x 2 E x ,t i ℏ ∂ ψ(x ,t )= − ℏ ⋅ ∂ 2ψ(x ,t ) ∂t 2m ∂x 2把自由粒子运动算符推广到非自由粒子运动，粒子所处的势场为U (x ,t )，粒子的能量为 = p2+ ( )E x2m U x ,t ，则薛定谔方程变为 ∂ψ(x ,t ) = ⋅ψ( ) ⎡ℏ2⋅ ∂2 +( )⎤( )i ℏ ∂tˆℏ2 ∂2E x ,t = ⎢− 2m ∂x 2 U x ,t ⎥ψx ,t ⎦令H = −2m ⋅ ∂x 2+U (x ,t )，称为哈密顿算符（Hamilton Operator ），则 i ℏ ∂ ψ(x ,t )= H ˆψ(x ,t ) ∂t称为含时薛定谔方程。
�推广到三维势场U (r ,t )中，2m ⎜ ∂ 2x ∂ 2 ⎟z r ,t rr r r ⎧ 2 ∂p 2 + p 2 + p 2 �E = x y z+U (r ,t )2m ˆℏ2 ⎛ ∂2 ∂2∂2 ⎞ � H = − ⎜ ⎝ 在矢量分析中，Nabla 算符为+ ∂y 2 + ⎟ +U (r ,t ) ⎠∇ =∂ �∂ �∂ �代入哈密顿算符，得∂x a x + ∂y a y + ∂z a zH ˆ = − ℏ ∇2 +U (� )薛定谔方程的形式仍保持不变，为 2m i ℏ ∂ ψ(�)= Hˆψ(� ) ∂tr ,tr ,t 需要注意的是，薛定谔方程不是推导出来的，而是依据实验事实和基本假定“建立”的， 是否正确则由实验结果检验。
第二章薛定谔方程1
第二章薛定谔方程19世纪理论科学的巅峰状态以及其中隐含的危机以物理学最为典型。
普朗克（德国）Max Plank, 1858~1947老师：“年轻人，物理学是一门已经完成了的科学，不会再有多大的发展了，将一生献给这门学科，太可惜了。
”乐观的世纪末There is nothing new tobe discovered in physicsnow. All that remains ismore and more precisemeasurement.1900开尔文（英国）Lord William ThomsonKelvin, 1824~1907然而，开尔文不愧为杰出的物理学家，它同时指出明朗的天空中还有两朵乌云，一朵与黑体辐射碰到的困难有关，另一朵与“以太”理论碰到的困难有关。
实际上物理学中大量的新现象与已成完美体系的古典理论之间的矛盾日渐突出，酿成了深刻的危机。
正是这两朵乌云的到来引起了世纪之交的一场物理学革命，在这场革命中诞生了相对论和量子力学。
§2-1 光的波粒二象性一、黑体辐射黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔中的电磁辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态: 处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布的实验曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
1.辐射强度随波长变化的规律图1.辐射强度随波长变化的规律图1100K 0 1 2 3 4 5 6(μm)1700K 1500K 1300K()B λρT λ1100K 0 1 2 3 4 5 6(μm)1700K 1500K 1300K()B λρT λ19世纪末，由于冶金等各方面的需求，人们急于知道辐射强度与光波长之间的函数关系。
单靠实验逐一找对应点的方法，犹如钝刀子割肉。
薛定谔方程的基本解读
薛定谔方程的基本解读薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，描述了微观粒子的行为。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，是量子力学的重要里程碑。
本文将对薛定谔方程进行基本解读，介绍其数学形式、物理意义以及应用领域。
