(全国Ⅰ卷)2020届高考数学百日冲刺金卷(三)理

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2020届百师联盟高三冲刺卷(三)全国I卷理科数学试卷(解析版)

2020届高三冲刺考（三）全国卷理科数学试卷注意事项：1、答卷关，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数1i1ia z -=+是纯虚数，则实数a 的值为（） A. 1 B. 1-C. 0D. ±1【答案】A 【解析】【分析】将复数化简为z m ni =+的形式，若复数z 为纯虚数，则0m =，且0n ≠，可解得a 的值. 【详解】()()()()1i 1i 1i 11i 1i 1i 1i 22a a a az ----+===-++-，因为复数z 是纯虚数，故102a-=，102a +-≠，解得1a =. 故选：A.【点睛】本题考查复数的分母实数化运算和纯虚数的定义，考查了学生的运算求解能力和理解辨析能力，是基础题.2.已知集合{}22|1A x x y =+=，集合{|B y y ==，则A B =I （）A. []1,1-B. []0,1C. []1,0-D. ()1,1-【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质，函数的值域，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】集合{}{}22|1|11A x x y x x =+==-≤≤，集合{}{}||0B y y x y y ===≥，所以[]0,1A B =I . 故选：B【点睛】本题考查了函数的值域，考查了集合的交集运算，运算数学运算能力. 3.在等比数列{}n a 中，561a a =，899a a =，则410a a 等于（） A. 9 B. 3± C. 3-D. 3【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的下标的性质进行求解即可【详解】由等比数列性质，得()256894109a a a a a a ⋅==，因为2641040a a a q ⋅=⋅>，解得4103a a =.故选：D【点睛】本题考查了等比数列的下标性质，考查了数学运算能力. 4.函数()e ln xf x x x =在[)(]1,00,1-⋃上的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】本题可通过排除法找函数图像，先判断原函数是否具有奇偶性，再利用特殊值法可得出正确的选项. 【详解】因为()()f x f x ≠-，()()f x f x ≠--，所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除选项B ，C ；又因为1eln 2022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 故选：A .【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，若特值法无法选出正确选项，则考查利用导数求函数的单调性判断函数图像，着重考查推理论证和运算求解的能力，是基础题.5.刘徽是我国古代伟大的数学家，他的《九章算术注》和《海岛算经》被视为我国数学史上的瑰宝，他创立的“割圆术”理论上能把π的值计算到任意精度.“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积，如图，从正六边形开始，依次将边数增倍，使误差逐渐减小，当圆内接正三百六十边形时，由“割圆术”可得圆周率π的近似值为（）A. 360cos1︒B. 180cos1︒C. 360sin1︒D. 180sin1︒【答案】D 【解析】【分析】圆内接正三百六十边形可以看成由360个顶角为1︒的等腰三角形构成，腰长与圆的半径相等，利用圆内接正三百六十边形的面积与圆的面积近似相等，计算π的近似值. 【详解】设圆的半径为1，当圆内接正三百六十边形时，每边端点与圆心连线构成的小三角形均为腰为1，顶角为1︒的等腰三角形，则圆内接正多边形的面积为111sin1360180sin12S =⨯⨯⨯︒⨯=︒，圆的面积为π，用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积，即有180sin1π︒=. 故选：D.【点睛】本题利用“割圆术”计算圆周率π的近似值，需要仔细阅读题干，理解“割圆术”的概念，考查学生的理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.6.实数x ，y 满足不等式组210,230,30x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则22z x y=+最小值为（）A. 1 4B.355C.5D.15【答案】D【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出可行解域，根据目标函数的几何意义，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】作出可行域如图中阴影部分所示，22z x y=+的几何含义为过原点到阴影区域内的点距离的最小值的平方，易知原点到直线210x y-+=的距离()()2202011521d⨯+⨯-+==+-，即原点到阴影区域的最小值，而215d=，则22z x y=+的最小值为15.故选：D【点睛】本题考查了利用几何意义求目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力. 7.若双曲线()222104y xaa-=>的渐近线与抛物线2112y x=+相切，则a=（）A. 22B. 2C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】可以设切点为2001,12x x⎛⎫+⎪⎝⎭，由y x'=，所以切线方程为()2000112y x x x x⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，即200112y x x x=-+．因为已知双曲线的渐近线为2a ay x xb=±=±，所以2110,22xax⎧-+=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩解得22a=故选：A【点睛】本题考查了抛物线的切线问题，考查了数学运算能力.8.二项式62x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（） A. 80 B. 60 C. 30 D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式62x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的通项公式366221662C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，令36042r r -=⇒=，所以常数项4256C 260T =⋅=. 故选：B【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式的通项公式的应用，考查了数学运算能力. 9.在平面直角坐标系中，x 轴负半轴上有4个点，y 轴负半轴上有3个点，将x 轴负半轴上这4个点和y 轴负半轴上这3个点连成12条线段，这12条线段在第三象限内的交点最多有（） A. 6个 B. 12个 C. 18个 D. 24个【答案】C 【解析】【分析】根据四边形的构造方法，结合组合的知识进行求解即可.【详解】易知x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点在第三象限，适合题意．而这样的四边形共有2243C C 18⋅=个，于是最多有18个交点.故选：C【点睛】本题考查了组合的应用，考查了数学运算能力.10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，2BC =，点P 为BC 中点，现有一只蚂蚁欲从点P 沿长方体的表面爬行到点1A 觅食，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A. 2B. 3C.5 D. 10【答案】C 【解析】【分析】根据长方体展开的方式，结合勾股定理分类讨论求解即可.【详解】如图，将长方体1111ABCD A B C D -展开，由于两点之间线段最短，故点P 到点1A 应取直线段，图中路线①的长度221125d =+=，路线②的长度2224117d =+=，路线③的长度223215d =+=，路线④的长度224125d =+=，所以蚂蚁爬行的最短距离为5d =.故选：C【点睛】本题考查了长方体表面上路径最短问题，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力和空间想象能力. 11.已知)2,0P，曲折C ：4216x y =与直线l ：x a =（0a >且2a ≠A ，B 两点，则PAB△的周长的最小值为（） A. 22 B. 32C.31D.21【答案】B 【解析】【分析】化简曲线的方程，可利用抛物线定义将长度进行转化，得出PAB △的周长的最小值. 【详解】易知曲线C 是由两抛物线24x y =和24x y =-构成，如图，设AB 与x 轴交于点D ，抛物线24x y =的焦点为F ，连接AF ，PF ，则()0,1F ，PAB △的周长()()())22121231c AP AD AP AF PF =+=+-≥-=，当F ，A ，P 的三点共线时取等号.故选:B.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，抛物线的性质，考查数形结合和求解运算的能力，是中档题. 12.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c 若sin sin sin sin sin sin sin sin A C C BB C A C--=++且3ab =则ABC V 面积的最大值为（）A. 1B.34C.12D.3 【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理、余弦定理，结合基本不等式、三角形面积公式进行求解即可【详解】因为sin sin sin sin sin sin sin sin A C C BB C A C --=++，由正弦定理得，a c c bb c a c--=++，即2222a b c +=，由余弦定理 222222222212cos 22442a b a b a b c a b ab C ab ab ab ab ++-+-+===≥=，当且仅当2223a b c ===0,3C π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，3sin C ≤，则1133sin 3224ABC S ab C =≤=△，所以ABC V 面积的最大值34.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题．每小题5分，共20分．13.已知向量()1,1a =-r，n ⎛= ⎝⎭r b ，若a b ⊥r r，则+=r a b __________.【答案】2 【解析】【分析】利用两向量垂直数量积等于0得出b r的坐标，再计算出()a +r的坐标，最后利用坐标计算+r a .【详解】因为a b ⊥r r0n n -=⇒=()0,2a =r ，所以2a =r .故答案为：2.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算和向量的模的坐标运算，考察了学生的求解运算能力，是基础题.14.若关于x 的不等3a x -<成立的必要不充分条件是25x -≤≤，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[]1,2 【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义，结合集合间的关系、绝对值的不等式解法进行求解即可. 【详解】由3a x -<得，33a x a -<<+，依题意有集合{}|33x a x a -<<+是集合{}|25x x -≤≤的真子集，所以满足32,35,a a -≥-⎧⎨+≤⎩解得12a ≤≤，则实数a 的取值范围是[]1,2．故答案为：[]1,2【点睛】本题考查了已知必要不充分条件求参数取值范围问题，考查了绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力.15.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，其一个对称中心为5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f x =__________；把()y f x =的图象向左平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()()y f x g x =+最小值为__________．（第1空2分，第2空3分）【答案】 (1). sin 26x 骣琪+琪桫p(2). 1- 【解析】【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式和对称性可以求出()f x 的解析式，再利用正弦型函数图象的变换性质可以求出()y g x =的解析式，最后利用余弦型函数的性质，结合两角和的正弦公式和余弦公式求出最值. 【详解】由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，得22T T ππ=⇒=，所以220,2T πωωω==>∴=Q ，()()sin 2f x x ϕ=+，又其一个对称中心5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即有5212k πϕπ⨯+=，k Z ∈，则56πk πϕ=-+，k Z ∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()5sin 2cos 263ππg x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()()sin 2cos 263ππy f x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos21x =≥-．故答案为：sin 26x 骣琪+琪桫p；1-．【点睛】本题考查了正弦型函数的性质，考查了正弦型函数的图象变换性质，考查了两角和的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力. 16.己知函数()ex af x -=，1x ∃，2x R ∈，使()()()222121221,2F x x x f x x f x =-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[)0,+∞ 【解析】【分析】利用换元法，根据两点距离公式，导数的几何意义，结合存在性的定义、反函数的性质进行求解即可. 【详解】令()2f x t =，则()2ln 0x t a t =+>，则()12,F x x 即为两点()()11,x f x ，(),ln t t a +距离．设点(),1A a ，()1,B a ，因为()x af x e-'=，则函数()x af x e-=在点A 处的切线斜率为()1f a '=，设函数()ln g x x a =+，则()1g x x'=，函数()g x 在点B 处的切线斜率为()11g '=，且1AB k =-，所以结合反函数的知识可得，AB 为()12,F x x 的最小值，所以由题意：当1a ≥时，函数()f x 与函数()g x 图象有交点，满足题意；当1a <时，函数()f x 与函数()g x)1AB a ≥=-，解得01a ≤<；综上0a ≥．故答案为：[)0,+∞．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了反函数的性质，考查了数学运算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1cos 4B =. （1）求2sinsin 22A CB ++的值；（2）若b =ABC V 面积的最大值.【答案】（1）58；（2）6. 【解析】【分析】（1）先利用同角三角函数基本关系式求出sin B ，再用降幂公式和正弦倍角化简结果，最后代入求值；（2）利用余弦定理列出边的等量关系，再用基本不等式得出ac 的最大值. 【详解】（1）因为1cos 4B =，所以sin B ==， 222sin sin 2sin 2sin cos cos 2sin cos 222A C πB BB B B B B +-+=+=+ 1cos 2sin cos 2B B B +=+1114224+=+=；（2）由余弦定理知，22222132cos 22b ac a B a c ac ac =+-=+-≥，所以22433ac b ≤=，当且仅当233a c ==时取“=”，则ABC V 的面积1141515sin 22346ABC S ac B =≤⨯⨯=△，即ABC V 面积的最大值为15. 【点睛】本题考查三角恒等变换，余弦定理解三角形，考查运算求解的能力，是基础题.18.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1111111122A B A D B C C D ====，1113B D DD ==，点E ，F 分别1CC ，1A D 中点．（1）证明：EF ∥平面1111D C B A ；（2）求二面角111F A B D --的余弦值．【答案】（1）见解析（2377【解析】【分析】（1）取11A D 中点G ，连接FG ，1C G ，根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质定理，线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据勾股定理的逆定理，结合直棱柱的性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：如图，取11A D 中点G ，连接FG ，1C G ，因为点F ，为1A D 中点，所以11FG DD CC P P ，且112FG DD =，因为点E 为1CC 中点，所以1111122EC CC DD FG ===，即1FG EC ∥，1FG EC =，所以四边形1FGC E 为平行四边形，所以1EF C G P ，因为1C G ⊂平面1111D C B A ，EF ⊄平面1111D C B A ，所以EF P 平面1111D C B A（2）因为111C D =，11B D =112B C =，所以222111111C D B D B C +=，即111B C D △为直角三角形，所以1111B D C D ⊥，因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直棱柱，所以111DD B D ⊥，111DD C D ⊥，以1D 为坐标原点，分别以11D B ，11D C ，1D D 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，可得，()10,0,0D，1,022A ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，)1B，(D ，所以442F ⎛- ⎝⎭，1122A B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，1,442A F ⎛=- ⎝⎭u u u u r易知平面111A B D 的一个法向量()0,0,1m =，设平面11FA B 的一个法向量(),,n x y z =，则11100A B n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u u u v即0,0,x y x y +=⎨⎪+=⎪⎩可取x ==n ，以1D 为坐标原点，分别以11D B ，11D C ，1D D 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由图可知二面角11F A B -为锐角，设二面角111F A B D --大小为θ，则cos 29θ⋅==⋅m n m n ．【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的平面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.19.已知点33,2P ⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若椭圆C 的弦AB 中点在线段OP （不含端点O ，P ）上，求OA OB ⋅u u u r u u u r取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）3915,124⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）把点33,P ⎭的坐标代入椭圆的标准方程中，根据椭圆离心率公式，结合 222a b c =+进行求解即可；（2）设出点,A B 的坐标，运用点差法求出直线AB 的斜率，设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，结合平面向量数量积的坐标表示公式和一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行求解即可. 【详解】（1）由条件知223314a b+=，12c a =，结合222a b c =+解得2a =，3b =C 的方程为22143x y +=．（2）设点A ，B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OP 上，且12OP k =，所以()12122x x y y +=+，又2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减得，()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=，易知120xx -≠，120y y +≠，所以()()121212123342x x y y x x y y +-=-=--+，即32AB k =-．设AB 方程为32y x m =-+，代入22143x y +=并整理得223330x mx m -+-=．由()23120m ∆=->解得212m <，又由(1222x x m+=∈，所以0m << 韦达定理得12x x m +=，21233m x x -=，故121212123322OA OB x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r()222121239373934212m m x x m x x m --=+-++=．而0m <<OA OB ⋅u u u r u u u r的取值范围是3915,124⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了椭圆离心率公式，考查了平面向量数量积的取值范围，考查了点差法的应用，考查了数学运算能力. 20.已知函数()()11e e 2xx f x a x a -=-∈R ．（1）若0x =为函数()f x 的极值点，求函数()f x 的值域；（2）是否存在a 值，使得不等式()1f x ae >-对任意0x ≥恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）2a e =；函数()f x 的值域为：[),e +∞；（2）2(0,)21e -. 【解析】【分析】（1）根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可；（2）对原不等式进行变形，构造新函数，根据a 的正负性结合导数的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）()()1'1111e e e e e 22x x x x x f x a x f x a x ---=-⇒=-+，由题意可知： ()'100e 022f a a e =⇒-=⇒=，()'11112e e e (1)x x x x x f x x e e x +---=-+=-+，令2'2()1()210xx g x ex g x e =-+⇒=+>，所以()g x 是单调递增函数，而(0)0g =，因此当0x >时，'()(0)0()0,()g x g f x f x >=⇒>单调递增，当0x <时，'()(0)0()0,()g x g f x f x <=⇒<单调递减，所以函数()f x 的最小值为()0f e =，因此函数()f x 的值域为：[),e +∞；（2）()1211e e 1(e )22(1)02xx x x f x ae a x ae a ex ae e ->-⇒->-⇒--->，设2()(e )22(1)x x g x a ex ae e =---，问题转化为当0x ≥时，()0>g x 恒成立. 当0a =时，()22x g x ex e =-+，显然有(1)220g e e =-+=，不符合题意；当0a <时，当x →+∞时，22()(e )22(1)[2(1)],()x x x x xexg x a ex ae e e ae ae g x e =---=---∴→-∞Q ，不符合题意；当0a >时，'2()2(e )22(1)2(e 1)(e 1)x xxxg x a e ae e a =---=+-，当0x ≥时，'()0g x ≥，因此函数()g x 是单调递增函数，因此由0x ≥，可得()(0)(12)2g x g a e ≥=-+，所以当0x ≥时，函数()g x 的最小值为(12)2a e -+，要想在0x ≥时，()0>g x 恒成立，只需22(12)20,002121a e a a a e e -+>⇒<>∴<<--Q ，综上所述：存在a 值，使得不等式()1f x ae >-对任意0x ≥恒成立，取值范围为：2(0,)21e -. 【点睛】本题考查了函数极值的定义，考查了利用导数求函数的最值，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.21.2020年春节即将来临，某市一商家为了在春节期间更好地推销某种商品，决定分析2019年春节期间的销售情况以进行反馈调整，已知该商品去年日营销费用和日销售量的关系如下表所示：并随机抽取了200名老顾客进行了2020年购买意愿调查，得到的部分数据如下表所示：（1）求出相关系数r 的大小，并判断去年日销售量y 与日营销费用x 具有哪种线性相关．（规定：若0.4r <为低度线性相关；若0.40.7r <<为显著性相关；若0.71r ≤<线性相关；若0r =为无线性相关．）（2）判断是否有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性．（3）该商家为了在今年春节期间吸引更多的顾客，设计了一个小游戏：顾客可以根据抛一张只有正反面的卡片出现的结果，操控一枚棋子在方格纸上行进，若小棋子最终停在“幸运格”，则可获得购物优惠券2千元，已知卡片出现正，反面的概率分别为23，13，方格纸上标有第0格，第1格，第2…第30格．棋子开始在第0格，顾客每抛一次卡片，棋子向前移动一次．若抛出正面，棋子向前移动一格（从k 到1k +）；若抛出反面，棋子向前移动两格（从k 到2k +），直到棋子移到第29格（“幸运格”）或第30格（“无缘格”）时，游戏结束．设棋子移到第n ()129n ≤≤格的概率为n p ．（ⅰ）试求n p 的通项公式；（ⅱ）并求参与游戏一次的顾客获得购物优惠券金额的期望值．参考公式：()()niix x y y r --=∑，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：2.236≈．【答案】（1）线性相关；（2）有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性；（3）（ⅰ）311()(,129)443n n p n N n =+⋅-∈≤≤；（ⅱ）1500元. 【解析】【分析】（1）利用所给的公式进行计算，结合已知所给的规定进行求解即可；（2）根据题意补全列联表，根据题中所给的公式求出2K 的值，并根据临界值进行判断即可；（3）（ⅰ）先求123,,p p p 的值，再求出数列的递推公式，然后对递推公式进行变形，结合累和法和等比数列前n 项和公式进行求解即可；（ⅱ）运用数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）2345617202423264,2255x y ++++++++====，()()1(24)(1722)(34)(2022)(44)(2422)(54)(2322)(64)(2622)21;niii x x y y =--=--+--+--+--+--=∑===Q因此0.93950r ==≈，所以有0.71r ≤<成立，因此去年日销售量y 与日营销费用x 具有线性相关；（2）因为随机抽取了200名老顾客进行了2020年购买意愿调查，所以根据表中数据所知女性顾客中不愿意继续购买的人数为200100503020---=，因此列联表如下：因为22200(502010030)11.1180120150510.8028K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性；（3）（ⅰ）由题意可得；11232212271222220,,333393333327p p C p ==+⨯==⋅⨯+⨯⨯=，由题意经过分析得：1221(,329)33n n n p p p n N n --=+∈≤≤，变形为： 1121()3n n n n p p p p ----=--，因此数列{}1n n p p --是以32127p p -=-为首项，13-为公比的等比数列，因此3111()(,329)273n n n p p n N n ---=-⋅-∈≤≤，所以有：1122343()()()()n n n n n n n p p p p p p p p p -----=-+-+-+-L3451111111120()[()][()][()]27327327327327n n n ---=-⋅-+-⋅-+-⋅-++-⋅-+L 3451111120[()()()()]27333327n n n ---=--+-+-++-+L311()[1()]12033127271()3n --⨯--=-⨯+--311()443n =+⋅- 1,2,3n =也适合，因此311()(,129)443n n p n N n =+⋅-∈≤≤；（ⅱ）由题意可知：小棋子最终停在“幸运格”，可获得购物优惠券2千元，而第29格是“幸运格”，所以参与游戏一次的顾客获得购物优惠券金额的期望值为：292931120002000[()]1500443p =+⋅-≈元.【点睛】本题考查了线性相关系数的计算，考查了2K 的计算，考查了数学建模能力，考查了累和法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数学期望的计算，考查了数学运算能力.（二）选考题：10分．请考生第22、23题中任选一题．．．．作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请写清题号．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,21,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，单位长度相同，曲线C 的极坐标方程为23cos 2ρθρ-=. （1）求直线l的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）已知点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅. 【答案】(1) 10y -+=,12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）；(2) 2.【解析】【分析】（1）利用代入消参的方法的出线l 的直角坐标方程，利用公式转化得出曲线C 的参数方程；（2）点M 在直线l 上，可用直线参数方程参数的几何意义计算MA MB ⋅. 【详解】（1）由已知可得直线l 10y -+=，∵23cos 2ρθρ-=，∴22cos 3ρρθ+=， ∴2223x y x ++=，∴曲线C 的直角坐标方程为()2214x y ++=，∴曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）∵点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭∴点M 的直角坐标为()01，，点M 在直线l 上，设11112A t ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，，22112B t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得221142t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴)2120t t +-=，有韦达定理可得122t t =-， ∴122MA MB t t ⋅==.【点睛】本题考查直角坐标方程、参数方程和极坐标方程的相互转化，直线参数方程参数的几何意义，考查求解运算的能力，是中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()21f x x x =++-，()1g x x a =-+. （1）解不等式()4f x ≥；（2）当2a ≥时，若对任意[]12,2x ∈-，都存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）5322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，，；（2）[]24，. 【解析】【分析】（1）利用分类讨论去绝对值的方法解绝对值不等式；（2）若对任意[]12,2x ∈-，都存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集，以此求实数a 的取值范围. 【详解】（1）①2x <-时()214f x x x =---+≥，得52x ≤-，∴52x ≤-，②21x -≤≤时()214f x x x =+-+>，得34>，∴无解， ③1x >时()214f x x x =++-≥，得32x ≥， ∴32x ≥，综上所述，原不等式的解集为5322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，，；（2）∵2a ≥，[]2,2x ∈- ()21f x x x =++-，()1g x x a =-+，∴()3212112x f x x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩，，，即()35f x ≤≤， ()1g x x a =-++，若对任意[]12,2x ∈-，都存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，则有()()()22152213g a g a ⎧-=--++≥⎪⎨=-++≤⎪⎩得24a ≤≤，且2a ≥∴实数a 的取值范围[]24，. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，考查了运算求解的能力、转化与化归思想，是中档题.。

