2010年同济大学808真题及详解

2EI M EI
解： 此结构有横向和竖向两根对称轴， 根据结构在荷载作用下的变形和内力特点， 1 可取 进行分析。 4
M 4 M 4
力法基本方程： δ 11 X 1 + ∆ 1P = 0
δ 11 =
1 1 l l 2 l 1 l l 3l 1 l l 5l ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ EI 2 2 2 3 2 2 EI 2 2 4 2 2 2 6 l3 7l 3 3l 3 = + = 24 EI 48 EI 16 EI 1 1 l l M 1 1 l 5Ml 2 M ∆ 1P = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + l⋅ = − 64 EI EI 2 2 2 4 2 EI 2 2 4
（3）ΣMA=0， FPcr ⋅ 3l − Fcr ,b ⋅ 2l = 0 解得： FPcr = 0.34 π 2 EI l2
8
主应力单元体如下图：
σmin
α0
σ max
（2） τ max
min
σ x −σ y =± 2
250 − 50 2 2 + (− 40 ) = ±107.7 MPa +τ x = ± 2
2
2
（3） σ 1 = 257.7 MPa σ 2 = 42.3MPa σ 3 = 0 ε1 = 1 [σ 1 − ν (σ 2 + σ 3 )] = 1 3 [257.7 − 0.3 × (42.3 + 0)] = 0.00117 E 210 × 10
(0.5 × 2l )2
π 2 EI
= 4 Fcr ,a
而 ∆l a : ∆l b : ∆l c = 1 : 2 : 3 ，故 Fa : Fb : Fc=1:2:3 由此可知 a 杆先首先发生弹性失稳。 （2）三根立柱均发生弹性失稳时，此时在力的分配便不存，其力为自身弹性失 稳的临界力。对 A 点取矩得，ΣMA=0， Fcr ,a ⋅ l + Fcr ,b ⋅ 2l + Fcr ,c ⋅ 3l − FP ⋅ 3l = 0 解得， FP = 1.423 π 2 EI l2
解： （1）运用联合法：
6
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
由机动法作 1 杆影响线的图形特征，FP=1 作用于 A、B、E、F 时，N1=0；FP=1 作用于 C、D 时， N 1 = − 5 。由此可作出 1 杆内力影响线： 2
5 2
同理，由机动法作 2 杆影响线的图形特征，FP=1 作用于 D 时， N 2 = −
用点位置； （2）梁的最大转角； （3）梁矩形截面的核心。
y 1
h 6
z
b 6
b 解：固端截面 A 处如图所示，1 点的正应力最大。 M y = P2 ⋅ 3 = 4.8kN ⋅ m M z = P1 ⋅ 1 = 1kN ⋅ m Iy = hb 3 = 10935000mm 4 12 My ⋅ Iz = bh 3 = 43740000mm 4 12 a l θ= Pa 2 2 EI P
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
2010 年同济大学硕士研究生入学考试试卷
一、有一根组合轴，由直径为 d，长为 3l 的钢圆杆 AC 和外径为 D，内径为 d， 长为 2l 的黄铜圆管 AB 组成，钢圆杆和黄铜圆管之间牢固粘结。截面 A 为固定 端，截面 B 和 C 处分别作用有外力偶 1.5Me 和 Me。已知刚材剪切模量 Gs 等于黄 铜剪切模量 Gc 的两倍。试求： （1）欲使钢圆杆沿全长 AC 的剪应力相等，试求 D 比值 ； （2）计算此时 AB 段黄铜圆管和钢圆杆最大剪应力之比。 d
l 2
4 2m 2m
1
解： （1）忽略杆件轴向变形，用位移法求解时有 2、3 两处的角位移和两处共同 的线位移 3 个未知量。 考虑杆件轴向变形，用矩阵位移法求解时有 1 处的角位移 θ1 ，2、3 处的三个未 知量 (u i , vi ,θ i ) 共 7 个未知量。 （2）原始矩阵为 4×3=12 阶，加入边界条件后为 7 阶。 （3）根据等效结点荷载： （单元①的固端反力应按两端固定梁的公式计算） -3kN·m 6kN 3kN -1.5kN·m 2 1.5kN·m 4kN/m 1 3kN·m
3
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
1 [σ 2 − ν (σ 3 + σ 1 )] = 1 3 [42.3 − 0.3 × (257.7 + 0)] = −0.00017 E 210 × 10 1 1 ε 3 = [σ 3 − ν (σ 1 + σ 2 )] = [0 − 0.3 × (257.7 + 42.3)] = −0.00043 E 210 × 10 3 五、试用力法求解图示结构的弯矩图，忽略杆件的轴向变形。 ε2 =
解得： X 1 =
l 2 l 2
M图
M 4
5M ，叠加得弯矩图如下： 12l
4
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
M 6
M 4
M 4
2EI
EI
l 2
M 6
