和差公式二倍角公式及半角公式

三 角 函 数

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

。

2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

2

2tan tan 21tan α

αα

=

-。 3.半角公式：

22cos 1sin 2αα-=

,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2

cos 2cos 12α

α=+

sin

2

α

=cos 2α=

sin 1cos tan

2

1cos sin α

αα

αα

-===+

4．辅助角公式

()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，

sin cos ϕϕ=

=

其中

5.积化和差公式：

()()[]βαβαβ-++=

sin sin 21

cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 21sin cos a ()()[]βαβαβ-++=

cos cos 21

cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 2

1sin sin a 6. 和差化积公式：

sin sin 2sin

cos

2

2

αβ

αβ

αβ+-+=, sin sin 2cos

sin

2

2

αβ

αβ

αβ+--=

cos cos 2cos

cos

2

2

αβ

αβ

αβ+-+=, cos cos 2sin

sin

2

2

αβ

αβ

αβ+--=-

例题：

例1． 已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4

π

α+)的值.

例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值.

例2． 已知0cos cos 1

sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。

例3． 若的值

求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217

534cos 2-+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ。

例5．已知正实数a,b 满足

的值，求a b b a b a 158tan 5

sin

5cos 5cos

5

sin

ππππ

π

=-+。

例6． 若sinA=55,sinB=10

10,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.

例7．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22C

A +-cos2B=2

7,求角B 的度数.

例8． 求值：1

40cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒

例9．)12

sin

12(cos ππ-(cos

12

π＋sin

12

π)的值。

例10．已知sin 2 2α＋sin 2α cos α－cos2α＝1，α∈(0，2

π

)，求sin α、tan α的值．

练习：

1．若(0,)απ∈，且1cos sin 3

αα+=-，则cos2α=( )

A ．

917 B

． C

． D ．317

2．000016cos 46cos 46sin 16sin +=（ ）

A.

23 B.22 C.2

1 D.1 3.

=⋅+α

αααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D. 2

1 4.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A.

x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-

5. 求=11

5cos 114cos 113cos 112cos

11cos

πππππ

（ ）

A. 521

B. 42

1 C. 1 D. 0

6．已知(,0)2x π∈-，4

cos 5

x =，则=x 2tan （ ）

A ．

247 B ．247- C ．7

24 D ．724-

7

．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________。

8

．已知sin

cos

2

2

θ

θ

+=

那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。

9．已知的值及求)cos()cos(3

1

sin sin ,21cos cos y x y x ，y x y x +-=+=

+(13分)

10．已知,13

5)4sin(,40=-<

求)

4

cos(2cos x x +π

的值。