薛定谔方程-1

粒子处于定态的特点：
1. 能量不随时间变化；
2. 波函数可表示为 u(x, y, z) f (t)
3. 空间波函数满足
2 2u Vu Eu ——称为定态薛定谔方程； 2m
4. 定态条件下，发现粒子的几率，
* 与 u时u*
间无关；
5. 波函数还必须满足三个条件（单值，连续，有限）。
3.应用举例
2u 2u
所以， uII Aex Bex
当，
x
a 2
时，
UII
A ＋B0＝0
不符合波函数的
当，x
a 2
时，
UII
A
0＋B
＝0
有界条件，舍去
所以，
uII 0 （即II区的波函数为零）
（2）求能量本征值
uI C cos kx Dsin kx
uII 0
根据波函数的连续性，在 x a 处，I和II区的波函数
n , n 1,3,5,
a
n , n 2,4,6,
a
所以，
uI
C cos
n
a
x D sin
n
a
x
n 1,3,5, n 2,4,6,
由波函数的连续性，x a时，I区和II区的波函数应该相等, 即
2
uI
C cos n x D sin n x 0
a
＝CC
0 D (1), (1) D 0,
2m
粒子的波函数写成平面波形式[（1）的解]：
(
x,
t)
ei ( k xt
0
)
(2)
描述自由粒子的波函数为
2i
(
pr Et)
0e h
i
，
e ( pxx py y pz zEt) 0
Erwin Schrödinger (1887–1961)
上式对x，y，z求二阶偏微商：
x
i
i
(
px
x
p
y
y
2 d
sin
x
d
dx
2
d
2
2
(5)x2
x2
x2
d2 3
d2
2 2
解:(1)由归一化条件
d A2 sin2 x dx A2 d 1(1 cos 2x / d )dx A2 d 1
0
d
02
2
所以 A 2
d
(2)概率密度 ( x)
|
(x)
|2
2 d
sin 2
x
d
2 d
(1
cos
2
x
/
d)
/
2
1 d
(1 cos 2
x
/
d )。由d
/
dx
0得 : 2 x
一维运动的定态薛定谔方程为
Hˆu(x) Eu(x) 即有， 2 d 2u Vu Eu
2m dx
其中，Hˆ 2 2 V 2m
(1)
由于V(x)在不同区域内有不同的形式，因此必须分区求解:
(1) 解方程求波函数
区域I: a x a , V 0
2
2
(1)式变为，ddx2u2
2mE 2
u
2 x2
当V(x)=0(常数) (即不存在 作用力)时，式（2）是方程
2 2m
2
x2
V0
i
t
的解且与式 （1）一致。
推广到一般的势场V(x) 即得一维薛定谔方程：
2 2m
2
x2
V (x)
i
t
(3)
将其与经典关系式 E p2 V (x) 比较，知作了如下的变换：2m
将其作用到波函数ψ上即得式（3） 薛定谔方程的一般表达式：
§3-5 薛定谔方程
•
经典力学（质点） 量子力学(微观粒子)
• 特点
粒子性
波粒二象性
运动情况 沿轨道运动
无轨道
状态描述 坐标(r)和动量(p) 波函数Φ
由初态求末态 运动方程
牛顿方程
dp m d 2r
dt
dt 2
薛定谔方程
？
1.薛定谔方程的建立
“我的朋友德拜要 求有个波动方程， 诺，我找了一个。”
aa
2 sin n x, n 2,4,6,
aa
——偶宇称 ——奇宇称
在一维无限深势阱中运 动的粒子势能函数为：
V
(
x)
0,0 x d , x 0, x
d
势阱内体系满足的薛定谔方程为：
2 d 2
2m dx2
E
0
V( x )
令
k2
2mE 2
则方程为： d
2
dx2
k 2
其解为： Asin(kx )
sin
x
d
dx
d 0
1 d
x2
1
cos
2
d
x
dx
d2 3
d2
2 2
px
d 0
2 d
sin
x
d
i
d dx
sin
x
d
dx
i
d
d 0
2 sin x cos x dx＝0
dd d
px2
d 0
2 d
sin
x
d
2
d2 dx2
sin
x
d
dx
2
d
2
2
d 0
薛定谔在其导师德拜(“有了波，就应有一个波动 方程”)的启示下，提出了关于物质波的波动方程。 这一方程不能从更基本的假设中推导出来，是量子 力学的基本方程，其正确性只能靠实验检验。
设一个非相对论自由粒子(m、