百校联考全国Ⅰ卷2020届高考百日冲刺金卷理综(三) Word版含答案

百校联考全国I卷2020届高考百日冲刺金卷(三)理科综合注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分300分，测试时间150分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

可能用到的相对原子质量：H1 C12 O16 S32 Cl35.5 Zn 65 Ag108第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列有关真核细胞结构和功能的叙述正确的是A.人体不同细胞的细胞周期持续时间都相同B.真核细胞都有细胞核，原核细胞都无细胞核C.植物细胞中的色素均存在于原生质层内D.高等动物体内大多数细胞中不存在纺锤体2.秋水仙素是一种常用的人工诱变剂，秋水仙素的结构与核酸中的碱基类似，但不能参与碱基配对。

下列有关秋水仙素的叙述，错误．．的是A.秋水仙素能抑制细胞分裂过程中纺锤体的形成，从而导致染色体数目加倍B.在DNA分子复制时，秋水仙素可能引起碱基互补配对错误而导致基因突变C.若秋水仙索渗入到基因中，则不会引起DNA分子双螺旋结构局部解旋D.若秋水仙素插入到DNA的碱基对之间导致DNA不能与RNA聚合酶结合，则会使转录受阻3.酶a和酶b分别是存在于线粒体基质和内膜上的与呼吸有关的酶。

科研人员研究了中药党参对某种衰老模型小鼠肝细胞线粒体中酶a和酶b活性的影响，以此了解其延缓衰老的作用机制，结果如下表。

相关分析合理的有①A组相对于B组是空白对照组；B1组相对于B2、B3、B4组是空白对照组②随着党参提取物剂量的提高，酶a和酶b的活性逐渐增强③研究表明，线粒体中酶a和酶b活性降低可能与衰老的发生有关④高剂量党参提取物可通过增强酶活性改善衰老小鼠的线粒体功能A.一项B.二项C.三项D.四项4.2018年6月，科研人员报道了一种基于艾滋病病毒(HIV－1)融合肽脆弱位点结构的高效新型候选疫苗，该疫苗可以在小鼠、豚鼠和恒河猴体内诱导产生中和几十种HIV毒株的抗体(广谱抗体)。

2020年百校联考高考考前冲刺数学试卷(理科)(三)(全国I卷)(含答案解析)

