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• 列出离散型随机变量X的所有可能取值
• 列出随机变量取这些值的概率
• 通常用下面的表格来表示
X = xi
x1 ，x2 ，… ，xn
P(X =xi)=pi
p1 ，p2 ，… ，pn
• P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 ▪ pi0
n
▪ 0 p i 1 i 1
离散型随机变量的概率分布
二项分布
Binomial Distribution
• 进行 n 次重复试验，出现“成功”的次数 的概率分布称为二项分布
• 设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数， X 取 x 的概率为
PXxCnxpxqnx (x0,1,2,,n)
式中 Cnx： x!(nn!x)!
二项分布
• 显然， 对于P{X=x} 0， x =1,2,…,n，有
解：数学期望为：E (X)i 61xipi 11 661 63.5
方差为：D(X) 6 xi E(X)2pi i1
(13.5)21(63.5)212.9167
6
6
2.2.2 几种常见的离散型 概率分布
常见的离散型概率分布
离散型随机变 量的概率分布
二项分布 泊松分布 超几何分布
二项试验
——贝努里试验
n
Cnxpxqnx (pq)2 1
x0
• 同样有
mLeabharlann Baidu
P0 X m Cnx pxqnx x0 n
Pm X n Cnx pxqnx xm
计算方差的简化公式
σ2=D(X)=E(X2)-[E(X)]2
标准差：
σ= D(X )
离散型随机变量的方差
——实例3.2.4
【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机 变量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差
X = xi
123456
P(X =xi)=pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
E(X) xi pi i1
(X取无穷个值）
离散型随机变量的方差
• 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方 和的数学期望，记为D(X)
• 描述离散型随机变量取值的分散程度 • 计算公式为
σ2= D( X ) E[ X E( X )]2 若X是离散型随机变量，则
σ2= D( X ) xi E( X )2 pi i 1
生物统计学 第五章 概率与概率分布(2)
教学内容
第一节 概率基础 第二节 随机变量及其分布
学习目标
• 了解随机事件的概念、事件的关系和运算 • 理解概率的定义，掌握概率的性质和运算
法则 • 理解随机变量及其分布，计算各种分布的
概率 • 用SPSS或Excel计算分布的概率
第二节 随机变量及其分布
一. 随机变量的概念 • 离散型随机变量的概率分布 二. 连续型随机变量的概率分布
2.1 随机变量的概念
随机变量的概念
• 一次试验结果的数值性描述 • 一般用 X、Y、Z 来表示 • 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 • 根据取值情况的不同分为离散型随机
变量和连续型随机变量
离散型随机变量
• 随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐 个列举出来 X1 , X2，…
——均匀分布
• 一个离散型随机变量取各个值的概率相同 • 列出随机变量取值及其取值的概率 • 例如，投掷一枚骰子，出现的点数及其出
现各点数的概率
离散型随机变量的概率分布
——均匀分布实例3.2.3
【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散 型随机变量，其概率分布为
X = xi
123456
P(X=xi)=pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
数轴上某一区间内的任意点 • 连续型随机变量的一些例子
试验
随机变量
可能的取值
检查病人血压
血压(汞柱)
细胞培养
细胞增长率
测量亚洲男性的身高 测量误差(cm)
收缩压90-140mm Hg之间 舒张压60-90mm Hg之间
0 X 1000 0 X 5
2.2 离散型随机变量的 概率分布
离散型随机变量的概率分布
P(x)
1/6
0 1 2 3 4 5 6x
2.2.1 离散型随机变量的 数学期望和方差
离散型随机变量的数学期望
• 在离散型随机变量X的一切可能取值的完 备率p组i乘中积，之各和可能取值xi与其取相对应的概
• 描述离散型随机变量取值的集中程度
• 计算公式为
n
E(X) xi pi i1
(X取有限个值）
• 二项分布与贝努里试验有关 • 贝努里试验(Bernoulli trials)具有如下属性
– 试验包含了n 个相同的试验 – 每次试验只有两个可能的结果，即“成功”
和“失败” – 出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相
同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p + q = 1 – 试验是相互独立的 – 试验“成功”或“失败”可以计数
X = xi
0 123
P(X=xi)pi 0.05 0.10 0.55 0.30
离散型随机变量的概率分布
0—1分布
• 一个离散型随机变量X只取两个可能的值 – 例如，合格用 1表示，不合格用0表示； 存活用 1表示，死亡用0表示
• 列出随机变量取这两个值的概率
离散型随机变量的概率分布
0—1分布实例3.2.2
——实例3.2.1
【例】规定水稻害虫危害等级,100株水稻上 如有300-500只害虫为3级，100-299为2级， 50-99为1级，小于50为无害(记为0级)。今调 查100组水稻，调查结果有30组为3级，55组2 级，10组1级，5组0级。则考察危害等级为 0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为
• 以确定的概率取这些不同的值
• 离散型随机变量的一些例子
试验
随机变量
可能的取值
抽查100株水稻 一头蜘蛛一天的捕食量 宠物公司月销售宠物数 诊断一个病人
受害水稻株数 捕食数 销售量 病人性别
0,1,2, …,100 0,1,2, … 0,1, 2,… 男性为1,女性为0
连续型随机变量
• 随机变量 X 取无限个值 • 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取
【例】运输一批水产品的死亡率为p＝0.05，
存 活 率 为 q=1-p=1-0.5=0.95 。 指 定 死 亡 用 0 表
示，存活用1表示。则任抽取一条水产品为死
亡或存活这一离散型随机变量，其概率分布
为
P(x)
X = xi
0
1
1
0.5
P(X=xi)=pi 0.05 0.95 0
1
x
离散型随机变量的概率分布