薛定谔方程的数学形式是一个偏微分方程，通常用Ψ表示波函数，可以写成如下形式：iħ∂Ψ/∂t = -ħ^2/2m∇^2Ψ + VΨ其中，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数，t为时间，m为粒子的质量，∇^2为拉普拉斯算子，V为势能。
这个方程描述了波函数Ψ随时间演化的规律。
薛定谔方程的物理意义在于，它描述了微观粒子的波粒二象性。
根据波粒二象性理论，微观粒子既可以表现出粒子的特性，如位置和动量，又可以表现出波的特性，如干涉和衍射。
波函数Ψ描述了粒子的状态，它的模平方|Ψ|^2表示了在某个位置找到粒子的概率。
薛定谔方程的解可以分为定态解和非定态解。
定态解对应于粒子的能量本征态，可以用一个复数函数表示。
非定态解则描述了粒子的时间演化，需要用到波包的概念。
波包是一种局域化的波函数，可以看作是许多不同频率的波叠加而成。
它在空间上具有有限的范围，可以用高斯函数表示。
波包的形状和演化受到薛定谔方程的影响，可以通过数值计算得到。
薛定谔方程的应用领域非常广泛。
在原子物理中，薛定谔方程被用来解释原子的能级结构和光谱现象。
在凝聚态物理中，薛定谔方程被用来研究晶体中的电子行为，如导电性和磁性。
在量子力学的基础研究中，薛定谔方程是研究量子纠缠和量子计算的基础。
除了基础研究，薛定谔方程还有许多实际应用。
在材料科学中，薛定谔方程可以用来模拟材料的电子结构和性质，为新材料的设计和开发提供理论指导。
在化学领域，薛定谔方程被用来研究分子的结构和反应动力学。
在生物物理学中，薛定谔方程被用来研究生物大分子的结构和功能。
总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程，描述了微观粒子的波粒二象性。
它的数学形式简洁而优美，物理意义深远。
薛定谔方程在各个领域都有重要的应用，为我们深入理解微观世界提供了强大的工具。
薛定谔方程
h 粒子的动量 pn n 2a n
2a n n
n 1, 2, 3, . . .
h
2 a
o
a
p h 2 能量 En n 2m 8ma2
2 n
2
1 2a
12
三. 求解定态薛定谔方程 选择坐标如图 Ⅱ区： U ( x ) 0
U→∞
2
U(x)
U→∞
d ˆ H 2 2m d x ˆ E H
d f (t ) 1 1 ˆ i H ( r ) dt f (t ) (r )
∵对任意函数 f (t) 和 (r ) 成立，
∴方程两端必为相同常量，设为E。
7
写作
d f (t ) 1 1 ˆ i H ( r ) E (常量) dt f (t ) (r ) d f 对应两个 i Ef ① dt 方程：
波动型解
ik1 x
1 ( x) A1e
Ⅱ 区方程
ik1 x
A2e
2
k1
2mE
d 2m( E U0 ) 2 2 d x
Ⅱ区解与 E 的相对大小有关 讨论 E < U0 情况,
k
2 2
k2 ——虚数
令
1 k2 2m( E U 0 ) ir
22
1 r 2m(U 0 E ) ——实数 方程的普遍解：
3. 薛定谔方程关于时间是一阶的。 （解方程只需一个初始条件）
6
三. 定态薛定谔方程 若 U U ( r ) 与 t 无关， 可将 (r , t )分离变量写成
空间波函数
(r , t ) (r ) f (t ) ，
大学物理 第二章 薛定谔方程(1)
pˆ
r
r
____坐标算符
i____动量算符
Eˆ i t Lrp
——称为能量算符 ____角动量算符
i
[
2
2 U(r , t)]
一般的薛定谔方程
t 2m
2 2 2 2 拉普拉斯算符
x 2 y 2 z 2
2
x
2
)
0
E.n
(n
1 )
2
(n 1)h
2
n 0,1,2,3,
“零点能量”
E0
1 2
h
——完全静止的粒子是不存在的！
例2.4
势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2( x)
E( x)
2mE k2
2m dx2
2
d 2( x) k 2( x) 0 dx2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： (x) 0
势阱内（0＜x＜a) ：