2020年百校联考高考考前冲刺数学试卷(理科)(三)(全国I卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2x<1}，集合B={y|y=√2−x}，则A∪B=()A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (0,2)D. [0,+∞)2.已知MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，M(−2,−1)，则点N的坐标为()A. (5,5)B. (−3,1)C. (1,3)D. (1,1)3.已知命题p：∃x∈R，使得x2−x+2<0；命题q：∀x∈[1,2]，使得x2≥1.以下命题为真命题的是()A. ￢p∧￢qB. p∨￢qC. ￢p∧qD. p∧q4.已知点是角α终边上一点，则)A. √32+12B. −√32+12C. √32−12D. −√32−125.已知函数f(x)=xcosx+(a−1)x2是奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是()A. 2x−y=0B. x−y=0C. 2x+y=0D. x−2y=06.若直线y=c(c∈R)与函数y=tanωx(ω>0)的图象相邻的两个交点之间的距离为1，则函数y=tanωx图象的对称中心为()A. (k2,0),k∈Z B. (k,0)，k∈ZC. (kπ2,0),k∈Z D. (kπ,0)，k∈Z7.已知f(x)是定义在R上且以4为周期的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)=e x−1+e1−x−3(e为自然对数的底)，则函数f(x)在区间[0,4]上的所有零点之和为()A. 6B. 8C. 12D. 148.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设在中，角A,B,C对边分别为a,b,c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2].若，且，则面积为()A. √2B. 2C. 3D. √39.已知非零向量a⃗,b⃗ 的夹角为60°，且满足|a⃗−2b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为()A. 12B. 1C. 2D. 310. 已知a >1，三个数lna+1a、1a+1、1a 的大小关系是( )A. lna+1a >1a>1a+1B. 1a >lna+1a >1a+1C. 1a >1a+1>lna+1aD. 1a+1>1a >lna+1a11. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x =2π3对称，则下列结论正确的是( )A. f(x)在[π12,2π3]上是减函数B. 若x =x 0是f(x)的一条对称轴，则一定有f′(x 0)≠0C. f(x)≥1的解集是[2kπ,2kπ+π3]，k ∈Z D. f(x)的一个对称中心是(−π3,0)12. 若方程x 3−3ax +2=0(a >0)有三个不同实根，则实数a 的取值范围是( )A. a >1B. a >0C. 1<a <3D. 0<a <1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x){1,x >0(12)x ,x ≤0则满足f(a)=2的实数a 的值为______．14. 化简1sin70∘−√3cos70°=______． 15. 在△ABC 中，∠B =∠C =60°，AB =2，且点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______________． 16. 在△ABC 中，若b =1，c =√3，∠C =2π3，则a =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(α2)=45,0<α<π3，求cosα的值．18.对于任意非零实数x1，x2，函数f(x)满足f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，(1)求f(−1)的值；(2)求证：f(x)是偶函数；(3)已知f(x)在(0,+∞)上是增函数，若f(2x−1)<f(x)，求x取值范围．19.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，∠ACD=45°，∠BCD=90°．(Ⅰ)求证：BC=√2AC；(Ⅱ)若AB=√5，求BC的长．20.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)−2x(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对任意的−1<x<0，都有f(x)<(a−2)x，求a的取值范围．21.如图，某生态园将三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果同种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．(1)若围墙AP，AQ的总长度为200m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1m，AQ段围墙高1.5m，造价均为每平方米100元．若建围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？22.已知函数f(x)=(x2+a)lnx．(1)当a=0时，求f(x)的最小值．(2)若f(x)在区间[1e2,+∞)上有两个极值点x1，x2(x1<x2)．(ⅰ)求实数a的取值范围．(ⅰ)求证：−2e2<f(x2)<−12e．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A ={x|0<x <2}，B ={y|y ≥0}； ∴A ∪B =[0,+∞)．故选：D ．可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．2.答案：C解析：本题考查向量的坐标，属于基础题．设N (a,b )，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b )−(−2,−1)=(3,4)，即可得N ．解：设N (a,b )，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b )−(−2,−1)=(3,4)，所以{a +2=3b +1=4，解得{a =1b =3，所以N(1,3)．故选C ．3.答案：C解析：本题主要考查了复合命题的真假判断，属于基础题．解决此题的关键是分别判断命题p 和q 的真假，再结合复合命题的真假判断方法即可求解．解：对于命题p ，因为△=(−1)2−8<0，故不等式无解，所以p 为假命题；对于命题q ，因为函数y =x 2在[1,2]上为增函数，所以y min =1，所以∀x∈[1,2]，使得x2≥1为真命题，即q为真命题，故￢p∧q为真命题，故选C．4.答案：D解析：本题考查了任意角的三角函数和诱导公式，属于基础题目．现由任意角的三角函数得出，再由诱导公式得出结果．解：由点是角α终边上一点，可得．故选D．5.答案：B解析：解：函数f(x)=xcosx+(a−1)x2，若f(x)为奇函数，可得f(−x)=−f(x)，则−xcosx+(a−1)x2=−xcosx−(a−1)x2，即为(a−1)x2=0恒成立，可得a=1，即f(x)=xcosx，f(0)=0函数的导数为f′(x)=cosx−xsinx，可得f(x)在x=0处的斜率为k=f′(0)=1，则f(x)在x=0处的切线方程为y=x．故选：B．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，可得a=1，求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查正切函数的图象和性质，属于基础题．由题意利用正切函数的图象和性质，先求出ω，可得函数y=tanωx图象的对称中心．解：直线y=c(c∈R)与函数y=tanωx(ω>0)的图象相邻的两个交点之间的距离为πω=1，∴ω=π，函数y=tanωx=tanπx，令πx=kπ2，求得x=k2，可得它的对称中心为(k2,0)，k∈Z，故选：A．7.答案：D解析：本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数找到对称性求解，综合性较强．解：根据f(x)为奇函数，得到f(0)=0，又周期为4，所以f(4)=f(0)=0，f(−2)=−f(2)，又周期为4，所以f(−2)=f(2)，故f(2)=0，当x∈(0,2)时，f(x)=e x−1+e1−x−3，令t=e x−1∈(1e ,e)，f(x)=e x−1+e1−x−3=1t+t−3=g(t)，g(t)在(1e,1)上单调递减，在(1,e)上单调递增，g(1e)=g(e)>0,g(1)<0,故g(t)=0有有两个解，即f(x)在(0,2)有两个零点记为x1,x2，则在(−2,0)内有两个零点为−x1,−x2，根据周期为4，得到在(2,4)内有两个零点为x3=4−x1,x4=4−x2，所以函数f(x)在区间[0,4]上的所有零点之和为0+2+4+x1+x2+4−x1+4−x2=14，故选D．8.答案：A解析：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．由正弦定理得ac=3，由余弦定理得a2+c2−b2=2，代入“三斜求积”公式计算求解即可．解：由c2sinA=3sinC，得ac=3，又cosB=a2+c2−b22ac =13，得a2+c2−b2=2．所以S=√14×[32−(22)2]=√2．故选A．9.答案：B解析：本题考查了向量的数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意，利用向量的数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2，即可得出答案．解：∵非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |，即|a⃗||b⃗ |≤2．当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立，∴a⃗⋅b⃗ =12|a⃗||b⃗ |≤1，∴a⃗⋅b⃗ 的最大值为1，故选B．10.答案：B解析：本题考查了构造函数的应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性比较大小的应用问题，是综合性题目．构造函数f(x)=x−ln(1+x)，x>0，利用导数判断f(x)的单调性，得出x>ln(1+x)，令x=1a得1 a >ln a+1a；同理，设g(x)=ln(1+x)−x1+x，x>0，得出ln a+1a>1a+1，即得1a>ln a+1a>1a+1.解：设函数f(x)=x−ln(1+x)，x>0，∴f′(x)=1−11+x>0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数， ∴f(x)>f(0)=0， ∴x >ln(1+x)；令x =1a ，且a >1，则1a >ln(1+1a )=lna+1a；同理，设g(x)=ln(1+x)−x1+x ，x >0， ∴g′(x)=11+x −1(1+x)=x(1+x)>0， ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数， ∴g(x)>g(0)=0， ∴ln(1+x)>x1+x ；令x =1a ，a >1， ∴ln(1+1a )>1a1+1a，即lna+1a >1a+1；综上，1a >ln a+1a>1a+1．故选B ．11.答案：D解析：解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，可得f(0)=2sinφ=1，即sinφ=12，可得φ=π6，由f(x)的图象关于直线x =2π3对称，可得2sin(2π3ω+π6)=kπ+π2，可得ω=32k +12，由0<ω<1，可得ω=12，则f(x)=2sin(12x +π6)，由x ∈[π12,2π3]，可得12x +π6∈[5π24,π2]，显然f(x)递增，故A 错；由f(x)的导数为f′(x)=cos(12x +π6)，取x 0=2π3，f(x 0)=2为最大值，则f′(x0)=cosπ2=0，故B错；f(x)≥1即2sin(12x+π6)≥12，即有2kπ+π6≤12x+π6≤2kπ+5π6，k∈Z，化为4kπ≤x≤4kπ+π3，k∈Z，故C错；由f(−π3)=2sin(−π6+π6)=0，可得f(x)的一个对称中心是(−π3,0)，故D对．故选：D．由题意可得f(0)=1，解得φ，由对称轴可得ω=12，则f(x)=2sin(12x+π6)，由正弦函数的单调性可判断A；由对称轴特点和导数，可判断B；由正弦函数的图象可得x的不等式组，解不等式可判断C；由对称中心的特点可判断D．本题考查三角函数的图象和性质，考查单调性和对称性的判断和运用，考查化简运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：本题考查了导数的综合应用及函数思想的应用，同时考查了构造法的应用．易知a=x23+23x，从而令f(x)=x23+23x，求导得f′(x)=23·(x−1)(x2+x+1)x2，从而判断函数的单调性与极值，从而解得．解：易知0不是方程x3−3ax+2=0的根，故3ax=x3+2，故a=x23+23x，令f(x)=x23+23x，则f′(x)=23·(x−1)(x2+x+1)x2，故当x∈(−∞,0)∪(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，f(1)=13+23=1，在直角坐标系中作出f(x)的示意图。

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(理)(三)试题(word无答案)

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（理）（三）试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则( )A．B．C．D．(★) 2 . 已知是虚数单位，，则（）A．B．C．D．(★) 3 . 设是等差数列的前项和，且，，则（）A．2017B．2019C．4036D．4038(★) 4 . 如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．(★) 5 . 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点，分别在双曲线的两条渐近线上，轴，，四边形为梯形，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 6 . 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．(★) 7 . 函数的图象大致为( )A．B．C．D．(★★)8 . 已知，，设，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．(★) 9 . 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A．31B．39C．47D．60(★★) 10 . 已知圆与抛物线相交于两点，且，若抛物线上存在关于直线对称的相异两点和，则线段的中点坐标为（）A．B．C．D．(★★★★) 11 . 已知三棱柱内接于一个半径为的球，四边形与均为正方形，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★★★) 12 . 设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，则函数零点的个数为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 已知向量，，且，则向量在方向上的投影为______.(★) 14 . 已知的展开式中含项的系数为，则实数______.(★★)15 . 已知等比数列的前项和为，且，若，，则满足的最大正整数的值为______.(★★) 16 . 某饮料厂生产，两种饮料.生产桶饮料，需该特产原料公斤，需时间小时；生产桶饮料，需该特产原料公斤，需时间小时，每天饮料的产量不超过饮料产量的倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多公斤，每天生产饮料的时间不低于生产饮料的时间，每桶饮料的利润是每桶饮料利润的倍，若该饮料厂每天生产饮料桶，饮料桶时利润最大，则_________.三、解答题(★★) 17 . 在中，，为上一点，且，.（Ⅰ）若，为钝角，求的长；（Ⅱ）若，求的周长.(★★) 18 . 已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，在收费元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了件这种包裹的两个统计数表如下：表包裹重量包裹数损坏件数表包裹重量出厂价（元件）卖价（元件）估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间和内的工艺品各件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．(★★★★) 19 . 如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，为三棱锥外一点，且为等边三角形．证明：；若平面平面，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的长．(★★) 20 . 已知椭圆的一个短轴端点为，过椭圆的一个长轴端点作圆的两条切线，且切线互相垂直.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，求圆上一点到直线所过定点的最小距离.(★★★★) 21 . 已知函数的最大值为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若方程有两个实根，且，求证：.(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标分别为，且的顶点都在圆上，将圆向右平移3个单位长度后，得到曲线.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设，曲线与相交于两点，求的值.(★★) 23 . 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值.。

