交集与并集课件

＝{1,3,5,7,9}． (2)A＝{1,3}，B＝{x|x>1 或 x<－1}， ∴A∩B＝{3}.
并集运算
[例 2] 已知集合 A＝{y|y＝x2－1，x∈R}，B＝{y|x2＝－y ) B．{y|－2≤y≤2} D．以上都不对
＋2，x∈R}，则 A∪B 等于( A．R C．{y|y≤－1 或 y≥2} [分析]
先求出两个集合的元素，再进行并集运算．
[解析]
两集合表示的是 y 的取值范围，故可转换为 A＝
{y|y≥－1}，B＝{y|y≤2}，在数轴上表示出 A 与 B(如右图所 示)，可知 A∪B＝R.故选 A.
[答案] A
[方法总结]
(1)求两个集合的并集， 应先确定每个集合含
有哪些元素，再将这些元素合并组成一个新的集合． (2)求不等式表示的数集的并集时，用数轴能简化思维过 程．
[分析]
这里的数量关系比较错综复杂，采用 Venn 图可
加强直观性．
[解析]
3 赞成 A 的人数为 50× ＝30， 赞成 B 的人数为 30 5
＋3＝33.如图所示，记 50 名学生组成的集合为 U，赞成事件 A 的学生全体为集合 A，赞成事件 B 的学生全体为集合 B. 设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x，则对 A、B 都不 x 赞成的学生人数为 ＋1，赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30－x， 3 赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33－x.
(3)当集合 B⊆A 时，如果集合 A 是一个确定的集合，而 集合 B 不确定，运算时要考虑 B＝∅的情况，切不可漏掉！
设集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}， B＝{x|x2－4x＋a＝0}， 若A ∪B＝A，求实数 a 的取值范围．
[解析] 由已知得 A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，集合
，B＝{x|－1≤x≤1}，
A∪B＝{x|－1≤x<2}，∴选 A.
并集、交集的综合运算
[例 3] 设集合 A＝{2a－1，a－3，a2＋1}，B＝{a2，a＋
1，－3}，A∩B＝{－3}，求实数 a 的值及集合 A、B. [分析] 由条件 A∩B＝{－3}，可知－3∈A，则本题应先
B 有两种情况，B＝∅或 B≠∅. (1)B＝∅时，方程 x2－4x＋a＝0 无实数根， ∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.
(2)B≠∅时，当 Δ＝0 时，a＝4，B＝{2}⊆A，满足条件； 当 Δ>0 时，若 1,2 是方程 x2－4x＋a＝0 的根，由根与系数的 关系知矛盾，无解，∴a＝4. 综上，a 的取值范围是 a≥4.
③若 B＝∅，则 Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，a<－1. 由①②③得 a＝1，或 a≤－1. (2)∵A∪B＝B，∴A⊆B. ∵A＝{－4,0}，又∵B 中至多只有两个元素， ∴A＝B. 由(1)知 a＝1.
[方法总结]
(1)处理与集合元素有关的问题时， 最后结果
要检验，一方面看是否符合题意，另一方面看是否符合集合 元素的三大特征． (2) 在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到 A∩B＝A，A∪B＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的 定义及上节学习的集合间的关系去分析， 如 A∩B＝A⇔A⊆B， A∪B＝B⇔A⊆B 等，解答时应灵活处理．
[解析] 情况．
[正解]
x∈N M∪N＝M⇒N⊆M⇒ N＝∅
，常常忽视 N＝∅的
∵M∩N＝M，∴N⊆M，∴N＝∅或 N≠∅.