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
k 2mE 2
其解为： (x) Asin(kx )
U(x)=0
0
ax
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
(0) (a) 0 Asin 0 0;
Asin ka 0
n 得：( x) Asin a x n ( x)
k n a
n 1,2,3,称为量子数（quantum number）
i Hˆ t
2) 由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理
（量子力学第一原理）
设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一维运动的定态薛定谔方程为
Hˆu(x) Eu(x) 即有， 2 d 2u Vu Eu
2m dx
其中，Hˆ 2 2 V 2m
(1)
由于V(x)在不同区域内有不同的形式，因此必须分区求解:
(1) 解方程求波函数
区域I: a x a , V 0
2
2
(1)式变为，ddx2u2
2mE 2
u
E
i
t
p
i
x
当势场v(x)=0时的
自由粒子的解为：
E
p
2
V (r )
将其与经典关系式
2m
比较，知作了如下的变换：
薛定谔方程是量子力学的基本方程。事实上，可把式 （4）、（5）、（6）视为量子力学的基本假设。
1926薛定谔方程诞生…年轻讲师许克耳的打油诗： “欧文用他的psi，计算起来真灵通； 但psi真正代表什么，没人能够说得清。“
例题 若粒子在[0,d]范围、无限深势阱作一维运动，其状态
由波函数 (x) Asin x (0 x d) 描述。求(1)归一化常
d 数A;(2)概率密度ρ,及最大的几率密度;(3)[0,d/2]之间粒
子出现的概率；(4)x, x2, px , px2;(5)由x
x2
2
x
和
px px2 px 2 , 验证不确定关系xpx / 2 (6)求基态能。
0
0
0
dx
对方程的解进行分析： Asin(kx )
显然
(0) (d )
0 0
0 kx n
,
n
1,2,3
有： k n
d
于是：
由归一化条件：
|Ψ n
(x)
|2dx
1
A
2
d
（注意有效 区域）
归一化波函数：
粒子在势阱中的波函数很象两 端固定弦的驻波波形，波的波 长随能级的增高而缩短。
2 x2
当V(x)=0(常数) (即不存在 作用力)时，式（2）是方程
2 2m
2
x2
V0
i
t
的解且与式 （1）一致。
推广到一般的势场V(x) 即得一维薛定谔方程：
2 2m
2
x2
V (x)
i
t
(3)
将其与经典关系式 E p2 V (x) 比较，知作了如下的变换：2m
将其作用到波函数ψ上即得式（3） 薛定谔方程的一般表达式：
k 2u,
其中k
2mE
设 u ex , 则u 2u, 代入上式，有
2u k 2u ik
所以，uI Aeikx Beikx 或 uI C cos kx Dsin kx
区域II:
x
a, 2
x
a, 2
V
(1)式变为， d 2u dx2
2m 2
(V
E)u
2u,
其中
设 u ex , 则u 2u, 代入上式，有
aa
（5）宇称
若：波函数满足
U (x) U (x) ——偶函数（空间对称性为偶性，
称为具有偶宇称） 若：波函数满足
U (x) U (x) ——奇函数（空间对称性为奇性，
称为具有奇宇称）
注意：宇称不仅是函数的性质，也是函数所代表的物理状态 （量子态）所具有的性质。
例：uI
uI
2 cos n x, n 1,3,5,
/
d
,x
d
/
2, max
2 d
(3)P
d 2
2
sin 2 x dx
d 2
2
1 1 cos
2x dx
1
d
1
0 d d
0 d 2
d d 2 2
(4)x
d 0
2 d
sin
x
d
x
2 d
sin
x
d
dx
d 0
1 d
x
1
cos
2
d
x
dx
d 2
x2
d
0
2 d
sin
x
d
x2
2 d
n , n 1,3,5,
a
n , n 2,4,6,
a
所以，
uI
C cos
n
a