百师联盟2020届高三冲刺卷(三)全国I卷数学(理)试卷及解析

百师联盟2020届高三冲刺卷（三）全国I 卷数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)注意事项：1、答卷关,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟,满分150分一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数1i1ia z -=+是纯虚数,则实数a 的值为（） A. 1 B. 1- C. 0 D. ±1【答案】A 【解析】将复数化简为z m ni =+的形式,若复数z 为纯虚数,则0m =,且0n ≠,可解得a 的值. 【详解】()()()()1i 1i 1i 11i 1i 1i 1i 22a a a az ----+===-++-, 因为复数z 是纯虚数,故102a-=,102a +-≠, 解得1a =. 故选：A.2.已知集合{}22|1A x x y =+=,集合{|B y y ==,则A B =（）A. []1,1-B. []0,1C. []1,0-D. ()1,1-【答案】B 【解析】根据圆的性质,函数的值域,结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】集合{}{}22|1|11A x x y x x =+==-≤≤,集合{}{}||0B y y x y y ===≥,所以[]0,1A B =. 故选：B3.在等比数列{}n a 中,561a a =,899a a =,则410a a 等于（） A. 9 B. 3± C. 3- D. 3【答案】D 【解析】根据等比数列的下标的性质进行求解即可【详解】由等比数列性质,得()256894109a a a a a a ⋅==,因为2641040a a a q ⋅=⋅>,解得4103a a =.故选：D4.函数()e ln xf x x x =在[)(]1,00,1-⋃上的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】本题可通过排除法找函数图像,先判断原函数是否具有奇偶性,再利用特殊值法可得出正确的选项.【详解】因为()()f x f x ≠-,()()f x f x ≠--, 所以函数()f x 为非奇非偶函数,排除选项B,C ；又因为1e 202f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭. 故选：A .5.刘徽是我国古代伟大的数学家,他的《九章算术注》和《海岛算经》被视为我国数学史上的瑰宝,他创立的“割圆术”理论上能把π的值计算到任意精度.“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积,如图,从正六边形开始,依次将边数增倍,使误差逐渐减小,当圆内接正三百六十边形时,由“割圆术”可得圆周率π的近似值为（）A. 360cos1︒B. 180cos1︒C. 360sin1︒D. 180sin1︒【答案】D【解析】圆内接正三百六十边形可以看成由360个顶角为1︒的等腰三角形构成,腰长与圆的半径相等,利用圆内接正三百六十边形的面积与圆的面积近似相等,计算π的近似值.【详解】设圆的半径为1,当圆内接正三百六十边形时,每边端点与圆心连线构成的小三角形均为腰为1,顶角为1︒的等腰三角形,则圆内接正多边形的面积为111sin1360180sin12S=⨯⨯⨯︒⨯=︒,圆的面积为π,用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积,即有180sin1π︒=.故选：D.6.实数x,y满足不等式组210,230,30x yx yx y-+≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则22z x y=+的最小值为（）A.14B.3555D.15【答案】D【解析】在平面直角坐标系内,画出可行解域,根据目标函数的几何意义,结合点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】作出可行域如图中阴影部分所示,22z x y=+的几何含义为过原点到阴影区域内的点距离的最小值的平方,易知原点到直线210x y -+=的距离()()22020115521d ⨯+⨯-+==+-,即原点到阴影区域的最小值,而215d =,则22z x y =+的最小值为15.故选：D7.若双曲线()222104y x a a -=>的渐近线与抛物线2112y x =+相切,则a =（）A. 2 2 C. 2 3【答案】A 【解析】根据导数的几何意义,结合双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】可以设切点为2001,12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,由y x '=,所以切线方程为()2000112y x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭,即200112y x x x =-+．因为已知双曲线的渐近线为2a ay x x b =±=±,所以200110,22x a x⎧-+=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩解得22a =故选：A8.二项式62x x ⎛+ ⎝的展开式中常数项为（）A. 80B. 60C. 30D. 8【答案】B 【解析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式62x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的通项公式366221662C C 2rr r r r r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, 令36042r r -=⇒=,所以常数项4256C 260T =⋅=. 故选：B9.在平面直角坐标系中,x 轴负半轴上有4个点,y 轴负半轴上有3个点,将x 轴负半轴上这4个点和y 轴负半轴上这3个点连成12条线段,这12条线段在第三象限内的交点最多有（） A. 6个 B. 12个 C. 18个 D. 24个【答案】C 【解析】根据四边形的构造方法,结合组合的知识进行求解即可.【详解】易知x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形,则这个四边形唯一的对角线交点在第三象限,适合题意．而这样的四边形共有2243C C 18⋅=个,于是最多有18个交点.故选：C10.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AB AA ==,2BC =,点P 为BC 中点,现有一只蚂蚁欲从点P 沿长方体的表面爬行到点1A 觅食,则蚂蚁爬行的最短距离为（）A. 2B. 3 510【答案】C 【解析】根据长方体展开的方式,结合勾股定理分类讨论求解即可.【详解】如图,将长方体1111ABCD A B C D -展开,由于两点之间线段最短,故点P 到点1A 应取直线段,图中路线①的长度221125d =+=,路线②的长度2224117d =+=,路线③的长度223215d =+=路线④的长度224125d =+=所以蚂蚁爬行的最短距离为5d =.故选：C11.已知()2,0P,曲折C ：4216x y =与直线l ：x a =（0a >且2a ≠）交于A ,B 两点,则PAB△的周长的最小值为（） A. 222- B. 232-C. 31-D. 21-【答案】B 【解析】化简曲线的方程,可利用抛物线定义将长度进行转化,得出PAB △的周长的最小值. 【详解】易知曲线C 是由两抛物线24x y =和24x y =-构成, 如图,设AB 与x 轴交于点D ,抛物线24x y =的焦点为F , 连接AF ,PF ,则()0,1F ,PAB △的周长()()()()22121231c AP AD AP AF PF =+=+-≥-=-,当F ,A ,P 的三点共线时取等号. 故选:B .12.在ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c 若sin sin sin sin sin sin sin sin A C C BB C A C--=++且3ab =．则ABC 面积的最大值为（）A. 1B. 34C.12【答案】B 【解析】根据正弦定理、余弦定理,结合基本不等式、三角形面积公式进行求解即可【详解】因为sin sin sin sin sin sin sin sin A C C BB C A C --=++,由正弦定理得,a c c bb c a c--=++,即2222a b c +=,由余弦定理 222222222212cos 22442a b a b a b c a b ab C ab ab ab ab ++-+-+===≥=,当且仅当222a b c ===,所以0,3C π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,sin 2C ≤,则113sin 2224ABC S ab C =≤=△, 所以ABC 面积的最大值34.故选：B二、填空题：本题共4小题．每小题5分,共20分．13.已知向量()1,1a =-,3,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭b ,若a b ⊥,则3+=a b __________. 【答案】2 【解析】利用两向量垂直数量积等于0得出b 的坐标,再计算出()3a b +的坐标,最后利用坐标计算3+a b.【详解】因为a b⊥,0n n -=⇒=, ()30,2a b +=,所以32a b +=.故答案为：2.14.若关于x 的不等3a x -<成立的必要不充分条件是25x -≤≤,则实数a 的取值范围是__________．【答案】[]1,2 【解析】根据必要不充分条件的定义,结合集合间的关系、绝对值的不等式解法进行求解即可. 【详解】由3a x -<得,33a x a -<<+,依题意有集合{}|33x a x a -<<+是集合{}|25x x -≤≤的真子集,所以满足32,35,a a -≥-⎧⎨+≤⎩解得12a ≤≤,则实数a 的取值范围是[]1,2．故答案为：[]1,215.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π,其一个对称中心为5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()f x =__________；把()y f x =的图象向左平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象,则函数()()y f x g x =+最小值为__________．（第1空2分,第2空3分）【答案】 (1). sin 26x (2). 1-【解析】根据正弦型函数的最小正周期公式和对称性可以求出()f x 的解析式,再利用正弦型函数图象的变换性质可以求出()y g x =的解析式,最后利用余弦型函数的性质,结合两角和的正弦公式和余弦公式求出最值.【详解】由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π, 得22T T ππ=⇒=,所以220,2T πωωω==>∴=,()()sin 2f x x ϕ=+,又其一个对称中心5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,即有5212k πϕπ⨯+=,k Z ∈,则56πk πϕ=-+,k Z ∈,又2πϕ<,所以6π=ϕ,()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()5sin 2cos 263ππg x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,函数()()sin 2cos 263ππy f x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos21x =≥-．故答案为：sin 26x；1-．16.己知函数()e x af x -=,1x ∃,2x R ∈,使()()()222121221,2F x x x f x x f x =-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,则实数a的取值范围为__________．【答案】[)0,+∞ 【解析】利用换元法,根据两点距离公式,导数的几何意义,结合存在性的定义、反函数的性质进行求解即可.【详解】令()2f x t =,则()2ln 0x t a t =+>,则()12,F x x 即为两点()()11,x f x ,(),ln t t a +的距离．设点(),1A a ,()1,B a ,因为()x af x e -'=,则函数()x a f x e -=在点A 处的切线斜率为()1f a '=,设函数()ln g x x a =+,则()1g x x'=,函数()g x 在点B 处的切线斜率为()11g '=,且1AB k =-,所以结合反函数的知识可得,AB 为()12,F x x 的最小值,所以由题意：当1a ≥时,函数()f x 与函数()g x 图象有交点,满足题意；当1a <时,函数()f x 与函数()g x 图象无交点,只须满足)1AB a -,解得01a ≤<；综上0a ≥．故答案为：[)0,+∞．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且1cos 4B =. （1）求2sinsin 22A CB ++的值；（2）若b =求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）58+；（2）6.【解析】（1）先利用同角三角函数基本关系式求出sin B ,再用降幂公式和正弦倍角化简结果,最后代入求值；（2）利用余弦定理列出边的等量关系,再用基本不等式得出ac 的最大值. 【详解】（1）因为1cos 4B =,所以215sin 1cos 4B B =-=, 222sin sin 2sin 2sin cos cos 2sin cos 222A C πB BB B B B B +-+=+=+ 1cos 2sin cos 2B B B +=+111515154224++=+⨯⨯=；（2）由余弦定理知,22222132cos 22b ac a B a c ac ac =+-=+-≥,所以22433ac b ≤=,当且仅当233a c ==时取“=”, 则ABC 的面积1141515sin 223ABC S ac B =≤⨯⨯=△, 即ABC 面积的最大值为15. 18.如图,直四棱柱1111ABCD A B C D -中,1111111122A B A D B C C D ====,1113B D DD ==,点E ,F 分别1CC ,1A D 中点．（1）证明：EF ∥平面1111D C B A ；（2）求二面角111F A B D --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）37729【解析】（1）取11A D 中点G ,连接FG ,1C G ,根据三角形中位线定理,结合平行四边形的判定定理和性质定理,线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据勾股定理的逆定理,结合直棱柱的性质,建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：如图,取11A D 中点G ,连接FG ,1C G , 因为点F ,为1A D 中点, 所以11FGDD CC ,且112FG DD =, 因为点E 为1CC 中点,所以1111122EC CC DD FG ===,即1FG EC ∥,1FG EC =,所以四边形1FGC E 为平行四边形, 所以1EFC G ,因为1C G ⊂平面1111D C B A ,EF ⊄平面1111D C B A , 所以EF 平面1111D C B A（2）因为111C D =,11B D =112B C =,所以222111111C D B D B C +=,即111B C D △为直角三角形,所以1111B D C D ⊥,因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直棱柱, 所以111DD B D ⊥,111DD C D ⊥,以1D 为坐标原点,分别以11D B ,11D C ,1D D 为x ,y ,z 轴建立如图所示空间直角坐标系,可得,()10,0,0D ,1A ⎫⎪⎪⎝⎭,)1B ,(D ,所以,442F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,113,,022A B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,1,442A F ⎛=- ⎝⎭易知平面111A B D 的一个法向量()0,0,1m =,设平面11FA B 的一个法向量(),,n x y z =,则11100A B n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3130,2231330,442x y x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩可取13x =,则()13,3,13=-n ,以1D 为坐标原点,分别以11D B ,11D C ,1D D 为x ,y ,z 轴建立如图所示空间直角坐标系,由图可知二面角11F A B -为锐角,设二面角111F A B D --大小为θ,则377cos θ⋅==⋅m n m n ．19.已知点33,P ⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上,且椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点,若椭圆C 的弦AB 中点在线段OP （不含端点O ,P ）上,求OA OB ⋅取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）3915,124⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】（1）把点33,2P ⎫⎪⎪⎭的坐标代入椭圆的标准方程中,根据椭圆离心率公式,结合222a b c =+进行求解即可；（2）设出点,A B 的坐标,运用点差法求出直线AB 的斜率,设出直线AB 的方程,与椭圆方程联立,结合平面向量数量积的坐标表示公式和一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行求解即可.【详解】（1）由条件知223314a b+=,12c a =,结合222a b c =+解得2a =,3b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设点A ,B 的坐标为()11,A x y ,()22,B x y ,则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段OP 上,且12OPk =,所以()12122x x y y +=+,又2211143x y +=,2222143x y +=,两式相减得,()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=,易知120xx -≠,120y y +≠,所以()()121212123342x x y y x x y y +-=-=--+,即32AB k =-．设AB 方程为32y x m =-+,代入22143x y +=并整理得223330x mx m -+-=．由()23120m ∆=->解得212m <,又由(1222x x m+=∈,所以0m << 韦达定理得12x x m +=,21233m x x -=,故121212123322OA OB x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()222121239373934212m m x x m x x m --=+-++=．而0m <<所以OA OB ⋅的取值范围是3915,124⎛⎫- ⎪⎝⎭．20.已知函数()()11e e 2xx f x a x a -=-∈R ．（1）若0x =为函数()f x 的极值点,求函数()f x 的值域；（2）是否存在a 值,使得不等式()1f x ae >-对任意0x ≥恒成立？若存在,求a 的取值范围；若不存在,说明理由．【答案】（1）2a e =；函数()f x 的值域为：[),e +∞；（2）2(0,)21e -.【解析】（1）根据函数极值的定义,结合导数的性质进行求解即可；（2）对原不等式进行变形,构造新函数,根据a 的正负性结合导数的性质分类讨论进行求解即可.【详解】（1）()()1'1111e e e e e 22x x x x xf x a x f x a x ---=-⇒=-+,由题意可知：()'100e 022f a a e =⇒-=⇒=,()'11112e e e (1)x x x x x f x x e e x +---=-+=-+,令2'2()1()210x x g x e x g x e =-+⇒=+>,所以()g x 是单调递增函数,而(0)0g =, 因此当0x >时,'()(0)0()0,()g x g f x f x >=⇒>单调递增,当0x <时,'()(0)0()0,()g x g f x f x <=⇒<单调递减,所以函数()f x 的最小值为()0f e =,因此函数()f x 的值域为：[),e +∞；（2）()1211e e 1(e )22(1)02x x x xf x ae a x ae a ex ae e ->-⇒->-⇒--->,设2()(e )22(1)x x g x a ex ae e =---,问题转化为当0x ≥时,()0>g x 恒成立. 当0a =时,()22x g x ex e =-+,显然有(1)220g e e =-+=,不符合题意；当0a <时,当x →+∞时,22()(e )22(1)[2(1)],()x x x x xexg x a ex ae e e ae ae g x e =---=---∴→-∞,不符合题意；当0a >时,'2()2(e )22(1)2(e 1)(e 1)x x x x g x a e ae e a =---=+-,当0x ≥时,'()0g x ≥,因此函数()g x 是单调递增函数,因此由0x ≥,可得()(0)(12)2g x g a e ≥=-+,所以当0x ≥时,函数()g x 的最小值为(12)2a e -+,要想在0x ≥时,()0>g x 恒成立,只需22(12)20,002121a e a a a e e -+>⇒<>∴<<--,综上所述：存在a 值,使得不等式()1f x ae >-对任意0x ≥恒成立,取值范围为：2(0,)21e -.21.2020年春节即将来临,某市一商家为了在春节期间更好地推销某种商品,决定分析2019年春节期间的销售情况以进行反馈调整,已知该商品去年日营销费用和日销售量的关系如下表所示：并随机抽取了200名老顾客进行了2020年购买意愿调查,得到的部分数据如下表所示：（1）求出相关系数r 的大小,并判断去年日销售量y 与日营销费用x 具有哪种线性相关．（规定：若0.4r <为低度线性相关；若0.40.7r <<为显著性相关；若0.71r ≤<线性相关；若0r =为无线性相关．）（2）判断是否有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性．（3）该商家为了在今年春节期间吸引更多的顾客,设计了一个小游戏：顾客可以根据抛一张只有正反面的卡片出现的结果,操控一枚棋子在方格纸上行进,若小棋子最终停在“幸运格”,则可获得购物优惠券2千元,已知卡片出现正,反面的概率分别为23,13,方格纸上标有第0格,第1格,第2…第30格．棋子开始在第0格,顾客每抛一次卡片,棋子向前移动一次．若抛出正面,棋子向前移动一格（从k 到1k +）；若抛出反面,棋子向前移动两格（从k 到2k +）,直到棋子移到第29格（“幸运格”）或第30格（“无缘格”）时,游戏结束．设棋子移到第n ()129n ≤≤格的概率为n p ．（ⅰ）试求n p 的通项公式；（ⅱ）并求参与游戏一次的顾客获得购物优惠券金额的期望值．参考公式：()()niix x y y r --=∑,()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++．临界值表：2.236≈．【答案】（1）线性相关；（2）有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性；（3）（ⅰ）311()(,129)443n n p n N n =+⋅-∈≤≤；（ⅱ）1500元. 