p）在势场V(x)中作一维运动， E
p2
V (x)
则粒子的能量为：
2m
利用
E h
p
k
(k)2 V (x)(1)
薛定谔方程的讨论
1在．势薛场定U谔(方r,t程) 描中述随了时微间观变粒化子的运动(r状, t态)
(r , t ) 的规
t
律。
2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从
更基本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与
实验结果相一致来得到证明。
3．具体的势场
U
(r ,
t
)决定粒子状态变化的情况，
如果给出势能函数 U(r,t的) 具体形式，只要我们知
k 2u,
其中k
2mE
设 u ex , 则u 2u, 代入上式，有
2u k 2u ik
所以，uI Aeikx Beikx 或 uI C cos kx Dsin kx
区域II:
x
a, 2
x
a, 2
V
(1)式变为， d 2u dx2
2m 2
(V
E)u
2u,
其中
设 u ex , 则u 2u, 代入上式，有
f
k
e
i
Et
(
x,
y,
z,
t
)
u(
x,
y,
z)e
i
Et
(r , t)
(r
)e
iEt
(9)
由此得到定态薛定谔方程
定态波函数
定态薛定谔方程
解定态薛定谔方程的步骤：首先分区，找出问题中势能 函数的具体形式，建立薛定谔方程并求出其通解，然后 再根据波函数的标准化条件和归一化条件确定常数。
与自由粒子方程比较, 可见这时E就是能量, 称这种状态 为定态。
E
i
t
p
i
x
当势场v(x)=0时的
自由粒子的解为：
E
p
2
V (r )
将其与经典关系式
2m
比较，知作了如下的变换：
薛定谔方程是量子力学的基本方程。事实上，可把式 （4）、（5）、（6）视为量子力学的基本假设。
1926薛定谔方程诞生…年轻讲师许克耳的打油诗： “欧文用他的psi，计算起来真灵通； 但psi真正代表什么，没人能够说得清。“
aa
（5）宇称
若：波函数满足
U (x) U (x) ——偶函数（空间对称性为偶性，
称为具有偶宇称） 若：波函数满足
U (x) U (x) ——奇函数（空间对称性为奇性，
称为具有奇宇称）
注意：宇称不仅是函数的性质，也是函数所代表的物理状态 （量子态）所具有的性质。
例：uI
uI
2 cos n x, n 1,3,5,
n n
1,3,5, 2,4,6,
代入上式，得
C2 a/2 cos2 n xdx 1, D2 a/2 sin2 n xdx 1,
a / 2
a
a/ 2
a
由此算出， C D 2 a
uI
所以，I区归一化的本征函数为：
uI
2 cos n x, n 1,3,5,
aa
2 sin n x, n 2,4,6,
pz
z
Et
)
e 0
px
i
px
所以，
2
x 2
(
i
px )2
px2 2
同理：
2
y 2
py2 2
2
z 2
pz2 2
相加，有
2 ( x 2
2 y 2
2 z 2
)
p
2
x
p
2 y
2
pz2
p2
2
定义：2
(
2 x 2
2 y 2
2 z 2
)
— 拉普拉斯算符
，
2
p2
2
将（1）式在对时间取一阶偏微商，有
粒子出现的几率： n=1时，极大值出现在中间； n=2 时 ， 中 间 为 0 ， 两 旁 各 有 一个极值；……
n 很大时，相邻波腹靠得很近， 接近经典力学各处概率相同。
一维无限深方势阱 中粒子的波函数
n+1个节点
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度 对于不同的量子数，粒子在势阱内某一特定点出现的几率是 不同的
一. 无限高势壁之间的一维运动
1. 问题：在一维空间中运动的粒
子，空间中势能满足
V
(
x)
0, a 2
, x
x a,x
a 2
a
2
2
V
a2
V
V
V 0
0
aX
2
2. 经典力学描述（V＝∞的意义，相当于刚性壁）
对于任意能量的粒子，由于是刚性壁，它都只能 在I区中运动。
3. 量子力学的描述
因为势函数不随时间变化，因此这是一个定态问题， 可用定态薛定谔方程来求解。
相邻能级间隔：
22
E En1 En 2ma 2 (2n 1)
表明：(1) n越大，能级间隔越大；
(2) m和a与h有相同的数量级时，能量的量子化才 显示出来。