当 N＝∅时，a＝0； 当 N≠∅时，∵M＝{－1,3}，
∴N＝{－1}或 N＝{3} 当 N＝{－1}时代入 ax＝1 得 a＝－1； 1 当 N＝{3}时，代入得 a＝ . 3 1 ∴a 的取值集合为{－1,0，3}． [点评] (1)M∩N＝M⇒M⊆N；
设集合
1 A＝x－2<x<2
， B＝{x|x2≤1}， 则
A∪B＝(

)
A．{x|－1≤x<2} C．{x|x<2}
1 B．A＝x－2<x≤1
D．{x|1≤x<2}
[答案] A
[解析]
1 A＝x－2<x<2
x 由题意可得方程：(30－x)＋(33－x)＋x＋( ＋1)＝50. 3 x 解得，x＝21，∴3＋1＝8. 即对 A、B 都赞成的学生有 21 人，都不赞成的学生有 8 人．
[方法总结] 在研究集合时， 经常遇到有关集合中元素个 数的问题．我们把含有有限个元素的集合 A 叫作有限集，用 card(A)来表示有限集 A 中元素的个数．一般地，对于任意两 个有限集 A， B， 有 card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)， card(A) ＋ card(B) ＝ card(A ∪ B) ＋ card(A∩B) ， card(A∩B) ＝ card(A)＋card(B)－card(A∪B)．
[方法总结] 求解含有字母的集合的交集时，应注意对每
一种情况进行分析，这就是数学中的分类讨论思想．
设集合 A＝{－2}，B＝{x|mx＋1＝0，x∈R}，若 A∩B＝ B，求 m 的值． [分析] A∩B＝B→B⊆A→列方程→求解 m.
[解析]
∵A∩B＝B，∴B⊆A.
∵A＝{－2}≠∅， ∴B＝∅或 B≠∅. 当 B＝∅时，方程 mx＋1＝0 无解，此时 m＝0. 1 当 B≠∅时，此时 m≠0，则 B＝{－m}， 1 1 1 ∴－m∈A，即有－m＝－2，得 m＝2. 1 综上，得 m＝0 或 m＝ . 2
M∪N＝M⇒N⊆M； (2)M⊆N 时，特别注意可能有 M＝∅的情况．
课堂巩固训练
一、选择题 1． 已知集合 A＝{0,2,4,6}， B＝{2,4,16,8}， 则 A∩B＝( A．{2} C．{0,2,4,6,8}
[答案] [解析] 选 D. D 由 A∩B 的定义，A、B 中公共元素只有 2,4，故
第一章
集合
§3
集合的基本运算
第1课时
交集与并集
学习方法指导
知能自主梳理 方法警示探究
思路方法技巧
探索延拓创新
课堂巩固训练
课后强化作业
知能目标解读
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集 合的并集与交集． 2．能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示 对理解抽象概念的作用．
[答案] ∈A 且 x∈B} A 或 x∈B} 2．＝ ＝ ∪
1.既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素 属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素
{x|x {x|x∈
∩ ⊆
⊆ ⊆
⊆ A
∅ A
A B
A
思路方法技巧
交集运算
[例 1] 已知集合 M＝{x|y2＝x＋1}，P＝{x|y2＝－2(x－ )
三、正确理解集合的交、并运算 (1)对于元素个数有限的集合， 可直接根据集合的“交”、 “并”定义求解，但要注意集合元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借 助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值是否能取到．
知能自主梳理
1．并集与交集的概念
2.并集与交集的运算性质
交集、并集的综合应用
[例 4] ＝0}． (1)若 A∩B＝B，求 a 的值． (2)若 A∪B＝B，求 a 的值． [分析] A∩B＝B⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B. 设 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1
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[解析]
A＝{－4,0}．
(1)∵A∩B＝B，∴B⊆A. ①若 0∈B，则 a2－1＝0，a＝± 1. 当 a＝1 时，B＝A； 当 a＝－1 时，B＝{0}． ②若－4∈B，则 a2－8a＋7＝0，解得 a＝7，或 a＝1. 当 a＝7 时，B＝{－12，－4}，B⃘ A.