【解析】（1）利用所给的公式进行计算,结合已知所给的规定进行求解即可；（2）根据题意补全列联表,根据题中所给的公式求出2K 的值,并根据临界值进行判断即可；（3）（ⅰ）先求123,,p p p 的值,再求出数列的递推公式,然后对递推公式进行变形,结合累和法和等比数列前n 项和公式进行求解即可；（ⅱ）运用数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）2345617202423264,2255xy ++++++++====,()()1(24)(1722)(34)(2022)(44)(2422)(54)(2322)(64)(2622)21;niii x x y y =--=--+--+--+--+--=∑2(24)-===因此0.939r==≈,所以有0.71r≤<成立,因此去年日销售量y与日营销费用x具有线性相关；（2）因为随机抽取了200名老顾客进行了2020年购买意愿调查,所以根据表中数据所知女性顾客中不愿意继续购买的人数为200100503020---=,因此列联表如下：因为22200(502010030)11.1180120150510.828K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,所以有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性；（3）（ⅰ）由题意可得；11232212271222220,,333393333327p p Cp==+⨯==⋅⨯+⨯⨯=,由题意经过分析得：1221(,329)33n n np p p n N n--=+∈≤≤,变形为：1121()3n n n np p p p----=--,因此数列{}1n np p--是以32127p p-=-为首项,13-为公比的等比数列,因此3111()(,329)273nn np p n N n---=-⋅-∈≤≤,所以有：1122343()()()()n n n n n n np p p p p p p p p-----=-+-+-+-3451111111120()[()][()][()]27327327327327n n n---=-⋅-+-⋅-+-⋅-++-⋅-+3451111120[()()()()]27333327n n n---=--+-+-++-+311()[1()]12033127271()3n--⨯--=-⨯+--311()443n=+⋅-1,2,3n=也适合,因此311()(,129)443nnp n N n=+⋅-∈≤≤；（ⅱ）由题意可知：小棋子最终停在“幸运格”,可获得购物优惠券2千元,而第29格是“幸运格”,所以参与游戏一次的顾客获得购物优惠券金额的期望值为：292931120002000[()]1500443p =+⋅-≈元.（二）选考题：10分．请考生第22、23题中任选一题．．．．作答,如果多做,则按所做的第一题计分．作答时,请写清题号．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1,21,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,单位长度相同,曲线C 的极坐标方程为23cos 2ρθρ-=.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）已知点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭,直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求MA MB ⋅.【答案】10y -+=,12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）；(2) 2.【解析】（1）利用代入消参的方法的出线l 的直角坐标方程,利用公式转化得出曲线C 的参数方程；（2）点M 在直线l 上,可用直线参数方程参数的几何意义计算MA MB⋅.【详解】（1）由已知可得直线l 10y -+=,∵23cos 2ρθρ-=,∴22cos 3ρρθ+=, ∴2223x y x ++=,∴曲线C 的直角坐标方程为()2214x y ++=,∴曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）∵点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭∴点M 的直角坐标为()01，,点M 在直线l 上,设111122A t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，,221122B t t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，, 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得221142t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴)2120t t +-=,有韦达定理可得122t t =-, ∴122MA MB t t ⋅==. 【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()21f x x x =++-,()1g x x a =-+. （1）解不等式()4f x ≥；（2）当2a ≥时,若对任意[]12,2x ∈-,都存在[]22,2x ∈-,使得()()12f x g x =成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）5322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，；（2）[]24，. 【解析】（1）利用分类讨论去绝对值的方法解绝对值不等式；（2）若对任意[]12,2x ∈-,都存在[]22,2x ∈-,使得()()12f x g x =成立,则()f x 的值域是()g x 的值域的子集,以此求实数a 的取值范围. 【详解】（1）①2x <-时()214f x x x =---+≥,得52x ≤-,∴52x ≤-,②21x -≤≤时()214f x x x =+-+>,得34>,∴无解, ③1x >时()214f x x x =++-≥,得32x ≥, ∴32x ≥, 综上所述,原不等式的解集为5322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，；（2）∵2a ≥,[]2,2x ∈-()21f x x x =++-,()1g x x a =-+, ∴()3212112x f x x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩，，,即()35f x ≤≤,()1g x x a =-++,若对任意[]12,2x ∈-,都存在[]22,2x ∈-,使得()()12f x g x =成立,则有()()()22152213g a g a ⎧-=--++≥⎪⎨=-++≤⎪⎩得24a ≤≤,且2a ≥∴实数a 的取值范围[]24，.。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(三)(全国Ⅰ卷)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（三）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|2x >2}，B ＝{y|y ＝x 2, x ∈R}，则(∁R A)∩B ＝（） A.[0, 1) B.(0, 2) C.(−∞, 1] D.[0, 1]2. 已知i 是虚数单位，若z(1−12i)=12i ，则|Z|＝（） A.1 B.√32C.√5D.√553. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 9−S 7＝30，a 2＝2，则a 2019＝（） A.2017 B.2019C.4036D.40384. 如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T ，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T 的概率是（）A.18B.14C.12D.235. 已知O 为坐标原点，双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，BO →⋅BA →<0，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是（） A.(1,2√33) B.(2√33, +∞) C.(1, 2√3) D.(2√3, +∞)6. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.2π−33B.2π−23C.2π3D.4π−137. 函数f(x)＝(x 2−2|x|)e |x|的图象大致为（）A.B.C. D.8. 已知a >b >0，ab ＝1，设x =b 2,y =log 2(a +b),z =a +1b ，则log x 2x ，log y 2y ，log z 2z 的大小关系为（）A.log x 2x >log y 2y >log z 2zB.log y 2y >log z 2z >log x 2xC.log x 2x >log z 2z >log y 2yD.log y 2y >log x 2x >log z 2z9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A.31B.39C.47D.6010. 已知圆O:x 2+y 2＝3与抛物线C:y 2＝2px(p >0)相交于A ，B 两点，且|AB|＝2√2，若抛物线C 上存在关于直线l:x −y −2＝0对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（） A.(1, −1) B.(2, 0)C.(12, −32)D.(1, 1)11. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1内接于一个半径为√3的球，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为正方形，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，C 1M =12A 1B 1，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（）A.310 B.√3010C.710D.√701012. 设函数f(x)=a sin ωx +b cos ωx(ω>0)在区间[π6,π2]上单调，且f(π2)=f(2π3)=−f(π6)，当x =π12时，f(x)取到最大值4，若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则函数y =g(x)−√x +π3零点的个数为( ) A.4 B.5C.6D.7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.已知向量a →=(2, 1)，b →=(m, −1)(m ∈R)，且b →⊥(2a →−b →)，则向量a →在b →方向上的投影为________．已知(x −1ax )9的展开式中含x 3项的系数为−212，则实数a ＝________．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝a 1⋅a 2⋅a 3⋅a 4•…•a n ，若a 7＝2，a 10＝16，则满足S n >T n 的最大正整数n 的值为________．某饮料厂生产A 、B 两种饮料．生产1桶A 饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时(m, n ∈N ∗)利润最大，则m +n =________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在△ABC 中，AB ＝2√3，D 为BC 上一点，且BC ＝3BD ，AD ＝2． (Ⅰ)若B ＝30∘，∠ADB 为钝角，求CD 的长；(Ⅱ)若sin ∠BADsin ∠CAD =√33，求△ABC 的周长．已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如表：表1表2(1)估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；(2)将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间(2, 3]和(3, 4]内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABD 是等边三角形，BC ⊥CD ，BC =CD =√2，E 为三棱锥A −BCD 外一点，且△CDE 为等边三角形． (1)证明：AC ⊥BD ；(2)若平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为√33．求BE 的长．已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个短轴端点为M(0, 1)，过椭圆C 1的一个长轴端点作圆C 2:x 2+y 2＝b 2的两条切线，且切线互相垂直． (Ⅰ)求椭圆C 1的方程；(Ⅱ)过点M 分别作出直线MA ，MB 交椭圆C 1于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k MA ，k MB ，且k MA +k MB ＝4，求圆C 2上一点P 到直线AB 所过定点Q 的最小距离．已知函数f(x)＝ln x −ax(a ∈R)的最大值为−1． (Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若方程f(x)＝2−x −12x 有两个实根x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1+x 2>1．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t ，y =1+√22t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4, π6)，(4, 5π6)，(4, 3π2)，且△ABC 的顶点都在圆C 2上，将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3． (1)求曲线C 3的直角坐标方程；(2)设M(1, 1)，曲线C 1与C 3相交于P ，Q 两点，求|MP|⋅|MQ|的值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|3x −1|+|x −2|． (1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若m >1，n >1，对∀x ∈R ，不等式3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立，求mn 的最小值．参考答案与试题解析2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（三）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】集合A 结合指数函数图象，解指数不等式；集合B 为一元二次函数求最值，得到集合A ，B ，再利用集合运算得到答案．【解答】∵ A ＝{x|2x >2}＝{x|x >1}， ∴ ∁R A ＝{x|x ≤1} 又∵ B ＝{y|y ≥0} ∴ (∁R A)∩B ＝[0, 1]． 2.【答案】 D【考点】复数的模【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】∵ z(1−12i)=12i ，即z(2−i)＝i ，∴ z(2−i)(2+i)＝i(2+i)，∴ z =−15+25i ．则|Z|=√(−15)2+(25)2=√55． 3.【答案】 C【考点】等差数列的通项公式【解析】由S 9−S 7＝30，得a 8+a 9＝30，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】由S 9−S 7＝30，得a 8+a 9＝30，所以2a 1+15d ＝30，又a 1+d ＝2，所以d ＝2，a 1＝0，所以a n ＝0+2(n −1)＝2n −2，所以a 2019＝2×2019−2＝4036． 4.【答案】 B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】分别求出各自的面积，转化为面积比即可．【解答】设小三角形的边长为1，每个小三角形的面积为√34，六个小三角形的面积之和为6×√34=3√32，又长方形的宽为3，长为4×√32=2√3，所以长方形的面积为6√3，故此点取自阴影部分T 的概率是3√326√3=14．5.【答案】 A【考点】双曲线的离心率【解析】求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：O 为坐标原点，双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上， AF ⊥x 轴，四边形OAFB 为梯形，可得A(c, bc a )，BF 的方程为：y =ba (x −c)，与y =−ba x 联立，可得B(c2, −bc2a )， BO →⋅BA →<0，可得(−c 2,bc2a )⋅(c2, 3bc2a )<0，可得：−c 24+3b 2c 24a 2<0，3b 2a 2<1，可得3c 2<4a 2，所以1<e <2√33．故选A . 6. 【答案】 B【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，正四棱锥的底面边长为√2，高为1，再由半球体积减去棱锥体积公式得答案．【解答】根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，正四棱锥的底面边长为√2，高为1，∴ 四棱锥的体积为13×√2×√2×1=23，半球的体积为23×π×13=2π3，故该几何体的体积为2π−23．7.【答案】 B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据题意，分析可得f(x)为偶函数，排除C ，计算f(1)的值，排除AD ，即可得答案．【解答】故选：B ． 8.【答案】 B【考点】对数值大小的比较【解析】根据条件可先得出log x 2x =1+log b 2a2，log y 2y =1+1log2log 2(a+b)，log z 2z =1+1log 2(a+1b)，而根据a >b >0，ab ＝1即可得出a >1>b >0，从而可得出1<log 2(a +b)<a +1b ，从而可得出1log 2log 2(a+b)>1log 2(a+1b )>0，而可以得出log b 2a 2<0，这样即可得出log x 2x ，log y 2y ，log z 2z 的大小关系．【解答】 log x 2x =1+log b 2a 2，log y 2y =1+log log a (a+b)2=1+1log 2log 2(a+b)，log z 2z =1+log (a+1b )2=1+1log 2(a+1b )， ∵ a >b >0，ab ＝1， ∴ a >1>b >0， ∴ 2<a +b <4,a +1b >2，log 2(a +b)<2，∴ 1<log 2(a +b)<a +1b ，∴ 0<log 2log 2(a +b)<log 2(a +1b)，∴ 1log2log 2(a+b)>1log 2(a+1b)>0，又0<b2a <1，∴ log b 2a2<0，∴ log y 2y >log z 2z >log x 2x ． 9. 【答案】 D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】根据题意， T ＝0，n ＝1； T ＝8，n ＝2； T ＝8+4，n ＝3； T ＝8+4+4，n ＝4； T ＝8+4+4+8，n ＝5； T ＝8+4+4+8+0，n ＝6；T ＝8+4+4+8+0+12，n ＝7； T ＝8+4+4+8+0+12−4，n ＝8；T ＝8+4+4+8+0+12−4+16，n ＝9；T ＝8+4+4+8+0+12−4+16−8，n ＝10；T ＝8+4+4+8+0+12−4+16−8+20，n ＝11，故输出的结果为T ＝8+4+4+8+0+12−4+16−8+20＝60． 10.【答案】 A 【考点】圆与圆锥曲线的综合问题【解析】由已知可得A 或B 的坐标，代入抛物线方程求解p ，则抛物线方程可求，设点P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由点差法求得k PQ ，再由P ，Q 关于直线l 对称得PQ 中点的纵坐标，进一步求解横坐标得答案．【解答】 ∵ A ，B 关于x 轴对称，∴ A ，B 纵坐标为±√2，横坐标为1，代入y 2＝2px(p >0)，得p ＝1，可得y 2＝2x ．设点P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．则{y 12=2x 1y 22=2x 2 ，则(y 1−y 2)(y 1+y 2)＝2(x 1−x 2)，∴ k PQ =2y 1+y 2，又∵ P ，Q 关于直线l 对称．∴ k PQ ＝−1，即y 1+y 2＝−2，∴ y 1+y22=−1，又∵ PQ 的中点一定在直线l 上，∴ x 1+x 22=y 1+y22+2=1．∴线段PQ的中点坐标为(1, −1)．11.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】四边形A1ACC1与B1BCC1均为正方形，∴CC1⊥底面ABC．即三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱．M，N分别是A1B1，A1C1的中点，C1M=12A1B1，可得∠A1C1B1＝90∘．设AC＝x，根据三棱柱ABC−A1B1C1内接于一个半径为√3的球，利用勾股定理可得x，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．【解答】四边形A1ACC1与B1BCC1均为正方形，∴CC1⊥底面ABC．即三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱．M，N分别是A1B1，A1C1的中点，C1M=12A1B1，∴∠A1C1B1＝90∘．设AC＝x，∵三棱柱ABC−A1B1C1内接于一个半径为√3的球，∴(√3)2=(√22x)2+(12x)2，解得x＝2．∴A(0, −2, 0)，B(−2, 0, 0)，N(0, −1, 2)，M(−1, −1, 2)，∴AN→=(0, 1, 2)，BM→=(1, −1, 2)，∴cos<AN→，BM→>=√5×√6=√3010．12.【答案】D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换根的存在性及根的个数判断函数的零点【解析】由题知f(x)＝a sinωx+b cosωx=√a2+b2sin(ωx+φ)，由f(π2)=f(2π3)=−f(π6)得出对称中心及对称轴，得出T，再得出f(x)解析式，再由变换得出g(x)，再分别画出g(x)与y=√x+π3图象，即可得出结论．【解答】解：f(x)=a sinωx+b cosωx=√a2+b2sin(ωx+φ)(ω>0)，所以π2−π6≤T2=12⋅2πω=πω，即0<ω≤3，又f(π2)=f(2π3)=−f(π6)，所以x=π2+2π32=7π12为f(x)对称轴,且π2+π62=π3，则(π3,0)为f(x)的一个对称中心，由于0<ω≤3，所以x=7π12与(π3,0)为同一个周期里相邻的对称轴和对称中心，则T=4(7π12−π3)=π，∴ω=2，又√a2+b2=4，且f(π12)=a sin2π12+b cos2π12，解得a=2,b=2√3，故f(x)=2sin2x+2√3cos2x=4sin(2x+π3)，由图象变换得g(x)=4sin(x+π3)，g(x)在(−π3,0)处的切线斜率为g′(−π3)=4cos(−π3+π3)=4，又y=√x+π3在(−π3,0)处的切线斜率不存在，即切线方程为x=−π3，所以x=−π3右侧g(x)图象较缓，如图所示：同时√x+π3>4时，x>16−π3，所以的零点有7个.故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【答案】√22或√102【考点】平面向量数量积的含义与物理背景数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】本题先根据向量运算计算出2a →−b →=(4−m, 3)，然后根据向量垂直即数量积为0，代入计算可得m 的取值，即可得到b →=(1, −1)，或b →=(3, −1)，然后根据向量a →在b →方向上的投影公式a →⋅b →|b →|代入进行计算可得结果．