（3）对应于本征值的本征函数
根据前面的推导，区域II的波函数为零，区域I的波函数为：
uI C cos kx Dsin kx
因为， k
2
ka
2
n ,
2
m n ,
n 1,3,5, , m 0,1,2, n 0,2,4,
2
所以，有
n , n 1,3,5,
k a n , n 0,2,4, a
即: k n , n 0,1,2,3,4,
a
因为， k
2mE
E
22
2ma2
n2,
n 1,2,3, (n 0时，粒子静止不动)
(x, y, z,t) u(x, y, z) f (t)
代入薛定谔方程的一般形式得：
[ 2 2u Vu] f iu df 1 [ 2 2u Vu] i df
2m
dt u 2m
f dt
可设它们等于一个与时间和坐标都无关的常数E，则有
i f
df dt
E
2
2m
2u
Vu
Eu
解这个微分方程可得：
例题 若粒子在[0,d]范围、无限深势阱作一维运动，其状态
由波函数 (x) Asin x (0 x d) 描述。求(1)归一化常
d 数A;(2)概率密度ρ,及最大的几率密度;(3)[0,d/2]之间粒
子出现的概率；(4)x, x2, px , px2;(5)由x
x2
2
x
和
px px2 px 2 , 验证不确定关系xpx / 2 (6)求基态能。
0
0
0
dx
对方程的解进行分析： Asin(kx )
显然
(0) (d )
0 0
0 kx n
,
n
1,2,3
有： k n
d
于是：
由归一化条件：
|Ψ n
(x)
|2dx
1
A
2
d
（注意有效 区域）
归一化波函数：
粒子在势阱中的波函数很象两 端固定弦的驻波波形，波的波 长随能级的增高而缩短。
/
d
,x
d
/
2, max
2 d
(3)P
d 2
2
sin 2 x dx
d 2
2
1 1 cos
2x dx
1
d
1
0 d d
0 d 2
d d 2 2
(4)x
d 0
2 d
sin
x
d
x
2 d
sin
x
d
dx
d 0
1 d
x
1
cos
2
d
x
dx
d 2
x2
d
0
2 d
sin
x
d
x2
2 d
必须连续，则有
2
x a时， 2
uI
C cos ka D sin ka
2
2
C
cos
ka 2
D
sin
ka 2
＝0
x a时， 2
uI
C cos ka D sin 2
ka 2
＝0
(3)+(4),可得 2uI (3)-(4),可得 2uI
2Ccos ka＝0 2Dsin2ka
2
0
ka
t
i
E
如果对自由粒子，考虑非相对论情形，
E p 2 E p2
2m
2m
任 务： 找到与 得到它的解（2）
(k ) 2 2m
V (x)一致的方程，且在V(x)=0时
当V(x)=0时，有
从ψ知：iitx
E p
2
2 x 2
p 2
(i t
2 2m
2 x2
)
(E
p2 )
2m
0
或者：
i
t
2 2m
n n
a
1,3,5,
2,4,6,
uI Biblioteka BaiduuI
C cos n
a
D sin n
a
x, x,
n n
1,3,5, 2,4,6,
（4）本征函数的归一化
根据归一化条件， *d 1 或 uu*d 1
有，
a/2 a / 2
uI
2dx
1
将，
uI uI
C cos D cos
n
a
n
a
x, x,
道了微观粒
定子谔初方始程时，刻就的可状以态求出(r0任,t意0 ) 时。刻原的则状上态说 ，只(要r,通t)。过薛 4．薛定谔方程中有虚数单位i，所以 (r,t) 一般是复数
形式。
(r ,
t)表示概率波，
(r ,
t
)
2
是表示粒子在时刻t、
在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态
随时间变化的规律，是一种统计规律。
5．在薛定谔方程的建立中，应用了 E
p2
U
(r , t)
，所
2
以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 0
的粒子，这是方程的局限性。
2．定态薛定谔方程( the time-independent Schrödinger equation. )
定态：能量不随时间性变化的状态。 在定态条件下，能量不随时间变化，波函数可以被分离变量