六、刚架受如图所示荷载，试回答： （1）忽略杆件轴向变形，用位移法求解时有 3 个未知量。考虑杆件轴向变形，用矩阵位移法求解时，未知量有 7 个； （2）用矩阵位移法后处理法求解时，原始总刚度矩阵为 12 阶，处理完位移法边 界条件后结构刚度矩阵为 7 阶； （3）试写出矩阵位移法求解时的荷载矩阵； （4）试不经计算画出该刚架弯矩图的大致形状。 y x 4kN/m 2 4EI 3EI 3EI 3m 3kN 3
=
1 2
二、有一根两端固定的等直杆，长为 l，横截面是边长为 a 正方形， ，杆件材料的 弹性模量为 E，泊松比为ν ，膨胀系数为 α ，当温度均匀升高 ∆t ，试求： （1）杆 件的轴力； （2）杆件体积改变量。
解：由变形协调条件，轴力引起的位移与温度引起的位移之和为零，得 − Nl + α∆t ⋅ l = 0 解得， N = α∆tEA EA
5
2 1.5kN
3 1.5kN
6kN
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
F=(-3kNm 1.5kN 6kN 1.5kNm 1.5kN 0 1.5kN)T
（3）刚架弯矩图的大致形状：
七、图示桁架，荷载形式为上承。 （1）绘制 1、2 杆件的内力影响线； （2）已知 A 支座反力影响线如图所示（设 HA 向左为正） ，试求图示移动荷载组作用时， A 支座的最大反力绝对值。
解： （1） 要使钢圆杆沿全长 AC 的剪应力相等， 假设钢圆杆没有被黄铜圆管套住， 那么此时钢圆杆的剪应力必相等，所以可判断：只有当 1.5Me 全部由黄铜圆管承 担，才可成立，又钢圆杆和黄铜圆管之间牢固粘结，所以有：
ϕ AB ( s ) = ϕ AB ( c ) 即
M e ⋅ 2l = πd 4 Gc Gs ⋅ 32
1.5M e ⋅ 2l ，整理得： π ⋅ (D 4 − d 4 ) 32
1 1.5 D = ，解得 = 2 4 2 D d −1 d （2） τ s max = τ c max τ s max Me ⋅ πd 4 32 d 2 ，τ = 1.5M e ⋅ D 2
c max
π (D 4 − d 4 ) 32
1
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
（2）由广义胡克定律得， εx = σx = −α∆t ，ε y = ε z = να∆t E ∆a ，∆a = να∆ta a
εy = εz =
V ′ = (a + ∆a ) 2 ⋅ l = (1 + να∆t ) 2 a 2 l ， ∆V = V ′ − V = (1 + να∆t ) 2 a 2 l − a 2 l = να∆ta 2 l (2 + να∆t ) 三 、 如图 所 示 ， 悬臂梁 截面为 矩形 b × h = 90 × 180mm 2 ， 承受荷载 P1 = 1kN ， P2 = 1.6kN ，悬臂梁材料的弹性模量 E = 10GPa ，试求： （1）梁内最大 x 向正应力及其作
min
σx +σ y 2
σ x −σ y ± 2
2
2 +τ x
2
=
250 + 50 250 − 50 2 ± + (− 40 ) 2 2 257.7 MPa = 42.3 tan 2α 0 = − 2τ x 2 × (− 40 ) =− = 0.4 α 0 = 10.9 o σ x −σ y 250 − 50
7
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
柱撤去仅留一根 b 柱，则体系失稳时的最大承载力 FPcr。
解： （1）由临界力欧拉公式，得 a、b、c 杆的临界力分别为： Fcr ,a = π 2 EI
(2l )2
，Fcr ,b =
(0.7 × 2l )2
π 2 EI
= 2.04 Fcr ,a ，Fcr ,c =
σ y = 50MPa ， τ x = −40MPa ，材料的弹性模量 E = 210GPa ，泊松比ν = 0.3 。试
2
h
பைடு நூலகம்
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
求： （1）试用解析法求该点的主应力，并画出主应力单元体； （2）求该点的最大 剪应力； （3）求该点的主应变。
σy
τx
σx
解： （1）由主应力计算公式： σ max =
σ max =
b h Mz ⋅ 2+ 2 = 21.81MPa Iy Iz P1 ⋅ 12 P ⋅ 32 = 0.0114rad θ 2 = 2 = 0.0658rad 2 EI z 2 EI y
（2） θ 1 =
θ = θ12 + θ 22 = 0.066rad （3）截面核心见上图所示。 四 、 弹性体 内 某点 的应力 状态 为 平 面应力 状态 ， 如图 所 示 ， σ x = 250MPa ，
3 ；FP=1 2
作用于 E 时，N1=1。由此可作出 2 杆内力影响线： 1 A B C D E F
3 2
5 （2）当 P2=100kN 作用在 D 点时， R A = 200 × × 3 + 100 × 3 = 800kN ； 6 当 P1=100kN 作用在 D 点时， R A = 200 × 3 + 100 × 1 = 700kN 。 故 A 支座的最大反力绝对值为 800kN。 八、图示体系中横梁为无限刚性，a、b 和 c 三根立杆中心受压，其弯曲刚度均 为 EI。试回答： （1）随着荷载 FP 的增大， 柱会首先发生弹性失稳； （2）三根 立柱均发生弹性失稳时所对应的最大承载力 FPcr； （3）若将体系中 a、c 两根立