【解答】由题意，可知2a →−b →=(4−m, 3)， ∵ ∵ b →⊥(2a →−b →)， ∴ m(4−m)−3＝0，整理，得m 2−4m +3＝0，解得m ＝1，或m ＝3，∴ b →=(1, −1)，或b →=(3, −1)， ∴ 向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√2=√22，或a →⋅b →|b →|=√10=√10=√102．【答案】 2【考点】二项式定理及相关概念【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含x 3项的系数．【解答】(x −1ax )9的展开式的通项公式为 T r+1=C 9r x 9−r (−1ax )r =C 9r x 9−2r(−1a )r ，所以由9−2r ＝3，求得 r ＝3，得含x 3项的系数为 C 93(−1a)3=−212，∴ a ＝2，【答案】 12【考点】数列的求和【解析】先由题设条件求出等比数列{a n }的通项公式，再求S n 、T n ，然后求出结果．【解答】根据题意，a 7＝2，a 10＝16，∴ 公比q ＝2，所以a n =2n−6，记S n =a 1+a 2+⋯+a n =132(1−2n )1−2=2n −132，T n =a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n =2−5⋅2−4⋅⋯⋅2n−6=2n(n−11)2，由题意S n >T n ，即2n −125>2n(n−11)2，∴ 2n−1>2n(n−11)2+5=2n 2−11n+102，∴ 2n−2v 2−11n+102>1，因此只需n >n 2−11n+102，∴ n 2−13n +10<0，∴13−√1292<n <13+√1292，由于n 为整数，因此n 最大为13+√1292的整数部分，即为（12）【答案】 7【考点】简单线性规划线性规划的实际应用【解析】设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别是x 桶，y 桶，则有{x ≥0,y ≥0x ≤2y3x ≥y100y +100x −750≤0，作出可行域，目标函数为z ＝1.5x +y ，则y ＝−1.5x +z ，z 表示直线在y 轴上的截距，求出当直线y ＝−1.5x +z 经过点(4, 3)，即m ＝4，n ＝3时，利润最大，由此能求出结果．【解答】解：设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别是x 桶，y 桶，则有{x ≥0,y ≥0，x ≤2y ，3x ≥y ，100y +100x −750≤0，则其表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为z =1.5x +y ，则y =−1.5x +z ，z 表示直线在y 轴上的截距，∵ x ，y 只取整数，∴ 当直线y =−1.5x +z 经过点(4, 3)，即m =4，n =3时，利润最大， ∴ m +n =7．故答案为：7.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】（1）在△ABD 中，由正弦定理得ABsin ∠ADB =ADsin B ，∴ 2√3sin ∠ADB =2sin 30，解得sin∠ADB=√32，则∠ADB＝120∘，∠BAD＝30∘，所以AD＝BD＝2，所以CD＝2BD＝（4）（2）由BC＝3BD，得S△BADS△CAD =12，所以S△BADS△CAD =12AB⋅AD sin∠BAD12AC⋅AD sin∠CAD=12，因为sin∠BADsin∠CAD =√33，AB=2√3，所以AC＝4，由余弦定理得AC2＝AD2+(2x)2−2AD⋅2x cos∠ADC；AB2＝AD2+x2−2AD⋅x cos∠ADB，42＝22+ (2x)2−2×2⋅2x cos∠ADC；(2√3)2=22+x2−2×2⋅x cos∠ADB，可得x=√423，所以BC=√42，故△ABC的周长为2√3+4+√42．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB=√32，可求出∠ADB的大小，从而求出CD的值；(Ⅱ)根据题意可得sin∠BADsin∠CAD =√33，AB=2√3，所以AC＝4，再利用余弦定理求出BC=√42，从而得到△ABC的周长．【解答】（1）在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB =ADsin B，∴2√3sin∠ADB=2sin30，解得sin∠ADB=√32，则∠ADB＝120∘，∠BAD＝30∘，所以AD＝BD＝2，所以CD＝2BD＝（4）（2）由BC＝3BD，得S△BADS△CAD =12，所以S△BADS△CAD =12AB⋅AD sin∠BAD12AC⋅AD sin∠CAD=12，因为sin∠BADsin∠CAD =√33，AB=2√3，所以AC＝4，由余弦定理得AC2＝AD2+(2x)2−2AD⋅2x cos∠ADC；AB2＝AD2+x2−2AD⋅x cos∠ADB，42＝22+ (2x)2−2×2⋅2x cos∠ADC；(2√3)2=22+x2−2×2⋅x cos∠ADB，可得x=√423，所以BC=√42，故△ABC的周长为2√3+4+√42．【答案】解：(1)由统计表估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值为：x¯=1100(40×10+25×15+20×20+10×25+5×30)=15.75（元）．(2)重量在(2, 3]的产品数为20，其损坏率为220=0.1，重量在(3, 4]的产品数为10，其损坏率为310=0.3，设重量在(2, 3]的这件产品的利润记为X，则X1=70−30−20=20，X2=−(30+20)+30×0.9=−23．设重量在(3, 4]的这件产品的利润记为Y，则Y1=90−40−25=25，Y2=−(40+25)+40×0.9=−29，∴X+Y的可能取值为45，2，−9，−52，∴P(X+Y=45)=0.9×0.7=0.63，P(X+Y=2)=0.1×0.7=0.07，P(X+Y=−9)=0.9×0.3=0.27，P(X+Y=−52)=0.1×0.3=0.03，∴该厂家这两件工艺品获得利润的分布列为：+(−9)×0.27+(−52)×0.03=24.5．【考点】众数、中位数、平均数离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)由统计表能估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值．(Ⅱ)重量在(2, 3]的产品数为20，其损坏率为220=0.1，重量在(3, 4]的产品数为10，其损坏率为310=0.3，设重量在(2, 3]的这件产品的利润记为X，重量在(3, 4]的这件产品的利润记为Y，X+Y的可能取值为45，2，−9，−52，分别求出相应的概率，由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．【解答】解：(1)由统计表估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值为：x¯=1100(40×10+25×15+20×20+10×25+5×30)=15.75（元）．(2)重量在(2, 3]的产品数为20，其损坏率为220=0.1，重量在(3, 4]的产品数为10，其损坏率为310=0.3，设重量在(2, 3]的这件产品的利润记为X，则X1=70−30−20=20，X2=−(30+20)+30×0.9=−23．设重量在(3, 4]的这件产品的利润记为Y，则Y1=90−40−25=25，Y2=−(40+25)+40×0.9=−29，∴ X +Y 的可能取值为45，2，−9，−52， ∴ P(X +Y =45)=0.9×0.7=0.63， P(X +Y =2)=0.1×0.7=0.07， P(X +Y =−9)=0.9×0.3=0.27， P(X +Y =−52)=0.1×0.3=0.03，∴ 该厂家这两件工艺品获得利润的分布列为：期望E(X +Y)=45×0.63+2×0.07+(−9)×0.27+(−52)×0.03=24.5．【答案】(1)证明：取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，根据题意，AO ⊥BD ，又BC =CD ，故CO ⊥BD ，又CO ∩AO =O ，所以BD ⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，所以AC ⊥BD ； (2)解：由平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，以O 为原点，OC ，OD ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：BD =2，AO =√3，取CD 的中点F ，连接OF ，显然CD ⊥平面EOF ，故OF =√22，EF =CD ⋅√32=√62，则O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)， A(0, 0, √3)，B(0, −1, 0)，F(12,12,0)，设∠EFG =θ，则E(√32cos θ+12,√32cos θ+12,√62sin θ)， CD →=(−1,1,0)，CE →=(√32cos θ−12,√32cos θ+12,√62sin θ)，设平面ECD 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅CD →=0,m →⋅CE →=0,即{−x +y =0,(√32cos θ−12)x +(√32cos θ+12)y +√62sin θz =0,得m →=(1,1,−√2cot θ)，平面ABD 的法向量为OC →=(1,0,0)，由|cos <OC →,m →>|=2=√2=√33， sin θ=√63，cos θ=±√33，故E(1, 1, 1)或者(0, 0, 1)（舍弃），故BE =√6．【考点】用空间向量求平面间的夹角两条直线垂直的判定【解析】（I ））取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，现证明BD ⊥平面AOC ，再得到结论；(II)以O 为原点，OC ，OD ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设∠EFG ＝θ，求出平面ECD 和平面ABD 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，求出E 的坐标，得出结论．【解答】(1)证明：取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，根据题意，AO ⊥BD ，又BC =CD ，故CO ⊥BD ，又CO ∩AO =O ，所以BD ⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，所以AC ⊥BD ； (2)解：由平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，以O 为原点，OC ，OD ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：BD =2，AO =√3，取CD 的中点F ，连接OF ，显然CD ⊥平面EOF ，故OF =√22，EF =CD ⋅√32=√62，则O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)， A(0, 0, √3)，B(0, −1, 0)，F(12,12,0)，设∠EFG =θ，则E(√32cos θ+12,√32cos θ+12,√62sin θ)， CD →=(−1,1,0)，CE →=(√32cos θ−12,√32cos θ+12,√62sin θ)，设平面ECD 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅CD →=0,m →⋅CE →=0,即{−x +y =0,(√32cos θ−12)x +(√32cos θ+12)y +√62sin θz =0,得m →=(1,1,−√2cot θ)，平面ABD 的法向量为OC →=(1,0,0)，由|cos <OC →,m →>|=√2=√2=√33， sin θ=√63，cos θ=±√33，故E(1, 1, 1)或者(0, 0, 1)（舍弃），故BE =√6．【答案】（1）根据题意，b ＝1，又过椭圆C 1的一个长轴端点所作的圆C 2的两条切线互相垂直，所以sin 45=ba =√22，所以a =√2，故椭圆C 1的方程为x 22+y 2=1．（2）①当直线斜率存在时，设直线AB 方程为y ＝kx +m ，A(x A , y A )，B(x B , y B )，代入椭圆C 1的方程得(12+k 2)x 2+2kmx +m 2−1=0，所以x A +x B =−2km12+k 2，x A ⋅x B =m 2−112+k 2，故k MA =y A −1x A，k MB =y B −1x B，所以k MA +k MB =y A −1x A+y B −1x B=y A x B +y B x A −(x A +x B )x A x B=2k +(m−1)(x A +x B )x A x B=2k −2kmm+1=4，所以m =k2−1，∴ 将m =k 2−1代入y ＝kx +m 得：y =kx +k 2−1，所以直线必过Q(−12,−1)．②当直线AB 斜率不存在时，A(t,√1−t 22)，B(t,−√1−t 22)，k MA +k MB =√1−t 22−1t+−√1−t 22−1t=−2t=4，解得t =−12，则直线AB 也过点Q(−12,−1)．故PQ|≥√(−12)2+1−1=√52−1，从而点P 到点Q 的最小距离为√52−1．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)依题意，易得b ＝1，且sin 45=b a=√22，由此求得a ，进而得到椭圆方程； (Ⅱ)①当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，表示出k MA ，k MB ，再根据题设可得m =k2−1，由此求得定点Q(−12,−1)；②当直线AB 斜率不存在时，容易求得顶点Q 的坐标也为(−12,−1)；再由直线与圆的位置关系即可求得最小距离．【解答】（1）根据题意，b ＝1，又过椭圆C 1的一个长轴端点所作的圆C 2的两条切线互相垂直，所以sin 45=ba =√22，所以a =√2，故椭圆C 1的方程为x 22+y 2=1．（2）①当直线斜率存在时，设直线AB 方程为y ＝kx +m ，A(x A , y A )，B(x B , y B )，代入椭圆C 1的方程得(12+k 2)x 2+2kmx +m 2−1=0，所以x A +x B =−2km12+k 2，x A ⋅x B =m 2−112+k 2，故k MA =y A −1x A，k MB =y B −1x B，所以k MA +k MB =y A −1x A+y B −1x B=y A x B +y B x A −(x A +x B )x A x B=2k +(m−1)(x A +x B )x A x B=2k −2kmm+1=4，所以m =k2−1，∴ 将m =k 2−1代入y ＝kx +m 得：y =kx +k 2−1，所以直线必过Q(−12,−1)．②当直线AB 斜率不存在时，A(t,√1−t 22)，B(t,−√1−t 22)，k MA +k MB =√1−t 22−1t+−√1−t 22−1t=−2t =4，解得t =−12，则直线AB 也过点Q(−12,−1)．故PQ|≥√(−12)2+1−1=√52−1，从而点P 到点Q 的最小距离为√52−1．【答案】（1）f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=1x −a(x >0)，当a ≤0时，f ′(x)=1x−a >0，即函f(x)在(0, +∞)上单调递增，无最大值．当a >0时，令f ′(x)=1x −a =0，可得x =1a ，当0<x <1a 时，f ′(x)=1−ax x>0；当x >1a 时，f ′(x)=1−ax x<0，故函数f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减．所以f(x)max =f(1a )=−ln a −1，所以−ln a −1＝−1，∴ a ＝1．故f(x)＝ln x −x ．（2）证明：设G(x)=f(x)−(2−x −12x)=ln x +12x−2(x >0)，因为x 1，x 2是函数G(x)=ln x +12x −2的两个零点，所以ln x 1+12x 1−2=0，ln x 2+12x 2−2=0．两式相减，可得ln x 1x 2=12x 2−12x 1，即ln x1x 2=x 1−x 22x 2x 1，故x 1x 2=x 1−x 221nx 1x 2．那么x 1=x 1x 2−121n x 1x 2，x 2=1−x 2x 121n x 1x 2．令t =x1x 2，其中0<t <1，则x 1+x 2=t−121nt+1−1t21nt =t−1t21nt．构造函数ℎ(t)=t −1t −21nt ，则ℎ(t)=(t−1)2t 2．对于0<t <1，ℎ′(t)>0恒成立，故ℎ(t)<ℎ(1)，所以t −1t −21nt <0，即t −1t <21nt ，因为ln t <0，可知t−1t21nt >1，故x 1+x 2>1（证毕）．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)由f(x)＝ln x −ax(a ∈R)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=1x−a(x >0)，可求得f(x)的最大值f(x)max =f(1a)=−ln a −1=−1，求得a ，于是得到函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设G(x)=f(x)−(2−x −12x)=ln x +12x−2(x >0)，依题意ln x 1+12x 1−2=0，ln x 2+12x 2−2=0，两式相减，可得ln x 1x 2=12x 2−12x 1，令t =x 1x 2，其中0<t <1，则x 1+x 2=t−121nt +1−1t21nt =t−1t21nt ，再构造函数ℎ(t)=t −1t −21nt ，利用导数可求得x 1+x 2=t−121nt +1−1t21nt =t−1t21nt >1，结论得证．【解答】（1）f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=1x −a(x >0)，当a ≤0时，f ′(x)=1x −a >0，即函f(x)在(0, +∞)上单调递增，无最大值．当a >0时，令f ′(x)=1x −a =0，可得x =1a ，当0<x <1a 时，f ′(x)=1−ax x >0；当x >1a时，f ′(x)=1−ax x<0，故函数f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减．所以f(x)max =f(1a )=−ln a −1，所以−ln a −1＝−1，∴ a ＝1．故f(x)＝ln x −x ．（2）证明：设G(x)=f(x)−(2−x −12x )=ln x +12x −2(x >0)，因为x 1，x 2是函数G(x)=ln x +12x −2的两个零点，所以ln x 1+12x 1−2=0，ln x 2+12x 2−2=0．两式相减，可得lnx 1x 2=12x 2−12x 1，即lnx 1x 2=x 1−x 22x 2x 1，故x 1x 2=x 1−x 221nx 1x 2．那么x 1=x 1x 2−121n x 1x 2，x 2=1−x 2x 121n x 1x 2．令t =x1x 2，其中0<t <1，则x 1+x 2=t−121nt +1−1t21nt =t−1t21nt ．构造函数ℎ(t)=t −1t −21nt ，则ℎ(t)=(t−1)2t 2．对于0<t <1，ℎ′(t)>0恒成立，故ℎ(t)<ℎ(1)，所以t −1t −21nt <0，即t −1t <21nt ，因为ln t <0，可知t−1t21nt >1，故x 1+x 2>1（证毕）．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】解：(1)已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4, π6)，(4, 5π6)，(4, 3π2)，转换为直角坐标为A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4) 设经过的圆的方程为x 2+(y −m)2=r 2，将直角坐标A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4)，代入圆的方程得到：{12+(2−m)2=r 2，(−4−m)2=r 2，解得m =0，r =4，所以圆C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=16．将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3，得到(x −3)2+y 2=16． (2)由(1)得：把曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t ，y =1+√22t（t 为参数），代入(x −3)2+y 2=16．得到：(√22t −2)2+(√22t +1)2=16，整理得：t 2−√2t −11=0，所以|MP|⋅|MQ|=|t 1t 2|=11．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】解：(1)已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4, π6)，(4, 5π6)，(4, 3π2)，转换为直角坐标为A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4) 设经过的圆的方程为x 2+(y −m)2=r 2，将直角坐标A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4)，代入圆的方程得到：{12+(2−m)2=r 2，(−4−m)2=r 2，解得m =0，r =4，所以圆C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=16．将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3，得到(x −3)2+y 2=16．(2)由(1)得：把曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t ，y =1+√22t （t 为参数），代入(x −3)2+y 2=16．得到：(√22t −2)2+(√22t +1)2=16，整理得：t 2−√2t −11=0，所以|MP|⋅|MQ|=|t 1t 2|=11． [选修4-5：不等式选讲]【答案】解：(1)原不等式可化为|3x −1|+|x −2|≥3． ①当x ≤13时，原不等式可化为−3x +1+2−x ≥3，解得x ≤0，∴ x ≤0，②当13<x <2时，原不等式可化为3x −1+2−x ≥3，解得x ≥1，∴ 1≤x <2，③当x ≥2时，原不等式可化为3x −1−2+x ≥3，解得x ≥32， ∴ x ≥2，综上，原不等式的解集为：{x|x ≤0或x ≥1}.(2)∵ f(x)={−4x +3,x ≤13,2x +1,13<x <2,4x −3,x ≥2,∴ f(x)min =f(13)=53，∴ 由3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立可知，不等式log 2m ⋅log 2n ≥1恒成立，∵ log 2m +log 2n ≥2√log 2m ⋅log 2n ≥2， ∴ log 2(m ⋅n)≥2，∴ mn ≥4，当且仅当m =n =2时等号成立， ∴ mn 的最小值是4. 【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】【解答】解：(1)原不等式可化为|3x −1|+|x −2|≥3． ①当x ≤13时，原不等式可化为−3x +1+2−x ≥3，解得x ≤0，∴ x ≤0，②当13<x <2时，原不等式可化为3x −1+2−x ≥3，解得x ≥1，∴ 1≤x <2，③当x ≥2时，原不等式可化为3x −1−2+x ≥3，解得x ≥32， ∴ x ≥2，综上，原不等式的解集为：{x|x ≤0或x ≥1}.(2)∵ f(x)={−4x +3,x ≤13,2x +1,13<x <2,4x −3,x ≥2,∴ f(x)min =f(13)=53，∴ 由3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立可知，不等式log 2m ⋅log 2n ≥1恒成立，∵ log 2m +log 2n ≥2√log 2m ⋅log 2n ≥2， ∴ log 2(m ⋅n)≥2，∴ mn ≥4，当且仅当m =n =2时等号成立， ∴ mn 的最小值是4.。