3)}，那么 M∩P＝(
5 2 6 A. x，yx＝ ，y＝± 3 3
B．{x|－1<x<3} C．{x|－1≤x≤3} D．{x|x≤3} [分析] M∩P. 注意集合 M、P 中的元素，确定出 M、P，再求
[解析]
解法一：M 中 x＋1≥0，
某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为 49%， 电视机拥有率为 85%，洗衣机拥有率为 44%，至少拥有上述 三种电器中两种的占 63%，三种电器齐全的占 25%，求一种 电器也没有的相对贫困户所占的比例．
[解析]
不妨设调查了 100 户农户，如图所示，
A＝{100 户中拥有电冰箱的农户}， B＝{100 户中拥有电视机的农户}， C＝{100 户中拥有洗衣机的农户}， 由图知，A∪B∪C 的元素个数为 49＋85＋44－63－25＝ 90， 因此一种电器也没有的相对贫困户数为 100－90＝10. 所以一种电器也没有的相对贫困户所占的比例为 10%.
[方法总结] 解法一是直接法，求交集、并集时一般需先 确定具体集合再求；解法二是排除法，即抓住选项之间的差 异采用取特殊值或通过举反例等办法排除错选项，达到去伪 存真的目的，此法对求解选择题很有效．
(1)已知集合 A＝{x|1≤x≤10，x∈N}，B＝{x|x 是小于 10 的正奇数}，求 A∩B. (2)集合 A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|x2>1}，求 A∩B. [解析] (1)A＝{1,2,3，„，10}，B＝{1,3,5,7,9}，∴A∩B
考虑集合 A，再代入集合 B 中检验．
[解析]
由 A∩B＝{－3}知，－3∈A.
当 2a－1＝－3 时，a＝－1， 此时 A＝{－3，－4,2}，B＝{1,0，－3}，满足 A∩B＝{－ 3}；当 a－3＝－3 时，a＝0，此时 A＝{－1，－3,1}，B＝{0,1， －3}，A∩B＝{1，－3}与条件不符． ∵a2＋1≥1，∴a2＋1≠－3. 综上知 a＝－1，且 A＝{－3，－4,2}，B＝{1,0，－3}．
)
B．{4} D．{2,4}
(2)用 Venn 图表示 A∩B 时的几种情形如图所示：
二、正确理解并集的概念 (1)在求集合的并集时，同时属于 A 和 B 的公共元素，在 并集中只列举一次． (2)深刻领会“或”的内涵：并集的符号语言中的“或” 与生活用语中的“或”的含义是不同的，生活用语中的 “或”是“或此”“或彼”，只取其一，并不兼存；而并集 中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x ∈A 或 x∈B”包含三种情形： ①x∈A 且 x∉B； ②x∈B 且 x∉A； ③x∈A 且 x∈B.
名师辨误做答
已知 M＝{x|x2－2x－3＝0}， N＝{x|ax＝1}， 若 M∪N＝M， 则实数 a 取值的集合为________． [误解] ∵M＝{－1,3}，∴N＝{－1}或 N＝{3}．
当 N＝{－1}时，把 x＝－1 代入 ax＝1，得 a＝－1； 1 当 N＝{3}时，把 x＝3 代入 ax＝1，得 a＝3. 1 ∴a 的取值集合为{－1，3}．
重点难点点拨
重点：并集、交集的概念与运算． 难点：正确理解并集中的“或”．
学习方法指导
一、正确理解交集的概念 (1)对于 A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}，不能仅认为 A∩B 中 的任一元素都是 A 与 B 的公共元素，同时还有 A 与 B 的公共 元素都属于 A∩B 的含义． 这就是文字定义中“所有”二字的 含义，而不是“部分”公共元素．
探索延拓创新
交集、并集的实际应用
[例 5] 向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下
3 结果：赞成 A 的人数是全体的5，其余的不赞成；赞成 B 的比 赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成．另外，对 A、B 都不赞成的 1 学生数比对 A、B 都赞成的学生数的3多 1 人，求对 A、B 都 赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
∴x≥－1，即 M＝{x|x≥－1}； P 中 x－3≤0，∴x≤3，即 P＝{x|x≤3}． ∴M∩P＝{x|－1≤x≤3}，故选 C. 解法二：∵M∩P 的元素不是(x，y)， ∴排除 A；
比较 B 与 C，取 x＝－1， ∵－1∈M，－1∈P， ∴－1∈(M∩P)． ∴排除 B； 比较 C 与 D，取 x＝－2， ∵－2∉M，∴排除 D. [答案] C