x D sin
n
a
x
n 1,3,5, n 2,4,6,
由波函数的连续性，x a时，I区和II区的波函数应该相等, 即
2
uI
C cos n x D sin n x 0
a
＝CC
0 D (1), (1) D 0,
f
k
e
i
Et
(
x,
y,
z,
t
)
u(
x,
y,
z)e
i
Et
(r , t)
(r
)e
iEt
(9)
由此得到定态薛定谔方程
定态波函数
定态薛定谔方程
解定态薛定谔方程的步骤：首先分区，找出问题中势能 函数的具体形式，建立薛定谔方程并求出其通解，然后 再根据波函数的标准化条件和归一化条件确定常数。
与自由粒子方程比较, 可见这时E就是能量, 称这种状态 为定态。
2
ka
2
n ,
2
m n ,
n 1,3,5, , m 0,1,2, n 0,2,4,
2
所以，有
n , n 1,3,5,
k a n , n 0,2,4, a
即: k n , n 0,1,2,3,4,
a
因为， k
2mE
E
22
2ma2
n2,
n 1,2,3, (n 0时，粒子静止不动)
(x, y, z,t) u(x, y, z) f (t)
代入薛定谔方程的一般形式得：
[ 2 2u Vu] f iu df 1 [ 2 2u Vu] i df
2m
dt u 2m
f dt
可设它们等于一个与时间和坐标都无关的常数E，则有
i f
df dt
E
2
2m
2u
Vu
Eu
解这个微分方程可得：
pz
z
Et
)
e 0
px
i
px
所以，
2
x 2
(
i
px )2
px2 2
同理：
2
y 2
py2 2
2
z 2
pz2 2
相加，有
2 ( x 2
2 y 2
2 z 2
)
p
2
x
p
2 y
2
pz2
p2
2
定义：2
(
2 x 2
2 y 2
2 z 2
)
— 拉普拉斯算符
，
2
p2
2
将（1）式在对时间取一阶偏微商，有
aa
2 sin n x, n 2,4,6,
aa
——偶宇称 ——奇宇称
在一维无限深势阱中运 动的粒子势能函数为：
V
(
x)
0,0 x d , x 0, x
d
势阱内体系满足的薛定谔方程为：
2 d 2
2m dx2
E
0
V( x )
令
k2
2mE 2
则方程为： d
2
dx2
k 2
其解为： Asin(kx )
粒子出现的几率： n=1时，极大值出现在中间； n=2 时 ， 中 间 为 0 ， 两 旁 各 有 一个极值；……
n 很大时，相邻波腹靠得很近， 接近经典力学各处概率相同。
一维无限深方势阱 中粒子的波函数
n+1个节点
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度 对于不同的量子数，粒子在势阱内某一特定点出现的几率是 不同的
2u 2u
所以， uII Aex Bex
当，
x
a 2
时，
UII
A ＋B0＝0
不符合波函数的
当，x
a 2
时，
UII
A
0＋B
＝0
有界条件，舍去
所以，
uII 0 （即II区的波函数为零）
（2）求能量本征值
uI C cos kx Dsin kx
uII 0
根据波函数的连续性，在 x a 处，I和II区的波函数
§3-5 薛定谔方程
•
经典力学（质点） 量子力学(微观粒子)
• 特点
粒子性
波粒二象性
运动情况 沿轨道运动
无轨道
状态描述 坐标(r)和动量(p) 波函数Φ
由初态求末态 运动方程
牛顿方程
dp m d 2r
dt
dt 2
薛定谔方程
？
1.薛定谔方程的建立
“我的朋友德拜要 求有个波动方程， 诺，我找了一个。”
粒子处于定态的特点：
1. 能量不随时间变化；
2. 波函数可表示为 u(x, y, z) f (t)
3. 空间波函数满足
2 2u Vu Eu ——称为定态薛定谔方程； 2m
4. 定态条件下，发现粒子的几率，
* 与 u时u*
间无关；
5. 波函数还必须满足三个条件（单值，连续，有限）。
3.应用举例
解:(1)由归一化条件
d A2 sin2 x dx A2 d 1(1 cos 2x / d )dx A2 d 1
0
d
02
2
所以 A 2
d
(2)概率密度 ( x)
|
(x)