2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(文)(三)试题(解析版)

1
B．
4
1
C．
2
2
D．
3
【解析】设小三角形的边长为1，每个小三角形的面积为 3 ，六个小三角形的面积之 4
和为 6 3 3 3 ，又长方形的宽为 3 ，长为 4 3 2 3 ，即可求得答案.
42
2
【详解】
设小三角形的边长为1，每个小三角形的面积为 3 ，六个小三角形的面积之和为 4
6 3 3 3 ， 42
y2 b2
1
(a
b
0) ，过右焦点 F
的直线 l
x 轴，交椭圆 C 于
A ，B
两
点，且 AOB 为直角三角形
根据椭圆通径可得： | AB | 2b2 ， a
c = b2 ， a
b2 ac ，
a2 c2 ac ，
e2 e 1 0 ，
解得 e 1 5 或 e 1 5 （舍）.
2
2
故选：A.
若| 0,
f
(x) |
mx 恒成立，则实数 m
的取值范
围为（）
A． 2 2 2, 2
【答案】A
B． 2 2 2,1
C． 2 2 2, e
设 BC=CA=CC1=a,
三棱柱 ABC A1B1C1 外接球可看作棱长为 a 的正方体外接球，
∴ a2 a2 a2 =CC1=2,
CO=1,AO= 5 ,AN= 5 , NO MB B1M 2 BB12
2 2 22 6 ，
在△ANO 中,由余弦定理可得：
2．已知 i
是虚数单位，
z
1
1 2
i
1 2
i
，则复数
z
所对应的点位于(
)

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷(一)数学(理)试题(解析版)

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}21,5,100A B x x mx =-=+-=，若{}5A B =I ，则A B =U （）A ．{}1,3,5-B ．{}1,2,5--C ．{}1,2,5-D ．{}1,3,5--【答案】B【解析】由题意，5是方程2100x mx +-=的解，可得3m =-，求出集合B ，即得A B U .【详解】{}5A B =Q I ，5∴是方程2100x mx +-=的解，255100m ∴+-=，3m ∴=-.解方程23100x x --=，得5x =或2x =-，{}5,2B ∴=-. 故{}1,2,5A B ⋃=--. 故选：B . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若m 为实数，且复数()()325z m i i =-+为纯虚数，则m =（） A ．65-B ．65C ．152-D ．152【答案】C【解析】根据复数的分类，实部为0，虚部不为0的复数是纯虚数，可得m 的值. 【详解】依题意()()()()3252561521556z m i i m mi i m m i =-+=+-+=++-为纯虚数，故2150560m m +=⎧⎨-≠⎩，则152m =-.故选：C. 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3．已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（） A ．2人 B ．18人C ．40人D ．36人【答案】B【解析】求出该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例，从而得到高级教师的比例，即可得答案；【详解】依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为1:9:20，则随机抽取60人，高级教师有9601830⨯=人. 故选：B. 【点睛】本题考查分层抽样的特点，考查数据处理能力，属于基础题.4．已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（） A ．100 B ．25C ．50D ．252【答案】D【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入，求出圆C 的方程，即可求出CMN ∆面积的最大值. 【详解】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入可得，52460822050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩，解得2,4,20D E F =-=-=-. 故圆C 的一般方程为2224200x y x y +---=，即()()221225x y -+-=，故CMN ∆的面积11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =∠=⨯⨯∠≤⨯⨯⨯=. CMN ∴∆面积的最大值为252.故选：D . 【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为256，则输出x 的值为（）A ．8B ．3C ．2log 3D ．()22log log 3【答案】C【解析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案；【详解】运行该程序，第一次，8y =，2n =，8x =；第二次，3y =，3n =，3x =；第三次，2log 3y =，4n =，2log 3x =；第四次，()22log log 3y =，5n =，()22log log 3x =；第五次，()22log log 322log 3y ==，6n =，2log 3x =；第六次，()22log log 3y =，7n =，()22log log 3x =；第七次()22log log 322log 3y ==，8n =，2log 3x =，此时输出x 的值为2log 3. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.6．《九章算术（卷第五）·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（）（注：1丈10=尺.）A ．45000立方尺B ．52000立方尺C ．63000立方尺D ．72000立方尺【答案】B【解析】对几何体进行分割得到()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++，再利用体积公式计算，即可得到答案. 【详解】进行分割如图所示，面AEFD ⊥面1111A B C D ，AN EF ⊥，DQ EF ⊥，11AM A D ⊥，11DP A D ⊥，连结,PQ MN ，面//AEFD 面BCGH ，故()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++11(820)652156652651584032252000+⨯⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭立方尺.故选：B. 【点睛】本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若954S =，45a =，则数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭前2019项的和为（） A ．20182019B ．10091010C ．40362019D ．20191010【答案】D【解析】求出数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】由等差数列性质可知，95954S a ==，解得56a =；而45a =，故1d =，则1432a a d =-=，故2(1)3222n n n n nS n -+=+=， 2121121n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，设1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，则111111112212233411121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-=-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-+L ，故2019220192019201911010T ⨯==+. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列基本量运算、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8．()5211232x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（） A ．296 B ．296-C ．1864-D ．1376-【答案】C【解析】写出二项式()532x -展开式的通项，即可求出2x 的系数. 【详解】二项式()532x -展开式的通项为()()51532rrrr T C x -+=-，所以2x 的系数为()()()3523252355532221327206410801864C C C ⨯⨯-+⨯--⨯⨯⨯-=---=-.故选：C . 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，属于基础题.9．如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．1208286++B ．12085+C ．1208246++D ．120162+【答案】C【解析】根据三视图，画出几何体的直观图，即可求表面积. 【详解】在长方体中，沿平面ABD 和平面BCD 进行切割，得到该几何体的直观图为多面体ABD BCD EFGH --，如图所示则()14416,484242EFGH ADEH S S =⨯==⨯+⨯=, ()()1146420,6842822DEFC BCFG S S =⨯+⨯==⨯+⨯=,18432,442822ABGH ABD S S ∆=⨯==⨯⨯=12243462BCD S ∆=⨯=故所求表面积16242028328246S =+++++1208246=+. 故选：C . 【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为M ，以M 为圆心作圆，圆M 与直线0bx ay -=交于,A B 两点，若60,23AMB OB AB ∠=︒=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为（）A B C ．32D 【答案】B【解析】由60,AMB AM BM ∠=︒=，得AMB ∆为正三角形. 设圆M 的半径为r ，由23OB AB =u u u r u u u r ，得2r OA =u u u r .由勾股定理得222+2r r a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得r =再根据点(),0M a 到直线0bx ay -=2r =，整理可求双曲线C 的离心率. 【详解】因为60,AMB AM BM ∠=︒=，故AMB ∆为正三角形.设圆M 的半径为r ，则圆心M 到直线AB 的距离2d=. 由23OB AB =u u u r u u u r，得3OB OA =u u u r u u u r ，故2r OA =u u u r .因为OM a =u u u u r ，由勾股定理得222+r a ⎫=⎪⎪⎝⎭，解得r =又点(),0M a 到直线0bx ay -===化简可得2243b a =，故2c e a ===.故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于中档题. 11．定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ，且'()2()2f x f x -<，若()01f =-，则不等式()22xef x -<的解集为（）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．()1,-+∞【答案】A 【解析】令2()2(),xf xg x x R e+=∈，可求函数()g x 在R 上单调递减. 由2()2x e f x -<，可得()1g x >，从而可求不等式()22xe f x -<的解集.【详解】令2()2(),x f x g x x R e +=∈，则''2()2()4()xf x f xg x e--=，由'()2()2f x f x -<，得'()42()0f x f x --<，'()0g x ∴<，∴函数()g x 在R 上单调递减.由2()2xef x -<，可得2()2x f x e +>，2()21xf x e +∴>，即()()(0)(01,1,)g x g g x g =∴>>Q ，又函数()g x 在R 上单调递减，0x ∴<. 故不等式2()2xe f x -<的解集为(),0-∞.故选：A . 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 12．已知数列{}n a n -的前n 项和为n S ，且211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑，20181S =，则1a =（） A ．32B ．12C ．52D ．2【答案】A【解析】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于1a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，故当n 为奇数时，12121,21,n n n n a a n a a n +++-=-⎧⎨+=+⎩22n n a a ++=，当n 为偶数时，12121,21,n n n n a a n a a n ++++=-⎧⎨-=+⎩24n n a a n ++=， 2018122018(122018)1S a a a =+++-+++=L L ，即1220182018(12018)11009201912a a a ⨯+++⋅⋅⋅+=+=⨯+，又122018a a a ++⋅⋅⋅+()()13520172462018a a a a a a a a =+++++++++L L(12504(1620164)2504)2a a ⨯+⨯⎛⎫=+⨯++ ⎪⎝⎭([]112504)1252(1620164)a a =+⨯+++⨯+⨯11210082021a =++⨯，所以，11009201911210082021a ⨯+=++⨯，110092019100820212a ⨯-⨯=10082019201910082021322⨯+-⨯==.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是对关系211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑的灵活运用.二、填空题13．已知向量()()2,3,24,7m m n =-+=-u r u r r ，则,m n u r r夹角的余弦值为_________.【答案】65【解析】求出,,n m n r u r r ，根据cos ,m n m n m n=u r ru r r g u r r 即得. 【详解】()()2,3,24,7,m m n m =-+=-=u r u r r u rQ()()21,2,52m n mn n +-∴==-=u r r u r r r，2132865cos ,135m n m n m n⨯+-⨯-∴===⨯u r ru r r g u r r .故答案为：865. 【点睛】本题考查两向量的夹角公式，属于基础题.14．已知实数,x y 满足1121x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，则3z x y =+的最小值为_________.【答案】1【解析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即求z 的最小值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示由3z x y =+，可得3y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距.平移直线3y x z =-+，当直线过可行域内的点()0,1A 时，3z x y =+最小，最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15．当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为_________. 【答案】e【解析】设ln ()x f x x =，由2112ln ln x x x x <，得1212ln ln x x x x <，得函数ln ()x f x x=在()0,m 上为增函数，即求m 的最大值.【详解】设ln ()x f xx=，由2112ln lnx x x x<，得1212ln lnx xx x<，即当120x x m<<<时，都有()()12f x f x<，∴函数ln()xf xx=在()0,m上为增函数，'21ln()0xf xx-∴=≥，0x e∴<≤.故m的最大值为e.故答案为：e.【点睛】本题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.16．已知函数()sin()f x A xωϕ=+（0A>，0>ω）的部分图象如图所示，其中,33Mπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象的一个最高点，4,03Nπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象与x轴的交点，将函数()f x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，再向右平移4π个单位长度，得到函数()g x的图象，则函数()g x的单调递增区间为________.【答案】5,93183k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k∈Z）【解析】根据图像得到()f x的解析式，再根据伸缩变换和平移变换得到()g x的解析式，进而求出单调区间.【详解】依题意，3A=，4433Tπππ=-=，即4Tπ=，故12ω=，1()3sin2f x xϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；将,33π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 中，可知12232k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，故23k πϕπ=+，k ∈Z ；不妨设0k =，故函数1()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，得到3sin 63y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再向右平移4π个单位长度，得到()3sin 643g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33sin 63cos 6233x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令26223k x k πππππ+≤+≤+（k ∈Z ），解得593183k k x ππππ+≤≤+（k ∈Z ），故函数()g x 的单调递增区间为5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故答案为：5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质、伸缩变换与平移变换、单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题17．在ABC ∆中，4BAC π∠=，2AB =，2BC =，M 是线段AC 上的一点，且tan AMB ∠=-（1）求AM 的长度；（2）求BCM ∆的面积.【答案】（1）12AM =（2 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin AMB ∠，cos AMB ∠的值，再利用正弦定理求得AM 的长度；（2）根据AMB CMB π∠+∠=可得sin CMB ∠，再利用正弦定理求得BM ，进一步利用余弦定理求得CM ，最后代入三角形的面积公式，即可得答案；【详解】（1）因为sin tan cos AMBAMB AMB∠∠==-∠且22sin cos 1AMB AMB ∠+∠=，联立两式，解得sin 3AMB ∠=，1cos 3AMB ∠=-，故sin sin()ABM AMB A ∠=∠+1432326-=-⨯=，由正弦定理sin sin AM ABABM AMB =∠∠，所以sin 1sin 2AB ABM AM AMB ⋅∠==∠. （2）因为AMB CMB π∠+∠=，故1cos cos()cos 3CMB AMB AMB π∠=-∠=-∠=，所以sin 3CMB ∠=，在ABM ∆中，由正弦定理sin sin BM ABA AMB=∠，故sin 3sin 2AB A BM AMB ⋅==∠，在BCM ∆中，由余弦定理2222cos BC BM CM BM CM CMB =+-⋅⋅∠，得21793124423CM CM =+-⨯⨯⨯，解得2CM =或1CM =-（舍去）.所以BCM ∆的面积113sin 22223S BM CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三角形的内角和、诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图所示，在三棱锥S BCD -中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，SBD ∆为等边三角形，30BCD ∠=︒，24CD DB ==.（1）若SA AD =，求证：SD CA ⊥；（2）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为419565，求AD 的长. 【答案】（1）见解析（2）12AD =或32. 【解析】（1）利用面面垂直性质定理可得BC ⊥平面SBD ，从而推出BC SD ⊥，再证明BA SD ⊥，进一步利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可得到线线垂直；（2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤u u u r u u u r，平面SCD 的一个法向量3,1)m =u r，利用向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）依题意，2BD =，在BCD ∆中，4CD =，30BCD ∠=︒，由余弦定理可求得，23BC = ∴222CD BD BC =+，即BC BD ⊥，又平面SBD ⊥平面BCD ，平面SBD I 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面SBD BC SD ⇒⊥，等边SBD ∆中，SA AD =，则BA SD ⊥，且BC BA B =I ， ∴SD ⊥平面BCA ，∴SD CA ⊥.（2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出则(0,0,0)B ，(23,0,0)C ，(0,2,0)D ，3)S ，故(23,2,0)CD =-u u u r ，(0,1,3)SD =u u u r，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m CD m SD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即2320,30,x y y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，则3y =1z =，所以3,1)m =u r，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤u u u r u u u r，故(0,23)A λλ-，则(0,23)BA λλ=-u u u r，故||sin cos ,||||m BA m BA m BA θ⋅==⋅u r u u u ru r u u u r u r u u u r 2223334195655(2)3λλλλ==⋅-+，解得14λ=或34，则12AD =或32. 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用、已知线面角求线段长，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空.回馈活动设计了两种方案：方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；方案二：消费者全部选择单选题进行回答；其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品.为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如下所示：（1）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；（2）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75.（ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.（2）（ⅰ）见解析，3.05（ⅱ）方案一，见解析【解析】（1）直接根据卡方公式将数据代入计算，并与6.635比较大小，即可得到结论；（2）（ⅰ）X的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率值，进而得到分布列和期望；（ⅱ）分别计算两种方案获得奖品的概率，即可得答案；【详解】（1）依题意，完善列联表如下所示：22500(150********) 4.8312302703002006.635K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关. （2）（ⅰ）X 的所有可能取值为0，2，3，4，则1111(0)455100P X ==⨯⨯=， 1148(2)2455100P X ==⨯⨯⨯=，375(3)4100P X ===，14416(4)455100P X ==⨯⨯=，故X 的分布列为：所以187516305()0234 3.05100100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为1751691(3)0.91100100100P P X =≥=+==，小明选择方案二获得奖品的概率为214444112896(3)20.896555551251000P P X =≥=⨯⨯⨯+⨯===，因为21P P <，所以小明选择方案一更有可能获得奖品. 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用、卡方公式计算、随机变量的分布列和期望，考查阅读理解能力、运算求解能力.20．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F .（Ⅰ）若124PF PF +=，求点P 到点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭距离的最大值；（Ⅱ）若过点()4,0且不与坐标轴垂直的直线与椭圆C 分别交于,E F 两点，点()()0,,0,A B A y B y 分别在直线22,F E F F 上，比较22,F A F B 的大小关系，并说明理由.【答案】（Ⅰ）最大值52；（Ⅱ）22F A F B =，见解析. 【解析】（Ⅰ）根据122PF PF a +=，得点P 在椭圆C 上. 设点()00,P x y ，则2200143x y +=，可得[]220002,2113,44PM x x x =-+∈-，可求PM 最大值；（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.把直线EF 的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理证明220AF BF k k +=，可得22OF A OF B ∠=∠，即得线段22,F A F B 的大小关系.【详解】（Ⅰ）依题意，点P 在椭圆C 上.设点()00,P x y ，则2200143x y +=，故()22222220000000011311319322444444PM x y x x x x x x ⎛⎫=-+=-++-=-+=-+ ⎪⎝⎭，其中[]02,2x ∈-，故当02x =-时，2max254PM=， PM ∴的最大值为52.（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=.依题意()()()22223244364120kk k ∆=--⨯+->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 因为2222121211AF BF EF FF y yk k k k x x +=+=+-- ()()()()()1212121212258441111k x x x x k x k x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦=+=---- ()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 所以直线2AF 的倾斜角与直线2BF 的倾斜角互补，即22OF A OF B ∠=∠. 因为2OF AB ⊥，所以22F A F B =. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题.21．已知函数2()f x x m =+（Ⅰ）若12=-m ，证明：函数()f x 在区间()2,3上有且仅有1个零点；（Ⅱ）若关于x 的不等式22()f x m ≥在[]1,2上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）⎡⎣.【解析】（Ⅰ）先判断函数()f x 在区间()2,3上的单调性，再根据零点存在定理即可证明；（Ⅱ）令()2()g x f x =，由题意只需[]2min )1,2(,g x m x ∈≥.对m 分类讨论即求.【详解】（Ⅰ）证明：函数()f x 的定义域为()0,∞+. 当12=-m 时，22()ln 6ln 2mf x x x x x =+=-，则()('2622()23f x x x x x x x x=-=-=，当()2,3x ∈时，'()0f x >，∴函数()f x 在()2,3上单调递增，又()()()()2346ln 296ln30f f =--<，故函数()f x 在()2,3上有且仅有1个零点.（Ⅱ）令2()2()2ln g x f x x m x ==+，则[]2'4()4,1,2m x mg x x x x x+=+=∈；当16m ≤-时，'()0g x ≤对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递减，2min ()(2)8ln 2g x g m m ∴==+≥，又16m ≤-Q ，不等式无解，m ∴∈∅；当4m ≥-时，'()0g x ≥对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递增，2min ()(1)2g x g m ∴==≥，又4m ≥-Q，m ≤≤当16m -<<-4时，令'()0g x =，得()1,22x =，当12x <<时，'()0g x <；当22x <<时，'()0g x >， ()g x ∴在⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， ()2min ln 224m m m g x g m ⎛⎫∴==-+-≥ ⎪⎝⎭⎝⎭，11ln 242m m ⎛⎫∴-+-≤ ⎪⎝⎭；令4m t =-()14t <<，则114ln 22t t +≤，易知14ln 2y t t =+在()1,4t ∈上单调递增，则14ln 2t t +4>，从而114ln 22t t +≤不可能成立，舍去. 综上所述，实数m的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查零点存在定理，考查导数在函数中的应用，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为3x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6cos ρα=.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线12,C C 交于,M N 两点，求直线MN 的极坐标方程以及,M N 的极坐标（要求写出的极径非负，极角在[)0,2π上）.【答案】（Ⅰ）26sin 360ρρθ--=；2260x y x +-=；（Ⅱ）极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,M N 的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（Ⅰ）先把曲线1C 的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程.由6cos ρα=得26cos ρρα=，即得曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）由曲线12,C C 的直角坐标方程求出直线MN 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；先求出,M N 两点的直角坐标，再化为极坐标.【详解】（Ⅰ）依题意，曲线()221:345C x y +-=，故22636x y y +-= 即曲线1C 的极坐标方程为26sin 360ρρθ--=；曲线2C :26cos ρρα=，即2260x y x +-=，则曲线2C 的直角坐标方程为2260x y x +-=.（Ⅱ）联立222263660x y y x y x ⎧+-=⎨+-=⎩，两式相减可得6-=x y ，即cos sin 6ρθρθ-=cos 64θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即直线MN 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 联立22660x y x y x -=⎧⎨+-=⎩故29180x x -+=，解得33x y =⎧⎨=-⎩或60x y =⎧⎨=⎩ 故,M N的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于中档题.23．已知函数()324f x x x =++-（1）求不等式()8f x >的解集；（2）若关于x 的不等式2()3f x m x x +>+-的解集为R ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),13,-∞-+∞U ；（2）()3,-+∞.【解析】（1）根据零点分段讨论求解不等式的解集；（2）分离参数等价转化为224m x x >---恒成立，求解2()24g x x x =---的值域即可得解.【详解】（1）依题意，3248x x ++->当3x <-时，原式化为3428x x --+->，故73x <-，解得3x <-；当32x -≤≤时，原式化为3248x x ++->故3x >，解得3x >；综上所述，不等式()8f x >的解集为()(),13,-∞-+∞U（2）依题意，23243x x m x x ++-+>+- 即224m x x >--- 224m x x >---Q 对x ∈R 恒成立令2()24g x x x =---=()()222213,224,224,215,2x x x x x x x x x x ⎧---≤⎧-+-≤⎪=⎨⎨--+>-++>⎩⎪⎩ max ()(1)3,3g x g m ∴==->-故实数m 的取值范围是()3,-+∞【点睛】此题考查解绝对值不等式，根据不等式恒成立求参数取值范围，关键在于等价转化，通过求函数最值解决问题.。

2020届百校联考高考百日冲刺全国I卷文科数学试题三和答案详细解析及备考策略

“满意”
“不满意”
合计
参考数据：K2＝
P（K2≥k）
0.05
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19．（12 分）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，△ABD 是等边三角形，平面 ABD⊥平面 BCD，BC⊥
CD，BC＝CD＝，E 为三棱锥 A﹣BCD 外一点，且△CDE 为等边三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥BD；（Ⅱ）若 AE⊥平面 CDE，求点 E 到平面 BCD 的距离．
[选修 4-5：不等式选2|．
（1）求不等式 f（x）≥3 的解集；（Ⅱ）若 m＞1，n＞1，对∀ x∈R，不等式小值．
恒成立，求 mn 的最
2020 届百校联考高考百日冲刺全国 I 卷文科数学试题三答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．D； 2．B； 3．A； 4．B； 5．D； 6．B； 7．B； 8．B； 9．B； 10．D； 11．B； 12．A；二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．1 或 5； 14．； 15．3； 16．7；
一个真正的人，首先必须是一个爱国的人。一个人，没有脊梁骨，便不能直立行走；一个人，不属于他的祖国，便不属于人类。
谁能忘记，屈原“长太息以掩涕兮，哀民生之多艰”的忧国忧民，曹植“捐躯赴国难，视死忽如归”的慷慨凛然，陆游“僵卧孤村不自哀，尚思为国戍轮台”的矢志不移。
三、佳作欣赏
龙的脊梁
读屈原的名辞《离骚》后，有人写下这样的诗句：
你埋下了一坛老酒／酒坛上的红纸／沉沉地写着黑字／——魂／每当到了汩罗江悲凄的那一天／那酒坛里就溢出芦叶的清香／回荡起亘古不变的激昂／路漫漫其修远兮／吾将上下而求索……／几千年了／喝过这坛酒的人／都醉成了龙的脊梁……

2020届联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷(三)数学(理)试题(解析版)

2．已知是虚数单位，，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据复数除法的运算法则求出，再由模长公式，求出即可.
【详解】
，
.
故选:B.
【点睛】
本题考查复数的代数运算和模长，属于基础题.
3．设是等差数列的前项和，且，，则（）
A．2017B．2019C．4036D．4038
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
【详解】
直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点，
如图：BC的中点为O，连结ON，
MN∥ B1C1=OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
【点睛】
本题考查平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，属于中档题.
19．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，为三棱锥外一点，且为等边三角形．
证明：；
若平面平面，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的长．
【答案】证明见解析； .
【解析】取的中点，连接，，证明平面，可得到结论；
所以 .
（Ⅱ）由，得，
所以，
因为，，所以，设
由余弦定理得；，
；
，
可得，所以，
故的周长为 .ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
18．已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，在收费元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了件这种包裹的两个统计数表如下：

全国Ⅰ卷2020届高考数学百日冲刺金卷三理20200501013

（全国Ⅰ卷）2020届高考数学百日冲刺金卷（三）理注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合A ＝{x|2x>2}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R}，则(RA)∩B ＝(A)[0，1) (B)(0，2) (C)(－∞，1] (D)[0，1] (2)已知i 是虚数单位，z(1－12i)＝12i ，则|z|＝ A.15 B.55 C.125D.525(3)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 9－S 7＝30，a 2＝2，则a 2019＝ (A)2017 (B)2019 (C)4036 (D)4038(4)如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T ，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T 的概率是A.18 B.14 C.12 D.23(5)已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，0BO BA ⋅<，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是(A)(1，233) B)(233，＋∞) (C)(1，23) (D)(23，＋∞) (6)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.233π- B.223π- C.23π D.413π- (7)函数f(x)＝(x 2－2|x|)e |x|的图象大致为(8)已知a>b>0，ab ＝1，设x ＝2ab，y ＝log 2(a ＋b)，z ＝a ＋1b ，则log x 2x ，log y 2y ，log z 2z 的大小关系为(A)log x 2x>log y 2y>log z 2z (B)log y 2y>log z 2z>log x 2x (C)log x 2x>log z 2z>log y 2y (D)log y 2y>log x 2x>log z 2z (9)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为(A)31 (B)39 (C)47 (D)60(10)已知圆O ：x 2＋y 2＝3与抛物线C ：y 2＝2px(p>0)相交于A ，B 两点，且|AB|＝，若抛物线C 上存在关于直线l ：x －y －2＝0对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为 (A)(1，－1) (B)(2，0) (C)(12，－32) (D)(1，1)(11)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1A 1ACC 1与B 1BCC 1均为正方形，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，C 1M ＝12A 1B 1，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为A.310 B.10 C.710D.10(12)设函数f(x)＝asin ωx ＋bcos ωx(ω>0)在区间[6π ，2π]上单调，且f(2π)＝f(23π)＝－f(6π)，当x ＝12π时，f(x)取到最大值4，若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则函数y ＝g(x)(A)4 (B)5 (C)6 (D)7第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020届联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷(三)数学(理)试题(解析版)

画出 g x 与 y x 图象，得出结论.
用，属于中档题.
11．已知三棱柱 ABC A1B1C1 内接于一个半径为 3 的球，四边形 A1ACC1 与 B1BCC1
均为正方形，M , N
分别是
A1B1 ，A1C1 的中点，C1M
1 2
A1B1 ，则异面直线 BM
与
AN
所成角的余弦值为（）
3
A．
10
B． 30 10
7
C．
10
D． 70 10
的大小关系 0 x 1 y z ，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.
【详解】
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∵a＞b＞0， ab 1 ，
∴可得 a= 1 ，且 a＞1＞b＞0， b
∴x
b 2a
1 a 2a
1
，
2
y log2 (a b) log2 2 ab log2 2 1 ，
【详解】
因为 A, B 关于 x 轴对称，所以 A, B 纵坐标为 2 ，
横坐标为 1，代入 y2 2 px( p 0) ，
可得 y2 2x .设点 P x1, y1 ， Q x2, y2 .
则
y12 y22
2x1, 2x2 ,
则
y1
y2
y1
y2
2 x1
x2
，
kPQ
2 y1
∴ a2 a2 a2 2 3 ，解得 a=2，
∴BC=CA=CC1=2,
CO=1,AO= 5 ,AN= 5 , NO MB B1M 2 BB12
2 2 22 6 ，
在△ANO 中,由余弦定理可得：
cosANO AN 2 NO2 AO2

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